GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 5 ગતિના નિયમો in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 5 ગતિના નિયમો will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 5 ગતિના નિયમો in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :

પ્રશ્ન 1.
નીચેનામાંથી કઈ બે અવસ્થાઓ સમતુલ્ય છે?
A. સ્થિર અવસ્થા અને અચળપ્રવેગી ગતિની અવસ્થા
B. સ્થિર અવસ્થા અને અચળવેગી ગતિની અવસ્થા
C. અચળ ઝડપે ગતિ અને અચળપ્રવેગી ગતિની અવસ્થા
D. અચળ બળની ગતિ અને અચળવેગી ગતિની અવસ્થા
ઉત્તર:
B. સ્થિર અવસ્થા અને અચળવેગી ગતિની અવસ્થા
Hint : સ્થિર અવસ્થા અને અચળવેગી ગતિની અવસ્થા બંને કિસ્સામાં પ્રવેગ શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 2.
વેગમાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કઈ ભૌતિક રાશિ દર્શાવે છે?
A. પ્રવેગ
B. બળ
C. બળનો આઘાત
D. વેગ
ઉત્તર:
B. બળ
Hint : ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ, \(\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}\)

પ્રશ્ન 3.
અચળવેગથી ગતિ કરતી ખુલ્લી કારમાં બેઠેલી વ્યક્તિ બૉલને ઊર્ધ્વદિશામાં ઉછાળે છે, તો બૉલ …
A. કારની બહાર પડશે.
B. કારમાં વ્યક્તિની આગળના ભાગમાં પડશે.
C. કારમાં વ્યક્તિની પાછળના ભાગમાં પડશે.
D. બરાબર વ્યક્તિના હાથમાં પાછો આવશે.
ઉત્તર:
D. બરાબર વ્યક્તિના હાથમાં પાછો આવશે.
Hint : સમક્ષિતિજ દિશામાં બૉલ અને કાર બંનેનો વેગ સમાન હોવાથી તેઓ આપેલા સમયગાળામાં કાર અને બૉલ સમક્ષિતિજ દિશામાં સમાન અંતર કાપશે.
અહીં બૉલ પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરીને વ્યક્તિના હાથમાં પાછો આવશે.

પ્રશ્ન 4.
બળ (F) સમય (t) સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બદલાય છે. એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ બળ ………………. થાય.

A. શૂન્ય
B. \(\frac{F_0}{\sqrt{2}}\)
C. \(\frac{F_0}{\pi}\)
D. 2F₀
ઉત્તર:
A. શૂન્ય
Hint : સમયના અર્ધચક્ર દરમિયાન બળનું મૂલ્ય ધન છે. બાકીના અર્ધચક્ર દરમિયાન બળનું મૂલ્ય તેટલું જ ઋણ છે. આથી સરેરાશ બળ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 5.
100 g દળના પદાર્થ પર બળ લાગતાં તેના વેગમાં પ્રતિ- સેકન્ડે 20 cm s^-1 નો ફેરફાર થાય છે, તો આ બળનું મૂલ્ય ………………… N હશે.
A. 0.2
B. 0.02
C. 0.002
D. 2.0
ઉત્તર:
B. 0.02
Hint : m = 100 g = 0.1 kg
= \(\frac{d υ}{d t}=\frac{20 \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}}{1 \mathrm{~s}}\) = 20 × 10^-2 m s^-2
F = ma
= m \(\frac{d υ}{d t}\) = (0.1) (20 × 10^-2) = 0.02 N

પ્રશ્ન 6.
1.5 kg દળના સ્થિર પદાર્થ પર 0.5s માટે બળ લાગે છે. બળ લાગતું બંધ થયા પછી આ પદાર્થ 2 sમાં 5mનું અંતર કાપતો હોય, તો તે બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A. 5 N
B. 7.5 N
C. 10 N
D. 12.5 N
ઉત્તર:
B. 7.5 N
Hint : અહીં, m = 1.5 kg, t = 0.5 s, υ₀ = 0 છે. બળ લાગતું બંધ થયા પછી પદાર્થ 2 sમાં 5m અંતર કાપે છે.
∴ વેગ υ = \(\frac{5}{2}\) = 2.5 ms s^-1
હવે, υ = υ₀ + at
∴ 2.5 = 0 + a × 0.5 ⇒ a = \(\frac{2.5}{0.5}\) = 5 ms^-2
બળ F = ma = 1.5 × 5 = 7.5 N

પ્રશ્ન 7.
2 kg દળના એક પદાર્થ પર 4Nનું બળ X-દિશામાં અને 3 N નું બળY-દિશામાં લાગે છે, તો તે પદાર્થના પ્રવેગનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A. 1.5 m s^-2
B. 2.0 m s^-2
C. 2.5 m s^-2
D. 3.5 m^-2
ઉત્તર:
C. 2.5 m s 5 m s^-2
Hint :

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,
X-દિશામાં બળ \(\vec{F}_{\mathrm{x}}\) = 4î N
Y-દિશામાં બળ \(\vec{F}_{\mathrm{y}}\) = 3ĵ N
∴ પરિણામી બળનું મૂલ્ય,
F = \(\sqrt{F_{\mathrm{x}}^2+F_{\mathrm{y}}^2}\)
= \(\sqrt{4^2+3^2}\)
= 5 N
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,
F = ma
∴ a = \(\frac{F}{m}=\frac{5 \mathrm{~N}}{2 \mathrm{~kg}}\) = 2.5 ms^-2

પ્રશ્ન 8.
250 g દળનો દડો 10m s^-1ના વેગથી બૅટ સાથે અથડાઈને 0.01 sમાં તેટલા જ વેગથી પાછો ફરે છે, તો બૅટ પર લાગતું બળ …………….. N.
A. 25
B. 50
C. 250
D. 500
ઉત્તર:
D. 500
Hint : F = \(\frac{\Delta P}{\Delta t}\)
= \(\frac{m\left(v_2-v_1\right)}{\Delta t}=\frac{250 \times 10^{-3}(10-(-10))}{0.01}\)
= 500 N

પ્રશ્ન 9.
2 kg દળ ધરાવતા પદાર્થ ૫૨ 1N મૂલ્ય ધરાવતાં બે બળો લાગે છે. જો બે બળો વચ્ચેનો કોણ 60° હોય, તો પદાર્થમાં ઉદ્ભવતાં પ્રવેગનું મૂલ્ય ………….. m s^-2
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B. 0.5
C. 1
D. 2
ઉત્તર:
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Hint : પરિણામી બળ F = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}\)
= \(\sqrt{1^2+1^2+2(1)(1) \cos 60^{\circ}}\)
= √3 N
∴ a = \(\frac{F}{m}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) m s^-2

પ્રશ્ન 10.
બે બળો \(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\) ના સદિશ સરવાળાને ત્રીજા બળ \(\vec{F}_3\) જેટલી અસર ઉપજાવવા માટે આકૃતિમાં દર્શાવેલ ચાર ગોઠવણીઓ
પૈકી કઈ ગોઠવણી સાચી છે?

ઉત્તર:

Hint : સદિશ સરવાળાની સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીત પરથી ઉત્તર મેળવો.

પ્રશ્ન 11.
20 kg દળ ધરાવતો પદાર્થ અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. તેનું / રેખીય વેગમાન 10 sમાં 200 N sથી વધીને 300 N s થાય છે, તો પદાર્થનો અચળ પ્રવેગ કેટલો હશે ?
A. 0.5 m s^-2
B. 5 m s^-2
C. 25 m s^-2
D. 50 m s^-2
ઉત્તર:
A. 0.5 m s^-2
Hint : F = \(\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{300-200}{10}\) = 10 N
F = ma પરથી,
a = \(\frac{F}{m}=\frac{10}{20}\) = 0.5 m s^-2

પ્રશ્ન 12.
X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આલેખના કયા વિસ્તારમાં પદાર્થ પર બળ લાગતું નહિ હોય?
A. AB
B. BC
C. CD
D. DE

ઉત્તર:
C. CD
Hint : સ્થાનાંતર – સમય આલેખમાં CD વિસ્તાર એ સુરેખા છે, જે દર્શાવે છે કે આ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થનો વેગ અચળ છે.
આથી તેનો પ્રવેગ શૂન્ય થશે. F ma અનુસાર પદાર્થ પર લાગતું બળ પણ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 13.
એક કાર 20 m s^-1ની ઝડપથી જઈ રહી છે. રસ્તામાં એક બાળકને જોતાં કારનો ડ્રાઇવર એકાએક બ્રેક મારે છે. તેથી કાર 5sમાં ઊભી રહે છે. જો કારનું અને ડ્રાઇવરનું દળ અનુક્રમે 940 kg અને 60 kg હોય, તો કાર પર લગાડેલ પ્રત્યાઘાતી બળ ……………. N હોય.
A. 4000
B. 3000
C. 2000
D. 1000
ઉત્તર:
A. 4000
Hint :
υ₀ = 20 m s^-1, υ = 0, t = 5 s
∴ a = \(\frac{υ-υ_0}{t}=\frac{0-20}{5}\) = – 4ms^-2 (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ દર્શાવે છે.)
∴ પ્રત્યાઘાતી બળ = m × a
= (940 + 60) × (4)
= 4000 N

પ્રશ્ન 14.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દરેકનું દળ 1.0 kg હોય તેવા સાત એકસમાન બ્લૉકને એક પર એક ગોઠવીને મૂકેલા છે. આ સ્થિર તંત્રમાં ત્રીજા બ્લૉક પર ચોથા બ્લૉક વડે અને બીજા બ્લૉક વડે લાગતાં સંપર્ક બળનાં મૂલ્યો અનુક્રમે કેટલાં કેટલાં હશે? (g = 10 m s^-2 લો.)

A. 40 N, 50 N
B. 50 N, 40 N
C. 40 N, 20 N
D. 50 N, 30 N
ઉત્તર:
A. 40 N, 50 N
Hint :

ચોથા બ્લૉકની ઉપરના ભાગમાં બીજા ત્રણ બ્લૉક (5, 6, 7) આવેલા છે. આથી ત્રણેય બ્લૉક દ્વારા ચોથા બ્લૉક પર લાગતું બળ 3mg થશે.
∴ ત્રીજા બ્લૉક પર ચોથા બ્લૉક દ્વારા લાગતું બળ
= ચોથા બ્લૉકનું બળ + ચોથા બ્લૉક પર લાગતું બળ
= mg + 3 mg
= 4 mg
= 4 (1) (10) = 40 N
હવે, બીજા બ્લૉક પર લાગતું બળ એ 3, 4, 5, 6 અને 7 બ્લૉક દ્વારા લાગતા બળના સરવાળા જેટલું હશે.
∴ બીજા બ્લૉક પર લાગતું બળ
= 5 mg
આથી ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર, બીજા
બ્લૉક દ્વારા ત્રીજા બ્લૉક પર લાગતું બળ પણ
5 mg જેટલું થશે.
R = 5 mg = 5 (1) (10) = 50 N

પ્રશ્ન 15.
એક પક્ષી મોટા પીંજરામાં મૂકેલા સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ પર બેઠેલું છે. સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ તેનું વજન 25 N દર્શાવે છે. આ પક્ષી 2 m s^-2ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ઊડે છે. જો પક્ષીનું દળ 0.5 kg હોય, તો સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સનું અવલોકન ………………….. થશે.
A. 24 N
B. 25 N
C. 26 N
D. 27 N
ઉત્તર:
C. 26 N
Hint : પક્ષીનું વજન = mg = (0.5) (10) = 5 N
∴ પીંજરાનું વજન = 25 N – 5 N = 20 N
પક્ષી ઉપરની તરફ ઊડે ત્યારે તેની પાંખો વડે તે હવાને નીચેની તરફ દબાવે છે, જે સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ પર વધારાનું ma જેટલું બળ ઉત્પન્ન કરે છે.
∴ અવલોકન = પીંજરાનું વજન + પક્ષીનું પ્રત્યાઘાતી બળ
= 20 N + m (g + a)
= 20 + 0.5 (10 + 2) = 26 N

પ્રશ્ન 16.
જો 12 Nનું બળ એક પદાર્થમાં 4m s^-2નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતું હોય, તો 10 m s^-2નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા જરૂરી બળ કેટલું?
A. 20 N
B. 30 N
C. 15 N
D. 25 N
ઉત્તર:
B. 30 N
Hint : \(\frac{F^{\prime}}{F}=\frac{m a^{\prime}}{m a}\)
∴ F’ = F × \(\frac{a^{\prime}}{a}\) = (12) × \(\frac{1}{2}\) = 30 N

પ્રશ્ન 17.
પાણી ભરેલા એક પાત્રને સમક્ષિતિજ સપાટી પર જમણી બાજુ a જેટલો અચળ પ્રવેગ આપવામાં આવે છે. નીચે પૈકીની કઈ આકૃતિ પ્રવાહીની સપાટી પ્રદર્શિત કરે છે?

ઉત્તર:

Hint : પાણી ભરેલા પાત્રનો પ્રવેગ a જમણી બાજુ છે. આથી પાણી પર લાગતું આભાસી બળ ડાબી બાજુ લાગશે. પરિણામે વિકલ્પ C માં દર્શાવ્યા મુજબ પાણી ડાબી બાજુ તરફ ઉપર ચડે છે.

પ્રશ્ન 18.
નીચે દર્શાવેલ આકૃતિમાં 0.1 kgના કણ માટે સ્થાન (x) – સમય (t)નો આલેખ દર્શાવ્યો છે. t = 2 s માટે કણ પર બળનો આઘાત …………….. .

A. 0.2 kg m s^-1
B. – 0.2 kg m ms^-1
C. 0.1 kg m s^-1
D. – 0.4 kg m s^-1
ઉત્તર:
B. – 0.2 kg ms^-1
Hint : t = 0 થી t = 2 s દરમિયાન કણનો વેગ,
υ₁ = \(\frac{4-0}{2-0}\) 2 m s^-1
t = 2 s બાદ કણ સ્થિર થાય છે.
∴ υ₂ = 0
બળનો આઘાત = Δp = m (υ₂ – υ₁)
= 0.1(0 – 2)
= – 0.2 kg m s^-1

પ્રશ્ન 19.
એક મશીનગન પ્રત્યેક સેકન્ડમાં 20 ગોળીઓ ટાર્ગેટ તરફ છોડે છે. દરેક ગોળીનું દળ 150 g અને ઝડપ 800 ms^-1 હોય, તો ગનને યોગ્ય સ્થિતિમાં પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ …………… N.
A. 800
B. 1000
C. 1200
D. 2400
ઉત્તર:
D. 2400
Hint : જરૂરી બળ = N ગોળીઓના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર
= Nmυ
= (20)(150 × 10^-3kg) (800 m/s)
= 2400 N

પ્રશ્ન 20.
3 kg દળના એક પદાર્થ પર લાગતું બળ સમય સાથે બદલાય છે, તે આલેખમાં દર્શાવેલ છે. પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલ વેગમાન ……………. .

A. શૂન્ય
B. 5 N s
C. 30 N S
D. 50 N S
ઉત્તર :
D. 50 N s
Hint : વેગમાનનો ફેરફાર = F – t આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ
p_f – p_i = \(\frac{1}{2}\) (2) (10) + (6 – 2) (10)
p_f = 10 + 40 = 50 N s(∵ p_i = 0 છે.)

પ્રશ્ન 21.
100 g દળનો લોખંડનો દડો 10 m s^-1 ના વેગથી દીવાલ સાથે 30ના કોણે અથડાઈને તેટલા જ કોણે પાછો ફેંકાય છે. જો બૉલ અને દીવાલ વચ્ચેનો સંપર્કસમય 0.1 s હોય, તો દીવાલ દ્વારા અનુભવાતું બળ …………….. N.
A. 10
B.100
C.1 N.
D.0.1
ઉત્તર:
A. 10
Hint : દીવાલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,
Δp = = 2mυ sin θ
હવે, F = \(\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2 m v \sin \theta}{\Delta t}\)
= \(\frac{2 \times 0.1 \times 10 \times \sin 30^{\circ}}{0.1}\)
= 10 N

પ્રશ્ન 22.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ કયા સંજોગમાં પળાય છે?
A. વેગમાન શૂન્ય હોય ત્યારે
B. વેગમાનનો ફેરફાર અચળ હોય ત્યારે
C. વેગના ફેરફારનો સમયદર અચળ હોય ત્યારે
D. વેગમાનના ફેરફારનો સમયદર શૂન્ય હોય ત્યારે
ઉત્તર:
D. વેગમાનના ફેરફારનો સમયદર શૂન્ય હોય ત્યારે
Hint : વેગમાનના ફેરફારનો સમયદર = \(\frac{\Delta p}{\Delta t}\) = F, એટલે કે પદાર્થ પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય ત્યારે વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ પળાય છે.

પ્રશ્ન 23.
એક લિફ્ટના તળિયે રહેલા θ કોણના એક ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર એક બ્લૉક મૂકેલ છે. જ્યારે લિફ્ટ પ્રતિપ્રવેગ a સાથે નીચે ઊતરે ત્યારે આ બ્લૉકનો ઢાળની સપાટીને સાપેક્ષ પ્રવેગ કેટલો હશે?

A. g sin θ
B. a sin θ
C. (g – a) sin θ
D. (g + a) sin θ
ઉત્તર:
D. (g + a) sin θ
Hint : લિફ્ટ જ્યારે પ્રતિપ્રવેગ a સાથે નીચે ઊતરે ત્યારે
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ g_eff = g – (- a)
= g + a થશે.
g_effનો ઢાળને સમાંતર ઘટક g_eff sin θ થાય.
∴ બ્લૉકનો ઢાળની સપાટીની સાપેક્ષે પ્રવેગ = g_eff sin θ
= (g + a) sin θ

પ્રશ્ન 24.
એક લિફ્ટમાં ઊભેલી વ્યક્તિના હાથમાંથી સિક્કો પડી જાય છે. જો લિફ્ટ સ્થિર હોય, તો આ સિક્કાને લિફ્ટમાં તળિયે પહોંચતાં t₁ સમય લાગે છે. જ્યારે લિફ્ટ ઉપર તરફ પ્રવેગી ગતિ કરતી હોય ત્યારે આ જ સિક્કાને તળિયે પહોંચતાં t₂ સમય લાગે છે, તો ……………….. .
A. t₁ = t₂
B. t₁ < t₂
C. t₁ > t₂
D. કંઈ કહી શકાય નહિ
ઉત્તર:
C. t₁ > t₂
Hint : પ્રથમ લિફ્ટ સ્થિર સ્થિતિમાં હોવાથી h અંતર કાપતાં લાગતો સમય t₁ હોય, તો
d = \(\frac{1}{2}\) g t₁² … t₁ = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\) ………… (1)
જ્યારે લિફ્ટ ઉપર તરફ પ્રવેગી ગતિ કરે ત્યારે સિક્કાને અધોદિશામાં આભાસી પ્રવેગ મળે છે. ધારો કે આ પ્રવેગ a હોય, તો h અંતર કાપતાં લાગતો સમય,
t₂ = \(\sqrt{\frac{2 h}{(g+a)}}\) .. \(\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{\frac{g+a}{g}}\) > 1 ∴ t₁ > t₂

પ્રશ્ન 25.
એક લિફ્ટમાં ઊભેલી વ્યક્તિના હાથમાંથી સિક્કો પડી જાય છે. જો લિફ્ટ સ્થિર હોય, તો આ સિક્કાને લિફ્ટમાં તિળયે પહોંચતાં t₁ સમય લાગે છે. જ્યારે લિફ્ટ ઉપર તરફ અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોય ત્યારે આ જ સિક્કાને તળિયે પહોંચતાં t₂ સમય લાગે છે, તો
A. t₁ = t₂
B. t₁ < t₂
C. t₁ > t₂
D. કંઈ કહી શકાય નહિ
ઉત્તર :
A. t₁ = t₂
Hint : પ્રથમ લિફ્ટ સ્થિર છે ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. બીજા કિસ્સામાં લિફ્ટ અચળવેગથી ગતિ કરે છે. આથી તેનો પણ પ્રવેગ શૂન્ય છે. આમ, બંને કિસ્સામાં પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી સિક્કા પર કોઈ વધારાનું બળ લાગતું નથી. પરિણામે t₁ = t₂ મળે છે.

