GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 8 વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 8 વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 8 વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો

GSEB Class 12 Physics વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
આકૃતિમાં દરેકની ત્રિજ્યા 12 cm હોય તેવી બે વર્તુળાકાર પ્લેટથી બનેલું એક કેપેસિટર દર્શાવેલ છે. બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર 5.0 mm છે. બાહ્ય ઉદ્ગમ (આકૃતિમાં દર્શાવલ નથી) વડે આ કેપેસિટરને (સંધારકને) વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે. તેને વિધુતભારિત કરતો પ્રવાહ 0.15 A જેટલો અચળ રહે છે.
(a) કેપેસિટન્સ અને બે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો દર ગણો.
(b) પ્લેટો વચ્ચે સ્થાનાંતર પ્રવાહ ગણો.
(c) શું કિર્ચીફનો પ્રથમ નિયમ (જંક્શન માટેનો નિયમ) સંધારકની દરેક પ્લેટ માટે સાચો છે ? સમજાવો.

ઉત્તર:
(a) સૂત્રાનુસાર સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,
C = $\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}$
= $\frac{\varepsilon_0\left(\pi \mathrm{R}^2\right)}{d}$
અહીં R= 12 cm =12 × 10^-2 m
d = 5 mm = 5 × 10^-3 m
= $\frac{\left(8.85 \times 10^{-12}\right)(3.14)(0.12)^2}{(0.005)}$
∴ C = 80.1 × 10^-12 F = 80.1 pF (પીકોફેરેડ)
– કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર,
C = $\frac{Q}{V}$
∴ Q = CV
∴ $\frac{d \mathrm{Q}}{d t}$ = C$\frac{d V}{d t}$
∴ I = C$\frac{d V}{d t}$
∴ $\frac{d \mathrm{~V}}{d t}=\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{C}}=\frac{0.15}{80 \times 10^{-12}}$ = 1.875 × 10⁹$\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{S}}$

(b) સ્થાનાંતર પ્રવાહ સૂત્રાનુસાર,

(c) હા, કૅપેસિટરની દરેક પ્લેટ માટે પણ કિર્ચીફનો પ્રથમ નિયમ સાચો જ છે. કારણ કે, જેટલો પ્રવાહ કૅપેસિટરની પ્લેટ તરફ “વહન પ્રવાહ i_C” સ્વરૂપે વહે છે તેટલો જ પ્રવાહ તે પ્લેટથી દૂર “સ્થાનાંતર પ્રવાહ i_d” સ્વરૂપે વહે છે.

પ્રશ્ન 2.
દરેકની ત્રિજ્યા R = 6.0 cm હોય તેવી વર્તુળાકાર પ્લેટનું બનેલું એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની સંધારકતા C = 100 pF છે. આ સંધારક 230 V ac ઉદ્ગમ સાથે સંકળાયેલ છે કે જેની (કોણીય) આવૃત્તિ 300 rad s^-1 છે.
(a) વહનપ્રવાહ (Conduction Current) નું rms મૂલ્ય કેટલું હશે ?
(b) શું વહનપ્રવાહ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ સમાન હશે ?
(c) પ્લેટોની વચ્ચે અક્ષથી 3.0 cm અંતરે આવેલા બિંદુ આગળ B નો કંપવિસ્તાર શોધો.

ઉત્તર:
(a) એ.સી. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ,
I_rms = $\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{|\mathrm{Z}|}$
I_rms = $\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{\mathrm{X}_{\mathrm{C}}}$ (∵ અત્રે માત્ર કૅપેસિટર હોવાથી |Z| = X_C)
∴ I_rms = $\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{\left(\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\right)}$ = V_rms × ωC [∵ X_C = $\frac{1}{\omega C}$]
∴ I_rms = (230) (300) (100 × 10^-12)
∴ I_rms = 6.9 × 10^-6A = 6.9 μA …………. (1)

(b) હા, પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ જ્યારે સમયની સાથે સતત આવર્તીય રીતે બદલાતો હોય ત્યારે i_c = i_d હોય જ છે. (અત્રે એ નોંધનીય છે કે વહનપ્રવાહ i_c બાહ્ય પરિપથમાં કૅપેસિટરની પ્લેટ સુધી જ વહે છે. જ્યારે સ્થાનાંતર પ્રવાહ i_d કૅપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં વહે છે.)

(c) અત્રે રકમમાં આપેલા બિંદુ P માટે કૅપેસિટરની પ્લેટોની અક્ષથી લંબઅંતર r = 3cm પરંતુ, કૅપેસિટરની પ્લેટની ત્રિજ્યા ક્ષેત્રફળ πr²
R = 6cm ⇒ $\frac{r}{\mathrm{R}}=\frac{3}{6}$ = 0.5 …………… (2)

• અત્રે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં પ્રવાહ ઘનતા બધે સમાન હોવાથી,
  $\frac{i_d}{\pi r^2}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{rms}}}{\pi \mathrm{R}^2}$
  ∴ i_d = I_rms($\frac{r}{\mathrm{R}}$)² ……………. (3)
• ઉપરોક્ત મૂલ્ય ૪ ત્રિજ્યાવાળી બિંદુ Pમાંથી પસાર થતી વર્તુળાકાર ઍમ્પિરિયન લૂપ વડે ઘેરાતો સ્થાનાંતર પ્રવાહ દર્શાવે છે. આ પ્રવાહને કારણે આ વર્તુળાકાર લૂપ પરના બધા જ બિંદુઓએ પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન છે. તેથી આ લૂપ માટે ઍમ્પિયર-મૅક્સવેલના સમીકરણ અનુસાર,
  $\int \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}$ = μ₀(i_c + i_d)
  ∴ ∫B dlcos0° = μ₀ (0 + i_d)
  (∵ $\overrightarrow{\mathrm{B}} \| \overrightarrow{d l}$ તથા પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં i_c = 0)
  ∴ B∫dl = μ₀ i_d (∵ B = અચળ)
  ∴ B(2πr) = μ₀ i_d
  ∴ B = $\frac{\mu_0 i_d}{2 \pi r}$ ……….. (4)
• ઉપરોક્ત મૂલ્ય એ પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્રનું rms મૂલ્ય હોવાથી,
  B_rms = $\frac{\mu_0 i_d}{2 \pi r}$
  ∴ B_rms = $\frac{\mu_0}{2 \pi r}$ × I_rms = ($\frac{r}{\mathrm{R}}$)² ……………. (5)
  (સમીકરણ (3) પરથી)
  ∴ B_rms = $\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 0.03}$ × 6.9 × 10^-6 × (0.5)²
  ∴ B_rms = 115 × 10^-13 T …………… (6)
  ∴ $\frac{\mathrm{B}_0}{\sqrt{2}}$ 115 × 10^-13 T
  (જ્યાં B₀ = આપેલા P બિંદુએ પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર)
  ∴ B₀ = √2 × 115 × 10^-13 T
  = 1.414 × 115 × 10^-13 T
  = 162.6 × 10^-13 T
  ∴ B₀ = 1.626 × 10^-11 T ≈ 1.63 × 10^-11 T
• બીજી રીત :
  વિભાગ (b) પરથી, i_d = i_c હોવાથી
  B = $\frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{r}{\mathrm{R}^2}$i_d = $\frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{r}{\mathrm{R}^2}$i_c
  તેથી B અને i_d સમાન કળામાં છે.
  ∴ B₀ = $\frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{r}{\mathrm{R}^2}$i₀ ……………… (1)
  જ્યાં B₀ અને i₀ એ અનુક્રમે દોલિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પ્રવાહના કંપવિસ્તાર છે.
  i₀ = √2 i_rms
  = 1.414 × 6.9 × 10^-6 [વિભાગ (a) પરથી]
  = 9.7566 × 10^-6 A
  ≈ 9.76 μA
  ∴ B₀ = $\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi}$ × $\frac{3 \times 10^{-2} \times 9.76 \times 10^{-6}}{\left(6 \times 10^{-2}\right)^2}$ [∵ r = 3 × 10^-2m અને R = 6 × 10^-2 m]
  = 1.6266 × 10^-11 T
  ∴ B₀ ≈ 1.63 × 10^-11 T
• નોંધ : વિદ્યાર્થીમિત્રો, જો પરીક્ષામાં P બિંદુએ માત્ર (પ્રેરિત) ચુંબકીય ક્ષેત્ર જ પૂછે, તો સમીકરણ (6) પ્રમાણે તેનું rms મૂલ્ય શોધવું જેનો જવાબ B_rms
  = 1.15 × 10^-11 T આવશે.

