GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :

પ્રશ્ન 1.
એક વ્યક્તિ ઉત્તર દિશામાં 1km અંતર કાપે છે. ત્યાંથી તે દક્ષિણ દિશામાં તે જ માર્ગ પર 1 km અંતર કાપે છે. આ વ્યક્તિએ કાપેલું કુલ અંતર અને સ્થાનાંતર અનુક્રમે ………………… હશે.
A. 2 km, 1 km
B. 0, 2 km
C. 2 km, 0
D. 2 km, 2 km
ઉત્તર:
C. 2 km, 0
Hint : કુલ અંતર = 1 km + 1 km = 2 km
સ્થાનાંતર = 1 km – 1 km = 0

પ્રશ્ન 2.
એક વ્યક્તિ R ત્રિજ્યાના વર્તુળ પ૨ \(\frac{1}{4}\) પરિઘ જેટલી ગતિ કરે છે, તો તેનું સ્થાનાંતર અને કાપેલ અંતર અનુક્રમે …………….. .
A. \(\frac{\pi R}{2}, \frac{\pi R}{2}\)
B. 2πR, πR
C. R√2, \(\frac{\pi R}{2}\)
D. \(\frac{\pi R}{4}\), R√2
ઉત્તર:
C. R√2, \(\frac{\pi R}{2}\)
Hint : સ્થાનાંતર = AB સુરેખાની લંબાઈ
= \(\sqrt{R^2+R^2}\)
= R√2
અંતર = વક્રમાર્ગ ABની
લંબાઈ
= \(\frac{2 \pi R}{4}\)
= \(\frac{\pi R}{2}\)

પ્રશ્ન 3.
એક દોડવીર 40 sમાં R ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ટ્રૅક પ૨ એક ચક્કર પૂર્ણ કરે છે, તો 2 min અને 20 sમાં તેનું સ્થાનાંતર કેટલું હશે?
A. શૂન્ય
B. 2R
C. 2πR
D. 7πR
ઉત્તર:
B. 2R
Hint : 2 min 20 s = 140 s આમાંથી 120 sમાં તે ત્રણ ચક્કર પૂરાં કરે છે અને બાકીની 20 sમાં તે અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે. આથી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર, સ્થાનાંતર = AB રેખાખંડની લંબાઈ = R + R = 2R

પ્રશ્ન 4.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક પદાર્થ Aથી B સુધી અને ત્યારબાદ Bથી C સુધી જાય છે, તો પથલંબાઈ શોધો.

A. 4 m
B. 6 m
C. 3 m
D. 2 m
ઉત્તર:
B. 6 m
Hint : પથલંબાઈ = |AB| +|BC|
= |(3 – 1)| + |(- 1 – 3)|
= 6 m

પ્રશ્ન 5.
એક પદાર્થ Aથી C સુધી જાય છે અને ત્યારબાદ O સુધી જાય છે, તો તેનું સ્થાનાંતર શોધો.

A. 2
B. √2
C. 3
D. 2 + √2
ઉત્તર:
B. √2
Hint : પદાર્થનું સ્થાનાંતર = OA
= \(\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}\) = √2

પ્રશ્ન 6.
એક પદાર્થ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક વર્તુળ પર વિષમઘડી દિશામાં ગતિ કરીને Aથી B ૫૨ જાય છે, વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 m છે, તો પથલંબાઈ શોધો.

A. \(\frac{\pi}{6}\) m
B. \(\frac{\pi}{3}\) m
C. πm
D. 2πm
ઉત્તર:
B. \(\frac{\pi}{3}\)
Hint : પથલંબાઈ = AB ચાપની લંબાઈ
= \(\frac{1}{6}\) (2πr) = \(\frac{1}{6}\) (2π(1)) = \(\frac{\pi}{3}\)

પ્રશ્ન 7.
આપેલ સમયગાળામાં પદાર્થે કરેલું સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ હંમેશાં ………….. .
A. પથલંબાઈ = સ્થાનાંતર
B. પથલંબાઈ ≥ સ્થાનાંતર
C. પથલંબાઈ ≤ સ્થાનાંતર
D. પથલંબાઈ < સ્થાનાંતર
ઉત્તર :
B. પથલંબાઈ ≥ સ્થાનાંતર

પ્રશ્ન 8.
સરેરાશ વેગ અને સરેરાશ ઝડપનો ગુણોત્તર ……………….. .
A. હંમેશાં < 1 હોય B. હંમેશાં 1 હોય C. હંમેશાં > 1 હોય
D. ≤ 1 હોય
ઉત્તર:
D. ≤ 1 હોય
Hint : સરેરાશ ઝડપનું મૂલ્ય સરેરાશ વેગ જેટલું અથવા તેના કરતાં વધુ હોઈ શકે છે.

પ્રશ્ન 9.
નિયમિત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે …………….
A. તત્કાલીન વેગ > સરેરાશ વેગ
B. તત્કાલીન વેગ < સરેરાશ વેગ
C. તત્કાલીન વેગ = સરેરાશ વેગ
D. તત્કાલીન વેગ ≥ સરેરાશ વેગ
ઉત્તર:
C. તત્કાલીન વેગ = સરેરાશ વેગ
Hint : નિયમિત ગતિ માટે x – t આલેખ સુરેખા હોય. સુરેખા
પરના કોઈ પણ બિંદુ અથવા વિસ્તારમાં ઢાળ સમાન હોય છે.

પ્રશ્ન 10.
એક વિદ્યાર્થી 6 km અંતર 2.5 km/hની ઝડપે ચાલીને શાળાએ જાય છે અને તે તેટલું જ અંતર 4 km/hની ઝડપે ચાલીને ઘરે આવે છે. આ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેની સરેરાશ ઝડપ કેટલી થાય?
A. \(\frac{24}{13}\) km/h
B. \(\frac{40}{13}\) km/h
C. 3 km/h
D. \(\frac{1}{2}\) km/h
ઉત્તર:
B. \(\frac{40}{13}\) km/h
Hint : t₁ = \(\frac{6 \mathrm{~km}}{2.5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}}\) = 2.4 h
t₂ = \(\frac{6 \mathrm{~km}}{4}\) = 1.5 h
સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{6 \mathrm{~km}+6 \mathrm{~km}}{2.4 \mathrm{~h}+1.5 \mathrm{~h}}\)
= \(\frac{12}{3.9}\)
= \(\frac{120}{39}\) = \(\frac{40}{13}\) km/h

પ્રશ્ન 11.
એક ટ્રેનની પ્રથમ ક્લાકમાં ઝડપ 60 km/h અને બાકીના અડધા કલાકમાં ઝડપ 40 km/h છે, તો તેની સરેરાશ ઝડપ ……………….. km/h.
A. 50
B. 53.33
C. 48
D. 70
ઉત્તર:
B. 53.33
Hint : શરૂઆતમાં ટ્રેનની ઝડપ 60 km/h હોવાથી પહેલા કલાકમાં 60 km અંતર કાપશે. ત્યારબાદ ટ્રેનની ઝડપ 40 km/h હોવાથી અડધા કલાકમાં 20 km અંતર કાપશે.

પ્રશ્ન 12.
એક પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરી X-દિશામાં x = 9 – 2t + t² સમીકરણ અનુસાર ગતિ કરે છે. ૩ સેકન્ડ બાદ સ્થાનાંતર શોધો.
A. 10 m
B. 12m
C. 8m
D. 3 m
ઉત્તર:
D. 3 m
Hint : t = ૦ સમયે સ્થાન,
x(0) = 9 – 2(0) + 0² = 9 m
t = 3 સેકન્ડે સ્થાન,
x(3) = 9 – 2(3) + 3² = 12 m
∴ સ્થાનાંતર x(3) – x(0) = 12 – 9 = 3 m

પ્રશ્ન 13.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર એક સાઇકલસવાર વર્તુળાકાર બગીચાના કેન્દ્ર થી ગતિ કરીને પાર્કના P છેડા પાસે જાય છે. ત્યાંથી તે વર્તુળના પરિધ પર ગતિ કરી બિંદુ Q પર જાય છે અને ત્યારબાદ કેન્દ્ર O પર આવે છે. સાઇકલસવારને આ ગતિ પૂર્ણ કરવા માટે 10 min લાગતી હોય, તો આ દરમિયાન તેનું સ્થાનાંતર અને સરેરાશ ઝડપ (km/h) અનુક્રમે કેટલી હશે?

A. 0, 1
B. \(\frac{\pi+4}{2}\), 0
C. 21.4, \(\frac{\pi+4}{2}\)
D. 0, 21.4
ઉત્તર:
D. 0, 21.4
Hint : સાઇકલસવારનું પ્રારંભિક સ્થાન અને અંતિમ સ્થાન એક જ હોવાથી સ્થાનાંતર = 0.
કાપેલું અંતર = OP + PQ + QO
= 1 + \(\frac{2 \pi}{4}\) × 1 + 1
= \(\frac{14.28}{4}\) km
સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{14.28}{4 \times \frac{10}{60}}\)
= \(\frac{6 \times 14.28}{4}\)
= 21.42 km / h

પ્રશ્ન 14.
12 સમાન લંબાઈ L ધરાવતા તાર વડે એક સમઘન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બનાવેલ છે. એક કીડી Aથી શરૂ કરી અચળ વેગથી B પર જાય છે. ત્યારબાદ તે Bથી F થઈ G પર જાય છે. જો ગતિ દરમિયાન કુલ સમય t થાય, તો તેનો સરેરાશ વેગ ……………. .

A. \(\frac{L}{3 t}\)
B. \(\frac{2 L}{3 t}\)
C. \(\frac{3 L}{t}\)
D. \(\frac{\sqrt{3} L}{t}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{\sqrt{3} L}{t}\)
Hint : કીડીએ કરેલ સ્થાનાંતર
= AG = √3L
સરેરાશ વેગ

= \(\frac{\sqrt{3} L}{t}\)

પ્રશ્ન 15.
એક પદાર્થ X-દિશામાં સુરેખ ગતિ કરે છે. ઉગમબિંદુથી તેનું સ્થાનાંતર x = 8t – 3t² સૂત્રથી મળે છે. t = 0થી t = 4 સેકન્ડ દરમિયાન સરેરાશ વેગ ગણો.
A. 2 m s^-1
B. -15 ms^-1
C – 4 m s^-1
D. 5 ms^-1
ઉત્તર:
C. – 4 m s^-1
Hint : x(0) = 8(0) – 3(0)² = 0
x(4) = 8(4) – 3(4)² = – 16 m
સરેરાશ વેગ = \(\frac{x(4)-x(0)}{4-0}\)
= \(\frac{-16-0}{4}\) = – 4ms^-1

પ્રશ્ન 16.
એક પદાર્થનું સ્થાનાંતર (મીટરમાં) સમય સાથે નીચેના સૂત્ર મુજબ બદલાય છે :
y = – \(\frac{2}{3}\)t² + 16t + 2
આ પદાર્થને સ્થિર થવા માટે કેટલો સમય લાગશે?
A. 12 s
B. 8 s
C. 16 s
D. 10 s
ઉત્તર:
A. 12 s
Hint : y = – \(\frac{2}{3}\)t² + 16t + 2
વેગ υ = \(\frac{d y}{d t}\) = (2) (- \(\frac{2}{3}\))t + 16
= – \(\frac{4}{3}\)t + 16
પદાર્થ સ્થિર થાય ત્યારે તેનો વેગ શૂન્ય થાય.
∴ 0 = – \(\frac{4}{3}\)t + 16
આથી t = \(\frac{16 \times 3}{4}\) = 12 s

પ્રશ્ન 17.
પદાર્થનું સ્થાનાંતરસૂત્ર 5 s = At³ છે, જ્યાં A અચળાંક છે. પદાર્થનો કોઈ પણ સમયે વેગ કેટલો થાય?
A. \(\frac{3 A}{5}\)t²
B. \(\frac{5 A}{3}\)t²
C. \(\frac{A}{5}\)t²
D. 3A
ઉત્તર:
A. \(\frac{3 A}{5}\)t²
Hint : s = \(\frac{A t^3}{5}\)
∴ વેગ = \(\frac{d s}{d t}\) = (\(\frac{A}{5}\))(3t²) = \(\frac{3 A}{5}\)t²

પ્રશ્ન 18.
સુરેખ ગતિ કરતા એક પદાર્થ માટે ગતિ દરમિયાન કરેલું સ્થાનાંતર y = 3 – 4t + 9t² સૂત્ર વડે રજૂ થાય છે. પદાર્થનો શરૂઆતનો વેગ શોધો.
A. 3 એકમ
B. – 3 એકમ
C. – 4 એકમ
D. 4 એકમ
ઉત્તર:
C. – 4 એકમ
Hint : y = 3 – 4t + 9t²
∴ વેગ υ = \(\frac{d y}{d t}\) = – 4 + 18t
પ્રારંભિક વેગ માટે t = 0 મૂકતાં,
υ = – 4 એકમ

પ્રશ્ન 19.
એક પદાર્થ Y-દિશામાં ગતિ કરે છે. તેની ગતિનું t સમયે સમીકરણ y = 4t² – 12t + 9 છે, જ્યાં y મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે. કેટલા સમય પછી પદાર્થ ઉગમબિંદુ પર આવશે?
A. 2 s
B. 3 s
C. 4 s
D. \(\frac{3}{2}\) s
ઉત્તર :
D. \(\frac{3}{2}\) s
Hint : y = 4t² – 12t + 9
પદાર્થ ઉગમબિંદુ પર આવશે ત્યારે y = 0 થશે.
∴ 4t² – 12t + 9 = 0
ax² + bx + c = ૦ સાથે સરખાવતાં,
a = 4, b = – 12, c = 9
∴ t = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
= \(\frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4(4)(9)}}{2(4)}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \mathrm{~S}\)

પ્રશ્ન 20.
એક-પરિમાણમાં ગતિ ક૨તી વસ્તુ માટે સ્થાનસૂત્ર x (t) = (4t² + 9) m છે, તો t = 0થી t = 4 સેકન્ડ દરમિયાન સરેરાશ વેગ શોધો.
A. 18ms^-1
B. 16 ms^-1
C. 20 m s^-1
D. 22 m s^-1
ઉત્તર:
B. 16 ms^-1
Hint : x = 4t² + 9
t = 0 માટે સ્થાનાંતર,
x (0) = 4 (0)² + 9 = 9 m
t = 4 s માટે સ્થાનાંતર,
x (4) = 4 (4)² + 9 = 73 m
∴ સરેરાશ વેગ = \(\frac{x(4)-x(0)}{4-0}=\frac{73-9}{4}\) = 16m/s

પ્રશ્ન 21.
એક-પરિમાણમાં વેગ અને પ્રવેગ એક જ દિશામાં હોય, તો …………….
A. વેગ અચળ રહે છે.
B. વેગના મૂલ્યમાં વધારો થાય.
C. વેગના મૂલ્યમાં ઘટાડો થાય.
D. પ્રવેગ શૂન્ય થાય.
ઉત્તર:
B. વેગના મૂલ્યમાં વધારો થાય.

પ્રશ્ન 22.
એક-પરિમાણમાં ગતિ કરતા કણનો વેગ અને પ્રવેગ બંને ઋણ હોય, તો …………….
A. કણના વેગના મૂલ્યમાં ઘટાડો થશે.
B. કણના વેગના મૂલ્યમાં વધારો થશે.
C. કણ સ્થાનાંતર કરી થોડા સમય પછી સ્થિર થશે.
D. કણનો પ્રવેગ શૂન્ય થશે.
ઉત્તર :
B. કણના વેગના મૂલ્યમાં વધારો થશે.

પ્રશ્ન 23.
એક-પરિમાણમાં ગતિ કરતા કણનો વેગ અને પ્રવેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો ………………
A. કણના વેગના મૂલ્યમાં ઘટાડો થશે.
B. કણના વેગના મૂલ્યમાં વધારો થશે.
C. કણ સતત ગતિ કરશે.
D. કંઈ કહી શકાય નહિ.
ઉત્તર:
A. કણના વેગના મૂલ્યમાં ઘટાડો થશે.

પ્રશ્ન 24.
એક કણનું સ્થાનાંતર સમયના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે, તો તેનો પ્રવેગ …………………… હશે.
A. શૂન્ય
B. અચળ
C. સતત ઘટતો
D. સતત વધતો
ઉત્તર:
B. અચળ
Hint : x ∝ t²
∴ x = kt² જયાં k = અચળાંક છે.
∴ \(\frac{d x}{d t}\) = 2kt અને a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = 2k = અચળ

પ્રશ્ન 25.
એક કાર 20 m/sની અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે. બ્રેક લગાવતાં તે 10m અંતર કાપી સ્થિર થાય છે, તો તેનો પ્રવેગ …………….. .
A. – 20 m /s²
B. 20 m/s²
C. 40 m s^-2
D. – 40 m s^-2
ઉત્તર :
A. – 20 m/s²
Hint : υ² – υ₀² = 2ax
∴ (0)² – (20)² = 2a (10)
∴ a = – 20 m /s²

પ્રશ્ન 26.
એક કણનું સ્થાનાંતર y (t) = a + bt + ct² – dt⁴ વડે આપવામાં આવે છે. કણના પ્રારંભિક વેગ અને પ્રવેગ અનુક્રમે ……………. છે. (a, b, c અને d અચળાંકો છે.)
A. b, – 4d
B. – b, 2c
C. b, 2c
D. 2c, – 4d
ઉત્તર:
C. b, 2c
Hint : સ્થાનાંતર y (t) = a + bt + ct² – dt⁴
વેગ υ (t) = \(\frac{d y}{d t}\) = b + 2ct – 4 dt³
t = 0 સમયે વેગ, υ₀ = b + 2c (0) – 4d (0) = b
પ્રવેગ a (t) = \(\frac{d υ}{d t}\) = 2c – 12 dt²
t =0 સમયે પ્રવેગ, a₀ = 2c – 12d(0)² = 2c

પ્રશ્ન 27.
અચળપ્રવેગી ગતિ કરતો પદાર્થ 3 Sમાં 9m અંતર કાપે છે. તેનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય, તો 5 S બાદ કાપેલું અંતર શોધો.
A. 25 m
B. 30 m
C. 20 m
D. 10 m
ઉત્તર:
A. 25 m
Hint : d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at² પરથી,
પહેલા કિસ્સા માટે, d = 9m, t = 3 s, υ₀ = 0
∴ 9 = 0 + \(\frac{1}{2}\)a (3)² ∴ a = 2m/s²
હવે બીજા કિસ્સા માટે,
a = 2m / s², t = 5 s, υ₀ = 0
∴ d = 0 + \(\frac{1}{2}\) (2) (5)² = 25 m

પ્રશ્ન 28.
અચળપ્રવેગી ગતિ કરતા એક પદાર્થ માટે અંતિમ વેગ υ અને તેના દ્વારા થયેલ સ્થાનાંતર ત છે. જો પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરતો હોય, તો પ્રવેગનું સૂત્ર ……………….. .
A. a = \(\frac{υ^2}{2 d}\)
B. a = \(\frac{υ^2}{d}\)
C. a = \(\frac{d}{υ^2}\)
D. a = \(\frac{2 d}{υ^2}\)
ઉત્તર:
A. a = \(\frac{υ^2}{2 d}\)
Hint : υ² – υ₀² = 2ad
∴ υ² = 2ad (∵ υ₀ = 0)
∴ a = \(\frac{2 d}{υ^2}\)

પ્રશ્ન 29.
શરૂઆતનો વેગ υ₀ અને અચળ પ્રવેગ a હોય તેવા સુરેખ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે શરૂઆતની t સેકન્ડ દરમિયાન સરેરાશ વેગ ……………….. .
A. υ₀ + \(\frac{1}{2}\)at
B. υ₀ + at
C. \(\frac{υ_o+a t}{2}\)
D. \(\frac{υ_2}{2}\)
ઉત્તર:
A. υ₀ + \(\frac{1}{2}\)at
Hint: પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ હોવાથી,
સરેરાશ વેગ = \(\frac{v_0+v}{2}=\frac{v_0+\left(v_0+a t\right)}{2}\) = υ₀ + \(\frac{1}{2}\)at

પ્રશ્ન 30.
એક પદાર્થ ધન X-દિશામાં -2 m/s²ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. તેનો શરૂઆતનો વેગ 20 ms^-1 છે. 15 સેકન્ડ પછી
તેની સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરો.
A. 5 m/s
B. \(\frac{25}{3}\) m/s
C. \(\frac{10}{3}\) m/s
D. 15 m/s
ઉત્તર :
A. 5 m/s
Hint : a = – 2 m/s²,
υ₀ 20 m s^-1
15 સેકન્ડમાં પદાર્થે કાપેલ
d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
= (20) (15) + \(\frac{1}{2}\) (- 2) (15)² = 75 m

પ્રશ્ન 31.
સુરેખ ગતિ કરતા એક પદાર્થની ગતિનું સમીકરણ x = (2t – 3)² છે, જ્યાં x મીટરમાં, t સેકન્ડમાં છે. t = 2 s આગળ પ્રવેગ ……………..
A. 5 m s^-2
B. 6 m s^-2
C. 7 m s^-1
D. 8 m s^-2
ઉત્તર:
D. 8 m s^-2
Hint : x = (2t – 3)² 4t² – 12t + 9
વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 8t – 12
પ્રવેગ a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = 8 m s^-2

પ્રશ્ન 32.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતી કાર નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરીને 10 sમાં 180 km h^-1ની ઝડપ મેળવે છે. આ સમયગાળામાં કા૨ે કાપેલું અંતર ……………… .
A. 500 m
B. 250 m
C. 200 m
D. 150 m
ઉત્તર :
B. 250 m
Hint : υ₀ = 0, υ = 180 km/h = 50 ms^-1,
t = 10s
∴ a = \(\frac{υ-υ_0}{t}=\frac{50}{10}\) = 5 ms^-2
કાપેલ અંતર x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
=0+ \(\frac{1}{2}\)(5)(10)²
= 250 m

પ્રશ્ન 33.
એક પદાર્થનો વેગ સમય સાથે υ = 20 + 0.1t² સૂત્ર અનુસાર બદલાય છે. આ પદાર્થ ……………
A. નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરતો હશે.
B. નિયમિત પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરતો હશે.
C. અનિયમિત પ્રવેગ ધરાવતો હશે.
D. શૂન્ય પ્રવેગ ધરાવતો હશે.
ઉત્તર:
C. અનિયમિત પ્રવેગ હશે.
Hint : υ = 20 + 0.1t²
∴ a = \(\frac{d υ}{d t}\) = (0.1)2t = 0.2t
અહીં, પ્રવેગ એ સમય પર આધારિત હોવાથી પદાર્થને અનિયમિત પ્રવેગ હશે.

