GSEB Class 9 Maths Notes Chapter 1 સંખ્યા પદ્ધતિ

This GSEB Class 9 Maths Notes Chapter 1 સંખ્યા પદ્ધતિ covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

સંખ્યા પદ્ધતિ Class 9 GSEB Notes

→ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (Natural numbers) સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, … પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહેવાય છે. આવી બધી સંખ્યાઓના જથ્થાને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો જથ્થો કહે છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના જથ્થાને સંકેત N વડે દર્શાવાય છે.

• આથી N = {1, 2, 3, }
• સૌથી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1 છે, પરંતુ સૌથી મોટી પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું અસ્તિત્વ નથી. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ અગણ્ય (અસંખ્ય) છે.
• પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ વ અને b (જ્યાં, a < B હોય) માટે – a અને મની વચ્ચે (b – a – 1) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ મળે.

→ પૂર્ણ સંખ્યાઓ (Whole numbers) : પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના જથ્થામાં 0(શૂન્ય)નો સમાવેશ કરવાથી પૂર્ણ સંખ્યાઓનો જથ્થો મળે. તેને સંકેત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

• આથી W = {0, 1, 2, 3, …} સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા 0 છે, પરંતુ સૌથી મોટી પૂર્ણ સંખ્યા ન મળે. પૂર્ણ સંખ્યાઓ અસંખ્ય છે.
• પૂર્ણ સંખ્યાઓ વ અને b (જ્યાં, a < B હોય) માટે – a અને મની વચ્ચે (b – a- 1) પૂર્ણ સંખ્યાઓ મળે.

→ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ (Integers): બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, તેમની વિરોધી સંખ્યાઓ તથા તેના જથ્થાને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો જથ્થો કહે છે. તેને સંકેત 2 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

• આથી 7 = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના જથ્થા માટે વપરાતો સંકેત 2 એ જર્મન ભાષાના શબ્દ “Zahlen પરથી આવેલ છે, જેનો અર્થ છે ‘સંખ્યા” અથવા ગણવું’.
• સૌથી નાની તથા સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યાનું અસ્તિત્વ નથી. પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ અસંખ્ય છે.
• પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ વ અને b (જ્યાં, a < B હોય) માટે a અને b વચ્ચે (b – a – 1) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ મળે.

→ સંમેય સંખ્યાઓ (Rational numbers) : જો p અને q પૂર્ણાક હોય અને q શૂન્યતર હોય તથા સંખ્યા R ને \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં લખી શકાય, તો ‘r ને સંમેય સંખ્યા કહે છે. \(\frac{p}{q}\) (જ્યાં, p અને q પૂર્ણાક છે તથા q ≠ 0) સ્વરૂપની બધી જ સંખ્યાઓના જથ્થાને સંમેય સંખ્યાઓનો જથ્થો કહે છે. તેને સંકેત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અંગ્રેજી શબ્દ Rational એ Ratio પરથી આવેલ છે અને Q સંકેત એ અંગ્રેજી શબ્દ Quotient પરથી આવેલ છે.

• સૌથી નાની અને સૌથી મોટી સંમેય સંખ્યાનું અસ્તિત્વ નથી. સંમેય સંખ્યાઓ અસંખ્ય છે.
• સંમેય સંખ્યાઓને p પૂર્ણાક અને q શૂન્યતર પૂર્ણાક હોય તેવા \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે \(\frac{1}{4}, \frac{2}{8}, \frac{3}{12}, \frac{4}{16}\) તે બધી જ સંખ્યાઓ એક જ સંખ્યા તે દર્શાવે છે.
• આ બધી જ સંખ્યાઓને સમાન સંમેય સંખ્યાઓ (Equivalent rational numbers) કહે છે.
• \(\frac{p}{q}\)નું સંખ્યારેખા પર નિરૂપણ કરીએ છીએ ત્યારે સ્વીકારી લઈએ છીએ કે q ≠ 0 અને p અને qને 1 સિવાયનો કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી. (એટલે કે p અને q પરસ્પર અવિભાજ્ય (co-prime) છે.)
• સંમેય સંખ્યાઓ વ અને b (જ્યાં, a < b) માટે a અને bની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ મળે. સંમેય સંખ્યાઓના જથ્થા ઉનો આ વિશેષ ગુણ છે.
• દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા પણ છે, દા. ત., 7 = \(\frac{7}{1}\). તે જ રીતે દરેક પૂર્ણ સંખ્યા તથા દરેક પૂણક સંખ્યા પણ સંમેય સંખ્યા છે.
• સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ સ્વરૂપ સાન્ત મળે અથવા અનંત આવૃત્ત મળે. દા. ત., \(\frac{1}{5}\) = 0.2, \(\frac{12}{5}\) = 2.4, \(\frac{2}{5}\) = 0.6, \(\frac{1}{6}\) = 0.16

