GSEB Solutions Class 7 Maths Chapter 11 પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ Ex 11.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 7 Maths Chapter 11 પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ Ex 11.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 7 Maths Chapter 11 પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ Ex 11.3

1. નીચે વર્તુળની ત્રિજ્યા આપેલી છે. તેના પરથી વર્તુળોનો પરિઘ શોધોઃ (π = \(\frac {22}{7}\)લો)

પ્રશ્ન (a)
14 સેમી
જવાબ:
વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 14 સેમી
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14
= 88 સેમી

પ્રશ્ન (b)
28 મિમી
જવાબ:
વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 28 મિમી
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 28
= 176 મિમી

પ્રશ્ન (c)
21 સેમી
જવાબ:
વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 21 સેમી
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 21
= 132 સેમી

2. નીચેનાં વર્તુળોનાં ક્ષેત્રફળ ગણો, જ્યાં (π = \(\frac {22}{7}\) લો.)

પ્રશ્ન (a)
ત્રિજ્યા = 14 મિમી
જવાબ:
વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 14 મિની
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × (14)²
= \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14
= 22 x 28 = 61 મિનીટ

પ્રશ્ન (b)
વ્યાસ = 49 મી
જવાબ:
વર્તુળનો વ્યાસ (d) = 49 મી
∴ વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = \(\frac{\text { વ્યાસ }}{2}=\frac{49}{2}\)મી
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × (\(\frac {49}{2}\))²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{49}{2} \times \frac{49}{2}=\frac{154 \times 49}{4}\) = 1886.5 મી²

પ્રશ્ન (c)
ત્રિજ્યા = 5 સેમી
જવાબ:
વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 5 સેમી
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr² = \(\frac {22}{7}\) × (5)²
= \(\frac {22}{7}\) × 5 × 5 = \(\frac{22 \times 25}{7}=\frac{550}{7}\) = 78.57 સેમી²

પ્રશ્ન 3.
એક વર્તુળાકાર કાગળનો પરિઘ 154 મી છે, તો તેની ત્રિજ્યા શોધો. તેનું ક્ષેત્રફળ પણ શોધો. (π = \(\frac {22}{7}\)લો.)
જવાબ:
અહીં વર્તુળાકાર કાગળનો પરિઘ = 154 મી છે. આ કાગળની ત્રિજ્ય (r) શોધવી છે.
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr
154 = 2 × \(\frac {22}{7}\) × r
r = \(\frac{154 \times 7}{2 \times 22}\)
r = \(\frac{49}{2}\)મી
r = 24.5 મી વર્તુળની ત્રિજ્યા = 24.5 મી
હવે, આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ. વર્તુળની ત્રિજ્યા \(\frac{49}{2}\) મી છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr² = \(\frac {22}{7}\) × (\(\frac {49}{2}\))²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{49}{2} \times \frac{49}{2}=\frac{11 \times 7 \times 49}{2}=\frac{3773}{2}\) = 1886.5 મી²
આમ, વર્તુળની ત્રિજ્યા 24.5 મી અને વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ 1886.5 મી² છે.

પ્રશ્ન 4.
એક માળી 21 મીટર વ્યાસવાળા બાગને ફરતેથી બંધ કરવા માગે છે. જો તે દોરડાને બાગ ફરતે બે વાર ફેરવવા માગતો હોય, તો દોરડાની લંબાઈ શોધો. જો દોરડાની કિંમત એક મીટરના ₹ 4 હોય, તો જરૂરી દોરડાની કિંમત શોધો. (π = \(\frac {22}{7}\)લો.)