પ્રશ્ન 26.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક 8kg દળના પદાર્થને બે હલકા સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સના છેડે લટકાવેલ છે, તો …………….. .

A. બંને સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ વડે નોંધાતાં દળ 8 kg છે.
B. બંને સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ વડે નોંધાતાં દળ 4 kg છે.
C. ઉપરનું સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ 8 kg અને નીચેનું સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ 0 kg નોંધશે.
D. બંને સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ વડે નોંધાતાં દળ ગમે તે હશે, પણ તેનો સરવાળો 8 kg થશે.
ઉત્તર:
A. બંને સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ વડે નોંધાતાં દળ 8 kg છે.
Hint : જો બંને સ્પ્રિંગોનું દળ, તેમના છેડે લટકાવેલ દળ કરતાં ઘણું ઓછું હોય, તો બંને સ્પ્રિંગોમાં દરેક બિંદુએ તણાવ (T) સમાન હોય છે. આથી બંને સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ વડે નોંધાતું દળ 8 kg સમાન હશે.

પ્રશ્ન 27.
400 Nનું તણાવ ખમી શકે તેવું એક દોરડું એક ઝાડ સાથે બાંધીને લટકાવેલ છે. 30 kg દળનો એક વાંદરો આ દોરડું પકડીને ઉપર ચડે છે, તો નીચે દર્શાવેલા કયા કિસ્સામાં દોરડું તૂટી જશે? (g = 10 m s^-2 લો અને દોરડાનું દળ અવગણો.)
A. વાંદરો 5 m s^-1 ની અચળ ઝડપથી ઉપર ચડે, તો
B. વાંદરો 2 m s^-2 ના અચળ પ્રવેગથી ઉપર ચડે, તો
C. વાંદરો 5 m s^-2 ના અચળ પ્રવેગથી ઉપર ચડે, તો
D. વાંદરો 12 m s^-1 ના અચળ વેગથી ઉપર ચડે, તો
ઉત્તર :
C. વાંદરો 5 m s^-2 ના અચળ પ્રવેગથી ઉપર ચડે, તો
Hint : m = 30 kg, g = 10 m s^-2
જો વાંદરો અચળ પ્રવેગ થી દોરડું પકડી ઉપર ચડે, તો દોરડામાં તણાવ T = m (g + a)
વિકલ્પ Aમાં વાંદરાની ઝડપ અચળ છે. તેથી a = 0
∴ T = mg = (30) (10) = 300 N
વિકલ્પ Bમાં a = 2 ms^-2
∴ T = m (g + a) = (30) (10 + 2) = 360 N
વિકલ્પ Cમાં a = 5 m s^-2
∴ T = m (g + a) = (30) (10 + 5) = 450 N
વિકલ્પ Dમાં વેગ અચળ છે. આથી a = 0 થશે.
T = mg = (30) (10) = 300 N
અહીં દોરડું 400 N મહત્તમ તણાવ ખમી શકે છે. વિકલ્પ Cમાં દોરડામાં 450 N તણાવ છે. આથી આ કિસ્સામાં દોરડું તૂટી જશે.

પ્રશ્ન 28.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ ઘર્ષણ રહિત સપાટી ૫૨ મૂકેલા 4 kg, 2 kg અને 1 kg દળના બ્લૉકના તંત્ર પર 70 Nનું સમક્ષિતિજ બળ લગાડવામાં આવે છે. જો એક દોરીમાં તણાવ T₁ = 60 N હોય, તો બીજી દોરીમાં તણાવ T₂ કેટલું હશે?

A. 40 N
B. 60 N
C. 20 N
D. 10 N
ઉત્તર:
A. 40 N
Hint : તંત્રનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m_1+m_2+m_3}\)
= \(\frac{70}{4+2+1}\) = 10 m s^-2

m₂ = 2 kg બ્લૉક પર લાગતું બળ,
T₁ – T₂ = ma
∴ T₂ = T₁ – ma = (60) – (2) (10) = 40 N
બીજી રીત : T₂ = m₁ a = (4) (10) = 40 N

પ્રશ્ન 29.
4 kg અને 2 kg દળના બે બ્લૉકને દોરી વડે જોડીને ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખેલ છે. 2 kg દળના બ્લૉકને અચળ બળ Fથી ખેંચવામાં આવે છે તેથી તે અચળ વેગથી ગતિ કરવા લાગે છે. બ્લૉક અને ખરબચડી સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.5 છે. બ્લૉકની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન દોરીમાં ઉદ્ભવતો તણાવ અચળ રહે તે માટે બળ Fનું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ? (g = 10 m s^-2)

A. 40 N
B. 30 N
C. 50 N
D. 60 N
ઉત્તર:
B. 30 N
Hint : અહીં, m₂ = 2 kg દળના બ્લૉક પર અચળ બળ F લગાડવાને લીધે તે અચળ વેગથી ગતિ કરવા લાગે છે. તેથી તેનો પ્રવેગ a = \(\frac{d υ}{d t}\) = = ૦ થાય.
હવે, m₁ બ્લૉક માટે,
T – f_s1, = m₁a = 0 (∵ પ્રવેગ ‘a’ શૂન્ય છે.)

∴ T = f_s1 = μ m₁g
m₂ બ્લૉક માટે, F – T- f_s2 = 0
∴ F = T + f_s2
= μ m₁g + μ m₂g
= μ g (m₁ + m₂)
= 0.5 × 10 (4 + 2) = 30 N

પ્રશ્ન 30.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે બ્લૉક વચ્ચે ઘર્ષણાંક μ = \(\frac{1}{2}\) હોય, તો બે બ્લૉક વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણબળ ………………. .

A. 8 N
B. 10 N
C. 6 N
D. 4 N
ઉત્તર:
A. 8 N
Hint : ધારો કે, બંને બ્લૉકમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ a છે.
2 kg દળના બ્લૉક પર લાગતું પરિણામી બળ,
f – F₁ = m₁a
∴ f – 2 = (2) a
∴ a = \(\frac{f-2}{2}\) …………. (1)
4 kg દળના બ્લૉક પર લાગતું પરિણામી બળ,
F₂ – f = m₂a
∴ 20 – f = (4) (\(\frac{f-2}{2}\)) (સમીકરણ (1) પરથી)
∴ 3f = 24
f = 8 N

પ્રશ્ન 31.
5 kg અને 4 kg દળના બે પદાર્થો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દોરી વડે જોડેલ છે. જો ટેબલ અને ગરગડી બંને લીસા હોય, તો 5 kg દળના પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ ……………… m s^-2.

A. 49
B. 5.45
C. 19.5
D. 2.72
ઉત્તર:
B. 5.45
Hint : m₁ = 5 kg દળના પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ
m₁g – T = m₁a ……. (1)
m₂ = 4 kg દળના પદાર્થ પર લાગતું તણાવ બળ
T = m₂a ………. (2)
∴ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
m₁g – m₂g = m₁a
∴ a = \(\frac{m_1}{m_1+m_2}\) × g
= \(\frac{5}{5+4}\) × 10 = 5.5 m s^-2

પ્રશ્ન 32.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જુદું જુદું દળ ધરાવતા બે પદાર્થોને એક હલકી લીસી પુલી પરથી હલકી દોરી વડે લટકાવેલ છે. જો તંત્રને તેની સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે વધુ દળ ધરાવતો પદાર્થ તંત્ર ગતિમાં આવે કે તરત જ 1.0 sમાં સ્થિર થઈ જાય છે, તો પહેલાંની જેમ દોરી ખેંચાયેલી રહે તે માટે કેટલો સમય લાગશે?
(g = 10 m s^-2)

A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{1}{3}\)
Hint : a = \([latex]\frac{1}{4}\)[/latex]
= \(\frac{(2) g-(1) g}{1+2}=\frac{g}{3}=\frac{10}{3}\) m s ^-2
બ્લૉકનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = at = (1) (\(\frac{10}{3}\)) = \(\frac{10}{3}\)m s^-1
હવે, υ₀ = gt’ પરથી,
t’ = \(\frac{v_0}{g}=\frac{10}{3} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)s

પ્રશ્ન 33.
m₁ અને m₂ દળના બે પદાર્થોને હલકી ખેંચી ન શકાય તેવી દોરી વડે જોડીને ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર કરેલ છે. જો ગરગડી અચળ પ્રવેગ gથી ઉપર તરફ ગતિ કરતી હોય, તો દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ …………… .
A. \(\frac{m_1+m_2}{4 m_1 m_2}\) g
B. \(\frac{4 m_1 m_2}{m_1+m_2}\) g
C. \(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\) g
D. \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) g²
ઉત્તર:
B. \(\frac{4 m_1 m_2}{m_1+m_2}\) g
Hint: દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ,
T = \(\frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2}\) (g + a)
પરંતુ a = g હોવાથી,
T = \(\) (2g) = \(\frac{4 m_1 m_2}{m_1+m_2}\) g

પ્રશ્ન 34.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી એક હલકી દોરી પસાર કરેલ છે. જો તેના એક છેડે 6 kg અને બીજા છેડે 10 kg દળ લટકાવેલ હોય, તો દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ …………….. N.

A. 24.5
B. 2.45
C. 79
D. 73.5
ઉત્તર:
D. 73.5
Hint :

આકૃતિ પરથી,
T – m₂ g = m₂a …………. (1)
m₁g – T = m₁a ………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
a = \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) g
સમીકરણ (1)માં aનું મૂલ્ય મૂકતાં,

પ્રશ્ન 35.
ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર કરેલી દોરીના એક છેડે 30 kg અને બીજા છેડે 50 kg દળના પદાર્થ લટકાવેલ છે, તો આ તંત્રનો પ્રવેગ કેટલો થશે?
g = 10 m s^-2 લો.)

A. 8 m s^-2
B. 6 ms^-2
C. 2.5 m s^-2
D. 2 m s^-2
ઉત્તર:
C. 2.5 ms^-2
Hint : બંને પદાર્થો પર લાગતાં બળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે.

m₁g – T = m₁a ……….. (1)
T – m₂g = m₂a ……….. (2)
બંને સમીકરણનો સરવાળો કરતાં,
(m₁ – m₂) g = (m₁ + m₂) a
∴ a = \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) g = \(\frac{50-30}{50+30}\) × 10 = 2.5 m s^-2

પ્રશ્ન 36.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 300 kg દળના એક બ્લૉકને ઘર્ષણ રહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર, ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર કરી દોરડા વડે ગતિ કરાવવામાં આવે છે, તો બ્લૉકમાં 1 ms^-2નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ બળ કેટલું લગાવવું પડે?

A. 150 N
B. 100 N
C. 300 N
D. 50 N
ઉત્તર:
A. 150 N
Hint :

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ = 2F
∴ma = 2F
∴ F = \(\frac{m a}{2}=\frac{(300)(1)}{2}\) = 150 N

પ્રશ્ન 37.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર m₁, m₂ અને m₃ દળના ત્રણ બ્લૉક્સ દળ રહિત દોરીઓ વડે જોડેલ છે. તેમને T₃ = 40 Nના બળ વડે ખેંચવામાં આવે છે. જો m₁ = 10 kg, m₂ = 6 kg અને m₃ = 4 kg હોય, તો તણાવ બળ T₂ ………………… N.

A. 20
B. 40
C. 10
D. 32
ઉત્તર:
D. 32
Hint : ત્રણ બ્લૉકના તંત્રનો પ્રવેગ,
a = \(\frac{T_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{40}{10+6+4}\) = 2 m s^-2
હવે, T₃ – T₂ = m₃a
∴ T₂ = T₃ – m₃a = 40 – (4) (2) = 32 N

પ્રશ્ન 38.
2 kg અને 1 kg દળના બે બ્લૉક્સ A અને B ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર સ્થિર રહેલા છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બ્લૉક A પર ૩N બળ લગાડવામાં આવે, તો બ્લૉક B પર બ્લૉક A દ્વારા લાગતું બળ ………………. N.

A. 1
B. 3
C. 2
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
A. 1
Hint : બંને બ્લૉકનો પ્રવેગ,
a = \(\frac{F}{m_1+m_2}=\frac{3}{2+1}\) = 1 ms^-2
બ્લૉક B પર લાગતું બળ,
F’ = m₂a = (1) (1) = 1 N

પ્રશ્ન 39.
એક હલકી દોરીના એક છેડાને જમીન પર ક્લૅમ્પ વડે બાંધીને એક સ્થિર પુલી પરથી પસાર કરવામાં આવે છે. દોરી જમીન સાથે 30નો ખૂણો બનાવે છે. એક 5 kg દળ ધરાવતો વાંદરો દોરડા પર ચડે ત્યારે દોરડું શિરોલંબ દિશામાં વધુમાં વધુ 40 N બળ સહન કરી શકે છે. વાંદરો વધુમાં વધુ કેટલા ઊર્ધ્વપ્રવેગથી સલામત રીતે ચડી શકે? (g = 10 m s^-2) (ઘર્ષણ અવગણો.)

A. 2 m s^-2
B. 4 m s^-2
C. 6 m s^-2
D. 8 m s^-2
ઉત્તર:
C. 6 m s^-2
Hint :

ઊર્ધ્વદિશામાં લાગતું બળ,
F = T sin θ
∴ T = \(\frac{F}{\sin 30^{\circ}}=\frac{40}{\frac{1}{2}}\) = 80 N
હવે, વાંદરા પર લાગતું બળ,
T – mg = ma
∴ a = \(\frac{T-m g}{m L}\)
= \(\frac{80-(5)(10)}{5}\)
= \(\frac{30}{5}\)
∴ a = 6 m s^-2

પ્રશ્ન 40.
30 m ત્રિજ્યાવાળા એક મોતના ગોળામાં એક મોટરસાઇકલિસ્ટ ઊર્ધ્વસમતલમાં બાઇક ચલાવી રહ્યો છે. ગોળાના સૌથી ઉપરના બિંદુએ બાઇકની ઝડપ કેટલી હશે? (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 7.3 m s^-1
B. 15.1 m s^-1
C. 17.3 m s^-1
D. 19.6 m s^-1
ઉત્તર :
C. 17.3 m s^-1
Hint : મોટરસાઇકલ જ્યારે ગોળાના સૌથી ઉપરના બિંદુએ હોય છે ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ તેના વજન બળ દ્વારા પૂરું પડે છે.
∴ \(\frac{m v^2}{r}\) = mg
∴ υ = \(\sqrt{r g}=\sqrt{30 \times 10}\) = 17.3 m s^-1

પ્રશ્ન 41.
1.5 m લંબાઈના એક દોરડા સાથે એક અવગણ્ય લંબાઈ ધરાવતી ડોલ બાંધીને ઊર્ધ્વસમતલમાં ઘુમાવવામાં આવે છે, તો સૌથી ઉપરના બિંદુએ ડોલમાંથી પાણી ઢોળાઈ ન જાય તે માટે તે બિંદુએ ડોલની લઘુતમ ઝડપ ………….. હોવી જોઈએ.
A. 8.3 m s^-1
B. 3.8 m s^-1
C. 1.5 m s^-1
D. 0.8 m s^-1
ઉત્તર:
B. 3.8 m s^-1
Hint : υ = \(\sqrt{r g}=\sqrt{1.5 \times 9.8}\) = 3.8 ms^-1

પ્રશ્ન 42.
100 kg દળની એક કાર 30m વક્રતાત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગ પર 9 m s^-1 જેટલી મહત્તમ ઝડપથી ગતિ કરી શકે છે. કારના ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેનું મહત્તમ ઘર્ષણબળ ……………. .
A. 1000 N
B. 706 N
C. 270 N
D. 200 N
ઉત્તર:
C. 270 N
Hint : મહત્તમ ઘર્ષણબળ = કેન્દ્રગામી બળ
f_s(max) = \(\frac{m v^2}{r}=\frac{(100)(9)^2}{30}\) = 270 N

પ્રશ્ન 43.
સમક્ષિતિજ સમતલ પર સ્થિર રહેલા 5 kg ના પદાર્થ પર 20 N બળ લગાડતાં તે 2m જેટલું અંતર કાપીને 10 J જેટલી ગતિ- ઊર્જા મેળવે છે, તો ઘર્ષણબળનું મૂલ્ય ……………. .
A. 10 N
B. 15 N
C. 20 N
D. 30 N
ઉત્તર:
B. 15 N
Hint : ગતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2}\) mυ² = 10 … υ² = \(\frac{2 \times 10}{5}\) = 4
ગતિના સમીકરણ અનુસાર,
υ² – υ₀sup>2 = 2 ax
∴ 4 – 0 = 2 (a)²
∴ a = 1 m/s²
∴ f_s = F – ma = 20 – (5 × 1) = 15 N

પ્રશ્ન 44.
બળની અસર હેઠળ XY સમતલમાં ગતિ કરતાં કણનું રેખીય વેગમાન નીચેના સૂત્રથી અપાય છે :
\(\vec{p}\) (t) = A (cos (kt)î – sin (kt)ĵ )
જ્યાં, A અને k અચળાંકો છે. બળ અને વેગમાન વચ્ચેનો ખૂણો ………….. હશે.
A. O°
B. 30°
C. 45°
D. 90°
ઉત્તર:
D. 90°
Hint : \(\vec{p}\)(t) = = A (cos (kt)î – sin (kt)ĵ )
∴ \(\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}\) = Ak (- sin (kt) î – cos (kt) ĵ)
\(\vec{F}\) · \(\vec{p}\) = Ak (- sin (kt) î – cos (kt) ĵ ) · A (cos (kt)î – sin (kt)ĵ)
= A²k (- sin kt cos kt + cos kt sin kt)
= 0
\(\vec{F}\) · \(\vec{p}\) = 0 હોવાથી \(\vec{F}\) અને \(\vec{p}\) પરસ્પર લંબ હશે.

