GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.3

\(\frac{d y}{d x}\) શોધો : (પ્રશ્ન 1 થી 8 માં સ્વીકારી લો કે y એ x ના વિધેય તરીકે યોગ્ય પ્રદેશમાં વ્યાખ્યાયિત છે.)

પ્રશ્ન 1.
2x + 3y = sinx
ઉત્તરઃ
2x + 3y = sinx
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,
2 + 3\(\frac{d y}{d x}\) = cosx
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x-2}{3}\)

પ્રશ્ન 2.
siny
2x + 3y = sin y
ઉત્તરઃ
2x + 3y = sin y
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,
2 + 3\(\frac{d y}{d x}\) = cosy \(\frac{d y}{d x}\)
∴ cosy\(\frac{d y}{d x}\) – 3\(\frac{d y}{d x}\) = 2
∴ \(\frac{d y}{d x}\)(cos y – 3) = 2
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\cos y-3}\)

પ્રશ્ન 3.
ax + by² = cos y
ઉત્તરઃ
ax + by² = cos y
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,
a + 2by\(\frac{d y}{d x}\) = -sin y \(\frac{d y}{d x}\)
∴ 2by \(\frac{d y}{d x}\) + sin y \(\frac{d y}{d x}\) = -a
∴ \(\frac{d y}{d x}\)[2by + sin y] = -a
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{-a}{2 b y+\sin y}\)

પ્રશ્ન 4.
xy + y² = tan x + y
ઉત્તરઃ
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
x² + xy + y² = 100
ઉત્તરઃ
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
x³ + x²y + xy² + y³ = 81
ઉત્તરઃ
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 7.
sin²y + cosxy = k
ઉત્તરઃ
sin²y+cosxy = k
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 8.
sin²x + cos²y = 1
ઉત્તરઃ
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 9.
y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
ઉત્તરઃ

(i) ⇒ y = sin^-1(sin 2θ)
= sin^-1(-sin(2θ – π))
= – sin^-1(sin(2θ – π))
∴ y = (2θ – π) = -2θ + π
∴ y = -2 tan^-1x + π

(i) ⇒ y = sin^-1(sin 2θ)
= sin^-1(-sin(2θ + π))
= sin^-1(sin(2θ + ñ))
= (2θ + π)
= – 2θ – π
= -2tan^-1x – π

પ્રશ્ન 10.
y = tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\), –\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) < x < \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
y = cos^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\), 0 < x < 1
ઉત્તરઃ
y = cos^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
x = tan θ લેતાં, θ = tan^-1x
∴ y = cos^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\)
∴ y = cos^-1(cos 2θ)
∴ θ < x < 1
∴ tan 0 < tan θ < tan \(\frac{\pi}{4}\)
∴ 0 < θ < \(\frac{\pi}{4}\)
∴ 0 < 2θ < \(\frac{\pi}{2}\)

(i) ⇒ y = cos^-1(cos2θ) = 20
∴ y = 2tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}\)

પ્રશ્ન 12.
y = sin^-1\(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\), 0 < x < 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
y = cos^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\), – 1 < x < 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
y = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\)), –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ઉત્તરઃ
y = sin^-1(2x\(\sqrt{1-x^2}\))
ઘારો કે x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x

પ્રશ્ન 15.
y = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\), 0 < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ઉત્તરઃ