GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર

પ્રશ્ન 1.
દૃશ્ય પ્રકાશ શું છે ? તેના અંગેના જુદા-જુદા મતો લખો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતચુંબકીય વર્ઝપટમાંનો 4000 Å શ્રી 8000 Å તરંગલંબાઈવાળો વિસ્તાર દશ્ય પ્રકાશનો છે. પ્રકાશ પોતે અદૃશ્ય છે અને તેની મદદથી વસ્તુઓને જોઈ શકાય છે.

પ્રકાશ અંગેના મતો નીચે મુજબ છે :
(1) ન્યૂટનનો કણવાદ :
ઈ.સ. 1637 માં ૐકાર્ટિસે પ્રકાશ માટેનો કવાદ (Corpuscular) આપ્યો અને સ્નેલનો નિયમ તારવ્યો અને બે માધ્યમોને છૂટી પાડતી સપાટી (આંતરપૃષ્ઠ) આગળ પ્રકાશના પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમો સમજાવ્યા.

• આ કણવાદે એવી આગાહી કરી, કે જો પ્રકાશ કિરણ વક્રીભવન થતાં લંબ તરફ વાંકું વળે તો બીજા માધ્યમમાં તેની ઝડપ વધે છે.
• આ કણવાદના આધારે પ્રકાશની ઝડપ પાતળા માધ્યમમાં ઓછી અને ઘટ્ટ માધ્યમમાં વધારે હોય છે.
• પ્રકાશના આ કણવાદને ન્યૂટનનો ણવાદ માનવામાં આવ્યો.
• આ વાદમાં પ્રકાશ અત્યંત સૂક્ષ્મ કણોનો બનેલો માનવામાં આવે છે.

(2) હાઈગેન્સનો તરંગવાદ :
ઈ.સ. 1678માં ક્રિશ્ચિયન ઈગેન્સે પ્રકાશનો તરંગવાદ આપ્યો.
આ તરંગવાદ, પરાવર્તન અને વક્રીભવનની ઘટના સમજાવી શકે છે અને જો વક્રીભવન દરમિયાન તરંગ લંબ તરફ વાંકું વળે તો બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ ઓછી હશે. જે પ્રકાશના ક્શવાદ દ્વારા થયેલ અનુમાનની વિરુદ્ધ છે.
ઈ.સ. 1850 માં ફોફ્ટે કરેલા પ્રયોગો દ્વારા અનુમાન કર્યું કે પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ એ હવામાંની ઝડપ કરતાં ઓછી હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્રકાશનો ટૂંકો ઇતિહાસ જણાવો.
ઉત્તર:
ન્યૂટનના પ્રભાવના કારણે શરૂઆતમાં એવું માનવામાં આવતું હતું કે તરંગોને પ્રસરવા માટે હંમેશાં માધ્યમની જરૂર પડે છે પણ પ્રકાશ તો શૂન્યાવકાશમાંથી પણ પસાર થતો હતો. તેથી, તરંગવાદ સ્વીકારવામાં આવ્યો ન હતો.
પણ થોમસ અંગે ઈ.સ. 1801 માં વ્યતિકરણના પ્રયોગ પરથી ચોક્કસપણે એવું સ્થાપિત કર્યું કે પ્રકાશ એ તરંગ ઘટના છે.
દશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈ, લાક્ષણિક અરીસા અને લેન્સના પરિમાણની સરખામણીમાં ઘણી નાની હોવાથી પ્રકાશ લગભગ સુરેખામાં ગતિ કરે છે એવું ધારી શકાય છે.

પ્રકાશ વિજ્ઞાનની જે શાખામાં તરંગલંબાઈના પરિમિતિપણાને સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં આવે તેને ભૌમિતિક પ્રકાશશાસ્ત્ર કહે છે.
કિરણને તરંગલંબાઈના શૂન્ય લક્ષના કિસ્સા માટે ઊર્જા પ્રસરાના માર્ગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરાય છે.
પ્રકાશના તરંગવાદને લઈને પ્રકાશ તરંગોના વ્યતિકરણ અને વિવર્તનને સાંકળતા પ્રયોગો સંતોષકારક રીતે સમજાવી શકાયા હતા અને ઓગણીસમી સદીના મધ્યભાગમાં તરંગવાદ સારી રીતે સ્થાપિત થઈ ગયો હતો.

પ્રશ્ન 3.
પ્રકાશનો તરંગવાદ સ્વીકારવામાં કઈ મુશ્કેલી હતી અને તે કોણે અને કઈ રીતે સમજાવી ?
ઉત્તર:

• પ્રકાશના તરંગવાદમાં એક મુશ્કેલી એ હતી કે જો તરંગને તેના પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર પડતી હોય તેમ માનીએ તો પ્રકાશ શૂન્યાવકાશમાં કેવી રીતે પ્રસરી શકે છે ?
• મેક્સવેલે વિદ્યુત અને ચુંબકના નિયમોને રજૂ કરતા સમીકરણોનો સમૂહ આપ્યો અને તેની મદદથી તેણે જે તરંગ સમીકરણ આપ્યું કે જેની મદદથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વનું અનુમાન કર્યું.
• મેક્સવેલે આપેલા ગાણિતિક તરંગ સમીકરણ પરથી તેની ઝડપ ગણતરી કરીને તેના પરથી જણાયું કે પ્રકાશની ઝડપનું મૂલ્ય તેના પ્રાયોગિક મૂલ્યની નજીક હતું.
• આના પરથી તેણે એવી રજૂઆત કરી કે, પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ જ છે.
• આમ, મેક્સવેલના મત મુજબ પ્રકાશ તરંગો એ બદલાતા જતા વિદ્યુત અને ચુંબકીયક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલા છે.
• બદલાતું જતું વિદ્યુતક્ષેત્ર, સમય અને અવકાશીય ચલ સાથે બદલાતું ચુંબકીયક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને બદલાતું જતું ચુંબકીયક્ષેત્ર, સમય અને અવકાશીય યામ સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
• આ બદલાતા જતાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્રોને પરિણામે પ્રકાશના તરંગો શૂન્યાવકાશમાંથી પણ પ્રસરણ પામે છે.

પ્રશ્ન 4.
તરંગઅગ્રની સમજૂતી આપી તેનાં પ્રકારો જણાવો.
ઉત્તર:

• જ્યારે આપણે શાંત જલાગારમાં એક નાના પથ્થરને પડતી મૂકીએ છીએ ત્યારે પથ્થર પડવાના બિંદુ આગળથી પાણીની સપાટી પર તરંગો ઉદ્ભવે છે.
• સપાટી પરનું દરેક બિંદુ સમય સાથે દોલનો કરવાનું શરૂ કરે છે, આથી કોઈ પણ સમયે સપાટી પર પથ્થર પડવાના બિંદુને કેન્દ્ર ગણીને વર્તુળાકાર વલયો દેખાય છે.
• આવા એક વર્તુળાના પરિધ પરના બધા જ બિંદુઓ ઉદ્ગમથી સરખા અંતરે હોવાના કારણે સમાન કળામાં દોલન કરતાં હશે અને સમાન કળામાં દોલન કરતાં બિંદુઓને જોડતાં મળતાં કાલ્પનિક વક્રને તરંગઅગ્ર કહે છે. તરંગઅગ્રને અચળ કળાતફાવત ધરાવતા પૃષ્ઠ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય. તરંગઅગ્ર જે ઝડપથી ઉદ્ગમથી બહાર તરફ ગતિ કરે છે તેને તરંગની ઝડપ કહે છે.
• તરંગની ઊર્જા, તરંગઅગ્રને સંબદિશામાં ગતિ કરે છે.
• તરંગઅગ્નને લંબ અને તરંગની દિશાનું સૂચન કરતી રેખાને કિરણ કહે છે. આમ, તરંગઅગ્ર અને કિરણ લંબરૂપે હોય છે. જો બધીજ દિશામાં સમાન રીતે તરંગો ઉત્સર્જિત કરતું બિંદુત્ ઉદ્ગમ હોય તો, સમાન કંપવિસ્તાર સાથે અને સમાન કળામાં દોલન કરતાં બિંદુઓના સ્થાન ગોળાઓ પર હશે. (ત્રિપરિમાણમાં) જે આકૃતિ (a) માં દર્શાવ્યા મુજબ ગોળાકાર તરંગો મળે છે. આવા તરંગો અપસારી હોય છે.

ઉદ્ગમથી ઘણાં મોટા અંતરે (અતિ દૂર) ગોળાકાર તરંગઅગ્રોના નાના ભાગને સમતલ ગણી શકાય જેને સમતલ તરંગઅગ્રો કહે છે. જે આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ છે.

રેખીય ઉદ્ગમમાંથી ઉદ્ભવતા અને સમાંગ તથા સદિધર્મી માધ્યમમાં પ્રસરતા તરંગોને નળાકાર તરંગઅગ્રો અથવા તરંગો કહે છે. દા.ત. : ટ્યૂબલાઈટમાંથી નીકળતા તરંગો. જે આકૃતિ (c) માં દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 5.
ગોળાકાર તરંગઅગ્રનું પ્રસરણ સમજાવો,
અચવા
હાઈગ્રેન્સનો સિદ્ધાંત લખો અને ગોળાકાર તરંગઅગ્ર માટે સમજાવો.
ઉત્તર:
સિદ્ધાંત : કોઈ પણ તરંગઅગ્ર પરનો દરેક કા કે બિંદુ સ્વતઃ અને સ્વતંત્ર એવા ગૌન્ન ઉદ્ગમ તરીકે વર્તે છે અને પોતાનામાંથી ગોળાકાર ગૌણ તરંગો ઉત્સર્જે છે. સૂક્ષ્મ સમયને અંતે આ ગોળાકાર ગૌા તરંગોને પરિસ્પર્શતું કાલ્પનિક પૃષ્ઠ તે સમયે નવા તરંગઅગ્નના સ્થાન અને સ્વરૂપ દર્શાવે છે.
આમ, મૂળભૂત રીતે હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત એક ભૌમિતિક રચના છે.
ધારો કે, F₁F₂, એ t = ૦ સમયે ગોળાકાર તરંગઅગ્નનો ભાગ દર્શાવે છે જે બહાર તરફ ફેલાતું તરંગ છે.

હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત મુજબ, તરંગઅગ્ર (F₁F₂) પરનું દરેક બિંદુ (A, B, C, …………………) ગૌન્ન ઉદ્ગમ તરીકે વર્તે છે અને જો તરંગનો વેગ v હોય, તો τ સમયમાં તરંગે કાપેલું અંતર vτ છે.
જો દરેક ગૌણ બિંદુઓને કેન્દ્ર તરીકે લઈ vτ જેટલી ત્રિજ્યાના ગૌણ ગોળાકાર તરંગો દોરવામાં આવે અને તેમનો સામાન્ય સ્પર્શક દોરવામાં આવે તો તે t સમય પછીના દૂ સમયે નવા તરંગઅગ્નનું સ્થાન અને સ્વરૂપ આપે છે જે આગળની દિશામાં G₁G₂ છે જે O કેન્દ્રવાળું ગોળાકાર તરંગઅગ્ર છે અને પાછળની દિશામાં D₁D₂, ગોળાકાર તરંગઅગ્ર મળે છે. G₁G₂ પરના બિંદુઓ A’, B’, C’ એ ગૌણ ઉદ્ગમ તરીકે વર્તે છે.

પ્રશ્ન 6.
સમતલ અગ્ર માટે હાઈગ્રેન્સના સિદ્ધાંતની મદદથી τ સમય બાદ નવું તરંગા કેવી રીતે મળે છે તે સમજાવો.

ઉત્તર:

• આકૃતિમાં જમણી બાજુ પ્રસરતા સમતલ તરંગઅગ્ર માટે હાઈગ્રેન્સની ભૌમિતિક રચના t = 0 સમયે સમતલ તરંગઅગ્ર F₁F₂ અને ત્યારબાદના t = τ સમયે તરંગઅગ્ર આગળની દિશામાં G₁G₂ દર્શાવેલ છે.
• અહીં જો તરંગનો વેગ v હોય, તો τ સમયમાં તરંગે કાપેલું અંતર vτ થાય.
• હાઈગ્રેન્સના સિદ્ધાંત અનુસાર F₁F₂ પરના બધા કન્નો જેવાં કે A₁, B₁, C₁, D₂, એ સ્વયં અને સ્વતંત્ર એવા ગૌત્ર હિંદુત્ ઉદ્ગમો તરીકે વર્તે છે અને પોતાની આસપાસ vτ જેટલી ત્રિજ્યાના ગોળાકાર ગૌણ તરંગઅગ્રો ઉત્સર્જિત કરે છે.
  આ બધા ગૌણ તરંગઅગ્રોનો પરિસ્પર્શક દોરતાં તે ૪ સમયે નવા તરંગઅગ્રનું સ્થાન અને સ્વરૂપ આપે છે જે G₁G₂ વડે દર્શાવેલ છે.
• આમ, હવે આ તરંગઅગ્ર પરથી બીજા ત્ત સમયે ફરીથી નવું તરંગઅગ્ર મળે છે અને તરંગ માધ્યમમાં આગળને આગળ પ્રસરે છે.
• રેખાઓ A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, D₁D₂, વગેરે તરંગઅગ્ર F₁F₂ અને G₁G₂ એમ બંનેને લંબ છે જેને પ્રકાશ કિરણ કહે છે.
• તરંગઅગ્રને લંબ અને તરંગના પ્રસરણની દિશાનું સૂચન કરતી રેખાને કિરણ કહે છે.
• હાઈગેમ્સના તરંગવાદનો સૌથી અગત્યનો મુદ્દો એ છે કે તે બધાજ પ્રકારના એટલે કે, ગોળાકાર કે સમતલ તરંગોને લાગુ પાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 7.
હાઈગ્રેન્સના સિદ્ધાંતની મર્યાદા લખો.
ઉત્તર:

• હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત અનુસાર તરંગઅગ્ર પરના બધા કો સ્વયં અને સ્વતંત્ર એવાં ગૌન્ન ઉદ્ગમો તરીકે વર્તે છે અને તેમાંથી નાના નાના ગૌન્ન તરંગઅગ્રો ઉત્સર્જિત કરે છે.
• આવા ગૌણ નાના તરંગોનો આગળની દિશાનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ જ્યારે પાછળની દિશામાં કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.
  આવી અનૌપચારિક ધારણા પરથી હાઈગ્રેન્સ, પાછળની દિશામાં તરંગો કેમ પ્રસરતા નથી તે સમજાવી શક્યો. જે કે,
• આવી અનૌપચારિક ધારણા એ સંતોષકારક નથી.
• આ મર્યાદાની સમજૂતી Voigt અને કિર્ચીફ નામના વૈજ્ઞાનિકોએ આપી અને જણાવ્યું કે ગૌણ તરંગોની તીવ્રતા cos²\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) પદના સમપ્રમાણમાં છે જયાં θ એ તરંગઅગ્રે પ્રસરણ દિશા સાથે બનાવેલ કોણ છે.
• તરંગની પ્રસરણની દિશામાં θ = 0° થાય તેથી પ્રકાશની
• તીવ્રતા cos²\(\frac{\theta}{2}=1+\cos 2\left(\frac{\theta}{2}\right)\) = 1 + cosθ = 1+ cos0° = 2
  થાય જે મહત્તમ છે. જયારે પાછળની દિશામાં θ = π હોવાથી,
• તીવ્રતા cos²\(\frac{\theta}{2}=1+\cos \left\{2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right\}\) = 1+ cosθ = 1+ (-1) = 0
• તેથી તરંગ પ્રસરણની પાછળની દિશામાં પ્રકાશની તીવ્રતા શૂન્ય છે તેથી પાછળની દિશામાં તરંગ પ્રસરતું નથી.

પ્રશ્ન 8.
હાઈગ્રેન્સના સિદ્ધાંતની મદદથી પાતળા માધ્યમમાંથી ઘર માધ્યમમાં સમતલ તરંગનું વક્રીભવન સમજાવો.
ઉત્તર:
તરંગઅગ્રની વિભાવના (હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત) પરથી વક્રીભવનના નિયમો તારવીએ.

