GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.4

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.4

આપેલ સમીકરણના મુખ્ય અને વ્યાપક ઉકેલ શોધો : (પ્રશ્ન 1થી 4)

પ્રશ્ન 1.
tan x = √3
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે,
tan $\frac{\pi}{3}$ = √3 અને tan(π + $\frac{\pi}{3}$) = tan $\frac{\pi}{3}$ = √3
આમ, tan $\frac{\pi}{3}$ = tan $\frac{4\pi}{3}$
આથી મુખ્ય ઉકેલ x = $\frac{\pi}{3}$ અને x = $\frac{4\pi}{3}$
હવે, tan x = tan αના વ્યાપક ઉકેલ
x = nπ + α, n ∈ Z
tan x = √3
એટલે કે, tan x = tan$\frac{\pi}{3}$ નો વ્યાપક ઉકેલ,
x = nπ + $\frac{\pi}{3}$, n ∈ Z

પ્રશ્ન 2.
sec x = 2
ઉત્તરઃ
અહીં, sec x = 2 ∴ cos x = $\frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે,
cos $\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ અને cos (2π – $\frac{\pi}{3}$) = cos $\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
આમ, cos $\frac{\pi}{3}$ = cos $\frac{5\pi}{3}$ = $\frac{1}{2}$
આથી મુખ્ય ઉકેલ x = $\frac{\pi}{3}$ અને x = $\frac{5\pi}{3}$
હવે, cos x = cos α ના વ્યાપક ઉકેલ
x = 2nπ ± α, n ∈ Z,
cos x = $\frac{1}{2}$
એટલે કે, cos x = cos $\frac{\pi}{3}$નો વ્યાપક ઉકેલ
x = 2nπ ±, n ∈ z

પ્રશ્ન 3.
cot x =- √3
ઉત્તરઃ
અહીં, cot x = -√3
∴ tan x = –$\frac{1}{\sqrt{3}}$

આપણે જાણીએ છીએ કે,

હવે, tan x = tan α ના
x = nπ + α, n ∈ Z,
tan x = –$\frac{1}{\sqrt{3}}$
એટલે કે, tan x = tan $\frac{5 \pi}{6}$ નો વ્યાપક ઉકેલ,
x = nπ + $\frac{5 \pi}{6}$, n ∈ Z

પ્રશ્ન 4.
cosec x = -2
ઉત્તરઃ
અહીં, cosec x = -2
∴ sin x = –$\frac{1}{2}$

આપણે જાણીએ છીએ કે,

હવે, sin x = sin α ના વ્યાપક ઉકેલ
x = nπ + (-1)ⁿ α, n ∈ Z પ્રમાછે,
sin x = –$\frac{1}{2}$

એટલે કે, sin x = sin $\frac{7 \pi}{6}$નો વ્યાપક ઉકેલ,
x = nπ + (− 1)ⁿ$\frac{7 \pi}{6}$, n ∈ Z

આપેલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલ શોધો :

પ્રશ્ન 5.
cos 4x = cos 2x
ઉત્તરઃ
cos 4x = cos 2x
∴ 4x = 2nπ ± 2x, n ∈ Z
∴ 4x = 2nπ + 2x અથવા 4x = 2nπ – 2x, n ∈ Z
∴ 2x = 2nπ અથવા 6x = 24π, n ∈ z
∴ x = nπ અથવા x = $\frac{n \pi}{3}$ n ∈ z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 6.
cos 3x + cos x – cos 2x = 0
ઉત્તરઃ
અહીં, cos 3x + cos x – cos 2x = 0
∴ 2 cos $\left(\frac{3 x+x}{2}\right)$ cos $\left(\frac{3 x-x}{2}\right)$ – cos 2x = 0
∴ 2 cos 2x cos x – cos 2x = 0
∴ cos 2x (2 cos x − 1) = 0
∴ cos 2x = 0 અથવા cos x – 1 = 0
∴ cos 2x = 0 અથવા cos x =
∴ cos 2x = 0 અથવા cos x = cos
∴ 2x = (2n + 1)$\frac{\pi}{2}$, n ∈ Z અથવા x = 2nл ± $\frac{\pi}{3}$, n ∈ Z
∴ x = (2n+1)$\frac{\pi}{4}$, n ∈ Z અથવા x = 2nπ ± $\frac{\pi}{3}$, n ∈ Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 7.
sin 2x + cos x = 0
ઉત્તરઃ
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0
∴ cos x (2 sin x + 1) = 0
∴ cos x = 0 અથવા 2 sin x + 1 = 0
∴ cos x = 0 અથવા sin x = –$\frac{1}{2}$
∴ cos x = 0 અથવા sin x = – sin$\frac{\pi}{6}$ (∵ sin $\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$)
∴ cos x = 0 અથવા sin x = sin (π + $\frac{\pi}{6}$) [sin (π + θ) = – sin θ]
∴ cos x = 0 અથવા sin x = sin $\frac{7\pi}{6}$, n ∈ Z
∴ x = (2n + 1)$\frac{\pi}{2}$, n ∈ Z અથવા x = nπ + (− 1)ⁿ $\frac{7\pi}{6}$, n ∈ Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
sec²2x = 1 – tan 2x
ઉત્તરઃ
sec²2x = 1 – tan 2x
∴ 1 + tan²2x = 1 – tan 2x
∴ tan²2x = – -tan 2x
∴ tan²2x + tan 2x = 0
∴ tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x + 1 = 0
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = -1
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = -tan $\frac{\pi}{4}$ (∵ tan $\frac{\pi}{4}$ =1)
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = tan(π – $\frac{\pi}{4}$) [tan(π – $\frac{\pi}{4}$) = -tan $\frac{\pi}{4}$]
∴ tan 2x = 0 અથવા tan 2x = tan$\frac{3 \pi}{4}$
∴ 2x = nπ અથવા 2x = nπ + $\frac{3 \pi}{4}$, n ∈ Z
∴ x = $\frac{\boldsymbol{n} \pi}{2}$ અથવા x = $\frac{n \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}$, n ∈ Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
ઉત્તરઃ
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
∴ (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
∴ 2 sin $\frac{5 x+x}{2}$cos $\frac{5 x-x}{2}$ + sin 3x = 0
∴ 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
∴ sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0
∴ sin 3x = 0 અથવા 2 cos 2x + 1 = 0
∴ sin 3x = 0 અથવા cos 2x = -cos$\frac{\pi}{3}$ (∵ cos$\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$)
∴ sin 3x = 0 અથવા cos 2x = – cos(π – $\frac{\pi}{3}$) (∵ cos(π – θ) = -cos θ)
∴ sin 3x = 0 અથવા cos 2x = cos $\frac{2 \pi}{3}$
∴ 3x = nπ, n ∈ Z અથવા 2x = 2nπ ± $\frac{2 \pi}{3}$, n ∈ Z
x = $\frac{n \pi}{3}$, n ∈ Z અથવા x = nπ ± $\frac{\pi}{3}$, n ∈Z
જે માગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.