→ આપેલ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ આપેલ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ વચ્ચેની માગ્યા પ્રમાણેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા ત્રણ અલગ પદ્ધતિઓ વાપરી શકીએ.

• ધારો કે, આપેલ ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓ વ અને b (a < b) છે. 3 અને 6ની સરેરાશ લેતા મળતી સંખ્યા \(\frac{a+b}{2}\) એ a અને b વચ્ચેની સંમેય સંખ્યા થાય. એટલે કે a < \(\frac{a+b}{2}\)
• વ અને મને સમચ્છેદી સંખ્યાઓ તરીકે દર્શાવો અને ત્યારબાદ a અને b વચ્ચેની કેટલી સંમેય સંખ્યાઓ શોધવી છે તે મુજબની સમાન સંમેય સંખ્યાઓ દર્શાવો.
• વ અને મને દશાંશ સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને ત્યારબાદ દશાંશ સ્થળની જમણી બાજુના અંકો પછી જોઈતા પ્રમાણમાં શૂન્યો ઉમેરો.

ઉદાહરણ : 1.
\(\frac{2}{9}\) અને \(\frac{2}{7}\) વરયોની યાર સંમેચ સંખ્યાઓ શોધો
ઉત્તર:

આમ, આપણને \(\frac{28}{126}\left(\frac{2}{9}\right)\) અને \(\left(\frac{2}{7}\right)\) વચ્ચેની સાત સંમેય સંખ્યાઓ મળી. તે પૈકી કોઈ પણ ચાર સંખ્યા માંગ્યા મુજબની ચાર સંખ્યા છે.
આથી \(\frac{29}{126}, \frac{30}{126}\left(\frac{5}{21}\right), \frac{31}{126}, \frac{32}{126}\left(\frac{16}{63}\right)\) એ \(\frac{2}{9}\) અને \(\frac{2}{7}\) વચ્ચેની અનંત સંમેય સંખ્યાઓ પૈકીની ચાર સંમેય સંખ્યાઓ છે. ૬

→ અસંમેય સંખ્યાઓ (Irrational numbers): જો સંખ્યા sને p પૂર્ણક અને q શૂન્યતર પૂર્ણાક હોય તેવા p, q માટે \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં મૂકી ના શકાય, તો તેવી સંખ્યા sને અસંમેય સંખ્યા કહે છે.

• બીજી રીતે, જે સંખ્યા સંમેય સંખ્યા નથી તેને અસંમેય સંખ્યા કહે છે. દશાંશ પદ્ધતિ મુજબ જે સંખ્યાનું દશાંશ સ્વરૂપ સાન્ત અથવા અનંત આવૃત્ત ન હોય તેવી સંખ્યાને અસંમેય સંખ્યા કહે છે. અસંમેય સંખ્યાને આ સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય નહીં.
• √2, √3, 3√10 જેવી સંખ્યાઓ અસંમેય સંખ્યાઓ છે.
• અસંમેય સંખ્યાનું દશાંશ સ્વરૂપ અનંત અનાવૃત્ત હોય છે.
  દા. ત., 0.01001000100001 ……..

ઉદાહરણ : 1.
√5 ને સંખ્યારેખા પર દર્શાવો.