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર, ધારો કે માધ્યમ-1 માધ્યમ-2 ને છૂટી પાડતી સપાટી P’ છે.
• અને માધ્યમ-1 અને માધ્યમ-2 માં પ્રકાશની ઝડપ અનુક્રમે v₁ અને v₂ છે તથા v₂ < v₁ છે.
• તથા AA’ દિશામાં પ્રસરતું એક સમતલ તરંગઅગ્ર AB એ બે માધ્યમોની આંતર સપાટી પર i જેટલા કોણે આપાત થાય છે.
• ધારો કે તરંગઅગ્નને BC જેટલું અંતર કાપતાં લાગતો સમય τ છે.
  ∴BC = v₁ τ
• વક્રીભૂત તરંગનો આકાર નક્કી કરવા, બીજા માધ્યમમાં A બિંદુને કેન્દ્ર તરીકે લઈને v₂τ બૂટ જેટલી ત્રિજ્યાનો ગોળો દોરીશું. (બીજા માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ v₂ છે અને ત સમયમાં કાપેલું અંતર v₂τ).
• ધારો કે CE એ તરંગઅગ્ન AB પરના બિંદુઓ જે Pp’ સપાટી પર આવે ત્યારે જે તે બિંદુઓએ દોરેલા ગોળાઓને સ્પર્શતું સમતલ છે જે વક્રીભૂત તરંગઅગ્ર થશે. અહીં AE = v₂τ છે.
• ΔABC અને ΔAEC માં,
  sin i = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_1 \tau}{\mathrm{AC}} \) ……………………………. (1) અને
  sin r = \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_2 \tau}{\mathrm{AC}} \) ……………………………….. (2)
• જયાં i અને r એ અનુક્રમે આપાતકોણ અને વક્રીભૂતકોન્ન છે.
  ∴ સમીકરણ (1) અને સમીકરન્ન (2) નો ગુણોત્તર લેતાં,
  \(\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2} \) ………………………………… (3)
• આ સમીકરણ પરથી એક અગત્યનું પરિણામ મળે છે કે, જો r < i (એટલે વક્રીભૂત કિરણ લંબ તરફ વળે તો, \(\frac{\sin i}{\sin r}\) > 1 [ ∵ પ્રથમ ચરણમાં i વધતું વિધેય છે]
  ∴ \(\frac{v_1}{v_2} \) > 1
  ⇒ v₁ > v₂
• એટલે માધ્યમ-1માં પ્રકાશની ઝડપ કરતાં માધ્યમ-2 માં પ્રકાશની ઝડપ ઓછી છે, જે પ્રકાશના કણવાદના અનુમાન કરતાં વિરુદ્ધ છે પણ તરંગવાદ મુજબ મળેલ અનુમાન પ્રમાણે છે.
• ધારો કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ હોય તો, નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંક n₁ = \(\frac{c}{v_1} \) જ્યાં. માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ v₁ છે. અને n₂ = \(\frac{c}{v_2}\) જ્યાં માધ્યમ-2 માં પ્રકાશની ઝડપ v₂ છે.
  ∴ \(\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}\) ……………………………….. (4)

સમીકરણ (3) અને (4) પરથી,
\(\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}\)
∴ n₁sin i = n₂sin r જે સ્નેલનો નિયમ છે,
વધુ માહિતી માટે :
ઝડપ
v = \(\frac{\lambda}{t}\)
∴ vt = λ
∴ v₁τ = λ₁ અને v₂τ = λ₂
∴ \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{v_1}{v_2}\)
અથવા \(\frac{v_1}{\lambda_1}=\frac{v_2}{\lambda_2}\)
આ સંબંધ દર્શાવે છે કે જયારે તરંગ ઘટ્ટ માધ્યમમાં (v₁ > v₂ ) વક્રીભૂત થાય છે ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ λ અને ઝડપ ઘટે છે પણ આવૃત્તિ અચળ રહે છે.

પ્રશ્ન 9.
હાઈગ્રેન્સના સિદ્ધાંતની મદદથી ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં સમતલ તરંગનું વક્રીભવન સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ v₁ અને પાતળા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ v₂ છે અને v₂ > v₁ છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતાં વક્રીભવન થાય ત્યારે વક્રીભૂતકિરણ લંબથી દૂર જાય છે.
ચોક્કસ આપાતકોણે વક્રીભૂતકોણ 90° બને છે. જેને ક્રાંતિકોણ i_c કહે છે.
સ્નેલના નિયમ પરથી,
n₁sini = n₂sin r
જો i = i_c、 હોય તો r = 90° તેથી sin 90° = 1
∴ sin i_c = \(\frac{n_2}{n_1}\)
ક્રાંતિકોણથી મોટા બધા જ આપાતકોશો માટે આપણને કોઈ વક્રીભૂતકિરણ મળશે નહીં અને તરંગનું પૂર્ણ આંતરિક
પરાવર્તન થશે.
પાતળા માધ્યમ કે જેના માટે v₂ > v₁ તેના પર આપાત સમતલનું વક્રીભવન સમતલ તરંગ લંબથી દૂર વાંકું વળે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 10.
હાઈગ્રેન્સના સિદ્ધાંતની મદદથી સમતલ તરંગનું પરાવર્તન સમજાવો. (ઑગસ્ટ 2020)
ઉત્તર:
એક સમતલ પરાવર્તક સપાટી MN પર i કોણે આપાત થતા સમતલ તરંગઅગ્ર AB ને ધ્યાનમાં લો.
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ v અને તરંગઅગ્નને બિંદુ B થી C સુધી આગળ ખસવા માટે લાગતો સમય τ છે.
∴ BC = vτ

આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરાવર્તક સપાટી MN પર આપાત થતું સમતલ તરંગ AB છે અને તેનું પરાવર્તિત તરંગઅગ્ર CE છે, આકૃતિમાં ΔEAC અને ΔBAC સમરૂપ ત્રિકોણો છે, (કા, ક, બા)
અહીં, AE = BC = vτ
∠AEC = ∠ABC
નયા AC = AC
તેથી ∠BAC = ∠ECA
∴ i = r જે પરાવર્તનનો નિયમ છે.

પ્રશ્ન 11.
પાતળા પ્રિઝમથી સમતલ તરંગનું વક્રીભવન સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં કોઈ એક ક્ષણે પ્રિઝમ પર આપાત થતું સમાંતર કિરણજૂથ અને તેને અનુરૂપ એક સમતલ તરંગઅગ્ન A₁B₁ દર્શાવ્યું છે. A₁B₁ એ કિરણોને લંબરૂપે છે અને નિર્ગમન કિરણ જૂથના તરંગઅગ્ર A₂B₂ ને વર્ડ દર્શાવ્યું છે.
અહીં B₁ થી B₂ સુધીના માર્ગની લંબાઈ A₁ થી A₂ સુધીના માર્ગની લંબાઈ કરતાં વધારે છે.
વાસ્તવમાં પ્રિઝમમાં A₁ થી A₂ સુધીનો માર્ગ B₁‘ થી B₂‘ સુધીના માર્ગ કરતાં મોટો છે.
પ્રિઝમમાં પ્રકાશનો વેગ, હવામાંના વેગ કરતાં ઓછો છે તેથી પ્રકાશને A₁ થી A₂ સુધી જતાં વધારે સમય લાગે છે. પરિણામે A₂ બિંદુ B₂ ની સરખામન્નીએ પાછળ રહી જાય છે. તેથી નિર્ગમન તરંગઅગ્ન થોડું નમેલું હોય છે.

પ્રશ્ન 12.
પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સથી એક સમતલ તરંગઅગ્રનું વીભવન સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં એક પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થતાં પ્રકાશના સમાંતર કિરણ જૂથનું સમતલ તરંગઅગ્રXY દર્શાવ્યું છે અને પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી વક્રીભવન અનુભવીને બહાર આવતાં કિરણો દ્વિતીય મુખ્યકેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલાં દર્શાવ્યા છે.
આ કિરણોને અનુરૂપ તરંગઅગ્રો દોરવા માટે દ્વિતીય મુખ્યકેન્દ્રને કેન્દ્ર તરીકે સ્વીકારીને વર્તુળો દોરવા જોઈએ. આવા વર્તુળોની એક ચાપ X’Y’ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે.
આ ચાપ અમુક ક્ષણે વક્રીભૂત કિરણોને અનુરૂપ તરંગઅગ્ર છે. અહીં A થી હૂ તથા C થી ” સુધીનાં અંતરો B થી B અંતર કરતાં વધારે છે. તેથી પ્રકાશને B થી ò સુધી જતાં લેન્સમાં વધુ અંતર કાપવું પડે છે અને લેન્સના દ્રવ્યમાં પ્રકાશનો વેગ ઓછો હોય છે. તેથી તરંગઅગ્ર પરનું Þ બિંદુ a અને cની સરખામણીમાં પાછળ રહી જાય છે.

પ્રશ્ન 13.
અંતર્ગોળ અરીસાથી સમતલ તરંગઅગ્રનું પરાવર્તન સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં અંતર્ગોળ અરીસા પર આપાત થતાં સમાંતર કિરણો અને પરાવર્તન અનુભવ્યા બાદ મુખ્યકેન્દ્ર F પાસે કેન્દ્રિત થતાં કિરણો દર્શાવ્યા છે. આ આપાત કિરણોનું તરંગઅગ્ન XY અને પરાવર્તિત કિરણોનું તરંગનગ્ન XY’ પણ આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે. અહીં પરાવર્તિત કિરણોને અનુરૂપ બિંદુ b એક બિંદુ હૂ અને c ની સરખામણીમાં પાછળ રહી જાય છે.
કારણ કે અરીસાના ધ્રુવ O પર આવતાં કિરણને અરીસાના ઇંડા પાસેથી પરાવર્તન પામતાં કિરણો કરતાં વધારે અંતર કાપવું પડે છે. અર્થાત્ O પાસેથી થોડુંક મોડું પરાવર્તન થાય
છે અને તેથી b બિંદુ પરાવર્તિત તરંગમ પરનાં બીજા બિંદુઓ કરતાં પાછળ રહી જાય છે. આ જ રીતે અંતર્ગોળ લેન્સ અને બહિર્ગોળ અરીસાથી સમતલ તરંગઅગ્નનું પરાવર્તન સમજાવી શકાય.

પ્રશ્ન 14.
પ્રકાશ માટે ડૉપ્ટર અસર કોને કહેવાય અને ડૉપ્ટર શિફ્ટનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
જ્યારે પ્રકાશનું ઉદ્ગમ અને અવલોકનકાર એકબીજાની સાપેક્ષે ગતિમાં હોય ત્યારે ઉદ્ગમ દ્વારા ઉત્સર્જાતા પ્રકાશની આવૃત્તિ કરતાં અવલોકનકારે માપેલી પ્રકાશની આવૃત્તિ જુદી હોય છે. જેને પ્રકાશ માટેની ડોપ્લર અસર કરે છે.

ઉદાહરણ : જયારે માધ્યમની ગેરહાજરી હોય અને ઉદ્ગમ, અવલોકનકારથી દૂર જતો હઔય ત્યારે ક્રમશઃ (મોડા) આવતાં તરંગઅગ્રોને અવલોકનકાર સુધી પહોંચતા બે ક્રમિક તરંગઅગ્નો વચ્ચેનો સમયગાળો ઉદ્ગમની આગળ જ (તદ્ન નજીક) લાવતા સમયગાળા કરતાં વધારે હશે.

આમ, જ્યારે ઉદ્ગમ, અવલોકનકારથી દૂર જતું હોય છે ત્યારે મપાયેલ આવૃત્તિ નાની હશે. આ ઘટનાને ડોપ્લર અસર કરે છે.
ડૉપ્ટર અસરને કારણે તરંગલંબાઈનો વધારો, જો વર્ણપટના મધ્યમાન ભાગની તરંગલંબાઈ, વર્ણપટના રાતા રંગ તરફ ખસતી હોય, તો તેને રેડ શિફ્ટ (Red Shift) કહે છે. જ્યારે અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતાં ઉદ્ગમમાંથી ઉત્સર્જિત તરંગોમાં વર્ણપટના મધ્યભાગની તરંગલંબાઈમાં ઘટાડાના કારણે બ્લુ રંગ તરફ ખસતી હોય, તો તેને Blue Shift કહે છે. દેશ્ય પ્રકાશના કિસ્સામાં ઉદ્ગમ

અવલોકનકારની નજીક આવે તો આવૃત્તિ વધે છે અને દૂર જાય ત્યારે આવૃત્તિ ઘટે છે.
બીજી રીતે : દશ્ય પ્રકાશના કિસ્સામાં આવૃત્તિ ઘટે એટલે કે, પ્રકાશની આવૃત્તિ રાતા રંગના પ્રકાશ તરફ ખસતી હોય તો તે ઘટનાને રેડ શિફ્ટ કર્યુ છે અને જો પ્રકાશની આવૃત્તિ વધે તો, તે વાદળી પ્રકાશ તરફ ખસતી હોય તો તે ઘટનાને બ્લૂ શિફ્ટ કહે છે. ધ્વનિ માટેની ડોપ્લર અસર માટેનું વ્યાપક સમીકરણ,\(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{L}}}{v+v_{\mathrm{L}}}=\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{S}}}{v+v_{\mathrm{S}}} \)
જ્યાં V_L અને Vs એ અનુક્રમે અવલોકનકાર દ્વારા અનુભવાતી અને ઉદ્ગમ દ્વારા ઉત્સર્જાતા ધ્વનિની આવૃત્તિ છે.
v = ધ્વનિનો વેગ
v_L = અવલોકનકારનો વેગ
Vs = ઉદ્ગમનો વેગ, અવલોકનકારની સાપેક્ષે અવલોકનકાર અને ઉદ્ગમને જોડતી રેખાની દિશામાંનો ઘટક છે.
પ્રકાશના કિસ્સામાં ધ્વનિના વેગ v ના બદલે પ્રકાશનો વેગ અને ઉદ્ગમની આવૃત્તિ v_s તથા અવલોકનકારે માપેલી આવૃત્તિ v_L હોય તો,
\(\frac{v_{\mathrm{L}}}{c+v_{\mathrm{L}}}=\frac{v_{\mathrm{S}}}{c+v_{\mathrm{S}}} \) [v_s ને ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક પણ કહેવાય]
∴ \(\frac{v_{\mathrm{L}}}{v_{\mathrm{S}}}=\frac{c+v_{\mathrm{L}}}{c+v_{\mathrm{S}}}\)

પણ અવલોકનકાર સ્થિર ધારીએ તો, v_L = 0
∴ \(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{S}}}=\frac{c}{c+v_{\mathrm{S}}}\)
∴ આવૃત્તિમાં આંશિક ફેરફાર

[∵ છેદમાં c ની સરખામણીએ v_S ને અવગણાતાં]
∴ Δv = \(-\frac{v_{\mathrm{S}}}{c} \times v_{\mathrm{S}}\) જે ડૉપ્લરની શિફ્ટનું સૂત્ર છે.
જ્યારે ઉદ્ગમ અવલોકનકારથી દૂર ખસતો હોય ત્યારે v_S ને ધન ગણવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર જ્યારે ઉદ્ગમની ઝડપ પ્રકાશની સરખામણીમાં ઓછી હોય ત્યારે જ સત્ય છે.
આની મદદથી અવકાશીય પદાર્થોની ગતિની દિશા જાણી શકાય છે.

પ્રશ્ન 15.
સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત લખો અને વ્યતિકરણ એટલે શું ? તેનાં પ્રકારો લખો.
ઉત્તર:
જ્યારે માધ્યમનાં કોઈ ચોક્કસ બિંદુ આગળ બે કે બે કરતાં વધારે તરંગો સંપાત થાય છે ત્યારે સંપાતપણાના સિદ્ધાંત અનુસાર તે ક્લનું સ્થાનાંતર તે દરેક તરંગ વડે ઉદ્ભવતા સ્વતંત્ર સ્થાનાંતરના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે.
માધ્યમના કોઈ ચોક્કસ બિંદુ આગળ બે કે બે કરતાં વધારે તરંગોના સંપાતીકરણને લીધે ઉદ્ભવતી ભૌતિક અસરોને વ્યતિકરણ કરે છે.

વ્યતિકરણના બે પ્રકાર છે:

1. સહાયક વ્યતિકરણ : જયારે એક તરંગના શૃંગ પર બીજા તરંગનું શૃંગ અથવા એક તરંગના ગર્ભ પર બીજા તરંગનું ગર્ત સંપાત થાય તો તેવાં વ્યતિકરણને સહાયક વ્યતિકરણ કહે છે.
2. વિનાશક વ્યતિકરણ : જ્યારે એક તરંગના શૃંગ પર બીજા તરંગનું ગર્ત અથવા એક તરંગના ગર્ત પર બીજા તરંગનું શૃંગ સંપાત થાય તો તેવાં વ્યતિકરણને વિનાશક વ્યતિકરણ કહે છે.

પ્રશ્ન 16.
શાંત પાણીમાં રચાતા તરંગો માટે સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિ (a) માં પાણીમાં એકબીજા સાથે કળામાં દોલન કરતી બે સોયો બે સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમોને રજૂ કરે છે.
પાણી ભરેલાં છીછરા પાત્રમાં પાણીની સપાટીને અડકે તેમ બે સોય S₁ અને S₂ ઉપર- નીચેની દિશામાં સમાન રીતે આવર્તગતિ કરે છે અને પાણીમાં બે તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.
દરેક તરંગને કારણે ઉત્પન્ન થતાં સ્થાનાંતરો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાતો નથી તેથી બંને ઉદ્ગમો સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો કહેવાય છે.

આકૃતિ (b) માં આપેલ ક્ષણે, પાણીની સપાટી પર પાક્કીના અણુઓ દ્વારા રચાતી ભાત દર્શાવી છે. જેમાં શૃંગના સ્થાનોને સળંગ વર્તુળો અને ગર્તના સ્થાનોને ત્રુટક વર્તુળો વડે દર્શાવેલ છે. હવે આકૃતિ (a) અનુસાર કોઈ બિંદુ Pનો વિચાર કરો કે જેના માટે S₁P = S₂P એટલે કે S₁ અને S₂ થી P બિંદુ સમાન અંતરે છે.

