GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.4

પ્રશ્ન 1.
નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરેલ પ્રત્યેક ક્રિયા * એ દ્વિક્રિયા છે કે નહિ તે નક્કી કરો. જે પ્રશ્નમાં * ક્રિક્રિયા ન હોય, તેના માટે કારણ આપો.
(i) * એ Z⁺ પર, a * b = a – b દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
Z+ = {1, 2, 3, 4,…….}

જો a = 2, b = 5 હોય તો a, b ∈ Z⁺
a * b = 2 * 5 = 2 – 5 = -3 ∉ Z⁺
∴ * એ Z⁺ પરની ક્રિક્રિયા નથી.

(ii) * એ Z⁺ પર, a * b = ab દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Z⁺
a * b = ab ∈ Z⁺, ∀ a ≥ b માટે
a * b = ab ∈ Z⁺, ∀ a < b માટે
∴ * એ Z⁺ પરની દ્વિક્રિયા છે.

(iii) * એ R પર, a * b = ab² દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
a ∈ R તથા b ∈ R થાય.
∴ a * b = ab² ∈ R થાય.
a = 4.5 તથા b = 10 લઈએ તો a, b ∈ R થશે.
∴ a * b = 4.5 * 10 = (4.5)(10)² = 450 ∈ R
∴ * ઐ R પરની ક્રિકૃક્રિયા છે.

(iv) * એ Z⁺ પર, a * b = |a – b| દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
Z⁺ = {1, 2, 3, 4, ………..}
a, b ∈ Z⁺ હોય તો,
a * b = |a – b| > 0 ⇒ |a – b| ∈ Z⁺
∴ a = 3 તથા b = 5 હોય તો 3 * 5 = |3 − 5| = 2 ∈ Z⁺
∴ * એ Z⁺ પરની કિક્રિયા છે.

(v) * એ Z⁺ પર, a * b = a દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Z⁺
Z⁺ = {1, 2, 3, 4, …….}
a * b = a ∈ Z⁺
∴ 5 * 3 = 5 ∈ Z⁺ જ્યાં 5, 3 ∈ Z⁺
∴ * એ Z⁺ પરની દ્વિકૃક્રિયા છે.

પ્રશ્ન 2.
નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત પ્રત્યેક ક્રિયા * માટે નક્કી કરો કે તે ક્રિક્રિયા છે કે નહિ. જો તે ક્રિક્રિયા હોય, તો એ સમક્રમી છે કે નહિ અથવા જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે કે નહિ :
(i) Z પર વ્યાખ્યાયિત a * b = a – b
ઉત્તરઃ
Z પર વ્યાખ્યાયિત *, a * b = a – b
Z = {…….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…….}
જો a > b હોય તો a * b = a – b ધન છે.
જો a < b હોય તો a * b = a – b ઋણ છે.
જો a = b હોય તો a * b = a – b = 0
∴ * એ Z પરની દ્વિકૃક્રિયા છે.
5, 3 ∈ Z
5 * 3 = 5 – 3 = 2
3 * 5 = 3 – 5 = -2
∴ 5 * 3 ≠ 3 * 5
અર્થાત્ a * b ≠ b * a, a, b ∈ Z
∴ ક્રિક્રિયા * એ સમક્રમી નથી.
ધારો કે 2, 6, 8 ∈ Z
(2 * 6) * 8 = (2 – 6) * 8
= -4 * 8
= 4 – 8
= -12

2 * (6 * 8) = 2 * (6 – 8)
= 2 * (-2)
= 2 – (-2)
= 4
∴ (2 * 6) * 8 ≠ 2 * (6 * 8)
આમ, a, b, c ∈ Z હોય તો (a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ ઢિક્રિયા * એ જૂથનો નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(ii) Q પર વ્યાખ્યાયિત a * b = ab + 1
ઉત્તરઃ
Q પર વ્યાખ્યાયિત *, a * b = ab + 1
a, b ∈ Q, a * b = ab + 1 ∈ Q
5, 3 ∈ Q, 5 * 3 = (5)(3) + 1 = 16 ∈ Q
∴ * એ Q પરની ક્રિક્રિયા છે,