ઉત્તર:
સૌપ્રથમ સંખ્યારેખા પર એક બિંદુ ) પસંદ કરો, જેને સંગત સંખ્યા 0 છે. યોગ્ય એકમ પસંદ કરીને સંખ્યારેખા પર બિંદુ A દર્શાવો, જે સંખ્યા 1નું નિરૂપણ કરે. રેખાખંડ OAને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. રેખાખંડ OB દોરો. હવે, પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર OB = √2 થાય. રેખાખંડ OBને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ BC દોરો. રેખાખંડ 0C દોરો. હવે, OC = √3 થાય. રેખાખંડ OCને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ CD દોરો. રેખાખંડ OD દોરો. હવે, OD = √4 થાય. રેખાખંડ ODને લંબ હોય તેવો 1 એકમ લંબાઈનો રેખાખંડ DE દોરો. રેખાખંડ OE દોરો. હવે, OE = √5 થાય. હવે, કેન્દ્ર અને OE ત્રિજ્યા લઈ વર્તુળનો એક ચાપ દોરો, જે સંખ્યારેખાને Pમાં છેદે. આમ, √5 ને સંખ્યારેખા પર બિંદુ P દ્વારા દર્શાવી શકાય.

ટૂંકી રીતઃ √5નું સંખ્યારેખા પર નિરૂપણ બીજી ટૂંકી રીતે પણ કરી શકાય.

સંખ્યારેખા | પર અને સંગત હોય તેવું બિંદુ પસંદ કરો. યોગ્ય એકમ પસંદ કરીને OA = 2 એકમ થાય તેવું બિંદુ A સંખ્યારેખા પર લો. હવે, કાટકોણ ΔOAP રચો. જેમાં ∠OAP = 90° અને AP = 1 એકમ હોય.
હવે, પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર, OP² = OA² + AP²
= (2)² + (1)²
= 4 + 1
= 5.
OP = √5
હવે, O કેન્દ્ર અને OP ત્રિજ્યા લઈ વર્તુળનું એક ચાપ દોરો, જે ને Bમાં છેદે. √5 ને સંખ્યારેખા પર બિંદુ B દ્વારા દર્શાવી શકાય.

→ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ (Real numbers) : સંમેય સંખ્યાઓ તથા અસંમેય સંખ્યાઓને એકસાથે લેતા જે સમૂહ મળે તેને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ કહે છે. તેને સંત વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

→ કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના વર્ગમૂળના સ્વરૂપમાં હોય તેવી અસંમેય સંખ્યા જેવી કે √2, √3, √5 વગેરેને પાયથાગોરસના પ્રમેયના ઉપયોગ દ્વારા આપણે સંખ્યારેખા પર દર્શાવી શકીએ. તે માટે આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાને બે કે તેથી વધુ સંખ્યાઓના વર્ગના સરવાળા તરીકે દર્શાવવી પડે.
દા. ત., √5 = \(\sqrt{2^{2}+1^{2}}\), √21 = \(\sqrt{4^{2}+2^{2}+1^{2}}\)

પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યાનું સંખ્યારેખા પરના એક અનન્ય બિંદુ તરીકે નિરૂપણ કરી શકાય છે. એવી જ રીતે સંખ્યારેખાનું પ્રત્યેક બિંદુ એ એક વાસ્તવિક સંખ્યા દર્શાવે છે. આ કારણથી જ સંખ્યારેખાને વાસ્તવિક સંખ્યારેખા કહેવામાં આવે છે.

વાસ્તવિક સંખ્યા અને તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ: દરેક સંમેય સંખ્યાને \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જ્યાં p પૂર્ણક અને q શૂન્યતર પૂર્ણાક હોય. હવે, સ્વરૂપની સંમેય સંખ્યાને દશાંશ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે pને q વડે ભાગવામાં આવે છે.