પ્રશ્ન 45.
એક બ્લૉક સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડ્યો છે. સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો વધા૨વામાં આવે ત્યારે θ કોણે બ્લૉક સરકી પડવાની અણી પર હોય, તો બ્લૉકની સપાટી અને ઢાળની સપાટી વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક …………. .
A. μ_s > tan θ
B. μ_s < tan θ
C. μ_s = tan θ
D. μ_s = 2 tan θ
ઉત્તર:
C. μ_s = tan θ
Hint :

આકૃતિમાં બ્લૉક પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યાં છે. બ્લૉક સરકી પડવાની અણી પર હોય, તો
N = mg cos θ …… (1)
f_s = mg sin θ ………. (2)
∴ μ_s = \(\frac{f_{\mathrm{s}}}{N}=\frac{m g \sin \theta}{m g \cos \theta}\) = tan θ

પ્રશ્ન 46.
10 kgના પદાર્થ પર 129.4N બળ લાગતાં તે 10 m s^-2ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, તો ગતિક ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય ……………… .
A. 0.03
B. 0.01
C. 0.3
D. 0.25
ઉત્તર:
C. 0.3
Hint :

આકૃતિ પરથી,
F – f_k = ma
∴ f_k = F – ma
∴ μ_kN = F – ma
∴ μ_k = \(\frac{F-m a}{N}\)
= \(\frac{F-m a}{m g}\)
= \(\frac{129.4-(10)(10)}{(10)(9.8)}\)
= \(\frac{29.4}{98}\) = 0.3

પ્રશ્ન 47.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક ખરબચડી સપાટીવાળા 30° ઢોળાવ પર એક બ્લૉક સ્થિર છે. બ્લૉક અને સપાટી(સમતલ)નો ઘર્ષણાંક μ = 0.5 છે. ઓછામાં ઓછું કેટલું બળ F સપાટીને લંબરૂપે લગાડવું જોઈએ કે જેથી બ્લૉક સપાટી પર સરકે નહીં? (g = 10 m s^-2, બ્લૉકનું દળ 2 kg છે.)
A. શૂન્ય
B. 6.24 N
C. 2.68 N
D. 4.3 N

ઉત્તર:
C. 2.68 N
Hint :

આકૃતિ પરથી,
f_s = mg sin 30°
∴ μ_sN = mg sin 30°
∴ N = \(\frac{m g \sin 30^{\circ}}{\mu_s}=\frac{(2)(10)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{1}{2}}\) = 20 N
હવે,, F + mg cos 30° = N
∴ FN – mg cos 30°
= (20) – (2) (10) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 20 (1 – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= 2.68 N

પ્રશ્ન 48.
સાઇકલસવારને 34. 3 m પરિઘવાળા વર્તુળાકાર પથને \(\sqrt{22}\) sમાં પસાર કરવા માટે સાઇકલને ઊર્ધ્વદિશા સાથે કેટલા ખૂણે નમાવવી જોઈએ તે શોધો. (g = 9.8 m s^-2)
A. 30°
B. 45°
C. 55°
D.60°
GTR:
B. 45°
Hint : સાઇકલસવારે કાપેલું અંતર = 2лr = 34.3 m

∴ tan θ = 0.999
∴ θ = 45°

પ્રશ્ન 49.
θ કોણના એક ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર m દળનો એક બ્લૉક મૂકેલ છે, તો ઢાળની સપાટી વડે બ્લૉક પર લાગતું લંબબળ ……………… જેટલું હશે.
A. mg
B. \(\frac{m g}{\cos \theta}\)
C. mg cos θ
D. mg sin θ
ઉત્તર:
C. mg cos θ
Hint : આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બ્લૉકનું સપાટી પર લાગતું બળ mg cos θ છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ સપાટીનું બ્લૉક પર લાગતું બળ પણ mg cos θ થશે.

પ્રશ્ન 50.
θ કોણના એક ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર m દળનો એક બ્લૉક મૂકેલ છે. હવે આ તંત્ર(ઢાળ + બ્લૉક)ને સમક્ષિતિજ દિશામાં એવી રીતે 1 પ્રવેગથી ગતિ કરાવવામાં આવે કે બ્લૉક ઢાળ પર સરકે નહિ, તો a = …………….. .
A. g tan θ
B. g sin θ
C. g cos θ
D. g/sin θ
ઉત્તર:
A. g tan θ
Hint : ધારો કે, (ઢાળ + બ્લૉક)ને ડાબી બાજુ a જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરાવવામાં આવે છે.
આથી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આભાસી પ્રવેગ વનો ઢાળને સમાંતર ઘટક a cos θ થશે અને ગુરુત્વપ્રવેગ gનો ઢાળને સમાંતર ઘટક g sin θ થશે.

ઢાળ પર બ્લૉક ત્યારે જ સ્થિર રહી શકે જ્યારે
a cos θ = g sin θ થાય.
∴ a = g \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = g tan θ

પ્રશ્ન 51.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 2.0 kg અને 3.0 kg દળના બે બ્લૉકને ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર કરેલી હલકી દોરીના બે છેડે જોડેલ છે. જો આ તંત્ર સ્થિર રહેતું હોય, તો ઘર્ષણબળનું મૂલ્ય અને દિશા શોધો. (g = 10 m s^-2 લો.)

A. 20 N, ઢાળ પર નીચે તરફ
B. 20 N, ઢાળ પર ઉપર તરફ
C. 10 N, ઢાળ પર નીચે તરફ
D. 10 N, ઢાળ પર ઉપર તરફ
ઉત્તર:
A. 20 N, ઢાળ પર નીચે તરફ
Hint :

આકૃતિ પરથી T = m₁g અને
f + m₂ g sin θ = T
∴ f + m₂ g sin θ = m₁g
f = m₁ – m₂g sin θ
= (3) (10) – (2) (10) sin 30° = 20 N
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ઘર્ષણબળ ઢાળ પર નીચે તરફ છે.

પ્રશ્ન 52.
અચળ બળની અસર હેઠળ 4 kg દળનો એક પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે. તે પહેલી સેકન્ડમાં 5m અંતર કાપે છે અને ત્રીજી સેકન્ડમાં 3m અંતર કાપે છે, તો આ પદાર્થ પર લાગતું બળ ……………. .
A. 6 N
B. 8 N
C. 2 N
D. 4 N
ઉત્તર:
D. 4 N
Hint : પદાર્થ પર અચળ બળ લાગે છે. આથી તેનો પ્રવેગ પણ અચળ હશે. અહીં સમય સાથે તેણે કાપેલું અંતર ઘટે છે, એટલે કે પદાર્થ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે.
પહેલી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
d = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1) પરથી,
5 = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) = (2 (1) – 1)
∴ 5 = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) ………. (1)
ત્રીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
3 = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2 (3) – 1)
∴ 3 = υ₀ + \(\frac{5 a}{2}\) ………….(2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
a = 1 m s^-2
બળ F = ma
= (4) (1) = 4 N

પ્રશ્ન 53.
3P અને 2P બે બળોનું પરિણામી બળ R છે. જો પ્રથમ બળને બમણું કરવામાં આવે, તો પરિણામી બળ પણ બમણું થાય છે, તો બંને બળો વચ્ચેનો કોણ ………………. .
A. 60°
B. 120°
C. 70°
D. 180°
ઉત્તર:
B. 120°
Hint : પ્રથમ કિસ્સા માટે,
R² = (3P)² + (2P)² + 2 (3P) (2P) cos θ
= 9p² + 4p² + 12P² cos θ
∴ 2 = 13p² + 12p² cos θ …… (1)
બીજા કિસ્સા માટે,
(2R)² = (6P)² + (2P)² + 2 × 6P × 2P cos θ
∴ 4R² = 36P² + 4p² + 24p² cos θ
∴ R² = 10P² + 6P² cos θ …….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
13p² + 12p² cos θ = 10P² + 6P² cos θ
∴ 6p² cos θ = 10P² – 13p² = – 3p²
∴ cos θ = – \(\frac{1}{2}\)
∴ θ = 120°

પ્રશ્ન 54.
આકૃતિમાં 0.4 kg દ્રવ્યમાનના પદાર્થની એક-પરિમાણમાં ગતિ માટે તેના સ્થાન (x) → સમય (t)નો આલેખ દર્શાવ્યો છે, તો બળના આઘાતનું માન શોધો.

A. 1.6 N s
B. 0.8 N S
C. 0.4 N S
D. 0.2 N S
ઉત્તર:
A.1.6 N S
Hint : પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ,
υ₁ = પ્રથમ બે સેકન્ડમાં x – t આલેખનો ઢાળ
= \(\frac{4-0}{2-0}\) = 2 m s^-1
પદાર્થનો અંતિમ વેગ,
υ₂ = છેલ્લી બે સેકન્ડમાં x – t આલેખનો ઢાળ
= \(\frac{0-4}{4-2}\) = – 2 m s^-1
બળનો આઘાત = |Δp|
= | m (υ₂ – υ₁) |
= | 0.4 (- 2 – (2))|
= 1.6 N s

પ્રશ્ન 55.
એક લિફ્ટ ઉપરની તરફ જઈ રહી છે. લિફ્ટ અને તેમાં ઊભેલી વ્યક્તિઓનું કુલ દળ 1500 kg છે. લિફ્ટની ઝડપમાં થતો ફેરફાર આલેખમાં દર્શાવ્યો છે. લિફ્ટને ઉપરની તરફ ખેંચતા દોરડામાં t = 11 s સમયે તણાવ બળ કેટલું હશે?

A. 12000 N
B. 14700 N
C. 17400 N
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
A. 12000 N
Hint : t = 11 s સમયે લિફ્ટનો પ્રવેગ = રેખા BCનો ઢાળ
∴ a = \(\frac{3.6}{12-10}\) = – 1.8 ms^-2
દોરડામાં તણાવ બળ T = m (g + a)
= 1500 (9.8 – 1.8)
= 12000 N

પ્રશ્ન 56.
2 kg દળનો પદાર્થ પ્રારંભમાં સ્થિર છે. તેના પર લાગતાં બળનું મૂલ્ય સમય સાથે બદલાય છે. આ માટે F – t નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. પદાર્થનો 10s બાદ વેગ કેટલો હશે?

A. 50 m s^-1
B. 10 m s^-1
C. 75 m s^-1
D. 0.26 m s^-1
ઉત્તર:
A. 50 m s^-1
Hint : વેગમાનમાં ફેરફાર
= F – t આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ
∴ m (υ – υ₀)
= (\(\frac{1}{2}\) × 2 × 10) + (2 × 10) +
((\(\frac{1}{2}\) × 10 × 2) + (2 × 10)) + (\(\frac{1}{2}\) × 4 × 20)
= (10 + 20 + 30 +40)
∴ υ = \(\frac{1}{m}\) (100) (∵ υ₀ = 0 છે.)
= \(\frac{100}{2}\)
= 50 m s^-1

પ્રશ્ન 57.
400 g દળનો દડો 5 mની ઊંચાઈ પરથી નીચે પડે છે. જમીન પર ઊભેલ એક છોકરો બૅટથી 100 N સરેરાશ બળ લગાડીને દડાને ઊદિશામાં ફટકારે છે કે જેથી તે 20 m ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે, તો દડો બૅટ સાથે ………………….. s સુધી સંપર્કમાં રહ્યો હશે? (g = 10 m s^-2)
A. 0.08
B. 0.04
C. 0.12
D. 12
ઉત્તર:
C. 0.12
Hint: 5 mઊંચાઈએથી દડો નીચે જમીન પર આવે ત્યારે
તેનો વેગ,
υ_i = \(-\sqrt{2 g h}=-\sqrt{2 \times 10 \times 5}\) = – 10ms^-1
દડો બૅટને અથડાઈ પાછો ઉપર જાય ત્યારે તેનો વેગ,
υ_f = \(\sqrt{2 g h}=\sqrt{2 \times 10 \times 20}\) = 20 m s^-1
હવે, F Δ t = Δ P
∴ Δt = \(\frac{\Delta P}{F}=\frac{m\left(v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}}\right)}{F}\)
= \(\frac{0.4(20-(-10))}{100}\) = 0.12 s

પ્રશ્ન 58.
એક બૉલ 10 m ઊંચાઈ પરથી એક સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડે છે અને 2.5 mઊછળે છે. જો સપાટી સાથેનો સંપર્કસમય 0.01 સેકન્ડ હોય, તો સંપર્ક દરમિયાન સરેરાશ પ્રવેગ ………………. .
A. 2100
B. 1400
C. 700
D. 400
ઉત્તર:
A. 2100
Hint : h₁ = 10 m ઊંચાઈએથી બૉલ જમીનને સ્પર્શે ત્યારે તેનો વેગ υ₁ છે. જમીનને સ્પર્શ કર્યા બાદ તેનો વેગ υ₂ થાય છે અને તે h₂ = 2.5 mઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
∴ υ₁ = \(\sqrt{2 g h_1}=\sqrt{2 \times 10 \times 10}\)
= + 10√2ms^-1
∴ υ₂ = \(-\sqrt{2 g h_2}=-\sqrt{2 \times 10 \times 2.5}\)
= – \(\sqrt{50}\) m s^-1

હવે, F · Δt = m (υ₂ – υ₁ )
∴ (ma) Δt = m (υ₂ – υ₁)
∴ α = \(\frac{υ_2-υ_1}{\Delta t}\)
= \(\frac{(-\sqrt{50}-10 \sqrt{2})}{0.01}\) ≈ – 2100 m s^-2
∴ બૉલનો પ્રવેગ ઊદિશામાં 2100 m s^-2 હશે.

પ્રશ્ન 59.
આકૃતિમાં એક કણ પર 10Nનાં બે બળો \(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\), XY સમતલમાં લાગે છે. એક ત્રીજું બળ \(\vec{F}_3\) એવી રીતે લાગે છે, જેથી કણનો પ્રવેગ 10 m s^-2 આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે મળે. જો કણનું દળ 1 kg હોય, તો ત્રીજું બળ …………………. હશે.

A. (5, 5) N
B. (10, 10) N
C. (- 10, 10) N
D. (10, – 10) N
GT2:
D. (10, -10) N
Hint : |\(\vec{F}_1\)| = |\(\vec{F}_2\)| = 10 N, a = 10 m s^-2
બળ અને પ્રવેગને XY-ઘટકોના સ્વરૂપે લખતાં,
\(\vec{F}_1\) = (0, 10),
\(\vec{F}_2\) = (- F₂ cos 60°, – F₂ sin 60°)
= (- 10 × \(\frac{1}{2}\) – 10 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= (- 5, – 5 √3) N
\(\vec{a}\) = (a cos 60°, – a sin 60°)
= (10 × \(\frac{1}{2}\), – 10 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = (5, -5√3)
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,
\(\vec{F}_1+{\overrightarrow{F_2}}+\vec{F}_3=m \vec{a}\)
X-ઘટકો ધ્યાનમાં લેતાં,
F_1x + F_2x + F_3x = ma_x
∴ 0 – 5 + F_3x (1) (5)
∴ F_3x = 5 + 5 = 10 N
Y-ઘટકો ધ્યાનમાં લેતાં,
F_1y + F_2y + F_3y = ma_y
∴ 10 – 5√3 + F_3y = (1) (- 5 √3 )
∴ F_3y = – 10 N
∴ \(\vec{F}_3\) = (10, – 10) N

પ્રશ્ન 60.
એક ટ્રેન સમક્ષિતિજ ટ્રૅક પર ગતિ કરી રહી છે. છત પર લટકાવેલ એક લોલક ઊર્ધ્વદિશા સાથે 4° નો કોણ બનાવે છે, તો ટ્રેનનો પ્રવેગ ………….. m s^-2. (g = 10 ms^-2 લો.)
A. 0.6
B.0.7
C.0.5
D.0.2
ઉત્તર :
B.0.7
Hint : જો ટ્રેનનો પ્રવેગ a હોય, તો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,

tan 4° = \(\frac{a}{g}\)
∴ a = g tan 4°
= 10 × 0.069
≈ 0.7 m s^-2
∴ a = 0.7 m s^-2

પ્રશ્ન 61.
2 kg દળના પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ 5 m s^-1 છે. થોડા સમય માટે તેના પર ગતિની દિશામાં બળ લાગે છે. બળ (F) – સમય (t)નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. પદાર્થની અંતિમ ઝડપ …………… .

A. 9.25 m s^-1
B. 5 m s^-1
C. 14.25 m s^-1
D. 4.25 m s^-1
ઉત્તર:
C. 14.25 m s^-1
Hint : F – t આલેખ માટે નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ વેગમાનનો ફેરફાર દર્શાવે છે.
Δp = \(\frac{1}{2}\) (2) (4) + (2) (4) + \(\frac{1}{2}\) (0.5) (1.5) + (0.5) (2.5) + (2) (2.5)
∴ mυ₂ – mυ₁ = 18.575
∴ υ₂ = \(\frac{18.575}{m}\) + υ₁
= \(\frac{18.575}{2}\) + 5
= 14.25 m s^-1

પ્રશ્ન 62.
5 kg દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું બળ પદાર્થના સ્થાનાંતર સાથે કેવી રીતે બદલાય છે, તે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. x = 0 આગળ પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિમાં આવતો હોય, તો x = 25 m આગળ તેનો વેગ કેટલો હશે?

A. 5 m s^-1
B. 10 m s^-1
C. 20 m s^-1
D. 25 m s^-1
ઉત્તર:
B. 10 m s^-1
Hint : m = 5 kg, F = 10 N
∴ પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m}=\frac{10}{5}\) = 2 m s^-2
હવે, υ₀ = 0, x = 25 m, a = 2 m s ^-2, υ = ?
υ² – υ₀² = 2ax પરથી,
υ² – 0 = 2 (2) (25) = 100
∴ υ = 10 m s^-1

પ્રશ્ન 63.
અચળ બળની અસર હેઠળ 2 kg દળનો એક પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે. તે પહેલી સેકન્ડમાં 4m અંતર કાપે છે અને ત્રીજી સેકન્ડમાં 2 m અંતર કાપે છે, તો આ પદાર્થ પર લાગતું બળ ……………. .
A. 6 N
C. 2 N
B. 8 N
D. 4 N
ઉત્તર:
C. 2 N
Hint : પદાર્થ પર અચળ બળ લાગે છે. આથી તેનો પ્રવેગ પણ અચળ હશે. અહીં સમય સાથે તેણે કાપેલું અંતર ઘટે છે, એટલે કે પદાર્થ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે. પહેલી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
d = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1) પરથી,
4 = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2 (1) – 1)
:. 4 = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) ……….. (1)
ત્રીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
2 = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2 (3) – 1)
∴ 2 = υ₀ + \(\frac{5 a}{2}\) ………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
a = 1 m s^-2
બળ F = 2a
= (2) (1) = 2 N

પ્રશ્ન 64.
m દળના એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખેલ છે. સપાટી અને પદાર્થ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક μ છે. જો પદાર્થને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે P જેટલા બળથી ખેંચવામાં આવે, તો પદાર્થ અને સપાટી વચ્ચે લાગતું સીમાંત ઘર્ષણબળ ……………… .

A. μ mg
B. μ [mg + \(\frac{P}{2}\)]
C. μ [mg – \(\frac{P}{2}\)]
D. [mg – \(\frac{\sqrt{3} P}{2}\)]
ઉત્તર:
C. μ [mg – \(\frac{P}{2}\)]
Hint :

આકૃતિમાં પદાર્થ પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યાં છે. પદાર્થનું ઊર્ધ્વદિશામાં સ્થાનાંતર થતું ન હોવાથી,
N + P sin θ = mg
∴ N = mg – P sin θ
હવે, સીમાંત ઘર્ષણબળ,
f_s = μ_sN = μ_s (mg – P sin θ)
= μ_s (mg – P sin 30%)
= μ_s [mg – \(\frac{P}{2}\)]

પ્રશ્ન 65.
M દળની એક પ્લેટને ઘર્ષણ રહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકેલ છે અને m દળના પદાર્થને આ પ્લેટ પર મૂકેલ છે. પદાર્થ અને પ્લેટ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક μ છે. જો m દળના પદાર્થ પર 2μ mg જેટલું બળ સમક્ષિતિજ દિશામાં લગાડવામાં આવે, તો પ્લેટમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ ……………… .