જવાબઃ
વર્તુળાકાર બાગનો વ્યાસ = 21 મી
∴ વર્તુળાકાર બાગની ત્રિજ્યા (r) = \(\frac {21}{2}\)મી
બાગનો પરિઘ = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × \(\frac {21}{2}\) = 22 × 3 = 66 મી
વર્તુળાકાર બાગની ફરતે દોરડાને બે વાર ફેરવવાનું છે.
∴ જરૂરી દોરડાની લંબાઈ = 2 × બાગનો પરિઘ
= 2 × 66 મી = 132 મી
1 મીટર દોરડાની કિંમત = ₹ 4
∴ 132 મીટર દોરડાની કિંમત = ₹ (4 × 132) = ₹ 528
આમ, જરૂરી દોરડાની કિંમત ₹ 528 થાય.

પ્રશ્ન 5.
4 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર કાગળમાંથી, 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળો વર્તુળાકાર કાગળ દૂર કરવામાં આવે છે. બાકીના કાગળનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (π = 3.14 લો.)

જવાબઃ
અહીં, વર્તુળાકાર કાગળની ત્રિજ્યા (R) = 4 સેમી
અંદરના વર્તુળાકાર કાગળની ત્રિજ્યા (r) = 3 સેમી
હવે, વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = π × (ત્રિજ્યા)²
∴ બાકીના કાગળનું ક્ષેત્રફળ = બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ – અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
= πR² – πr²
= π(R² – r²)
= π(R + r) (R – r)
= 3.14 (4 – 3) (4 + 3)
= 3.14 (1) (7)
= 21.98 સેમી²
આમ, બાકીના કાગળનું ક્ષેત્રફળ 21.98 સેમી² હોય.

પ્રશ્ન 6.
1.5 મીટર વ્યાસવાળા વર્તુળાકાર ટેબલક્લોથની કિનારી પર, સાધના લેસ મૂકવા માગે છે, જરૂરી લેસની લંબાઈ શોધો અને જો 1 મીટર લેસના ₹ 15 હોય, તો તેની કિંમત પણ શોધો. (π = 3.14 લો.)

જવાબઃ
વર્તુળાકાર ટેબલક્લોથનો વ્યાસ = 1.5 મી
∴ વર્તુળાકાર ટેબલક્લોથની ત્રિજ્યા (r) = \(\frac {1.5}{2}\) મી
અહીં વર્તુળાકાર ટેબલક્લોથની કિનારી પર લેસ મૂકવાની છે, તેથી વર્તુળનો પરિઘ શોધીશું.
પરિઘ = 2πr
= 2 × 3.14 × \(\frac {1.5}{2}\)
= 3.14 × 1.5 = 4.71 મી
આમ, 4.71 મી લંબાઈની લેસની જરૂર પડશે.
1 મી લંબાઈની લેસની કિંમત = ₹ 15
∴ 4.71 મી લંબાઈની લેસની કિંમત = ₹ (15 × 4.71) = ₹ 70.65
આમ, લેસની લંબાઈ 4.71 મી અને લેસની કિંમત ₹ 70.65 હોય.

પ્રશ્ન 7.
બાજુમાં દર્શાવેલ અર્ધવર્તુળાકાર આકૃતિની વ્યાસ સહિત પરિમિતિ શોધો.

જવાબઃ
આપેલા અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ = 10 સેમી
આપેલા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા = \(\frac {10}{2}\) સેમી = 5 સેમી
હવે, આપેલા અર્ધવર્તુળનો પરિઘ = \(\frac {2πr}{2}\) = πr
∴ πr = \(\frac {22}{7}\) × 5 = \(\frac {110}{7}\) = 15.71 સેમી
હવે, આપેલા અર્ધવર્તુળની પરિમિતિ = પરિઘ + વ્યાસ
= 15.71 સેમી + 10 સેમી
= 25.71 સેમી
આમ, આપેલી અર્ધવર્તુળ આકૃતિની પરિમિતિ 25.71 સેમી છે.