પ્રશ્ન 3.
10^-10 m તરંગલંબાઈ ધરાવતા X-કિરણો, 6800 Å તરંગલંબાઈ ધરાવતા રાતા પ્રકાશ અને 500 m તરંગલંબાઈ ધરાવતા રેડિયો તરંગો માટે કઈ ભૌતિકરાશિ સમાન છે ?
ઉત્તર:
આપેલા ત્રણેય (બધા) વિકિરણોની શૂન્યાવકાશમાં ઝડપ c = 3 × 10 m/s જેટલી સમાન છે.
નોંધ : અત્રે રકમમાં આપેલા વિકિરણો એકના એક માધ્યમમાં અથવા શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરે છે એવું આપવું પડે. જો આ વિકિરણો જુદા જુદા માધ્યમમાં પ્રસરે તો તેમની ઝડપ જુદી જુદી મળશે. એકના એક માધ્યમમાં પ્રસરતી વખતે તેમની સમાન ઝડપ v જેટલી હોય તો v < c

પ્રશ્ન 4.
એક સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ Z-દિશામાં શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરે છે. તેમાં વિધુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો માટે તમે શું કહી શકો ? જો તરંગની આવૃત્તિ 30 MHz હોય તો તેની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathrm{E}}$, + X દિશામાં હશે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathrm{B}}$, + Y દિશામાં હશે જેથી $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ × $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ની દિશા = î × ĵ ની દિશા = k̂ની દિશા = + Z દિશા = વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા.
• ઉપરોક્ત બંને કિસ્સાઓમાં $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ એવા XY સમતલમાં પરસ્પર લંબરૂપે રહીને દોલનો કરશે.
• પ્રસ્તુત તરંગ શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતું હોવાથી તેની ઝડપ c જેટલી હશે. હવે સૂત્રાનુસાર,
  c = vλ
  ∴ λ = $\frac{c}{v}=\frac{3 \times 10^8}{30 \times 10^6}$ = 10m

પ્રશ્ન 5.
એક રેડિયો 7.5 MHz થી 12 MHz ની વચ્ચે કોઈ રેડિયો સ્ટેશનને Tune (સુમેળ) કરી શકે તરંગલંબાઈનો ગાળો કેટલો હશે ? (ઑગસ્ટ – 2020)
ઉત્તર:

• c = v_max λ_min ⇒ λ_min = $\frac{c}{v_{\max }}$
  ∴ λ_min = $\frac{3 \times 10^8}{12 \times 10^6}$ = 25 m
• c = v_min λ_max ⇒ λ_max = $\frac{c}{v_{\min }}$
  ∴ λ_max = $\frac{3 \times 10^8}{7.5 \times 10^6}$ = 40m
• તરંગલંબાઈનો માગેલો ગાળો (વિસ્તાર),
  = λ_min થી λ_max = 25 m – 40 m

પ્રશ્ન 6.
એક વિધુતભાર તેના સરેરાશ સમતોલન સ્થાનની આસપાસ 10⁹ Hz ની આવૃત્તિથી દોલન કરે છે. આ દોલક દ્વારા ઉત્પન્ન વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
ઉદ્ભવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ તેમને ઉત્પન્ન કરનારા ઉદ્ગમની આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે. તેથી પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ 10⁹ Hz બનશે.

પ્રશ્ન 7.
શૂન્યાવકાશમાં રહેલ હાર્મોનિક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો ભાગ હોય તેવા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર B₀ = 510 nT છે. તરંગનો ભાગ હોય તેવા વિધુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે ?
ઉત્તર:
શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણ દરમિયાન વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તારો અનુક્રમે E₀ અને B₀ હોય તો સૂત્રાનુસાર,
c = $\frac{E_0}{B_0}$
E₀ = B₀c
= (510 × 10^-9) (3 × 10⁸)
= 1530 × 10^-1
∴ E₀ = 1.53 × 10² Vm^-1 (અથવા NC^-1) = 153 NC^-1

પ્રશ્ન 8.
ધારો કે એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના વિધુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર E₀ = 120 N/C અને તેની આવૃત્તિ 50.0 MHz છે.
(a) B₀, ω, k અને λ શોધો.
(b) $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ માટેના સૂત્રો શોધો.
ઉત્તર:
(a)
(i) સૂત્રાનુસાર,
c = $\frac{E_0}{B_0}$
∴ B₀ = $\frac{\mathrm{E}_0}{c}$
= $\frac{120}{3 \times 10^8}$
∴ B₀ = 4 × 10^-7 T (ટૅસ્લા)

(ii) કોણીય આવૃત્તિ,
ω = 2πV
= (2) (3.14) (50 × 10⁶)
∴ ω = 3.14 × 10⁸ rad/s

(iii) તરંગ સદિશ,
k = $\frac{\omega}{c}$ (∵ c = $\frac{\omega}{k}$)
= $\frac{3.14 \times 10^8}{3 \times 10^8}$
∴ k = 1.047 rad/m ≈ 1.05 rad/m

(iv) તરંગલંબાઈ,
λ = $\frac{c}{v}$ (∵ c = vλ)
= $\frac{3 \times 10^8}{50 \times 10^6}$
∴ λ = 6m