∴ દ્વિફક્રિયા * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ Q
a * (b * c) = a * (bc + 1)
= a(bc + 1) + 1
= abc + a + 1
(a * b) * c = (ab + 1) * c
= (ab + 1)c + 1
= abc + c + 1
a * (b * c) ≠ (a * b) * c
∴ ઢિક્રિયા * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(iii) Q પર વ્યાખ્યાયિત a * b = \(\frac{a b}{2}\)
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Q તથા a * b = \(\frac{a b}{2}\) ∈ Q
4, \(\frac{1}{2}\) ∈ Q તથા 4 * \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{(4)\left(\frac{1}{2}\right)}{2}\) = 1 ∈ Q
∴ * એ Q પરની દ્વિફક્રિયા છે.
a * b = \(\frac{a b}{2}\) તથા b * a = \(\frac{b a}{2}=\frac{a b}{2}\)
a * b = b * a
∴ દ્વિકૃક્રિયા * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ Q
a * (b * c) = a * \(\frac{b c}{2}\)
= \(\frac{\frac{a b c}{2}}{2}\)
= \(\frac{a b c}{4}\)

(a * b) * c = \(\frac{a b}{2}\) * c
= \(\frac{\frac{a b}{2} \times c}{2}\)
= \(\frac{a b c}{4}\)
a * (b * c) = (a * b) * c
∴ ક્રિક્રિયા * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરે છે.

(iv) Z⁺ પર વ્યાખ્યાયિત a * b = 2^ab
ઉત્તરઃ
Z⁺ = {1, 2, 3,…}
3, 2, ∈ Z⁺, 3 * 2 = 2⁶ = 64 ∈ Z⁺
અર્થાતૂ, a, b ∈ Z⁺ હોય તો a * b = 2^ab ∈ Z⁺
∴ * એ Z⁺ પરની ક્રિક્રિયા છે.
∴ a * b = 2^ab તથા b * a = 2^ba = 2^ab
∴ a * b = b * a
∴ * એ Z⁺ પર સમક્રમી છે.

a, b, c ∈ Z
a * (b * c) = a * 2^bc
= \(2^{a 2^{b c}}\)

(a * b) * c = 2^ab * c
= \(2^{2^{a b}} \cdot c\)
∴ a * (b * c) ≠ (a * b) * c
∴ * એ Z⁺ પ૨ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(v) Z⁺ પર વ્યાખ્યાયિત a * b = ab
ઉત્તરઃ
Z⁺ = {1, 2, 3,…}
a, b ∈ Z⁺, a * b = a^b ∈ Z⁺
5, 3 ∈ Z⁺, 5 * 3 = 5³ = 125 ∈ Z⁺
∴ * એ Z⁺ પરની કિક્રિયા છે.
a * b = a^b તથા b * a = b^a
5 * 3 = 5³ તથા 3 * 5 = 3⁵
a * b ≠ b * a
∴ * એ Z⁺ પર સમક્રમી નથી.
b, c c ∈ Z⁺
a * (b * c) = a * b^c
= \((a)^{b^c}\)

(a * b) * c = a^b * c
= \((a)^{b^c}\)
a * (b * c) ≠ (a * b) * c
∴ * એ Z⁺ પર જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(vi) R- {-1} પર વ્યાખ્યાયિત a * b = \(\frac{a}{b+1}\)
ઉત્તરઃ
a, b ∈ R – {-1}, a * b = \(\frac{a}{b+1}\) ∈ R – {-1}
9, 2 ∈ R – {-1}, 9 * 2 = \(\frac{9}{2+1}\) = 3 ∈ R – {-1}
∴ * એ R – {-1} પરની ક્રિક્રિયા છે.
3, 5 ∈ R – {-1}
3 * 5 = \(\frac{3}{5+1}=\frac{1}{2}\) તથા 5 * 3 = \(\frac{5}{3+1}=\frac{5}{4}\)
∴ 3 * 5 ≠ 5 * 3
∴ ફિક્રિયા * એ સમક્રમી નથી.
2, 3, 5 ∈ R – {-1}