પ્રશ્ન 8.
જો પૉલિશ કરવાનો દર ₹ 15/મી² હોય, તો 1.6 મીટર વ્યાસવાળા વર્તુળાકાર ટેબલની ઉપરની સપાટીને પૉલિશ કરવાનો ખર્ચ શોધો. (π = 3.14 લો.)
જવાબઃ
ટેબલની વર્તુળાકાર સપાટીનો વ્યાસ = 1.6 મી
∴ ટેબલની વર્તુળાકાર સપાટીની ત્રિજ્યા (r) = \(\frac {1.6}{2}\)મી = 0.8 મી
ટેબલની વર્તુળાકાર સપાટીને પૉલિશ કરવાની છે. તેથી વર્તુળાકાર સપાટીનું
ક્ષેત્રફળ શોધીશું.
વર્તુળાકાર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= 3.14 × (0.8)²
= 3.14 × \(\frac {8}{10}\) × \(\frac {8}{10}\) = 2.0096 મી²
1 મી² પૉલિશ કરવાનો ખર્ચ = ₹ 15
∴ 2.0096 મી² પૉલિશ કરવાનો ખર્ચ = ₹(15 × 2.0096)
= ₹ 30.144
આમ, ટેબલની ઉપરની સપાટીને પૉલિશ કરવાનો ખર્ચ ₹ 30.144 થાય.

પ્રશ્ન 9.
શ્રુતિએ 44 સેમી લંબાઈના તારને વર્તુળાકારમાં વાળ્યો. તે વર્તુળની ત્રિજ્યા, શોધો. તેનું ક્ષેત્રફળ પણ શોધો. જો એ જ તારને ચોરસ આકારમાં વાળવામાં આવે, તો તેની દરેક બાજુની લંબાઈ કેટલી થશે? વર્તુળ અને ચોરસ એ બેમાંથી કઈ આકૃતિ વધુ ક્ષેત્રફળ આવરે છે? (1 = લો.)
જવાબઃ
તારની લંબાઈ = 44 સેમી
તારને વાળીને વર્તુળ બનાવવામાં આવે છે.
∴ બનતા વર્તુળનો પરિઘ = 44 સેમી
ધારો કે, આ વર્તુળની ત્રિજ્યા r છે.
વર્તુળનો પરિઘ = 2πr = 44
∴ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 44
∴ r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\)
∴ r = 7 સેમી
આમ, વર્તુળની ત્રિજ્યા 7 સેમી હોય.
બનતા આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × (7)² = \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 154 સેમી²
હવે, વર્તુળાકાર તારને ચોરસ આકારમાં વાળવામાં આવે છે.

આમ, બનેલા ચોરસની પરિમિતિ = વર્તુળનો પરિઘ
અર્થાત્ ચોરસની પરિમિતિ = 44 સેમી
ધારો કે, બનતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ x સેમી છે.
∴ ચોરસની પરિમિતિ = 4x = 44
∴ x = \(\frac {44}{4}\)
∴ x = 11 સેમી
બનતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ 11 સેમી હોય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × લંબાઈ
= 11 સેમી × 11 સેમી = 121 સેમી²
હવે, વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ 154 સેમી છે, જ્યારે ચોરસનું ક્ષેત્રફળ 121 સેમી² છે.
154 સેમી² > 121 સેમી²
∴ ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ વધારે છે.

પ્રશ્ન 10.
14 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર પૂંઠામાંથી, 3.5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા બે વર્તુળ અને 3 સેમી લંબાઈ અને 1 સેમી પહોળાઈવાળો એક લંબચોરસ કાપવામાં આવે છે (બાજુની આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે). બાકીના પૂંઠાનું ક્ષેત્રફળ ગણો. (π = \(\frac {22}{7}\)લો.)