(b)
(i) આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ X અક્ષ પર પ્રસરતું હોય તો વિદ્યુતક્ષેત્રના દોલનો Y અક્ષ પર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના દોલનો Z અક્ષ ૫૨ લઈ શકાય તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ,

(ii) ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ,
$\overrightarrow{\mathrm{B}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{B}_z}$ = B₀sin(kx – ωt)k̂
∴$\overrightarrow{\mathrm{B}}$ = 4 × 10^-7sin{(1.05x – 3.14 × 10⁸t)} k̂ટેરલા

પ્રશ્ન 9.
પુસ્તકમાં વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના જુદા જુદા ભાગની શબ્દાવલિ (Terminology) આપેલ છે. E (વિકિરણના ઊર્જા-જથ્થો : ફોટોન માટે)નો ઉપયોગ કરી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના જુદા જુદા ભાગની ફોટોન ઊર્જા eV એકમમાં મેળવો. તમે જે આ જુદા જુદા ક્રમની ફોટોન- ઊર્જા મેળવો છો તે કેવી રીતે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના જુદા જુદા સ્રોત સાથે સંબંધ ધરાવે છે ?
ઉત્તર:
સમગ્ર વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને આવૃત્તિના વધતા ક્રમમાં નીચે મુજબ છ મુખ્ય વિભાગોમાં વહેંચી શકાય. આ વિભાગોમાંથી સરેરાશ આવૃત્તિને અનુરૂપ વિકિરણઊર્જાના એક ફોટોનની ઊર્જા E = hv સૂત્ર પરથી નીચે મુજબ મળે છે.
(અત્રે, h = 6.625 × 10^-34 Js)

(i) રેડિયોતરંગોના વિભાગમાં સરેરાશ આવૃત્તિ v = 3 × 10⁸ Hz જેટલી છે તેથી તેના એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = 6.625 × 10^-34 × 3 × 10⁸ = 19.88 × 10^-26 J
∴ E = $\frac{19.88 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}}$ eV = 12.42 × 10^-7 eV
= 1.242 × 10^-6 eV
દોલન ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર ઉપરોક્ત વિકિરણનું ઉદ્ગમ છે.

(ii) ઇન્ફ્રારેડ વિભાગમાં સરેરાશ આવૃત્તિ v = 10¹³ હોવાથી તેના એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = (6.625 × 10^-34) (10¹³) = 6.625 × 10^-21 J
∴ E = $\frac{6.625 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}}$ eV
∴ E = 4.141 × 10^-2 eV
પરમાણ્વીય અને આણ્વિક ઉત્તેજના દ્વારા ઉપરોક્ત વિકિરણ મળે છે.

(iii) દશ્ય વિભાગમાં સરેરાશ આવૃત્તિ v = 6 × 10¹⁴ Hz
હોવાથી તેના એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = 6.625 × 10^-34) (6 × 10¹⁴) = 3.975 × 10^-19 J
∴E = $\frac{3.975 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}$ = 2.484 eV
પરમાણુમાં વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રૉનની સંક્રાંતિ ઉપરોક્ત વિકિરણનું ઉદ્ગમ છે.

(iv) અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિભાગમાં સરેરાશ આવૃત્તિ v = 10¹⁵ Hz હોવાથી તેનાં એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = (6.625 × 10^-34) (10¹⁵) = 6.625 × 10^-19 J
∴E = $\frac{6.625 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}$ = 4.141eV
ઉત્તેજિત પરમાણુ દ્વારા ઉપરોક્ત વિકિરણ મળે છે.

(v) ક્ષ-કિરણોના વિભાગમાં સરેરાશ આવૃત્તિ v = 3 × 10¹⁸ Hz હોવાથી તેના એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = (6.625 × 10^-34) (3 × 10¹⁸) = 1.988 × 10^-15 J
∴E = $\frac{1.988 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}}$ – 1.242 × 10⁴ eV
પ્રચંડ વેગથી ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રૉન અથડામણ દરમિયાન એકાએક પોતાની ગતિઊર્જા ગુમાવીને ઉપરોક્ત વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.

(vi) ગેમા કિરણોના વિભાગમાં સરેરાશ આવૃત્તિ v = 3 × 10²⁰ Hz હોવાથી તેના એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = (6.625 × 10^-34) (3 × 10²⁰) = 1.988 × 10^-13 J
∴ E = = 1.242 × 10⁶ eV
ઉત્તેજિત રેડિયોઍક્ટિવ ન્યુક્લિયસ ઉપરોક્ત વિકિરણનું ઉદ્ગમ છે.

પ્રશ્ન 10.
એક સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિધુતક્ષેત્રના જ્યાવર્તી દોલનની આવૃત્તિ 2.0 × 10¹⁰ Hz અને કંપવિસ્તાર 48Vm^-1 છે.
(a) તરંગની તરંગલંબાઈ કેટલી છે ?
(b) દોલન કરતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર કેટલો છે ?
(c) દર્શાવો કે વિધુતક્ષેત્ર E ની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા, ચુંબકીય ક્ષેત્ર B ની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા જેટલી છે. (c = 3 × 10⁸ ms^-1)
ઉત્તર:
(a) c = vλ
∴ λ = $\frac{c}{v}=\frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}}$ = 1.5 × 10^-2 m = 0.015 m

(b) સૂત્રાનુસાર,
c = $\frac{\mathrm{E}_0}{\mathrm{~B}_0}$
∴ B₀ = $\frac{\mathrm{E}_0}{c}=\frac{48}{3 \times 10^8}$ 16 × 10^-8 = 1.6 × 10^-7 T

(c) વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા ઘનતા,

= 1
⇒ ρ_E = ρ_B

(c) ની બીજી રીત :
વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા,

∴ ρ_E = ρ_B

પ્રશ્ન 11.
ધારો કે શૂન્યાવકાશમાં રહેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું વિધુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ = [(3.1 N/C)cos[(1.8rad/m)y + (5.4 × 10⁸ rad/s)tî)] છે.
(a) પ્રસરણ દિશા કઈ છે ?
(b) તરંગલંબાઈ λ કેટલી છે ?
(c) આવૃત્તિ v કેટલી છે ?
(d) તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર કેટલો છે ?
(e) તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું સમીકરણ લખો.
ઉત્તર:
(a) -ĵ અત્રે સમીકરણનું સ્વરૂપ E = E₀cos(ωt + ky) સ્વરૂપનું હોવાથી પ્રસ્તુત તરંગ ઋણ Y-દિશામાં પ્રસરતું
હશે. …………. (1)

(b) આપેલ સમીકરણ,
$\overrightarrow{\mathrm{E}}$ = 3.1cos{(5.4 × 10⁸)t + (1.8)y}î (બધા જ મૂલ્યો SI એકમમાં છે)ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ E = E₀cos(ωt + ky) સ્વરૂપ સાથે સરખાવતાં,
E₀ = 3.1$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$ ……. (2)
ω = 5.4 × 10⁸$\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$ ………. (3)
k = 1.8$\frac{\text { rad }}{\mathrm{m}}$ ……….. (4)
∴ $\frac{2 \pi}{\lambda}$ = 1.8 ⇒ λ = $\frac{2 \times 3.14}{1.8}$ = 3.489 m ≈ 3.5 m …………. (5)