પ્રશ્ન 34.
X-અક્ષ પર ગતિ કરતા કણ માટે, x = 4(t – 2) + a(t – 2)² છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A. કણનો પ્રારંભિક વેગ 4 છે.
B. કણનો પ્રવેગ 2a છે.
C. t = 0સમયે કણ ઉગમબિંદુ પર છે.
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર:
B. કણનો પ્રવેગ 2a છે.
Hint : x = 4(t – 2) + a(t – 2)² ……….. (1)
t = ૦ સમયે x = 4(0 – 2) + a(0 – 2)²
= -8 + 4a
હવે, υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 4 + 2a(t – 2) [સમીકરણ (1) પરથી]
t = 0 સમયે υ = 4 + 2a(0 – 2) = 4 – 4a
પ્રવેગ a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = 20

પ્રશ્ન 35.
એક-પરિમાણમાં ગતિ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર અને સમય વચ્ચે સંબંધ દર્શાવતું સમીકરણ 3t = \(\sqrt{3 x}\) + 6 છે. જ્યાં, x મીટરમાં અને t secમાં છે. જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય થશે ત્યારે તેણે કરેલું સ્થાનાંતર ………….. .
A. 24 m
B. 12 m
C. 5m
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
D. શૂન્ય
Hint : 3t = \(\sqrt{3 x}\) + 6
∴ 3x = (3t – 6)² = 9t² – 36t + 36
∴ x = 3t² – 12t + 12
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 6t – 12
જ્યારે υ = 0 હશે ત્યારે 6t = 12 .. t = 2 s
∴ x = 3 (2)² – 12 (2) + 12 = 0

પ્રશ્ન 36.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને એક કાર x જેટલા અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. પછી તે y પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર થાય છે. જો આ દરમિયાન લાગતો કુલ સમય t હોય, તો કારનો મહત્તમ વેગ કેટલો થશે?
A. \(\frac{x y}{x-y}\) t
B. \(\frac{x y}{x+y}\) t
C. \(\frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}\) t
D. \(\frac{x^2 y^2}{x^2-y^2}\) t
ઉત્તર:
B. \(\frac{x y}{x+y}\) t
Hint: કારનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0 છે અને તે x જેટલા અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરી t₁ સમયમાં મહત્તમ વેગ υ_max પ્રાપ્ત કરે છે.
∴ υ = υ₀ + at
∴ υ_max = 0 + xt₁ = xt₁(∵ a = x)
∴ t₁ = \(\frac{υ_{\max }}{x}\)
હવે, કારનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = υ_max છે અને તે અચળ પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરી t સમયમાં સ્થિર થાય છે.
∴ υ = υ₀ + at
∴ 0 = υ_max – yt₂ (∵ a = -y)
∴ υ_max = yt₂
∴ t₂ = \(\frac{υ_{\max }}{y}\)

પ્રશ્ન 37.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતા ઇલેક્ટ્રૉન માટે વેગ તથા સમય વચ્ચેનો સંબંધ υ = Kt વડે દર્શાવાય છે. જ્યાં K = 3 m s^-1 છે, તો પ્રથમ 5 s દરમિયાન કાપેલું અંતર ……………. .
A. 37.5 m
B. 25 m
C. 12.5 m
D. 35 m
ઉત્તર:
A. 37.5 m
Hint : υ = Kt

પ્રશ્ન 38.
એક પદાર્થ X-દિશામાં અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. તેનો 4 s બાદ વેગ 18 m/s અને સ્થાનાંતર 56 m છે, તો તેનો શરૂઆતનો વેગ તથા પ્રવેગ શોધો.
A. 10 m/s, 2 m/s²
B. 8 m/s, 3 m/s²
C. 8 m/s, 2 m/s²
D. 10 m/s
ઉત્તર:
A. 10 m/s, 2 m/s²
Hint : t = 4 s, υ = 18 m/s, x = 56 m
υ = υ₀ + at
∴ 18 = υ₀ + 4 a …………… (1)
x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ 56 = 4υ₀ + \(\frac{1}{2}\) a(4)²
∴ 14 = υ₀ + 2a ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) ઉકેલતાં,
υ₀ = 10 m s^-1, a = 2 ms^-2

પ્રશ્ન 39.
અચળપ્રવેગી ગતિ કરતી એક વસ્તુ તેની ત્રીજી સેકન્ડ દરમિયાન 12m અને તેની પાંચમી સેકન્ડ દરમિયાન 20m અંતર કાપે છે, તો 10 s બાદ તેનો વેગ શોધો.
A. 40 m/s
B. 42 m/s
C. 52 m/s
D. 4 m/s
ઉત્તર:
B. 42 m/s
Hint : x = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1) પરથી,
n = 3 સેકન્ડે x₃ = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2 × 3 – 1)
∴ 12 = υ₀ + \(\frac{5 a}{2}\) …………….. (1)
n = 5 સેકન્ડે x₅ = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2 × 5 – 1)
∴ 20 = υ₀ + \(\frac{9 a}{2}\) ………. (2)
સમીકરણ (2) અને (1)ની બાદબાકી કરતાં,
a = 4 m s^-2
હવે, સમીકરણ (1)માં નું મૂલ્ય મૂકતાં,
12 = υ₀ + \(\frac{5(4)}{2}\) … υ₀ = 2 m s^-1
t સમયે વસ્તુનો વેગ,
υ = υ₀ + at (2) + (4)(10) = 42 m s^-1

પ્રશ્ન 40.
બળની અસર હેઠળ એક પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી પ્રવેગી ગતિ કરે છે. જો તેનું પ્રથમ 10 s દરમિયાન કાપેલું અંતર s₁ અને પ્રથમ 20 s દરમિયાન કાપેલું અંતર s₂ હોય, તો ……………… .
A. s₂ = 3s₁
B. s₂ = 4s₁
C. s₂ = s₁
D. s₂ = 2s₁
ઉત્તર:
B. S₂ = 4s₁
Hint : s = υ₀t + at² પરથી,
s₁ = (0) (10) + \(\frac{1}{2}\) a(10)² = 50a
s₂ = (0) (20) + \(\frac{1}{2}\) a(20)² = 200a
∴ \(\frac{s_2}{s_1}=\frac{200 a}{50 a}\) = 4 ∴ s₂ = 4s₁

પ્રશ્ન 41.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી એક પદાર્થ અચળપ્રવેગી ગતિ શરૂ કરે છે. 5 મી સેકન્ડ દરમિયાન અને 5 s બાદ કરેલ સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર શોધો.
A. \(\frac{9}{25}\)
B. \(\frac{3}{25}\)
C. \(\frac{25}{9}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{9}{25}\)
Hint : 5મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
x_5th = υ₀ + \(\frac{a}{2}[latex](2n – 1)
= 0 + [latex]\frac{a}{2}[latex] (2 × 5 – 1) = [latex]\frac{9 a}{2}[latex]
5 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
x₅ = υ₀t + [latex]\frac{a}{2}[latex] at² = 0 + [latex]\frac{a}{2}[latex] a(5)² = [latex]\frac{25 a}{2}\)
∴ \(\frac{x_{5 \mathrm{th}}}{x_5}=\frac{\frac{9 a}{2}}{\frac{25 a}{2}}=\frac{9}{25}\)

પ્રશ્ન 42.
એક પદાર્થ 40 m / s ના શરૂઆતના વેગ સાથે ધન X-દિશામાં ગતિ શરૂ કરે છે. તેનો પ્રવેગ -10m/s² છે. તે ગતિની શરૂઆત x = 10 mથી કરે છે. તેનો ધન દિશામાં વધુમાં વધુ યામ શોધો.
A. 90 m
B. 0 m
C. 120 m
D. 30 m
ઉત્તર:
A. 90 m
Hint: υ₀ = 40 m/s, a = -10 m/s²,
x₁ = 10 m, x₂ = ?
2ad = υ² – υ₀² d = x₂ – x₁ એ સ્થાનાંતર છે.
∴ 2a (x₂ – x₁) = υ² – υ₀² = – υ₀² (પદાર્થને પ્રતિ – પ્રવેગ હોવાથી મહત્તમ અંતરે તેનો વેગ υ શૂન્ય થશે.)
∴ 2 (- 10) (x₂ – 10) = – (40)²
∴ x₂ = \(\frac{1600}{20}[latex] + 10 = 90 m

પ્રશ્ન 43.
એક વાઘ હરણનો પીછો કરે છે. હરણ તેનાથી 30 m આગળ છે, પીછો શરૂ થાય ત્યારે 5sમાં 3m અંતર ઓછું થાય છે, તો 10 sમાં કેટલું ઓછું થશે તે ગણો.
A. 6 m
B. 12 m
C. 18 m
D. 20 m
ઉત્તર:
B. 12 m
Hint : x = υ₀t + [latex]\frac{1}{2}\) at² માં
υ₀ =0, x = 3m અને t = 5s મૂકતાં,,
3 = 0 + \(\frac{1}{2}\) α(5)² ∴ α = \(\frac{6}{25}\) ms^-2
હવે, t = 10 sમાં કાપેલ અંતર,
x’ = 0 + \(\frac{1}{2}\) α(10)²
= 0 + \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{6}{25}\)) (10)²
= 12 m

પ્રશ્ન 44.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ કરતો કણનો પ્રવેગ a = 2 (t – 1) છે, તો t = 5s સમયે તેનો વેગ ………………
A. 15 m/s
B. 25 m/s
C. 5 m/s
D. 10 m/s
ઉત્તર:
A. 15 m/s
Hint : a = 2 (t – 1)

પ્રશ્ન 45.
એક કણનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર વડે આપવામાં આવે છે :
a = 3t² + 2t + 2(ms^-2)
જો કણ t = 0 સમયે υ = 2 ms^-1 વેગથી ગતિ કરતો હોય, તો t = 2 સેકન્ડે વેગ શોધો.
A. 12ms^-1
B. 18ms^-1
C. 27 ms^-1
D. 36ms ̄^-1
ઉત્તર:
B. 18ms^-1
Hint : a = 3t² + 2t + 2
∴ \(\frac{d υ}{d t}\) = 3t² + 2t + 2
∴ ∫ dυ = ∫ (3t² + 2t + 2) dt
υ = 3 + \(\frac{t^3}{3}\) 2 \(\frac{t^2}{2}\) + 2t + c
જ્યાં, c સંકલન અચળાંક છે.
υ = t³ + t² + 2t + c ……… (1)
જ્યારે t = 0, υ = 2 ms^-1
∴ સમીકરણ (1) પરથી c= 2ms^-1
∴ υ = t³ + t² + 2t + 2
t = 2 સેકન્ડે વેગ
υ = (2)³ + (2)² + 2 (2) + 2 = 18 ms^-1

પ્રશ્ન 46.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી એક કાર 3 ms^-2 જેટલા અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરી કેટલુંક અંતર કાપે છે. પછી તે 2 ms^-2 પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરી સ્થિર થાય છે. જો આ દરમિયાન લાગતો કુલ સમય 100s હોય, તો કારનો મહત્તમ વેગ ………………….. m/s હશે.
A. 100
B. 80
C. 140
D. 120
ઉત્તર:
D. 120
Hint :

t₁ + t₂ = 100 s
પ્રથમ કિસ્સા માટે, υ’ = υ₀ + a₁t₁
∴ υ’= 0 + 3t₁
∴ t₁ = \(\frac{υ^{\prime}}{3}\) ………. (1)
બીજા કિસ્સા માટે, υ = υ’+ a₂t₂
∴ 0 = υ’ – 2t₂
∴ t₂ = \(\frac{υ^{\prime}}{2}\) ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
t₁ + t₂ = \(\frac{υ^{\prime}}{3}\) + \(\frac{υ^{\prime}}{2}\)
∴100 = \(\frac{5υ^{\prime}}{6}\)
∴ υ’ = 120 m s^-1

પ્રશ્ન 47.
કયો આલેખ પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે તેમ દર્શાવે છે?


ઉત્તર:

Hint: x – t આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર હોય, તો તે દર્શાવે છે કે સમય સાથે પદાર્થનું સ્થાન બદલાતું નથી, એટલે કે તે સ્થિર છે.

પ્રશ્ન 48.
કણ માટે સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આલેખ દર્શાવે છે કે…………………….

A. કણ કંઈક પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે, પણ ગતિ પ્રતિપ્રવેગી હોવાથી અંતમાં સ્થિર થાય છે.
B. કણનો વેગ તેની ગતિ દરમિયાન અચળ છે.
C. કણનો પ્રવેગ તેની ગતિ દરમિયાન અચળ છે.
D. કણ અચળ વેગથી ગતિની શરૂઆત કરે છે. ત્યારબાદ પ્રવેગી ગતિ કરે છે અને અંતમાં એ બીજા કોઈ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
ઉત્તર:
A. કણ કંઈક પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે, પણ ગતિ પ્રતિપ્રવેગી હોવાથી અંતમાં સ્થિર થાય છે.
Hint : x – t આલેખનો ઢાળ સમય સાથે ઘટે છે, એટલે કે તેનો વેગ સતત ઘટે છે અને કણ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે અને અંતમાં x = 2 m સ્થાન આગળ સ્થિર થાય છે.

પ્રશ્ન 49.
ગતિમાન કાર માટે x – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આલેખ દર્શાવે છે કે કાર …………

A. સ્થિર છે.
B. નિયમિત ગતિ કરે છે
C. અનિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
D. નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
ઉત્તર:
D. નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
Hint : x = 1.2t²ને x= \(\frac{1}{2}\) at² સાથે સરખાવતાં,
a = 2.4m/s². આ દર્શાવે છે કે તે નિયમિત પ્રવેગ 2.4m/s²થી ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 50.
કયો આલેખ નિયમિત પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે?

ઉત્તર:

પ્રશ્ન 51.
નીચે દર્શાવેલ કયો υ – t આલેખ નિયમિત ગતિ દર્શાવે છે?

ઉત્તર:

Hint : આલેખ A દર્શાવે છે કે, પદાર્થ અચળવેગથી ગતિ કરે છે, એટલે કે નિયમિત ગતિ દર્શાવે છે. બાકીના આલેખોમાં વેગનું મૂલ્ય સમય સાથે બદલાય છે.

પ્રશ્ન 52.
નીચે દર્શાવેલ કર્યો υ – t આલેખ વાસ્તવિક સ્થિતિમાં પદાર્થની ગતિ દર્શાવે છે?

ઉત્તર:

Hint : આલેખ B સિવાયના υ – t આલેખમાં કોઈ એક ક્ષણ (t) માટે વેગનાં એક કરતાં વધુ મૂલ્યો મળે છે, જે વાસ્તવમાં શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 53.
એક એલિવેટર ઉપર તરફ જાય છે. તેના વેગમાં થતો ફેરફાર આલેખ વડે દર્શાવેલ છે. તે મુસાફરોને કેટલી ઊંચાઈ સુધી લઈ જશે?

A. 3.5 m
B. 26.8 m
C. 36 m
D. 72 m
ઉત્તર:
C. 36 m
Hint : υ – t આલેખ નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ પદાર્થે કાપેલું અંતર દર્શાવે છે.
∴ d = \(\frac{1}{2}\) (2 – 0) (3.6) + (10 – 2) (3.6) + \(\frac{1}{2}\) (12 – 10) (3.6)
= 3.6+ 28.8 + 3.6 = 36 m

પ્રશ્ન 54.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થનો υ – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આ પદાર્થનું સ્થાનાંતર અને કાપેલું અંતર અનુક્રમે ……………….. છે.

A. 8m, 16 m
B. 16m, 8m
C. 16m, 16 m
D. 8m, 8m
ઉત્તર:
A. 8m, 16m
Hint : સ્થાનાંતર = દરેક વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ તેની સંજ્ઞા સાથે
= A₁ + (- A₂) + A₃
= (2 × 4) + (- 2 × 2) + (2 × 2)
= 8 m

કાપેલ અંતર = દરેક વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ (સંજ્ઞા વગર)
= A₁ + A₂ + A₃
= (2 × 4) + (2 × 2) + (2 × 2)
= 16m

પ્રશ્ન 55.
કણ માટેનો υ – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. પહેલી ચાર સેકન્ડમાં કણે કાપેલું અંતર ……………. .

A. 12 m
B. 16m
C. 20 m
D. 24 m
ઉત્તર:
B. 16 m
Hint : કાપેલ અંતર = Δ OABનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × (4)(8) = 16 m

પ્રશ્ન 56.
ગતિમાન કણ માટેનો υ – t આલેખ દર્શાવ્યો છે. કણે કરેલું સ્થાનાંતર ………….. હશે.

A. πT
B. 2πT
C. \(\frac{\pi T^2}{8}\)
D. \(\frac{\pi T^2}{4}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{\pi T^2}{8}\)
Hint : કણે કરેલું સ્થાનાંતર = υ – t આલેખનું ક્ષેત્રફળ = અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ
અહીં, વર્તુળનો વ્યાસ T છે.
આથી તેની ત્રિજ્યા \(\frac{T}{2}\) થશે.
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{\pi r^2}{2}\)
= \(\frac{\pi\left(\frac{T}{2}\right)^2}{2}=\frac{\pi T^2}{8}\)

પ્રશ્ન 57.
એક પદાર્થ માટે સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. પદાર્થના OA અને AB સમયગાળામાં મળતા વેગનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?

A. 1
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. 3
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{3}\)
Hint :

પ્રશ્ન 58.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણ માટેનો આલેખ દર્શાવ્યો છે. આ કણ માટે કયો વિકલ્પ યોગ્ય છે?

A. કણનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે.
B. કણનો વેગ નિયમિત રીતે વધે છે.
C. કણનો વેગ Oથી A સુધી વધે છે, ત્યારબાદ તે અચળવેગથી ગતિ કરે છે.
D. આ પ્રકારનો આલેખ અશક્ય છે.
ઉત્તર:
A. કણનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે.
Hint : કણનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થતું હોવાથી તેનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 59.
આકૃતિમાં બે કલાકની મુસાફરી દરમિયાન કોઈ કારની ઝડપમાં સમય સાથે થતો ફેરફાર દર્શાવ્યો છે. આ કારનો મહત્તમ પ્રવેગ ……………… વિભાગમાં છે.

A. OA
B. BC
C. CD
D. DE
ઉત્તર:
B. BC
Hint : વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ પ્રવેગનું મૂલ્ય આપે છે. આલેખમાં દર્શાવેલ BC વિભાગમાં ઢાળનું મૂલ્ય મહત્તમ હોવાથી BC વિભાગમાં કારને મહત્તમ પ્રવેગ હશે.

પ્રશ્ન 60.
આકૃતિમાં ગતિમાન ખટારા માટે ઝડપ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દર્શાવેલ છે. આ ખટારાએ છેલ્લી બે સેકન્ડમાં કેટલું અંતર કાપ્યું હશે?

A. 60 m
B. 90 m
C. 20 m
D. 40 m
ઉત્તર:
C. 20 m
Hint : ખટારાએ છેલ્લી બે સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર
= Δ BDC નું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × BD × DC = \(\frac{1}{2}\) × 20 × 2 = 20 m

પ્રશ્ન 61.
આકૃતિમાં કોઈ ગતિમાન કણ માટે વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દર્શાવેલ છે. 0થી 20 sના સમયગાળામાં કણનું સ્થાનાંતર ………………. . છે.
A. 0 m
B. 60 m
C. 120 m
D. – 120 m

ઉત્તર:
A. 0 m
Hint : 0થી 20 sના સમયગાળામાં કણનું સ્થાનાંતર
= Δ AOBનું ક્ષેત્રફળ + Δ BCDનું ક્ષેત્રફળ
= (\(\frac{1}{2}\) × OA ×OB) + (\(\frac{1}{2}\) × BC × CD)
= (\(\frac{1}{2}\)(12) (10)) + (\(\frac{1}{2}\) (10) (-12))
= 60 – 60 = 0 m

પ્રશ્ન 62.
આકૃતિમાં X-અક્ષ પરગતિ કરતા એક કણ માટેનો સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દર્શાવ્યો છે. આ આલેખ પરથી કહી શકાય કે …….

A. કણ ધન X-દિશામાં સતત ગતિ કરે છે.
B. ણનો વેગ t₀ સમય સુધી વધે છે અને પછી અચળ થઈ જાય છે.
C. કણ સ્થિર છે.
D. કણ t₀ સમય સુધી અચળ વેગથી ગતિ કરે છે અને પછી તેનો વેગ શૂન્ય થાય છે.
ઉત્તર:
D. કણ t₀ સમય સુધી અચળ વેગથી ગતિ કરે છે અને પછી તેનો વેગ શૂન્ય થાય છે.
Hint : સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમયના આલેખનો ઢાળ વેગનું મૂલ્ય આપે છે. t₀ સમય સુધી દોરેલ આલેખનો ઢાળ દરેક બિંદુએ સમાન છે, એટલે કે તે પદાર્થ અચળવેગથી ગતિ કરે છે. t₀ સમય બાદ આલેખનો ઢાળ શૂન્ય થાય છે, એટલે કે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય છે.

પ્રશ્ન 63.
બે પદાર્થો માટે સ્થાનાંતર – સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તે સમય-અક્ષ સાથે 30° અને 60° નો ખૂણો રચે છે. તે બે વેગનો ગુણોત્તર ……………….

A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)
D. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{1}{3}\)
Hint : પદાર્થનો વેગ = સુરેખાનો ઢાળ = tan θ
∴ \(\frac{v_1}{v_2}=\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}=\frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\)

પ્રશ્ન 64.
ગતિ કરતા પદાર્થ માટે સ્થાનાંતર – સમયનો આલેખ દર્શાવેલ છે, પદાર્થ Δt સમયમાં Aથી B સુધીની ગતિ કરતો હોય, તો સરેરાશ પ્રવેગ શોધો.