∴ (2 * 3) * 5 ≠ 2 * (3 * 5)
∴ ખ્રિક્રિયા * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

પ્રશ્ન 3.
ધારો કે ગણ {1, 2, 3, 4, 5} પર વિકૃક્રિયા ^, a ^ b = min {a, b} (અથવા ન્યૂનતમ {a, b}) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ક્રિયા ^ માટે હિફક્રિયા કોષ્ટક લખો.
ઉત્તરઃ
ગણ {1, 2, 3, 4, 5} પર વ્યાખ્યાયિત ક્રિયા ^ નીચે પ્રમાણે છે.
a ^ b = ન્યૂનતમ {a, b}

પ્રશ્ન 4.
ધારો કે ગણ {1, 2, 3, 4, 5} પર ક્રિક્રિયા *, નીચે આપેલા ગુણાકાર કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે :
(i) (2 * 3) * 4 અને 2 * (3 * 4) ની ગણતરી કરી.
(ii) * સમક્રમી છે ?
(iii) (2 * 3) * (4 * 3) ની ગણતરી કરો.
(સૂચન : નીચે આપેલ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો.)

ઉત્તરઃ
(i) (2 * 3) * 4 = 1 * 4 = 1
∴ 2 * (3 * 4) = 2 * 1 = 1
(ii) 3 * 4 = 1 તથા 4 * 3 = 1
3 * 4 = 4 * 3
∴ * એ સમક્રમી છે.
(iii) (2 * 3) * (4 * 5) = 1 * 1
= 1

પ્રશ્ન 5.
ગજ્ઞ {1, 2, 3, 4, 5} પર ઢિક્રિયા *’ એ a *’ b = a અને h નો ગુ.સા.અ. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ક્રિયા *’ એ ઉપરના પ્રશ્ન 4 માં વ્યાખ્યાયિત દ્વિકક્રિયા * જેવી જ છે ? તમારા જવાબની ચધાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
ગણ {1, 2, 3, 4, 5} પર વ્યાખ્યાયિત કિક્રિયા * નીચે પ્રમાણે છે.
a * b = a અને b નો ગુ.સા.અ.
1 * 1 = 1 અને 1 નૌ ગુ.સા.અ. = 1
1 * 2 = 1 અને 2 નો ગુ.સા.અ. = 1
2 * 4 = 2 અને 4 નો ગુ.સા.અ. = 2
આ પ્રમાણે લઈને * માટેનું Table બનાવીએ.

સ્પષ્ટ છે કે આ Table એ દાખલા નં. 4 માં આપેલ Table જેવું જ છે, અર્થાત્ બંને Table સમાન છે.

પ્રશ્ન 6.
N પર a * b = a અને b નો લ.સા.અ. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ફિક્રિયા * આપેલ છે.
(i) 5 * 7, 20 * 16 મેળવો.
(ii) * સમક્રમી છે ?
(iii) * જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે ?
(iv) N માં * માટે તટસ્થ ઘટક શોધો.
(v) ક્રિકક્રિયા * માટે N ના કથા ઘટકો વ્યસ્તસંપન્ન છે ?
ઉત્તરઃ
N પર વ્યાખ્યાયિત કૃિક્રિયા * નીચે પ્રમાણે છે.
a * b = a અને b નો લ.સા.અ.
(i) 5 * 7, 20 * 16 મેળવો.
ઉત્તરઃ
5 * 7 = 5 અને 7 નો લ.સા.અ. = 35
20 * 16 = 20 અને 16 નો લ.સા.અ. = 80

(ii) * સમક્રમી છે ?
ઉત્તરઃ
a * b = a અને b નો લ.સા.અ.
= b અને a નો લ.સા.અ.
= b * a
∴ * આ એ સમક્રમી છે.