→ ભાગફળ શોધવાની ક્રિયા દરમિયાન મળતી શેષ વિશે બે શક્યતાઓ જોવા મળે છે?
(1) ભાગાકારની ક્રિયાના અમુક તબક્કા પછી શેષ શૂન્ય મળે છે. દા. ત., \(\frac{5}{8}\)

∴ \(\frac{5}{8}\) = 0.625 જુઓ અહીં શેષ : 2, 4, 0
આવી સંખ્યાઓને સરળતાથી દશાંશ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે.

(2) ભાગાકારની ક્રિયાના અમુક તબક્કા પછી શેષ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી, પરંતુ શેષનું પુનરાવર્તન થાય છે અને દશાંશ અભિવ્યક્તિ આગળને આગળ વધતી જાય છે. દા. ત., \(\frac{5}{7}\)

\(\frac{5}{7}\) = 0.714285714285…
જુઓ અહીં શેષ: 1, 3, 2, 6, 4, 5 મળે છે. તે પછી પુનરાવર્તન થાય છે.

અહીં, શેષ 1, 3, 2, 6, 4 અને 5નું તે જ ક્રમમાં ફરી ને ફરી પુનરાવર્તન થાય છે. ભાગફળમાં અનુક્રમે 7, 1, 4, 2, 8 અને 5નું તે જ ક્રમમાં ફરી ને ફરી પુનરાવર્તન થાય છે.

આને અનંત આવૃત્ત અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે.

→ આમ, જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાત્ત અથવા અનંત આવૃત્ત હોય, તો તે સંખ્યા સંમેય સંખ્યા છે.

→ કોઈ પણ સંખ્યા દશાંશ સ્વરૂપમાં અનંત આવૃત્ત સ્વરૂપે આપેલ હોય તો તેને \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.

→ જો સંમેય સંખ્યા 0.ppp… સ્વરૂપે હોય, તો તેને \(\frac{p}{9}\) સ્વરૂપે લખી શકાય.

→ જો સંમેય સંખ્યા 0.pqpq… સ્વરૂપે હોય, તો તેને \(\frac{pq}{99}\) સ્વરૂપે લખી શકાય.

→ જો સંમેય સંખ્યા 0.pqrpqr. સ્વરૂપે હોય, તો તેને \(\frac{pqr}{999}\) સ્વરૂપે લખી શકાય.

→ જો કોઈ બે સંમેય સંખ્યાઓ આપી હોય, તો તેમની વચ્ચેની એક કે તેથી વધુ અસંમેય સંખ્યાઓ મેળવી શકાય.

→ √2, √3 વગેરે જેવી અસંમેય સંખ્યાઓની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત્ત મળે.

→ અસંમેય સંખ્યા છે. π = \(\frac{22}{7}\) કે π = 3.14 એ આશરે (આસન્ન) મૂલ્યો છે.

→ જો કોઈ સંમેય સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત્ત હોય, પરંતુ તેમાં દશાંશ-ચિહ્ન પછીના બધા જ અંકો પુનરાવર્તિત ન થતા હોય, તો તેવી સંખ્યાને પણ \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં સહેલાઈથી નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય : a.bcd = \(\frac{p}{q}\)
જ્યાં p = દશાંશ-ચિહ્નની અવગણના કરતાં બધા જ અંકો દ્વારા બનતી સંખ્યા – દશાંશ-ચિહ્નની અવગણના કરતાં પુનરાવર્તિત ન થતા હોય તેવા અંકો દ્વારા બનતી સંખ્યા. એટલે કે p = abcd – ab
q = દશાંશ-ચિહ્ન બાદ જેટલા અંકો પુનરાવર્તિત થતા હોય તેટલા 9 અને જેટલા અંકો પુનરાવર્તિત ન થતા હોય તેટલા 0 દ્વારા બનતી સંખ્યા.

એટલે કે q = 990

→ જો કોઈ સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાન્ત હોય અથવા અનંત આવૃત્ત હોય, તો અને તો જ તે સંખ્યા સંમેય સંખ્યા છે.

→ જો કોઈ સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત્ત હોય, તો અને તો જ તે સંખ્યા અસંમેય સંખ્યા છે.

→ ટૂંકમાં, સંમેય સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાન્ત અથવા અનંત આવૃત્ત હોય છે અને અસંમેય સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત્ત હોય છે.