A. \(\frac{\theta_2-\theta_1}{\Delta t}\)
B. \(\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{\Delta t}\)
C. \(\frac{\tan \theta_1-\tan \theta_2}{\Delta t}\)
D. \(\frac{\theta_1-\theta 2}{\Delta t}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{\Delta t}\)
Hint : સ્થાનાંતર – સમયના આલેખ પરના કોઈ બિંદુ આગળનો તત્કાલીન વેગ એટલે તે બિંદુ આગળ આલેખનો ઢાળ, જે tan θ વડે શોધી શકાય.
સરેરાશ પ્રવેગ = \(\frac{v_{\mathrm{B}}-v_{\mathrm{A}}}{\Delta t}=\frac{\tan \theta_2-\tan \theta_1}{\Delta t}\)

પ્રશ્ન 65.
એક પદાર્થને ઊર્ધ્વદિશામાં 60 m/sના વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ શોધો. (g = 10 m /s²)
A. 180 m
B. 80 m
C. 120 m
D. 25 m
ઉત્તર:
A. 180 m
Hint : υ² – υ₀² = 2gh
મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ υ શૂન્ય હોય છે.
∴ υ₀² = 2gh
∴ h = \(\frac{v_0^2}{2 g}=\frac{(60)^2}{2(10)}\) = 180 m

પ્રશ્ન 66.
એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રારંભિક વેગ υ₀થી ફેંકવામાં આવે છે. થોડી વાર બાદ તે પોતાના મૂળ સ્થાને પાછો આવે છે. આ દડાનો સરેરાશ વેગ અને સરેરાશ ઝડપ અનુક્રમે …………. હશે.
A. 0, 0
B. 0, \(\frac{υ_0}{2}\)
C. \(\frac{υ_0}{2}\), \(\frac{υ_0}{2}\)
D. υ₀
ઉત્તર:
B. 0, \(\frac{υ_0}{2}\)
Hint : દડો ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરીને મૂળ સ્થાને આવતો હોવાથી તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થશે. આથી તેનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય થશે. υ₀ વેગથી દડાને ઊદિશામાં ફેંકતાં મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની ઝડપ શૂન્ય થાય છે. તેમજ દડાની આ ગતિ અચળપ્રવેગી હોવાથી, ઊર્ધ્વદિશામાં તેની સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{v_0+0}{2}=\frac{v_0}{2}\) થશે. જ્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએથી મૂળ સ્થાને આવશે ત્યારે તેની ઝડપ υ₀ થાય છે.
આથી અધોદિશામાં સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{v_0+0}{2}=\frac{v_0}{2}\)
હવે, બંને ગતિની સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{\frac{v_0}{2}+\frac{v_0}{2}}{2}=\frac{v_0}{2}\)

પ્રશ્ન 67.
એક દડો h ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે. એક સેકન્ડ બાદ બીજો દડો તે ઊંચાઈ કરતાં 20m નીચી ઊંચાઈએથી પડે છે. બંને દડા એકસરખા સમયે જમીન પર આવતા હોય, તો hનું મૂલ્ય કેટલું?
A. 11.2m
B. 21.2 m
C. 31.2m
D. 41.2 m
ઉત્તર:
C. 31.2 m
Hint : પહેલા દડા માટે,
h = \(\frac{1}{2}\) gt² ……….. (1)
બીજા દડા માટે,
(h – 20) = \(\frac{1}{2}\) g(t – 1)² ……….. (2)
સમીકરણ (1)માંથી
સમીકરણ (2) બાદ કરતાં,
20 = – 5 + 10t ⇒ t = 2.5 s
∴ ઊંચાઈ h = \(\frac{1}{2}\) gt²
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × (2.5)²
= 31.25m

પ્રશ્ન 68.
ત્રણ કણ A, B અને Cને ટાવર પરથી સમાન ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. કણ Aને ઊદિશામાં, કણ Bને અધોદિશામાં અને કણ Cને સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. ત્રણેય કણ જ્યારે જમીન સાથે અથડાય ત્યારે તેમના વેગ અનુક્રમે υ_A, υ_B અને υ_C હોય, તો …………..
A. υ_A = υ_B = υ_C
B. υ_A = υ_B > υ_C
C. υ_B > υ_C > υ_A
D. υ_A > υ_B = υ_C
ઉત્તર:
A. υ_A = υ_B = υ_C
Hint : ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ ફક્ત તેના પ્રારંભિક વેગ પર આધાર રાખે છે.
આપેલ કિસ્સામાં ત્રણેય કણોના પ્રારંભિક વેગ સમાન હોવાથી υ_A = υ_B = υ_C

પ્રશ્ન 69.
પુલ પરથી એક પથ્થરને 4.9 m/sના વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. 2 s બાદ તે પાણીમાં પડે છે, તો પુલની ઊંચાઈ ……………….. .
A. 4.9 m
B. 9.8 m
C. 19.8m
D. 24.7 m
ઉત્તર:
B. 9.8 m
Hint : ઊછાળેલ પથ્થર જ્યારે પુલ પાસેથી પસાર થશે ત્યારે તેનો વેગ 4.9 m/s હશે. ત્યારબાદ 2 s પછી તે પાણીમાં પડે છે. પુલને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતાં,
પુલની ઊંચાઈ (- h) = υ₀t – \(\frac{1}{2}\) gt²
∴ – h = (4.9) (2) – \(\frac{1}{2}\) (9.8) (2)² = -9.8 m
∴ h = 9.8m

પ્રશ્ન 70.
m_a અને m_b દળ ધરાવતા બે પદાર્થોને અનુક્રમે a અને b ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે, તો તેમણે જમીન પર પહોંચતાં લાગતા સમયનો ગુણોત્તર ……………… .
A. a : b
B. b = a
C. \(\sqrt{a}: \sqrt{b}\)
D. a² : b²
ઉત્તર :
C. \(\sqrt{a}: \sqrt{b}\)
Hint : h = \(\frac{1}{2}\) gt² પરથી, t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
m_a દળના પદાર્થ માટે t_a = \(\sqrt{\frac{2 a}{g}}\)
m_b દળના પદાર્થ માટે t_b = \(\sqrt{\frac{2 b}{g}}\)
∴ \(\frac{t_{\mathrm{a}}}{t_{\mathrm{b}}}=\frac{\sqrt{\frac{2 a}{g}}}{\sqrt{\frac{2 b}{g}}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

પ્રશ્ન 71.
એક દડાને અધોદિશામાં પડતો મૂકવામાં આવે છે. 1s બાદ બીજા દડાને તે જ સ્થળેથી પડતો મૂકવામાં આવે છે.
3s બાદ બંને દડા વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?
A. 25 m
B. 20 m
C. 50 m
D. 9.8 m
ઉત્તર:
A. 25 m
Hint : બે દડા વચ્ચેનું અંતર
= પહેલા દડાએ 3sમાં કાપેલ અંતર – બીજા દડાએ 2sમાં કાપેલ અંતર
= \(\frac{1}{2}\) g(3)² – \(\frac{1}{2}\) g(2)²
= \(\frac{1}{2}\) g (9 – 4) = \(\frac{1}{2}\) × 10 × 5 = 25m

પ્રશ્ન 72.
એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ઉછાળવામાં આવે છે અને તે 2sના અંતે તે જ સ્થાને પાછો આવે છે, તો દડાએ પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ …………….. હશે. અહીં, g = 9.8ms^-2 લો.
A. 9.8 m
B. 14.7m
C. 4.9 m
D. 19.6 m
ઉત્તર:
C. 4.9 m
Hint : દડાને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં t = 1 s લાગશે તેમજ
તે સ્થાને υ = 0 હશે.
υ = υ₀ – gt પરથી,
υ₀ = gt
હવે, ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ h છે.
∴ υ² – υ₀² = 2gh
∴ (0)² – (gt)² = – 2gh
∴ h = \(\frac{(g t)^2}{2 g}=\frac{g t^2}{2}=\frac{9.8 \times(1)^2}{2}\) = 4.9m

પ્રશ્ન 73.
જમીનથી a તથા b ઊંચાઈ પર રહેલી બે વસ્તુને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્તપતન કરવા દેવામાં આવે છે. જમીનને અથડાય ત્યારે તેમના વેગનો ગુણોત્તર ……………. .
A. a : b
B. \(\sqrt{a}: \sqrt{b}\)
C. a² : b²
D. a³ : b³
ઉત્તર:
B. \(\sqrt{a}: \sqrt{b}\)
Hint : υ² – υ₀² = 2gh પરથી,
h = a ઊંચાઈ માટે, υ_a² = 2ga ( υ₀ = 0 છે.)
h = b ઊંચાઈ માટે, υ_b² = 2gb
∴ \(\frac{v_{\mathrm{a}}^2}{v_{\mathrm{b}}^2}=\frac{2 g a}{2 g b}=\frac{a}{b}\) ∴ \(\frac{v_{\mathrm{a}}}{v_{\mathrm{b}}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

પ્રશ્ન 74.
અમુક ઊંચાઈ પરથી એક પદાર્થને પડતો મૂકવામાં આવે, ત્યારે ‘h’ જેટલું અંતર કાપીને તેનો વેગ υ થાય છે. તેનો વેગ બમણો થાય તે માટે તેણે વધારાનું …………… અંતર કાપ્યું હશે.
A. 4h
B. 3h
C. 2h
D. h
ઉત્તર:
B. 3h
Hint : પદાર્થ મુક્તપતન કરે છે, ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0. ‘h’ જેટલું અંતર કાપ્યા પછી તેનો વેગ υ થાય છે.
હવે, υ² – υ₀² = 2ad
υ² = 2gh (∵ a = + g, d = h)
∴ h = \(\frac{υ^2}{2 g}\)
હવે, h અંતર આગળ પદાર્થનો વેગ υ₀ = υ છે અને
h’ અંતર આગળ વેગ 2υ જેટલો થાય છે.
∴ (2υ)² – (υ)² = 2gh’
∴ 3υ² = 2gh’
∴ \(\frac{3 υ^2}{2 g}\) = h’
∴ 3h = h’ (∵ \(\frac{υ^2}{2 g}\) = h

પ્રશ્ન 75.
બૉલ Aને વેગ υ₀ થી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. આ જ ક્ષણે બૉલ B ઊંચાઈ h પરથી મુક્તપતન શરૂ કરે છે, તો t ક્ષણે બૉલ Bની સાપેક્ષે બૉલ Aનો વેગ ……………. . છે.
A. υ₀
B. υ₀ – 2g t
C. υ₀ – g t
D. \(\sqrt{v_0^2-2 g h}\)
ઉત્તર:
A. υ₀
Hint : ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકેલ બૉલ A નો t ક્ષણે વેગ,
υ_A = υ₀ – gt
મુક્તપતન કરતા બૉલ Bનો t ક્ષણે વેગ,
υ_B = υ₀ + at = – gt (∵ υ₀ = 0)
∴ υ_AB = બૉલ Aનો વેગ – બૉલ Bનો વેગ
= υ₀ – gt – (- gt)
= υ₀

પ્રશ્ન 76.
12 m/sના વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં જઈ રહેલા બલૂનમાંથી એક પૅકેટ ફેંકવામાં આવે છે. 2 s બાદ આ પૅકેટનો વેગ ………………. .
A. – 12 m/s
B. 12 m/s
C.- 7.6m/s
D.7.6m/s
ઉત્તર:
C. – 7.6 m/s
Hint : બલૂનમાંથી પૅકેટને ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ 12 m/s થશે. આથી 2 ડ બાદ તેનો વેગ υ = υ₀ – gt = 12 – (9.8)(2) = = – 7.6m/s

પ્રશ્ન 77.
બલૂન સ્થિર અવસ્થામાંથી જમીનથી ઉપરની તરફ 1.25 ms^-2ના અચળ પ્રવેગથી ઊડવાની શરૂઆત કરે છે. 8 s બાદ બલૂનમાંથી એક પથ્થરને મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે. પથ્થર કેટલા સમયમાં જમીન પર આવશે? (g = 10ms^-2 લો.)
A. 2 s
B. 4 s
C. 6 s
D. 10 s
ઉત્તર:
B. 4 s
Hint : બલૂનનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0 અને
a = 1.25 ms^-2 છે.
t = 8s માં બલૂને કાપેલું અંતર,
y = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
= 0 + \(\frac{1}{2}\) (1.25) (8)² = 40 m
y = 40 m ઊંચાઈએ બલૂનનો વેગ,
υ = at = (1.25)8 = + 10ms^-1
t = 8s સમયે પથ્થરને નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. આથી પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = – 10 ms^-1 થશે. ધારો કે, પથ્થરને જમીન પર પહોંચતાં t જેટલો સમય લાગે છે.
∴ y = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at² અનુસાર,
40 = (- 10)t + \(\frac{1}{2}\)(10)t
∴ t² – 2t – 8 = 0
∴ t = 4s અથવા t = – 2s
t = – 2s શક્ય નથી. આથી t = 4s

પ્રશ્ન 78.
જો કોઈ કારનો વેગ 50% ઘટાડવામાં આવે, તો તેના સ્ટૉપિંગ ડિસ્ટન્સમાં કેટલા ટકા ઘટાડો થાય?
A. 25%.
B. 75 %
C. 100 %
D. 12.5%
ઉત્તર:
B. 75 %
Hint : સ્ટૉપિંગ ડિસ્ટન્સ s = \(\frac{v^2}{2 a}\)
બીજા કિસ્સામાં સ્ટૉપિંગ ડિસ્ટન્સ,
s’ = \(\frac{\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2 a}=\frac{v^2}{2 a} \times \frac{1}{4}=\frac{s}{4}\)
સ્ટૉપિંગ ડિસ્ટન્સમાં પ્રતિશત ઘટાડો
= \(\frac{s-s^{\prime}}{s}\) × 100 = \(\frac{s-\frac{s}{4}}{s}\) × 100
= 75%

પ્રશ્ન 79.
એક દડાને 30 mના ટાવરની ટોચથી 25 m s^-1 ના વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. જમીન પર પડે ત્યાં સુધીમાં
કેટલો સમય લેશે? (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 6 s
B. 5 s
C. 4 s
D. 12 s
ઉત્તર :
A. 6 S
Hint : ટાવરની ટોચ ઉપરથી દડાને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં લાગતો સમય,
t₁ = \(\frac{v_0}{g}=\frac{25}{10}\) = 2.5 s
મહત્તમ ઊંચાઈ h = H + \(\frac{v_0^2}{2 g}\)
= 30 + \(\frac{(25)^2}{2 \times 10}\)
= 61.25 m
હવે, h = υ₀t₂ + \(\frac{1}{2}\) gt₂²
∴ h = \(\frac{1}{2}\) gt₂² (∵ મહત્તમ ઊંચાઈએ υ₀ = 0 છે.)
∴ મહત્તમ ઊંચાઈએથી જમીન પર પહોંચતા લાગતો સમય,
t₂ = \(\) = 3.5 s
∴ કુલ ઉડ્ડયન સમય t = t₁ + t₂
= 2.5 + 3.5 = 6 s

પ્રશ્ન 80.
એક પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નીચે મુક્તપતન કરે છે. પ્રથમ, બીજી અને ત્રીજી મિનિટે તેણે કાપેલ અંતર ………………. પ્રમાણમાં છે.
A. 1 : 4 : 9
B. 1 : 2 : 3
C. 1 : 3 : 5
D. 1 : 5 : 6
ઉત્તર:
C. 1 : 3 : 5
Hint : મુક્તપતન કરતા પદાર્થે nમી મિનિટે કાપેલ અંતર,
s = a (n – \(\frac{1}{2}\)) = g(n – \(\frac{1}{2}\))
n = 1 માટે, s₁ = g (1 – \(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{g}{2}\)
n = 2 માટે, s₂ = g (2 – \(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{3 g}{2}\)
n = 3 માટે, s₃ = g (3 – \(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{5 g}{2}\)
આથી s₁ : s₂ : s₃ = 1 : 3 : 5

પ્રશ્ન 81.
એક પદાર્થને ઊદિશામાં ફેંકવામાં આવેલ છે. T સમયમાં તે મહત્તમ ઊંચાઈ H ૫૨ પહોંચે છે, તો કોઈ પણ t સમયે તેની ઊંચાઈ ……………… થશે.
A. g (t – T)²
B. \(\frac{1}{2}\) g (t – T)
C. \(\frac{1}{2}\) gt (2T – t)
D. g (t – T)
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{2}\) gt (2T – t)
Hint : υ = υ₀ – gt
T સમયે પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ υ = 0 હોય છે.
∴ 0 = υ₀ – gT ∴ υ₀ = gT
હવે, t સમયે પદાર્થની ઊંચાઈ,
h = υ₀t – \(\frac{1}{2}\) gt²
= (gT) t – \(\frac{1}{2}\) gt² = \(\frac{1}{2}\) gt (2T – t)

પ્રશ્ન 82.
રેલવેના બે સમાંતર પાટાઓ ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ છે. ટ્રેન A 54 km h^-1ની ઝડપે ઉત્તર તરફ અને ટ્રેન B 90 km h^-1ની ઝડપે દક્ષિણ તરફ ગતિ કરે છે. એક વાંદરો ટ્રેન Aના છાપરા પર તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં 18 km h^-1 ઝડપે દોડે છે. ટ્રેન Bમાં બેઠેલી વ્યક્તિ દ્વારા અનુભવાતો વાંદરાનો વેગ …………………… .
A. 20 m s^-1
B. 25 m s^-1
C. 30 m s^-1
D. 35 m s^-1
ઉત્તર :
D. 35 m s^-1
Hint : ટ્રેન Aનો વેગ υ_A = 54 km h^-1 (ઉત્તર)
ટ્રેન Bનો વેગ υ_B = – 90 km h^-1 (દક્ષિણ તરફ)
ટ્રેન Aની સાપેક્ષે વાંદરાનો વેગ υ_MA = – 18 km h^-1
ટ્રેન Aની સાપેક્ષે ટ્રેન Bનો વેગ,
υ_BA = υ_B – υ_A = – 90 – 54 = – 144 km h^-1
ટ્રેન Bની સાપેક્ષે વાંદરાનો વેગ,
υ_MB = υ_MA – υ_BA = – 18 + 144 = 126 km h‍^-1
υ_MB = \(\frac{126 \times 1000}{3600}\) m s^-1 = 35 m s^-1

પ્રશ્ન 83.
50m લાંબી બે ટ્રેન અલગ ટ્રૅક પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી છે. તેમના વેગ અનુક્રમે 10m/s અને 15 m/s છે. બંને ટ્રેનને એકબીજાને ક્રૉસ કરવા માટે લાગતો સમય …………………. .
A. 2 s
B. 4 s
C. 2√3 s
D. 4√3 s
ઉત્તર:
B. 4 s
Hint : બંને ટ્રેન વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી તેમનો સાપેક્ષ વેગ = 10 m/s + 15 m/s = 25 m/s

પ્રશ્ન 84.
બે કાર A અને B સ્થિર સ્થિતિમાંથી એક જ સ્થાન આગળથી ગતિની શરૂઆત કરે છે. કાર A 40m/sના નિયમિત વેગથી અને કાર B નિયમિત પ્રવેગ 4m/s²થી ગતિની શરૂઆત કરે છે. કાર B એ કાર Aની દિશામાં જ ગતિ કરતી હોય, તો કાર B એ કાર Aને કેટલા સમય બાદ મળશે?
A. 10 s
B. 20 s
C. 30 s
D. 35 s
ઉત્તર:
B. 20 s
Hint : ધારો કે, કાર A અને કાર B t સમયે મળે છે, એટલે કે આ સમયગાળામાં બંને કા૨ે કાપેલું અંતર સમાન થશે.
∴ x_A = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
= υ₀t (નિયમિત ગતિ માટે a = 0)
= 40 t
∴ x_B = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
= 0 + \(\frac{1}{2}\) (4)t² = 2t²
x_B = x_A હોવાથી,
2t² = 40t ∴ t = 20 s

પ્રશ્ન 85.
બે સમાંતર રેલવે ટ્રૅક પર બે ટ્રેન સમાન ઝડપથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી છે. પવન છ ઝડપથી ટ્રૅકની દિશામાં ફૂંકાય છે. પવનની સાપેક્ષે આ ટ્રેનોના વેગનો ગુણોત્તર 1: 2 હોય, તો બંને ટ્રેનની ઝડપ ………………
A. 3υ
B. 2υ
C. 5υ
D. 4υ
ઉત્તર:
A. 3υ
Hint : ધારો કે, બંને ટ્રેનની ઝડપ x છે. આથી એક ટ્રેનનો પવનની સાપેક્ષે વેગ x + υ અને બીજી ટ્રેનનો પવનની સાપેક્ષે વેગ x – υ થશે.
∴ \(\frac{x-v}{x+v}=\frac{1}{2}\)
∴ 2x – 2υ = x + υ
∴ x = 3υ

પ્રશ્ન 86.
ચોરની જીપની પાછળ પોલીસની કાર પીછો કરી રહી છે. ચોરની જીપનો વેગ 153 km/h અને પોલીસની કારનો વેગ 45 km/h છે. પોલીસ તેની બંદૂકમાંથી ફાયર કરે છે અને તેમાંથી ગોળી 180 m/sના વેગથી છૂટે છે, તો તે ચોરની જીપને અથડાશે ત્યારે તેનો વેગ કેટલો હશે?
A. 150 m/s
B. 27 m/s
C. 450m/s
D. 250 m/s
ઉત્તર:
A. 150 m/s
Hint : ગોળીનો અસરકારક વેગ
= 180 m/s + 45 km/h
= (180 + 12.5) m/s = 192.5 m/s
જીપનો વેગ = 153 km/h = 42.5 m/s
જીપની સાપેક્ષે ગોળીનો વેગ = 192.5 – 42.5
= 150 m/s

પ્રશ્ન 87.
બે ગતિમાન કણ A અને B માટેનો x – t આલેખ સુરેખા છે. કણ A અને કણ B માટેની સુરેખાઓ સમય-અક્ષ સાથે અનુક્રમે 45° અને 60°નો કોણ બનાવે છે, તો કણ Aની સાપેક્ષે કણ Bનો વેગ કેટલો હશે? (x મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે.)
A. 0.73 m/s
B. 1.73 m/s
C. 2.73 m/s
D. 1 m/s
ઉત્તર:
A. 0.73m/s
Hint: કણ Aનો વેગ υ_A = tan45° = 1m/s
કણ B નો વેગ υ_B = tan60°
= √3 = 1.73m/s
∴ કણ Aની સાપેક્ષે કણ Bનો વેગ,
υ_BA = υ_B – υ_A = 1.73 – 1 = 0.73 m/s

પ્રશ્ન 88.
200 m લાંબી ટ્રેન 30 m/sની ઝડપથી તે જ દિશામાં 20 m/sની ઝડપથી ગતિ કરતી 300 m લાંબી બીજી ટ્રેનને ઓવરટેક કરે છે, તો પ્રથમ ટ્રેનને બીજી ટ્રેન પસાર કરતા લાગતો સમય ………………… .
A. 10 s
B. 30 s
C. 40 s
D. 50 s
ઉત્તર:
D. 50 s
Hint : ટ્રેને કાપેલું કુલ અંતર = 300 + 200 = 500 m બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષે પ્રથમ ટ્રેનનો વેગ,
υ₁₂ = υ₁ – υ₂
= 30 – 20 = 10m/s
∴ પ્રથમ ટ્રેનને બીજી ટ્રેન પસાર કરતા લાગતો સમય

પ્રશ્ન 89.
એક કાર સુરેખ પથ પર નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. કાર બે બિંદુઓ P અને Q પાસેથી પસાર થતાં તેનો વેગ અનુક્રમે 30 km / h અને 40 km/h છે. P અને ને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુએ તેનો વેગ …………………. .
A. 33.3 km/h
B. 20√2 km/h
C. 25√2 km/h
D. 35 km/h
ઉત્તર :
C. 25√2 km/h
Hint :

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ R એ PQનું મધ્યબિંદુ છે. તે સ્થાને કારનો વેગ υ છે.
પ્રથમ \(\frac{x}{2}\) અંતર કાપવા માટે ગતિનું સમીકરણ,
υ² – υ₁² = 2a (\(\frac{x}{2}\)) ……….. (1)
બિંદુ Pથી Q સુધીની ગતિ માટે,
υ₂² – υ₁² = 2ax ………….. (2)
સમીકરણ (1)માં 2axનું મૂલ્ય મૂકતાં,
υ² – υ₁² = \(\frac{v_2^2-v_1^2}{2}\)
∴ υ² = \(\frac{v_2^2-v_1^2}{2}\) + υ₁²
= \(\frac{(40)^2-(30)^2}{2}\) + (30)² = 1250
∴ υ = 35.35 km/h = 25√2 km/h

પ્રશ્ન 90.
મુક્તપતન કરતા પદાર્થે ચોથી અને પાંચમી સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A. \(\frac{5}{9}\)
B. \(\frac{7}{9}\)
C. \(\frac{9}{7}\)
D. \(\frac{11}{9}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{7}{9}\)
Hint : υ₀ = 0, a = – g
y = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1)નો ઉપયોગ કરતાં,
n = 4થી સેકન્ડે કાપેલું અંતર,
y₄ = 0 – \(\frac{g}{2}\) ((2 × 4) – 1) = – \(\frac{7 g}{2}\)
n = 5મી સેકન્ડે કાપેલું અંતર,
y₅ = 0 – \(\frac{g}{2}\) ((2 × 5) – 1) = – \(\frac{9 g}{2}\)
∴ \(\frac{y_4}{y_5}=\frac{-\frac{7 g}{2}}{-\frac{9 g}{2}}=\frac{7}{9}\)

પ્રશ્ન 91.
એક કા૨ે કાપવાના કુલ અંતરમાંથી પ્રથમ અડધું અંતર 40km/h ની ઝડપે અને બાકીનું અડધું અંતર 60 km/hની ઝડપે કાપે છે. આ કારની સરેરાશ ઝડપ ………………. .
A. 40 km/h
B. 48 km/h
C. 50km/h
D. 60km/h
ઉત્તર:
B. 48 km/h
Hint : ધારો કે, કાર કુલ x અંતર કાપે છે.