(c) સમીકરણ (3) પરથી,
ω = 5.4 × 10⁸$\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$
∴ 2πν 5.4 × 10⁸$\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$
∴ v = $\frac{5.4 \times 10^8}{2 \times 3.14}$ = 0.8558 × 10⁸ Hz
≈ 86 MHz …………. (6)

(d) સૂત્રાનુસાર,
c = $\frac{E_0}{B_0}$
∴ B₀ = $\frac{\mathrm{E}_0}{c}$
= $\frac{3.1}{3 \times 10^8}$
∴ B₀ = 1.033 × 10^-8 T ≈ 10.3 nT …….. (7)

(e) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું સમીકરણ,
$\overrightarrow{\mathrm{B}}$ = B₀ cos(ky + ωt)k̂
∴ $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ = 1.033 × 10^-8 cos {(1.8y + 5.4 × 10⁸t)}k̂ …….. (8)
અત્રે $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ની દિશાં k̂ ની દિશામાં લઈએ તો જ $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ × $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ની દિશા = î × k̂ ની દિશા = -ĵ ની દિશા = આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા – Y દિશા

પ્રશ્ન 12.
એક 100 W ના પ્રકાશ બલ્બની લગભગ 5 % કાર્યક્ષમતાનું દેશ્ય વિકિરણમાં રૂપાંતરણ થાય છે. દૃશ્ય વિકિરણની સરેરાશ તીવ્રતા નીચેના કિસ્સાઓ માટે કેટલી હશે ?
(a) બલ્બથી 1 m અંતરે
(b) બલ્બથી 10m અંતરે
એવું ધારો કે દરેક વિકિરણ બધી જ દિશામાં સમાન રીતે ઉત્સર્જિત થાય છે અને પરાવર્તન અવગણો.
ઉત્તર:
વિકિરણનો પાવર = વિદ્યુતીય પાવરના 5 %
= 100 × $\frac{5}{100}$
∴ P = 5 W

(a) સૂત્રાનુસાર, દશ્ય વિકિરણની 1m અંતરે સરેરાશ તીવ્રતા,
I = $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}}$
∴ I = $\frac{\mathrm{P}}{4 \pi r^2}$
∴ I = $\frac{5}{4 \times 3.14 \times(1)^2}$
∴ I = 0.3981 Wm^-2 ≈ 0.4 Wm^-2

(b) સૂત્રાનુસાર, દશ્ય વિકિરણની 10 m અંતરે સરેરાશ તીવ્રતા,
I = $\frac{\mathrm{P}}{4 \pi r^2}$
= $\frac{5}{4 \times 3.14 \times(10)^2}$
∴ I = 3.981 × 10^-3 Wm^-2 ≈ 0.004 Wm^-2

પ્રશ્ન 13.
λ_mT = 0.29 cmK સૂત્રનો ઉપયોગ કરી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના જુદા જુદા ભાગના લાક્ષણિક તાપમાનગાળા મેળવો. આ માટે મળેલી સંખ્યા શું જણાવે છે ?
ઉત્તર:

• અત્રે, λ_mT = 0.29 (cm) (K) = = 0.0029 mk ……. (1)
• ઉપરોક્ત સંબંધ વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ દર્શાવે છે. જ્યાં T = કાળા પદાર્થનું નિરપેક્ષ તાપમાન, λ_m = મહત્તમ સ્પેક્ટ્રલ ઉત્સર્જન પાવરને અનુરૂપ વિકિરણની તરંગલંબાઈ.
• વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં વિવિધ વિભાગોને તરંગલંબાઈના ઘટતા ક્રમમાં નીચે મુજબ ગોઠવી શકાય.
  રેડિયો તરંગો, ઇન્ફ્રારેડ પ્રકાશના તરંગો, દશ્ય પ્રકાશના તરંગો, અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશના તરંગો, ક્ષ-કિરણો અને ગેમા કિરણો.
• ઉદાહરણ તરીકે દશ્ય વિભાગ લઈએ તેના માટે તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર આશરે 4000 Å થી 8000 Å સુધીનો છે.
  (i) જો આપણે 8000 Å તરંગલંબાઈવાળા વિકિરણનું મહત્તમ તીવ્રતા સાથે ઉત્સર્જન, કાળા પદાર્થમાંથી જોઈતું હોય તો તેનું તાપમાન T₁ નીચે મુજબ શોધી શકાય.
  λ_m1T₁ = 0.0029 mK (સમીકરણ (1) પરથી)
  ∴ (8000 × 10^-10) T₁ = 0.0029
  ∴ T₁ = $\frac{0.0029}{8 \times 10^{-7}}=\frac{29000}{8}$ = 3625 K
  (ii) હવે જો આપણે 4000 Å તરંગલંબાઈવાળા વિકિરણનું મહત્તમ તીવ્રતા સાથે ઉત્સર્જન, કાળા પદાર્થમાંથી જોઈતું હોય તો તેનું તાપમાન T₂ નીચે મુજબ શોધી શકાય.
  λ_m2T₂ = 0.0029 mK (સમીકરણ (1) પરથી)
  ∴ (4000 × 10^-10) T₂ = 0.0029
  ∴ T₂ = $\frac{0.0029}{4 \times 10^{-7}}=\frac{29000}{4}$ = 7250 K
• આમ, કાળા પદાર્થમાંથી મહત્તમ તીવ્રતા સાથે દશ્ય વિભાગમાંના વિકિરણોનું ઉત્સર્જન જોઈતું હોય તો તેના તાપમાનનો વિસ્તાર આશરે 3625 K થી 7250 K રાખવો પડે.
• આ જ રીતે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના અન્ય વિભાગો માટે પણ તાપમાનના અનુરૂપ વિસ્તારો શોધી શકાય.
• તાપમાનના ઉપરોક્ત મૂલ્યો દર્શાવે છે કે λ_m ∝ $\frac{1}{\mathrm{~T}}$ (જુદી જુદી તરંગલંબાઈવાળા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો મેળવવા માટે જુદા જુદા (તાપમાનના ગાળાની) જરૂર પડે છે.) નોંધ : આનાથી નીચું તાપમાન પણ આ તરંગલંબાઈવાળા વિકિરણને ઉત્પન્ન કરશે પણ તે મહત્તમ તીવ્રતાવાળું નહીં હોય.