A. \(\frac{\mu m}{M}\) g
B. \(\frac{\mu m}{(M+m)}\) g
C. \(\frac{2 \mu m}{M}\) g
D. \(\frac{2 \mu m}{(M+m)}\) g
ઉત્તર:
A. \(\frac{\mu m}{M}\) g
Hint :

m દળના પદાર્થ પર 2μmg બળ લગાડવામાં આવે છે, જે M દળની પ્લેટ અને m દળના પદાર્થ વચ્ચે પ્રવર્તતાં ઘર્ષણબળ umg કરતાં વધારે છે.
તેથી m દળના પદાર્થ અને M દળની પ્લેટ વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ સંભવશે.

m દળના પદાર્થનો FBD :
∴ m દળના પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = 2μ mg – μ mg
∴ ma = μ mg
∴ a = μg = m દળના પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ

M દળની પ્લેટનો FBD :
∴ M દળની પ્લેટ પર લાગતું પિરણામી
બળ F = μ mg
∴ Ma = μ mg
∴ a = \(\frac{\mu \mathrm{mg}}{M}\) = M દળની પ્લેટમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ
∴ વિકલ્પ A સાચો ઉત્તર છે.

પ્રશ્ન 66.
60 kg દળ ધરાવતો ફાયરમૅન થાંભલા પરથી નીચે સરકી રહ્યો છે. તે થાંભલાને 600 Nના બળથી જકડે છે. ફાયરમૅનના હાથ અને થાંભલા વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.5 હોય, તો ફાયરમૅન કેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરશે? (g = 10 m s^-2)
A. 1 m s^-2
C. 10 m s^-2
B. 2.5 m s^-2
D. 5 m s^-2
ઉત્તર:
D. 5 m s^-2
Hint :

આકૃતિ પરથી,
N = 600 N
∴ mg – f_s = ma
∴ mg – μN = ma
∴ a = \(\frac{m g-\mu N}{m}\)
= \(\frac{(60)(10)-(0.5)(600)}{60}\)
= \(\frac{300}{60}\) = 5 m s^-2

પ્રશ્ન 67.
5 kg નો એક બ્લૉક સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્થિર છે. આ સપાટીનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.2 છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ F = 40 N બળ બ્લૉક પર લગાડવામાં આવે, તો બ્લૉકનો પ્રવેગ ……………. (g = 10 m s^-2 લો.)

A. 5.73 m s^-2
B. 8m s^-2
C. 3.17 m s^-2 F
D. 10 m s^-2
ઉત્તર:
A. 5.73 m s^-2
Hint :

બ્લૉક પર લાગતાં બળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યાં છે.
∴ Mg = N + F sin 30°
∴ N = Mg – F sin 30°
હવે, f_k = μ_k N = μ_k (Mg – F sin 30°)
= 0.2 (5 × 10 – 40 × \(\frac{1}{2}\))
= 6 N
બ્લૉકને સમક્ષિતિજ દિશામાં a જેટલો પ્રવેગ છે.
ma = F cos 30° – f_k
∴ a = \(\frac{F \cos 30^{\circ}-f_{\mathrm{k}}}{m}\)
= \(\frac{40 \times \frac{\sqrt{3}}{2}-6}{5}\) = 5.73 m s^-2

પ્રશ્ન 68.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણેની ગોઠવણીમાં ફાચર(ઢોળાવવાળી રચનાવાળો બ્લૉક)નું દળ M છે. તે ડાબી બાજુ તરફ a જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. બધી જ સપાટીઓ લીસી છે, તો ફાચરની સાપેક્ષે m દળવાળા બ્લૉકનો પ્રવેગ …………….. .

A. \(\frac{a}{2}\)
B. \(\frac{2 M a}{m}\)
C. \(\frac{2(M+m) a}{m}\)
D. \(\frac{(M+m) a}{m}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{2(M+m) a}{m}\)
Hint :

ધારો કે, ઢોળાવની સાપેક્ષે m દળના બ્લૉકનો પ્રવેગ a_r છે. આ પ્રવેગના ઘટકો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે.
આકૃતિ પરથી,
Ma + ma = ma_r cos 60°
∴ \(\frac{(M+m) a}{m \cos 60^{\circ}}\) = a_r
∴ a_r = \(\frac{(M+m) a}{m \cos 60^{\circ}}\)

પ્રશ્ન 69.
m₁, m₂, અને m₃ દળના ત્રણ ઘન પદાર્થોને એક હલકી દોરી સાથે અનુક્રમે બાંધીને ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર મૂકેલા છે. જો m₃ દળને T જેટલા બળથી ખેંચવામાં આવે, તો m₂ અને m₃ દળ વચ્ચેની દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ ……………….. .
A. \(\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\) T
B. \(\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\) T
C. \(\frac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3}\) T
D. \(\frac{m_2+m_3}{m_1+m_2+m_3}\) T
ઉત્તર:
C. \(\frac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3}\) T
Hint :

તંત્રનો પ્રવેગ a = \(\frac{T}{m_1+m_2+m_3}\)
ધારો કે, m₂ અને m₃ વચ્ચેની દોરીમાં ઉદ્ભવતો તણાવ T’ છે.
∴ T – T’ = m₃ a
∴ T’ = T – m₃ a
= T – m₃\(\frac{T}{m_1+m_2+m_3}\)
= \(\frac{T\left(m_1+m_2+m_3\right)-m_3 T}{m_1+m_2+m_3}\)
= \(\frac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3}\) T

પ્રશ્ન 70.
જો આકૃતિમાં દર્શાવેલ સપાટી ઘર્ષણ રહિત હોય, તો T₁ અને T₂નો ગુણોત્તર …………….. .

A. √3 : 2
B. 1 : √3
C. 1 : 5
D. 5 : 1
ઉત્તર:
D. 5 : 1
Hint : ધારો કે, આપેલા બળની અસર હેઠળ ત્રણેય બ્લૉક a જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
∴ T₁ = (12 + 3) a, T₂ = (3)a
∴ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{(12+3) a}{(3) a}\)
= 5 : 1

પ્રશ્ન 71.
m દળના એક બ્લૉકને 2m s^-2ના પ્રવેગથી અધોદિશામાં ગતિ કરતી લિફ્ટની ઢોળાવવાળી સપાટી ૫૨ ૨ાખેલ છે. બ્લૉકને લિફ્ટની સાપેક્ષમાં અચળ વેગથી નીચે તરફ ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી ઘર્ષણાંક કેટલો?

A. μ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
B. μ = 0.4
C. μ = 0.8
D. μ = 0.5
ઉત્તર:
A. μ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Hint : લિફ્ટ અધોદિશામાં a = 2 m s^-2થી પ્રવેગી ગતિ કરતી હોવાથી તેના પર ઊર્ધ્વદિશામાં આભાસી બળ લાગે છે. આથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ g’ = g – a થશે.

આકૃતિ પરથી,
m (g – a) sin θ = f_s = μ N
= μ m (g – a) cos θ
∴ μ = tan θ = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

પ્રશ્ન 72.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક દળ રહિત પુલી પરથી બે બ્લૉકને જોડવામાં આવ્યા છે. બ્લૉક A નું દળ 10 kg છે. જ્યારે બ્લૉક A ઢાળ પરથી અચળ ઝડપે નીચે આવતો હોય, ત્યારે ગતિક ઘર્ષણાંક 0.2 હોય, તો બ્લૉક Bનું દળ …………….. kg.

A. 2
B. 2.5
C. 3.3
D. 3.0
ઉત્તર:
C. 3.3
Hint : બ્લૉક B માટે :
T – m_Bg = 0 (કારણ કે, પ્રવેગ શૂન્ય છે.)
∴ T = m_Bg ………… (1)
બ્લૉક A માટે :
m_Ag sin = f_K + T = μ_Km_Ag cos θ + m_Bg
(∵ સમીકરણ (1) પરથી)

પ્રશ્ન 73.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક ખરબચડી સપાટી પર m = 4 kg દળ ધરાવતા એક બ્લૉકને મૂકેલ છે. બ્લૉક અને સમતલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક ઘ્ર μ_s = 0.6 છે. F = 10 N બળ બ્લૉક પર 30°ના ખૂણે લગાડવામાં આવે, તો બ્લૉક અને સમતલ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ …………………. .

A. 27.15 N
B. 16.32 N
C. 10.65 N
D. 32.16 N
ઉત્તર:
A. 27.15 N
Hint : બ્લૉક પર લાગતાં બળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યાં છે :

પ્રશ્ન 74.
h ઊંચાઈના એક ઘર્ષણ રહિત ઢાળનો ખૂણો θ છે. આ ઢાળની ટોચ પરથી એક બ્લૉકને મુક્ત કરવામાં આવે, તો આ બ્લૉકને ઢાળના તળિયે પહોંચતાં લાગતો સમય ………………. .
A. \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
B. sin θ \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
C. \(\frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
D. \(\frac{1}{\cos \theta} \sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
Hint :

ધારો કે, ઢાળની લંબાઈ d છે.
∴ sin θ = \(\frac{h}{\sin \theta}\)
∴ d = \(\frac{h}{\sin \theta}\) ……….. (1)
અહીં, બ્લૉક એ ઢાળ પરથી g sin θ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
હવે,
d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ d = \(\frac{1}{2}\) at² (∵ υ₀ = 0)
સમીકરણ (1) પરથી d નું મૂલ્ય અને a= g sin θ મૂકતાં,
\(\frac{h}{\sin \theta}\) = \(\frac{1}{2}\) = (g sin θ) t²
∴ t² = \(\frac{2 h}{g \sin ^2 \theta}\)
∴ t = \(\frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2 h}{g}}\)

પ્રશ્ન 75.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘર્ષણ રહિત ઢાળની ટોચ પરથી એક બ્લૉકને મુક્ત કરવામાં આવતાં તે t સેકન્ડમાં તળિયે પહોંચે છે. આ જ બ્લૉકને h ઊંચાઈએથી મુક્તપતન આપતાં તે \(\frac{t}{2}\) સેકન્ડમાં જમીન ૫૨ આવે છે, તો ઢાળનો ખૂણો શોધો.

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
ઉત્તર:
A. 30°
Hint : જ્યારે પદાર્થ અધોદિશામાં મુક્તપતન કરે ત્યારે,
d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ h = 0 + \(\frac{1}{2}\) g (\(\frac{t}{2}\))²
∴ h = \(\frac{1}{8}\) gt² …….. (1)
હવે, બ્લૉક ઢાળ પરથી સરકે ત્યારે તેનો પ્રવેગ g sin θ હોય છે.
∴ d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ d = 0 + \(\frac{1}{2}\) (g sin θ)t² ………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
sin θ = \(\frac{h}{d}=\frac{\frac{1}{8} g t^2}{\frac{1}{2} g \sin \theta t^2}=\frac{1}{4 \sin \theta}\)
∴ sin² θ = \(\frac{1}{4}\) અથવા sin θ = \(\frac{1}{2}\) ⇒ θ = 30°

પ્રશ્ન 76.
એક બરફનો ટુકડો 30°ના ઢાળની સપાટી પર મૂકેલો છે. જો બરફ અને ઢાળની સપાટી વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) હોય,
તો બરફનો પ્રવેગ
A. શૂન્ય
B. 2 m s^-2
C. 1.5 m s^-2
D. 5 m s^-2
ઉત્તર:
A. શૂન્ય
Hint :

આકૃતિ પરથી,
N = mg cos θ અને mg sin θ – ƒ_s = ma
∴ mg sin θ – µ_sN = ma
∴ mg sin θ – µ_s (mg cos θ) = ma
∴ a = g (sin θ – µ_s cos θ) ………… (1)
= g (sin 30° – \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) cos 30°)
= g(\(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)) = 0

પ્રશ્ન 77.
θ કોણવાળા ઢાળની સપાટી પર એક બ્લૉક મૂકેલો છે. ઢાળની લંબાઈ l છે અને સપાટીનો ઘર્ષણાંક µ છે. બ્લૉક જ્યારે ઢાળની ટોચ પરથી ઢાળના તળિયે આવે ત્યારે તેનો વેગ ………………. .
A. \(\sqrt{2 g l(\mu \cos \theta-\sin \theta)}\)
B. \(\sqrt{2 g l(\sin \theta-\mu \cos \theta)}\)
C. \(\sqrt{2 g l(\sin \theta+\mu \cos \theta)}\)
D. \(\sqrt{2 g l(\cos \theta+\mu \cos \theta)}\)
ઉત્તર:
B. \(\sqrt{2 g l(\sin \theta-\mu \cos \theta)}\)
Hint : પ્રશ્ન 76ની Hintમાં સમજાવ્યા મુજબ ઢાળની સપાટી પર બ્લૉકનો પ્રવેગ,
a = g (sin θ – µ cos θ )
હવે, υ² – υ₀² = 2ad પરથી,
υ² – 0 = 2g (sin θ – µ cos θ)l
∴ υ = \(\sqrt{2 g l(\sin \theta-\mu \cos \theta)}\)

પ્રશ્ન 78.
1 : 2 દળનો ગુણોત્તર ધરાવતા બે પદાર્થો સમાન વક્રતા-ત્રિજ્યાવાળા પથ પર ગતિ કરે છે. જો બંને પદાર્થો માટે સમાન કેન્દ્રગામી બળ જોઈતું હોય, તો તેમના વેગનો ગુણોત્તર ……………………….. હોવો જોઈએ.
A. 1 : 4
B. 4 : 1
C. √2 : 1
D. 1 : √2
ઉત્તર:
C. √2 : 1
Hint :

પ્રશ્ન 79.
સમાન દળ ધરાવતા A અને B મણકાઓને ન ખેંચી શકાય તેવા દોરડા વડે જોડેલ છે અને એક ઘર્ષણ રહિત રિંગ પર શિરોલંબ સમતલમાં ગતિ કરાવવામાં આવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સ્થિર સ્થિતિમાંથી મણકાઓને મુક્ત કરવામાં આવે છે. મુક્ત કર્યા પછી દોરડામાં ઉદ્ભવતો તણાવ ……………… .

T cos 45° = ma, mg – T cos 45° = ma
A. \(\frac{m g}{4}\)
B. √2 mg
C. \(\frac{m g}{2}\)
D. \(\frac{m g}{\sqrt{2}}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{m g}{\sqrt{2}}\)
Hint : દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ T હોય અને તંત્રમાં પ્રવેગ a હોય, તો
T cos θ = ma ………… (1)
∴ mg – T cos θ = ma
∴ mg – T cos θ = T cos θ (સમી. (1) પરથી)
∴ 2T cos θ = mg
∴ T = \(\frac{m g}{2 \cos \theta}=\frac{m g}{2 \cos 45^{\circ}}\)
∴ T = \(\frac{m g}{\sqrt{2}}\)

પ્રશ્ન 80.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક રફ સપાટી પર મૂકેલા m દળના બ્લૉક પર બે બળોP અને Q લાગે છે. સપાટી પર બ્લૉક સંતુલિત સ્થિતિમાં ત્યારે જ રહી શકે જ્યારે ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય ………………. .

A. (P + Q sin θ) / (mg + Q cos θ)
B. (P cos θ + Q) / (mg – Q sin θ)
C. (P + Q cos θ) / (mg + Q sin θ)
D. (P sin θ – Q) (mg – Q cos θ)
ઉત્તર:
A. (P + Q sin θ) / (mg + Q cos θ)
Hint : બ્લૉક માટેનો FBD આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે :

N = mg + Q cos θ
f_s = P + Q sin θ
∴ µN = P + Q sin θ
∴ µ = \(\frac{P+Q \sin \theta}{N}\)
= \(\frac{P+Q \sin \theta}{m g+Q \cos \theta}\)

પ્રશ્ન 81.
એક પથ્થરને દોરી સાથે બાંધીને નિયમિત ઝડપ υ સાથે ઊર્ધ્વ-વર્તુળમાં ઘુમાવવામાં આવે છે. જો મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તણાવનો ગુણોત્તર 2 હોય, તો \(\frac{v^2}{r g}\) નું મૂલ્ય ………………….. હશે.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
ઉત્તર:
B. 3
Hint : બિંદુ A આગળ તણાવ બળ અને વજન બળનું પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.

પ્રશ્ન 82.
m દળના પથ્થરને દોરી સાથે બાંધીને ઊર્ધ્વસમતલમાં પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે, તો સૌથી નીચેની સ્થિતિમાં દોરીમાં તણાવ ……………….. હશે.
A. \(\frac{m υ^2}{r}\)
B. \(\frac{m υ^2}{r}\) – mg
C. \(\frac{m υ^2}{r}\) + mg
ઉત્તર:
C. \(\frac{m υ^2}{r}\) + mg
Hint :

પથ્થરની સૌથી નીચેની સ્થિતિમાં દોરીનું તણાવ બળ અને પથ્થરનું વજન બળનું પરિણામી બળ એ કેન્દ્રગામી
બળ જેટલું હોય છે. આથી
\(\frac{m υ^2}{r}\) = T – mg
∴ T = \(\frac{m υ^2}{r}\) + mg

પ્રશ્ન 83.
એક પથ્થરને દોરી સાથે બાંધીને નિયમિત ઝડપથી ઊસમતલમાં 2.5 m ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ઘુમાવવામાં આવે છે. દોરીમાં ઉદ્ભવતું મહત્તમ અને લઘુતમ તણાવ બળનો ગુણોત્તર 5 : 3 હોય, તો પથ્થરનો વેગ …………………. .
A. \(\sqrt{98}\) m s^-1
B. 7 m s^-1
C. \(\sqrt{490}\) m s^-1
D. \(\sqrt{4.9}\) ms^-1
ઉત્તર:
A. \(\sqrt{98}\) ms^-1
Hint : \(\frac{T_{\max }}{T_{\min }}=\frac{\frac{m v^2}{r}+m g}{\frac{m v^2}{r}-m g}=\frac{5}{3}\)
\(\frac{\frac{v^2}{r}+g}{\frac{v^2}{r}-g}=\frac{5}{3}\)
આપેલ સમીકરણને ઉકેલતાં,
υ = \(\sqrt{4 g r}=\sqrt{4 \times 9.8 \times 2.5}=\sqrt{98}\) m s^-1

પ્રશ્ન 84.
એક અર્ધગોળાકાર સપાટીના અંદરના ભાગમાં એક જંતુ છેક નીચેના બિંદુથી સપાટી પર અચળ ઝડપથી ચડી રહ્યું છે. જંતુ અને સપાટી વચ્ચે ઘર્ષણાંક \(\frac{1}{3}\) છે. જંતુ અને અર્ધગોળાકારના કેન્દ્ર O સાથે જોડતી રેખાએ શિરોલંબ સાથે બનાવેલ મહત્તમ કોણ કેટલો થાય?

