GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.1

પ્રશ્ન 1.
નીચેના અંશમાપને સંગત રેડિયન માપ શોધો :
(1) 25°
(2)-47° 30′
(3) 240°
(4) 520°
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે, 180° = π રેડિયન
∴ 1° = $\frac{\pi}{180}$ રેડિયન

(1) 25° = 25 × $\frac{\pi}{180}$ રેડિયન
= $\frac{5 \pi}{36}$ રેડિયન

(2) – 47° 30′ = (-47$\frac{1}{2}$)°
= (-$\frac{95}{2}$)°
= $\frac{-95}{2} \times \frac{\pi}{180}$ રેડિયન
= –$\frac{19 \pi}{72}$ રેડિયન

(3) 240° = 240 × $\frac{\pi}{180}$ રેડિયન
= $\frac{4 \pi}{3}$ રેડિયન

(4) 520° = 520 × $\frac{\pi}{180}$ રેડિયન
= $\frac{26 \pi}{9}$ રેડિયન

પ્રશ્ન 2.
નીચેના રેડિયન માપને સંગત અંશમાપ શોધો : (π = $\frac{22}{7}$ લો.)
(1) $\frac{11}{16}$
(2) – 4
(3) $\frac{5 \pi}{3}$
(4) $\frac{7 \pi}{6}$
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે, π રેડિયન = 180°
1 રેડિયન = $\frac{180}{\pi}$

(1) $\frac{11}{16}$ રેડિયન

(2) – 4 રેડિયન

(3) $\frac{5 \pi}{3}$ રેડિયન
= $\frac{5 \pi}{3} \times \frac{180}{\pi}$ અંશ
= 300°

(4) $\frac{7 \pi}{6}$ રેડિયન
= $\frac{7 \pi}{6} \times \frac{180}{\pi}$ અંશ
= 210°

પ્રશ્ન 3.
એક ચક્ર એક મિનિટમાં 360° પરિભ્રમણ કરે છે, તો તે એક સેકન્ડમાં કેટલા રેડિયન માપ જેટલું ફરશે?
ઉત્તરઃ
ચક્ર એક મિનિટમાં 360° પરિભ્રમણ કરે છે.
∴ એક સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા = $\frac{360}{60}$ = 6
એક પરિભ્રમણમાં ચક્ર દ્વારા બનતો ખૂણો = 360°
∴ 6 પરિભ્રમણમાં ચક્ર દ્વારા બનતો ખૂણો = 360° × 6 = 2160°
હવે, 2160 અંશ
= 2160 × $\frac{\pi}{180}$રેડિયન (∵ 1 અંશ = $\frac{\pi}{180}$રેડિયન)
= 12π રેડિયન
આમ, ચક્ર એક સેકન્ડમાં 12π રેડિયન માપ જેટલું ફરશે.

પ્રશ્ન 4.
100 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના ચાપની લંબાઈ 22 સેમી હોય, તો તેણે કેન્દ્ર આગળ બનાવેલ ખૂણાનું અંશમાપ શોધો. (π = $\frac{22}{7}$ લો.)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, વર્તુળની ત્રિજ્યા 7 અને 1 ચાપની લંબાઈ છે.
∴ r = 100 સેમી અને l = 22 સેમી
ધારો કે, lલંબાઈનો ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ θ રેડિયન ખૂણો બનાવે છે.
હવે, l = 10

આમ, માગેલા ખૂણાનું અંશમાપ 12°36′ છે.

પ્રશ્ન 5.
40 સેમી વ્યાસવાળા વર્તુળમાં જીવાની લંબાઈ 20 સેમી છે. જીવાને સંગત લઘુચાપનું માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, વર્તુળનો વ્યાસ = 40 સેમી
∴ વર્તુળની ત્રિજ્યા = 20 સેમી અને
જીવાની લંબાઈ = 20 સેમી છે.

ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર 0 અને જીવા AB છે.
∴ AB = 20 સેમી
અને OA = OB = 20 સેમી (∵ વર્તુળની ત્રિજ્યા)

અહીં, ΔAOB સમબાજુ ત્રિકોણ બને.
∴ m∠AOB = 60° = રેડિયન
ધારો કે, m∠AOB = θ
આમ, જીવા AB વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ θ = $\frac{\pi}{3}$ રેડિયન ખૂણો બનાવે.
ધારો કે, લઘુચાપ ABની લંબાઈ 1 છે.
∴ હવે, l = rθ
l = 20 × $\frac{\pi}{3}=\frac{20 \pi}{3}$
આમ, જીવાને સંગત લઘુચાપનું માપ $\frac{20 \pi}{3}$ સેમી છે.

પ્રશ્ન 6.
જો બે વર્તુળોમાં સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ 60° અને 75ના ખૂણા આંતરે, તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ r₁ અને r₂ છે. આપેલ છે કે,

આથી r₁ : r₂ == 5:4

પ્રશ્ન 7.
જો 75 સેમી લંબાઈવાળા લોલકનું અંત્યબિંદુ (1) 10 સેમી (2) 15 સેમી (3) 21 સેમીના ચાપ બનાવે, તો તેણે કેન્દ્ર આગળ બનાવેલ ખૂણાનાં રેડિયન માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, લોલકના છેડા દ્વારા બનતા ચાપની લંબાઈ l, કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણાનું માપ θ અને લોલકની લંબાઈ r છે.

(1) જો લોલકનું અંત્યબિંદુ 10 સેમીનો ચાપ બનાવે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો
θ = $\frac{l}{r}=\frac{10}{75}=\frac{2}{15}$ રેડિયન

(2) જો લોલકનું અંત્યબિંદુ 15 સેમીનો ચાપ બનાવે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો
θ = $\frac{l}{r}$
= $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$ રેડિયન

(3) જો લોલકનું અંત્યબિંદુ 21 સેમીનો ચાપ બનાવે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો
θ = $\frac{l}{r}$
= $\frac{21}{75}=\frac{7}{25}$રેડિયન