પ્રશ્ન 14.
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં જુદા જુદા પરિપ્રેક્ષ્યમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો સાથે સંકળાયેલી કેટલીક પ્રચલિત સંખ્યાઓ નીચે દર્શાવેલ છે. તે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના કયા ભાગમાં આવેલા છે તે જણાવો.
(a) 21 cm (આંતર તારાકીય અવકાશ (Interstellar Space) પરમાણ્વિક હાઇડ્રોજન દ્વારા ઉત્સર્જિત તરંગલંબાઈ)
(b) 1057 MHz (લેમ્બ શિફ્ટ Lamb Shift)થી ઓળખાતી ઘટના કે જેમાં હાઇડ્રોજનમાં ખૂબ જ નજીક આવેલાં બે ઊર્જા સ્તરોમાંથી ઉત્સર્જાતા વિકિરણની આવૃત્તિ)
(c) 2.7 K (એક વિચાર મુજબ, યુનિવર્સના Big-bang ના ઉદ્ભવ બાદ અવકાશને સંપૂર્ણ ભરી દેતા સમાન રીતે ફેલાયેલા વિકિરણ સાથે સંકળાયેલ તાપમાન)
(d) 5890 – 5896 Å (સોડિયમની Double Lines દ્વિ-રેખાઓ)
(e) 14.4 keV (ખૂબ પ્રચલિત ઉચ્ચ વિભેદનશક્તિ ધરાવતી સ્પેક્ટ્રોસ્કોપિક પદ્ધતિ (Mössbaure Spectroscopy) માં ⁵⁷Fe ન્યુક્લિયસની એક ચોક્કસ સંક્રાંતિ સાથે સંકળાયેલ ઊર્જા)
ઉત્તર:
(a) 21 cm તરંગલંબાઈને અનુરૂપ વિકિરણનો સમાવેશ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના “રેડિયો તરંગો”વાળા વિભાગમાં ઊંચી આવૃત્તિની નજીકથી થાય છે. અથવા ટૂંકી તરંગલંબાઈના છેડા તરફ.

(b) વિભાગ (a) પ્રમાણે.

(c) વીનના નિયમ λ_mT = 0.0029 mK પરથી,
λ_m = $\frac{0.29 \mathrm{~cm} \mathrm{~K}}{2.7 \mathrm{~K}}$ = 0.11 cm
λ_m ≈ 11 × 10^-4 m મળે છે જેનો સમાવેશ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના “સૂક્ષ્મ તરંગો” વાળા વિભાગમાં થાય છે.

(d) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દશ્ય વિભાગમાં પીળા રંગને અનુરૂપ.

(e) સૂત્ર E = hv પરથી,
∴ v = $\frac{E}{h}=\frac{14.4 \times 1.6 \times 10^{-16}}{6.6 \times 10^{-34}}$
= 3.49 × 10¹⁸ ≈ 3.5 × 10¹⁸ Hz
= v ≈ 3.5 × 10¹⁸ Hz મળે છે જેનો સમાવેશ ક્ષ-કિરણોના વિભાગને અંતે અથવા ગેમા કિરણોના વિભાગની શરૂઆતમાં થાય છે.

પ્રશ્ન 15.
નીચેનાં પ્રશ્નોનાં જવાબ આપો :
(a) દૂર અંતરના રેડિયો પ્રસારણ માટે short-wave band વપરાય છે, શા માટે ?
(b) દૂર અંતરના TV-પ્રસારણ માટે ઉપગ્રહનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે, શા માટે ?
(c) પ્રકાશીય અને રેડિયો ટેલિસ્કોપ પૃથ્વીની સપાટી પર રચવામાં આવે છે જ્યારે X-કિરણ ખગોળવિજ્ઞાન (Astronomy) એ પૃથ્વીને પરિક્રમણ (Orbiting) કરતાં ઉપગ્રહ પરથી જ થઈ શકે છે, શા માટે ?
(d) વાતાવરણનાં ઉપરના ભાગમાં રહેલ ઓઝોનનું નાનું સ્તર મનુષ્ય જાતિનાં અસ્તિત્વ માટે ખૂબ જ અગત્યનું છે, શા માટે ?
(e) જો પૃથ્વીને વાતાવરણ ના હોય તો તેની સપાટીનું સરેરાશ તાપમાન અત્યારે છે તેના કરતાં વધારે કે ઓછું હોત ?
(f) અમુક વૈજ્ઞાનિકોનું માનવું છે કે પૃથ્વી પર ગ્લૉબલ (વૈશ્વિક) ન્યુક્લિયર યુદ્ધ પછી ‘ન્યુક્લિયર-શિયાળા’ (Nuclear-winter) ની તીવ્ર અસર દેખાશે કે જેથી પૃથ્વી પરના જીવન પર ખૂબ જ વિનાશકારી અસર હશે. આવી આગાહી માટે ક્યો આધાર હોઈ શકે ?
ઉત્તર:
(a) આયનોસ્ફિયર 4.75 MHz થી 9.9 MHz સુધીની આવૃત્તિના ગાળાવાળા રેડિયો તરંગોનું પરાવર્તન કરે છે. તેથી દૂર અંતર સુધી રેડિયો તરંગોનું પ્રસારણ થઈ શકે છે.

(b) લાંબા અંતર સુધી રેડિયો તરંગોને મોકલવા માટે તેની આવૃત્તિ પ્રમાણમાં ઘણી ઊંચી રાખવી પડે છે. માલૂમ પડે છે કે, ઊંચી (30 MHz થી વધુ) આવૃત્તિવાળા રેડિયો તરંગો આયનોસ્ફિયરને ભેદીને આરપાર નીકળી જાય છે. એટલે કે, પરાવર્તિત થઈને પૃથ્વી પર પાછા આવતા નથી. વળી, આટલી ઊંચી આવૃત્તિએ ગ્રાઉન્ડ વેવ પ્રસરણ પણ શક્ય નથી. (કારણ કે, આમ કરવાથી ઊર્જાનું ખૂબ મોટા પ્રમાણમાં શોષણ થઈ જાય છે.) તેથી ખૂબ લાંબા અંતરના સંદેશાવ્યવહાર માટે તથા પૃથ્વીની સપાટી પરનો સમગ્ર વિસ્તાર આવરી લેવા માટે સેટેલાઇટ્સ (ઉપગ્રહો)નો ઉપયોગ અનિવાર્ય છે.

(c) કારણ કે, રેડિયો તરંગો તથા દૃશ્ય તરંગો માટે પૃથ્વીનું વાતાવરણ પારદર્શક છે. પરંતુ, X-rays નું પૃથ્વીના વાતાવરણ વડે શોષણ થઈ જાય છે. તેથી X-ray astronomy માટે પૃથ્વીની આસપાસ આશરે 36000 km ઊંચાઈએ પરિભ્રમણ કરતાં “ભૂસ્થિર ઉપગ્રહો”ની મદદ લેવામાં આવે છે. આટલી મોટી ઊંચાઈએ વાતાવરણ ખૂબ જ પાતળું હોવાથી X-rays નું શોષણ થતું નથી.