→ સંમેય સંખ્યા \(\frac{p}{q}\)માં જો q = 2^m5ⁿ (m અને તે પૂર્ણ સંખ્યા) હોય તો તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાત્ત મળે.

→ સંમેય સંખ્યા \(\frac{p}{q}\) માં જો qને 2 અને 5 સિવાયનો કોઈ પણ અવિભાજ્ય અવયવ હોય તો તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત્ત મળે.

ઉદાહરણઃ 1.
નીચેની સંખ્યાઓને દશાંશ સ્વરૂપમાં લખો અને તે કેવા પ્રકારની દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે, તે જણાવોઃ
(1) \(\frac{2}{11}\)
ઉત્તર:

\(\frac{2}{11}\)ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત્ત છે.

(2) \(\frac{121}{400}\)
ઉત્તર:

આમ, \(\frac{121}{400}\) = 0.3025
\(\frac{121}{400}\)ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ સાત્ત છે.

(3) \(\frac{5}{13}\)
ઉત્તર:

આમ, \(\frac{5}{13}\) = 0.384615384615… = \(0 . \overline{384615}\)
\(\frac{5}{13}\)ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત્ત છે.

ઉદાહરણઃ 2.
નીચેની સંખ્યાઓને \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં દર્શાવો, જ્યાં p પૂર્ણાંક અને q શૂન્યતર પૂર્ણાક હોય
(1) \(0 . \overline{35}\)
ઉત્તર:
ધારો કે, x = \(0 . \overline{35}\)
x = 0.353535…
∴ 100 x = 35.353535..
∴ 100 x = 35 + x
∴ 99 x = 35
∴ x = \(\frac{35}{99}\)
આમ,\(0 . \overline{35}\) = \(\frac{35}{99}\)

(2) \(0 . \overline{57}\)
ઉત્તર:
ધારો કે, x = \(0 . \overline{57}\)
∴ x = 0.57777…
∴ 10x = 5.7777….
∴ 10x = 5.2 + 0.57777…
∴ 10x = 5.2 + x
∴ 9x = 5.2
∴ 9x = 2
∴ x = \(\frac{52}{10}\)
∴ x = \(\frac{52}{90}\)
x = \(\frac{26}{45}\)
આમ, \(0 . \overline{57}\) = \(\frac{26}{45}\)

(3) \(0 . \overline{125}\)
ઉત્તર:
ધારો કે, x = \(0 . \overline{125}\)
∴ x = 0.125125…
∴ 1000x = 125.125125…
∴ 1000x = 125 + x
∴999x = 125
∴ x = \(\frac{125}{999}\)
આમ, \(0 . \overline{125}\) = \(\frac{125}{999}\)

નોંધ: ઉપરોક્ત દર્શાવેલ રીતમાં દશાંશ પછી જો જો અંક પુનરાવર્તિત થતા હોય, તો આપેલ સંખ્યા ને 10^m વડે ગુણીને પછી બાદબાકી (10^m x – x) મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણઃ 3.
સંમેય સંખ્યાઓ 1 અને ની વચ્ચે આવેલી ત્રણ ભિન અસંમેય સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તર:
\(\frac{1}{4}\) = 0.25 અને \(\frac{4}{5}\) = 0.8
આથી અને ની વચ્ચે આવેલી ત્રણ ભિન્ન અસંમેય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ લઈ શકાયઃ
0.30300300030000 ………….
0.40400400040000 …………..
0.50500500050000 ……..

ઉદાહરણઃ 4.
અસંમેય સંખ્યાઓ √3 અને √5ની વચ્ચે આવેલી ત્રણ ભિન્ન ? અસંમેય સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તર:
નોંધઃ જો વ અને b વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય તથા ab એ કોઈ સંમેય સંખ્યાનો વર્ગ ન હોય, તો √ab એ a અને bની વચ્ચે આવેલી અસંમેય સંખ્યા છે.
√3 અને √5 ની વચ્ચે આવેલી એક અસંમેય સંખ્યા

√8 અને 15^1/4 ની વચ્ચે આવેલી એક અસંમેય સંખ્યા

√3 અને 3^3/8 5^1/8 ની વચ્ચે આવેલી એક અસંમેય સંખ્યા

અને 15^1/4, 3^3/8 5^1/8 અને 3^7/16 5^1/16 એ √3 અને √5ની વચ્ચે આવેલી ત્રણ અસંમેય સંખ્યાઓ છે.