(iii) * જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે ?
ઉત્તરઃ
(a * b) * c = a * (b અને c નો લ.સા.અ.)
= a અને (b અને c નો લ.સા.અ.)
= a, b, c નો લ.સા.અ.
(a * b) * c = (a અને b નો લ.સા.અ.) * c
= (a અને b નો લ.સા.અ.) તથા c નો લ.સા.અ.
= a, b, c નો લ.સા.અ.
∴ a * (b * c) = (a * b) * c
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરે છે.

(iv) N માં * માટે તટસ્થ ઘટક શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે e એ * માટેનો એકમ ઘટક છે.
∴ a * e = a
∴ a અને e નો લ.સા.અ. = a
સ્પષ્ટ છે કે e = 1 તથા 1 ∈ N
5 * 1 = 5 અને 1 નો લ.સા.અ.
= 5
∴ * આ માટેનો એકમ ઘટક e = 1 છે.

(v) ક્રિકૃક્રિયા * માટે N ના કા ઘટકો વ્યસ્તસંપન્ન છે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટક a નો વ્યસ્ત b છે.
∴ a * b = 1
∴ a અને b નો લ.સા.અ. = 1
સ્પષ્ટ છે કે 1 અને 1 નો લ.સા.અ. = 1
∴ N માં ફક્ત ઘટક 1 નું * ક્રિક્રિયા માટે વ્યસ્ત ઘટક મળે છે. 1 નો * માટેનો વ્યસ્ત 1 છે.

પ્રશ્ન 7.
ગન્ન {1, 2, 3, 4, 5} ૫૨ a * b = a અને b નો લ.સા.અ. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત * એ દ્વિફક્રિયા છે ? તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
ગન્ન {1, 2, 3, 4, 5} પર વ્યાખ્યાયિત * નીચે પ્રમાણે છે.
a * b = a અને b નો લ.સા.અ.
a = 3 તથા b = 4 લેતાં,
a * b = 3 * 4
= 3 અને 4 નો લ.સા.અ.
= 12
પરંતુ 12 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}
∴ ગણ {1, 2, 3, 4, 5} પર વ્યાખ્યાયિત * એ વિકૃક્રિયા નથી.

પ્રશ્ન 8.
ગણ N પર a * b = a અને b નો ગુ.સા.અ. દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિક્રિયા * સમક્રમી છે ? શું * જૂધના નિયમનું પાલન કરે છે ? N પરની આ ક્રિક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટકનું અસ્તિત્વ છે ?
ઉત્તરઃ
N પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિકૃક્રિયા * નીચે પ્રમાણે છે.
a * b = a અને b નો ગુ.સા.અ.
a, b ∈ N
a * b = a અને b નો ગુ.સા.અ.
= b અને હૂ નો ગુ.સા.અ.
= b * a
∴ * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ N
(a * b) * c = (a અને b નો ગુ.સા.અ.) * c
= a, b, c નો ગુ.સા.અ.
a * (b * c) = a * (b અને c નો ગુ.સા.અ.)
= a, b, c નો ગુ.સા.અ.
∴ a * (b * c) = a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરે છે.
જો e એ * માટેનો એકમ ઘટક હોય તો, a * e = e * a = a થવું જોઈએ. ∀ a ∈ N. પરંતુ a * 1 = 1 * a ≠ a.
∴ N પરની કિક્રિયા માટે એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ નથી.

પ્રશ્ન 9.
સંમેય સંખ્યાઓના ત્રણ Q પર ક્રિક્રિયા * નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે :
(i) a * b = a – b
(ii) a * b = a² + b²
(iii) a * b = a + ab
(iv) a * b = (a – b)²
(v) a * b = \(\frac{a b}{4}\)
(vi) a * b = ab²
કઈ દ્વિકૃક્રિયાઓ સમક્રમી છે અને કઈ ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે તે શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) a * b = a – b
ગણ Q પર a * b = a – b
a * b = a – b, a, b ∈ Q
a * b = b – a = -(a – b)
∴ a * b ≠ b * a
∴ * એ Q પર સમક્રમી નથી.
a, b, c ∈ Q
(a * b) * c = (a – b)
= a – b – c
a * (b * c) = a * (b – c)
= a – (b – c)
= a – b – c
∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(ii) a * b = a² + b²
ગણ Q પર a * b = a² + b²
a, b ∈ Q, a * b = a² + b²
= b² + a²
= b * a
∴ * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ Q
(a * b) * c = (a² + b²) * c
= (a² + b²)² + c²
a * (b * c) = a * (b² + c²)
= a² + (b² + c²)²
∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(iii) a * b = a + ab
ગણ Q પર a * b = a + ab