આથી ઉદ્ગમો S₁ અને S₂ માંથી સમાન કળામાં ઉત્પન્ન થતાં તરંગો બિંદુ P આગળ પણ સમાન કળામાં જ પહોંચશે.
જો_P બિંદુ પાસે S₁ ઉદ્ગમ દ્વારા સ્થાનાંતર
y₁ = acosωt વડે આપી શકાય.
અને P બિંદુ પાસે S₂ ઉદ્ગમ દ્વારા સ્થાનાંતર
y₂ = acosωt વડે આપી શકાય.
જ્યાં a = કંપવિસ્તાર સંપાતપન્નાના સિદ્ધાંત અનુસાર P પાસે પરિણામી સ્થાનાંતર
y = y₁ + y₂ = acosωt + acosωt
∴ y = 2acosωt

હવે પ્રકાશની તીવ્રતા કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે.
∴ દરેક સ્વતંત્ર ઉદ્ગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત તીવ્રતા I₀ હોય, તો I₀ ∝ (કંપવિસ્તાર)²
∴ I₀ ∝ a²
∴ P પાસે બંને તરંગોના સંપાતીકરણના લીધે પરિણામી તીવ્રતા, I ∝ (2a)²
જ્યાં કંપવિસ્તાર = 2a
∴ \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}_0}=\frac{4 a^2}{a^2}\)
∴ I = 4I₀ (સહાયક વ્યતિકરણ માટે)

અને વિનાશક વ્યતિકરણ માટે પરિણામી સ્થાનાંતર,
y = y₁ – y₂ = acsosωt – acosωt
∴ y = 0
∴ P પાસે પરિણામી તીવ્રતા શૂન્ય મળશે. (વિનાશક વ્યતિકરણ)

પ્રશ્ન 17.
સહાયક વ્યતિકરણ અને વિનાશક વ્યક્તિકરણની શરતો મેળવો.
ઉત્તર:
સહાયક વ્યતિકરણ :

આકૃતિ (a) માં દર્શાવ્યા અનુસાર ધારો કે, S₁Q = 7λ અને S₂Q = 9λ અંતરે છ્ બિંદુ છે.
∴ S₂Q – S₁Q = 9λ – 7λ = 2λ
આમ,S₁ માંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગો, S₂ માંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગો કરતાં બે આવર્ત ચક્ર વહેલા પહોંચશે. તેથી એક્બીજા સાથે કળામાં હશે.
આથી S₁ ઉદ્ગમમાંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગનું સ્થાનાંતર, y₁ = acosωt વડે આપી શકાય તો S₂ ઉદ્ગમમાંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગનું સ્થાનંતર,
y₂ = acos(ωt – 4π)
[ ∵2λપથતફાવત = 4π કળાતફાવત] [∵ λ= 2π]
∴ y₂ = acosωt [∵ cos(θ – 4π) = cosθ
આથી, બંને તરંગો એકબીજા સાથે કળામાં હશે.

અહીં S₁ અને S₂ વચ્ચેના અંતર d ની સરખામણીમાં S₁Q અને S₂Q સમાન નથી પણ દરેક ઉદ્ગમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતાં સ્થાનાંતરનો કંપવિસ્તાર લગભગ સમાન છે.
આથી સહાયક વ્યતિકરણ રચાતાં બિંદુ આગળ પ્રકાશની તીવ્રતા 4I₀ મળે. જ્યાં I₀ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે.
અહીં થતઠાવત
S₂Q – S₁Q = nλ [જ્યાં, n = 0, 1, 2, 3,…,]
સહાયક વ્યતિકરણની શરત ઃ એટલે કે જો કોઈ બિંદુ પાસે સંપાત થતાં તરંગો વચ્ચે પથતફાવત S₂Q – S₁Q = nλ હોય, જ્યાં n = 0, 1, 2, 3, … તો તે બિંદુ પાસે પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ (4I₀) મળે અને સહાયક વ્યતિકરણ રચાય. હવે આપણે જાણીએ છીએ કે λ પથતફાવત = 2π રેડિયન .
∴ જો કોઈ બિંદુ પાસે સંપાત થતાં તરંગો વચ્ચેનો કળાતફાવત 2nπ મળે જ્યાં n = 0, 1, 2, 3, … તો તે બિંદુ પાસે તીવ્રતા મહત્તમ મળે અને સહાયક વ્યતિકરણ રચાય.

હવે,

આકૃતિ (b) માં દર્શાવ્યા અનુસાર ધારો કે S₁R = 9.75λ અને
S₂R = 7.25λ છે.
∴S₁R – S₂R = 9.75λ – 7.25λ = 2.5λ
આમ, ઉદ્ગમ S₁ માંથી ઉત્પન્ન થયેલા તરંગો, S₂ માંથી ઉત્પન્ન થયેલાં તરંગો કરતાં 2.5 આવર્ત ચક્ર જેટલા મોડા પહોંચે છે.
S₁ માંથી ઉત્પન્ન થયેલા તરંગનું સ્થાનાંતર
y₁ = acosωt અને S₂ માંથી ઉત્પન્ન થયેલાં તરંગનું સ્થાનાંતર,
y₂ = acos(ωt + 5π) [∵ 2.5λ = 5π rad]
∴ y₂ = – acosωt [જયાં cos{(2n + π) + θ} = – cosθ]

આ બંને તરંગોના સ્થાનાંતરો એક્બીજાથી વિરુદ્ધ કળામાં છે તેથી પરિજ્ઞામી સ્થાનાંતર શૂન્ય થશે અને તીવ્રતા શૂન્ય મળશે. જેને વિનાશક વ્યતિકરણ કહે છે.
આથી S₁ અને S₂ ઉદ્ગમો આગળથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગોનો R બિંદુ પાસે પથતફાવત,
S₁R ≈ S₂R = \(\left(n+\frac{1}{2}\right) \lambda\) જયાં n = 0, 1, 2, 3, , અને
λ પથતફાવત = 2π કળાતફાવત હોવાથી,
S₁R ≈ S₂R = (2n + 1)π જ્યાં n = 0, 1, 2, 3,
વિનાશક વ્યતિકરણની શરતો : જો કોઈ બિંદુ પાસે સંપાત થતાં તરંગો વચ્ચે પથતફાવત \((2 n+1) \frac{\lambda}{2} \) હોય કે

જ્યાં n = 0, 1, 2, 3, …. હોય, તો તે બિંદુ પાસે પ્રકાશની તીવ્રતા શૂન્ય મળે છે. એને વિનાશક વ્યતિકરણ કહે છે.
જો કોઈ બિંદુ પાસે સંપાત થતાં તરંગોનો કળાતફાવત \(\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi\) અથવા {(2n+1)π} હોય, જ્યાં n = 0, 1, 2, 3,…. તો તે બિંદુ પાસે પ્રકાશની તીવ્રતા શૂન્ય મળે છે અને તેને વિનાશક વ્યતિકરણ કહે છે.

પ્રશ્ન 18.
જો બે ઉદ્ગમોથી કોઈ બિંદુ પાસે તફાવત Φ હોય, તો તે બિંદુ પાસેની તીવ્રતાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર બિંદુ G ધારો અને આ બિંદુએ સ્થાનાંતરનો કળાતફાવત Φ છે.
જો S₁ દ્વારા ઉત્પન્ન થતાં તરંગનું G પાસે સ્થાનાંતર y = acosωt વડે અપાય તો S₂ દ્વારા ઉત્પન્ન થતાં તરંગનું G પાસે સ્થાનાંતર y₁ = acos(ωt+ Φ) વડે અપાય છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત અનુસાર પરિણામી સ્થાનાંતર,

પરિણામી સ્થાનાંતરનો કંપવિસ્તાર = \(2 a \cos \left(\frac{\phi}{2}\right)\) સને G બિંદુ પાસે તીવ્રતા, I ∝4a²cos²\(\frac{\phi}{2}\)
I = 4I₀cos²\(\frac{\phi}{2}\)
આ સમીકરણ પળાય તો, G બિંદુ પાસે સહાયક વ્યતિકરક્ષ રચાય તેથી પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ મળે.
આ સમીકરણ પરથી મહત્તમ તીવ્રતા માટે હું Φ= 0, ± 2π, ± 4π વડે Φ ના મૂલ્યો હોય, તો સહાયક વ્યતિકરણ રચાય અને તીવ્રતા મહત્તમ મળે.
આ સમીકરણથી ઊલટું જો G બિંદુ પાસે હું Φ = +π, ± 3π, ±5π … વડે હું ના મૂલ્યો હોય, તો વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય અને તીવ્રતા ન્યૂનતમ (શૂન્ય) મળે.

પ્રશ્ન 19.
સુસંબદ્ધ અને અસુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો સમજાવીને તેમાંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગોના સંપાત બિંદુ આગળની તીવ્રતા સમજાવો.
ઉત્તર:

• જો બંને ઉદ્ગમો સમાન કળામાં દોલન કરતાં હોય અથવા તેમના દોલનની કળાનો તફાવત સમય સાથે અચળ રહેતો હોય, તો તેવાં ઉદ્ગમોને સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો કહે છે.
• વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈ પણ બિંદુ પાસે તીવ્રતા સમય સાથે બદલાતી ન હોય તો તેવાં વ્યતિકરણને સ્થિત (સ્થિર) વ્યતિકરણ કરે છે.
• સ્થિત વ્યતિકરણ માટે બે ઉદ્ગમો સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ અને કંપવિસ્તાર પણ સમાન હોવી જોઈએ.
• સ્થિત વ્યતિકરામાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમના સ્થાન સમય સાથે બદલાશે નહીં.
• જ્યારે બે દોલન કરતા ઉદ્ગમો વચ્ચેનો કળાતફાવત સમય સાથે બહુ ઝડપથી બદલાતો હોય ત્યારે આવા ઉદ્ગમોને અસુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો કહે છે.
• જ્યારે અસુસંબદ્ધ ઉદ્દ્ગોમાંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગોના સંપાતીકરણના લીધે ફક્ત પ્રકાશની તીવ્રતાઓ એક્બીજામાં ઉમેરાય છે. તેથી બે અલગ પ્રકાશ ઉદ્ગમો દીવાલને પ્રકાશિત કરે છે.
• જે બે ઉદ્ગમોનો પથતફાવત અચળ ન રહે ત્યારે વ્યતિકરણ ભાત પણ સમય સાથે બદલાશે. જે પથતફાવત સમય સાથે ખૂબ જ ઝડપથી બદલાતો જતો હોય તો મહત્તમ અને લઘુતમનાં સ્થાનો પણ સમય સાથે ઝડપથી બદલાશે અને આપણને તીવ્રતાની સરેરાશ વહેંચણી સમય સાથે જોવા મળશે.

આ સરેરાશ તીવ્રતા,
= 4I₀ < cos²\(\frac{\phi}{2}\) > વર્ડ અપાય છે.
“જ્યાં < cos²\(\frac{\phi}{2}\) > એ સમય પરનું સરેરાશ પદ સૂચવે છે.
જો Φ(t) એ સમય સાથે અસ્તવ્યસ્ત રીતે બદલાતું હોય તો સમય પરનું સરેરાશ પદ < cos²\(\frac{\phi}{2}\) > = \(\frac{1}{2} \) = જેટલું મળે અને આ બધા જ બિંદુઓ પાસે પરિણામી તીવ્રતા,
I = 4I₀ < cos²\(\frac{\phi}{2}\) >
= 4I₀ ×\(\frac{1}{2} \)
∴ I = 2I₀ મળે.

પ્રશ્ન 20.
“બે લૅમ્પનો ઉપયોગ કરી બે નાના છિદ્રોને પ્રકાશિત કરીએ તો વ્યતિકરણ શલાકાઓ જોવા મળશે નહીં.” સમજાવો.
ઉત્તર:
એક પૂંઠામાં નજીક બે નાના છિદ્રો પાડીને તે છિદ્રોને બે સોડિયમ લેમ્પથી પ્રકાશિત કરીએ અને તેની પાછળ પડદો રાખીએ તો આપણને શ્રૃતિકરણના પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત બિંદુઓ જોવા મળશે નહીં જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિમાં બે સોડિયમ લૅમ્પો, બે છિદ્રો S₁ અને S₂ ને પ્રકાશિત કરે, તો તીવ્રતાનો સરવાળો થાય છે અને પડદા પર વ્યતિકરણ બિંદુઓ જોવા મળશે નહીં.
કારણ કે, સોડિયમ લૅમ્પમાંથી ઉત્સર્જિત પ્રકાશતરંગ 10^–9 સેકન્ડના સમયગાળામાં કળાતફાવત અનુભવતા હોય છે. તેથી બે સ્વતંત્ર ઉદ્ગમોમાંથી આવતા પ્રકાશતરંગો માટે કોઈ ચોક્કસ કળા સંબંધ જળવાતો નથી. તેથી આ ઉદ્ગમો અસુસંબદ્ધ છે.
અને અસુસંબદ્ધ ઉદ્ગમાંથી પડદા પર તીવ્રતા એકબીજામાં ઉમેરાશે તેથી પડદો માત્ર પ્રકાશિત દેખાય છે.

પ્રશ્ન 21.
સ્થિત વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા માટેની યંગના પ્રયોગની ગોઠવણી અને પ્રયોગની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
બ્રિટિશ ભૌતિકવિજ્ઞાની થોમસ યંગે તરંગઅગ્નના વિભાજન વડે પ્રકાશના સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો મેળવવાની ખાસ યુક્તિપૂર્વકની યોજના કરીને પ્રકાશના સ્થિત વ્યતિકરણનું નિર્દેશન કર્યું. યંગના પ્રયોગની ગોઠવણી આકૃતિ (a) માં દર્શાવી છે.

S = પડદા A પરનું બારીક છિદ્ર છે. S₁, S₂ = પડદા A ને સમાંતર રહેલા, પડદા B પરના S₁ અને S₂ બે સૂક્ષ્મ છિદ્રો છે અને SS₁ = SS₂ અંતરો છે, છિદ્ર S₁ અને S₂ વચ્ચેનું અંતર (mm ક્રમનું) ઓછું છે.
C = પડદા B ને સમાંતર અને તેનાથી D મીટરના ક્રમના અંતરે પડદો છે.
છિદ્ર S ને એક તેજસ્વી પ્રકાશના ઉદ્ગમથી પ્રકાશિત કરતાં તેમાંથી ગોળાકાર તરંગો મળે છે જે S₁ અને S₂ પર આપાત થાય છે. SS₁ અને SS₂ અંતર સમાન હોવાથી તેઓ સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમોની જેમ વર્તે છે,
કારણ કે, S₁ અને S₂ માંથી બહાર આવતાં પ્રકાશતરંગો એક જ ઉદ્ગમમાંથી મેળવેલા છે અને કોઈ પ્રકારનો ત્વરિત કળાતફાવત એ S₁ અને S₂ માંથી બહાર નીકળતા તરંગમાં તેટલો જ (એકસરખો) કળાતફાવત હશે.
આમ, ક્શા સંદર્ભમાં બે ઉદ્ગમો S₁ અને S₂ Lock થઈ ગયાં છે. એટલે કે, તેઓ બે સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો બનશે.

પ્રશ્ન 22.
રંગના બે સ્લિટના પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈ બિંદુ પાસે પથતફાવતનું સૂત્ર x, d અને D ના પદમાં મેળવો. (માર્ચ 2020)
ઉત્તર:

સ્લિટ S માં ઉદ્ભવતાં તરંગમો પૈકી એક તરંગઅગ્ર સ્લિો S₁ અને S₂ પર એક જ સમયે આપાત થાય છે તેથી S₁ અને S₂ બંને સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો તરીકે વર્તે છે.
ધારો કે, S₁ અને S₂ વચ્ચેનું અંતર તુ છે જે mm ના ક્રમનું છે અને S₁S₂ ના લંબદ્ધિભાજક પર તેનાથી D અંતરે GG’ પડદો મૂકેલો છે. D એ મીટરના ક્રમનું છે.
આ પડદા પર P બિંદુએ વ્યતિકરણ મળે છે S₁ અને S₂ ના પથતફાવતના આધારે P પાસે પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ કે ન્યૂનતમ મળે છે. ધારો કે, OP = x છે.

S₁M ⊥ GG’ અને S₂N ⊥ GG’ દોરો. તેથી S₁M = D
અને PM = x – \(\frac{d}{2} \) થાય તથા S₂N = D અને
PN = x+\(\frac{d}{2} \) થાય.
∆ PMS₁ પરથી,
S₁P² = S₁M² +PM²
= D² + \(\left(x-\frac{d}{2}\right)^2\) ……………………….. (1)
અને ∆PNS₂ પરથી,

પણ x અને તે એ D કરતાં ઘણાં નાના હોવાથી S₁P = S₂P = D લઈ શકાય.
∴ (S₂P – S₁P) (D+D) = 2xd
∴ S₂P – S₁P = \(\frac{2 x d}{2 D}\)
∴ S₂P – S₁P = \(\frac{x d}{\mathrm{D}}\)
આમ, S₁ અને S₂ નો Pઆગળ પથતફાવત = \(\frac{x d}{\mathrm{D}}\)
જો S₂P – S₁P (પથતફાવત) = nλ જ્યાં n = 0, 1, 2, . હોય તો P બિંદુ આગળ પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ (સહાયક વ્યતિકરણ) મળશે.
તેથી nλ = \(\frac{x_n d}{\mathrm{D}}\)
x અથવા X_n = \(\frac{n \lambda \mathrm{D}}{d}\) જયાં n = 0, ± 1, ± 2, nમાં ક્રમનું સહાયક વ્યતિકરણ મળશે.