→ સંખ્યારેખા પર વાસ્તવિક સંખ્યાનું નિરૂપણ : સાત્ત દશાંશ અભિવ્યક્તિવાળી તથા અનંત આવૃત્ત અભિવ્યક્તિવાળી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ક્રમિક વિપુલદર્શિતાની પદ્ધતિથી વાસ્તવિક સંખ્યારેખા ઉપર નિરૂપણ કરી શકાય છે.

→ અનંત અનાવૃત્ત દશાંશ અભિવ્યક્તિવાળી વાસ્તવિક સંખ્યાને સંખ્યારેખા ઉપર પ્રદર્શિત કરવા માટે પણ આ જ ક્રમિક વિપુલદર્શિતા પદ્ધતિ અપનાવીએ છીએ.

→ સંખ્યારેખા ઉપર 2.347 નું નિરૂપણ જુઓ :

ઉપરોક્ત ઉદાહરણમાં આપણે સાન્ત દશાંશ અભિવ્યક્તિ ધરાવતી સંખ્યાનું નિરૂપણ કર્યું. તે જ રીતે અનંત આવૃત્ત અને અનંત અનાવૃત્ત દશાંશ અભિવ્યક્તિ ધરાવતી સંખ્યાઓનું નિરૂપણ માગ્યા પ્રમાણેના દશાંશ-સ્થળ સુધી કરી શકીએ.

→ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાને સંખ્યારેખા પર અનન્ય બિંદુ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે તથા સંખ્યારેખા પરનું દરેક બિંદુ અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા દર્શાવે છે. આથી જ સંખ્યારેખાને વાસ્તવિક સંખ્યારેખા કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણઃ 1.
2.84ને 5 દશાંશ-સ્થળ સુધી એટલે કે 2.64444ને સંખ્યારેખા પર દર્શાવો.
ઉત્તર:

→ અસંમેય સંખ્યાઓની ગાણિતિક પ્રક્રિયાઓ બે અસંમેય સંખ્યાઓના સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર અસંમેય સંખ્યાઓ જ હોય એવું નથી. આ પરિણામો સંમેય સંખ્યાઓ પણ હોઈ શકે.
દા. ત., 3 + √5 અને 3 – √5 માટે (3 + √5) + (3 – √5) = 6, જે સંમેય સંખ્યા છે.
વળી, (3 + √5) × (3 – √5) = (3)² – (√5)²
= 9 – 5
= 4, જે સંમેય સંખ્યા છે.

આમ, અસંમેય સંખ્યાઓ સંવૃત્તતાનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

→ અસંમેય સંખ્યાઓ સરવાળા તથા ગુણાકાર વિશે ક્રમનો અને જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે. વળી (સંમેય સંખ્યાઓની જેમ), વિભાજનનો ગુણધર્મ પણ ધરાવે છે.

→ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાના 1-મૂળ: જો a ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તથા n પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય, તો એક અને માત્ર એક જ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા x મળે, જેથી xⁿ = a. આ સંખ્યા ને ઘનું ધન x-મૂળ કહે છે તથા x = n√a લખાય છે.

→ આપણે સ્વીકારીશું કે oⁿ = 0 અને n√a = 0 (n પ્રાકૃતિક સંખ્યા)

→ √x² = |x| થાય.
એટલે કે √36 = 6 લખાય. પરંતુ 36નું વર્ગમૂળ (શબ્દોમાં લખાય ત્યારે) 6 અથવા – 6 છે..