∴ * એ સમક્રમી નથી.
a, b, c ∈ Q
(a * b) * c = (a + ab) * c
= a + ab + (a + ab)c
a * (b * c) = a * (b + bc)
= a + a(b + bc)
(a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(iv) a * b = (a – b)²
ગણ Q પર a * b = (a – b)²
a, b ∈ Q, a * b = (a – b)²
= (b – a)²
= b * a
∴ * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ Q
(a * b) * c = (a – b)² * c
= [(a – b)2 – c]²
a * (b * c) = a * (b – c)²
= [a – (b – c)²]²
(a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

(v) a * b = \(\frac{a b}{4}\)
ગણ Q પર a * b = \(\frac{a b}{4}\)
a, b ∈ Q,
a * b = \(\frac{a b}{4}=\frac{b a}{4}\) = b * a
∴ * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ Q
(a * b) * c = \(\frac{a b}{4}\)
= \(\frac{\frac{a b c}{4}}{4}\)
= \(\frac{a b c}{16}\)
a * (b * c) = a * \(\frac{b c}{4}\)
= \(\frac{\frac{a b c}{4}}{4}\)
= \(\frac{a b c}{16}\)
∴ (a * b) * c = a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરે છે.

(vi) a * b = ab²
ગરા Q પર a * b = ab²

∴ * એ સમક્રમી નથી.
a, b, c ∈ Q
(a * b) * c = ab² * c
= ab² c²
a * (b * c) = a * bc²
= a(bc²)²
= ab² c⁴
(a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.

પ્રશ્ન 10.
ઉપર આપેલ પૈકી કઈ ક્રિક્રિયાઓ માટે તટસ્ય ઘટક પ્રાપ્ય છે ?
(i) a * b = a – b
ઉત્તરઃ
a, b, c ∈ Q, a * b = a – b
ધારો કે * માટેનો એકમ ઘટક e છે,
a * e = a = e * a
a – e = a = e – a
અહીં, e નું મૂલ્ય મળતું નથી.
∴ * માટેનાં એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ નથી.

(ii) a * b = a² + b²
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Q, a * b = a² + b²
ધારો કે * માટેનો એકમ ઘટક છ છે.
a * e = a² + e² ≠ a
∴ * માટેનાં એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ નથી.

(iii) a * b = a + ab
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Q, a * b = a + ab
ધારો કે * માટેનો એકમ ઘટક e છે.
a * e = a + ae ≠ a
∴ * માટેનાં એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ નથી.

(iv) a * b = (a – b)²
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Q, a * b = (a – b)²
ધારો કે * માટેનો એકમ પટક e છે.
∴ a * e = (a – e)² ≠ a
∴ * માટેનાં એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ નથી.

(v) a * b = \(\frac{a b}{4}\)
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Q, a * b = \(\frac{a b}{4}\)
ધારો કે * માટેનો એકમ ઘટક e છે.
a * e = \(\frac{a e}{4}\) = a
⇒ e = 4 ∈ Q
હવે a * 4 = \(\frac{a 4}{4}\) = a તથા 4 * a = \(\frac{4 a}{4}\) = a
∴ * માટેનો એકમ ઘટક 4 છે.

(vi) a * b = ab²
ઉત્તરઃ
a, b ∈ Q, a * b = ab²
ધારો કે * માટેનો એકમ ઘટક e છે,
a * e = ae² = a ⇒ e = ±1
તથા e * a = ea² ≠ a
આમ, e ની કિંમત મળતી નથી.
∴ * માટેનાં એકમ પટકનું અસ્તિત્વ નથી.