(d) સૂર્યમાંથી ઉત્સર્જાતા અલ્ટ્રાવાયોલેટ કિરણો, માનવ જીવન માટે ખતરનાક છે. કારણ કે, તેઓ જીવંત કોષોના જનીનોને નુકસાન પહોંચાડે છે. પૃથ્વીના વાતાવરણમાંનું “ઓઝોન સ્તર” આવા જોખમી વિકિરણોનું શોષણ કરીને મનુષ્યને પૂરતું રક્ષણ આપે છે. તેથી, ઓઝોન સ્તર એ મનુષ્ય જીવન માટે અત્યંત જરૂરી બની જાય છે.

(e) પૃથ્વીની સપાટી પરથી ઉત્સર્જાતા ઇન્ફ્રારેડ કિરણો, વાતાવરણના નીચેના સ્તરો વડે “ગ્રીનહાઉસ ઇફેક્ટ” (હરિયાળી આવાસ અસર !)ને લીધે પરાવર્તન પામી પૃથ્વીની સપાટી પર પાછા આવે છે. જેના કારણે પૃથ્વીની સપાટી પરનું વાતાવરણ હૂંફાળું રહે છે. જો પૃથ્વીની સપાટીની આસપાસ કોઈ વાતાવરણ ન હોત તો સપાટી પરનું તાપમાન, હાલના તાપમાન કરતાં ઘણું જ નીચું હોત. (ગ્રીનહાઉસ ઇફેક્ટ ન થવાને કારણે).

(f) વૈશ્વિક ન્યુક્લિયર યુદ્ધને કારણે પ્રચંડ વિસ્ફોટો થાય
જેના લીધે ઉદ્ભવતાં વાદળોથી પૃથ્વીની સપાટીનો મોટાભાગનો વિસ્તાર ઢંકાઈ જાય અને તો સૌર વિકિરણો પૃથ્વીની સપાટી સુધી ન પહોંચે અને તો પૃથ્વીની સપાટી પરનું તાપમાન અત્યંત નીચું જવાથી “ન્યુક્લિયર શિયાળો” વર્તાય. જેમાં માનવજીવન સંપૂર્ણપણે નષ્ટ પામે .

GSEB Class 12 Physics વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
કાર્બન મોનોક્સાઇડના અણુને કાર્બન અને ઑક્સિજન પરમાણુમાં વિભાજિત કરવા 11 eV ઊર્જાની જરૂર પડે છે. આ વિભાજન મેળવવા માટેના યોગ્ય વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની લઘુતમ આવૃત્તિ વર્ણપટમાં ……………….વિભાગમાં આવેલી હશે.
(A) દૃશ્ય
(B) ઇન્ફ્રારેડ
(C) અલ્ટ્રાવાયોલેટ
(D) માઇક્રોવેવ
જવાબ
(C) અલ્ટ્રાવાયોલેટ
ઊર્જા E = hv
∴ v = $\frac{E}{h}=\frac{11 \mathrm{eV}}{6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}$
∴ v = $\frac{11 \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}{6.62 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}$
∴ v = 2.6586 × 10¹⁵ Hz
જે અલ્ટ્રાવાયોલેટના વિસ્તારમાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2.
$\overrightarrow{\mathrm{E}}$ = E₀î cos(kz – ωt) વડે આપી શકાતું એક રેખીય ધ્રુવીભૂત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ z = a પાસે આવેલી સંપૂર્ણ પરાવર્તક અનંત દીવાલ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. દીવાલનું દ્રવ્ય પ્રકાશીય નિષ્ક્રિય છે, તેમ ધારવામાં આવે તો પરાવર્તિત તરંગ નીચે મુજબ આપી શકાય :
(A) $\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$ = – E₀î cos(kz – ωt)
(B) $\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$ = E₀î cos(kz + ωt)
(C) $\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$ = – E₀î cos(kz + ωt)
(D) $\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$ = E₀î sin(kz – ωt)
જવાબ
(B) $\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$ = E₀î cos(kz + ωt)
જ્યારે ઘટ્ટ માધ્યમ પરથી તરંગ પરાવર્તન પામે ત્યારે તરંગનો પ્રકાર બદલાતો નથી પણ તેની કળા 180° અથવા TM rad જેટલી બદલાય (વધે) છે.
∴ આપાત તરંગ $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ = E₀{cos(kz – ωt)î
પરાવર્તિત તરંગ ઋણ ૪-દિશામાં ગતિ કરે તેથી પરાવર્તિત તરંગ
$\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$ = – E₀cos{k(- z) – ωt + π}î
= – E₀ cos{- (kz + ωt) + π}î
= + E₀cos(kz + ωt)î [∵ cos(-θ) = cosθ અને cos(л + θ) = – cosθ]
∴ $\overrightarrow{\mathrm{E}}_r$E₀îcos(kz + ωt)

પ્રશ્ન 3.
20W/cm² ઊર્જા ફ્લક્સ ધરાવતો પ્રકાશ અપરાવર્તક સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે. જો સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 30 cm² હોય, તો 30 મિનિટમાં સપાટીને મળતું વેગમાન …………………… (સંપૂર્ણ શોષણ માટે)
(A) 36 × 10^-5kgm/s
(B) 36 × 10^-4kgm/s
(C) 108 × 10⁴kgm/s
(D) 1.08 × 10⁷kgm/s
જવાબ
(B) 36 × 10^-4kgm/s
ઊર્જા ફ્લક્સ (તીવ્રતા) I = $\frac{\mathrm{E}}{\mathrm{A} t}$
∴ E = IAt
= $\frac{20 \mathrm{~W}}{\mathrm{~cm}^2}$ × 30 cm2 × 30 × 60 સેકન્ડ
= 108 × 104 J
હવે અંતિમ વેગમાન p_f = $\frac{\mathrm{U}}{c}=\frac{108 \times 10^{+4}}{3 \times 10^8}$
∴ p_f = 36 × 10^-4 Ns
અને પ્રારંભિક વેગમાન p_i = 0
∴ દીવાલને મળતું વેગમાન,
Δp = p_f – P_i [સંપૂર્ણ શોષણ થાય છે]
= 36 × 10^-4 – 0 [∵ p_i = 0]
= 36 × 10^-4 kgm/s

પ્રશ્ન 4.
100 W ના બલ્બથી 3m અંતરે પહોંચતા વિકિરણોથી ઉદ્ભવતા વિધુતક્ષેત્રની તીવ્રતા E છે. આટલા જ અંતરે 50W બલ્બમાંથી આવતા પ્રકાશીય વિકિરણોને લીધે ઉદ્ભવતા વિધુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ………………… છે.
(A) $\frac{E}{2}$
(B) 2E
(C) $\frac{E}{\sqrt{2}}$
(D) √2 E
જવાબ
(A) $\frac{E}{2}$
સપાટી પર આપાત વિકિરણના લીધે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા,

પ્રશ્ન 5.
જો $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અનુક્રમે વિધુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ હોય, તો વિધુતચુંબકીય તરંગ-પ્રસરણની દિશા ………………… ની દિશામાં હોય.
(A) $\overrightarrow{\mathrm{E}}$
(B) $\overrightarrow{\mathrm{B}}$
(C) $\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}$
(D) $\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$
જવાબ
(D) $\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$

• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ એમ બંનેને લંબરૂપે હોય છે. એટલે કે, $\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$ ની દિશામાં (જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી) આ વસ્તુ નીચેની આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે.