પ્રશ્ન 92.
એક બસ તેને કાપવાના કુલ અંતરનો ત્રીજો ભાગ 10 km/h અને તે પછીનો ત્રીજો ભાગ 20 km/h અને છેલ્લો ત્રીજો ભાગ 60 km/h ની ઝડપે ગતિ કરીને કાપે છે, તો બસની સરેરાશ ઝડપ …………….. .
A. 9 km/h
B. 16 km/h
C. 48 km/h
D. 18 km/h
ઉત્તર:
D. 18 km/h
Hint :

પ્રશ્ન 93.
એક કાર 200m અંતર કાપે છે. પ્રથમ અડધું અંતર 40 km/hની ઝડપથી કાપે છે અને બાકીનું અડધું અંતર υ ઝડપથી કાપે છે. જો તેની સરેરાશ ઝડપ 48 km/h હોય, તો છનું મૂલ્ય શોધો.
A. 56 km/h
B. 60 km/h
C. 50 km/h
D. 48 km/h
ઉત્તર:
B. 60 km/h
Hint : કુલ અંતર = 200 m

પ્રશ્ન 94.
ટાવરની ટોચ પરથી મુક્ત કરવામાં આવેલ પદાર્થ છેલ્લી 2 sમાં 40 m અંતર કાપે છે. આ ટાવરની ઊંચાઈ ………………… .
(g = 10ms^-2 લો.)
A. 60 m
B. 45 m
C. 80 m
D. 50 m
ઉત્તર :
B. 45 m
Hint : ધારો કે, ટાવરની ઊંચાઈ h છે અને પદાર્થને જમીન પર પહોંચતાં લાગતો સમય t છે.
આથી h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at² પરથી,
h = \(\frac{1}{2}\) gt² ………. (1)
ધારો કે, h’ = h – 40 છે અને આ અંતર કાપતાં તેને (t – 2) સમય લાગે છે.
∴ h’ = \(\frac{1}{2}\) g(t – 2)²
∴ h – 40 = \(\frac{1}{2}\) g(t – 2)²
∴ \(\frac{1}{2}\) gt² – 40 = \(\frac{1}{2}\) g(t – 2)² [સમીકરણ (1) પરથી]
∴ \(\frac{1}{2}\) (10)t² – 40 = \(\frac{1}{2}\) × 10 (t – 2)²
∴ 5t² – 40 = 5(t² – 4t + 4)
∴ – 40 = – 20t + 20
∴ t = 3s
સમીકરણ (1)માં t = 3s મૂકતાં,
h = \(\frac{1}{2}\) gt² = 1 × 10 × (3)² = 45m

પ્રશ્ન 95.
નીચેનામાંથી કયો આલેખ એક-પરિમાણમાં ગતિ દર્શાવતો નથી?

ઉત્તર:

Hint : વિકલ્પ Bમાં દર્શાવેલ ગતિ એક-પારિમાણિક નથી, કારણ કે આલેખ B પદાર્થના એક જ સમયે બે જુદા જુદા વેગ દર્શાવે છે, જે એક-પરિમાણમાં શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 96.
ગતિમાન કણ માટે સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. કયા બિંદુ આગળ કણનો વેગ ઋણ હશે ?

A. E
B. F
C. C
D. D
ઉત્તર:
A. E
Hint : સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ વેગ દર્શાવે છે. બિંદુ E આગળ ઢાળ ઋણ હોવાથી તે બિંદુ આગળ વેગ ઋણ મળશે.

પ્રશ્ન 97.
એક ટ્રેનનો વેગ 4 કલાકમાં નિયમિત રીતે વધીને 20 km/h થી 60 km/h થાય છે. આ સમયગાળા દરમિયાન ટ્રેને કાપેલું અંતર ………………. .
A. 160 km
B. 180 km
C. 100 km
D. 120 km
ઉત્તર :
A. 160 km
Hint : ટ્રેનનો પ્રવેગ = \(\frac{60-20}{4}\) = 10 km / h²
ટ્રેને કાપેલું અંતર x = υ_t + \(\frac{1}{2}\) at²
= (20)(4) + \(\frac{1}{2}\)(10)(4)²
= 160km

પ્રશ્ન 98.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણનું t સમયે સ્થાનાંતર s = t³ – 6t² + 3t + 4 છે. પ્રવેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તેનો વેગ ……………… હશે.
A. 3 m s^-1
B. – 12^-1
C. 42 m s^-1
D. – 9 m s^-1
ઉત્તર:
D. – 9 m s^-1
Hint : s = t³ – 6t² + 3t + 4
∴ υ = \(\frac{d s}{d t}\) = 3t² – 12t + 3 …………. (1)
∴ a = \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) = 6t – 12
∴ 0 = 6t – 12 … t = 2 s (∵ a = 0 છે.)
સમીકરણ (1)માં t = 2 મૂકતાં,
υ = 3 (2)² – 12 (2) + 3 = – 9 m s^-1

પ્રશ્ન 99.
એક મોટરબોટનો પ્રવેગ, એન્જિન બંધ કર્યા પછી નીચેના સૂત્રથી અપાય છે :
\(\frac{d υ}{d t}\) = – kυ³ જ્યાં, k અચળાંક છે. એન્જિન બંધ કરવામાં આવે ત્યારે તેનો વેગ υ₀ હોય, તો એન્જિન બંધ કર્યાના t સમયબાદ મોટરબોટનો વેગ કેટલો હશે?
A. \(\frac{v_0}{2}\)
B. υ₀
C. \(\frac{v_0}{\sqrt{2 v_0^2 k t+1}}\)
D. υ₀e^-kt
ઉત્તર:
C. \(\frac{v_0}{\sqrt{2 v_0^2 k t+1}}\)
Hint :

પ્રશ્ન 100.
એક કાર નિયમિત પ્રવેગ α થી ગતિ શરૂ કરે છે. અમુક સમય સુધી આ પ્રવેગ લાગે છે. ત્યારબાદ તે β જેટલા પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરીને સ્થિર થાય છે. જો આ માટે લાગતો કુલ સમય t હોય, તો કા૨ે મેળવેલ મહત્તમ વેગ ………………… હશે.
A. \(\frac{\left(\alpha^2-\beta^2\right) t}{\alpha \beta}\)
B. \(\frac{\left(\alpha^2+\beta^2\right) t}{\alpha \beta}\)
C. \(\frac{(\alpha-\beta) t}{\alpha \beta}\)
D. \(\frac{\alpha \beta t}{\alpha+\beta}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{\alpha \beta t}{\alpha+\beta}\)
Hint : કારનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0
પ્રથમ કિસ્સામાં તેનો પ્રવેગ α છે અને t₁ સમયમાં તે મહત્તમ વેગ υ પ્રાપ્ત કરે છે.
આથી υ = υ₀ + at પરથી,
υ = 0 + α t₁ … t₁ = \(\frac{v}{\alpha}\)
બીજા કિસ્સામાં પ્રારંભિક વેગ υ છે અને β જેટલા પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરીને t₂ સમયમાં સ્થિર થાય છે.
υ = υ₀ + at પરથી,
0 = υ₀ – β t₂ ∴ t₂ = \(\frac{v}{\beta}\)
કુલ સમય t = t₁ + t₂ = \(\frac{v}{\alpha}+\frac{v}{\beta}\) = υ(\(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\))
∴ υ = \(\frac{t}{\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)}=\frac{\alpha \beta t}{\alpha+\beta}\)

પ્રશ્ન 101.
5 m ઊંચાઈએ રહેલા પાણીના નળમાંથી નિયમિત સમયે પાણીનાં બુંદો પડે છે. જ્યારે નળમાંથી પાણીનું ત્રીજું બુંદ નીકળે છે, તે ક્ષણે પહેલું બુંદ જમીનને સ્પર્શે છે, તો તે ક્ષણે પાણીનું બીજું બુંદ જમીનથી કેટલી ઊંચાઈએ હશે?
A. 3.75 m
B. 4.0 m
C. 1.25 m
D. 2.5 m
ઉત્તર:
A. 3.75 m
Hint : નળની ઊંચાઈ h = 5 m
પહેલા બુંદને જમીન પર પડવા માટે લાગતો સમય,
5 = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt²
∴ 5 = \(\frac{1}{2}\) (10) t² ∴ t = 1 s
આ જ સમયે ત્રીજું બુંદ નળમાંથી નીકળે છે. બુંદો એક પછી એક એમ સમાન સમયગાળામાં નળમાંથી નીકળે છે.
આથી બીજું બુંદ 0.5s સમયે નળમાંથી નીકળ્યું હશે. આ 0.5 sમાં બીજા બુંદે કાપેલું અંતર,
h = \(\frac{1}{2}\)(10)(0.5)2 = 1.25 m
આથી બુંદની જમીનથી ઊંચાઈ = 5 – 1.25
= 3.75 m

પ્રશ્ન 102.
એક કણનો પ્રવેગ સમય સાથે bt અનુસાર વધે છે. કણની પ્રારંભિક ઝડપ υ₀ હોય, તો t સમયમાં કણે કાપેલું અંતર ………………. હશે.
A. υ₀t + \(\frac{1}{3}\) bt²
B. υ₀t + \(\frac{1}{2}\) bt²
C. υ₀t + \(\frac{1}{6}\) bt³
D. υ₀t + \(\frac{1}{3}\) bt³
ઉત્તર:
C. υ₀t + \(\frac{1}{6}\) bt³
Hint : કણનો પ્રવેગ a = bt
∴ \(\frac{d υ}{d t}\) = bt
∴ ∫ dυ = ∫ bt dt
∴ υ = b\(\frac{t^2}{2}\) + c
t = 0 સમયે υ = υ₀ હોવાથી, c = υ₀

પ્રશ્ન 103.
h ઊંચાઈએથી એક પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ શૂન્યથી છોડતાં તે જમીન પર 3m/sના વેગથી પડે છે. સમાન દળ ધરાવતા બીજા પદાર્થને તે જ ઊંચાઈએથી 4 m/s જેટલા પ્રારંભિક વેગથી છોડવામાં આવે, તો બીજા પદાર્થનો જમીન પર વેગ કેટલો હશે?
A. 5 m/s
B. 12 m/s
C. 3 m/s
D. 4 m/s
ઉત્તર:
A. 5 m/s
Hint : પહેલા પદાર્થ માટે υ₀ = 0, υ = 3m/s
υ² – υ₀² = 2gh
∴ υ² = 2gh
∴ h = \(\frac{v^2}{2 g}=\frac{(3)^2}{2 \times 9.8}\) = 0.46 m
બીજા પદાર્થ માટે υ₀ = 4m/s, h = 0.46m
υ² – υ₀² = 2gh
∴ υ² = υ₀² + 2gh
∴ υ = \(\sqrt{(4)^2+2(9.8)(0.46)}\)
= 5 m/s

પ્રશ્ન 104.
એક કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરીને 20 sમાં 144 km/h ની ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે, તો કા૨ે કાપેલું અંતર ………………… .
A. 1440 cm
B. 2980 cm
C. 20 m
D. 400 m
ઉત્તર:
D. 400 m
Hint : પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0
અંતિમ વેગ υ = 144 km/h = 40m/s
t = 20s
υ = υ₀ + at
∴ 40 = 0 + a(20) ∴ a = 2 m/s²
હવે, x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
= 0 + \(\frac{1}{2}\) (2) (20)²
= 400 m

પ્રશ્ન 105.
પદાર્થનું સ્થાન સમય સાથે x = at² – bt³ અનુસાર બદલાય છે. પદાર્થનો પ્રવેગ કયા સમયે શૂન્ય થશે? (જ્યાં, a અને b અચળાંકો છે.)
A. \(\frac{2 a}{3 b}\)
B. \(\frac{a}{b}\)
C. \(\frac{a}{3 b}\)
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
C. \(\frac{a}{3 b}\)
Hint : x = at² – bt³
પદાર્થનો વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\) (at² – bt³)
= 2at – 3bt²
પદાર્થનો પ્રવેગ a’ = \(\frac{d υ}{d t}=\frac{d}{d t}\) (2at – 3bt²)
= 2a – 6 bt
પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે. આથી a’ = 0.
0 = 2a – 6bt
∴ t = \(\frac{2 a}{6 b}=\frac{a}{3 b}\)

પ્રશ્ન 106.
એક રબર બૉલને જમીનથી 5 mm ઊંચાઈએથી મુક્ત કરતાં તે જમીનને અથડાઈને 1.8m જેટલો ઊછળે છે. ઊછળ્યા બાદ બૉલે કેટલા ગણો વેગ ગુમાવ્યો હશે?
A. \(\frac{3}{5}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{16}{25}\)
D. \(\frac{9}{25}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{3}{5}\)
Hint : h ઊંચાઈએ સ્થિતિ-ઊર્જા
= જમીન પર બૉલની ગતિ-ઊર્જા
∴ mgh = \(\frac{1}{2}\) mυ₁²
∴ υ₁² = 2gh = 2 (10) (5) = 100
∴ υ₁ = 10m/s
હવે,
h’ = 1.8 m ઊંચાઈએ બૉલની સ્થિતિ-ઊર્જા = ગતિ-ઊર્જા
∴ mgh’ = \(\frac{1}{2}\) mυ₂²
∴ υ₂ = \(\sqrt{2 g h^{\prime}}=\sqrt{2 \times 10 \times 1.8}\) = 6m/s
બૉલે ગુમાવેલો વેગ = \(\frac{v_2}{v_1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

પ્રશ્ન 107.
40 km/hની ઝડપે જતી કારને બ્રેક લગાવ્યા બાદ તે ઓછામાં ઓછું 2 m અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે. જો તે જ કાર 80 km/hની ઝડપે ગતિ કરતી હોય, તો તેને માટે લઘુતમ Stopping distance કેટલું હશે?
A. 4m
B. 6 m
C. 8m
D. 2 m
ઉત્તર :
C. 8 m
Hint : પ્રથમ કિસ્સામાં Stopping distance,
x_1d = \(\frac{υ_1^2}{2 a}\)
બીજા કિસ્સામાં Stopping distance,
x_2d = \(\frac{υ_2^2}{2 a}\)
∴ \(\frac{x_{2 \mathrm{~d}}}{x_{1 \mathrm{~d}}}=\frac{υ_2^2}{υ_1^2}=\frac{(80)^2}{(40)^2}\) = 4
∴ x_2d = x_1d × 4 = 2 × 4 = 8m

પ્રશ્ન 108.
કણની ગતિનું સૂત્ર x = (3t³ + 7t² + 14t + 8) m છે. t = 1s સમયે કણના પ્રવેગનું મૂલ્ય ………………. હશે.
A. 10 m/s²
C. 23 m/s²
B. 32 m/s²
D. 16m/s²
ઉત્તર:
B. 32 m/s²
Hint : x = 3t³ + 7t² + 14t + 8
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 9t² + 14t + 14
∴ a = \(\frac{d υ}{d t}\) = 18t + 14
હવે, t = 1s મૂકતાં,
a = 18 + 14 = 32 m/s²

પ્રશ્ન 109.
એક દડાને ઊદિશામાં ઉછાળતાં, તેની મહત્તમ ઊંચાઈના અડધા અંતરે તેનો વેગ 10m/s થાય છે. દડાએ કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરી હશે? (g = 10m/s²)
A. 8 m
B. 20 m
C. 10 m
D. 16 m
ઉત્તર:
C. 10 m
Hint : ધારો કે, દડાનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ અને મહત્તમ ઊંચાઈ h છે.
પ્રથમ અડધું અંતર કાપે ત્યારે
υ² – υ₀² = 2ax પરથી,
(10)² – υ₀² = -2g (\(\frac{h}{2}\) ) ……….. (1)
મહત્તમ ઊંચાઈ h માટે,
(0)² – υ₀² = – 2gh ………….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
10² = \(\frac{2 g h}{2}\) ….. h = \(\frac{100 \times 2}{2 \times 10}\) = 10m

પ્રશ્ન 110.
એક દડાને પ્રારંભિક વેગ uથી ઊદિશામાં ઉછાળવામાં આવે છે. તેણે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈની છેલ્લી t સેકન્ડમાં કેટલું અંતર કાપ્યું હશે?
A. ut
B. \(\frac{1}{2}\) gt²
C. ut – \(\frac{1}{2}\) gt²
D. (u + gt)t
ઉત્તર:
B. \(\frac{1}{2}\) gt²
Hint: ઊર્ધ્વદિશામાં છેલ્લી t સેકન્ડમાંદડાએ કાપેલું અંતર = અધોદિશામાં પ્રથમ t સેકન્ડમાં દડાએ કાપેલું અંતર
આથી અધોદિશામાં t સમયમાં દડાએ કાપેલું અંતર,
h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt² = \(\frac{1}{2}\) gt² (∵ υ₀ = 0)

પ્રશ્ન 111.
એક વ્યક્તિ 2sના નિયત સમયાંતરે એક પછી એક એમ દડાઓ સમાન ઝડપથી ઉછાળે છે. દડા ઉછાળવાની ઝડપ કેટલી હોવી જોઈએ જેથી બે કરતાં વધુ દડાઓ હવામાં રહે?
(g = 9.8ms^-2)
A. 19.6 m/s કરતાં વધુ
B. ઓછામાં ઓછો 9.8 m/s
C. 19.6 m/s કરતાં કોઈ પણ ઓછી ઝડપ
D. ફક્ત 19.6 m/s જેટલી ઝડપ
ઉત્તર:
A. 19.6 m/s કરતાં વધુ
Hint: ઊર્ધ્વદિશામાં ઉછાળેલો દડો મહત્તમ ઊંચાઈએથી પાછો મૂળ સ્થાને આવે તે માટે લાગતા સમયને Time of flight (T) કહે છે. આ સમયે દડાનું સ્થાનાંતર (h) શૂન્ય થાય છે.
આથી h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt²
∴ 0 = υ₀T – \(\frac{1}{2}\) gT² …. T = \(\frac{2 υ_0}{g}\)
દડાને ઉછાળવાનો સમયગાળો = 2s
ધારો કે, ઓછામાં ઓછા ત્રણ દડા (બે કરતાં વધુ) હવામાં રહે, તો પહેલો ઉછાળેલા દડાનો Time of flight 4s કરતાં વધુ હોવો જોઈએ.
T > 4s
∴ \(\frac{2 υ_0}{g}\) > 4s ⇒ υ₀ > \(\frac{4 \times 9.8}{2}\) = 19.6 m/s
અહીં, પહેલો દડો હાથમાં આવવાની તૈયારીમાં હશે, બીજો દડો મહત્તમ ઊંચાઈએ અને ત્રીજો દડો just હાથમાંથી છૂટ્યો હશે.

પ્રશ્ન 112.
એક કણનું સ્થાનાંતર સમય સાથે x = ae^{– αt}-at + be^{β t} સૂત્ર અનુસાર બદલાય છે; જ્યાં a, b, α અને β ધન અચળાંકો
છે. કણનો વેગ ………………….
A. βથી સ્વતંત્ર હશે.
B. શૂન્ય થશે, જ્યારે α = β.
C. સમય સાથે ઘટશે.
D. સમય સાથે વધશે.
ઉત્તર:
D. સમય સાથે વધશે.
Hint : x = ae^{– αt}-at + be^{β t}
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\)= – a αe^{– αt}-at + b βe^{β t}
∴ પ્રવેગ a = – a α(-α)e^-αt +bβ (β)e^{β t}
= aα²e^{– αt} + b β²e^{β t}
પ્રવેગ ધન હોવાથી કણનો વેગ સમય સાથે વધતો જશે.