પ્રશ્ન 11.
ધારો કે A = N × N અને A પર ક્રિયા *, (a, b) * (c, d) = (a + c, b + a) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે * સમક્રમી છે અને જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે. જો * માટે A માં કોઈ એકમ ઘટક હોય, તો તે શોધો.
ઉત્તરઃ
A = N × N. A પર વ્યાખ્યાયિત ક્રિક્રિયા નીચે મુજબ છે.
(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ∈ A તથા (c, d) ∈ A
(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)
(c, d) * (a, b) = (c + a, d + b)
= (a + c, b + d)
= (a, b) * (c, d)
∴ * એ સમક્રમી છે.
(a, b) ∈ A, (c, d) ∈ A તથા (e, f) ∈ A
[(a, b) * (c, d)] * (e, f)
= (a + c, b + d) * (e, f)
= [a + c + e, b + d + f) ……….(1)
(a, b) * [(c, d) * (e, f)]
= (a + b) * (c + e, d + f)
= (a + c + e, b + d + f) ………..(2)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
[(a, b) * (c, h) * (e, f) = (a, b) * [(c, d) * (e, f)]
∴ * એ જૂથનો નિયમનું પાલન કરે છે.
ધારો કે * માટેનો એકમ ઘટક (p, q) છે.
(a, b) ∈ A
(a, b) * (p, q) = (a, b)
∴ (a + p, b + q) = (a, b)
a + p = a ⇒ p = 0 ∉ N તથા
b + q = b ⇒ p = 0 ∉ N
(p, q) = (0, 0) શક્ય નથી.
∴ * માટેનાં એકમ ઘટકનું અસ્તિત્વ નથી.

પ્રશ્ન 12.
નીચે આપેલાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યપાર્થતા ચકાસો :
(i) ગણ N પરની કોઈપણ દ્વિફક્રિયા * માટે, a * a = a, ∀ a ∈ N.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે. કારણ કે નિક્રિયા * એ બે ઘટકો a અને b વચ્ચે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કારણ કે વિક્રિયા * એ ગન્ન N પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય * : N × N → N હોય છે. * એ બે સંખ્યાઓ વચ્ચેની ક્રિયા હોવાથી તેને ક્રિક્રિયા કહે છે.

(ii) જો * N પર સમક્રમી તિક્રિયા હોય તો a * (b * c) = (c * b) * a.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે. કારણ કે * કિક્રિયા સમક્રમી છે.
⇒ b * c = c * d થાય.
તથા a * (b * c) = a * (c * b)
a * (b * c) = (c * b) * a
(ફરીથી સમક્રમી ગુલધર્મનો ઉપયોગ કરતાં)

પ્રશ્ન 13 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13.
a * b = a³ + b³ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત N પરની દ્રિક્રિયા * ની વિચાર કરો.
(A) * જૂથના નિયમને અનુસરે છે અને સમક્રમી બંને છે ?
(B) * સમક્રમી છે પરંતુ જૂથના નિયમને અનુસરતી નથી ?
(C) * જૂથના નિયમને અનુસરે છે પરંતુ સમક્રમી નથી ?
(D) * સમક્રમી નથી અને જૂથના નિયમને અનુસરતી નથી ?
ઉત્તરઃ
ગણ N પર વ્યાખ્યાયિત કિક્રિયા * માટે, a * b = a³ + b³
a, b ∈ N તથા a * b = a³ + b³
= b³ + a³
= b * a
∴ * એ સમક્રમી છે.
a, b, c ∈ N
a * (b * c) = a * (b³ + c³)
= a³ + (b³ + c³)³ ………..(1)
(a * b) * c = (a³ + b³) * c
= (a³ + b³)³ + c³ ………..(2)
પરિણામ (1) અને (2) ઉપરથી,
a * (b * c) ≠ (a * b) * c
∴ * એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.
આમ, * એ સમક્રમી છે પરંતુ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.
∴ વિક્લ્પ (B) આવે.