• અહીં, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો z-દિશામાં છે જેને $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ ના સદિશ ગુણાકારથી આપવામાં આવ્યા છે. એટલે કે $\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$
• 

પ્રશ્ન 6.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતામાં વિધુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકોના યોગદાનનો ગુણોત્તર ……………….
(A) c : 1
(B) c² : 1
(C) 1 : 1
(D) √c : 1
જવાબ
(C) 1 : 1
વિદ્યુતક્ષેત્રની ઊર્જા U = $\frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathrm{E}_0^2$
ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઊર્જા U = $\frac{\mathrm{B}_0^2}{2 \mu_0}$
અને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનો સંબંધ,
E₀ = cB₀

આમ, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં સમાન રીતે ઊર્જા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વહેંચાયેલી છે.
તેથી, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનો ફાળો સમાન હોવાથી ગુણોત્તર 1 : 1.

પ્રશ્ન 7.
એક ડાયપોલ એન્ટેનામાંથી બહારની તરફ ઉત્સર્જતા EM તરંગના વિધુતક્ષેત્ર સદિશનું માન E₀ છે. વિધુતક્ષેત્ર E₀ ઊર્જા-પરિવહન માટેનો મુખ્ય વાહક છે, તેનું પરિમાણ સ્રોતથી દૂર અંતર સાથે …………………..
(A) $\frac{1}{r^3}$ અનુસાર ઘટે છે.
(B) $\frac{1}{r^2}$ અનુસાર ઘટે છે.
(C) $\frac{1}{r}$ અનુસાર ઘટે છે.
(D) અચળ રહે છે.
જવાબ
(C) $\frac{1}{r}$ અનુસાર ઘટે છે.

• દ્વિધ્રુવી ઍન્ટેનામાંથી ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો બહાર તરફ કિરણોના રૂપમાં પ્રસરે છે.
• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો કંપવિસ્તાર ઉદ્ગમથી દૂરના અંતરે ઍન્ટેના (ઉદ્ગમ)થી અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
$\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = (E₁î + E₂ĵ)cos(kz – ωt) અનુસારનું એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ શૂન્યાવકાશમાં Z દિશામાં ગતિ કરે છે.
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
(A) તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = $\frac{1}{c}$(E₁î + E₂ĵ)cos(kz – ωt) વડે આપી શકાય છે.
(B) તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = $\frac{1}{c}$(E₁î – E₂ĵ)cos(kz – ωt) વડે આપી શકાય છે.
(C) આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર વૃત્તીય ધ્રુવીભૂત છે.
(D) આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સમતલ ધ્રુવીભૂત છે.
જવાબ (A, D)
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ,
$\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = (E₁î + E₂ĵ)cos(kz – ωt) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ,
$\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = $\frac{\overrightarrow{\mathrm{E}}}{c}=\frac{\left(\mathrm{E}_1 \hat{i}+\mathrm{E}_2 \hat{j}\right) \cos (k z-\omega t)}{c}$
તેથી $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ બંને એકબીજાને લંબરૂપે રહીને $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ બંને લંબરૂપે પ્રસરણ પામે છે તેથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સમતલીય ધ્રુવીભૂત છે. આમ વિકલ્પ (A) અને (D) સાચા છે.

પ્રશ્ન 2.
z-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરતું વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ E₀cos(kz – ωt) વડે આપવામાં આવે છે. નીચેના પૈકી સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો :
(A) સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર
$\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = $\frac{1}{c}$k̂ × $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = $\frac{1}{\omega}$(k̂ × $\overrightarrow{\mathbf{E}}$) વડે આપી શકાય છે.
(B) સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રના પદ સ્વરૂપે વિદ્યુતચુંબકીય
ક્ષેત્રને $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = c($\overrightarrow{\mathbf{B}}$ × k̂) મુજબ લખી શકાયછે.
(C) k̂.$\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = 0, k̂. $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = 0
(D) k̂ × $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = 0, k̂ × $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = 0
જવાબ
(A, B, C)

• ધારો કે, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઋણ z-દિશામાં પ્રસરે તો તેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = E₀ cos(kz – ωt) થી આપી શકાય છે.
  જે z-અક્ષને લંબરૂપે હોય છે અને તે ઋણ y-દિશામાં હોય છે.
• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં સંલગ્ન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ એ ૪-અક્ષની દિશામાં છે એટલે કે, k̂ × $\overrightarrow{\mathbf{E}}$
  કારણ B₀ = $\frac{\mathrm{E}_0}{c}$
  ∴ B = $\frac{1}{c}$(k̂ × $\overrightarrow{\mathbf{E}}$) આથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• ચુંબકીય ક્ષેત્રના પદમાં સંલગ્ન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = c($\overrightarrow{\mathbf{B}}$ × k̂) થી લખી શકાય છે. આથી વિકલ્પ (B) સાચો છે.
• k̂ અને $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ વચ્ચેનો ખૂણો 90° અને k̂ અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ વચ્ચેનો ખૂણો 90° તેથી $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = (1)Ecos90° = 0 [∵ (k̂) = 1] અને
  k̂ · $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = 1Bcos90°
  k̂ · $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = 0 આથી વિકલ્પ (C) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
x-દિશામાં પ્રસરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ માટે નીચે જણાવેલ ઘટક-જોડ શક્ય છે :
(A) E_x, B_y
(B) E_y, B_z
(C) B_x, E_y,
(D) E_z, B_y
જવાબ (B, D)

• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ પરસ્પર લંબ હોય છે તેમ જ તેઓ તરંગના પ્રસરણને પણ લંબ હોય છે.
• અહીં પ્રશ્નમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો x-દિશમાં પ્રસરે છે. તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો y-દિશા અથવા z- દિશામાં હોવાં જોઈએ. તેથી, વિકલ્પ (B) અને (D) સાચાછે.

પ્રશ્ન 4.
10⁹ Hz આવૃત્તિ સાથે એક વીજભારિત કણ તેના સમતોલન સ્થાનની આસપાસ દોલનો કરે છે, તો ઉદ્ભવતાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ………….
(A) ની આવૃત્તિ 10⁹ Hz હશે.
(B) ની આવૃત્તિ 2 × 10⁹ Hz હશે.
(C) ની તરંગલંબાઈ 0.3 m હશે.
(D) નાં વિકિરણો રેડિયોતરંગ વિસ્તારમાં હશે.
જવાબ
(A, C, D)

• અહીં વિદ્યુતભારિત કણની આવૃત્તિ 10⁹ Hz આપેલ છે, તેથી તરંગલંબાઈ λ = $\frac{3 \times 10^8}{10^9}$ = 0.3m તેથી, વિકલ્પ (A) અને (C) સાચા છે.
• વિદ્યુતભારના દોલનની આવૃત્તિ જેટલી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ હોય તેથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ 2 × 10⁹ Hz છે. જે રેડિયો તરંગોના વિસ્તારમાં છે. આથી વિકલ્પ (D) સાચો.