પ્રશ્ન 113.
એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ઊછાળતા, મહત્તમ ઊંચાઈના \(\frac{1}{4}\) અંતરે તેનો વેગ 10m/s થાય છે. દડાએ કેટલી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરી હશે? (g = 10 ms^-2)
A. 6.66 m
B. 5 m
C. 15 m
D. 20 m
ઉત્તર :
A. 6.66 m
Hint : d = \(\frac{h}{4}\) અંતરે υ₀ = 10 m/s છે અને h અંતરે તેનો વેગ υ = 0 થશે.
આથી υ² – υ₀ = 2ax પરથી,
(0)² – (10)² = 2 (- 10) (h – \(\frac{h}{4}\))
∴ h = \(\frac{100}{20} \times \frac{4}{3}\) = 6.66 m

પ્રશ્ન 114.
એક કણ સુરેખ પથ OX પ૨ ગતિ કરે છે. t સમયે તે કણનું સ્થાન x = 40 + 12t – t³ સૂત્ર દ્વારા અપાય છે. જ્યાં, x મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે. આ કણ સ્થિર થશે તે પહેલાં કેટલું અંતર કાપશે?
A. 16 m
B. 24 m
C. 40 m
D. 56 m
ઉત્તર:
A. 16 m
Hint : x = 40 + 12t – t³
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 12 – 3t²
જ્યારે કણ સ્થિર થાય ત્યારે υ = 0
∴ 0 = 12 – 3t²
∴ t = 2 s
હવે, t = 0 સમયે સ્થાન
x (0) = 40 + 12 (0) – (0)³ = 40 m
t = 2 s સમયે સ્થાન
x (2) = 40 + 12 (2) – (2)³ = 56 m
∴ x (2) – x (0) = 56 – 40 = 16 m

પ્રશ્ન 115.
એક કાર 100 m ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે. એક ભ્રમણ પૂરું કરવા માટે તે 62.8 sનો સમય લે છે. એક ભ્રમણ બાદ કારનો સરેરાશ વેગ અને સરેરાશ ઝડપ અનુક્રમે …………….. .
A. 10m/s, 0
B. 0, 0
C. 0, 10m/s
D. 10m/s, 10m/s
ઉત્તર:
C. 0, 10m/s
Hint : એક ભ્રમણ દરમિયાન,
સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{2 \pi r}{t}=\frac{2 \times 3.14 \times 100}{62.8}\) = 10 m s^-1
અહીં એક ભ્રમણ દરમિયાન કારનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થવાથી તેનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 116.
બે પદાર્થો A (m = 1 kg) અને B (m = 3 kg)ને અનુક્રમે 16 m અને 25 mની ઊંચાઈએથી છોડવામાં આવે છે. આ પદાર્થોને જમીન પર પહોંચતાં લાગતા સમયનો ગુણોત્તર
A. \(\frac{4}{5}\)
B. \(\frac{5}{4}\)
C. \(\frac{12}{5}\)
D. \(\frac{5}{12}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{4}{5}\)
Hint : h ઊંચાઈ પરથી પદાર્થને જમીન પર પહોંચતાં લાગતો સમય,
t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\) (h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt² પરથી)
∴ \(\frac{t_1}{t_2}=\frac{\sqrt{2 h_{\mathrm{A}} / g}}{\sqrt{2 h_{\mathrm{B}} / g}}=\sqrt{\frac{h_{\mathrm{A}}}{h_{\mathrm{B}}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)

પ્રશ્ન 117.
X-અક્ષ પર ગતિ કરતા કણનું સ્થાન x = 9t² – t³ અનુસાર બદલાય છે. જ્યાં, x મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે. જ્યારે કણ ધન X-દિશામાં મહત્તમ ગતિ પ્રાપ્ત કરે ત્યારે કણ કયા સ્થાને હશે?
A. 54 m
B. 81 m
C. 24 m
D. 32 m
ઉત્તર:
A. 54 m
Hint : x = 9t² – t³
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 18t – 3t²
મહત્તમ ઝડપ આગળ \(\frac{d υ}{d t}\) = 0
∴ \(\frac{d υ}{d t}\) = 18 – 6t ⇒ 0 = 18 – 6t
∴ t = 3 s
∴ x_m = 9 (3)² – (3)³ = 81 – 27 = 54m

પ્રશ્ન 118.
એક કાર X સ્થાનથી Y સ્થાન સુધી અચળ ઝડપ υ₁ અને પાછી X સ્થાને અચળ ઝડપ υ₂થી આવે છે. તેની આ મુસાફરી
દરમિયાનની સરેરાશ ઝડપ ……………… .
A. \(\bar{υ}=\frac{υ_1+υ_2}{2}\)
B. \(\bar{υ}=\sqrt{υ_1 υ_2}\)
C. \(\frac{2}{\bar{υ}}=\frac{1}{υ_1}+\frac{1}{υ_2}\)
D. \(\frac{1}{\bar{υ}}=\frac{1}{υ_1}+\frac{1}{υ_2}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{2}{\bar{υ}}=\frac{1}{υ_1}+\frac{1}{υ_2}\)

પ્રશ્ન 119.
એક કણ X-દિશામાં f પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. આ પ્રવેગ સમય સાથે f = f₀ (1 – \(\frac{t}{T}\)) સૂત્ર અનુસાર બદલાય છે. જ્યાં, f₀ અને T અચળાંકો છે. t = 0 સમયે ણનો વેગ શૂન્ય છે. t = 0 અને કોઈ એક ક્ષણના સમયગાળા દરમિયાન જ્યારે f = 0 હોય ત્યારે કણનો વેગ υ_x ………….. હશે.
A. \(\frac{1}{2}\) f₀t²
B. f₀T²
C. \(\frac{1}{2}\) f₀T
D. f₀T
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{2}\) f₀T
Hint :

પ્રશ્ન 120.
અચળ બળની અસર હેઠળ એક કણ ગતિની શરૂઆત કરે છે. તેણે પ્રથમ 10sમાં કાપેલું અંતર s₁ અને પ્રથમ 20 sમાં કાપેલું અંતર s₂ હોય, તો ……………. .
A. s₂ = 2s₁
B. s₂ = 3s₁
C. s₂ = 4s₁
D. s₂ = s₁
GT2:
C. s₂ = 4s₁
Hint : s ∝ t²
∴ \(\frac{s_1}{s_2}=\frac{t_1^2}{t_2^2}=\left(\frac{10}{20}\right)^2=\frac{1}{4}\)
∴ s₂ = 4s₁

પ્રશ્ન 121.
એક કણ સુરેખ પથ પર અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. તે t સેકન્ડમાં 135 m અંતર કાપે છે. આ દરમિયાન તેનો વેગ 10 m s^-1 થી 20 m s^-1 જેટલો બદલાય છે, તો t નું મૂલ્ય ………………… .
A. 12 s
B. 9 s
C. 10 s
D. 1.8 s
6T12:
B. 9 s
Hint : υ² – υ₀² = 2ax
∴ a = \(\frac{υ^2-υ_0^2}{2 x}=\frac{(20)^2-(10)^2}{2 \times 135}=\frac{10}{9}\) ms^-2
હવે, υ = υ₀ + at પરથી
t = \(\frac{υ-υ_0}{a}=\frac{20-10}{\frac{10}{9}}\) = 9s

પ્રશ્ન 122.
પ્રારંભિક સ્થિર અવસ્થામાંથી કણ \(\frac{4}{3}\) ms^-2ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. કણે ત્રીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર ………………. .
A. \(\frac{10}{3}\) m
B. \(\frac{19}{3}\) m
C. 6m
D. 4m
ઉત્તર:
A. \(\frac{10}{3}\) m
Hint : nમી સેકન્ડમાં પદાર્થે કાપેલ અંતર,
x = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1)
υ₀ = 0, a = \(\frac{4}{3}\) ms^-2 અને n = 3 મૂકતાં,
x = 0 + (\(\frac{4}{3}\)) \(\frac{1}{2}\) (23) – 1) = \(\frac{4 \times 5}{6}=\frac{10}{3}\) m

પ્રશ્ન 123.
એક બસ સુરેખ પથ પર 10ms^-1ની ઝડપે ગતિ કરે છે. એક સ્કૂટરસવાર એ બસને 100 sમાં ઓવરટેક કરવા માગે છે. જો બસ સ્કૂટરથી 1 kmના અંતરે હોય, તો સ્કૂટરસવારે બસને ઓવરટેક કરવા કેટલી ઝડપે સ્કૂટર ચલાવવું જોઈએ?
A. 40 m s^-1
B. 25 m s^-1
C. 10 m s^-1
D. 20 m s^-1
ઉત્તર:
D. 20 m s^-1
Hint : ધારો કે, સ્કૂટરની ઝડપ υ_s છે.
સ્કૂટર અને બસ વચ્ચેનું અંતર = 1 km = 1000 m
બસની ઝડપ = 10 m s^-1
ઓવરટેક કરવા લાગતો સમય = 100 s
બસની સાપેક્ષે સ્કૂટરની ઝડપ = (υ_s – 10) m/s
∴ υ_s – 10 = \(\frac{1000 \mathrm{~m}}{100 \mathrm{~s}}\) (∵ )
∴ υ_s = 20 m s^-1

પ્રશ્ન 124.
ગતિમાન કણનું સ્થાનસૂત્ર x = (t + 5)^-1 છે. આ કણનો પ્રવેગ ……………. ને સમપ્રમાણ હશે.
A. \(\text { (વેગ) })^{\frac{3}{2}}\)
B. (અંતર)²
C. (અંતર)^-2
D. \(\text { (વેગ) })^{\frac{2}{3}}\)
ઉત્તર:
A. \(\text { (વેગ) })^{\frac{3}{2}}\)
Hint : x = (t + 5)^-1 …………. (1)
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\) – (t + 5)^-2 …………… (2)
∴ a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\)
= – (- 2) (t + 5)^-3
= 2 (t + 5)^-3 ……….. (3)
સમીકરણ (2) અને (3) પરથી,
પ્રવેગ a = \(-2 v^{\frac{3}{2}}\) ∴ a ∝ \(\text { (વેગ) })^{\frac{3}{2}}\)
સમીકરણ (1) અને (3) પરથી,
a = 2x³ :: a ∝ (અંતર)³
એટલે કે વિકલ્પ A સાચો છે.

પ્રશ્ન 125.
એક દડો t = 0 સમયે સ્થિર અવસ્થામાંથી ખૂબ ઊંચા પ્લૅટફૉર્મ પરથી પડે છે. t = 6s બાદ બીજા દડાને તે જ પ્લૅટફૉર્મ પરથી υ ઝડપથી ફેંકવામાં આવે છે. બંને દડા t = 18 sના સમયે એકબીજાને મળે છે, તો છનું મૂલ્ય કેટલું હશે? (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 75 m/s
B. 55 m/s
C. 40 m/s
D. 60 m/s
ઉત્તર :
A. 75 m/s
Hint : ધારો કે, બંને દડા t સમયે પ્લૅટફૉર્મથી h અંતરે મળે છે.
પ્રથમ દડા માટે,
υ₀ = 0, t = 18s, g = – 10 m/s²
∴ h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt²
= \(\frac{1}{2}\) (10) (18)² = 1620 m ……….. (1)
બીજા દડા માટે,
υ₀ = υ, t = 12 s, g = 10m/s²
∴ h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt²
= υ × 12 + \(\frac{1}{2}\) (10) (12)²
= 12υ + 720 ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
12υ + 720 = 1620
υ = \(\frac{1620-720}{12}\) = 75 m/s

પ્રશ્ન 126.
એક પથ્થર ગુરુત્વપ્રવેગની અસર હેઠળ મુક્તપતન કરે છે. તે h₁, h₂ અને h₃ અંતરો અનુક્રમે પહેલી પાંચ સેકન્ડ, પછીની પાંચ સેકન્ડ અને ત્યારબાદની પાંચ સેકન્ડમાં કાપે છે, તો h₁, h₂ અને h₃ વચ્ચેનો સંબંધ …..
A. h₁ = 2h₂ = 3h₃
B. h₁ = \(\frac{h_2}{3}=\frac{h_3}{5}\)
C. h₂ = 3h₁ અને h₃ = 3h₂
D. h₁ = h₂ = h₃
ઉત્તર:
B. h₁ = \(\frac{h_2}{3}=\frac{h_3}{5}\)
Hint : υ₀ = 0 અને g =10 m s^-2
પહેલી પાંચ સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર,
h₁ = \(\frac{1}{2}\) gt₁² = \(\frac{1}{2}\) × 10 × (5)² = 125 m …………. (1)
પછીની પાંચ સેકન્ડ એટલે કે કુલ 10 sમાં કાપેલ અંતર,
h₁ + h₂ = \(\frac{1}{2}\) gt₂²
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × (10)² = 500 m ………….. (2)
ત્યારબાદની પાંચ સેકન્ડ એટલે કે કુલ 15 sમાં કાપેલ અંતર,
h₁ + h₂ + h₃ = \(\frac{1}{2}\) gt₃²
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × (15)²
= 1125 m ………… (3)
સમીકરણ (1), (2) અને (3) પરથી,
h₁ = 125 m
h₂ = 375 m = 3h₁
h₃ = 625 m = 5h₁
∴ h₁ = \(\frac{h_2}{3}=\frac{h_3}{5}\)

પ્રશ્ન 127.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણનું સૂત્ર, x = 8 + 12 t – t³ છે. x મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે, જ્યારે કણનો વેગ શૂન્ય થશે ત્યારે તેનો પ્રતિપ્રવેગ …………………….. હશે.
A. 24 m s^-2
B.0
C. 6 m s^-2
D. 12 m s^-2
ઉત્તર:
D. 12 m s^-2
Hint : x = 8 + 12 t – t³
∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 12 – 3t²
જ્યારે υ = 0 હશે ત્યારે 0 = 12 – 3t² ⇒ t = 2 s
હવે a = \(\frac{d υ}{d t}\) = \(\frac{d}{d t}\) (12 – 3t²) = – 6t
t = 2 s સમયે પ્રવેગ а = – 6 (2) = – 12 m s^-2

પ્રશ્ન 128.
એક-પારિમાણિક ગતિ કરતા કણનો વેગ υ (x) = βx^{– 2n} અનુસાર બદલાય છે. જ્યાં β અને n અચળાંકો છે અને x એ સ્થાન છે. આ કણનો પ્રવેગ ……………… .
A. – 2nβ²x^{– 4n – 1}
B. -2β²x^{– 2n + 1}
C. – 2nβ²x^{– 4n + 1}
D. – 2nβ²x^{– 2n – 1}
ઉત્તર:
A. – 2nβ²x^{– 4n – 1}
Hint : υ = βx^{– 2n}
∴ \(\frac{d υ}{d x}\) = – 2nβx^{– 2n – 1}
∴ પ્રવેગ a = \(\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}=\frac{d v}{d x}\) · υ
∴ a = (- 2nβx^{– 2n – 1}) (βx^{– 2n})
= – 2nβ²x^{– 4n – 1}

પ્રશ્ન 129.
કણના વેગનું સૂત્ર υ = At + Bt² છે. જ્યાં A અને B અચળાંકો છે. કણે 1 s અને 2 sના સમયગાળામાં કાપેલું અંતર ………………. .
A. \(\frac{3}{2}\) A + 4B
B. 3A + 7B
C. \(\frac{3}{2}\) A + \(\frac{7}{3}\) B
D. \(\frac{A}{2}+\frac{B}{3}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{3}{2}\) A + \(\frac{7}{3}\) B
Hint :

પ્રશ્ન 130.
સુરેખ પથ પર P અને Q એમ બે કાર એક જ સમયે ગતિની શરૂઆત કરે છે. t સમયે તેમનાં સ્થાન અનુક્રમે x_P (t) = at + bt² અને x_Q(t) = ft – t સૂત્રથી દર્શાવાય છે. ક્યા સમયે આ બંને કારનો વેગ સમાન થશે?
A. \(\frac{a-f}{1+b}\)
B. \(\frac{a+f}{2(b-1)}\)
C. \(\frac{a+f}{2(1+b)}\)
D. \(\frac{f-a}{2(1+b)}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{f-a}{2(1+b)}\)
Hint : x_P (t) = at + bt²
∴ કાર pનો વેગ υ_P = \(\frac{d x_{\mathrm{P}}}{d t}\) = a + 2bt
x_Q (t) = ft – t²
∴ કાર Qનો વેગ υ_Q = \(\frac{d x_{\mathrm{Q}}}{d t}\) = f – 2t
હવે, υ_P = υ_Q છે.
∴ a + 2bt = f – 2t
∴ 2(b + 1) t = f – a
∴ t = \(\frac{f-a}{2(b+1)}\)

પ્રશ્ન 131.
એક પદાર્થ લાકડાના બ્લૉકમાં અંદર જઈને તેનો વેગ અડધો થાય ત્યાં સુધી તે બ્લૉકમાં cm જેટલું અંતર કાપે છે. જ્યારે આ પદાર્થ બ્લૉકમાં સ્થિર થાય ત્યાં સુધીમાં તે કેટલું અંતર કાપશે?
A. 1 cm
B. 2 cm
C. 3 cm
D. 4 cm
ઉત્તર:
A. 1 cm
Hint : પદાર્થ બ્લૉકમાં 3 cm જેટલું અંતર કાપે ત્યારે તેનો પ્રવેગ,

પ્રશ્ન 132.
બે સમાન કારની કોઈ એક ક્ષણે ઝડપ અનુક્રમે u અને 4u છે. હવે, બંને કારને સમાન પ્રતિપ્રવેગ આપતાં તે ક્ષણથી તેઓ અમુક અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે. બંને કા૨ે કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર ……………. .
A. 1 : 1
B. 1 : 4
C. 1 : 8
D. 1 : 16
ઉત્તર:
D. 1 : 16
Hint: ધારો કે, બંને કારનો પ્રતિપ્રવેગ વ છે. તેમના અંતિમ વેગ શૂન્ય છે.
આથી પ્રથમ કાર માટે,
(0)² – u² = – 2ax₁
∴ x₁ = \(\frac{u^2}{2 a}\)
બીજી કાર માટે,
(0)² – (4u)² = – 2ax₂
∴ x₁ = \(\frac{16 u^2}{2 a}\)
∴ \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{\frac{u^2}{2 a}}{\frac{16 u^2}{2 a}}\) = 1 : 16

પ્રશ્ન 133.
એક મકાનની અગાશી પરથી બે દડા A અને Bને સમાન ઝડપથી એવી રીતે ફેંકવામાં આવે છે, જેથી દડો A ઊર્ધ્વદિશામાં અને દડો B અધોદિશામાં ગતિ કરે. બંને દડા જમીન પર પહોંચે ત્યારે તેમના વેગ અનુક્રમે υ_A અને υ_B હોય, તો ……………….. .
A. υ_B > υ_A
B. υ_A = υ_B
C. υ_A > υ_B
D. તેમના વેગ તેમના દળ પર આધારિત હશે
ઉત્તર:
B. υ_A = υ_B
Hint: દડા Aને u જેટલી ઝડપથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકતાં તે મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કર્યા પછી જ્યારે પાછો મકાનની અગાશી આગળથી પસાર થશે ત્યારે તેનો વેગ u જેટલો
હશે. ત્યારબાદ તે જમીન ૫૨ પડશે ત્યારે તેનો વેગ,
υ_A² = u² + 2gy …………… (1)
દડા Bનો પ્રારંભિક વેગ પણ u છે અને તે અધોદિશામાં ગતિ કરીને જમીન પર પહોંચે ત્યારે તેનો વેગ,
υ_B² = u² + 2gy …………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, છઠ્ઠ

પ્રશ્ન 134.
50 km/hની ઝડપે ગતિ કરતી કાર બ્રેક લગાવ્યા બાદ 6m અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે. આ જ કાર જો 100 km/hની ઝડપે ગતિ કરે, તો તે માટે Stopping distance …………….. થશે.
A. 12 m
B. 18m
C. 24m
D. 6 m
ઉત્તર:
C. 24 m
Hint : પ્રથમ કિસ્સામાં Stopping distance,
x₁ = – \(\frac{u_1^2}{2 a}\)
બીજા કિસ્સામાં Stopping distance,
x₂ = – \(\frac{u_2^2}{2 a}\)
∴ \(\frac{x_2}{x_1}=\frac{u_2^2}{u_1^2}\)
∴ x₂ = (\(\frac{u_2}{u_1}\))² · x₁ = (\(\frac{100}{50}\))² × 6 = 24 m

પ્રશ્ન 135.
h મીટર ઊંચાઈના ટાવર પરથી એક દડાને મુક્ત કરવામાં આવે છે, તેને જમીન પર આવતા લાગતો સમય T સેકન્ડ છે, તો \(\frac{T}{3}\) સેકન્ડે દડાનું સ્થાન શું હશે?
A. જમીનથી \(\frac{h}{9}\) મીટર ઊંચાઈ પર
B. જમીનથી \(\frac{7 h}{9}\) મીટર ઊંચાઈ પર
C. જમીનથી \(\frac{8 h}{9}\) મીટર ઊંચાઈ પર
D. જમીનથી \(\frac{17 h}{9}\) ના મીટર ઊંચાઈ પર
ઉત્તર:
C. જમીનથી \(\frac{8 h}{9}\) મીટર ઊંચાઈ પર
Hint : મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે υ₀ = 0 હોવાથી,
h = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt² = + gT²
ધારો કે, તે \(\frac{T}{3}\) સેકન્ડમાં ટાવરની ઊંચાઈથી h’ અંતર કાપે છે.
આથી h’ = \(\frac{1}{2}\)g (\(\frac{T}{3}\))²
∴ \(\frac{h^{\prime}}{h}=\frac{\frac{1}{2} g\left(\frac{T}{3}\right)^2}{\frac{1}{2} g\left(T^2\right)}=\frac{1}{9}\)
∴ h’ = \(\frac{h}{9}\) = (ટોચ પરથી)
∴ જમીનથી દડાનું સ્થાન = h – \(\frac{h}{9}=\frac{8 h}{9}\)

પ્રશ્ન 136.
60 km/h ઝડપે ગતિ કરતું વાહન બ્રેક લગાવ્યા બાદ 20 m અંતર કાપે છે. આ વાહન બમણી ઝડપથી (એટલે કે 120 km/hથી) ગતિ કરતું હોય, તો વાહનનું Stopping distance ………………… થશે.
A. 20 m
B. 40 m
C. 60 m
D. 80 m
ઉત્તર:
D. 80 m
Hint : \(\frac{x_2}{x_1}=\frac{\frac{υ_{02}{ }^{2 a}}{2 a}}{\frac{υ_{01}{ }^2}{2 a}}=\frac{υ_{02}^2}{υ_{01}^2}\)
∴ x₂ = (\(\frac{120}{60}\))² × 20 = 80 m

પ્રશ્ન 137.
સમય અને અંતર વચ્ચેનો સંબંધ t = ax² + bx છે. a અને b અચળાંકો છે, તો પ્રવેગ ……………… .
A. – 2aυ³
B. 2aυ²
C. – 2aυ²
D. 2bυ³
ઉત્તર:
A. – 2aυ³
Hint : t = ax² + bx
t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
1 = 2ax \(\frac{d x}{d t}\) + b \(\frac{d x}{d t}\)
∴ 1 = 2axυ + bυ (∵ \(\frac{d x}{d t}\) = υ)
∴ υ = \(\frac{1}{2 a x+b}\) ………… (1)
હવે, પ્રવેગ = \(\frac{d v}{d t}=\frac{-2 a\left(\frac{d x}{d t}\right)}{(2 a x+b)^2}\) = – 2aυ × υ² [સમીકરણ (1) પરથી]
∴ પ્રવેગ = – 2aυ³

પ્રશ્ન 138.
એક કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે. તે પ્રથમ s અંતર f પ્રવેગથી કાપે છે. ત્યારબાદ t સમય સુધી અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે. ત્યારબાદ \(\frac{f}{2}\)ના પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરી સ્થિર થાય છે. જો કુલ અંતર 15s હોય, તો …………….. .
A. s = \(\frac{1}{2}\) ft²
B. s = \(\frac{1}{4}\) ft²
C. s = \(\frac{1}{72}\) ft²
D. s = \(\frac{1}{6}\) ft²
ઉત્તર:
C. s = \(\frac{1}{72}\) ft²
Hint : કાર પ્રથમ s અંતર f પ્રવેગથી કાપે છે.
υ₀ = 0, x₁ = s અને a = f
υ² – υ₀² = 2ax₁
∴ υ² = 2f s …………. (1)
ત્યારબાદ કાર t સમય સુધી અચળ વેગથી ગતિ કરી x₂ અંતર કાપે છે.
∴ x₂ = υt = \(\sqrt{2 f s}\) × t ………… (2)
અંતમાં કાર \(\frac{f}{2}\) પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરીને સ્થિર થાય છે.
υ₀ = \(\sqrt{2 f s}\) , υ = 0, , a = – \(\frac{f}{2}\)
υ² – υ₀² = 2ax₃
∴ 0 – (\(\sqrt{2 f s}\))² = 2(-\(\frac{f}{2}\))x₃
∴ x₃ = 2 s …………. (3)
કા૨ે કાપેલું કુલ અંતર,
x₁ + x₂ + x₃ = 15 s
s + x₂ + 2 s = 15 s
∴ x₂ = 12 s ………….. (4)
સમીકરણ (2) અને (4) સરખાવતાં,
12 s = \(\sqrt{2 f s}\) × t
∴ s = \(\frac{1}{72}\) ft²