જો S₂P – S₁P (પથતફાવત) = \(\left(n+\frac{1}{2}\right) \lambda \)
∴ \(\frac{x_n d}{\mathrm{D}}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \lambda \)
∴ x_n = \(\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda \mathrm{D}}{d} \)
પાસે જયાં n = 0, + 1, ± 2, ………………. , હોય, તો P બિંદુ આગળ પ્રકાશની તીવ્રતા ન્યૂનતમ (શૂન્ય) મળશે અને વિનાશક વ્યતિકરણ મળશે.

પ્રકાશિત શલાકાનું મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાના મધ્યબિંદુથી અંતરે છે. પણ શૂન્યક્રમનું ન્યૂનતમ ન મળે તેથી વિનાશક વ્યતિકરણનું સૂત્ર \(\left(n-\frac{1}{2}\right) \lambda\) જયાં n = 0, + 1, ± 2, ………………. ,

પ્રશ્ન 23.
સંગના પ્રયોગમાં બે ક્રમિક પ્રકાશિત કે અપ્રકાશિત શલાકાનું આંતરનું સૂત્ર મેળવો. (માર્ચ 2020)
ઉત્તર:
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત) શલાકા માટે, \(x_n=\frac{n \lambda \mathrm{D}}{d} \) જે ‘n’ માં ક્રમની પ્રકાશિત શલાકા.
હવે (n + 1) માં ક્રમની પ્રકાશિત શલાકા માટે,
x_n+1 = \(\frac{(n+1) \lambda \mathrm{D}}{d}\)
બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર,
x_n+1 – x_n = \(\frac{(n+1) \lambda \mathrm{D}}{d}-\frac{n \lambda \mathrm{D}}{d} \)
= \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d}[n+1-n]\)
∴ β = \(\frac{\lambda \mathrm{D}}{d} \) જયાં x_n+1 – x_n = બે ક્રમિક શલાકા વચ્ચેનું અંતર β છે.
હવે વિનાશક અતિકરણ શલાકા માટે,

આમ, બે ક્રમિક પ્રકાશિત કે બે ક્રમિક અપ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર (β) સમાન છે. જે શલાકાની પહોળાઈ માટેનું સમીકરણ છે.

વધારાની અગત્યની માહિતી :
બે ક્રમિક પ્રકાશિત કે અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર
β = \( \frac{\lambda \mathrm{D}}{d}\) છે.
∴ (1) β ∝ λ (D અને d અચળ હોય ત્યારે)
(2) β ∝D (λ અને d અચળ હોય ત્યારે)
(3) β ∝ \( \frac{1}{d}\) (λ અને D અચળ હોય ત્યારે)
આમ, આ અંતર પ્રકાશની તરંગલંબાઈ, સ્લિટથી પડદાનું અંતર અને સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે પણ સૂત્રમાં શલાકાના ક્રમનું પદ આવતું ન હોવાથી શલાકાના ક્રમ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 24.
બે બિંદુવત ઉદ્ગમથી દૂર રહેલા પડદા પર મળતી વ્યતિકરણ શલાકાની ભાતની ચર્ચા કરો.

ઉત્તર:
S₁ અને S₂ બે સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો છે અને $ તેનું મધ્યબિંદુ છે. Sથી D અંતરે પડદા પર ૩ બિંદુ છે. SO એ S₁S₂, ના લંબદ્ધિભાજક પર છે તેથી તેના પરના દરેક બિંદુ માટે પથતફાવત S₁O = S₂O સમાન થાય તેથી O પાસે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા રચાય જે આકૃતિ (a) માં દર્શાવ્યા મુજબ સુરેખ હશે.
પડદા પર મળતી અતિકરણ ભાતનો આકાર નક્કી કરવા પથતફાવત = પૂર્ણાંક × તરંગલંબાઈ મળે તો શલાકા પ્રકાશિત મળે અને પથતફાવત = પૈકી પૂર્ણાંક × તરંગલંબાઈ મળે તો શલાકા અપ્રકાશિત મળે.
જ્યારે S₁P – S₂P = Δ અચળ હોય ત્યારે પડદા પરના P બિંદુનો ગતિપથ અતિવલય છે પણ સ્વિટથી પડદા વચ્ચેનું અંતર ઘણું જ વધારે હોય તો શલાકાઓ લગભગ સુરેખ હોય છે જે આકૃતિ (a) અને (b) માં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ (a) તથા (b) માં બે બિંદુવત ઉદ્ગમો S₁ અને S₂ માટે પડદા GG’ પર મેળવેલ શલાકાઓની ભાત દર્શાવેલી છે (a) અને (b) એ અનુક્રમે d = 0.005 mm અને d = 0.025 mm ને અનુરૂપ છે. બંનેમાં D = 5 cm અને λ = 5 × 10^-5 cm છે.

પ્રશ્ન 24 ની આકૃતિમાં દર્શાવેલ બે સ્લિટના પ્રયોગમાં આપણે બે સ્વિટના ‘લંબઢિભાજક રેખા SQ ઉપર ઉદ્ગમ (છિદ્ર)ને લીધેલ છે. જો ઉદ્ગમ S ને કોઈક નવા સ્થાન S’ આગળ ખસેડવામાં આવે છે અને ધારો કે Q એ S₁S₂, નું મધ્યબિંદુ છે. હવે જો આપણે S₁S₂ નું મધ્યબિંદુ 5 ના બદલે Q વિચારીએ અને ∠S’QS = Φ હોય, તો મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા બીજી બાજુ – Φ જેટલા કોણે રચાશે.

આમ, જો S એ S₁S₂ ના લંબતિભાજક ૫૨ આવેલું હોય, તો મધ્યસ્થ શલાકા O બિંદુ આગળ અને લંબદ્વિભાજક પર જ રચાશે
જો બિંદુ S એ Φ જેટલા કોણે બિંદુ S’ સુધી ખસે તો મધ્યસ્થ શલાકા – Φ કોણે બિંદુ O આગળ રચાશે. એનો અર્થ એ થયો કે, તે લંબદ્વિભાજકની બીજી બાજુ તેટલા જ કોશ જેટલી ખસશે. આનો અર્થ એ કે, ઉદ્ગમ S’, મધ્યબિંદુ Q અને મધ્યસ્થ શલાકાનું બિંદુ ‘ એકજ રેખામાં હશે.

પ્રશ્ન 25.
યંગનો બે સ્વિટનો પ્રયોગ વર્ણવો.
ઉત્તર:
યંગે એક પડદા A પર સ્લિટ 5ને સમાંતર B પડદા પર SS₁ = SS₂ હોય તેવી બે સમાંતર સ્લિટો રાખી અને A અને B પડદાને સમાંતર મૂક્યા.
હવે B પડદાથી વધારે દૂર એક પડદો C મૂકો કે જેથી S₁S₂ સ્કિટોમાંથી મળતા નળાકાર તરંગઅંગ્રોના સંપાતીકરણથી સુરેખ શલાકાઓ ઉત્પન્ન થઈ, જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

હવે યંગના બે સ્વિટના પ્રયોગમાં શલાકાઓની તીવ્રતા વિતરણનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આ આલેખ પરથી કહી શકાય કે, બધી જ વ્યતિકરણ શલાકાઓ સરખી પહોળાઈની અને સમાન તીવ્રતાવાળી છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ રચતાં બિંદુઓ પાસે તીવ્રતા શૂન્ય છે. બે ક્રમિક પ્રકાશિત કે અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે. અને શલાકાની તીવ્રતા એ શલાકાના ક્રમ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 26.
વિવર્તન એટલે શું ? તેની શોધ કોણે કરી ? વિવર્તનની ઘટના કયા પ્રકારના તરંગોમાં થાય છે ?
ઉત્તર:

• કોઈ પણ અપારદર્શક (અડચણ)ની ધાર પાસેથી પ્રકાશના વાંકા વળવાની ઘટનાને વિવર્તન કર્યુ છે.
• વિવર્તનની સચોટ વ્યાખ્યા : વિવર્તન એટલે તરંગઅગ્રના મર્યાદિત ભાગથી નીપજતી ભૌતિક અસર.
• વિવર્તનની શોધ ક્રિમાડી નામના વૈજ્ઞાનિક કરી હતી. વિવર્તનની ઘટના ધ્વનિના તરંગો, પ્રકાશના તરંગો, પાણી પરના તરંગો કે દ્રવ્ય તરંગોમાં થાય છે.
• વિવર્તનના પ્રમાણનો આધાર તરંગની તરંગલંબાઈ λ અને સ્વિટની પહોળાઈ a પર છે એટલે કે, \(\frac{\lambda}{a} \) ના ગુણોત્તર પર છે.
• અપારદર્શક વસ્તુના ભૌમિતિક પડછાયાની નજીકના વિસ્તારમાં વારાફરતી અપ્રકાશિત અને પ્રકાશિત વિસ્તાર જોવા મળે છે તે વિવર્તનની ઘટનાને કારણે છે.
• આપન્ની આંખ અથવા પ્રકાશીય ઉપકરણો જેવાં કે, ટેલિસ્કોપ અને માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ પર મર્યાદા લાદે છે.
  CDને જોતાં તેના પર દેખાતાં રંગો ખરેખર વિવર્તન અસરોને કારણે છે.
• વિવર્તનની સાચી સમજ તરંગવાદથી જ આપી શકાય છે. વિવર્તનના બે પ્રકારો છે જે સ્લિટ પર આપાત થતાં તરંગઅગ્નના પ્રકાર પરથી મળે છે.

1. જો સ્લિટ પર ગોળાકાર તરંગઅગ્રો આપાત થાય તો મળતાં વિવર્તનને ફ્રેનલ વિવર્તન કહે છે.
2. જો સ્લિટ પર સમતલ તરંગઅગ્રો આપાત થાય તો મળતાં વિવર્તનને ફ્રોનહોફર વિવર્તન કહે છે.

પ્રશ્ન 27.
“ઓરડાની અંદર ખુલ્લા બારણાંની પાછળ ઊભેલી વ્યક્તિ, બારણાંની બીજી બાજુ ઊભેલી વ્યક્તિનો અવાજ સાંભળી શકે છે પણ તેઓ એકબીજાને જોઈ શકતાં નથી.” આવિધાનની વિવર્તનના આધારે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
દેશ્ય પ્રકાશની સરેરાશ તરંગલંબાઈ λ = 6 x 10^-7m લઈએ અને આપણા બારી કે બારણાંની પહોળાઈ (સ્કિટની પહોળાઈ)
a = 1 m લેતાં, \(\frac{\lambda}{a} \) = 6 x 10^-7 મળે જે ઘણું જ નાનું મૂલ્ય હોવાથી પ્રકાશના તરંગો ખાસ વાંકા વળતાં નથી એટલે કે, નહિવત્ વિવર્તન થાય છે.
જ્યારે સામાન્ય વાતચીતમાં ધ્વનિની આવૃત્તિ 100 Hzથી 400 Hz વચ્ચેની હોય છે. સરળતા ખાતર ધારો કે, ધ્વનિની આવૃત્તિ 330 Hz છે અને હવામાં ધ્વનિનો વેગ 330 m/s છે
તેથી તરંગલંબાઈ λ =\(\frac{v}{v}=\frac{330}{330} \) = 1 m અને બારી કે
બારણાંની પહોળાઈ a = 1 m લેતાં \(\frac{\lambda}{a}\) = 1 થાય જે વિવર્તનનું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તેથી, ધ્વનિ તરંગોનું 0° થી 90° જેટલું વિવર્તન થાય છે તેથી સામાન્ય વાતચીતમાં ધ્વનિ સાંભળી શકાય છે પણ પ્રકાશના તરંગોનું વિવર્તન નહિવત્ થતાં તેમને જોઈ શક્તાં નથી.

પ્રશ્ન 28.
એક સ્લિટ વડે થતાં વિવર્તનની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એકરંગી પ્રકાશ ઉદ્ગમને એક બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રાખતા તેમાંથી બહાર આવતા તરંગો સમાંતર હોય અને સમતલ તરંગઅગ્ર મળે જે સ્લિટ LN પર આપાત થાય.
હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત અનુસાર સ્લિટ પરના સમતલ તરંગઅગ્ર પરના બધા જ કક્કો (બિંદુઓ) સ્વયં અને સ્વતંત્ર ઉદ્ગમ તરીકે વ અને પોતાની આસપાસ ગૌબ્ર ગોળાકાર તરંગઅમો ઉત્સર્જિત કરે જે સ્પિટમાંથી બહાર નીકળે ત્યારે વ્યતિકરણ અનુભવી સહાયક અને વિનાશક વ્યતિકરણ રચે, પરિણામે તેના માર્ગમાં મૂકેલા બીજા બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર રાખેલા પડદા પર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત બિંદુઓ મળે છે, જે આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

મધ્યસ્થ અધિકતમ: જે સિટની પહોળાઈ LN = a હોય અને સ્વિટથી D અંતરે મૂકેલા પડદા પરનું બિંદુ C એવું હોય કે જે સ્લિટ LN ના લંબવિભાજક પર આવેલું હોય તો સ્લિટ LN ના M બિંદુ સાથે તેણે બનાવેલ કોણ શૂન્ય મળે એટલે સ્લિટ પરના બધા જ કન્નોમાંથી ઉદ્ભવતાં તરંગોનો પથતફાવત શૂન્ય મળે તેથી સહાયક વ્યતિકરણ રચાય અને C બિંદુ પ્રકાશિત થાય જેને મધ્યસ્થ અધિકતમ કહે છે. જે પ્રથમ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. મધ્યસ્થ અધિકત્તમ માટેની શરત θ = 0° અને પથતફાવત પણ શૂન્ય હોવા જોઈએ.

પથતફાવત માટેની ગણતરી : ધારો કે, પડદા પર P બિંદુ આગળના વ્યતિકરણ માટે તે બિંદુ MC રેખા સાથે θ કોણ રચે છે. કોટકોણ ΔNIL માં LN = a, NQ = પંથતફાવત NP – LP
અને ∠NLQ = θ
∴ sinθ = \(\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{LN}} \)
∴ NQ = LNsinθ
∴ NP – LP = તફાવત = asinθ

ન્યૂનતમના સ્થાન : ધારો કે, પથતફાવત NQ = λ હૈં હોય ત્યારે પડદા પર પ્રથમ ક્રમનું ન્યૂનતમ રચાય છે અને P બિંદુએ MC રેખા સાથે આંતરેલ કોણ θ₁ છે.
∴ પથતફાવત = asinθ₁
∴ λ = asinθ₁
જે પ્રથમ ક્રમના ન્યૂનતમની શરત છે.

આવી જ રીતે, બીજા ક્રમના ન્યૂનતમની શરત, 2λ = asinθ₂
અને n માં ક્રમના ન્યૂનતમ માર્ટની શરત, nλ = asinθ_n જ્યાં n = ± 1,±2,±3,……………..,
ન્યૂનતમ માટેની દિશા માટેનું સૂત્ર,
asinθ_n = nλ

જો θ_n ઘણો જ નાનો હોય તો,
sinθ_n ≈ θ_n
∴ aθ_n = nλ
∴ θ_n = \(\frac{n \lambda}{a}\)

ગૌણ અધિકતમના સ્થાન : ધારો કે, સ્લિટના ત્રણ સમાન ભાગ પાડીએ તો પ્રથમ બે ભાગમાં આવતા તરંગઅદ્મની એવી જોડ મળે કે જેમાંથી P પાસે પથતફાવત શૂન્ય મળે પન્ન સ્વિટના બાકી રહેલા ભાગના વચ્ચેના ોમાંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગોની અસરના લીધે બે ન્યૂનતમો વચ્ચેના બિંદુ આગળ તીવ્રતા મળે છે. જે પ્રથમ ક્રમનું ગૌત્ર અધિક્તમ કહેવાય છે.
આ માટે P બિંદુ પાસે પથતફાવત NQ = \(\frac{3 \lambda}{2} \) ધારીએ અને પ્રથમ ક્રમના ગૌણ અધિકત્તમ P માટે MC સાથે બનાવેલ કોણ θ₁ હોય તો, asinθ₁ = \(\frac{3 \lambda}{2}\) છે.