A. cot α = 3
B. sec α = 3
C. cosec α = 3
D. tan α = 3
ઉત્તર:
A. cot α = 3
Hint :

આકૃતિમાં જંતુ પર લાગતાં બળો ધ્યાનમાં લો.
f_s = mg sin α
N = mg cos α
∴ μ = \(\frac{f_s}{N}=\frac{m g \sin \alpha}{m g \cos \alpha}\) = tan α
∴ \(\frac{1}{3}\) = tan α
∴ cot α = 3

પ્રશ્ન 85.
એક ઘર્ષણ રહિત સપાટીવાળા ટેબલના કેન્દ્ર પર એક કાણું પાડી તેમાંથી 2l લંબાઈવાળી હલકી દોરી પસાર કરેલી છે. દોરીના બંને છેડે સમાન દળ m વાળા બે દડા જોડેલા છે. તંત્રની વ્યવસ્થા એ રીતે કરેલી છે, જેથી દોરીનો અડધો ભાગ ટેબલની સપાટી પર અને અડધો ભાગ કાણાંમાંથી લટકતો રહે. હવે ટેબલ પર રહેલા દડાને અચળ ઝડપ થી વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરાવવામાં આવે, તો આ દડાનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કેટલો હશે?
A. mυl
B. g
C. શૂન્ય
D. 2 mυl
ઉત્તર:
B. g
Hint :

દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ એ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડશે.
∴ \(\frac{m υ^2}{l}\) = T
તેમજ T = mg
∴ mg = \(\frac{m υ^2}{l}\)
∴ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ = \(\frac{υ^2}{l}\) = g

પ્રશ્ન 86.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m અને 2m દળના બે બ્લૉક્સને ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી હલકી દોરીના છેડે જોડેલ છે. જો આ બંને બ્લૉક્સનાં તંત્રને મુક્ત કરવામાં આવે, તો બંને બ્લૉક્સના પ્રવેગનું મૂલ્ય ……………….. હશે.

A. \(\frac{g}{4}\)
B. \(\frac{g}{3}\)
C. \(\frac{g}{2}\)
D. g
ઉત્તર:
C. \(\frac{g}{2}\)
Hint :

આકૃતિ પરથી,
2mg – T = 2ma ………. (1)
∴ T – mg sin 30° = ma
∴ T – \(\frac{m g}{2}\) = ma ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં,
2mg – T + T – \(\frac{m g}{2}\) = 2ma + ma
∴ \(\frac{3 m g}{2}\) = 3ma ∴ a = \(\frac{g}{2}\)

પ્રશ્ન 87.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમક્ષિતિજ લીસી સપાટી પર m દળ ધરાવતા ત્રણ બ્લૉક A, B અને C એકબીજા પર ગોઠવેલ છે. A, B અને C બ્લૉકમાંથી કોઈ પણ બે બ્લૉક વચ્ચે ઘર્ષણાંક \(\frac{1}{2}\) છે, તો બ્લૉક Dનું વધારેમાં વધારે દળ કેટલું હોવું જોઈએ કે જેથી A, B અને C બ્લૉક એકબીજા પર સરક્યા સિવાય ગતિ કરે?

A. 6 m
B. 5 m
C. 3 m
D. 4 m
ઉત્તર:
C. 3 m
Hint : f_s(max) = μ_smg = \(\frac{1}{2}\) m_Ag
બ્લૉક A પરનું બળ f_s(max) = m_A a_(max)
∴ a_(max) = \(\frac{f_{s(\max )}}{m_{\mathrm{A}}}=\frac{\frac{1}{2} m_{\mathrm{A}} g}{m_{\mathrm{A}}}=\frac{g}{2}\) ………. (1)
A, B અને C બ્લૉક પર લાગતું તણાવ બળ,
(m + m + m) a_(max) = T ………… (2)
D બ્લૉક પર લાગતું પરિણામી બળ,
m_Dg – T = m_Da_(max) ………. (3)
સમીકરણ (2) અને (3)ને ઉકેલતાં,
a_(max) = \(\frac{m_{\mathrm{D}} g}{3 m+m_{\mathrm{D}}}\)
∴ \(\frac{g}{2}=\frac{m_{\mathrm{D}} g}{3 m+m_{\mathrm{D}}}\)
∴ m_D = 3m

પ્રશ્ન 88.
2 kg જેટલું સમાન દળ ધરાવતા ત્રણ બ્લૉક્સને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી વડે લટકાવેલ છે, તો બ્લૉક B અને Cને જોડતી દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ કેટલું હશે?

A. શૂન્ય
B. 13.1 N
C. 3.3 N
D. 19.6 N
ઉત્તર:
B. 13.1 N
Hint : C માટે ગતિનું સમીકરણ,
m_Cg – T₁ = m_Ca
∴ T₁ = m_C (g – a) = 2 (g – a) ………. (1)
B માટે ગતિનું સમીકરણ,
T₁ + m_Bg – T₂ = m_Ba
∴ T₁ = T₂ + m_B(a – g)
= T₂ + 2 (a – g) ………… (2)
T₁નું મૂલ્ય સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
T₂ = 4 (g – a) ……….. (3)
હવે, A માટે ગતિનું સમીકરણ,
T₂ – m_Ag = m_Aa
∴ T₂ = m_A(g + a) = 2(g + a) ……….. (4)
સમીકરણ (3) અને (4) સરખાવતાં,
4(g – a) = 2 (g + a)
∴ a = \(\frac{1}{3}\) g
a નું મૂલ્ય સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
T₁ = 2(g – \(\frac{1}{3}\) g) = \(\frac{4}{3}\) g
∴ T₁ = \(\frac{4}{3}\) × 9.8 = 13.1 N

પ્રશ્ન 89.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 2 kg, 5 kg અને 3 kg દળના બ્લૉકને ઘર્ષણ રહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર બે છેડે જોડેલી ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી હલકી દોરીઓ સાથે જોડેલા છે. આ તંત્રનો પ્રવેગ કેટલો હશે? (g = 10 m s^-2 લો.)

A. 1 m s^-2
B. 2 m s^-2
C. 5 m s^-2
D. 8 m s^-2
ઉત્તર :
A. 1 m s^-2
Hint : m₁ = 3 kg, m₂ = 2 kg, m₃ = 5 kg
આકૃતિમાં ત્રણેય બ્લૉક પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યાં છે.

બ્લૉક 1 માટે :
m₁g – T₁ = m₁a ……… (1)
બ્લૉક 2 માટે :
T₂ – m₂g = m₂a ……….. (2)
બ્લૉક 3 માટે :
T₁ – T₂ = m₃a ………. (3)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
(m₁ – m₂) g – (T₁ – T₂) = (m₁ + m₂) a
સમીકરણ (3)માંથી (T₁ – T₂)નું મૂલ્ય મૂકતાં,
(m₁ – m₂) g – m₃a = (m₁ + m₂) a
∴ a = \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+m_3}\) g
= \(\frac{3-2}{3+2+5}\) × 10 = 1 m s^-2

પ્રશ્ન 90.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે અવગણ્ય વજનવાળી દોરી ઍમ્પ સાથે જોડેલ m દળની ગરગડી પરથી પસાર થાય છે અને તેને છેડે M દળનો બ્લૉક લટકાવેલ છે. ગરગડી પર ક્લૅમ્પ દ્વારા લાગતું બળ ………………

A. √2 Mg
B. √2 mg
C. \(\sqrt{(M+m)^2+m^2} g\)
D. \(\sqrt{\left[(M+m)^2+M^2\right] g^2}\)
ઉત્તર:
D. \(\sqrt{\left[(M+m)^2+M^2\right] g^2}\)
Hint :

ગરગડી ૫૨ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે તણાવ T₁ અને T₂ લાગે છે. પરંતુ ગરગડી ભ્રમણ કરતી ન હોવાથી તે ચાકગતિય
સંતુલનમાં છે. આથી
T₁ = T₂ = T
M દળનો બ્લૉક ગતિ કરતો ન હોવાથી,
T – Mg = 0
∴ T = Mg
હવે, ગરગડી વડે ક્લૅમ્પ પર લાગતું બળ,
\(\vec{F}\) = – Tî – mgî – Tĵ
= – Mgî – mgî – Mgĵ
= – (M + m)gî – Mgĵ
∴ |\(\vec{F}\)| = \(\sqrt{(M+m)^2 g^2+M^2 g^2}\)
= \(\sqrt{\left[(M+m)^2+M^2\right] g^2}\)

પ્રશ્ન 91.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દીવાલ સાથે સંપર્કમાં રહેલા 5 kg બ્લૉકને નીચે પડતો અટકાવવા માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં લગાડવા પડતા જરૂરી બળ \(\vec{F}\) નું મૂલ્ય કેટલું હશે? (g = 10 m s^-2 લો.) બ્લૉક અને દીવાલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.4 છે.

A. 200 N
B. 20 N
C. 12.5 N
D. 125 N
ઉત્તર:
D. 125 N
Hint :

આકૃતિમાં બ્લૉક પર લાગતાં વિવિધ બળો દર્શાવ્યાં છે.
આકૃતિ પરથી, \(\vec{F}\) = \(\vec{N}\) હવે, બ્લૉક દીવાલ સાથે ત્યારે જ સ્થિર રહી શકે, જ્યારે
f_s = mg
∴ µ_sN = mg
∴ µ_sF = mg
∴ F = \(\frac{m g}{\mu_s}=\frac{(5)(10)}{0.4}\) = 125 N

પ્રશ્ન 92.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર 2 N વજન ધરાવતો પદાર્થ લટકાવ્યો છે. સમક્ષિતિજ રહેલી દોરીમાં તણાવ T₁ કેટલું હશે?

A. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)N
B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C. 2√3 N
D. 2 N
ઉત્તર :
C. 2√3 N
Hint :

આકૃતિ પરથી, T sin 30° = 2 N
∴ T = \(\frac{2}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}\) = 4 N
T₁ = T cos 30°
= 4 cos 30° = 4 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 2√3 N

પ્રશ્ન 93.
આકૃતિમાં દર્શાવેલી દોરીઓ અવગણ્ય દળવાળી અને ગરગડીઓ લીસી છે, તેમ ધારો તો આપેલ તંત્ર સંતુલનમાં ૨હે તે માટે જરૂરી કોણ θ = ………………. .

A. 30°
B. 45°
C. 0°
D. 60°
ઉત્તર:
B. 45°
Hint :

m દળના બ્લૉક માટે,
T = mg …………. (1)
√2m દળના બ્લૉક માટે,
2 T cos θ = √2 mg
∴ cos θ = \(\frac{\sqrt{2}}{2 T}\) × mg
= \(\frac{1}{\sqrt{2} m g}\) × mg = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ θ = 45°

પ્રશ્ન 94.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણેનું તંત્ર ધ્યાનમાં લો. પુલી અને દોરી હલકી છે તથા બધી સપાટી ઘર્ષણ રહિત છે, તો દોરીમાંનું તણાવ ………………. N. (g = 10 m s^-2 લો.)

A. 0
B. 1
C. 2
D. 5
ઉત્તર:
D. 5
Hint :

m₁ અને m₂ દળ પર લાગતાં બળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યાં છે.
m₂ દળ માટે, m₂g – T = m₂a ………. (1)
m₁ દળ માટે, T₁ = m₁a ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
a = \(\frac{m_2}{m_1+m_2}\) g = \(\frac{1}{1+1}\) g = \(\frac{1}{2}\) (10) = 5 m s^-2
સમીકરણ (2)માં aનું મૂલ્ય મૂકતાં,
T₁ = (1) (5) = 5 N

પ્રશ્ન 95.
45°ના ઘર્ષણવાળા ઢાળ પરથી એક પદાર્થને સરકતા લાગતો સમય એ ઘર્ષણ રહિત સપાટી પરથી સરકતા લાગતા સમય કરતાં બમણો હોય, તો ઢાળની સપાટી અને પદાર્થ વચ્ચેનો ગતિક ઘર્ષણાંક ……………….. હશે.
A. 0.80
B. 0.75
C. 0.25
D. 0.33
ઉત્તર:
B. 0.75
Hint : પદાર્થ પર લાગતાં જુદાં જુદાં બળો નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યાં છે :

ઘર્ષણવાળી સપાટી પર પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = mg sin θ – f_k
= mg sin θ – µ_k N
= mg sin θ – µ_k mg cos θ
∴ ma = mg sin θ – µ_k mg cos θ
∴ a = g sin θ – µ_k g cos θ
પદાર્થ પ્રારંભમાં સ્થિર છે. આથી υ₀ = 0
d = υ₀t₁ + \(\frac{1}{2}\) at₁² = \(\frac{1}{2}\) (g sin θ – µ_k g cos θ) t₁²
∴ t₁ = \(\sqrt{\frac{2 d}{\left(g \sin \theta-\mu_{\mathrm{k}} g \cos \theta\right)}}\)
ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર પદાર્થનો પ્રવેગ a = g sin θ
∴ d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at₂² = \(\frac{1}{2}\) (g sin θ) t₂²
∴ t₂ = \(\sqrt{\frac{2 d}{g \sin \theta}}\)
પરંતુ, t₁ = 2t₂
∴ \(\frac{2 d}{g\left(\sin \theta-\mu_{\mathrm{k}} \cos \theta\right)}=\frac{2 d \times 4}{g(\sin \theta)}\)
∴ sin θ = 4 sin θ – 4 µ_k cos θ
∴ µ_k = \(\frac{3}{4}\) tan θ = \(\frac{3}{4}\) tan 45° = 0.75

પ્રશ્ન 96.
5 kg દળનો એક સ્થિર પદાર્થ વિસ્ફોટ પામીને ત્રણ ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે. આ ટુકડાઓના દળ 1 : 1 : 3 ના ગુણોત્તરમાં છે. સમાન દળના બે ટુકડાઓ એકબીજાને લંબરૂપે 21 m s^-1 ના વેગથી ગતિ કરે છે, તો સૌથી ભારે ટુકડાનો વેગ ……………….. હશે.
A. 7√2
B. 5√2
C. 3√2
D. √2
ઉત્તર:
A. 7√2
Hint : 5 kg નો પદાર્થ 1 : 1 : 3 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત થાય છે.
આથી m₁ = 1 kg, m₂ = 1 kg અને m₃ = 3 kg થશે.
ત્રણ ટુકડાઓના વેગમાન અનુક્રમે \(\overrightarrow{p_1}, \overrightarrow{p_2}, \overrightarrow{p_3}\) હોય, તો વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,
\(\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}+\overrightarrow{p_3}\) = 0
∴ \(\overrightarrow{p_3}=-\overrightarrow{p_1}-\overrightarrow{p_2}\)
જો \(\vec{p}_1\) અને \(\vec{p}_2\) અનુક્રમે X અને Y દિશામાં હોય, તો
\(\vec{p}_3\) = – m₁υî – m₂υĵ
∴ m₃\(\vec{υ}_3\) = – m₁υî – m₂υĵ
∴ 3\(\vec{υ}_3\) = – 21î – 21ĵ
∴ |\(\vec{υ}_3\)| = \(\frac{1}{3} \sqrt{(-21)^2+(-21)^2}\)
= 7 √2 m s^-1

પ્રશ્ન 97.
m દળનો એક કણ υ₁ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. કણને આઘાત (Impulse) આપતા તેનો વેગ υ₂ થાય છે, તો
આઘાતનું મૂલ્ય
A. m (|υ₂| – |υ₁|)
B. m \(\frac{1}{2}\) (υ₂² – υ₁²)
C. m (υ₁ + υ₂)
D. m (υ₂ – υ₁)
ઉત્તર:
D. m (υ₂ – υ₁)
Hint : આઘાત (બળનો આઘાત) = વેગમાનમાં ફેરફાર
= mυ₂ – mυ₁
= m (υ₂ – υ₁)

પ્રશ્ન 98.
નિયમિત એવી ભારે સાંકળ સમક્ષિતિજ ટેબલની સપાટી પર પડી છે. સાંકળ અને ટેબલની સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.25 છે, તો સાંકળની કુલ લંબાઈનો કેટલો ભાગ ટેબલની ધાર આગળ લટકતો રહી શકે?
A. 20 %
B. 25 %
C. 35%
D. 15 %
ઉત્તર:
A. 20 %
Hint : ધારો કે, સાંકળની લંબાઈ L અને તેનું કુલ દળ M છે. આથી તેની રેખીય ઘનતા λ = \(\frac{M}{L}\)
ધારો કે, y જેટલી લંબાઈની સાંકળ ટેબલની ધારની બહાર લટકતી રહી શકે છે. સાંકળની આ સ્થિતિમાં ઘર્ષણબળને કારણે ટેબલ પર રહેલી સાંકળ એ લટકતી સાંકળના વજનને સંતુલિત કરશે.
W = f_L ……….. (1)

y લંબાઈની સાંકળનું દળ = λy
∴ y લંબાઈની સાંકળનું વજન બળ,
W = λyg = \(\frac{M}{L}\) yg અને
(L – y)ની લંબાઈનું વજન બળ
W’ = \(\frac{M}{L}\) (L – y) g, N = W’ = \(\frac{M}{L}\)(L – y) g
∴ f_L = μN = μ \(\frac{M}{L}\) (L – y) g
સમીકરણ (1)માં W અને f_Lનું મૂલ્ય મૂકતાં,
μ \(\frac{M}{L}\) (L – y) g = \(\frac{M}{L}\) yg
∴ μ (L – y) = y
∴ y = \(\frac{\mu L}{\mu+1}=\frac{0.25 L}{1.25}\)
∴ \(\frac{y}{L}=\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\) × 100 = 20%

પ્રશ્ન 99.
એક કાર સમક્ષિતિજ રસ્તા પર 72 km/hની ઝડપે ગતિ કરે છે. જો કારના ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.5 હોય, તો કાર થોભે તે પહેલાં ઓછામાં ઓછું કેટલું અંતર કાપશે? (g = 10 ms m s^-2)
A. 30 m
B. 40 m
C. 72 m
D. 20 m
ઉત્તર:
B. 40 m
Hint : υ₀ = 72 km/h = 20 m s^-1; υ = 0; μ_s = 0.5
કારનો પ્રતિપ્રવેગ,
a = – μ_s = – (0.5) (10) = – 5 m s^-2
હવે, υ² – υ₀² = 2ax પરથી,
x = \(\frac{υ^2-υ_0^2}{2 a}=\frac{0-(20)^2}{2 \times(-5)}\) = 40 m

પ્રશ્ન 100.
એક વાંદરો ઝાડની ડાળી પરથી અચળ પ્રવેગથી નીચે ઊતરી રહ્યો છે. જો ડાળીની તણાવક્ષમતા વાંદરાના વજન બળ કરતાં 75% જેટલી હોય, તો ડાળી તૂટ્યા વગર વાંદરો ઓછામાં ઓછા કેટલા પ્રવેગથી નીચે સરકી શકે?
A. g
B. \(\frac{3 g}{4}\)
C. \(\frac{g}{4}\)
D. \(\frac{g}{2}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{g}{4}\)
Hint : ધારો કે, ડાળીની તણાવક્ષમતા T છે અને વાંદરો અચળ પ્રવેગ a થી નીચે ઊતરી રહ્યો છે.
આથી mg – T = ma
પરંતુ, T = (\(\frac{75}{100}\)) mg = \(\frac{3}{4}\) mg
∴ ma = mg – (\(\frac{3}{4}\)) mg = \(\frac{1}{4}\) mg
∴ a = \(\frac{g}{4}\)

પ્રશ્ન 101.
θ કોણ ધરાવતા ઢાળ પર મૂકેલો બ્લૉક અચળ વેગથી નીચે સરકી રહ્યો છે, તો ગતિક ઘર્ષણાંક ………….. હશે.
A. sin θ
B. cos θ
C. g
D. tan θ
ઉત્તર:
D. tan θ
Hint :

ધારો કે, પદાર્થનું દળ m છે.
પદાર્થ પર લાગતાં બળોના ઘટકો દર્શાવ્યા છે.
N = mg cos θ ƒ = mg sin θ
પદાર્થ જો a જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરતો હોય, તો mg sin θ – f = ma
mg sin θ – μ_k N = ma
mg sin θ – μ_k (mg cos θ) = 0 (… પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.)
μ_k = \(\frac{m g \sin \theta}{m g \cos \theta}\) = tan θ