પ્રશ્ન 139.
એક વ્યક્તિ પૅરૅશૂટ સાથે કૂદી પડ્યા પછી ઘર્ષણ રહિત અવસ્થામાં 50 m નીચે આવે છે. ત્યારબાદ પૅરૅશૂટ ખોલતાં તે 2m/s²ના પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરે છે અને વ્યક્તિ જમીન પર 3m/sના વેગથી પહોંચે છે, તો વ્યક્તિ જમીનથી કેટલી ઊંચાઈએથી કૂદી પડી હશે?
A. 293 m
B. 111 m
C. 91 m
D. 182 m
ઉત્તર:
A. 293 m
Hint : પ્રારંભમાં વ્યક્તિ 50m અંતર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ કાપે છે.
∴ υ₁² – υ₀² = 2ghમાં υ₀ = 0, h = 50 મૂકતાં,
υ₁² = 2 × 9.8 × 50 = 980 m²/s²
હવે, વ્યક્તિ પૅરૅશૂટ ખોલશે ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ υ₁ જેટલો હશે. હવે તે જમીન પર પડે ત્યારે તેનો વેગ υ = 3 m/s અને a = – 2 m/s² છે.
∴ υ² – υ₀² = 2ah પરથી,
υ² – υ₁² = 2ah₁
∴ (3)² – 980 = 2(-2)h₁
∴ h₁ = 242.75 m = 243 m
∴ કુલ ઊંચાઈ = 50 + 243 = 293 m

પ્રશ્ન 140.
એક કણ t = 0 સમયે x = 0 સ્થાન પર છે. તે ધન X-દિશામાં υ વેગથી ગતિ શરૂ કરે છે. તેનો વેગ υ = α√x અનુસાર બદલાય છે. આ કણનું સ્થાનાંતર x ∝ …………. .
A. t³
B. t²
C. t
D. \(t^{\frac{1}{2}}\)
ઉત્તર:
B. t²
D. \(t^{\frac{1}{2}}\)
Hint : υ = α√x
∴ \(\frac{d x}{d t}\) = α√x
∴ \(\int \frac{d x}{\sqrt{x}}=\int \alpha d t\)
∴ \(2 x^{\frac{1}{2}}\) = αt ∴ x = (\(\frac{\alpha}{2}\))²t²
∴ x ∝ t²

પ્રશ્ન 141.
એક કણનો વેગ υ = υ₀ + gt + ft² છે. જો કણ t = 0 સમયે x = 0 સ્થાને હોય, તો એકમ સમય (t = 1 s) બાદ તેનું સ્થાનાંતર ………………. હશે.
A. υ₀ + \(\frac{g}{2}\) + f
B. υ₀ + 2g + 3f
C. υ₀ + \(\frac{g}{2}\) + \(\frac{f}{3}\)
D. υ₀ + g + f
ઉત્તર:
C. υ₀ + \(\frac{g}{2}\) + \(\frac{f}{3}\)
Hint : υ = υ₀ + gt + ft²
∴ \(\frac{d x}{d t}\) = υ₀ + gt + ft² (υ = \(\frac{d x}{d t}\))
∴ ∫ dx = ∫ (υ₀ + gt + ft²) dt
∴ x = υ₀t + g \(\frac{t^2}{2}\) + f \(\frac{t^3}{2}\) + c
જ્યાં, c સંકલન અચળાંક છે. t = 0 સમયે x = 0 હોવાથી, c = 0 થશે.
∴ x = υ₀t + g \(\frac{t^2}{2}\) + f \(\frac{t^3}{2}\)
હવે, t = 1 s મૂકતાં,
x = υ₀(1) + g \(\frac{(1)^2}{2}\) + f \(\frac{(1)^3}{3}\)
= υ₀ + \(\frac{g}{2}\) + \(\frac{f}{3}\)

પ્રશ્ન 142.
એક પદાર્થ t =0 સમયે x = 0 સ્થાને સ્થિર છે. તે તેની ગતિની શરૂઆત અચળ પ્રવેગથી ધન X-દિશામાં કરે છે. આ જ ક્ષણે બીજો પદાર્થ અચળ વેગથી ધન X-દિશામાં ગતિ કરતો, x = 0 સ્થાનેથી પસાર થાય છે. t સમયબાદ પહેલા પદાર્થનું સ્થાન x₁(t) અને બીજા પદાર્થનું સ્થાન x₂(t) છે. નીચે દર્શાવેલ (x₁ – x₂) વિરુદ્ધ tનો કયો આલેખ આપેલ કિસ્સા માટે સત્ય છે?


ઉત્તર:

Hint : પહેલા પદાર્થ માટે x₁ = \(\frac{1}{2}\) at² (અચળ પ્રવેગ)
બીજા પદાર્થ માટે x₂ = υt (અચળવેગ)
∴ x₁ – x₂ = \(\frac{1}{2}\) at² – υt
∴ y = \(\frac{1}{2}\) at² – υt જે પરવલયનું સમીકરણ છે.
હવે, \(\frac{d y}{d t}\) = at – υ અને \(\frac{d^2 y}{d t^2}\) = a
અહીં, \(\frac{d^2 y}{d t^2}\) > 0 હોવાથી આલેખ t = \(\frac{v}{a}\) આગળ ન્યૂનતમ છે.
આથી આલેખ C આપેલ કિસ્સા માટે સત્ય છે.

પ્રશ્ન 143.
એક પદાર્થ 6.25 m/s ની ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે. તેનો પ્રતિપ્રવેગ \(\frac{d υ}{d t}\) = – 2.5 √υ સૂત્રથી અપાય છે. જ્યાં, υ તત્કાલીન ઝડપ છે. પદાર્થને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય
A. 8 s
B. 1 s
C. 2 s
D. 4 s
ઉત્તર:
C. 2 s
Hint :

∴ 2 × 2.5 = 2.5t
∴ t = 2 s

પ્રશ્ન 144.
H ઊંચાઈના ટાવર પરથી એક કણને u વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. કણને જમીન પર આવતા લાગતો સમય તેને મહત્તમ ઊંચાઈએ જતા લાગતા સમય કરતાં n ગણો છે, તો H, u અને n વચ્ચેનો સંબંધ ……………..
A. 2gH = n²u²
B. gH = (n – 2)²u²
C. 2gH = nu² (n – 2)
D. gH = (n – 2) u²
ઉત્તર:
C. 2gH = nu² (n – 2)
Hint : કણની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ માટે,
υ₀ = u, a = – g, મહત્તમ ઊંચાઈએ υ = 0
∴ υ = υ₀ + at ⇒ 0 = u – gt
∴ t = \(\frac{u}{g}\)
કણની અધોદિશાની ગતિ માટે,
υ₀ = u, a = – g, ચોખ્ખું સ્થાનાંતર d = – H
∴ કણને જમીન પર આવતા લાગતો સમય
t’ = nt = \(\frac{n u}{g}\) d = υ₀t’ + \(\frac{1}{2}\) gt’²
∴ – H = u(\(\frac{n u}{g}\)) – \(\frac{1}{2}\)g (\(\frac{n u}{g}\))²
∴ – 2gH = 2nu² – n²u²
∴ 2gH = n²u² – 2nu²
∴ 2gH = nu² (n – 2)

પ્રશ્ન 145.
એક રૉકેટ ગુરુત્વવિહીન અવકાશમાં + X-દિશામાં 2 m s^-2 અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. (જુઓ આકૃતિ) રૉકેટના ખંડની લંબાઈ 4m છે. ખંડની ડાબી બાજુની દીવાલથી એક દડાને રૉકેટની સાપેક્ષે 0.3 m s^-1ની ઝડપથી + X-દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. એ જ સમયે જમણી બાજુની દીવાલ પાસેથી બીજા બૉલને 0.2 m s^-1ની ઝડપથી -X-દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. બંને દડા એકબીજાને કયા સમયે (સેકન્ડમાં) અથડાશે?
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
D. 4 s

ઉત્તર:
B. 2 s
Hint : ડાબી બાજુની દીવાલથી દડા Aનું મહત્તમ સ્થાનાંતર,
υ² – υ₀² = 2ax પરથી,
x = \(\frac{v_0^2}{2 a}=\frac{(0.3)^2}{2 \times 2}=\frac{0.09}{4}\) = 0.0225 m
એટલે કે દડો A લગભગ ડાબી બાજુની દીવાલ પાસે જ રહે છે. આથી અથડામણ માટે દડા Bને લગભગ 4m અંતર કાપવું પડશે. આ માટે લાગતો સમય,
x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ – 4 = (- 0.2) t + \(\frac{1}{2}\) (- 2) t²
∴ t² + 0.2t – 4 = 0
∴ t = \(\frac{-0.2 \pm \sqrt{0.04+16}}{2}\) = 1.9 s ≈ 2 s

પ્રશ્ન 146.
એક પદાર્થને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. આ ગતિ માટે કયો υ – t આલેખ સાચો છે?

ઉત્તર:

Hint: પદાર્થને ઊદિશામાં ફેંકતાં મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ ઘટીને શૂન્ય થાય છે. ત્યારબાદ તે અધોદિશામાં ગતિ કરે છે અને તેનો વેગ ઋણ દિશામાં વધતો જાય છે. આ બંને કિસ્સામાં તેનો પ્રવેગ – g જેટલો અચળ હોય છે. આથી વિકલ્પ C યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 147.
અચળ ઋણ પ્રવેગ અને ધન વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કયો આલેખ સાચો છે?

ઉત્તર:

Hint : વિકલ્પ A અને Bના આલેખ ધન પ્રવેગ દર્શાવે છે. જ્યારે પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ અને ધન વેગથી ગતિ કરતો હોય ત્યારે કોઈ એક સમયે તેનો વેગ ઘટીને શૂન્ય થાય છે અને તે સ્થિર થાય છે. આ માટેનો આલેખ વિકલ્પ C દર્શાવે છે. વિકલ્પ Dમાં પદાર્થ સ્થિર થતો નથી.

પ્રશ્ન 148.
એક કાર બસની પાછળ 200 mના અંતરે સ્થિર ઊભી છે. બંને વાહનો એક જ સમયે અગ્રદિશામાં જુદા જુદા પ્રવેગોથી ગતિની શરૂઆત કરે છે. બસનો પ્રવેગ 2 m s^-2 અને કારનો પ્રવેગ 4m s^-2 છે. કેટલા સમયબાદ આ કાર બસ સુધી પહોંચી જશે?
A. \(\sqrt{110}\) s
B. \(\sqrt{120}\) s
C. 10√2 s
D. 15 s
ઉત્તર:
C. 10√2 s
Hint : ધારો કે, કાર t = 0 સમયે x_CO = 0 સ્થાને અને બસ x_BO = 200 m સ્થાને છે. υ_CO = υ_BO = 0.
a_C = 4 m s^-2, a_B = 2 m s^-2
t સમય બાદ,
કારનું સ્થાન x_C = x_CO + υ_COt + \(\frac{1}{2}\) a_Ct²
x_C = 0 + 0 + \(\frac{1}{2}\) (4) t² = 2t²
બસનું સ્થાન x_B = x_BO + υ_BOt + \(\frac{1}{2}\) a_Bt²
= 200 + 0 + \(\frac{1}{2}\) (2) t²
= 200 + t²
ધારો કે, કાર t સમયે બસને મળે છે.
∴ x_C = x_B
∴ 2t² = 200 + t²
∴ t² = 200 ∴ t = \(\sqrt{200}\) = 10 √2 s

પ્રશ્ન 149.
કોઈ એકસમાન પ્રકારની ગતિ માટેના આલેખો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે. આમાંથી કયો આલેખ ખોટો છે?

ઉત્તર:

Hint : ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટેના x – t અને υ – t આલેખો અનુક્રમે વિકલ્પ B અને Cમાં દર્શાવેલ છે. આ પ્રકારની ગતિ માટે વેગ-સ્થાનનો આલેખ વિકલ્પ Dમાં દર્શાવેલ છે. આમ, વિકલ્પ Aનો આલેખ આ પ્રકારની ગતિ માટે સુસંગત નથી.

પ્રશ્ન 150.
નીચે દર્શાવેલ આકૃતિમાં કાર અને સ્કૂટરની ગતિ માટે υ – t આલેખ દર્શાવેલ છે. (i) 15 sમાં કાર અને સ્કૂટરે કાપેલા અંતરનો તફાવત (ii) સ્કૂટરને જોડે થવા માટે કારને લાગતો સમય ક્રમશઃ ……………… .

A. 112.5m, 22.5 s
B. 337.5 m, 25 s
C. 112.5 m, 15s
D. 225.5 m, 20 s
ઉત્તર:
A. 112.5 m, 22.5 s
Hint :
(i) 15 sમાં કારે કાપેલું અંતર = Δ OACનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × OC × AC
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × 45
= 337.5 m
15 sમાં સ્કૂટરે કાપેલું અંતર
લંબચોરસ OEFCનું ક્ષેત્રફળ
= 15 × 30 = 450m
∴ સ્કૂટર અને કાર વચ્ચે અંતરનો તફાવત
= 450 – 337.5
= 112.5 m

(ii) 15 s બાદ કારનો વેગ υ_C = 45 m s^-1
15 s બાદ સ્કૂટરનો વેગ υ_S = 30 m s^-1
આથી 15 s બાદ સ્કૂટરની સાપેક્ષે કારનો વેગ
υ_CS = 45 – 30 = 15 ms^-1
હવે, 112.5 m અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય,

આમ, સ્કૂટર જોડે થવા કારને લાગતો સમય
= 15 s + 7.5 s = 22.5 s

પ્રશ્ન 151.
એક વ્યક્તિ 30 m અંતર ઉત્તર દિશામાં ત્યારબાદ 20 m અંતર પૂર્વ દિશામાં અને ત્યાંથી 30√2 m અંતર દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં કાપે છે. આ વ્યક્તિએ મૂળ સ્થાનેથી કેટલું સ્થાનાંતર કર્યું હશે?
A. ઉત્તર તરફ 10 m
B. દક્ષિણ તરફ 10m
C. પશ્ચિમ તરફ 10m
D. શૂન્ય
30 m
ઉત્તર:
C. પશ્ચિમ તરફ 10m
Hint : વ્યક્તિનો ગતિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર વ્યક્તિનું સ્થાનાંતર OC પશ્ચિમ દિશામાં છે.
OC = AD = x
ΔCDBમાં,
tan45° = \(\frac{C D}{B D}\)
1 = \(\frac{30}{20+x}\)
∴ x = 10 m પશ્ચિમ તરફ

પ્રશ્ન 152.
એક વ્યક્તિ સુરેખ પથ પર ઉત્તર દિશામાં 3 km, ત્યારબાદ પશ્ચિમ દિશામાં 2 km અને દક્ષિણ દિશામાં 5 km ચાલે છે. આ વ્યક્તિએ કરેલ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય ……………. .
A. 2√2 km
B. 3√2 km
C. 4√2 km
D. 10 km
ઉત્તર:
A. 2√2 km
Hint :

વ્યક્તિનો ગતિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે મળશે. વ્યક્તિ A બિંદુથી ગતિની શરૂઆત કરી બિંદુ E સુધી પહોંચે છે. આથી વ્યક્તિનું સ્થાનાંતર
= AE રેખાખંડનું મૂલ્ય
= \(\sqrt{D E^2+A D^2}\)
= \(\sqrt{(2)^2+(2)^2}\)
= √8 = 2√2 km

પ્રશ્ન 153.
એક પદાર્થ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 1 m ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર સમઘડી દિશામાં ગતિ કરે છે. તે બિંદુ Aથી ગતિ શરૂ કરે છે. તેનું છેલ્લું સ્થાન D પર છે, તો પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતરનાં મૂલ્યોનો ગુણોત્તર શોધો.

A. \(\frac{5 \pi}{6}\) : 1
B. \(\frac{5 \pi}{3}\) : 1
C. \(\frac{5 \pi}{2}\) : 1
D. 1 : \(\frac{5 \pi}{3}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{5 \pi}{3}\) : 1
Hint : પદાર્થની પથલંબાઈ = 2πr × \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{5 \pi r}{3}\)
પદાર્થનું સ્થાનાંતર = AD = r
(અંતર AD એ સમબાજુ ત્રિકોણની એક બાજુ હોવાથી તે અંતર r જેટલું થશે.)

પ્રશ્ન 154.
એક વિમાન ઉત્તર તરફ 400 m અંતર કાપે છે. ત્યારબાદ તે પૂર્વમાં 300 m અને પછી ઊદિશામાં 1200 m અંતર કાપે છે, તો તેના સ્થાનાંતરની ગણતરી કરો.

A. 1300 m
B. 1400 m
C. 1200 m
D. 1000 m
ઉત્તર:
A. 1300 m
Hint : આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. વિમાન બિંદુ
A – B – C – D માર્ગે ગતિ કરે છે.
વિમાનનું સ્થાનાંતર = AD
આકૃતિ પરથી,
AD = \(\sqrt{(A C)^2+(C D)^2}\)
= \(\sqrt{\left(A B^2+B C^2\right)+(C D)^2}\)
= \(\sqrt{(400)^2+(300)^2+(1200)^2}\)
= 100 × 13 = 1300 m

પ્રશ્ન 155.
1 m ત્રિજ્યાનું એક પૈડું સમક્ષિતિજ જમીન પર અડધું ભ્રમણ કરી સ્થિર થાય છે. પ્રારંભમાં પૈડાનું જે બિંદુ જમીનના સંપર્કમાં હતું, તેણે ભ્રમણ બાદ કેટલું સ્થાનાંતર કર્યું હશે?
A. 2π
B. √2 π
C. \(\sqrt{\pi^2+4}\)
D. π
ઉત્તર:
C. \(\sqrt{\pi^2+4}\)
Hint : અડધા ભ્રમણ બાદ પૈડાએ સમક્ષિતિજ દિશામાં કાપેલું અંતર = πR

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ Aનું સ્થાનાંતર,
AA’ = \(\sqrt{(\pi R)^2+(2 R)^2}\)
= R \(\sqrt{\pi^2+4}=\sqrt{\pi^2+4}\) (∵R = 1 m)

પ્રશ્ન 156.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર એક કીડી 1 m ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગ પર બિંદુ Pથી છુ પર જાય છે. આ માટે તે Q મિનિટનો સમય લે છે. આ સમયગાળામાં કીડીનો સરેરાશ વેગ કેટલો હશે?

A. \(\frac{\pi}{40}\) m s^-1
B. \(\frac{\pi}{60}\) m s^-1
C. \(\frac{3 \pi}{160}\) m s^-1
D. \(\frac{1}{60}\) m s^-1
ઉત્તર:
D. \(\frac{1}{60}\) ms^-1
Hint : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કીડીએ કરેલું સ્થાનાંતર એ બિંદુ P અને Q વચ્ચેનું રેખીય અંતર થશે.
અહીં, OQ = OP = 1m
તેમજ ∠QOP 60° હોવાથી ΔOPQ સમબાજુ ત્રિકોણ થશે.
આથી PG = 1m
સરેરાશ વેગ =
= \(\frac{P Q}{1 \mathrm{~min}}=\frac{1 \mathrm{~m}}{60 \mathrm{~s}}=\frac{1}{60}\)ms^-1

પ્રશ્ન 157.
એક કાર તેણે કાપવાના કુલ અંતરમાંથી \(\frac{2}{5}\) ભાગનું અંતર υ₁ ઝડપે અને \(\frac{3}{5}\) ભાગનું અંતર υ₂, ઝડપે કાપે છે. કારની સરેરાશ ઝડપ ……………… .
(A) \(\frac{1}{2} \sqrt{v_1 v_2}\)
(B) \(\frac{v_1+v_2}{2}\)
(C) \(\frac{2 v_1 v_2}{v_1+v_2}\)
(D) \(\frac{5 v_1 v_2}{3 v_1+2 v_2}\)
ઉત્તર:
(D) \(\frac{5 v_1 v_2}{3 v_1+2 v_2}\)
Hint : ધારો કે, કા૨ે કાપેલું કુલ અંતર x છે.

પ્રશ્ન 158.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતી કાર અડધું અંતર 3 m/sની ઝડપથી કાપે છે. બાકીનું અડધું અંતર બે સમાન સમયગાળાઓમાં અનુક્રમે 4.5 m/s અને 7.5 m/sની ઝડપથી કાપે છે, તો તેની સરેરાશ ઝડપ ……………… m/s હશે.
A. 4
B. 5
C. 5.5
D. 4.8
ઉત્તર:
A. 4
Hint : ધારો કે, કાર x અંતર કાપે છે.
પ્રથમ \(\frac{x}{2}\) અંતર કાપતાં લાગતો સમય t₁ = \(\frac{\frac{x}{2}}{3}=\frac{x}{6} s\)
હવે, બાકીના બંને સમયગાળાઓ સમાન હોવાથી આ સમય દરમિયાન સરેરાશ ઝડપ,
υ’ = \(\frac{υ_2+υ_3}{2}=\frac{4.5+7.5}{2}\) = 6 m/s
આથી \(\frac{x}{2}\) અંતર કાપતાં લાગતો સમય t₂ = \(\frac{\frac{x}{2}}{6}\) = \(\frac{x}{12}\)s

પ્રશ્ન 159.
36 km h^-1ની ઝડપે જતી એક ટ્રેન 100mનો પુલ પસાર કરવા માટે 14s લે છે, તો ટ્રેનની લંબાઈ કેટલી હશે?
A. 140 m
B. 40 m
C. 100 m
D. 360 m
ઉત્તર :
B. 40 m
Hint : υ = 36 km h^-1 10 ms^-1, t = 14 s
ધારો કે, ટ્રેનની લંબાઈ L છે. એટલે કે ટ્રેન 100 + L જેટલું અંતર કાપતાં 14sનો સમય લે છે.