અને જે સ્વિટના પાંચ સમાન ભાગ કરીએ તો પ્રથમ અને બીજા તથા ત્રીજા અને ચોધા ભાગના તરંગઅગ્ર પરના કર્મોના લીધે P પાસે તીવ્રતા શૂન્ય પદ્મ બાકીના પાંચમા ભાગના કણોના લીધે P પાસે તીવ્રતા મળે જો તે MC સાથે 8મૃ કોણ એ બીજા ક્રમનું ગૌણ અધિકતમ રચે તો asinθ₂‘ = \(\frac{5 \lambda}{2} \) મળે.
આમ, સ્લિટના 7,9,…………….(2n + 1)λ ભાગ પાડતાં અનુક્રમૈ ત્રીજા, ચોથા.., nમાં ક્રમના ગૌણ અધિક્તો મળે.
∴ ‘n’ માં ક્રમના ગૌણ અધિક્તમ માટેની શરત,
asinθ_n‘ = \(\left(n+\frac{1}{2}\right) \lambda\)
= (2n+1) \(\frac{\lambda}{2}\) , જ્યાં n = 1, 2, 3,…

ગૌણ અધિક્તમની દિશા માટે,
asinθ_n‘ = \((2 n+1) \frac{\lambda}{2}\) માં θ_n‘ ધક્કો જ નાનો હોય તો,
sinθ_n‘ ≈ θ_n‘
∴ aθ_n‘ = \((2 n+1) \frac{\lambda}{2}\)
∴ θ_n‘ = (2 n+1) \(\frac{\lambda}{2 a}\)

પ્રશ્ન 29.
ક્રોનહોફર વિવર્તનમાં પડદા પરની તીવ્રતા વિરુદ્ધ વિવર્તનકોણ 8 માટેનો આલેખ દોરી તેની લાક્ષણિક્તા લખો.
ઉત્તર:
ફોનહોફર વિવર્તનમાં પડદા પર મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા વિરુદ્ધ વિવર્તનકોણ છે.

આ આલેખ પરથી કહી શકાય કે મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતા સૌથી વધારે હોય છે.

• બધા જ ન્યૂનતમો પાસે પ્રકાશની તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે.
• વિવર્તનકોલ વધતાં અધિક્તોની તીવ્રતા ઘટે છે. એટલે કે, ક્રમ વધતાં તીવ્રતા ઘટે છે અને અધિક્તમની પહોળાઈ પણ ઘટે છે.
• જેમ \(\frac{\lambda}{a} \) ગુન્નોત્તર નાનો તેમ વિવર્તન ઓછું અને તે ગુણોત્તર મોટો હોય તો વિવર્તન વધુ.
• મધ્યસ્થ અધિકત્તમની કોશીય પહોળાઈ, સ્કિટની પોળાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 30.
વ્યતિકરણ ભાત અને વિવર્તન ભાત વચ્ચેનો તફાવત લખો.
ઉત્તર:

વ્યતિકરણ ભાત	વિવર્તન ભાત
(1) તે જુદા-જુદા સુસંમ્બદ્ધ ઉદ્ગમોમાંથી ઉદ્ભવતા તરંગોનાં સંપાતીકરણને કારણે મળે છે. એટલે કે, જુદા-જુદા તરંગઅગ્રોનાં સંપાતીકરણથી ઉદ્ભવતી અસર છે.	(1) તે એક જ તરંગઅગ્રનાં જુદા-જુદા ભાગોથી ઉદ્ભવેલા તરંગોનાં સંપાતીકરણને કારણે મળે છે.
(2) પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત બધી જ વ્યતિકરણ શલાકાઓની પહોળાઈ સમાન હોય છે.	(2) વિવર્તન શલાકાઓ સમાન પહોળાઈની હોતી નથી. મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ સૌથી વધુ હોય છે. જ્યારે તે પછી ક્રમ વધતાં મળતાં અધિકતમ અને ન્યૂનતમ માટે પહોળાઈ ક્રમશઃ ઘટતી જાય છે.
(3) બધી જ પ્રકાશિત શલાકાઓની તીવ્રતા સમાન હોય છે.	(3) મધ્યસ્થ અધિકતમની તીવ્રતા સૌથી વધારે અને વધારે ક્રમનાં અધિકતમો માટે તે ઘટતી જાય છે.
(4) અપ્રકાશિત વ્યતિકરણ શલાકાઓ સંપૂર્ણ અપ્રકાશિત હોય છે.	(4) અપ્રકાશિત વિભાગ સંપૂર્ણ અપ્રકાશિત હોતી નથી.

પ્રશ્ન 31.
રિચર્ડ ફિનમને વ્યતિકરણ અને વિવર્તનના તફાવત માટેના વ્યક્ત કરેલ વિચારો લખો.
ઉત્તર:
વ્યતિકરણ અને વિવર્તન વચ્ચેના તફાવતની લગભગ કોઈ જ સંતોષકારક વ્યાખ્યા આપી શક્યું નથી. એ ફક્ત કેવી રીતે ઉપયોગ કરો છો તેના પર આધારિત છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ વિશિષ્ટ અને અગત્યનો ભૌતિકશાસ્ત્રીય તફાવત નથી. સારામાં સારું આપણે આવું કહી શકીએ કે જ્યારે બહુ થોડાં ઉદ્ગમોની દખલની વાત હોય, દા.ત. : બે ઉદ્ગમો હોય તો તેના પરિણામને સામાન્ય રીતે વ્યતિકર કહે છે, પણ જો સંખ્યાબંધ ઉદ્ગમો હોય તો, વિવર્તન શબ્દનો વધુ ઉપયોગ થાય છે.

પ્રશ્ન 32.
બે સ્લિટના કારણે મળતાં વ્યતિકરણની ભાત માટેની આકૃતિ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં બે સ્લિટથી મળતી વાસ્તવિક વ્યતિકરણ ભાત પરનું આવરણ એ એક સ્લિટથી થતું વિવર્તન દર્શાવે છે.
બે સ્લિટના પ્રયોગમાં, પડદા પરની ભાત એ દરેક સ્લિટને કારણે વિવર્તનના સંપાતીકરણને અને બે સ્લિટથી મળતા વ્યતિકરણને કારણે છે તે નોંધવું જોઈએ જે ઉપર આલેખમાં દર્શાવેલ છે.
આલેખમાં એક પહોળી વિવર્તન ટૉચ દર્શાવે છે કે જેમાં બે સ્વિટોથી મળતા વ્યતિકરણને કારણે મળતી ઓછી પહોળાઈની ઘણી બધી વ્યતિકરણ શલાકાઓ આવેલી છે.
આપેલ પહોળી વિવર્તન ટાંચમાં આવેલ ધ્વનિકરણ શલાકાઓની સંખ્યા એ \(\frac{d}{a}\) ના ગુણોત્તર એટલે કે, બે સ્લિો વચ્ચેના અંતર અને સ્વિટની પહોળાઈના ગુણોત્તર પર આધારિત છે. જ્યાં તે એ બે સ્લિો વચ્ચેનું અંતર છે.
a ના નાના મૂલ્યના લક્ષ માટે વિવર્તન ભાત ખૂબ જ સપાટ (ચપ્પટ) બનશે.
વ્યતિકરણ ભાત મેળવવા વિવર્તનની ઘટના થવી જરૂરી નથી પન્ન વિવર્તન ભાત મેળવવા વ્યતિકરણની ઘટના થવી જરૂરી છે.

પ્રશ્ન 33.
યંગના પ્રયોગમાં બે સ્લિટ વડે મળતાં વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં જો આપણે એક સ્લિટ બંધ કરીએ તો શું થાય ?
ઉત્તર:
જે યંગના બે સ્લિટોના પ્રયોગમાં બે સ્લિો પૈકી એક સ્વિટને બંધ કરીએ તો તે એક લિટની જેમ વર્તે.
હવે આપણી પાસે એક છિદ્ર અથવા સ્લિટ હોવાથી પડદા પર એક સ્વિટથી થતાં વિવર્તનને કારણે વિવર્તન ભાત રચશે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાનું કેન્દ્ર એ હિંદુ આગળ મળશે કે જે બિંદુ બંધ ન કરેલી સ્લિટની સાથે સીધી રેખા પર હોય.

પ્રશ્ન 34.
વ્યતિકરણ અને વિવર્તનની સરખામણી અને તફાવત લખો.
ઉત્તર:
1. બંનેમાં મળતી ભાત એ તરંગોના સંપાતીકરણના લીધે ઉદ્ભવે છે. બે સાંકડી સ્લિટમાંથી ઉદ્ભવેલા બે તરંગોના સંપાતીકરણની મદદથી વ્યતિકરણ ભાત મળે છે. જ્યારે એક સ્વિટના દરેક બિંદુ આગળથી ઉદ્ભવતા તરંગોની સતત હારમાળાના સંપાતીકરણના લીધે વિવર્તન ભાત મળે છે.
2. વ્યતિકરણ ભાતમાં એકબીજાથી સરખા અંતરે પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત ઘણા પટ્ટાઓ રહેલા છે. જ્યારે વિવર્તન ભાતમાં એક મધ્યસ્થ પ્રકાશિત (અધિકતમ) પટ્ટો હોય છે, કે જે બીજા અધિકતમો કરતાં લગભગ બમણી પહોળાઈનો હોય છે. મધ્યસ્થ અધિકતમમાંથી બંને બાજુ દૂર જતાં અધિક્તમોની તીવ્રતા અને પહોળાઈ ક્રમશઃ ઘટતી જાય છે.
3. a પહોળાઈની એક સ્લિટ માટે વિવર્તન ભાતમાં કોણે મળે છે. જયારે પ્રથમક્રમનું ન્યૂનતમ એ θ’ = \(\frac{\lambda}{a} \) અંતરે રહેલી બે પાતળી સ્લિટો માટે વ્યતિકરણ ભાતમાં θ = \(\frac{\lambda}{a} \) કોળું પ્રથમક્રમનું અધિક્તમ મળે છે.
4. વ્યતિકરણ અને વિવર્તનમાં પ્રકાશની ઊર્જાનું ફરીવાર વિતરણ થાય છે. તેના એક ભાગમાં પ્રકાશ ઘટીને અપ્રકાશિત શલાકા રચે, તો બીજા ભાગમાં વધીને પ્રકાશિત શલાકા રચે છે પણ ઊર્જામાં કોઈ પણ પ્રકારનો વધારો કે ઘટાડો થતો નથી એટલે કે, તે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ સાથે સુસંગત છે.

પ્રશ્ન 35.
મધ્યસ્થ અધિકત્તમની કોણીય પહોળાઈ અને રેખીય પહોળાઈના સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
મધ્યસ્થ અધિકત્તમની કોશીય પોળાઈ એટલે મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું કોણીય અંતર. ધારો કે, સ્વિટની પહોળાઈ a ઘણી નાની (mm ના ક્રમની) અને સ્વિટથી પડદા વચ્ચેનું અંતર D મીટરના ક્રમનું છે. જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પડદા પરના મધ્યસ્થ અધિક્તમની એક તરફના ન્યૂનતમ માટે, θ = \(\frac{\lambda}{a} \)
જ્યાં θ એ મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈની અડધી પહોળાઈ છે.
∴ મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોશીય પહોળાઈ 2θ = \(\frac{2 \lambda}{a}\)

β₀ એ મધ્યસ્થ અધિકત્તમની રેખીય પહોળાઈ છે. જે મધ્યસ્થ અધિક્તમની બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમ વચ્ચેનું અંતર છે.
ગૌણ અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ : ‘n’ માં અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ એટલે n માં અને (n + 1) માં ન્યૂનતમ વચ્ચેનું કોન્નીય અંતર.
∴ ‘n’માં ન્યૂનતમનો ખૂણો θ_n = \(\frac{n \lambda}{a} \)
(n + 1) માં ન્યૂનતમનો ખૂણો θ_n+1 = \(\frac{(n+1) \lambda}{a} \)
∴ n માં ગૌણ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ,
θ_n+1 – θ_n = \((n+1) \frac{\lambda}{a}-\frac{n \lambda}{a} \) = \(\frac{\lambda}{a} \)
∴ n માં ગૌણ અધિકત્તમની રેખીય પહોળાઈ = કોણીય પહોળાઈ x D
β = \(\frac{\lambda}{a} \times \mathrm{D}\) ………………………. (2)
∴ \(\frac{\beta_0}{\beta}\) = 2 [∵ સમીકરણ (1) અને (2) નો ગુણોત્તર]
∴ β₀ = 2β

પ્રશ્ન 36.
વિવર્તન ભાત જોવા માટેના સાદા પ્રયોગો જણાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે રેઝર બ્લેડની ધાર એકબીજાને સમાંતર રહે તેમ રાખીને એક પ્રકાશિત બલ્બને તે ધારમાંથી જોવામાં આવે તો બલ્બની ફિલામેન્ટની આસપાસ પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓ દેખાય છે.
હાથની આંગળીને નજીક રાખીને જોતાં પણ વિવર્તન ભાત જોવા મળે.
ખાદીના કાપડમાંથી પ્રકાશિત બલ્બને જોતાં બલ્બના પ્રકાશિત ભાગની આસપાસ પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત શલાકાઓ જોવા
મળે.
સોડિયમ લૅમ્પની સામે દૂર અને અપારદર્શક પડદા પર પીન હોલ હોય તો તેની પાછળ રાખેલા પડદા પર પ્રકાશિત અને અપ્રકાશિત ટપકાં જોવા મળે છે.

પ્રશ્ન 37.
પ્રકાશીય ઉપકરણો માટે વિભેદનશક્તિ સમજાવો અને ટેલિસ્કોપ માટે વિભેદનશક્તિ સમજાવો.
ઉત્તર:
પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં વિવર્તનની ઘટનાના કારણે ખૂબ નજીક રહેલી વસ્તુઓ કે તેમના પ્રતિબિંબો જોવામાં મુશ્કેલી પડે છે. ટેલિસ્કોપનું કોણીય વિભેદન તેના ઑબ્જેક્ટિવ દ્વારા નક્કી થાય છે પણ આઈપીસ (નેત્રકા) દ્વારા મોટવણી વધારવા છતાં વિભેદન મળતું નથી. આઈપીસ એ ઑબ્જેક્ટિવથી મળેલ પ્રતિબિંબની મોટવણી વધારે છે.

એક બહિર્ગોળ લેન્સ ઉપર સમાંતર કિરણપૂંજ આપાત થાય તો બહિર્ગોળ લેન્સના લીધે આ સમાંતર કિરણપૂંજ એક બિંદુ આગળ કેન્દ્રિત થશે પણ વિવર્તનના કારણે તે એક બિંદુ આગળ કેન્દ્રિત થવાના બદલે પરિમિતિ ક્ષેત્રફળમાં ટપકાં સ્વરૂપે કેન્દ્રિત થશે જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
અહીં બહિર્ગોળ લેન્સના લીધે મધ્યસ્થ પ્રકાશિત વિસ્તાર (Airy’s disc) ની આસપાસ વારાફરતી અપ્રકાશિત અને પ્રકાશિત રિંગો મળે તેને Airy’s rings કહે છે.તે જોવા મળે છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત વર્તુળાકાર તકતીની ત્રિજ્યાનું સેનિકટ મૂલ્ય જ f એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અને 2a એ વર્તુળાકાર દર્પણ મુખનો વ્યાસ અથવા બહિર્ગોળ લેન્સના વ્યાસ પૈકી જે નાનું
હોય તો મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ = \(\frac{1.22 \lambda f}{2 a} \)
∴ મધ્યસ્થ અધિક્તમની ત્રિજયા,

જ્યાં Δθ એ બે પ્રતિબિંબોને just છૂટા જોવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ કોણ છે.
અહીં Δθ ને ટેલિસ્કોપનું કોણીય વિભેદન કરે છે.
કોન્નીય વિભેદનના વ્યસ્તને વિભેદનશક્તિ અથવા ભૌમિતિક વિભેદન કહે છે.
આમ, ઓબ્જેક્ટિવનો વ્યાસ વધારે હશે ત્યારે a એ નાનો થશે. એટલે કે, ટેલિસ્કોપ માટે જેમ “ મોટો હોય તો તેની વિભેદનશક્તિ વધારે. વિભેદનશક્તિ : બે નજીક રહેલી વસ્તુઓના પ્રતિબિંબોને સ્પષ્ટપણે છૂટા દર્શાવવાની પ્રકાશીય ઉપકરણની ક્ષમતાને વિભેદનશક્તિ કહે છે.

પ્રશ્ન 38.
માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં એક માઇક્રોસ્કોપના ઑબ્જેક્ટિવ લેન્સ (વસ્તુ કાચ) વડે રચાતું એક બિંદુત્ વસ્તુનું પ્રતિબિંબ દર્શાવ્યું છે.
વસ્તુકાચનો વ્યાસ D, કેન્દ્રલંબાઈ f અને વસ્તુ અંતર એ f કરતાં મોટું છે અને પ્રતિબિંબ અંતર v છે.
અહીં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ θ = \( \frac{1.22 \lambda}{\mathrm{D}}\) છે.
અને મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ = vθ છે.
∴ vθ = \(\left(\frac{1.22 \lambda}{D}\right) v \) ……………………………. (1)
જો અત્રે મળતા બે પ્રતિબિંબો વચ્ચેનું અંતર, મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ (vθ) કરતાં ઓછું હોય, તો એક જ પ્રતિબિંબ દેખાશે.