જવાબઃ
આપેલા વર્તુળાકાર પૂંઠાની ત્રિજ્યા = 14 સેમી
આ વર્તુળાકાર પૂંઠાનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × (14)²
= \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14 = 616 સેમી²
પૂંઠામાંના નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા = 3.5 સેમી
∴ આ નાના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × (3.5)²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10}\) = 38.5 સેમી²
પૂંઠામાંથી આવાં નાનાં બે વર્તુળ કાપેલ છે.
∴ નાનાં બે વર્તુળનાં ક્ષેત્રફળ = 38.5 × 2 સેમી² = 77 સેમી²
વળી નાનો એક લંબચોરસ પણ કાપવામાં આવ્યો છે.
લંબચોરસની લંબાઈ (l) = 3 સેમી અને પહોળાઈ (b) = 1 સેમી
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = l × b
= 3 સેમી × 1 સેમી = 3 સેમી²
પૂંઠામાંથી કાપી લીધેલ કુલ ભાગ = બે વર્તુળ + એક લંબચોરસ
= 77 સેમી² + 3 સેમી² = 80 સેમી²
પૂંઠામાં બાકી રહેલો ભાગ = 616 સેમી² – 80 સેમી² = 536 સેમી²
આમ, બાકીના પૂંઠાનું ક્ષેત્રફળ 536 સેમી² થાય.

પ્રશ્ન 11.
6 સેમી બાજુવાળા ચોરસ આકારના ઍલ્યુમિનિયમ પતરામાંથી 6 સેમી 2 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ કાપવામાં આવે છે. બાકીના પતરાનું ક્ષેત્રફળ કેટલું? (π = 3.14 લો.)

જવાબઃ
ઍલ્યુમિનિયમના ચોરસ પતરાની બાજુની લંબાઈ = 6 સેમી
∴ ચોરસ પતરાનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × લંબાઈ
= 6 સેમી × 6 સેમી = 36 સેમી²
આ ચોરસ પતરામાંથી એક વર્તુળ કાપી લીધું છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 2 સેમી
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= 3.14 × (2)² = 3.14 × 2 × 2 = 12.56 સેમી²
ચોરસ પતરાનો બાકીનો ભાગ = 36 સેમી² – 12.56 સેમી² = 23.44 સેમી²
આમ, ચોરસ પતરાનો 23.44 સેમી² ભાગ બાકી રહે.

પ્રશ્ન 12.
એક વર્તુળનો પરિઘ 31.4 સેમી છે. તેની ત્રિજ્યા અને ક્ષેત્રફળ ગણો. (π = 3.14 લો.)
જવાબઃ
આપેલા વર્તુળનો પરિઘ = 31.4 સેમી
ધારો કે, આ વર્તુળની ત્રિજ્યા r છે.
∴ વર્તુળનો પરિઘ = 2πr = 31.4
∴ 2 × 3.14 × r = 31.4
∴ r = \(\frac{31.4}{2 \times 3.14}\)
∴ r = 5 સેમી
આમ, આપેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા 5 સેમી છે.
હવે, વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= 3.14 × (5)² = 3.14 × 5 × 5 = 78.5 સેમી²
આમ, વર્તુળની ત્રિજ્યા 5 સેમી અને ક્ષેત્રફળ 78.5 સેમી² છે.

પ્રશ્ન 13.
ફૂલનો એક વર્તુળાકાર બાગ, ચારે બાજુથી 4 મીટર પહોળા રસ્તાથી ઘેરાયેલો છે. બાગનો વ્યાસ 66 મીટર છે. રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય? (π = 3.14 લો.)

જવાબઃ
ફૂલોના વર્તુળાકાર બાગનો વ્યાસ = 66 મી
∴ ફૂલોના વર્તુળાકાર બાગની ત્રિજ્યા (r) = \(\frac {66}{2}\) મી = 33 મી
આ વર્તુળાકાર બાગની બહારની બાજુએ ફરતો 4 મી પહોળો રસ્તો છે.
∴ બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા (R) = 33 મી + 4 મી = 37 મી
બહારના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πR અને અંદરના વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = πr² થાય.
∴ રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ = πR² – πr²
= π(R² – r²)
= π(R + r) (R – r)
= 3.14(37 + 33)(37 – 33)
= 3.14 × 70 × 4 = 879.2 મી²
આમ, રસ્તાનું ક્ષેત્રફળ 879.2 મી² થાય.