∴ 10 = \(\frac{100+L}{14}\)
∴ 140 = 100 + L ∴ L = 40 m

પ્રશ્ન 160.
ગતિ કરતા એક પદાર્થનું સમય સાથેનું સ્થાનાંતર સમીકરણ y = t² – 4t + 4 છે. સ્થિર થવા માટે પદાર્થને કેટલો સમય લાગશે?
A. 3 s
B. 2 s
C. 1 s
D. 4 s
ઉત્તર:
B. 2 s
Hint : y = t² – 4t + 4
∴ વેગ υ = \(\frac{d y}{d t}\) = 2t – 4
પદાર્થ સ્થિર થાય ત્યારે υ = 0
∴ 0 = 2t – 4
∴ t = 2 s

પ્રશ્ન 161.
ગતિ કરતા એક પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમીકરણ y = sint છે. જ્યાં y મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે. t = 5 સેકન્ડે તેનો વેગ શોધો. તે ગતિની શરૂઆત સ્થિર સ્થિતિમાંથી કરે છે.
A. \(\frac{1}{2}\) m s^-1
B. \(\frac{1}{3.49}\)m s^-1
C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) m s^-1
D. \(\frac{1}{4}\) ms^-1
ઉત્તર:
\(\frac{1}{3.49}\)m s^-1
Hint : υ = \(\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}\) (sin t) = cos t
આપેલ સમીકરણમાં ω = 1 rad/s છે.
∴ υ = cos (5) = cos[latex]\frac{5 \times 180^{\circ}}{3.14}[/latex]
= cos (286.62°)
= cos (270° + 16.62°)
= sin (16.62°)
= 0.2863 = \(\frac{1}{3.49}\)m s^-1

પ્રશ્ન 162.
એક પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરી X-દિશામાં ગતિ કરે છે. તેની ગતિનું સમીકરણ x = (t – 4)² છે. જ્યારે તેનો વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર શોધો.
A. 0 m
B. 16 m
C. 3 m
D. 12 m
ઉત્તર:
A. 0 m
Hint : x = (t – 4)² ………. (1)
∴ વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 2 (t – 4) = 0
∴ t = 4 s
સમીકરણ (1)માં t = 4s મૂકતાં,
x = (4 – 4)² = 0

પ્રશ્ન 163.
એક કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરી અચળપ્રવેગી ગતિ કરી d અંતર કાપે છે. ત્યારબાદ અચળ ઝડપથી ગતિ કરી 2d અંતર કાપે છે. ત્યારબાદ અચળ પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરી 3d અંતર કાપી સ્થિર થાય છે. જો આ કણનો સમગ્ર ગતિપથ સુરેખ હોય, તો તેના સરેરાશ વેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર ………….. થાય.
A. \(\frac{6}{7}\)
B. \(\frac{4}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{2}{5}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{3}{5}\)
Hint : પ્રથમ કણ અચળપ્રવેગી ગતિ કરી d અંતર કાપે છે, ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ ધારો કે υ છે, જે મહત્તમ વેગ છે.
∴ સરેરાશ વેગ = \(\frac{0+υ}{2}=\frac{υ}{2}\)
તે માટે લાગતો સમય t₁ = \(\frac{d}{\frac{υ}{2}}=\frac{2 d}{υ}\) ………. (1)
હવે, કણ અચળ વેગથી ગતિ કરી 2d અંતર કાપે છે. તે માટે લાગતો સમય,
t₂ = \(\frac{2 d}{υ}\) ………… (2)
જ્યારે કણ અચળ પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરી 3d અંતર કાપે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ શૂન્ય હોવાથી,
t₃ = \(\frac{3 d}{\frac{0+υ}{2}}=\frac{6 d}{υ}\) ………. (3)
∴ કુલ સમય t = t₁ + t₂ + t₃
= \(\frac{2 d}{υ}+\frac{2 d}{υ}+\frac{6 d}{υ}=\frac{10 d}{υ}\)
∴ \(\bar{υ}=\frac{d+2 d+3 d}{\frac{10 d}{υ}}=\frac{6 υ}{10}\)
∴ \(\frac{\bar{v}}{v}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

પ્રશ્ન 164.
પદાર્થનું સ્થાન સમય સાથે x = at + bt² – ct³ અનુસાર બદલાય છે; જ્યાં a, b અને c ગતિના અચળાંકો છે. જ્યારે પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય હશે, ત્યારે તેનો વેગ ………………. હશે.
A. a + \(\frac{b^2}{c}\)
B. a + \(\frac{b^2}{2 c}\)
C. a + \(\frac{b^2}{3 c}\)
D. a + \(\frac{b^2}{4 c}\)
ઉત્તર:
C. a + \(\frac{b^2}{3 c}\)
Hint : x = at + bt² – ct³
∴ વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\) (at + bt² – ct³)
∴ υ = a + 2bt – 3ct² ……….. (1)
∴ પ્રવેગ a’ = \(\frac{d υ}{d t}=\frac{d}{d t}\) (a + 2bt – 3ct²)
∴ a’ = 2b – 6ct
પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય થાય તે માટેનો સમય,
0 = 2b – 6ct
∴ t = \(\frac{2 b}{6 c}=\frac{b}{3 c}\)
સમીકરણ (1)માં tનું મૂલ્ય મૂકતાં,
υ = a + 2b(\(\frac{b}{3 c}\)) – 3c(\(\frac{b}{3 c}\))²
= a + \(\frac{2 b^2}{3 c}-\frac{b^2}{3 c}\) = a + \(\frac{b^2}{3 c}\)

પ્રશ્ન 165.
નીચેનાંમાંથી કયું સમીકરણ ગતિ કરતી અચળ પ્રવેગવાળી વસ્તુને રજૂ કરે છે, જ્યાં પુ એ સ્થાનાંતર અને a, b, c અચળાંક છે.
A. y = at
B. y = at + bt²
C. y = at + bt² + ct³
D. y = at^-1 + bt
ઉત્તર:
B. y = at + bt²
Hint :
(i) y = at માટે \(\frac{d y}{d t}\) = a, \(\frac{d^2 y}{d t^2}\) = 0 (∵ a = અચળ છે.)

(ii) y = at + bt²,
υ = \(\frac{d y}{d t}\) = a + 2bt, પ્રવેગ \(\frac{d^2 y}{d t^2}\) = 2b

(iii) y = at + bt² + ct³,
υ = \(\frac{d y}{d t}\) = a + 2bt + 3ct²
પ્રવેગ \(\frac{d^2 y}{d t^2}\) = 2b + 6ct

(iv) y = at^-1 + bt માટે \(\frac{d^2 y}{d t^2}\) = 2at^-3
સમીકરણ (ii)માં પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ મળે છે. આથી તે અચળપ્રવેગી ગતિ રજૂ કરે છે.

પ્રશ્ન 166.
એક કણનું સ્થાનાંતર સમયના ઘનના સમપ્રમાણમાં છે, તો તેનો પ્રવેગ …………
A. સમય સાથે વધતો જાય છે.
B. સમય સાથે ઘટતો જાય છે.
C. સમય પર આધાર રાખતો નથી.
D. ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો છે.
ઉત્તર:
A. સમય સાથે વધતો જાય છે.
Hint : x ∝ t³
∴ x = kt³
∴ \(\frac{d x}{d t}\) = 3kt² ∴ \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = a = 6kt
એટલે કે પ્રવેગ સમય સાથે વધતો જાય છે.

પ્રશ્ન 167.
એક પદાર્થ અચળ પ્રવેગથી 20 s સુધી ગતિ કરે છે. તે પ્રથમ 10 sમાં x₁ અંતર અને પછીની 10 sમાં x₂ અંતર કાપે છે, તો ………………. .
A. x₁ = x₂
B. x₂ = 2x₁
C. x₂ = 3x₁
D. x₂ = 4x₁
ઉત્તર:
C. x₂ = 3x₁
Hint : x₁ = \(\frac{1}{2}\) at₁²
= \(\frac{1}{2}\) a(10)² = 50a ……. (1)
પ્રથમ 10 sના અંતે તેનો વેગ at₁ હશે.
(∵ υ = υ₀ + at પરથી, υ = 0 + at₁ = at₁ થાય.)
આથી બીજી 10s માટે,
x₂ = at₁ · t₂ + \(\frac{1}{2}\) at₂²
= a × 10 × 10 + \(\frac{1}{2}\) a ×(10)²
= 150 a
∴ \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{50 a}{150 a}=\frac{1}{3}\)
∴ x₂ = 3x₁

પ્રશ્ન 168.
સાઇક્લોટ્રૉનમાં એક પ્રોટોનની ગતિની દિશા 20 sમાં ઉત્તરથી બદલીને પૂર્વમાં થઈ જાય છે અને વેગનું મૂલ્ય 30 km s^-1થી બદલાઈને 40 km s^-1 થાય છે, તો આ સમયગાળામાં સરેરાશ પ્રવેગનું મૂલ્ય શોધો.
A. 2.5 km s^-1
B. 12.5 km s^-2
C. 22.5 km s^-2
D. 32.5 km s^-1
ઉત્તર:
A. 2.5 km s^-1
Hint :

પ્રશ્ન 169.
પ્રારંભિક સ્થિર અવસ્થામાંથી કણ પ્રવેગ aથી ગતિ કરે છે. પ્રવેગ સમય સાથે a = αt + β અનુસાર બદલાય છે, તો t સમયે કણનો વેગ …………… .
A. \(\frac{\alpha t^2}{2}\) + β
B. \(\frac{\alpha t^2}{2}\) + βt
C. αt² + \(\frac{1}{2}\) βt
D. \(\frac{\left(\alpha t^2+\beta\right)}{2}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{\alpha t^2}{2}\) + βt
Hint : a = αt + β
∴ \(\frac{d υ}{d t}\) = αt + β
∴ dυ = (αt + β)dt
t = 0 સમયે વેગ υ = 0 છે.
∴ \(\int_0^v d v=\int_0^t(\alpha t+\beta) d t\)
∴ υ = \(\frac{1}{2}\) αt² + β

પ્રશ્ન 170.
એક કણના વેગ માટેનું સૂત્ર υ = \((180-16 x)^{\frac{1}{2}}\) m s^-1 છે. તેનો પ્રવેગ ……………… હશે.
A. શૂન્ય
B. 8 m s^-2
C. – 8 m s^-2
D. 4 m s^-2
ઉત્તર:
C.-8 ms^-2
Hint :

[∵ સમીકરણ (1) પરથી]
= – 8 ms^-2

પ્રશ્ન 171.
એક પદાર્થ અચળ પ્રવેગ a સાથે સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરે છે. તેનો પ્રવેગ સમયના વિધેય તરીકે a = pt સૂત્ર વડે આપી શકાય છે, જ્યાં p અચળ છે, તો t = 0થી t = t₁ સુધીના સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થનું સ્થાનાંતર …………………… થશે.
A. \(\frac{1}{2}\) pt₁³
B. \(\frac{1}{3}\) pt₁²
C. \(\frac{1}{4}\) pt₁²
D. \(\frac{1}{6}\) pt₁³
ઉત્તર:
D. \(\frac{1}{6}\) pt₁³
Hint :

પ્રશ્ન 172.
સુરેખ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે સ્થાનાંતરનું સૂત્ર t = \(\sqrt{x^2-1}\) વડે અપાય છે. t સમયે તેના પ્રવેગનું સૂત્ર a …………….. .
A. \(\frac{1}{x^3}\)
B. \(\frac{t^2}{x^3}\)
C. \(\frac{1}{x}-\frac{t^2}{x^3}\)
D. \(\frac{t^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{1}{x^3}\)
Hint :

પ્રશ્ન 173.
એક કણ ઉગમબિંદુથી શરૂ કરી X-દિશામાં વેગ υ = 4t² – 2t ના સૂત્ર અનુસાર ગતિ કરે છે, જ્યાં t સેકન્ડમાં અને વેગ m s^-1 માં છે. તે ઉગમબિંદુથી \(\frac{1}{3}\)m દૂર હોય ત્યારે તેનો પ્રવેગ કેટલો થાય?
A. 10 m s^-2
B. 6 m s^-2
C. 22 m s^-2
D. 28 m s^-2
ઉત્તર:
B. 6 ms^-2
Hint : υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 4t² – 2t
∴ ∫ dx = ∫ (4t² – 2t) dt
x = \(\frac{4}{3}\) t³ – t²
\(\frac{1}{3}\) = \(\frac{4}{3}\) t³ – t² (∵ x = \(\frac{1}{3}\) m)
∴ 4t³ – 3t² – 1 = 0
∴ 4t³ – 4t² + t² – t + t – 1 = 0
∴ 4t²(t – 1) + t (t – 1) + (t – 1) = 0
∴ (t – 1) (4t² + t + 1) = 0
4t² + t + 1 = 0 મૂકતાં t ઋણ મળે છે, જે શક્ય નથી.
આથી t – 1 = 0 ∴ t = 1 s
હવે, υ = 4t² – 2t
∴ a = \(\frac{d υ}{d t}\) = 8t – 2, t = 1 s મૂકતાં,
a = 8 (1) – 2 = 6 ms^-2

પ્રશ્ન 174.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરતી વસ્તુનો પ્રવેગ અચળ છે. તેના માટે nમી સેકન્ડ દરમિયાન કાપેલું અંતર અને n સેકન્ડ બાદ કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર શોધો.
(A) \(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\)
(B) \(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}\)
(C) \(\frac{2}{n^2}-\frac{1}{n}\)
(D) \(\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\)
ઉત્તર:
(A) \(\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\)
Hint : વસ્તુનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0
પદાર્થે nમી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર,
s₁ = υ₀ + \(\frac{a}{2}\) (2n – 1)
∴ s₁ = \(\frac{a}{2}\)(2n – 1)
n સેકન્ડ બાદ વસ્તુએ કાપેલ અંતર,
s₂ = υ₀n + \(\frac{a}{2}\) an² = \(\frac{a}{2}\) an²
∴ \(\frac{s_1}{s_2}=\frac{\frac{a}{2}(2 n-1)}{\frac{1}{2} a n^2}=\frac{2 n-1}{n^2}=\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}\)

પ્રશ્ન 175.
એક કાર સુરેખ હાઇવે પર 126 km h^-1ની ઝડપથી ગતિ કરે છે. તે 200 m અંતર સુધીમાં સ્થિર કરવી છે, તો કેટલો પ્રતિપ્રવેગ જરૂરી છે અને સ્થિર થતા કેટલો સમય થાય?
A. 3.06 m s^-2, 11.4s
B. 3.5 m s^-2, 12.2 s
C. 4 m s^-2, 16s
D. 4.2 m s^-2, 15.4s
ઉત્તર:
A. 3.06 m s^-2, 11.4s
Hint : υ₀ = 126 km h^-1 = 35 m s^-1,
υ = 0, x = 200 m
હવે, υ² – υ₀² = 2ax
∴ (0)² – (35)² = 2a (200)
∴ a = – 3.06 m s^-2
∴ υ = υ₀ + atમાં υ = 0, υ₀ = 35 m s^-1,
a = – 3.06 m s^-2 મૂકતાં,
0 = 35 + (-3.06) t ∴ t = 11.4s

પ્રશ્ન 176.
મુક્તપતન કરતી એક વસ્તુની ગતિ, અવરોધક માધ્યમમાં \(\frac{d υ}{d t}\) = a – bυ સૂત્ર વડે રજૂ થાય છે, જ્યાં a તથા b અચળાંક છે, તો t સમયે પદાર્થનો વેગ …………. .
A. a(1 – b^2t)
B. \(\frac{1}{b}\) (a – e^-bt)
C. ab^-t
D. ab² (1 – t)
ઉત્તર:
B. \(\frac{1}{b}\) (a – e^-bt)
Hint : \(\frac{d υ}{d t}\) = a – bυ
∴ \(\int \frac{d v}{a-b v}=\int d t\)
∴ – \(\frac{1}{b}\) (ln (a – bυ) = t
∴ ln (a – bυ) = – bt
∴ a – bυ = e^-bt
∴ – bυ = – a + e^-bt
∴ υ = \(\frac{1}{b}\) (a – e^-bt)

પ્રશ્ન 177.
એક પદાર્થ 10મી, 11મી, 12મી અને 13મી સેકન્ડમાં અનુક્રમે 26, 28, 30 અને 32 m અંતર કાપે છે. આ પદાર્થ ગતિની શરૂઆત ……………… .
A. સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ વેગથી કરશે.
B. સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ પ્રવેગથી કરશે.
C. પ્રારંભિક વેગ સાથે અચળ પ્રવેગથી કરશે.
D. પ્રારંભિક વેગ સાથે અચળ વેગથી કરશે.
ઉત્તર:
C. પ્રારંભિક વેગ સાથે અચળ પ્રવેગથી કરશે.
Hint : અહીં, ક્રમિક સેકન્ડમાં કાપેલ અંતરનો તફાવત 2 m છે. આથી પ્રવેગ = 2 m / s²
હવે, nમી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર,
x_n = υ₀ + \(\frac{a}{2}\)(2n – 1)
∴ 26 = υ₀ + \(\frac{2}{2}\) (2 × 10 – 1) = υ₀ + 19
∴ υ₀ = 7 m/s
આથી પદાર્થ, પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 7 m/s અને અચળ પ્રવેગ a = 2 m/s² સાથે ગતિ કરતો હશે.

પ્રશ્ન 178.
એક ટ્રેન સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરી અચળ પ્રવેગ αથી t₁ સમયમાં x₁ અંતર કાપે છે. ત્યારબાદ અચળ પ્રતિપ્રવેગ Bથી t₂ સમયમાં x₂ અંતર કાપી સ્થિર થાય છે. નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.
A. \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{t_1}{t_2}\)
B. \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{t_1}{t_2}\)
C. \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{\alpha}{\beta}=\frac{t_2}{t_1}\)
D. \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{t_2}{t_1}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{\beta}{\alpha}=\frac{t_1}{t_2}\)
Hint : પ્રથમ સ્થિતિમાં પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0 અને
t₁ સમયે વેગ υ₁ લેતાં,
x₁ = 0 + \(\frac{1}{2}\) + αt₁²
∴ x₁ = \(\frac{1}{2}\) + αt₁² ……….. (1)
∴ વેગ υ = \(\frac{d x_1}{d t_1}\) = αt₁ ………… (2)
બીજી સ્થિતિમાં પ્રારંભિક વેગ υ₀ = υ અને t₂ સમયે υ = 0

પ્રશ્ન 179.
એક પદાર્થ નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરીને પ્રથમ 5 sમાં 40m અંતર કાપે છે અને પછીની 5 sમાં 65 m અંતર કાપે છે, તો તેનો પ્રારંભિક વેગ ……………. હશે.
A. 4 m/s
B. 2.5 m/s
C. 5.5m/s
D. 11 m/s
ઉત્તર:
C. 5.5 m/s
Hint : પ્રથમ કિસ્સામાં પદાર્થે કાપેલું અંતર,
x₁ = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at² …….. (1)
t સમય બાદ તેનો વેગ,
υ = υ₀ + at ………… (2)
બીજા કિસ્સામાં પ્રારંભિક વેગ υ₀ = υ થશે.
∴ x₂ = υ t + \(\frac{1}{2}\) at²
= (υ₀ + at ) t + \(\frac{1}{2}\) at² ……….. (3)
સમીકરણ (1) અને (3) પરથી,
x₂ – x₁ = υ₀t + at² + \(\frac{1}{2}\) at² – υ₀t – \(\frac{1}{2}\) at²
= at²
∴ a = \(\frac{x_2-x_1}{t^2}=\frac{65-40}{(5)^2}\) = 1m/s²
સમીકરણ (1) પરથી,
x₁ = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) at²
∴ 40 = 5υ₀ + \(\frac{1}{2}\)(1) (5)²
∴ υ₀ = 5.5m/s

પ્રશ્ન 180.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે x – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. OA, AB, BC અને CD સમયગાળા દરમિયાન કારનો પ્રવેગ ………………. .

ઉત્તર:
B. – 0 + 0.
Hint : OA વિસ્તારમાં આલેખ નીચેની તરફ અંતર્ગોળ છે. આથી આ વિસ્તારમાં પ્રવેગ ઋણ છે.

AB વિસ્તારમાં આલેખ સુરેખા છે. આથી આ વિસ્તારમાં પ્રવેગ શૂન્ય છે.
BC વિસ્તારમાં આલેખ ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ છે. આથી આ વિસ્તારમાં પ્રવેગ ધન છે.
CD વિસ્તારમાં આલેખ સુરેખા છે, જે દર્શાવે છે કે વેગ અચળ છે. આથી આ વિસ્તારમાં પ્રવેગ શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 181.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી એક કાર 4s સુધી પ્રવેગી ગતિ કરે છે. ત્યારબાદ તે અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. નીચે દર્શાવેલ કયો x – t આલેખ આ કારની ગતિ દર્શાવે છે?

ઉત્તર:

Hint : પ્રવેગી ગતિ માટે x – t આલેખ ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ હોય છે અને નિયમિત ગતિ માટે તે સમય-અક્ષ તરફ ઢળતી સુરેખા હોય છે. આથી વિકલ્પ D આપેલ કારની ગતિ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 182.
ગતિમાન પદાર્થ માટે બાજુની આકૃતિમાં x – t આલેખ દર્શાવ્યો છે. આ આલેખને અનુરૂપ υ – t આલેખ નીચે પૈકી કેવો હશે ?


ઉત્તર:

Hint : x – t આલેખનો ઢાળ વેગ દર્શાવે છે. x – t આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે શરૂઆતમાં ઢાળનું મૂલ્ય ધન છે અને તે ઢાળ સમય સાથે ઘટતો જાય છે. ૪ના મહત્તમ મૂલ્ય આગળ (peak આગળ) ઢાળ શૂન્ય થાય છે, વેગ શૂન્ય છે તેમ દર્શાવે છે. ત્યારબાદ ઢાળનું મૂલ્ય ઋણ મળે છે અને ઘટતું જાય છે. આ સ્થિતિને અનુરૂપ υ – t આલેખ A છે.

પ્રશ્ન 183.
ગતિમાન કણ માટેનો υ – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. કણને જ્યારે શૂન્ય પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ ના હોય તે સમયગાળામાં તેણે કેટલું અંતર કાપ્યું હશે?

A. 25 m
B. 30 m
C. 50 m
D. 60 m
ઉત્તર:
A. 25 m
Hint : કણનો AB અને DE વિસ્તારમાં પ્રવેગ શૂન્ય છે.
CD વિસ્તારમાં પ્રતિપ્રવેગ છે. કણને BC વિસ્તારમાં પ્રવેગ છે. આથી,
આ સમયગાળા દરમિયાન કાપેલું અંતર
\(\frac{1}{2}\) (30 – 20) (4 – 1) + ((30 – 20) × 1)
= 15 + 10
= 25 m

પ્રશ્ન 184.
એક કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે. કણ માટે પ્રવેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. કણની મહત્તમ ઝડપ કેટલી હશે?

A. 110m/s
B. 55 m/s
C. 550 m/s
D. 660 m/s
ઉત્તર:
B. 55 m/s
Hint : a – t આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ વેગનો ફેરફાર દર્શાવે છે. t = ૦ સમયે વેગ શૂન્ય છે. આથી t = 11 s માટે તેનો વેગ મહત્તમ થશે.
∴ υ_max = Δ OABનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × 11 × 10
= 55 m/s

પ્રશ્ન 185.
X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતા કણનું સ્થાનસૂત્ર, x = a – bt + ct² છે; જ્યાં a, b અને cધન અચળાંકો છે. આ કણ માટેનો υ – t આલેખ …………………. હશે.

ઉત્તર:

Hint : x = a – bt + ct²
વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = – b + 2tc = (2c)t + (-b)
આપેલ સમીકરણ સુરેખા દર્શાવે છે, જેનો ઢાળ 2c અને Y- અક્ષ પરનો આંતરછેદ -b છે. આથી વિકલ્પ C એ યોગ્ય υ – t આલેખ છે.

પ્રશ્ન 186.
એક પદાર્થ માટે પ્રવેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દર્શાવ્યો છે. તે જ પદાર્થ માટે આ આલેખને અનુરૂપ વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ કેવો હશે?


ઉત્તર:

Hint : a – t આલેખના પહેલા ભાગમાં પ્રવેગ અચળ છે, એટલે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે નિયમિત રીતે વધે છે. બીજા વિભાગમાં પ્રવેગ a = 0 છે, એટલે કે પદાર્થનો વેગ અચળ છે. ત્યારબાદના વિભાગમાં પ્રવેગ પાછો અચળ છે, એટલે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે નિયમિત રીતે વધે છે.

પ્રશ્ન 187.
આકૃતિમાં કોઈ એક ગતિમાન પદાર્થ માટે વેગ (υ) વિરુદ્ધ સ્થાન (x)નો આલેખ દર્શાવેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ કયો વિકલ્પ (આલેખ) આ પદાર્થ માટે પ્રવેગ (a) વિરુદ્ધ સ્થાન (x)નો આલેખ દર્શાવે છે?