બે બિંદુવત્ વસ્તુઓના પ્રતિબિંબો છૂટ છૂટ દેખાય તે માટેનું લઘુતમ અંતર d_m હોય, તો
∴ d_m = \(\left(\frac{1.22 \lambda}{\mathrm{D}}\right) \frac{v}{m}\) …………………………. (2)
[∵ m = \(\frac{v}{f}\) મોટવણી]
∴ d_m = \(\left(\frac{1.22 \lambda}{D}\right) f\)
[∵ \(\frac{v}{m}\) = f]
આકૃતિ પરથી \(\frac{\frac{D}{2}}{f}=\tan \beta\)
∴ \(\frac{\mathrm{D}}{f} \) = 2tanβ ………………………………… (3)

સમી. (2) અને (3) પરથી,
d_m = \(\frac{1.22 \lambda}{2 \tan \beta}\)
જો β ખૂણો ઘણો જ નાનો અને રેડિયનમાં હોય, તો tan β ≈ sin β લખાય
∴ d_m = \(\frac{1.22 \lambda}{2 \sin \beta} \) ………………………………. (4)
જો વસ્તુ અને વસ્તુકાચની વચ્ચે “n” વક્રીભવનાંકવાળું માધ્યમ રાખેલ હોય, તો સમી. (4) પરથી
∴ d_m = \(\frac{1.22 \lambda}{2 n \sin \beta}\) …………………………… (5)
જ્યાં nsinβ ને numerical aperture કહે છે અને \(\frac{1}{d_{\mathrm{m}}} \) ને માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ કહે છે.
જો માધ્યમનો વક્રીભવનાંક “n” મોટો રાખવામાં આવે તો માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ વધારી શકાય છે.
sinβ નું મૂલ્ય 1 કરતાં વધારે ન હોવાથી માઇક્રોસ્કોપનાં R.P નું મૂલ્ય તરંગલંબાઈ λ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 39.
ટેલિસ્કોપ અને માઇક્રોસ્કોપના કાર્ય અંગે થતો ગૂંચવાડો સમજાવો.
ઉત્તર:
ટેલિસ્કોપ વડે દૂરની મોટી વસ્તુઓના પ્રતિબિંબ આંખની નજીક નાના રચાય છે તેથી જે વસ્તુઓ દૂર હોવાથી છૂટી જોઈ શકાતી નથી તે ટેલિસ્કોપ વડે જોવાથી છૂટી જોઈ શકાય છે. આમ, ટેલિસ્કોપ વિભેદન કરે છે.
જ્યારે માઇક્રોસ્કોપ નજીકની સૂક્ષ્મ વસ્તુઓને વિવર્ધિત (મોટી) કરી તેના પ્રતિબિંબ મોટા રચે છે. આમ, માઇક્રોસ્કોપ વસ્તુને વિવર્ધિત કરે છે.

પ્રશ્ન 40.
ખૂબ મોટા અંતર માટે વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો, કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રથી થતા ફેલાવા પર પ્રભાવી છે તે સમજાવો. અથવા ફૅનલ અંતનું મહત્ત્વ સમજાવો.
ઉત્તર:
સમાંતર કિરણો વડે ” લંબાઈની અડચણને પ્રકાશિત કરતાં અડચન્નની ધારથી કિરણનું વિવર્તન θ જેટલું હોય, તો કોણીય પહોળાઈ,
θ ≈ \(\frac{\lambda}{a}\)
વિવર્તનના કારણે z જેટલું અંતર વિવર્તિત કિરણ કાપતાં રેખીય પહોળાઈ = zθ
= \(\frac{z \lambda}{a}\) થશે.
વિવર્તનના કારણે કિરણપૂંજનો ફેલાવો અડચણની પહોળાઈ a જેટલો થશે.
∴ a = \(\frac{z \lambda}{a}\)
∴ z ≈ \(\frac{a^2}{\lambda}\)
આ રાશિને કેનલ લંબાઈ z_F કરે છે.
∴ z_F = \(\frac{a^2}{\lambda}\)
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે, થી ઓછા અંતર માટે વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો એ કિરણપૂંજની જાડાઈ કરતાં ઓછો (એટલે કે સીધી રેખામાં ગતિ કરે) હોય છે. આમ, વિવર્તનને કારણે થતો ફેલાવો કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રથી થતાં ફેલાવા પર પ્રભાવી છે અને તે દર્શાવે છે કે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર તરંગલંબાઈના શૂન્ય તરફના લક્ષ માટે સાચું છે.

પ્રશ્ન 41.
રેખીય ધ્રુવીભૂત તરંગની સમજૂતી આપી તેની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
એક લાંબી દોરીના એક છેડાને જડિત કરી સમક્ષિતિજ ખેંચાયેલી રહે તેમ પકડો.
દોરીના પકડેલા છેડાને ઉપર-નીચે આવત રીતે ગતિ કરાવીએ તો, આકૃતિ (a) માં દર્શાવ્યા અનુસાર ૪-અક્ષ પર ગતિ કરતું તરંગ ઉત્પન્ન કરી શકાય.

આલેખમાં આ તરંગયાવર્તી (Sinusoidal) આકારનું તરંગ છે, જે +-દિશામાં પ્રસરતું હોય ત્યારે વક્રી અનુક્રમે x = 0 અને t = Δt સમયે દોરીનું સ્થાનાંતર રજૂ કરે છે.
આ જ્યાવર્તી (Sinusoidal) તરંગ +x-દિશામાં ગતિ કરતું હોય ત્યારે x = 0 સ્થાને, સ્થાનાંતરનો સમય સાથેનો ફેરફાર દર્શાવે છે. જે આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ છે.

x = Δx આગળ સ્થાનાંતરનો સમય સાથેનો ફેરફાર થોડોક જમન્ની બાજુ ખસી ગયેલો હશે.
+x-દિશામાં ગતિ કરતાં તરંગમાં સ્થાનાંતર પૃ-દિશામાં થાય તેથી તેનું સમીકરણ,
y(x, t) = asin(kx – ωt)
જ્યાં a = તરંગનો કંપવિસ્તાર
ω = 2πv તરંગની કોશીય આવૃત્તિ
k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) એ તરંગ સદિશ અને
λ = \(\frac{2 \pi}{k} \) એ તરંગલંબાઈ છે.

આ સમીકરણ અનુસાર દોરી પરના કન્નનું સ્થાનાંતર (y-દિશામાં) એ તરંગ પ્રસરણ દિશાને લંબ હોવાથી તેને લંબગત તરંગ કહે છે. અહીં સ્થાનાંતર પૃ-દિશામાં હોવાથી તેને y-ધ્રુવીભૂત તરંગ કહે છે.
દોરી પરનું દરેક બિંદુ જી-અક્ષ પર સુરેખગતિ કરે છે, તેથી આ તરંગ રેખીય ધ્રુવીભૂત તરંગ તરીકે ઓળખાય છે.
તરંગમાં દોરી હંમેશાં xy-સમતલમાં જ રહેતી હોવાથી તેને તલ ધ્રુવીભૂત તરંગ કહે છે.
જો આપણે દોરીના દોલનો xz-સમતલમાં વિચારીએ તો, -ધ્રુવીભૂત તરંગ મળે જેનું સ્થાનાંતર,
z(x, t) = asin(kx – ωt) થી મળે. આ પણ રેખીય ધ્રુવીભૂત તરંગ છે અને લંબગત છે. જયાં a = કંપવિસ્તાર, k = તરંગ સદિશ અને ω = કોણીય આવૃત્તિ છે.

પ્રશ્ન 42.
અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ અને તલઘુવીભૂત પ્રકાશની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે. જે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુત તીવ્રતાના સદિશો \(\vec{E}\) (પ્રકાશ સદિશો) પ્રસરણ દિશાને લંબ એવા સમતલમાં બધી દિશામાં દોલનો કરે તો તેવા પ્રકાશને અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ કહે છે. જેની સંજ્ઞાત્મક આકૃતિ નીચે મુજબ છે.

આમ, દોલનો કરતાં \(\vec{E}\) સદિશનું સમતલ સમયના ટૂંકાગાળામાં અસ્તવ્યસ્ત રીતે બદલાય છે.
તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશ : જે પ્રકાશમાં વિદ્યુતીવ્રતાના સદિશો પ્રસરણને લંબ એવાં સમતલસ્થ અને સમાંતર હોય તો તેવા પ્રકાશને તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશ કહે છે. જેને નીચેની આકૃતિથી દર્શાવાય છે.

પ્રશ્ન 43.
પાતળી પ્લાસ્ટિક જેવી તક્તી વડે થતું ધ્રુવીભવન સમજાવો.
ઉત્તર:
અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાંથી તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશ મેળવવાની ઘટનાને ધ્રુવીભવન કહે છે.
જે તકતી વડે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાંથી તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશ મેળવી શકાય તેને પોલેરોઇડ કહે છે. દા.ત. : પાતળી પ્લાસ્ટીકની તકતી અને કૂર્મેલિન પ્લેટ,

પોલેરોઇડ એ લાંબી સાંકળ ધરાવતા અશ્રુઓનો બનેલો હોય છે. કે જેમાં અણુઓ ચોક્કસ દિશામાં ગોઠવાયેલા હોય છે. આવા ચોક્કસ રીતે ગોઠવાયેલા અણુઓની દિશામાં રહેલા પ્રકાશ તરંગના વિદ્યુત સદિશોનું શોષજ્ઞ થાય છે અને લંબ દિશામાં ગોઠવાયેલા અણુઓની કે જેને પોલેરોઇડની દગ્-અક્ષ કહે છે. તે દગૢ-અક્ષને સમાંતર પ્રકાશ સદિશોના ઘટકો પસાર થાય છે અને લંબ ઘટકો શોષાઈ જાય છે. તેથી તેમાંથી નિર્ગમન પામતા તરંગો રેખીય તલપુવીભૂત બને છે. જો કોઈ સામાન્ય ઉદ્ગમમાંથી નીકળતો પ્રકાશ પોલેરોઇડ તકતી P₁ માંથી પસાર થાય છે ત્યારે પ્રકાશની તીવ્રતા ઘટીને અડધી થઈ જાય છે અને P₁ તક્તીને કિરણને અક્ષ તરીકે રાખી ભ્રમણ આપતા નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા અચળ રહે છે. પણ P₁ તકતી પર આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતાં ઓછી હોય છે.

હવે ધારો કે, આના જેવો જ બીજો પોલેરોઇડ P₁ ને P₁ ની આગળ મૂકવામાં આવે છે અને P₁ ને ભ્રમણ આપવામાં આવે, તો P₁ માંથી નિર્ગમન પામતાં પ્રકાશની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે.
જ્યારે P₂ અને P₁ ને સમાંતર રાખેલી હોય ત્યારે P₂ માંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશ દિશો P₁ માંથી પણ પસાર થાય તેથી પ્રકાશની તીવ્રતા એક જ P₁ તકતીમાંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા જેટલી હોય.
જ્યારે P₂ તકતીને એ જ સ્થિતિમાં રાખી P₁ તકતીને 90° જેટલું ભ્રમણ આપવામાં આવે ત્યારે P₁ માંથી નિર્ગમન તીવ્રતા શૂન્ય થઈ જાય છે. જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ (a) માં દર્શાવેલ છે કે, પ્રકાશ એ P₂ અને P₁ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે અને એકને સ્થિર રાખી, બીજા પોલેરોઇડને 0° થી 90° જેટલું ભ્રમણ આપતા નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની સાપેક્ષ તીવ્રતા 1 થી 0 જેટલી થાય છે.

આકૃતિ (b) દર્શાવે છે કે, બંને પોલેરોઇડમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો (વિદ્યુત) ઘટક (ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ)એ પોલેરોઇડ અક્ષને સમાંતર હોય છે.

પ્રશ્ન 44.
માલસનો નિયમ સમજાવીને લખો.
ઉત્તર:
પોલેરોઇડ P₂ ની દગુ-અક્ષ, પોલેરોઇડ P₁ ની દગ્-અક્ષ θ છે કોણ બનાવે છે ત્યારે P₂ માંથી નિર્ગમન પામતા \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સદિશો (E₀) પોલેરોઇડ P₁ ની દગુ-અક્ષ સાથે θ કોણ રચશે. જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશના E₀ દેશના બે ઘટકો લેતાં,

1. E₀cosθ ઘટક એનેલાઇઝર P₁ ની દગ્-અક્ષને સમાંતર છે.
2. E₀sinθ ઘટક એનેલાઇઝર P₁ ની દગુ-અક્ષને લંબ છે.

E₀cosθ ઘટક P₁ માંથી પસાર થઈ શકે છે જ્યારે E₀sinθ ઘટક P₁ ની દગ્-અક્ષને લંબ હોવાથી શોષાય જાય છે.
હવે તીવ્રતા એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી એનેલાઇઝર પર P₁ આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા I₀ ∝ E_θ² અને P₁ એનેલાઇઝરમાંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા I ∝ (E₀ cosθ)²
આમ, એનેલાઇઝરમાંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા,
\(\frac{I}{I_0}=\frac{E_0^2 \cos ^2 \theta}{E_{\theta^2}} \) = cos²θ
∴ I = I₀cos²θ
જેને માલસનો નિયમ કહે છે.

પ્રશ્ન 45.
પોલેરાઇઝર અને એનેલાઇઝર કોને કહે છે ?
ઉત્તર:

• જો તકતી (પોલેરોઇડ)નો ઉપયોગ અધ્રુવીભૂત પ્રકાશને તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશ મેળવવામાં થાય તો તેને પોલેરાઇઝર કહે છે.
• જો તકતી (પોલેરોઇડ)નો ઉપયોગ આપાત પ્રકાશની ધ્રુવીભવન સ્થિતિ જાણવા માટે વપરાય તો તેને એનેલાઇઝર કહે છે.

પ્રશ્ન 46.
બતાવો કે અવીભૂત પ્રકાશ પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થાય ત્યારે નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા કરતાં અડધી હોય છે.
ઉત્તર:
જો પોલેરાઇઝર પર આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા 1 હોય તો, નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા (માલસના નિયમ પરથી), I = ₀cos²θ જ્યાં 8 એ બંને પોલેરોઇડની દક્-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે પોલેરોઇડ પર અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ આપાત થાય ત્યારે નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા θ = 0 થી 2π વચ્ચેની સરેરાશ તીવ્રતા જેટલી હોય છે.
∴ સરેરાશ તીવ્રતા,
< I> = I₀<cos2θ>

આમ, નિર્ગમન પામતી તીવ્રતા એ આપાત તીવ્રતા કરતાં અડધી એટલે કે 50 % થાય છે.

પ્રશ્ન 47.
પ્રકીર્ણન દ્વારા ધ્રુવીભવન સમજાવો. (માર્ચ 2020)
ઉત્તર:
ભ્રમણ કરાવતા પોલેરોઇડમાંથી આકાશના ચોખ્ખા બ્લૂ ભાગમાંથી આવતા પ્રકાશને જોવામાં આવે છે ત્યારે પ્રકાશની તીવ્રતામાં વધારો અને ઘટાડો જોવા મળે છે. કારણ કે, સૂર્યપ્રકાશના કિરણો પૃથ્વીના વાતાવરણમાં રહેલાં અણુઓ સાથે અથડામણ અનુભવે છે તેથી કિરણોની દિશા બદલાય છે જેને પ્રકીર્ણન કહે છે. જે આકૃતિ (a) માં દર્શાવેલ છે.

સૂર્યપ્રકાશ એ અવીભૂત છે. આકૃતિમાં ટપકાં એ સમતલને લંબવીભવન સૂચવે છે અને બે દિશ તીર એ સમતલમાં ધ્રુવીભવન દર્શાવે છે.
આપાત તરંગનાં અણુઓમાં રહેલાં ઇલેક્ટ્રૉન, વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ પરસ્પર લંબ ઘટકોની દિશામાં ગતિ કરે છે.
આપણે સૂર્યની દિશાને 90° એ અવલોકન કરતો અવલોકનકાર દોર્યો છે.

અહીં, બે દિશામાં નીરને સમાંતર પ્રર્વેગિત થતા વિદ્યુતભારો આ અવલોકનકાર તરફ ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરશે નહીં, કારણ કે, તેમના પ્રવેગને લંબ ઘટક હોતો નથી. તેથી અદ્ભુઓ દ્વારા પ્રકેરિત થતા વિકિરણને ટપકાં વડે દર્શાવેલ છે. જે આકૃતિના સમતલને લંબ દિશામાં ધ્રુવીભૂત છે. જે આકાશમાં પ્રકાશના પ્રકીર્ણનથી થતા ધ્રુવીભવનને સમજાવે છે.

આકૃતિમાં આકાશના વાદળી રંગના પ્રકાશનું પ્રકીર્ણન થતાં મળતા પ્રકાશનું ધ્રુવીભવન દર્શાવ્યું છે.
ઈ.સ. 1930 માં C.V.Raman અને તેમના સહકાર્યકરોને અણુઓ દ્વારા પ્રકાશના પ્રકીર્ણનના અભ્યાસ માટે ભૌતિકવિજ્ઞાનનો નોબલ પુરસ્કાર આપવામાં આવ્યો હતો.