પ્રશ્ન 14.
ફૂલના એક વર્તુળાકાર બાગનું ક્ષેત્રફળ 314 મીટર² છે. બાગના કેન્દ્રમાં મૂકેલ પાણી છાંટ વાનું મશીન, 12 મીટર ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર ભાગ પર પાણી છાંટી શકે છે. આ મશીન, આખા બાગને પાણી છાંટી શકે? (π = 3.14 લો.)
જવાબઃ
ફૂલના વર્તુળાકાર બાગનું ક્ષેત્રફળ = 314 મી²
ધારો કે, બાગની ત્રિજ્યા r મી છે.
∴ બાગનું ક્ષેત્રફળ = πr² = 314
∴ 3.14 × r² = 314
∴ \(\frac {314}{100}\) × r² = 314
∴ r² = \(\frac{314 \times 100}{314}\)
∴ r² = 100
∴ r² = 10²
∴ r = 10 મી
હવે, કેન્દ્રમાં મૂકેલ મશીન વડે આવરી લેવાયેલ ત્રિજ્યા 12 મી છે.
હવે, જુઓ 12 મી > 10 મી
આનો અર્થ એ થયો કે મશીન બાગથી પણ વધુ જગ્યામાં પાણી છાંટી શકે છે.
હા, મશીન બાગના બધા ભાગમાં પાણી છાંટી શકે.

પ્રશ્ન 15.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ અંદરના અને બહારના વર્તુળોના પરિઘ શોધો. (π =3.14 લો.)

જવાબઃ
બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા (R) = 19 મી
બહારના વર્તુળનો પરિઘ = 2πR
= 2 × 3.14 × 19
= 119.32 મી
અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) = 19 મી – 10 મી = 9 મી
અંદરના વર્તુળનો પરિઘ = 2πr
= 2 × 3.14 × 9 = 56.52 મી

પ્રશ્ન 16.
352 મીટર અંતર કાપવા માટે, 28 સેમી ત્રિજ્યાવાળા પૈડાએ કેટલા આંટા ફરવું પડે? (π = \(\frac {22}{7}\) લો.)
જવાબઃ
પૈડાની ત્રિજ્યા (r) = 28 સેમી
પૈડાનો પરિઘ = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 28
= 2 × 22 × 4 = 176 સેમી
આમ, પૈડું એક આંટામાં 176 સેમી અંતર કાપે.
હવે, કુલ 352 મી અંતર કાપવાનું છે. 352 મીને સેમીમાં ફેરવીએ.
∴ કુલ કાપવાનું અંતર = (352 × 100) સેમી = 35200 સેમી
176 સેમી અંતર કાપતાં પૈડાનો આંટો = 1
∴ 35200 સેમી અંતર કાપતાં પૈડાના આંટા = \(\frac {35200}{176}\) = 200
આમ, પૈડાને 200 આંટા ફરવા પડશે.

પ્રશ્ન 17.
વર્તુળાકાર ચંદાવાળી ઘડિયાળનો મિનિટ-કાંટો 15 સેમી લાંબો છે. આ કાંટાનું ટોચનું બિંદુ 1 કલાકમાં કેટલું અંતર કાપશે? (π =3.14 લો.)
જવાબઃ
ઘડિયાળના મિનિટ-કાંટાની લંબાઈ = 15 સેમી
ઘડિયાળમાં બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા એ મિનિટ-કાંટાની લંબાઈ છે.
∴ ઘડિયાળની ત્રિજ્યા (r) = 15 સેમી
ઘડિયાળના ચંદાની પરિમિતિ (પરિઘ) = 2πr
= 2 × 3.14 x 15 = 94.2 સેમી
હવે, 1 કલાકમાં મિનિટ-કાંટો ચંદા ઉપર પૂરું ચક્ર ફરે છે.
એટલે મિનિટ-કાંટાની ટોચ 1 કલાકમાં 94.2 સેમી અંતર કાપે છે.