ઉત્તર:

Hint : આપેલ υ – x આલેખનો ઢાળ m = – \(\frac{υ_0}{x_0}\) અને આંતરછેદ c =+υ થશે. આથી આલેખની સુરેખાનું સમીકરણ y = mx + c પરથી,
υ = – (\(\frac{υ_0}{x_0}\)) x + υ ₀ ……….. (1)
t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
પ્રવેગ a = \(\frac{d υ}{d t}\)
= – (\(\frac{υ_0}{x_0}\))\(\frac{d x}{d t}\)
(υ₀ અને х₀ અચળાંકો છે.)
∴ a = (-\(\frac{υ_0}{x_0}\))υ ………… (2)
સમીકરણ (1)માંથી υનું મૂલ્ય મૂકતાં,
a = (-\(\frac{υ_0}{x_0}\))(- \(\frac{υ_0}{x_0}\)x + υ₀) = (\(\frac{υ_0}{x_0}\))²x – \(\frac{v_0^2}{x_0}\) આ દર્શાવે છે કે a – xનો આલેખ સુરેખ છે. તેનો ઢાળ (\(\frac{υ_0}{x_0}\))² ધન છે અને આંતરછેદ (\(\frac{-v_0^2}{x_0}\))
ઋણ છે. આપેલા આલેખોમાં D આલેખનો ઢાળ ધન અને આંતરછેદ ૠણ છે.

પ્રશ્ન 188.
કોઈ એક પદાર્થ માટે વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. પદાર્થના OA અને AB સમયગાળામાં મળતા સરેરાશ પ્રવેગનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?

A. 1
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)
D. 3
ઉત્તર:
D. 3
Hint : OA સમયગાળામાં પ્રવેગ a₁ = OC રેખાનો ઢાળ
= tan 60°
= √3
AB સમયગાળામાં પ્રવેગ a2 = BC રેખાનો ઢાળ
= tan 30°
= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = 3

પ્રશ્ન 189.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે x – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ વિકલ્પોમાંથી કયો આલેખ આ ગતિમાન પદાર્થ માટે υ – t આલેખ દર્શાવે છે?


ઉત્તર:

Hint : આલેખમાં દર્શાવ્યા અનુસાર, પ્રથમ બે સેકન્ડમાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આથી પદાર્થનો વેગ t = 0થી t = 2s દરમિયાન ધન છે અને તે અચળ પણ છે.
હવે, t = 2 s થી t = 6s દરમિયાન પદાર્થનું સ્થાન બદલાતું નથી, એટલે કે તેનો વેગ શૂન્ય છે.
હવે, t = 6sથી t = 8s દરમિયાન પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે, એટલે કે આ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થ ઋણ અચળવેગથી ગતિ કરે છે.
આથી આપેલા વિકલ્પોમાં સાચો વિકલ્પ D છે.

પ્રશ્ન 190.
ગતિ કરતી વસ્તુ માટે υ – t નો આલેખ જુઓ. 5 s બાદ પદાર્થનો વેગ શોધો.

A. – 9 m/s
B. 6m/s
C. 10m/s
D. 15 m/s
ઉત્તર:
A. – 9 m/s
Hint : આલેખ પરથી, υ₀ = 6 m/s,
a = \(\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0-6}{2-0}\) = – 3 m s^-2
t સમયે પદાર્થનો વેગ,
υ = υ₀ + at = (6) + (- 3) (5) = – 9 m s^-1

પ્રશ્ન 191.
એક પદાર્થ t = 0 સમયે ગતિની શરૂઆત કરે છે અને નીચે દર્શાવેલ આલેખ પ્રમાણે સુરેખ પથ પર પ્રવેગી ગતિ કરે છે. 3s બાદ પદાર્થનો વેગ શોધો.

A. 2 m s^-1
B. 4m s^-1
C. 6 m s^-1
D. 8 m s^-1
-4
ઉત્તર:
B. 4 m s^-1
Hint : પ્રવેગ-સમયના આલેખથી ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ વેગના ફેરફારનું મૂલ્ય આપે છે.
t = 0થી t = 2 s માટે ક્ષેત્રફળ = (4) (2)
= 8 m/s
t = 2થી t = 3 s માટે ક્ષેત્રફળ = (− 4) (1)
t = -4m/s
∴ t = 3 s બાદ પદાર્થનો વેગ = 8 – 4 = 4 m/s

192.
અહીં આકૃતિમાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે υ – xનો આલેખ દર્શાવેલ છે, જેમાં પ્રવેગ a અને વેગ છ છે. આલેખ પરથી \(\frac{A}{B}\) ……………….. .

A. પ્રવેગ / વેગ
B. વેગ / પ્રવેગ
C. સ્થાનાંતર / પ્રવેગ
D. સ્થાનાંતર
ઉત્તર:
A. પ્રવેગ / વેગ
Hint : \(\frac{A}{B}\) = આલેખનો ઢાળ = \(\frac{\Delta v}{\Delta x}=\frac{\Delta v}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{\Delta x}=\frac{a}{v}\)

પ્રશ્ન 193.
એક પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાંથી મુક્તપતન કરે છે. તે પહેલી ત્રણ સેકન્ડમાં જેટલું અંતર કાપે છે, તેટલું જ અંતર છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપે છે. આ પદાર્થે પડવા માટે લીધેલો સમય ……………. છે.
A. 3 s
B. 5 s
C. 7 s
D. 9 s
ઉત્તર:
B. 5 s
Hint : પદાર્થે પહેલી ત્રણ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,
h = \(\frac{1}{2}\) gt² = \(\frac{1}{2}\) g (3)² = \(\frac{9 g}{2}\)
છેલ્લી (nમી) સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર,
h’ = υ₀ + \(\frac{g}{2}\) (2n – 1)
= \(\frac{g}{2}\) (2n – 1)
પણ h = h’ છે.
∴ \(\frac{g}{2}\) (2n – 1) = \(\frac{9 g}{2}\)
∴ n = 5 s

પ્રશ્ન 194.
ટાવરની ટોચ પરથી ઊર્ધ્વદિશામાં υ વેગથી ઉછાળેલા પથ્થરનો વેગ જમીન પર આવતા ૩ થાય છે, તો આ ટાવરની ઊંચાઈ ……………. .
A. \(\frac{3 υ^2}{g}\)
B. \(\frac{4 υ^2}{g}\)
C. \(\frac{6 υ^2}{g}\)
D. \(\frac{9 υ^2}{g}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{4 υ^2}{g}\)
Hint : ટાવરની ટોચ પરથી ઉછાળેલો પથ્થર ટાવરની ટોચ આગળથી પસાર થશે ત્યારે તેનો વેગ υ જ હશે.
આથી υ² – υ₀² = 2gh પરથી,
(3υ)² – (υ)² = 2gh
∴ h = \(\frac{9 υ^2-υ^2}{2 g}\)
= \(\frac{4 υ^2}{g}\)

પ્રશ્ન 195.
એક પથ્થરનો લીસો કાંકરો h ઊંડાઈના કૂવામાં નાખવામાં આવે છે અને t સમય બાદ તેનો ધબાકો સંભળાય છે. જો ધ્વનિનો વેગ c હોય, તો ………… .
A. t = \(\frac{g h^2}{c υ^2}\)
B. t = \(\frac{c+υ}{g}\)
C. t = \(\frac{c-υ}{g}\)
D. t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}+\frac{h}{c}\)
ઉત્તર:
D. t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}+\frac{h}{c}\)
Hint : d = υ₀t₁ + \(\frac{1}{2}\) at₁² પરથી,
h = \(\frac{1}{2}\) gt₁² (∵ υ₀ = 0)
આથી પથ્થરને કૂવાના તળિયે પહોંચતાં લાગતો સમય
t₁ = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
હવે, ધ્વનિ c વેગથી ગતિ કરી h ઊંચાઈએ પહોંચે છે. આ માટે લાગતો સમય t₂ = \(\frac{h}{c}\)
∴ કુલ સમય t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}+\frac{h}{c}\)

પ્રશ્ન 196.
એક દડાને h ઊંચાઈએથી જમીન પર મુક્તપતન કરવા દેવામાં આવે છે. તે જમીન સાથે અથડાય છે અને પાછો ઊર્ધ્વદિશામાં ઊછળીને \(\frac{h}{2}\) ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. હવાનો અવરોધ અવગણતાં આ ગતિ માટે υ વિરુદ્ધ ઊંચાઈ(h)નો કયો આલેખ યોગ્ય છે?

ઉત્તર:

Hint : મુક્તપતન માટે h ઊંચાઈએ υ₀ = 0 છે. gનું મૂલ્ય પણ ઋણ છે. આથી દડો જેમ જેમ નીચે ઊતરતો જાય તેમ તેમ તેનો ઋણ વેગ વધતો જાય છે. દડો h = 0 પાસેથી પાછો અમુક વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરે છે. અહીં તેનો વેગ ધન બને છે અને \(\frac{h}{2}\) ઊંચાઈએ તે શૂન્ય બને છે. અહીં υ² ∝ h હોવાથી આલેખ પરવલયાકાર મળશે. આમ, વિકલ્પ Aનો આલેખ યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 197.
અમુક ઊંચાઈ પરથી એક પદાર્થને મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે, તો ક્રમશઃ આવતા 1 mનાં અંતરો પાર કરવા તેને લાગતો સમય …….. .
A. સરખા હશે અને તેમનાં મૂલ્યો \(\sqrt{\frac{2}{g}}\) નાહશે.
B. 1, 2, 3, …ના વર્ગમૂળના ગુણોત્તરમાં હશે.
C. √1, (√2 – √1), (√3 – √2), …. ના ગુણોત્તરમાં હશે.
D. \(\frac{1}{\sqrt{1}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) … ના ગુણોત્તરમાં હશે.
ઉત્તર:
C. √1, (√2 – √1), (√3 – √2), …. ના ગુણોત્તરમાં હશે.
Hint : h મીટર કાપતાં લાગતો સમય,
t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
પ્રથમ 1 m માટે, t₁ = \(\sqrt{\frac{2(1)}{g}}=\sqrt{\frac{2}{g}}\)
પ્રથમ 2 m માટે, t₂ = \(\sqrt{\frac{2(2)}{g}}=\sqrt{\frac{4}{g}}\)
પ્રથમ 3 m માટે, t₃ = \(\sqrt{\frac{2(3)}{g}}=\sqrt{\frac{6}{g}}\)
આથી પ્રથમ 1m અંતર કાપતાં લાગતો સમય,
t₂ – t₁ = \(\sqrt{\frac{4}{g}}\) – \(\sqrt{\frac{2}{g}}\)

પ્રશ્ન 198.
પ્રારંભિક વેગ υ₀થી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકેલો પદાર્થ પાંચમી અને છઠ્ઠી સેકન્ડમાં સમાન અંતર કાપે છે, તો તેનો પ્રારંભિક વેગ ……………… . (g = 9.8 m s^-2)
A. 24.5 m/s
B. 49.0 m/s
C. 73.5 m/s
D. 98.0m/s
ઉત્તર:
B. 49.0m/s
Hint : પ્રશ્નમાં દર્શાવેલ પરિસ્થિતિ ત્યારે જ શક્ય બને જ્યારે 5 મી સેકન્ડ બાદ પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે, એટલે કે મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા લાગતો સમય = 5 s.
υ = υ₀ – gt અનુસાર,
0 = υ₀ – 9.8 × 5 (∵ મહત્તમ ઊંચાઈએ υ = 0)
∴ υ₀ – 9.8 × 5 = 49.0m/s

પ્રશ્ન 199.
બે પદાર્થોને ઊદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. તેમના પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર 2 : 3 છે. તેમણે પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈનો ગુણોત્તર અને જમીન પર આવવા માટે લાગતા સમયનો ગુણોત્તર અનુક્રમે …………… હશે.
A. 4 : 9, 2 : 3
B. 2 : 3, √2 : √3
C. √2 : √3, 4 : 9
D. √2 : √3, 2 : 3
ઉત્તર:
A. 4 : 9, 2 : 3
Hint :

પ્રશ્ન 200.
એક રૉકેટને 19.6m/s²ના પ્રવેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. હવે, 5s બાદ તેનું એન્જિન બંધ કરી દેવામાં આવે, તો જમીનથી રૉકેટે ધારણ કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ ……………… હશે.
A. 245 m
B. 490 m
C. 980 m
D. 735 m
ઉત્તર:
D. 735 m
Hint : રૉકેટ માટે પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0,
a = 19.6 ms^-2
t = 5 sસમયે રૉકેટનો વેગ,
υ = υ₀ + at = 0 + (19.6) (5) = 98 ms^-1
t = 5 s સમયે રૉકેટે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ,
h₁ = \(\frac{1}{2}\) at² = \(\frac{1}{2}\) (19.6) (5)² = 245 m
ધારો કે, એન્જિન બંધ કર્યા બાદ રૉકેટ ત્યાંથી h₂ મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. અહીં તેનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 98 m/s, અંતિમ વેગ υ = 0 અને પ્રતિપ્રવેગ a = 9.8 m s^-2 હશે.
υ² – υ₀² = – 2ah પરથી,
(0)² – (98)² = – 2 (9.8) h₂
∴ h₂ = 490 m
∴ કુલ ઊંચાઈ = h₁ + h₂
= 245 + 490 = 735 m

પ્રશ્ન 201.
જો ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકેલી વસ્તુ 5મી અને 6ઠ્ઠી સેકન્ડમાં 2 : 1 પ્રમાણે અંતરો કાપે છે, તો તેનો પ્રારંભિક વેગ …………. .
(g = 10 m s^-2)
A. 58.8 m s^-1
B. 49 m s^-1
C. 65 m s^-1
D. 19.6 m s^-1
ઉત્તર:
C. 65 m s^-1
Hint : ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે nમી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર,

પ્રશ્ન 202.
એક વ્યક્તિ ઍરોપ્લેનમાંથી કૂદી પડ્યા બાદ 10 s સમયે પૅરૅશૂટ ખોલે છે. ત્યારબાદ તે 2.5 m s^-2ના પરિણામી પ્રતિપ્રવેગ સાથે નીચે ઊતરે છે. જ્યારે તે ઍરોપ્લેનમાંથી કૂદી ત્યારે ઍરોપ્લેન 2495 m ઊંચાઈએ હોય, તો વ્યક્તિ જમીન પર આવશે ત્યારે તેનો વેગ કેટલો હશે?
(g = 10 m s^-2 લો.)
A. 2.5 m/s
B. 7.5 m/s
C. 5 m/s
D. 10m/s
ઉત્તર:
C. 5 m/s
Hint : 10s બાદ વ્યક્તિનો વેગ,
υ = υ₀ + gt
= 0 + (10) (10)
= 100 m s^-1
10 sમાં તેણે કાપેલું અંતર,
υ² = υ₀² 2gx પરથી,
x = \(\frac{v^2}{2 g}\) (∵ υ₀ = 0 છે.)
= \(\frac{(100)^2}{2 \times 10}\) 500 m
આથી 10 s બાદ તેની જમીનથી ઊંચાઈ
x₂ = 2495 – 500 = 1995 m
હવે, આ અંતર માટે,
υ₀ = 100 m/s, a = – 2.5 m s^-2
∴ અંતિમ વેગ υ² = υ₀² + 2ax₀ = (100)² – 2 × 2.5 × 1995
∴ υ = 5 m s^-1

પ્રશ્ન 203.
એક પદાર્થને ઊર્ધ્વદિશામાં 60 m/s ના વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. 8s બાદ તેની પથલંબાઈ શોધો. (g = 10 m/s²)
A. 200 m
B.160 m
C. 120 m
D.60 m
ઉત્તર:
A. 200 m
Hint : પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈ પર પહોંચતાં લાગતો સમય,
t_m = \(\frac{v_0}{g}=\frac{60}{10}\) = 6 s
t_m = 6 sમાં કાપેલ અંતર,
d₁ = \(\frac{v^2-v_0^2}{2 g}=\frac{0-(60)^2}{2(-10)}\) = 180 m
હવે બાકીની 2sમાં પદાર્થ અધોદિશામાં ગતિ કરે છે.
આ સમયમાં કાપેલ અંતર,
d₂ = υ₀t + \(\frac{1}{2}\) gt² = 0 + \(\frac{1}{2}\) (10) (2)² = 20 m
(મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ શૂન્ય છે.)
∴ કુલ અંતર = d₁ + d₂
= 180 m + 20 m = 200 m

પ્રશ્ન 204.
એક પથ્થરને ઊધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. તે જમીન પર T સમય બાદ પાછો ફરે છે, તો પથ્થરની સરેરાશ ઝડપ શોધો.
A. \(\frac{g T}{4}\)
B. \(\frac{g}{T}\)
C. \(\frac{g T}{2}\)
D. \(\frac{g}{2 T}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{g T}{4}\)
Hint : પથ્થરને મહત્તમ ઊંચાઈ H પ્રાપ્ત કરતાં \(\frac{T}{2}\) સમય લાગશે તેમજ H ઊંચાઈએ υ = 0 હશે.
∴ υ² – υ₀² = 2gH પરથી, H = \(\frac{v_0^2}{2 g}\)
આટલું જ અંતર તે અધોદિશામાં પણ કાપે છે.
∴ કુલ અંતર = 2H = \(\frac{v_0^2}{g}\)
હવે, υ = υ₀ – g(\(\frac{T}{2}\))માં υ = 0 મૂકતાં,
υ₀ = \(\frac{g T}{2}\)

પ્રશ્ન 205.
આકૃતિમાં કાર A અને કાર B માટે x – t આલેખ દર્શાવ્યો છે. કાર Aનો કાર Bની સાપેક્ષે વેગ ……………… હશે.

A. + 5 m s^-1
B. – 2.5 m s^-1
C. – 5 m s^-1
D. + 2.5 m s^-1
ઉત્તર:
B. – 2.5 m s^-1
Hint : કાર Aનો વેગ υ_A = OA રેખાનો ઢાળ
= \(\frac{15-0}{6-0}\) = 2.5 ms^-1
કાર Bનો વેગ υ_B = B રેખાનો ઢાળ
= \(\frac{15-0}{6-3}\) = 5 ms^-1
કાર Aનો કાર Bની સાપેક્ષે વેગ,
υ_AB = υ_A – υ_B = 2.5 – 5 = – 2.5 m s^-1

પ્રશ્ન 206.
ઉપરના પ્રશ્નના અનુસંધાનમાં t = 0 સમયે, કાર Aની સાપેક્ષે કાર B કયા સ્થાને હશે? (t = 0 સમયે કાર B નિયમિત ગતિથી શરૂઆત કરે છે.)
A. + 15 m
B. – 15 m
C. – 10 m
D. – 25 m
ઉત્તર :
B. – 15 m
Hint : અહીં, υ_A = 2.5 m s^-1 અને υ_B = 5 m s^-1
(જુઓ ઉપરના પ્રશ્નની Hint)
t સમયે કાર Bનું કાર Aની સાપેક્ષે સ્થાન,
x_B – x_B = (x_BO – x_AO) + (υ_B – υ_A) t
જ્યાં, (x_BO – x_AO) એ t = 0 સમયે કાર Bનું કાર Aની સાપેક્ષે સ્થાન છે.
∴ (x _BO – x_AO) = (x_B – x_A) – (υ_B – υ_A) t
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
t = 6 s સમયે x_B – x_A = 0 છે.
∴ x_BO – x_AO – (5 – 2.5) × 6 = – 15 m

બીજી રીત :
અહીં, કારBનો વેગ υ_B = 5 m s^-1 છે અને t = 3 s સમયે તેનું સ્થાન x = 0 છે.
હવે, υ_B = \(\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\left(x-x_0\right)}{(t-0)}\)
જ્યાં, x₀ એ t = 0 સમયે સ્થાન છે.
∴ 5 = \(\frac{0-x_0}{3-0}\) … x₀ = – 15 m

પ્રશ્ન 207.
એકબીજા તરફ ગતિ કરતા બે કણો વચ્ચેનું અંતર 6m/sના દરથી ઘટે છે. જો આ બે કણો એક જ દિશામાં ગતિ કરે, તો તેમની વચ્ચેનું અંતર 4 m/sના દરથી વધે છે. આ બે કણોનો વેગ ……………… હશે.
A. 5 m/s, 1m/s
B. 4m/s, 1m/s
C. 4m/s, 2m/s
D. 5 m/s, 2 m/s
ઉત્તર:
A. 5 m/s, 1m/s
Hint: બે ણ એકબીજા તરફ ગતિ કરે ત્યારે,
υ₁ + υ₂ = 6 ………. (1)
હવે, બંને કણ એક જ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે,
υ₁ – υ₂ = 4 ……….. (2)
બંને સમીકરણો ઉકેલતાં,
υ₁ = 5 m/s, υ₂ = 1 m/s

પ્રશ્ન 208.
બે વ્યક્તિ P અને Q ગતિમાન બેલ્ટ પર 54mના અંતરે ઊભી છે. P વ્યક્તિ Q વ્યક્તિ તરફ એક પથ્થર બેલ્ટની સાપેક્ષે 9 m s^-1ના વેગથી ગબડાવે છે. જો બેલ્ટ P થી Q તરફ 4m s^-1ના વેગથી ગતિ કરતો હોય, તો બહાર જમીન પર સ્થિર ઊભેલી વ્યક્તિની સાપેક્ષે પથ્થરનો વેગ કેટલો હશે?
A. 4m s^-1
B. 5 ms^-1
C. 9 m s^-1
D. 13 m s^-1
ઉત્તર :
D. 13 m s^-1
Hint: પથ્થર અને બેલ્ટ એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી સ્થિર વ્યક્તિની સાપેક્ષે પથ્થરનો વેગ
= 9 ms^-1 +4ms^-1
= 13 ms^-1

પ્રશ્ન 209.
ઉપરના પ્રશ્નના અનુસંધાનમાં પથ્થરને P વ્યક્તિથી Q વ્યક્તિ સુધી પહોંચતાં કેટલો સમય લાગશે?
A. \(\frac{54}{13}\)
B. 13.5 s
C. 10.8 s
D. 6 s
ઉત્તર:
D. 6 s
Hint: P, Q અને પથ્થર ત્રણેય ગતિમાન બેલ્ટ પર છે. બેલ્ટ પર પથ્થરની ઝડપ 9 m s^-1 છે.
આથી Pથી Q તરફ જતાં લાગતો સમય,

પ્રશ્ન 210.
ઉપરના પ્રશ્નના અનુસંધાનમાં જો Q વ્યક્તિ P વ્યક્તિ તરફ 9 m s^-1 વેગથી પથ્થર ગબડાવે, તો જમીન પર સ્થિર ઊભેલી વ્યક્તિને પથ્થરનો વેગ કેટલો જણાશે?
A. 4m s^-1
B. – 5 ms^-1
C. 9ms^-1
D. 13ms^-1
ઉત્તર:
B. – 5 ms^-1
Hint : જમીન પર સ્થિર ઊભેલી વ્યક્તિની સાપેક્ષે પથ્થરનો વેગ
= 4 ms^-1 – 9 m s^-1
= – 5 m s^-1