પ્રશ્ન 48.
ધરાવર્તનથી થતું ધ્રુવીભવન સમજાવો અને બ્રુસ્ટનો નિયમ લખો અને સૂત્ર મેળવો. (ઑગષ્ટ 2020)
ઉત્તર:
માલસ નામના વૈજ્ઞાનિકે શોધ્યું કે પ્રકાશનું કિરણ પારદર્શક માધ્યમની સપાટી (પાણીની સપાટી) પર આપાત થાય ત્યારે પરાવર્તન પામતું કિરણ અંશતઃ તલધ્રુવીભૂત હોય છે અને વક્રીભૂત કિરણ પણ અંશતઃ ધ્રુવીભૂત હોય છે.
પરાવર્તિત કિરણના ધ્રુવીભવનની સ્થિતિ આપાતકોણ સાથે બદલાય છે.

જ્યારે પ્રકાશ કિરણને આપેલા પારદર્શક માધ્યમની સપાટી પર અમુક ચોક્કસ આપાતકોણે આપાત કરવામાં આવે, ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણ તલવીભૂત બને છે. આ સ્થિતિમાં પરાવર્તિત કિરણમાં બધા જ પ્રકાશ દિશો આપાત સમતલને લંબ એવા પરસ્પર સમાંતર હોય છે. જેને તે ઘટકો કહે છે અને તેમાં આપાત કિરણના 15% ઘટકો હોવાથી પરાવર્તિત કિરણ ઝાંખું હોય છે.
વક્રીભૂત કિરણમાં આપાત કિરણના 85 % σ ઘટકો અને બધા જ π ઘટકો હોવાથી પરાવર્તિત કિરણ કરતાં વધારે તીવ્ર અને આપાત કિરા કરતાં થોડું ઝાંખું હોય છે.

જ્યારે પ્રકાશ કિરણને આપેલા પારદર્શક માધ્યમની સપાટી પર અમુક ચોક્કસ આપાતકોણે આપાત કરતાં પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણ તલધ્રુવીભૂત બને છે તે આપાતકોશને ધ્રુવીભવન કોણ અથવા બ્રુસ્ટરકોણ કહે છે. જેને i_B અથવા θ_p વડે દર્શાવાય છે.
આપાત બિંદુએ સ્નેલના નિયમ પરથી,

જે બ્રુસ્ટરનો નિયમ છે. શબ્દોમાં આ નિયમ પારદર્શક પદાર્થની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતું કિરણ જ્યારે સંપૂર્ણ તલધ્રુવીભૂત થાય છે ત્યારે આપાતકોણ (બ્રુસ્ટરકોણ)ના ટેન્શન્ટનું મૂલ્ય પારદર્શક પદાર્થના વક્રીભવનાંક જેટલું હોય છે.

પ્રશ્ન 49.
અંશતઃ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ કોને કહે છે ?
ઉત્તર:

• પ્રકાશના 90° એ થતાં પ્રકીર્ણન અને હ્યુસ્ટરકોણે આપાત થતાં કિરણના પરાવર્તનની ઘટનામાં વિદ્યુતક્ષેત્રના બે ઘટકોમાંથી એક ઘટક શૂન્ય હોય છે.
• બ્રુસ્ટરોક્ષ સિવાયના કોણે બંને ઘટકો હાજર હોય છે પણ તેમાંથી એક ઘટક બીજા ઘટકની સરખામણીમાં પ્રબળ હોય છે.
  આ બે લંબ ઘટકો વચ્ચે કોઈ સ્થાયી કળા સંબંધ નથી. કારણ કે, આ બંને ઘટકો અવીભૂત પ્રકાશના બે લંબધટકોમાંથી મેળવેલા છે.
• જો બે લંબ ઘટકોવાળા પ્રકાશને ભ્રમણ કરતા એનેલાઇઝરમાંથી જોવામાં આવે તો, આપણને મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા દેખાય છે પણ તે સંપૂર્ણ અપ્રકાશિત દેખાતી નથી. આવા પ્રકારનાં પ્રકાશને અંશતઃ ધ્રુવીભૂત કહે છે.

પ્રશ્ન 50.
આપેલો પ્રકાશ અવીભૂત, તલધ્રુવીભૂત કે અંશતઃ તલધ્રુવીભૂત છે તે કેવી રીતે નક્કી કરી શકાય ?
ઉત્તર:

• આપેલા પ્રકાશને પોલેરોઇડની એક બાજુ પર લંબરૂપે આપાત કરો.
• આપાત કિરણને ભ્રમણાક્ષ તરીકે ગણીને પોલેરોઇડને ભ્રમણ આપો અને તેમાંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા તપાસો.
• જે પોલેરોઇડને એક પૂર્ણ ભ્રમણ આપતા તેમાંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતામાં ફેરફાર ન થાય તો આપેલો પ્રકાશ અવીભૂત હોય.
• જો પોલેરોઈડને એક પૂર્ણ ભ્રમણ આપતા, તેમાંથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા બે વાર શૂન્ય અને બે વાર મહત્તમ બને તો આપેલો પ્રકાશ તધ્રુવીભૂત હોય.

પ્રશ્ન 51.
પ્રકાશના અધુવીવૂત, ધ્રુવીભૂત અને અંશતઃ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે વપરાતા સંકેતો જણાવો.
ઉત્તર:
પુસ્તકના પૃષ્ઠને સમાંતર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સદિશો હોય તેવા તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો સંકેત આકૃતિ (a) માં છે.

પુસ્તકના પૃષ્ઠને લંબ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) સદિશો હોય તેવો તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો સંકેત આકૃતિ (b) માં છે.

અધ્રુવીભૂત પ્રકાશના સંકેતો બે રીતે દર્શાવાય છે જે આકૃતિ (C) માં બતાવેલ છે.

અંશતઃ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશનો સંકેત આકૃતિ (d) માં બતાવેલ છે.

દર્પણના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
બે સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમોમાંથી ઉત્સર્જાતા પ્રકાશની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર α છે. તેમના વડે રચાતી વ્યતિકરણ ભાત માટે સાબિત કરો કે, \(\frac{I_{\max }+I_{\min }}{I_{\max }-I_{\min }}=\frac{1+\alpha}{2 \sqrt{\alpha}} \) સાય. જ્યાં, I_max = પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા અને I_min = પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા છે, (માર્ચ – 2016)
ઉત્તર:
બે તરંગો માટે તીવ્રતાઓ અનુક્રમે I₁ અને I₂ હોય તો, \(\frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2} \) = α
પરંતુ, I ∝ A² (જ્યાં A એ કંપવિસ્તાર)
∴ \(\frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2}=\frac{\mathrm{A}_1^2}{\mathrm{~A}_2^2}\)= α
∴ યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતાં,

નોંધ : આપેલા પદનાં વ્યસ્તને એટલે કે \(\frac{\mathrm{I}_{\max }-\mathrm{I}_{\min }}{\mathrm{I}_{\max }+\mathrm{I}_{\min }} \) શલાકાની દશ્યતા (Visibility) કહે છે.

પ્રશ્ન 2.
6000 Å તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશની એક લિટથી થતાં ફોનહોફર વિવર્તનની ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ માપવામાં આવે છે. હવે જો બીજા તરંગલંબાઈવાળો પ્રકાશ વાપરીએ, તો માલૂમ પડે છે કે, મધ્યસ્થ અધિકત્તમની કોણીય પહોળાઈમાં 30% જેટલો ઘટાડો બીજી તરંગલંબાઈ શોધો. (ii) જો થાય છે, તો (1) આ આ સાધનને એક પ્રવાહીમાં ડુબાડીને પ્રયોગ કરીએ તોપણ મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ આટલી જ (30%) ઘટે છે, તો પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક શોધો.
ઉત્તર:
(i) મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ નીચેના સૂત્ર વડે આપી શકાય :
2θ = \(\frac{2 \lambda}{d}\) ⇒ θ = \(\frac{\lambda}{d} \) ……………………….. (1)
પ્રથમ પ્રકાશ માટે,θ₁ = \(\frac{\lambda_1}{d} \) અને
બીજા પ્રકાશ માટે, θ₂ = \(\frac{\lambda_2}{d} \) થશે.
∴ \(\frac{\theta_2}{\theta_1}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\) ………………………… (2)
પદ્મ, θ₂ એ θ₁ કરતાં 30% ઓછો છે.
અર્થાત્, θ₂ = θ₁ ના 70% જેટલો છે.
= 0.7θ₁,
∴ \(\frac{\theta_2}{\theta_1}\) = 0.7
સમીકરણ (2) પરથી, \(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\) = 0.7
∴ λ₂ = 0.7 × 6000 Å = 4200 Å થશે.
પ્રવાહીમાં પણ તરંગલંબાઈ 4200 Å થશે.
હવામાં તરંગલંબાઈ λ₁ = 6000 Å
પ્રવાહીમાં તરંગલંબાઈ λ₂ = 4200 Å

(ii) હવે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક
n = \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\)
= \(\frac{6000}{4200} \)
∴ n = 1.43

પ્રશ્ન 3.
હબલ ટેલિસ્કોપ પૃથ્વીની સપાટીથી 600 km અંતરે છે. તેના પ્રાથમિક અરીસાનો વ્યાસ 214m છે, તો 550 nm તરંગલંબાઈના પ્રકાશ વડે આ ટેલિસ્કોપથી ઓછામાં ઓછાં
કેટલાં કોણીય અંતરે રહેલી વસ્તુઓ છૂટી છૂટી જોઈ શકાશે ? આ વસ્તુઓ પૃથ્વીની સપાટી પર છે તેમ ગણો અને પૃથ્વીના વાતાવરણની અસરો અવગણો.
ઉત્તર:
α_min = \(\frac{1.22 \lambda}{\mathrm{D}}=\frac{1.22 \times 550 \times 10^{-9}}{2.4}\)
= 2.8 × 10^-7 rad
3.14 rad = 180 × 3600”
તો 2.8 × 10^-7 rad (?)
= \(\frac{180 \times 3600 \times 2.8 \times 10^{-7}}{3.14} \) = 577834 x 10^-7
α_min ≈ 0.058”

જ્યાં L = ટેલિસ્કોપ અને વસ્તુઓ વચ્ચેનું અંતર
∴ α_min ≈ 0.058”
વસ્તુઓ વચ્ચેનું રેખીય અંતર x = α_min L
∴ x = 2.8 × 10^-7 × 600 × 10³ = 1680 × 10^-4m
∴ વસ્તુઓ વચ્ચેનું રેખીય અંતર x ≈ 0.17 m

પ્રશ્ન 4.
તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશ ટુર્વેલિન પ્લેટ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. તેના \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) સદિશો પ્લેટની દગ્ર-અક્ષ સાથે 60⁰ નો કોણ બનાવે છે. તો પ્રારંભિક અને અંતિમ મહત્તમ \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) સદિશો વચ્ચેનો પ્રતિશત (%) તફાવત શોધો. (માર્ચ – 2017)
ઉત્તર:
માલસનાં નિયમ પરથી, I = I₀ cos²θ
∴ \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}_0}=\cos ^2 \theta=\cos ^2\left(60^{\circ}\right)=(0.5)^2=0.25=\frac{1}{4} \)
પરંતુ, I ∝ E² હોવાથી,

પ્રશ્ન 5.
પાણીમાં ગતિ કરવું પ્રકાશનું કિરણ પાણીમાં ડુબાડેલી ગ્લાસ પ્લેટ પર આપાત થાય છે. જ્યારે આપાતકોણ 51° નો બને છે ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણ તલઘુવીભૂત બને છે, તો કાચનો વક્રીભવનાંક શોધો. પાણીનો વક્રીભવનાંક = 1.33.
ઉત્તર:
આપાતકોશ = θ_p = 51°
∴ કાચનો પાણીના સાપેક્ષે વક્રીભવનાંક
= tanθ_p = tan 51° = 1.235

પ્રશ્ન 6.
સંગના એક પ્રયોગમાં બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર 0.05 cm અને સ્લિટથી પડદાનું અંતર 100 cm છે, તો ત્રીજી પ્રકાશિત અને પાંચમી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર શોધો, પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 5000 A લો. (માર્ચ – 2013) (માર્ચ 2020 જેવો)
ઉત્તર:
અહીં, d = 0.05 સેમી, D = 100 સેમી,
λ = 5000Å = 5 × 10^-5 સેમી,
x’₅ − x₃ = ?
n = 5 (અપ્રકાશિત) અને n = 3 (પ્રકાશિત)
n મી પ્રકાશિત શલાકા માટે,
\(\frac{x_n d}{\mathrm{D}}\) = nλ
n = ૩ લેતાં
\(\frac{x_3 d}{D} \) = 3λ
∴ x₃ = \(\frac{3 \lambda \mathrm{D}}{d}\) …………………………………. (1)

n મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે,
\(\frac{x_n^{\prime} d}{\mathrm{D}} \) = (2n – 1)\(\frac{\lambda}{2}\)
n = 5 લેતાં
∴ x’₅ = \(\frac{9 \lambda \mathrm{D}}{2 d}\) …………………………………… (2)

હવે x’₅ − x₃ = \(\frac{9 \lambda \mathrm{D}}{2 d}-\frac{3 \lambda \mathrm{D}}{d}=\frac{3 \lambda \mathrm{D}}{2 d}\)
= \(\frac{3 \times 5 \times 10^{-5} \times 100}{2 \times 0.05}\)
∴ x’₅ − x₃ = 15 × 10^–2 સેમી = 1.5 mm

પ્રશ્ન 7.
યંગના એક પ્રયોગમાં 4000 Å તરંગલંબાઈના પ્રકાશની પાંચમી પ્રકાશિત શલાકા એક અજ્ઞાત તરંગલંબાઈના પ્રકાશની સૌથી પ્રકાશિત શલાકા પર સંપાત થાય છે, તો અજ્ઞાત તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, λ₁ = 4000 Å, n₁ = 5, n₂ = 4
ધારો કે λ₁ તરંગલંબાઈ માટે બે ક્રમિક શલાકા વચ્ચેનું અંતર β₁ અને n₁ શલાકાઓ જે અંતરે મળે તે જ અંતરે,
λ₂ તરંગલંબાઈ માટે બે ક્રમિક શલાકા વચ્ચેનું અંતર β₂ અને n₂ શલાકાઓ મળે છે.
∴ મધ્યસ્થ શલાકાથી,
n₁ શલાકાનું અંતર = n₂ શલાકાનું અંતર

પ્રશ્ન 8.
સંગના એક પ્રયોગમાં બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર 1 mm છે. પડદા પર મળતી બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર 0.03 cm છે, હવે પડદાને જો સ્લિટથી 50 cm જેટલો વધારે દૂર ખસેડવામાં આવે, તો બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર બમણું થાય છે, તો આપાતપ્રકાશની તરંગ- લંબાઈ શોધો. (માર્ચ – 2014, માર્ચ – 2015 જેવો)
ઉત્તર:
અહીં β₁ = 0.03 સેમી, β₂ = 0.06 સેમી,
d = 1 મિમિ = 0.1 સેમી
જ્યારે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર D₁ = D હોય ત્યારે બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર,
∴ β₁ = \(\frac{\lambda \mathrm{D}_1}{d} \) ………………………….. (1)
જયારે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર D₁ = D + 50 સેમી થાય ત્યારે બે ક્રમિક પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર,
∴ β₂ = \(\frac{\lambda \mathrm{D}_2}{d}\) ………………………………… (2)

પ્રશ્ન 9.
સંગના વ્યતિકરણ પ્રયોગમાં જો બે સ્વિટો વચ્ચેનું અંતર વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતાં બમણું હોય, તો સાબિત કરો કે પડદા પર વધારેમાં વધારે 5 પ્રકાશિત શલાકાઓ મળે. (માર્ચ – 2016)
ઉત્તર:
પ્રકાશિત શલાકા માટેની શત,
dsinθ = nλ
પણ d = 2λ આપેલું છે.
∴ 2λsinθ = nλ
∴sinθ = \(\frac{n}{2} \)
પણ sinθ ≤ 1 [sine નો વિસ્તાર]
∴ \(\frac{n}{2} \) ≤ 1
∴ n ≤ 2
આમ n ≤ 2 માટે પડદા પર મધ્યસ્થ અધિકત્તમ અને બે પ્રથમ ક્રમની (n = 1 માટે મધ્યસ્થ અધિકત્તમની બંને બાજુ આવેલી) અધિકત્તમ શલાકા તથા બે બીજા ક્રમની (n = 2 માટે) અધિકત્તમ શલાકાઓ મળે.
આમ કુલ પાંચ પ્રકાશિત શલાકાઓ મળે.

પ્રશ્ન 10.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સંગના બે લિટના પ્રયોગમાં સફેદ પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સ્લિટ S₂ ની બરાબર સામે જ આવેલા પડદા પરના બિંદુ આગળ અમુક તરંગલંબાઈઓ વિનાશક વ્યતિકરણ ઉત્પન્ન કરે છે. (એટલે કે, વ્યતિકરણભાતમાં તેઓ ગેરહાજર છે.) પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમના વ્યતિકરણ માટે આ ગેરહાજર તરંગલંબાઈઓ શોધો.