પ્રશ્ન 102.
એક વ્યક્તિ ગનમાંથી 200 gની ગોળીઓ 5 m s^-1 ના વેગથી છોડે છે. જો ગનનું દળ 1 kg હોય, તો ગન પાછળ તરફ કેટલા વેગથી ધકેલાશે?
A. 1 ms^-1
B. 0.01 ms^-1
C. 0.1 m s^-1
D. 10 ms^-1
ઉત્તર :
A. 1 m s^-1
Hint : ગોળીનું વજન m₁ = 200 g = 0.2 kg
ગોળીનો વેગ υ₁ = 5 ms^-1 ગનનું દળ m₂ = 1 kg
ફાયરિંગ પહેલાં(ગોળી + ગન)નું વેગમાન = 0
ફાયરિંગ બાદ(ગોળી + ગન)ના તંત્રનું વેગમાન = m₁υ₁ + m₂υ₂
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
m₁υ₁ + m₂υ₂ = 0
∴ υ₂ = \(-\frac{m_1 υ_1}{m_2}=\frac{-0.2 \times 5}{1}\) = -1 m s^-1

પ્રશ્ન 103.
એક પદાર્થ પર \(\vec{F}\) (6î – 8ĵ + 10k̂) N જેટલું બળ લાગતાં તે 1 ms^-2ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, તો પદાર્થનું
દળ કેટલું હશે?
A. 15 kg
B. 20 kg
C. 10√2 kg
D. 2√10 kg
ઉત્તર:
C. 10√2kg
Hint : m = \(=\frac{|\vec{F}|}{a}=\frac{|6 \hat{i}-8 \hat{j}+10 \hat{k}|}{1}\)
= \(\sqrt{(6)^2+(-8)^2+(10)^2}\)
= 10√2 kg

પ્રશ્ન 104.
એક પદાર્થ પર 10 N બળ લાગતાં તેમાં 1m s^-2 જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. આ પદાર્થનું દળ …………….. .
A. 15 kg
B. 20 kg
C. 10 kg
D. 5 kg
ઉત્તર :
C. 10 kg
Hint : m = \(\frac{F}{a}=\frac{10}{1}\) = 10 kg

પ્રશ્ન 105.
1 kg દળ ધરાવતા સ્થિર પદાર્થ પર 6N બળ લાગે છે. આ સમય દરમિયાન પદાર્થ 30 m s^-1નો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે, તો પદાર્થ પર કેટલા સમય સુધી બળ લાગતું હશે?
A. 7 s
B. 5 s
C. 10 s
D. 8 s
ઉત્તર:
B. 5 s
Hint : F = 6 N, m = 1 kg, υ₀ = 0, υ = 30 m s^-1
∴ પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m}=\frac{6}{1}\) = 6 m s^-2
હવે, υ = υ₀ + at પરથી,
30 = 0 + (6) t ∴ t = 5 s

પ્રશ્ન 106.
બળની ભૌતિક સ્વતંત્રતા કોના પર આધારિત છે?
A. ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ
B. ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ
C. ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ
D. ઉપરના બધા જ નિયમો
ઉત્તર :
C. ન્યૂટનનો ગતિનો પ્રથમ નિયમ
Hint : બધી જ જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાં પદાર્થ પર લાગતું બળ એકસરખું રહે છે. આવી નિર્દેશ-ફ્રેમની વાત આપણે ન્યૂટનના પ્રથમ નિયમમાં કરીએ છીએ, જે ભૌતિક સ્વતંત્રતા દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 107.
એક બંદૂકમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે છે. ગોળી પર લાગતું બળ F = 600 – 2 × 10⁵t છે. F અને t અનુક્રમે N અને sમાં છે. ગોળી જેવી બંદૂકના નાળચાને છોડે છે ત્યારે તેના પરનું બળ શૂન્ય થઈ જાય છે, તો ગોળી પર લાગતો બળનો આઘાત ………………. હશે.
A. 9 N s
B. શૂન્ય
C. 1.8 N s
D. 0.9 N s
ઉત્તર :
D. 0.9 N s
Hint : બળને શૂન્ય થવા માટે લાગતો સમય,
F = 600 – 2 × 10⁵ t = 0

= 600 (0.003) – 10⁵ (0.003)²
= 1.8 – 0.9
= 0.9 N s

પ્રશ્ન 108.
1 kgના દળને દોરીના છેડે લટકાવેલ છે. જો તેને
(1) 4.9 m s^-2 ના પ્રવેગથી ઉપર ખેંચવામાં આવે
(2) 4.9 m s^-2ના પ્રવેગથી નીચે લઈ જવામાં આવે તો બંને કિસ્સામાં દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવનો ગુણોત્તર ……………. .
A. 1 : 3
B. 1: 2
C. 3 : 1
D. 2 : 1
ઉત્તર :
C. 3 : 1
Hint : ઉપર તરફના પ્રવેગ માટે, ma = T₁ – mg
∴ T¹ = m (g + a)
નીચે તરફના પ્રવેગ માટે, ma = mg – T₂
∴ T₂ = m (g – a)
∴ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{g+a}{g-a}=\frac{9.8+4.9}{9.8-4.9}\) = 3 : 1

પ્રશ્ન 109.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે દળ ધરાવતા પદાર્થોને હલકી પુલી પરથી લટકાવેલ છે. જ્યારે પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે તંત્રનો પ્રવેગ ………………. .

A. \(\frac{2 g}{3}\)
B. \(\frac{g}{3}\)
C. \(\frac{g}{9}\)
D. \(\frac{g}{7}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{g}{3}\)
Hint :

બળના સમીકરણ અનુસાર,
T – 5g = 5a ….. (1)
10g – T = 10a ….. (2)
બંને સમીકરણોનો સરવાળો
કરતાં,
10g – 5g = 15a
∴ a = \(\frac{5 g}{15}\)
= \(\frac{g}{3}\)

પ્રશ્ન 110.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, 3 kg દળ ધરાવતો પદાર્થ એ દીવાલ સાથે 60°ના કોણે અથડાય છે અને તેટલા જ કોણે પરાવર્તિત થાય છે. જો અથડામણ માટેનો સંપર્કસમય 0.2 s હોય, તો દીવાલ પર લાગતું બળ …………… .

A. 150 √3 N
B. 50 √3 N
C. 100 N
D. 75 √3 N
ઉત્તર:
A. 150 √3 N
Hint : આકૃતિ પરથી,
\(\overrightarrow{p_1}\) = + mυ sin 60°î – mυ cos 60°ĵ

પ્રશ્ન 111.
20 m s^-1ની ઝડપથી ગતિ કરતા, 150 g ના બૉલને એક ક્રિકેટર 0.1 sમાં કૅચ કરે છે, તો ક્રિકેટર દ્વારા અનુભવાતું બળ ………………. .
A. 300 N
B. 30 N
C. 3 N
D. 0.3 N
ઉત્તર:
B. 30 N
Hint :
F· Δt = m υ
∴ F = \(\frac{m υ}{\Delta t}=\frac{150 \times 10^{-3} \times 20}{0.1}\) = 30 N

પ્રશ્ન 112.
એક ટ્રકની સમક્ષિતિજ સપાટી પર 1 kg દળનો બ્લૉક મૂકેલો છે. ટ્રક એ 5 m s^-2 પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. જો સ્થિત ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય 0.6 હોય, તો બ્લૉક પર લાગતું ઘર્ષણબળ ……………….. .
A. 5 N
B. 6 N
C. 5.88 N
D. 8 N
ઉત્તર:
B. 6 N
Hint :

બ્લૉક પર લાગતું આભાસી બળ,
F = ma = (1) (5) = 5 N
મહત્તમ ઘર્ષણબળ f_s = μ_s N
= (0.6) (mg)
= (0.6) (1) (10)
= 6 N

પ્રશ્ન 113.
10 kg દળ ધરાવતા બ્લૉકને ખરબચડી (Rough) સમતલ સપાટી પર મૂકેલ છે. સપાટીનો ઘર્ષણાંક μ = 0.5 છે. જો બ્લૉક ૫૨ સમક્ષિતિજ દિશામાં 100 N જેટલું બળ લગાડવામાં આવે, તો બ્લૉકનો પ્રવેગ ……………….. હશે.

A. 10 m s^-2
B. 5 m s^-2
C. 15 m s^-2
D. 0.5 m s^-2
ઉત્તર:
B. 5 m s^-2
Hint : આકૃતિ પરથી, N = mg
ઘર્ષણબળ f_k = μ_kN = μ_k mg
બ્લૉક પર લાગતું પરિણામી બળ F’ = F – f_k
ma = F – μ_k mg
∴ a = \(\frac{F-\mu_{\mathrm{k}} m g}{m}\)
= \(\frac{100-(0.5)(10)(10)}{10}\) 5 m s^-2

પ્રશ્ન 114.
1000 kg દળ ધરાવતી લિફ્ટ ઊર્ધ્વદિશામાં 1 m s^-2ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, તો લિફ્ટ સાથે જોડાયેલા દોરડામાં ઉત્પન્ન થતો તણાવ ……………… હશે.
A. 9800 N
B. 10,800 N
C. 11,000 N
D. 10,000 N
ઉત્તર:
B. 10,800 N
Hint : લિફટ ઉપરની તરફ a પ્રવેગથી ગતિ કરે ત્યારે લિફ્ટના દોરડામાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ,
T = m (g + a)
= 1000 (9.8 + 1)
= 10,800 N

પ્રશ્ન 115.
20 kg દળનો એક વાંદરો ઊદિશામાં રહેલા દોરડા પર લટકેલ છે. જો દોરડા પર 25 kg દળ લટકાવવામાં આવે, તો દોરડું તૂટતું નથી, પરંતુ જો 25 kg કરતાં દળ વધારવામાં આવે, તો દોરડું તૂટી જાય છે, તો વાંદરો કેટલા મહત્તમ પ્રવેગથી દોરડા પર ચડી શકશે? (g = 10 m s^-2)
A. 10 m s^-2
B. 25 m s^-2
C. 2.5 m s^-2
D. 5 m s^-2
ઉત્તર:
C. 2.5 m s^-2
Hint : ધારો કે, વાંદરો a જેટલા પ્રવેગથી દોરડા પર ચડે છે અને દોરડામાં T જેટલો તણાવ ઉત્પન્ન થાય છે.
∴ T – mg = ma
∴ a = \(\frac{T-m g}{m}\)
= \(\frac{(25) g-(20) g}{20}\)
\(\frac{g}{4}\) = 2.5 m s^-2

પ્રશ્ન 116.
એક વ્યક્તિનું દળ 80 kg છે. તે લિફ્ટમાં મૂકેલા એક વજનકાંટા પર ઊભો છે. લિફ્ટ એ 5 m s^-2ના નિયમિત પ્રવેગથી ઉપર ચડે છે, તો વજનકાંટાના સ્કેલનું અવલોકન કેટલું હશે?
A. શૂન્ય
B. 400 N
C. 800 N
D. 1200 N
ઉત્તર :
D. 1200 N
Hint : લિફ્ટ a જેટલા અચળ પ્રવેગથી ઉપર ચડે ત્યારે વ્યક્તિનું વજન બળ,
W = m (g + a)
= 80 (10 + 5) N = 1200 N

પ્રશ્ન 117.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બ્લૉક A અને ટેબલની સપાટી વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.2 છે. દોરીના છેડે લટકાવેલ બ્લૉક B નું મહત્તમ દળ કેટલું હોવું જોઈએ, જેથી બંને બ્લૉક ગતિ ના કરે. દોરી અને પુલી બંને દળ રહિત અને ઘર્ષણ રહિત ધારો. (g = 10 m s^-2)

A. 2.0 kg
B. 4.0 kg
C. 0.2 kg
D. 0.4 kg
ઉત્તર:
D. 0.4 kg
Hint : બંને બ્લૉકના FBD આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે.

પ્રશ્ન 118.
θ કોણના એક ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર m દળનો એક બ્લૉક મૂકેલ છે. હવે આ તંત્ર(ઢાળ + બ્લૉક)ને સમક્ષિતિજ દિશામાં a જેટલો પ્રવેગ આપવામાં આવે છે, જેથી બ્લૉક ઢાળ પરથી સરકી પડે નહિ; તો ઢાળ દ્વારા બ્લૉક પર લાગતું બળ ……………….. .

A. mg cos θ
B. mg sin θ
C. mg mg
D. \(\frac{m g}{\cos \theta}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{m g}{\cos \theta}\)
Hint : ધારો કે, ઢાળને ડાબી બાજુ ત જેટલો પ્રવેગ આપવામાં આવે છે. આથી બ્લૉક દ્વારા ઢાળ પર જમણી બાજુ આભાસી બળ લાગે છે. આથી બ્લૉક ઢાળ પરથી સરકશે નહિ.
∴ mg sin θ = ma cos θ
∴ a = g \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
હવે, ઢાળ દ્વારા બ્લૉક પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ,
N = mg cos θ + ma sin θ
= mg cos θ + m (g \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) sin θ
= \(\frac{m g\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)}{\cos \theta}\)
= \(\frac{m g}{\cos \theta}\)

પ્રશ્ન 119.
12m s^-1ની ઝડપથી ગતિ કરતો અને 0.5 kg દળવાળો એક બૉલ દીવાલ સાથે 30°ના કોણે અથડાય છે. બૉલ તેટલી ઝડપે અને તેટલા જ કોણે પરાવર્તિત થાય છે. જો બૉલ અને દીવાલનો સંપર્કસમય 0.25 s હોય, તો દીવાલ પર લાગતું સરેરાશ બળ ……………….. .
A. 96 N
B. 48 N
C. 24 N
D. 12 N
ઉત્તર:
C. 24 N
Hint : દીવાલના વેગમાનમાં ફેરફાર,
Δp = 2mυ sin θ
F = \(\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2 m v \sin \theta}{\Delta t}\)
= \(\frac{2 \times 0.5 \times 12 \times \sin 30^{\circ}}{0.25}\)
= 24 N

પ્રશ્ન 120.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકેલા એક બ્લૉક B ને પ્રારંભિક વેગ Vથી ક્ષણભર માટે ધક્કો મારવામાં આવે છે. જો સપાટી અને બ્લૉક વચ્ચેનો ગતિક ઘર્ષણાંક μ_k હોય, તો બ્લૉક કેટલા સમય બાદ સ્થિર થશે?

A. \(\frac{g \mu_{\mathrm{k}}}{V}\)
B. \(\frac{g}{V}\)
C. \(\frac{V}{g}\)
D. \(\frac{V}{g \mu_{\mathrm{k}}}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{V}{g \mu_{\mathrm{k}}}\)
Hint : પ્રારંભિક વેગ = V, અંતિમ વેગ υ = 0
υ – υ₀ = at પરથી,
∴ 0 – V = at … a = – \(\frac{V}{t}\) ……….. (1)
હવે, f_k = ma
∴ µ_k mg = ma
∴ પ્રતિપ્રવેગ a = µ_k g
સમીકરણ (1) પરથી,
\(\frac{V}{t}\) = µ_k g ⇒ t = \(\frac{V}{\mu_{\mathrm{k}} g}\)

પ્રશ્ન 121.
ગતિ કરતા એક માલવાહક પટ્ટા (Conveyer belt) પર M kg/sના દરથી રેતી પાથરવામાં આવે છે. જો પટ્ટાનો અચળ વેગ υ m s^-1 જાળવી રાખવો હોય, તો પટ્ટા પર કેટલું બળ લગાડવું જરૂરી છે?
A. \(\frac{M v}{2}\) newton
B. શૂન્ય
C. Mυ newton
D. 2 Mυ newton
ઉત્તર:
C. Mυ newton
Hint : F = \(\frac{d}{d t}\) (Mυ) = υ \(\frac{d M}{d t}\) + M\(\frac{d υ}{d t}\)
υ અચળ હોવાથી, \(\frac{d υ}{d t}\) = 0 થશે અને
\(\frac{d M}{d t}\) = M kg/s છે.
∴ F = Mυ newton

પ્રશ્ન 122.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પદાર્થ પર ત્રણ બળો લાગે છે. જો પરિણામી બળ ફક્ત Y-દિશામાં જોઈતું હોય, તો વધારાનું ઓછામાં ઓછું કેટલું બળનું મૂલ્ય જરૂરી છે?

A. \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
B. √3N
C. 0.5 N
D. 1.5 N
ઉત્તર :
C. 0.5 N
Hint :

ધારો કે, વધારાનું બળ ધન X-દિશામાં લગાવવું પડે છે. પરિણામી બળ Y-દિશા પર મેળવવા માટે આપેલાં બળોનાં x-ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
∴ – 4 sin 30°+ 2 sin 30°+1 cos 60°+ x = 0
∴ (-4 × \(\frac{1}{2}\)) + (2) (\(\frac{1}{2}\)) + (1) (\(\frac{1}{2}\) ) + x = 0
∴ x = \(\frac{1}{2}\) = 0.5 N

પ્રશ્ન 123.
રોલર કોસ્ટર એવી રીતે બનાવવામાં આવ્યું છે કે જ્યારે કાર તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ જાય ત્યારે તેમાં બેઠેલી વ્યક્તિ ભારવિહીનતા(Weightlessness)નો અનુભવ કરે. રોલર કોસ્ટરની વક્રતાત્રિજ્યા 20m હોય, તો સૌથી ઉપર કારની ઝડપ…………………… હશે.
A. 16 m s^-1 અને 17 m s^-1ની વચ્ચે
B. 13 m s^-1 અને 14 m s^-1ની વચ્ચે
C. 14 m s^-1 અને 15 m s^-1 ની વચ્ચે
D. 15 m s^-1 અને 16 ms^-1ની વચ્ચે
ઉત્તર:
C. 14 ms^-1 અને 15 m s^-1ની વચ્ચે
Hint :

રોલર કોસ્ટરમાં કાર મહત્તમ ઊંચાઈએ હશે ત્યારે વ્યક્તિનું વજન બળ અને કેન્દ્રત્યાગી બળ સમાન થશે ત્યારે તે ભારવિહીનતાનો અનુભવ કરશે.
∴ \(\frac{m υ^2}{R}\) = mg
∴ o = \(\sqrt{R g}\)
= \(\sqrt{20 \times 10}\)
= \(\sqrt{200}\)
= 14.1 m ^-1

પ્રશ્ન 124.
એક લિફ્ટનું દળ 2000 kg છે. જ્યારે તેને આધાર આપતા દોરડામાં તણાવ 28000 N હોય ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ ………………. .
A. 30 m s^-2 નીચે તરફ
B. 4m s^-2 ઉપર તરફ
C. 4 m s^-2 નીચે તરફ
D. 14 m s^-2 ઉપર તરફ
ઉત્તર:
B. 4 m s^-2 ઉપર તરફ
Hint :

લિફ્ટ પર લાગતું પરિણામી
બળ, T – Mg = Ma
∴ a = \(\frac{T-M g}{M}\)
= \(\frac{28000-(2000)(10)}{2000}\)
= 4m s^-2 ઉપર તરફ

પ્રશ્ન 125.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક m દળનો બ્લૉક એક ગાડા (Cart) સાથે સંપર્કમાં છે. ગાડાની સપાટી અને બ્લૉક વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક μ છે, તો બ્લૉકને પડતો અટકાવવા માટે ગાડાનો પ્રવેગ α કેટલો હોવો જોઈએ ?

