GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.4

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.4

આપેલ સમીકરણના મુખ્ય અને વ્યાપક ઉકેલ શોધો : (પ્રશ્ન 1થી 4)

પ્રશ્ન 1.
tan x = √3
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે,
tan \(\frac{\pi}{3}\) = √3 અને tan(π + \(\frac{\pi}{3}\)) = tan \(\frac{\pi}{3}\) = √3
આમ, tan \(\frac{\pi}{3}\) = tan \(\frac{4\pi}{3}\)
આથી મુખ્ય ઉકેલ x = \(\frac{\pi}{3}\) અને x = \(\frac{4\pi}{3}\)
હવે, tan x = tan αના વ્યાપક ઉકેલ
x = nπ + α, n ∈ Z
tan x = √3
એટલે કે, tan x = tan\(\frac{\pi}{3}\) નો વ્યાપક ઉકેલ,
x = nπ + \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z

પ્રશ્ન 2.
sec x = 2
ઉત્તરઃ
અહીં, sec x = 2 ∴ cos x = \(\frac{1}{2}\)
આપણે જાણીએ છીએ કે,
cos \(\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\) અને cos (2π – \(\frac{\pi}{3}\)) = cos \(\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)
આમ, cos \(\frac{\pi}{3}\) = cos \(\frac{5\pi}{3}\) = \(\frac{1}{2}\)
આથી મુખ્ય ઉકેલ x = \(\frac{\pi}{3}\) અને x = \(\frac{5\pi}{3}\)
હવે, cos x = cos α ના વ્યાપક ઉકેલ
x = 2nπ ± α, n ∈ Z,
cos x = \(\frac{1}{2}\)
એટલે કે, cos x = cos \(\frac{\pi}{3}\)નો વ્યાપક ઉકેલ
x = 2nπ ±, n ∈ z

પ્રશ્ન 3.
cot x =- √3
ઉત્તરઃ
અહીં, cot x = -√3
∴ tan x = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

આપણે જાણીએ છીએ કે,

હવે, tan x = tan α ના
x = nπ + α, n ∈ Z,
tan x = –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
એટલે કે, tan x = tan \(\frac{5 \pi}{6}\) નો વ્યાપક ઉકેલ,
x = nπ + \(\frac{5 \pi}{6}\), n ∈ Z

પ્રશ્ન 4.
cosec x = -2
ઉત્તરઃ
અહીં, cosec x = -2
∴ sin x = –\(\frac{1}{2}\)

આપણે જાણીએ છીએ કે,

હવે, sin x = sin α ના વ્યાપક ઉકેલ
x = nπ + (-1)ⁿ α, n ∈ Z પ્રમાછે,
sin x = –\(\frac{1}{2}\)

એટલે કે, sin x = sin \(\frac{7 \pi}{6}\)નો વ્યાપક ઉકેલ,
x = nπ + (− 1)ⁿ\(\frac{7 \pi}{6}\), n ∈ Z

આપેલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલ શોધો :

પ્રશ્ન 5.
cos 4x = cos 2x
ઉત્તરઃ
cos 4x = cos 2x
∴ 4x = 2nπ ± 2x, n ∈ Z
∴ 4x = 2nπ + 2x અથવા 4x = 2nπ – 2x, n ∈ Z
∴ 2x = 2nπ અથવા 6x = 24π, n ∈ z
∴ x = nπ અથવા x = \(\frac{n \pi}{3}\) n ∈ z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 6.
cos 3x + cos x – cos 2x = 0
ઉત્તરઃ
અહીં, cos 3x + cos x – cos 2x = 0
∴ 2 cos \(\left(\frac{3 x+x}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{3 x-x}{2}\right)\) – cos 2x = 0
∴ 2 cos 2x cos x – cos 2x = 0
∴ cos 2x (2 cos x − 1) = 0
∴ cos 2x = 0 અથવા cos x – 1 = 0
∴ cos 2x = 0 અથવા cos x =
∴ cos 2x = 0 અથવા cos x = cos
∴ 2x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z અથવા x = 2nл ± \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z
∴ x = (2n+1)\(\frac{\pi}{4}\), n ∈ Z અથવા x = 2nπ ± \(\frac{\pi}{3}\), n ∈ Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 7.
sin 2x + cos x = 0
ઉત્તરઃ
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0
∴ cos x (2 sin x + 1) = 0
∴ cos x = 0 અથવા 2 sin x + 1 = 0
∴ cos x = 0 અથવા sin x = –\(\frac{1}{2}\)
∴ cos x = 0 અથવા sin x = – sin\(\frac{\pi}{6}\) (∵ sin \(\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\))
∴ cos x = 0 અથવા sin x = sin (π + \(\frac{\pi}{6}\)) [sin (π + θ) = – sin θ]
∴ cos x = 0 અથવા sin x = sin \(\frac{7\pi}{6}\), n ∈ Z
∴ x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z અથવા x = nπ + (− 1)ⁿ \(\frac{7\pi}{6}\), n ∈ Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
sec²2x = 1 – tan 2x
ઉત્તરઃ
sec²2x = 1 – tan 2x
∴ 1 + tan²2x = 1 – tan 2x
∴ tan²2x = – -tan 2x
∴ tan²2x + tan 2x = 0
∴ tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x + 1 = 0
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = -1
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = -tan \(\frac{\pi}{4}\) (∵ tan \(\frac{\pi}{4}\) =1)
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = tan(π – \(\frac{\pi}{4}\)) [tan(π – \(\frac{\pi}{4}\)) = -tan \(\frac{\pi}{4}\)]
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = tan\(\frac{3 \pi}{4}\)
∴ 2x = nπ અથવા 2x = nπ + \(\frac{3 \pi}{4}\), n ∈ Z
∴ x = \(\frac{\boldsymbol{n} \pi}{2}\) અથવા x = \(\frac{n \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}\), n ∈ Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
ઉત્તરઃ
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
∴ (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
∴ 2 sin \(\frac{5 x+x}{2}\)cos \(\frac{5 x-x}{2}\) + sin 3x = 0
∴ 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
∴ sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0
∴ sin 3x = 0 અથવા 2 cos 2x + 1 = 0
∴ sin 3x = 0 અથવા cos 2x = -cos\(\frac{\pi}{3}\) (∵ cos\(\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\))
∴ sin 3x = 0 અથવા cos 2x = – cos(π – \(\frac{\pi}{3}\)) (∵ cos(π – θ) = -cos θ)
∴ sin 3x = 0 અથવા cos 2x = cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
∴ 3x = nπ, n ∈ Z અથવા 2x = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\), n ∈ Z
x = \(\frac{n \pi}{3}\), n ∈ Z અથવા x = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\), n ∈Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.