→ જો a, b, c, d ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય, તો

• √ab = √a √b
• \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
• (√a + √b ) (√a – √b) = a – b
• (a + √b ) (a – √b) = a² – b
• (√a + √b) (√C + √d ) = √ac + √ad + √bc + √bd
• (√a ± √b) = a ± 2 √ab + b

→ અગત્યનાં તારણો:

• શૂન્યતર સંમેય સંખ્યાનો અસંમેય સંખ્યા સાથેનો સરવાળો અથવા તફાવત અથવા ગુણાકાર અસંમેય સંખ્યા છે.
• શૂન્યતર સંમેય સંખ્યાને અસંમેય સંખ્યા વડે ભાગતાં ભાગફળ અસંમેય સંખ્યા મળે છે.
• બે અસંમેય સંખ્યાઓનો સરવાળો, તફાવત, ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર સંમેય સંખ્યા અથવા અસંમેય સંખ્યા હોઈ શકે.

→ સંમેયીકરણ (Rationalization): કોઈ અસંમેય સંખ્યાને શક્ય હોય, તો યોગ્ય અસંમેય સંખ્યા વડે ગુણીને ગુણનફળ સંમેય મેળવવાની રીતને સંમેયીકરણ કહે છે.

→ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા વ માટે √a ને ભૌમિતિક રીતે મેળવવાની રચના :

• કિરણ AX લો.
• AB = a એકમ થાય તેવું બિંદુ B, કિરણ AX ઉપર લો.
• BC = 1 એકમ થાય તેવું બિંદુ C કિરણ BX પર લો.
• રેખાખંડ ACનું મધ્યબિંદુ P મેળવો.
• Pને કેન્દ્ર લઈ AP જેટલી ત્રિજ્યાવાળું અર્ધવર્તુળ દોરો.
• રેખાખંડ AC પર B આગળ લંબ દોરો, જે અર્ધવર્તુળને Dમાં છેદે.
• BD = √a નોંધ : આ રચનાથી સાબિત થાય છે કે, પ્રત્યેક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે √a નું અસ્તિત્વ છે.

→ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)નું સંખ્યારેખા પર નિરૂપણ કરવું સહેલું નથી. પરંતુ \(\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\) લેવાથી તેનું નિરૂપણ સહેલાઈથી થઈ શકે. અહીં √5ને 5 વડે ગુણવાથી સંમેય સંખ્યા મળે છે. તેથી √5 ને √5 નો સમયકારક અવયવ કહે છે. (√a + √b) તથા (√a – √b) બંને પરસ્પરના સમયકારક અવયવ છે.

આમ, જ્યારે કોઈ અભિવ્યક્તિના છેદમાં વર્ગમૂળવાળું પદ (અથવા કરણી ચિહ્નની અંદરની સંખ્યા) હોય ત્યારે જેનો છેદ એક સંમેય સંખ્યા હોય તેવી સમતુલ્ય અભિવ્યક્તિમાં તેને રૂપાંતરિત કરવાની પદ્ધતિને છેદનું સંમેયીકરણ (Rationalising the denominator) કહે છે.

ઉદાહરણ : 1.
4√3 + 2√5 અને 6√3 –4√5 નો સરવાળો કરો.
ઉત્તર:
(4 √3 + 2 √5) + (6 √3 – 4√5)
= (4√3 + 6√3) + (2√5 – 4√5)
= (4 + 6) √3 + (2 -4) √5
= 10√3 – 2√5

ઉદાહરણ : 2.
3√7 નો 5√7 સાથે ગુણાકાર કરો.
ઉત્તર:
3√7 × 5√7 = 3 × 5 × √7 × √7
= 15 × 7 = 105

ઉદાહરણ : ૩.
12√30 નો 3√5 વડે ભાગાકાર કરો.
ઉત્તર:
12√30 ÷ 3√5 = \(\frac{12 \times \sqrt{6} \times \sqrt{5}}{3 \times \sqrt{5}}\) = 4√6

ઉદાહરણ : 4.
નીચેના પ્રશ્નોમાં સાદું રૂપ આપોઃ
(1) (3 + √5)(4 – √11)
ઉત્તર:
(3 + √5)(4 – √11)
= 12 – 3√11 + 4√5 – √55