A. α > \(\frac{m g}{\mu}\)
B. α > \(\frac{g}{\mu m}\)
C. α ≥ \(\frac{g}{\mu}\)
D.α < \(\frac{g}{\mu}\)

ઉત્તર:
C. α ≥ \(\frac{g}{\mu}\)
Hint : બ્લૉક પર લાગતું આભાસી બળ, F = mα
ઘર્ષણબળ, f = µN = µmα
જ્યારે ઘર્ષણબળ (f) એ વજન બળ (mg) કરતાં મોટું હશે ત્યારે બ્લૉક પડશે નહિ.
f ≥ mg
∴ µmα = mg ∴ a ≥ \(\frac{g}{\mu}\)

પ્રશ્ન 126.
m દળના કણ પર લાગતા બળ માટેનો બળ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આપેલ 8 sના સમયગાળામાં કણના વેગમાનમાં કેટલો ફેરફાર થયો હશે?

A. 24 N S
B. 20 N S
C. 12 N s
D. 6 N S
ઉત્તર:
C. 12 N S
Hint :
વેગમાનમાં ફેરફાર = F – t આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ
= (\(\frac{1}{2}\) × 2 ×6) – (2 × 3) + (4 × 3)
= 6 – 6 + 12 = 12 N S

પ્રશ્ન 127.
m દળનું બલૂન a જેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરે છે. (a < g) આ બલૂનમાંથી કેટલું દળ દૂર કરવું જોઈએ, જેથી તે a જેટલા પ્રવેગથી ઉપર ચડે?
A. \(\frac{2 m a}{g+a}\)
B. \(\frac{m a}{g+a}\)
C. \(\frac{2 m a}{g-a}\)
D. \(\frac{m a}{g-a}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{2 m a}{g+a}\)
Hint :

બલૂન ત પ્રવેગથી નીચે ઊતરે ત્યારે તેના પર હવાનું ઉત્લાવક બળ F ઉપરની તરફ લાગે છે. ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,
mg – F = ma ……… (1)
ધારો કે, બલૂનમાંથી m₀ જેટલું દળ દૂર કરતાં તે a જેટલા પ્રવેગથી ઉપર ચડે છે. ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,
F – (m – m₀) g = (m – m₀) a ………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
mg – mg + m₀g = ma + ma – m₀a
∴ m₀ = \(\frac{2 m a}{g+a}\)

પ્રશ્ન 128.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m, 2m અને 3m દળ ધરાવતા ત્રણ બ્લૉક એકબીજા સાથે દોરીથી જોડાયેલા છે. બ્લૉક m પર ઊર્ધ્વદિશામાં F બળ લગાડતાં ત્રણેય બ્લૉક υ જેટલી અચળ ઝડપથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે, તો 2m દળ ધરાવતા બ્લૉક પર ચોખ્ખું (Net) બળ કેટલું હશે?

A. શૂન્ય
B. 2 mg
C. 3 mg
D. 6 mg
ઉત્તર:
A. શૂન્ય
Hint : υ = અચળ ⇒ તંત્રનો પ્રવેગ a = 0
∴ F_net = 0
આથી દરેક બ્લૉક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 129.
આકૃતિમાં m₁, m₂, m₃ દળ ધરાવતા ત્રણ બ્લૉક અને ગરગડી P ધરાવતું તંત્ર દર્શાવ્યું છે. m₂, m₃ દળ ટેબલની રફ સપાટી પર છે અને m₁ દળ દોરીના છેડે મુક્ત રીતે લટકે છે. ટેબલની સપાટીનો ઘર્ષણાંક μ છે. જો ગરગડી ઘર્ષણ રહિત હોય, તો m₁ દળનો અધોદિશામાં પ્રવેગ …………………
(m₁ = m₂ = m₃ = m લો.)

A. \(\frac{g(1-\mu g)}{9}\)
B. \(\frac{2 g \mu}{3}\)
C. \(\frac{2 g \mu}{3}\)
D. \(\frac{g(1-2 \mu)}{2}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{2 g \mu}{3}\)
Hint :

m₁ દળ પર લાગતું બળ F₁ = m₁g
m₂ દળ પર લાગતું ઘર્ષણબળ f₂ = μm₂g
m₃ દળ પર લાગતું ઘર્ષણબળ f₃ = μm₃g
m₁ દળ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ F = F₁ – (f₂ + f₃)
F = m₁g – (μm₂g + μm₃g)
m₁ દળનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m_1+m_2+m_3}\)
= \(\frac{m_1 g-\left(\mu m_2 g+\mu m_3 g\right)}{m_1+m_2+m_3}\)
પરંતુ m₁ = m₂ = m₃ = m
mg-(umg + umg)
∴ a = \(\frac{m g-(\mu m g+\mu m g)}{3 m}\)
= \(\frac{g(1-2 \mu)}{3}\)

પ્રશ્ન 130.
ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર 4 kg, 2 kg અને 1 kg – દળ ધરાવતા અનુક્રમે ત્રણ બ્લૉક A, B અને C એકબીજાના સાથે સંપર્કમાં છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બ્લૉક Aને 14 Nનું બળ લગાડવામાં આવે, તો બ્લૉક A અને B વચ્ચેનું સંપર્ક બળ …………………. .

A. 6 N
B. 8 N
C. 18 NC
D. 2 N
ઉત્તર:
A. 6 N
Hint : તંત્રનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m_1+m_2+m_3}\)
= \(\frac{14}{4+2+1}\) = 2 m s^-2

બ્લૉક A અને B વચ્ચે લાગતું સંપર્ક બળ એ બ્લૉક B અને Cને a જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરાવે છે.
f = (m₂ + m₃) a
= (2 + 1) × 2
= 6 N

પ્રશ્ન 131.
m₁ દળ ધરાવતો બ્લૉક A ટેબલ પર સ્થિર છે. તેની સાથે એક હલકી દોરી બાંધીને તે ટેબલની ધાર પર મૂકેલી ગરગડી પર પસાર કરી દોરીના બીજા છેડે m‚ દળ ધરાવતો બ્લૉક B લટકાવેલ છે. ટેબલ અને બ્લૉકની સપાટીઓ વચ્ચેનો ગતિક ઘર્ષણાંક છે. જ્યારે બ્લૉક A ટેબલ પર સરકવાની શરૂઆત કરે ત્યારે દોરીમાં તણાવ કેટલું હશે?
A. \(\frac{\left(m_2-\mu_{\mathrm{k}} m_1\right) g}{\left(m_1+m_2\right)}\)
B. \(\frac{m_1 m_2\left(1+\mu_{\mathrm{k}}\right) g}{\left(m_1+m_2\right)}\)
C. \(\frac{m_1 m_2\left(1-\mu_{\mathrm{k}}\right) g}{\left(m_1+m_2\right)}\)
D. \(\frac{\left(m_2+\mu_{\mathrm{k}} m_1\right) g}{.\left(m_1+m_2\right)}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{m_1 m_2\left(1+\mu_{\mathrm{k}}\right) g}{\left(m_1+m_2\right)}\)
Hint :

બ્લૉક A પર લાગતું બળ,
T – μ_km₁g = m₁a ……….. (1)
બ્લૉક B પર લાગતું બળ,
m₂g – T = m₂a ………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
(m₂ – μ_km₁) g = (m₁ + m₂) a
∴ a = \(\frac{\left(m_2-\mu_{\mathrm{k}} m_1\right) g}{\left(m_1+m_2\right)}\)
સમીકરણ (2) પરથી,
T = m₂g – m₂a = m₂g – [latex]\frac{m_2-\mu_{\mathrm{k}} m_1}{m_1+m_2}[/latex] m₂g
∴ T = m₂g [latex]\frac{m_1+\mu_{\mathrm{k}} m_1}{m_1+m_2}[/latex] = \(\frac{m_1 m_2\left(1+\mu_{\mathrm{k}}\right) g}{m_1+m_2}\)

પ્રશ્ન 132.
એક ઢાળ પર બ્લૉક મૂકેલો છે. આ ઢાળની એક બાજુને ધીરે ધીરે ઉપર કરવામાં આવે છે. જ્યારે આ ઢાળ સમક્ષિતિજ સાથે 30°નો ખૂણો બનાવે ત્યારે બ્લૉક ઢાળ પરથી સરકવાની શરૂઆત કરે છે. બ્લૉક, ઢાળ પર 4sમાં 4m જેટલું અંતર કાપે છે. બ્લૉક અને ઢાળની સપાટી વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક અને ગતિક ઘર્ષણાંક અનુક્રમે ……………….. .

A. 0.4, 0.3
B. 0.6, 0.6
C.0.6, 0.5
D.0.5, 0.6
ઉત્તર:
C. 0.6, 0.5
Hint : બ્લૉક જ્યારે સરકવાની શરૂઆત કરે ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણાંક
µ_s : = tan θ = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ≈ 0.6
બ્લૉક જ્યારે ગતિ કરે ત્યારે ગતિક ઘર્ષણાંક µ_kને ધ્યાનમાં લેવો પડે.
જો બ્લૉકનો પ્રવેગ a હોય, તો
d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ 4 = 0 + \(\frac{1}{2}\) × a × (4)²
∴ a = \(\frac{2}{4}\) = 0.5 m s^-2
હવે, ઢાળ પર પદાર્થનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્રથી અપાય છે :
a = g sin θ – µ_kg cos θ
∴ 0.5 = 9.8 × sin 30° – µ_k × 9.8 × cos 30°
∴ 0.5 = 9.8 × \(\frac{1}{2}\) – µ_k × 9.8 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ µ_k = \(\frac{4.9-0.5}{4.9 \sqrt{3}}\) ≈ 0.5

પ્રશ્ન 133.
નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?
A. રોલિંગ ઘર્ષણ એ ગતિક ઘર્ષણથી નાનું હોય છે.
B. સ્થિત ઘર્ષણનું સીમાંત મૂલ્ય લંબબળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
C. ઘર્ષણ એ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
D. ગતિક ઘર્ષણાંકના પરિમાણ એ લંબાઈના પરિમાણ જેવા છે.
ઉત્તર:
D. ગતિક ઘર્ષણાંકના પરિમાણ એ લંબાઈના પરિમાણ જેવા છે.
Hint : ગતિક ઘર્ષણાંક µ_k = \(\) છે. f_k અને N બંને બળ દર્શાવે છે. આમ, µ_k એ પરિમાણ રહિત રાશિ છે.

પ્રશ્ન 134.
150 m વક્રતાત્રિજ્યાવાળા વળાંકવાળા સમતલ રસ્તા પર કાર ઓછામાં ઓછી કેટલી ઝડપે ચલાવવી જોઈએ, જેથી તે રસ્તા પરથી સરકી ના જાય. રસ્તા અને ટાયર વચ્ચેનો
ઘર્ષણાંક 0.6 છે.
A. 60 m s^-1
B. 30 m s^-1
C. 15 m s^-1
D. 25 m s^-1
ઉત્તર:
B. 30 m s^-1
Hint : ઘર્ષણ રહિત વળાંકવાળા સમક્ષિતિજ રસ્તા પર વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ,
υ = \(\sqrt{\mu_s r g}=\sqrt{(0.6)(150)(10)}\) = 30ms^-1

પ્રશ્ન 135.
એક લિફ્ટ a જેટલા પ્રવેગથી નીચે આવી રહી છે. લિફ્ટમાં ઊભેલી વ્યક્તિ એક બૉલ પડતો મૂકે છે, તો લિફ્ટમાં ઊભેલી વ્યક્તિ અને બહાર જમીન પર ઊભેલી વ્યક્તિ આ બૉલનો
પ્રવેગ અનુક્રમે ……………….. અને …………….. માપશે.
A. g, g
B. g – a, g – a
C.g – a, g
D. a, g
ઉત્તર :
C. g – a, g
Hint : લિફ્ટમાં ઊભેલી વ્યક્તિનો પ્રવેગ a હોવાથી તેની સાપેક્ષે બૉલનો પ્રવેગ g – a થશે. જ્યારે જમીન પર ઊભેલી વ્યક્તિની સાપેક્ષે બૉલનો પ્રવેગ થશે.

પ્રશ્ન 136.
m દળના કણ પર F₁, F₂ અને F₃ બળો એવી રીતે લાગે છે, જેથી કણ સ્થિર રહે છે. F₂ અને F₃ બળો પરસ્પર લંબ છે. જો F₁ બળ દૂર કરવામાં આવે, તો ણનો પ્રવેગ …………… .
A. \(\frac{F_1}{m}\)
B. \(\frac{F_2 F_3}{m F_1}\)
C. \(\frac{\left(F_2-F_1\right)}{m}\)
D. \(\frac{F_2}{m}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{F_1}{m}\)
Hint : અહીં, \(\vec{F}_2\) અને \(\vec{F}_3\) બળોનું પરિણામી બળ − \(\vec{F}_1\) છે.
(∵ કણ સ્થિર છે.) આથી કણનો પ્રવેગ a = \(\frac{F_1}{m}\) થશે.

પ્રશ્ન 137.
દળ રહિત દોરડાનો એક છેડો દળ રહિત અને ઘર્ષણ રહિત પુલી P પરથી પસાર કરી હૂક C સાથે બાંધેલ છે અને તેનો બીજો છેડો મુક્ત છે. દોરડાની મહત્તમ તણાવક્ષમતા 960 N છે. આ દોરડા પર 60 kg દળ ધરાવતી વ્યક્તિ સલામત રીતે મહત્તમ કેટલા પ્રવેગથી ઉપર ચડી શકે?

A. 16 m s^-2
B. 6 m s^-2
C. 4 m s^-2
D. 8 m s^-2
ઉત્તર:
B. 6 m s^-2
Hint :

ધારો કે, વ્યક્તિ a જેટલા પ્રવેગથી ઉપર ચડે છે. દોરડા પર લાગતું પિરણામી બળ ઉપર તરફ હશે.
∴ T – mg = F
∴ T – mg = ma
∴ a = \(\frac{T-m g}{m}\)
= \(\frac{960-(60)(10)}{60}\) = 6 m s^-2

પ્રશ્ન 138.
m₁ અને m₂ દળ ધરાવતા બે બ્લૉક હલકી દોરી વડે ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી લટકાવેલ છે. m₂ દળનો બ્લૉક ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરતો હોય અને તંત્રનો પ્રવેગ \(\frac{g}{8}\) હોય, તો બ્લૉકના દ્રવ્યમાનનો ગુણોત્તર ………………….. .
A. 8 : 1
B. 9 : 7
C. 4 : 3
D. 5 : 3
ઉત્તર :
B. 9 : 7
Hint :

m₁ દળ પર લાગતું પરિણામી બળ,
m₁a = m₁g – T ……….. (1)
m₂ દળ પર લાગતું પરિણામી બળ,
m₂a T – m₂g …… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
a = \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\)g = \(\frac{g}{8}\)
∴ 7m₁ = 9m₂
∴ \(\frac{m_1}{m_2}=\frac{9}{7}\)

પ્રશ્ન 139.
કૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m = 2 kgના ત્રણ સમાન દોરીથી બાંધેલા બ્લૉક પર F = 10.2 N બળ લગાડતાં ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર 0.6 ms^-2ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. બ્લૉક B અને C વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ બળ કેટલું હશે?

A. 9.2 N
B. 7.8 N
C. 4 N
D. 9.8 N
ઉત્તર:
B. 7.8 N
Hint : m₁ = m₂ = m₃ = m

આકૃતિ પરથી,
હવે, F – T₁ = ma …….. (1)
T₁ – T₂ = ma ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
F – T₂ = 2ma
∴ T₂ = F – 2ma
= (10.2) – 2 (2) (0.6) = 7.8 N

પ્રશ્ન 140.
છ જેટલા વેગથી ગતિ કરતાં એક કણ પર ત્રણ બળો લાગે છે. આ બળોના મૂલ્ય અને દિશાને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રિકોણની પાસપાસેની બાજુઓ વડે દર્શાવી શકાય, તો આ કણ ……………….. વેગથી ગતિ કરતો હશે.

A. \(\vec{υ}\) કરતાં ઓછો
B. \(\vec{υ}\) કરતાં વધુ
C. માત્ર \(\vec{υ}\)
D. કંઈ કહી શકાય નહિ
ઉત્તર :
C. માત્ર \(\vec{υ}\)
Hint : અહીં, ત્રણેય દિશો બંધ ગાળો રચતા હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ \(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\) = 0 થશે અને કણ સંતુલિત અવસ્થામાં રહેશે. આથી કણ પોતાની \(\vec{υ}\) જેટલા વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે.

પ્રશ્ન 141.
એક લિફ્ટની છત પર સ્પ્રિંગ-બૅલેન્સ ગોઠવેલ છે. જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય ત્યારે એક માણસ પોતાની બૅગ આ બૅલેન્સ પર લટકાવે છે ત્યારે તેનું વજન 49N નોંધાય છે, તો લિફ્ટ જ્યારે 5 m s^-2ના પ્રવેગથી અધોદિશામાં ગતિ કરે ત્યારે આ બૅગનું વજન ………………… નોંધાશે.
A. 24 N
B. 74 N
C. 15 N
D. 49 N
ઉત્તર:
A. 24 N
Hint : લિફ્ટ જ્યારે સ્થિર હોય ત્યારે W₁ = mg
લિફ્ટ અધોદિશામાં ગતિ કરે ત્યારે
W₂ = m (g – a)
∴ \(\frac{W_2}{W_1}=\frac{m(g-a)}{m g}=\frac{g-a}{g}=\frac{9.8-5}{9.8}=\frac{4.8}{9.8} \mathrm{~N}\)
∴ W₂ = W₁ × \(\frac{4.8}{9.8}=\frac{49 \times 4.8}{9.8}\) = 24 N

પ્રશ્ન 142.
ઘર્ષણ રહિત, સમક્ષિતિજ સપાટી પર રહેલાં M દળના બ્લૉકને m દળના દોરડા વડે ખેંચવામાં આવે છે. દોરડાના મુક્ત છેડે P જેટલું બળ લગાડવામાં આવે, તો દોરડા દ્વારા બ્લૉક પર કેટલું બળ લાગશે?
A. \(\frac{P m}{M+m}\)
B. \(\frac{P m}{M-m}\)
C. P
D. \(\frac{P M}{M+m}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{P M}{M+m}\)
Hint : તંત્રનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{M+m}=\frac{P}{M+m}\)
M દળના બ્લૉક પર લાગતું બળ = Ma = M(\(\frac{P}{M+m}\))

પ્રશ્ન 143.
એક હલકા સ્પ્રિંગકાંટાના હૂકમાં બીજો હલકો સ્પ્રિંગકાંટો અને તેના હૂકમાં M દળનો બ્લૉક લટકાવેલ છે. બંને સ્પ્રિંગકાંટા વડે નોંધાતાં અવલોકનો માટે કયું વિધાન સાચું છે?
A. બંને સ્પ્રિંગકાંટા વડે નોંધાતું દળ M kg હશે.
B. ઉપરનો સ્પ્રિંગકાંટો ૦ અને નીચેનો સ્પ્રિંગકાંટો M kg દળ દર્શાવશે.
C. બંને સ્પ્રિંગકાંટા વડે નોંધાતું દળ ગમે તે હશે, પરંતુ તેનો સરવાળો M kg થશે.
D. બંને સ્પ્રિંગકાંટા \(\frac{M}{2}\) kg જેટલું દળ દર્શાવશે.
ઉત્તર:
A. બંને સ્પ્રિંગકાંટા વડે નોંધાતું દળ M kg હશે.
Hint :બંને સ્પ્રિંગો હલકી હોવાથી બંને સ્પ્રિંગોમાં દરેક બિંદુએ તણાવ (T) સમાન હોય છે. આથી બંને સ્પ્રિંગકાંટા સમાન દળ M દર્શાવશે.