ઉત્તર:
અહીં, S₁ અને S₂ વચ્ચેનું અંતર D ની સરખામણીમાં નાનું છે.
∴ d << D
પથતફાવત = r₁ – r₂
આકૃતિ પરથી, r₁ = \(\left(\mathrm{D}^2+d^2\right)^{\frac{1}{2}}\) અને r₂ = D
પ્રયત્નાવત = \(\left(\mathrm{D}^2+d^2\right)^{\frac{1}{2}}\) – D
= D\(\left(1+\frac{d^2}{\mathrm{D}^2}\right)^{\frac{1}{2}}\) – D

દ્વિપદી પ્રમેય અનુસાર વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદો લેતાં,
= D \(\left(1+\frac{d^2}{2 D^2}\right)\) – D (∵ d << D)
= D + \(\frac{d^2 \mathrm{D}}{2 \mathrm{D}^2}\) – D
પયતકાવત = \(\frac{d^2}{2 \mathrm{D}}\)

‘n’ માં ક્રમના વિનાશક વ્યતિકરણ માટે પથતફાવત = (2n – 1)\(\frac{\lambda}{2}\)
∴ \(\frac{d^2}{2 \mathrm{D}} \) = (2n -1) \(\frac{\lambda}{2}\)
∴ λ = \(\frac{d^2}{\mathrm{D}(2 n-1)}\)
હવે પ્રથમ ક્રમના વિનાશક વ્યતિકરજ્ઞ માટે n = 1 લેતાં,
∴ λ₁ = \(\frac{d^2}{\mathrm{D}}\)
અને દ્વિતીય ક્રમના વિનાશક વ્યતિકરણ માટે n = 2 લેતાં,
∴ λ₁ = \(\frac{d^2}{3 \mathrm{D}}\)

પ્રશ્ન 11.
ફોનહોફર વિવર્તનમાં સ્લિટ પર લંબરૂપે આપાત થતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ \(\frac{d}{2}\) છે; જ્યાં d એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, તો ગમે તેટલા અંતરે મૂકેલા અનંત વિસ્તારવાળા પડદા પર વધુમાં વધુ કૈટલી પ્રકાશિત (અધિક્તમ) શલાકાઓ સ્થાય?
ઉત્તર:
ફ્રોનહોફર વિવર્તનમાં અધિકતમ માટેની શરત,
dsinθ = (2n+1)\(\frac{\lambda}{2}\) જ્યાં, n = 1, 2, 3, …
પદ્મ λ = \(\frac{d}{2}\) આપેલું છે.
∴ dsinθ = (2n+1) \(\frac{d}{4} \)
∴ sinθ = \(\left(\frac{2 n+1}{4}\right)\)

પણ sinθ ≤ 1 (sin નો મહત્તમ વિસ્તાર)
∴ \(\frac{2 n+1}{4}\) ≤ 1
∴ 2n +1 ≤ 4
∴ 2n ≤ 3
∴ n ≤ \(\frac{3}{2}\)
આમ n ના પૂર્ણાંક મૂલ્ય માટે તેનું શક્ય મૂલ્ય । જ આવે છે. તેથી n = 1 વાળા બે પ્રથમ અધિકત્તમાં, મધ્યસ્થ અધિકત્તમની બંને બાજુએ મળે અને n = 0 ક્રમનું એક મધ્યસ્થ અધિકત્તમ મળે તેથી કુલ ત્રણ અધિક્ત્તમી મળે.

પ્રશ્ન 12.
એક તલઘુવીભૂત પ્રકાશને પોલેરોઇડ પર લંબરૂપે આપાત કવામાં આવે છે. આપાત કિરણને અક્ષ તરીકે લઇ પોલેરોઇડને π rads^-1 જેટલી કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરવામાં આવે છે. જો 1 s માં આપાત થતી પ્રકાશઊર્જા 4 mJ હોય, તો 1 પરિભ્રમણ દરમિયાન પોલેરોઇડમાંથી નિર્ગમન પામતી પ્રકાશ ઊર્જા કેટલી હશે ? \(\left[\text { Hint : } \int_0^T \cos ^2 \omega t d t=\frac{\pi}{\omega}\right] \)
ઉત્તર:
અહીં I₀ = 4 mJ = 1 × 10^-3 J, ω = π rads^-1 I = I₀ cos²ωt
∴ 1 પરિભ્રમણ દરમિયાન નિર્ગમન પામતી ઊર્જા
= \(\int_0^{\mathrm{T}} \mathrm{I}_0 \cos ^2 \omega t d t \)
= \(\frac{\mathrm{I}_0 \pi}{\omega} \)
= \(\frac{4 \times 10^{-3} \times \pi}{\pi} \)
= 4 × 10^-3 J

વિશેષ માહિતી : Higher Order Thinking Skills (HOTS)

શું પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે ?
ધોરણ VIમાં પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે; પણ તે બારમાં ધોરણમાં અને ત્યાર પછી તેમ કરતો નથી ! તમે શું અચંબિત થઈ ગયા ?
શાળામાં તમને એક પ્રયોગ બતાવવામાં આવે છે કે જેમાં સૂક્ષ્મ છિદ્રો (Pinholes) હોય તેવા ત્રણ કાર્ડબોર્ડ તમે લો છો, એક બાજુ મીણબત્તી રાખી તેને બીજી બાજુથી જુઓ છો.
જો મીણબત્તીની જ્યોત અને ત્રણેય છિદ્રો એક જ રેખા પર હોય તો તમે મીણબત્તી જોઈ શકો છો. જો તેમાંના એકાદને પણ સહેજ ખસેડવામાં આવે તો તમે મીણબત્તી જોઈ શકતા નથી. તેથી તમારા શિક્ષક કહે છે કે, આ સાબિત કરે છે કે પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે.

આ પુસ્તકમાં, બે ક્રમિક પ્રકરણો છે, એક કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર પર અને બીજું તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર પર. કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર પ્રકાશના સુરેખ પ્રસરણ પર આધારિત છે અને તે અરીસા, લેન્સ, પરાવર્તન, વક્રીભવન વગેરે જેવાં મુદ્દાઓ સાથે સંકળાયેલ છે. ત્યારપછીનું પ્રકરણ તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્રનું છે અને તમને ઉપર કહેવામાં આવ્યું છે કે પ્રકાશ તરંગની જેમ ગતિ કરે છે એટલે કે, તે પદાર્થ (અડચણ) આગળથી વાંકું વળી શકે છે, તે વિવર્તન અને વ્યતિકરણ અનુભવે છે, વગેરે.

દશ્ય વિભાગમાં, પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લગભગ અડધા માઇક્રોમીટરના જેટલી હોય છે. તે જો લગભગ આ જ પરિમાન ધરાવતી અડચણ જોડે અથડાય તો તે તેની પાસેથી વાંકું વળે છે. અને તેને બીજી બાજુથી જોઈ શકાય છે. આમ, માઇક્રોમીટરના માપની અડચણ પ્રકાશ કિરણને રોકી શકતી નથી. જે અડચણ ખૂબ જ મોટા કદની હોય તો પ્રકાશ આટલા મોટા પ્રમાણમાં વળી શકતો નથી અને તેને બીજી બાજુથી જોઈ શકાશે નહીં.

આ કોઈ પણ તરંગનો વ્યાપક ગુણધર્મ છે અને તે ધ્વનિ તરંગો માટે પણ જોઈ શકાય છે. આપણી વાણીના તરંગની તરંગલંબાઈ લગભગ 50 cm થી 1 m સુધીની હોય છે. હવે તે જો અમુક મીટરના માપના અડચણ સાથે અથડાય તો તેને ફરતે વાંકું વળે છે અને અડચણની પાછળના બિંદુઓએ આગળ પહોંચે છે. પરંતુ તે જો તેના પથમાં મોટા, લગભગ અમુક સો મીટરના, અડચણ, જેમકે, ખડકો (Hilock) સાથે અથડાય તો ? તો તેમાંના મોટાભાગનું પરાવર્તન થાય છે અને તે પડધા તરીકે સંભળાય છે.

તો પછી પ્રાથમિક શાળામાં ભણેલા પ્રયોગનું શું ? આપણે જયારે કાર્ડબોર્ડને ખસેડીએ છીએ ત્યારે સ્થાનાંતર અમુક મિલિમીટરના ક્રમનું હોય છે, જે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતાં ઘણું મોટું છે અને તેથી મીત્રબત્તી જોઈ શકાતી નથી. આપણે જે એકાદ કાર્ડબોર્ડને માઇક્રોમીટર કે તેનાથી ઓછું ખસેડી શકીએ તો પ્રકાશનું વિવર્તન થશે અને મીણબત્તી હજી પણ જોઈ શકાશે.
આપણે આ બૉક્સમાંના પ્રથમ વાક્યમાં ઉમેરી શકીએ કે “તે જેમ મોટું થતું જાય છે તેમ વળતાં શીખે છે !”

ધારો કે, S₁ અને S₂ બે સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમોમાંથી ઉત્પન્ન થતાં તરંગોનું t સમયે સ્થાનાંતર,
y₁ = a₁ sinωt
y₂ = a₁sin[ωt + Φ)
જ્યાં a₁,a₂ એ બંને તરંગોના અનુક્રમે કંપવિસ્તાર છે અને Φ એ બંને તરંગો વચ્ચેનો અચળ કળાતફાવત છે.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંત પરથી પરિજ્ઞામી સ્થાનાંતર,
y = y₁ + y₂
= a₁ωt + a₂sin(ωt+Φ)
= a₁ωt + a₂sinωt cos Φ +a₂ cosωtsinΦ
= (a₁ + a₂cosΦ)sinωt+a₂sinΦcosωt
હવે a₁ + a₂cosΦ = Acosθ ……………………….. (1)
a₂sinΦ = Asinθ ……………………………. (2)
∴ y = Acosθsinωt + Asinθcosωt
∴ y = Asin (ωt +Φ)

સમીકરણ (1) અને (2) નો વર્ગ કરી સરવાળો કરતાં,

પણ તરંગની તીવ્રતા ∝ (કંપવિસ્તાર)²
∴ I ∝ A², I₁ ∝ a₁² અને I₂ ∝ a₂²
∴ I = kA², I₁ = ka₁,sup>2 અને I₂ = ka₂²
જ્યાં K = ચલનનો અચળાંક છે.
∴ સમીકરણ (3) પરથી,
KA² = Ka₁²+Ka₂²+\(2 \sqrt{k} a_1 \sqrt{k} a_2 \cos \phi \)
∴ I = I₁²+I₂²+2\(\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi\)
જે પરિણામી તીવ્રતાનું સમીકરણ છે.

ડેનીસ ગાબર (Dennis Gabor) ના નોબલનું વ્યાખ્યાન
થોમસ યંગ દ્વારા 1801 માં કરવામાં આવેલ અદ્ભુત સરળ પ્રયોગ દ્વારા પ્રકાશનો તરંગ સ્વભાવ પ્રથમ વખત ખાતરીપૂર્વક (Convincingly) દર્શાવવામાં આવ્યો. તેણે સૂર્યપ્રકાશના કિરણને રૂમમાં દાખલ થવા દીધો, તેની આગળ કાળો પડદો રાખ્યો, તેમાં બે નાના છિદ્રો કર્યા અને તેનાથી આગળ અમુક અંતરે એક સફેદ પડદો રાખ્યો. તેણે બે પ્રકાશિત રેખાઓનાં બંને છેડે પ્રમાણમાં બે અપ્રકાશિત રેખાઓ જોઈ, આ ઘટનાએ તેને આ પ્રયોગ ફરીવાર કરવા પૂરતું પ્રોત્સાહન આપ્યું, પણ આ વખતે પ્રકાશ ઉદ્ગમ તરીકે સ્પિરિટ જ્યોત લીધી કે જેમાં થોડુંક મીઠું ઉમેરતાં સોડિયમનો તેજસ્વી પીળો પ્રકાશ ઉત્પન્ન થયો.

આ વખતે તેણે સંખ્યાબંધ અપ્રકાશિત શલાકાઓ જઈ કે જે એકબીજાથી સરખા અંતરે હોય. આ પહેલી વખતની સ્પષ્ટ સાબિતી હતી કે પ્રકાશ એક્બીજામાં ઉમેરાઈને અંધારું આપી શકે. આ ઘટનાને વ્યતિકરણ કહે છે. થોમસ યંગે આની અપેક્ષા રાખેલી હતી, કારણ કે તે પ્રકાશના તરંગવાદમાં માનતો હતો.

તમારી આંખની વિભેદનશક્તિ શોધો
તમે તમારી આંખની વિભેદનશક્તિ એક સરળ પ્રયોગ દ્વારા
શોધી શકો છો. એકસરખી પહોળાઈ ધરાવતી અને સફેદ પટ્ટીઓથી છૂટી પાડતી કાળી પટ્ટીઓ બનાવો, નીચે આકૃતિ જુઓ. બધી જ કાળી પટ્ટીઓ સરખી પહોળાઈની હોવી જોઈએ, જ્યારે વચ્ચે વચ્ચેની સફેદ પટ્ટીઓની જાડાઈ તમે ડાબેથી જમણે જાઓ તેમ વધતી હોવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે બધી કાળી પટ્ટીઓની જાડાઈ 5 mm છે. ધારો કે, પ્રથમ બે સફેદ પટ્ટીઓની જાડાઈ 0.5 mm છે, પછીની બે સફેદ પટ્ટીઓની જાડાઈ 1 mm, પછીની બે દરેક 1.5 mm ની વગેરે. આ ભાતને ઓરડાની કે લેબોરેટરીની દીવાલ પર તમારી આંખની ઊંચાઈએ ચોંટાડો.

હવે આ ભાતને, બને તો એક આંખથી જુઓ. હવે દીવાલથી દૂર અથવા નજીક ખસીને એવું સ્થાન નક્કી કરો કે જેમાં કોઈક બે કાળી પટ્ટીઓ એકબીજાથી છૂટી પટ્ટીઓ તરીકે દેખાય. આ કાળી પટ્ટીઓની ડાબી બાજુ આવેલી બધી જ કાળી પટ્ટીઓ એકબીજામાં ભળી ગયેલી દેખાશે અને તેમને છૂટી જોઈ શકાશે નહીં. તેનાથી વિરુદ્ધ, જમણી બાજુ આવેલી પટ્ટીઓ વધારેને વધારે સ્પષ્ટતાથી જોઈ શકાશે. સફેદ પટ્ટી કે જે બે વિભાગને છૂટી પાડે છે તેની પહોળાઈ તે નોંધો અને તમારી આંખથી દીવાલ સુધીનું અંતર D માપો. તો d/D તમારી આંખની વિભેદન (શક્તિ) છે.

તમે બારીમાંથી દાખલ થતાં સૂર્યપ્રકાશની હાજરીમાં હવામાં તરતા ધૂળના રજક્શો જોયા હશે. જે રજક્સને તમે સ્પષ્ટ જોઈ શકો અને બીજા રજકાથી અલગ જોઈ શકો તે રજણનું તમારાથી અંતર શોધો. તમારી આંખની વિભેદનશક્તિ અને ધૂળના રજકણનું અંતર જાણતા હોવાથી, ધૂળના તે રજકાનું માપ (Size) નક્કી કરો.

પૂર્ણ પાગમનનો એક ખાસ કિસ્સો
જ્યારે પ્રકાશ બે માધ્યમોની આંતર સપાટી પર આપાત થાય છે ત્યારે એવું જોવામાં આવ્યું છે કે તેનો કેટલોક ભાગ પરાવર્તન પામે છે અને અમુક ભાગનું પારગમન થાય છે. આને સંબંધિત સવાલ વિચારો : શું એવું શક્ય છે કે અમુક શરતોને આધીન સપાટી (કે જે સામાન્ય રીતે પરાવર્તક છે)
પર આપાત એકરંગી પ્રકાશ કિરણપૂજનું પરાવર્તન કર્યાં સિવાય સંપૂર્ણ પારગમન થાય ? તમારા આશ્ચર્ય વચ્ચે, આનો જવાબ છે, હા.

એક સરળ પ્રયોગ ધ્યાનમાં લો અને શું થાય છે તે ચકાસો, લેસર, એક સારી ગુન્નવત્તાવાળો પોલેરાઈઝર, એક પ્રિઝમ અને પડદાને અહીં દર્શાવેલ આકૃતિ મુજબ ગોઠવો.
ધારો કે, લેસર ઉદ્ગમમાંથી ઉત્સર્જિત પ્રકાશ પોલેરાઇઝરમાંથી પસાર થાય છે અને પ્રિઝમની સપાટી ઉપર બ્રુસ્ટર આપાત કોણ i_B એ આપાત થાય છે. હવે, પોલેરાઇઝરને કાળજીપૂર્વક ભ્રમણ કરાવો અને તમે જોશો કે પોલેરાઇઝરની કોઈ ચોક્કસ ગોઠવન્ન માટે પ્રિઝમ ઉપર આપાત પ્રકાશનું સંપૂર્ણપણે પારગમન થાય છે અને પ્રિઝમની સપાટી પરથી કોઈ પ્રકાશનું પરાવર્તન થતું નથી. પરાવર્તિત કિરણમાં ટપકું સંપૂર્ણપર્શે નાબૂદ થાય છે.