(2) (√15 + √7)(√15 – √7)
ઉત્તર:
= (√15)² – (√7)²
= 15 – 7 = 8

(3) (√11 – √3)²
ઉત્તર:
(√11)² – 2(√11)(√3) + (√3)²
= 11 – 2√33 + 3
= 14 – 2√33

ઉદાહરણ : 5.
નીચે આપેલ દરેક સંખ્યામાં છેદનું સંમેયીકરણ કરો:
(1) \(\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}}\)
ઉત્તર:

(2) \(\frac{1}{5+2 \sqrt{3}}\)
ઉત્તર:

(3) \(\frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m}\)
ઉત્તર:

ઉદાહરણ : 6.
જો \(\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5-2 \sqrt{6}}}\) = a + b√30 હોય, તો a અને b શોધો
ઉત્તર:

બંને બાજુના સંમેય ભાગ તથા અસંમેય ભાગના સહગુણક સરખાવતાં a = \(\frac{3}{7}\) અને b = \(\frac{4}{21}\) મળે.

ઉદાહરણ : 7.
જો x= 5 + 2√6 હોય, તો x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) તથા x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\)ની કિંમત શોધો.
ઉત્તર:
નોંધ : \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}\)= x² + 2 + \(\frac{1}{x^{2}}\) અને
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}\) = x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\) + 3(x)(\(\frac{1}{x}\))(x + \(\frac{1}{x}\))
x = 5 + 2√6

હવે x² + \(\frac{1}{x^{2}}\) = (x + \(\frac{1}{x}\))² – 2
= (10)² – 2
= 100 – 2 = 98
અને x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\) = (x + \(\frac{1}{x}\))³ – 3(x) (\(\frac{1}{x}\)) (x + \(\frac{1}{x}\))
= (10)³ – 3(10)
= 1000 – 30
= 970

→ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે ઘાતાંકના નિયમોઃ જો a અને b ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ તથા m અને n સંમેય સંખ્યાઓ હોય, તો

• a^m aⁿ = a^m+n
• \(\frac{a^{m}}{a^{n}}\) = a^{m- n}; m > n
  \(\frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{1}{a^{n-m}}\); m< n
  \(\frac{a^{m}}{a^{n}}\) = 1; m = n
• (a^m)ⁿ = a^mn
• (ab)^m = a^m. bⁿ
• \(\left(\frac{a}{b}\right)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}\)

→ આપણે સાબિત કરેલું છે કે –

• a° = 1; a શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા
• a^-n = \(\frac{1}{a^{n}}\); a શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા, n પૂર્ણક
• \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\); a ધન વાસ્તવિક સંખ્યા, n પ્રાકૃતિક સંખ્યા
• \(a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^{m}\) અથવા \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\).
• a ધન વાસ્તવિક સંખ્યા, જો પૂર્ણાક અને n પ્રાકૃતિક સંખ્યા

ઉદાહરણ : 1.
સાદું રૂપ આપોઃ
(1) \(3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}\)
ઉત્તર:

(2) \(\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3}\)
ઉત્તર:

(3) \(\frac{11^{\frac{1}{3}}}{11^{\frac{1}{5}}}\)
ઉત્તર:

(4) \(7^{\frac{1}{4}} 12^{\frac{1}{4}}\)
ઉત્તર:

ઉદાહરણ : 2.
કિંમત શોધો:
(1) \(64^{\frac{2}{3}}\)
ઉત્તર:
\(\left(2^{6}\right)^{\frac{2}{3}}=2^{6 \times \frac{2}{3}}\) = 2⁴ = 16

(2) \(625^{\frac{3}{4}}\)
ઉત્તર:
\(\left(5^{4}\right)^{\frac{3}{4}}=5^{4 \times \frac{3}{4}}\) = 5³ = 125

(3) \(64^{\frac{5}{6}}\)
ઉત્તર:
\(\left(2^{6}\right)^{\frac{5}{6}}=2^{6 \times \frac{5}{6}}\) = 2⁵ = 32