પ્રશ્ન 144.
3.5 × 10⁴ kg દળ ધરાવતા રૉકેટને 10 m s^-2ના પ્રારંભિક પ્રવેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો તેને કેટલો ધક્કો (Thrust) લગાડવામાં આવ્યો હશે?
A. 3.5 × 10⁵ N
B. 7.0 × 10⁵ N
C. 14.0 × 10⁵ N
D. 1.25 × 10⁵ N
ઉત્તર:
A. 3.5 × 10⁵ N
Hint :પ્રારંભિક ધક્કો = દળ × પ્રવેગ
= (3.5 × 10⁴) × (10)
= 3.5 × 10⁵ N

પ્રશ્ન 145.
એક બ્લૉકને દીવાલ સાથે જકડી રાખવા માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં 10 N બળની જરૂર પડે છે. (જુઓ આકૃતિ) બ્લૉક અને દીવાલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.2 હોય, તો બ્લૉકનું વજન ……………… .

A. 20 N
B. 50 N
C. 100 N
D. 2 N
ઉત્તર:
D. 2 N
Hint :

જ્યારે બ્લૉકનું વજન બળ (W) ઘર્ષણબળ (f_s) જેટલું હશે ત્યારે બ્લૉક દીવાલ પરથી ખસશે નહિ.
∴ W = f_s = μ_sN
= μ_sF
= (0.2) (10)
= 2 N

પ્રશ્ન 146.
બરફ પર મૂકેલા 2 kg દળ ધરાવતા આરસના બ્લૉકને 6 m s^-1 જેટલો વેગ આપતાં ઘર્ષણને કારણે 10sમાં તેની ગતિ અટકી જાય છે, તો ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય ……………………. .
A. 0.02
B. 0.03
C. 0.06
D. 0.01
ઉત્તર:
C. 0.06
Hint : ઘર્ષણબળને કારણે આરસના બ્લૉકમાં પ્રતિપ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે અને બ્લૉક સ્થિર થાય છે.
∴ f_s = ma
∴ μ_s N = μ_s (mg) = ma
∴ μ_s = \(\frac{a}{g}=\frac{\frac{υ_0}{t}}{g}=\frac{\frac{6}{10}}{10}\) = 0.06

પ્રશ્ન 147.
m₁ = 5 kg અને m₂ = 4.8 kgના બે પદાર્થોને એક હલકી દોરી વડે ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લટકાવેલ છે. જ્યારે બંને પદાર્થોને ગતિ કરવા મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે આ પદાર્થોમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ …………….. હશે. (g = 9.8 m s^-2)

A. 0.2 m s^-2
B. 9.8 m s^-2
C. 5 m s^-2
D. 4.8 m s^-2
ઉત્તર :
A. 0.2 m s^-2
Hint : પદાર્થનો પ્રવેગ,
a = \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) × g
= \(\frac{5-4.8}{5+4.8}\) × 9.8 = 0.2 m s^-2

પ્રશ્ન 148.
સમક્ષિતિજ સાથે 30°ના કોણે રહેલા ઢાળની સપાટી પર એક બ્લૉક સ્થિર અવસ્થામાં છે. ઢાળની સપાટી અને બ્લૉક વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.8 છે. જો બ્લૉક પર લાગતું ઘર્ષણબળ 10 N હોય, તો બ્લૉકનું દળ ………………. kg હશે.
A. 2.0
B. 4.0
C. 1.6
D. 2.5
ઉત્તર:
A. 2.0
Hint :

બ્લૉકની સંતુલિત સ્થિતિમાં,
mg sin θ = f_s
∴ m = \(\frac{f_s}{g \sin \theta}=\frac{10}{10 \times \sin 30^{\circ}}\) = 2 kg

પ્રશ્ન 149.
સમક્ષિતિજ સાથે 45°નો ખૂણો ધરાવતા ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પરથી એક બ્લૉકને મુક્ત કરતાં તે ઢાળની સપાટી પર d જેટલું અંતર કાપે છે. આટલો જ ખૂણો ધરાવતા લીસી સપાટીના ઢાળ કરતાં ખરબચડી સપાટી પર આટલું અંતર કાપતાં લાગતો સમય n ગણો હોય, તો ઢાળની સપાટી અને બ્લૉક વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક …………….. હશે.
A. μ_s = 1 – \(\frac{1}{n^2}\)
B. μ_s = \(\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\)
C. μ_k = 1 – \(\frac{1}{n^2}\)
D. μ_k = \(\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\)
ઉત્તર:
C. μ_k = 1 – \(\frac{1}{n^2}\)
Hint :

ઘર્ષણ રહિત સપાટી માટે, ઢાળની સપાટીને સમાંતર gનો ઘટક = g sin θ
d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt²
d = \(\frac{1}{2}\) (g sin θ) t² ………… (1)
ખરબચડી સપાટી માટે, ઘર્ષણને લીધે તરત ઉદ્ભવતો પ્રતિપ્રવેગ = μ_k g cos θ
∴ d = \(\frac{1}{2}\) (g sin θ – μ_k g cos θ)(nt)² …… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) સરખાવતાં,
\(\frac{1}{2}\)(g sin θ) t² = \(\frac{1}{2}\) (g sin θ – μ_k g cos θ)(nt)²
0 = 45° મૂકતાં,
sin 45° = (sin 45° – μ_k cos 45°) n²
∴ μ_k = 1 – \(\frac{1}{n^2}\)

પ્રશ્ન 150.
6 કોણવાળા ઢાળની ઉપરની અડધી લંબાઈ લીસી (ઘર્ષણ રહિત) છે. જ્યારે નીચેની અડધી લંબાઈ ખરબચડી છે. આવા ઢાળની ટોચથી ગતિ શરૂ કરીને એક બ્લૉક જ્યારે તળિયે આવે છે ત્યારે સ્થિર થઈ જતો હોય, તો બ્લૉકની સપાટી અને ઢાળની નીચેની અડધી સપાટી વચ્ચેનો ગતિક ઘર્ષણાંક ………………… હશે.
A. 2 tan θ
B. tan θ
C. 2 sin θ
D. 2 cos θ
ઉત્તર:
A. 2 tan θ
Hint :

બ્લૉક જ્યારે ઢાળની ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તેનો અસરકારક પ્રવેગ g sin છે. જ્યારે બ્લૉક ઢાળના ઘર્ષણવાળા ભાગમાં ગતિ કરી નીચે આવે છે ત્યારે તે સ્થિર થાય છે. એટલે કે ઢાળના અડધા ભાગમાં તેને પ્રતિપ્રવેગ હોય છે.
ઢાળના ઘર્ષણવાળા ભાગમાં પ્રતિપ્રવેગ,
= – g (sin θ – μ_k cos θ)
(સૂત્ર મેળવવા માટે જુઓ ‘અગત્યનાં સૂત્રો’ નો વિભાગ)
ઢાળના તળિયે બ્લૉક ત્યારે જ સ્થિર થાય જ્યારે ઢાળના ઘર્ષણ રહિત ભાગમાં બ્લૉકને જે પ્રવેગ મળે છે તેટલો જ પ્રતિપ્રવેગ ઘર્ષણવાળા ભાગમાં મળે.
∴ g sin θ = – g (sin θ – μ_k cos θ)
∴ sin θ = – sin θ + μ_k cos θ
∴ μ_k cos θ = 2 sin θ
∴ μ_k = 2 tan θ

પ્રશ્ન 151.
ગનમાંથી છૂટેલી ગોળી જડિત ટાર્ગેટમાં 3 cm જેટલી અંદર ઘૂસે છે ત્યારે તેનો વેગ અડધો થાય છે. તે ટાર્ગેટમાં સ્થિર થાય તે પહેલાં ટાર્ગેટમાં તે વધારાનું કેટલું અંતર કાપશે? ગોળીની ગતિને અવરોધતું બળ અચળ ધારો.
A. 1.5 cm
B. 1.0 cm
C. 3.0 cm
D. 2.0 cm
ઉત્તર:
B. 1.0 cm
Hint : ગોળી ટાર્ગેટમાં 3 cm જેટલું અંતર કાપે ત્યારે ગતિના સમીકરણ અનુસાર,
υ² – υ₀² = 2ax
∴ (\(\frac{υ_0}{2}\)) – υ₀² = – 2a (3)
∴ 3υ₀² = 24a
∴ υ₀² = 8a ………. (1)
ટાર્ગેટમાં બાકીના અંતર માટે,
(0)² – (\(\frac{υ_0}{2}\))² = – 2a (x’)
∴ υ₀² = 8x’a ……. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
8a = 8ax’
∴ x’ = 1 cm

પ્રશ્ન 152.
0.3 kg દળના એક કણ પર લાગતું બળ અંતર સાથે F = – kx અનુસાર બદલાય છે. જ્યાં k = 15 N/m છે. જો આ કણને ઉદ્ગમથી 20 cm દૂરથી છોડવામાં આવે, તો તેમાં ઉદ્ભવતો પ્રારંભિક પ્રવેગ ………………. .
A. 5 m s^-2
B. 10 m s^-2
C. 3 m s^-2
D. 15 m s^-2
ઉત્તર:
B. 10 m s^-2
Hint : F = – kx = – 15 × (20 × 10^-2) = – 3 N
હવે, a = \(\frac{F}{m}=\frac{3}{0.3}\) = 10 m s^-2

પ્રશ્ન 153.
α-કોણ ધરાવતી ઘર્ષણ રહિત ઢોળાવવાળી સપાટી પર એક બ્લૉક રાખેલ છે . જો બ્લૉકને સ્થિર રાખવા માટે ઢોળાવને વ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરાવવી પડતી હોય, તો પ્રવેગ a = ……………. .

A. g cosec α
B. g/tan α
C. g tan α
D. g
ઉત્તર:
C. g tan α
Hint : ઢાળનો પ્રવેગ a જમણી તરફ છે. આથી બ્લૉક પર ma જેટલું આભાસી બળ ડાબી તરફ લાગશે. બ્લૉક પર લાગતાં બળોના ઘટકો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે.

બ્લૉકની સંતુલિત અવસ્થામાં ma cos α = mg sin α
∴ a = g \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) = g tan α

પ્રશ્ન 154.
100 m s^-1ની અચળ ઝડપે સુરેખ માર્ગ પર જઈ રહેલી કાર ઘર્ષણબળના કારણે કેટલા અંતરે જઈને સ્થિર થશે?
µ_k = 0.5 અને g 10 m s^-2 લો.
A. 100 m
B. 400 m
C. 800 m
D. 1000 m
ઉત્તર:
D. 1000 m
Hint : ઘર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રતિપ્રવેગ = µ_kg
હવે, υ² – υ₀² = 2ax
∴ (0)² – (100)² = 2 (- µ_kg) x
∴ x = \(\frac{(100)^2}{2 \mu_{\mathrm{k}} g}=\frac{10,000}{2 \times 0.5 \times 10}\) = 1000 m

પ્રશ્ન 155.
એક ક્રિકેટર 150g દળ અને 20 m s^-1ની ઝડપે આવતા બૉલને કૅચ કરે છે. આ મૅચ પકડવાની પ્રક્રિયા માટે લાગતો સમય 0.1 s હોય, તો બૉલ વડે હાથના પંજા પર લાગતું બળ …………………. હોય.
A. 300 N
B. 150 N
C. 3 N
D. 30 N
ઉત્તર:
D. 30 N
Hint : દડાનું પ્રારંભિક વેગમાન = 150 × 10^-3 × 20
= 3 N s
કૅચ કર્યા બાદ દડાનું વેગમાન = mυ = m(0) = 0
∴ દડાના વેગમાનમાં ફેરફાર = 3 N s
બળ F = \(\frac{\Delta p}{\Delta t_i}=\frac{3}{0.1}\) = 30 N

પ્રશ્ન 156.
M અને m દળના બે બ્લૉક્સને દળ રહિત અને સ્પ્રિંગ-અચળાંક k ધરાવતી સ્પ્રિંગના બે છેડે જોડેલા છે. આ બંને બ્લૉક્સને ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર મૂકેલા છે, જેઓ પ્રારંભમાં સ્થિર છે અને સ્પ્રિંગ સામાન્ય સ્થિતિમાં છે. હવે M દ્રવ્યમાનના બ્લૉકને અચળ બળ F થી ખેંચવામાં આવે છે, તો m દ્રવ્યમાનના બ્લૉક પર લાગતું બળ શોધો.
A. \(\frac{M F}{(m+M)}\)
B. \(\frac{n F}{M}\)
C. \(\frac{(M+m) F}{m}\)
D. \(\frac{m F}{(m+M)}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{m F}{(m+M)}\)
Hint : તંત્રનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{(m+M)}\)
m દળના બ્લૉક પર બળ = ma = \(\frac{m F}{(m+M)}\)

પ્રશ્ન 157.
m = 3.5 13kg દળ ધરાવતો પદાર્થ X-અક્ષની દિશામાં 5.00 m s^-1ની ઝડપથી ગતિ કરે છે, તો તેના વેગમાનનું મૂલ્ય ……………….. નોંધવું જોઈએ.
A. 17.57 kg m s^-1
B. 17.6 kg m s^-1
C. 17.565 kg m s^-1
D. 17.56 kg m s^-1
ઉત્તર:
B. 17.6 kg m s^-1
Hint: વેગમાન = mυ
= (3.513) (5.00)
= 17.565 m s^-1
અહીં 5.00ને લઘુતમ સાર્થક અંકો (3) હોવાથી આપેલા પરિણામને ત્રણ સાર્થક અંક સુધી round off કરતાં mo= 17.6 kg m s^-1.

પ્રશ્ન 158.
એક-પરિમાણમાં ગતિ કરતા 0.4 kgદળ ધરાવતા પદાર્થ માટે x – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે, તો દરેક બળના આઘાતનું મૂલ્ય ……………….. છે.

A. 0.2 N s
B. 0.4 N S
C. 0.8 N s
D. 1.6 N S
ઉત્તર:
C. 0.8 N s
Hint : m = 0.4 kg
x – t આલેખ સુરેખા હોવાથી પદાર્થ નિયમિત ગતિ કરે છે. બળના આઘાતને લીધે વેગની દિશા બદલાય છે, જે આલેખના ઢાળ પરથી જોઈ શકાય છે.
પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ_i = OA રેખાનો ઢાળ
= \(\frac{(2-0)}{(2-0)}\)
= 1 m s^-1
પદાર્થનો અંતિમ વેગ υ_f = AB રેખાનો ઢાળ
= \(\frac{(0-2)}{(4-2)}\)
= – 1 m s^-1
બળનો આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર
= m (υ_f – υ_i)
= 0.4 (- 1 – 1)
= 0.8 N s
|બળનો આઘાત| = 0.8 N s

પ્રશ્ન 159.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સાથે 30° અને 60°નો કોણ બનાવતા ઘર્ષણ રહિત બે ઢાળની સપાટીની ટોચ પર અનુક્રમે બ્લૉક B અને A મૂકેલા છે, તો બ્લૉક Bની સાપેક્ષે બ્લૉક Aનો ઊર્ધ્વદિશાનો પ્રવેગ કેટલો હશે?

A. 4.9 m s^-2 ઊર્ધ્વદિશામાં
B. 4.9 m s^-2 સમક્ષિતિજ દિશામાં
C. 9.8 m s^-2 ઊર્ધ્વદિશામાં
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
A. 4.9 m s^-2 ઊર્ધ્વદિશામાં
Hint : ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર સરકતા પદાર્થનો ઢાળને સમાંતર પ્રવેગ a = g sin θ થાય.
∴ aનો ઊર્ધ્વદિશામાં ઘટક a’ = a sin θ
= (g sin θ) sin θ
= g sin²θ
બ્લૉક A માટે, a_A = g sin²60°
= g(\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² = \(\frac{3 g}{4}\)
બ્લૉક B માટે, a_B = g sin²30° = g (\(\frac{g}{4}\))² = \(\frac{1}{2}\)
∴ બ્લૉક Aનો બ્લૉક Bની સાપેક્ષે પ્રવેગ
= C_AB
= a_A – a_B
= \(\frac{3 g}{4}-\frac{g}{4}\)
= \(\frac{g}{2}=\frac{9.8}{2}\) = 4.9 m s^-2

પ્રશ્ન 160.
એક સપાટીનો ઊભો આડછેદ y = \(\frac{x^3}{6}\) સૂત્રથી મપાય છે. સપાટી પર m દળનો પદાર્થ મૂકેલો છે. જો સપાટીનો ઘર્ષણાંક 0.5 હોય, તો જમીનથી સપાટી પર પદાર્થને કેટલી ઊંચાઈએ મૂકવો જોઈએ, જેથી તે સપાટી પર સરકી ના જાય?
A. \(\frac{1}{3}\) m
B. \(\frac{1}{2}\) m
C. \(\frac{1}{6}\)m
D. \(\frac{2}{3}\) m
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{6}\)m
Hint : y = \(\frac{x^3}{6}\)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2}{6}=\frac{x^2}{2}\)

ધારો કે, પદાર્થ જમીનથી y ઊંચાઈએ છે, જ્યાંથી તે સરકતો નથી.
આકૃતિ પરથી, tan θ = \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2}{2}\)
પદાર્થની સંતુલિત અવસ્થા માટે,
μ = tan θ
∴ 0.5 = \(\frac{x^2}{2}\)
∴ x² = 1 ∴ x = ± 1
હવે, y = \(\frac{x^3}{6}=\frac{(1)^3}{6}=\frac{1}{6}\)m

પ્રશ્ન 161.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે બ્લૉક A અને Bના વજન અનુક્રમે 20 N અને 100 N છે. આ બંને બ્લૉક બળ Fથી દીવાલ સાથે સંપર્કમાં છે. બ્લૉક A અને B વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.1 છે. દીવાલ અને બ્લૉક Bની સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક હોય, તો દીવાલ દ્વારા બ્લૉક B પર કેટલું ઘર્ષણબળ લાગતું હશે?

A. 100 N
B. 80 N
C. 120 N
D. 150 N
ઉત્તર:
C. 120 N
Hint : બ્લૉકની સંતુલિત અવસ્થામાં,
f₁ = 20 N
f₂ = 20 + 100 = 120 N

પ્રશ્ન 162.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m₁ = 5 kg અને m₂ = 10 kg દળ ધરાવતા બે દળ દોરીથી બાંધીને ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પર મૂકતાં તે ગતિમાં આવે છે. સમક્ષિતિજ સપાટીનો ઘર્ષણાંક 0.15 છે. m₂ દળના પદાર્થ પર ઓછામાં ઓછું કેટલું દળ m મૂકવું જોઈએ, જેથી આ ગતિ અટકી જાય?

A. 23.3 kg
B. 43.3 kg
C. 10.3 kg
D. 18.3 kg
ઉત્તર:
A. 23.3 kg
Hint :

m₁ = 5 kg, m₂ = 10 kg, μ = 0.15
m₁ દળ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ,
m₁g – T = m₁a
∴ (5) (10) – T = (5) a
50 – T = 5a
ગતિ અટકે ત્યારે a = 0 લેતાં,
T = 50 N
ધારો કે, m₂ દળવાળા પદાર્થ ૫૨ m દળનો પદાર્થ મૂકતાં તે ખસતો નથી.
આકૃતિ પરથી,
f_s – T = 0 (બંને બ્લૉકના પ્રવેગ શૂન્ય છે.)
μ (m + m₂) g = T
∴ 0.15 (m + 10) 10 = 50
∴ m = \(\frac{50}{0.15 \times 10}\) – 10 = 23.3 kg