પ્રશ્ન 5.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્રોતમાં આવેલો વીજભાર ………………..
(A) અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય છે.
(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતો હોય છે.
(C) સ્થિર અવસ્થામાં હોય છે.
(D) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પતન કરતો હોય છે.
જવાબ
(B, D)

• વર્તુળાકાર કક્ષામાં વિદ્યુતભાર ગતિ કરે, તો તે વિદ્યુતભાર પ્રવેગી ગતિ કરતો ગણી શકાય અને પ્રવેગી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ઉદ્ગમ તરીકે લઈ શકાય. તેથી, વિકલ્પ (B) સાચો.
• જ્યારે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં નીચે પડતો હોય ત્યારે તેના ૫૨ આકર્ષી કે અપાકર્ષી બળ લાગે તેથી તે પ્રવેગી ગતિ કરે તેથી, વિકલ્પ (D) પણ સાચો છે.

પ્રશ્ન 6.
શૂન્યાવકાશમાં મૂકેલી એક સપાટી પર I તીવ્રતાવાળું વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ અથડાય છે અને તેના પર વિકિરણ દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે, તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે ?
(A) જો તરંગનું સંપૂર્ણ શોષણ થાય તો વિકિરણ દબાણ $\frac{\mathrm{I}}{c}$ છે.
(B) જો તરંગ સંપૂર્ણ પરાવર્તન પામે તો વિકિરણ દબાણ $\frac{\mathrm{I}}{c}$ છે.
(C) જો તરંગ સંપૂર્ણ પરાવર્તન પામે તો વિકિરણ દબાણ $\frac{2 \mathrm{I}}{c}$ છે.
(D) વાસ્તવિક સપાટી માટે વિકિરણ દબાણ $\frac{\mathrm{I}}{c}$ < p <$\frac{2 \mathrm{I}}{c}$ મુજબના વિસ્તારમાં છે.
જવાબ
(A, C, D)

• વિકિરણ દબાણ P એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોએ એકમ ક્ષેત્રફળની સપાટી પર લગાડેલું બળ છે. એટલે કે, એકમ ક્ષેત્રફળની સપાટી પરના વેગમાનનો ફેરફાર છે.
• એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વેગમાન,

• એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વેગમાનનો ફેરફાર,
  Δp = $\frac{\Delta \mathrm{I}}{c}$ (વિકિરણ દબાણ P)
• એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતાં તરંગનું વેગમાન = $\frac{\mathrm{I}}{c}$
• જ્યારે તરંગો સપાટી વડે સંપૂર્ણ શોષાય, ત્યારે એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પરાવર્તિત તરંગોનું વેગમાન = શૂન્ય
  {વિકિરણ દબાણ = P} = {એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ વેગમાનનો ફે૨ફા૨}
  = $\frac{\Delta \mathrm{I}}{c}=\frac{\mathrm{I}}{c}$ – 0 = $\frac{\mathrm{I}}{c}$
• જ્યારે તરંગો સંપૂર્ણ પરાવર્તિત થાય ત્યારે એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પરાવર્તિત તરંગનું વેગમાન = –$\frac{\mathrm{I}}{c}$
  ∴ વિકિરણ દબાણ P = $\frac{\mathrm{I}}{c}-\left(-\frac{\mathrm{I}}{c}\right)=\frac{2 \mathrm{I}}{c}$
  અહીં P એ $\frac{\mathrm{I}}{c}$ અને $\frac{2 \mathrm{I}}{c}$ ની વચ્ચે છે.
  આથી, વિકલ્પ (A), વિકલ્પ (C) અને વિકલ્પ (D) સાચા છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
બ્રોડ કાસ્ટિંગ સ્ટેશનના સંદર્ભે પોર્ટેબલ રેડિયોની ગોઠવણીનો અભિગમ શા માટે મહત્ત્વનો છે ?
ઉત્તર:
પ્રસરણ સ્ટેશનની સાપેક્ષમાં પોર્ટેબલ રેડિયોને પૂર્વાભિમુખ (યોગ્ય નમેલું) રાખવું અગત્યનું છે. કારણ કે, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સમતલીય ધ્રુવીભૂત છે, રિસીવિંગ ઍન્ટેનાને તરંગોના વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રોને દોલનોની સમાંતર રાખવો જોઈએ.

પ્રશ્ન 2.
શા માટે માઇક્રોવેવ ઓવન દ્વારા પાણીના અણુઓ ધરાવતાં ખાધપદાર્થોને ક્ષમતાપૂર્વક ગરમ કરી શકાય છે ?
ઉત્તર:
પાણીના અણુઓ ધરાવતો ખોરાક માઇક્રોવેવ ઓવનમાં સૌથી વધુ ક્ષમતાથી ગરમ થાય છે. કારણ કે, પાણીના અણુઓની આવૃત્તિ, માઇક્રોવેવની આવૃત્તિ જેટલી હોવાથી અનુનાદ થાય છે તેથી માઇક્રોવેવની ઊર્જાનું પાણીના અણુઓની ગતિઊર્જામાં મહત્તમ રૂપાંતરણ થાય છે જેના કારણે ખોરાકને વધારે ઉષ્મા મળે છે અને ખોરાક રંધાય છે.

પ્રશ્ન 3.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર પરનો વીજભાર q = q₀cos2πvt અનુસાર બદલાય છે. પ્લેટો ખૂબ જ વિશાળ (ક્ષેત્રફળ A) છે અને એકબીજાની ખૂબ જ નજીક (d અંતરે) રહેલી છે, જો તેના છેડાની અસરને અવગણવામાં આવે, તો કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ શોધો.
ઉત્તર:
કૅપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ,
I_d = I_c = $\frac{d q}{d t}$ ……………. (1)
અહીં q = q₀cos2πvt
સમીકરણ (1) માં મૂલ્ય મૂકતાં,
I_d = I_c = $\frac{d}{d t}$ (q₀ cos2πvt)
∴ I_d = I_c = – qsin2πvt × 2πv
∴ I_d = I_c = – 2πvq₀sin2πvt

પ્રશ્ન 4.
એક કેપેસિટર સાથે ચલિત આવૃત્તિવાળો AC સ્રોત જોડેલ છે. જો આવૃત્તિમાં ઘટાડો કરવામાં આવે, તો સ્થાનાંતર પ્રવાહમાં શું ફેરફાર થશે ?
ઉત્તર:
કૅપેસિટિવ રિઍક્ટન્સ એ વહન પ્રવાહના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
∴ X_C ∝ $\frac{1}{\mathrm{I}_c}$
અને X_C = $\frac{1}{2 \pi v C}$
∴ X_C ∝ $\frac{1}{v}$ અને I_C = $\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{X}_{\mathrm{C}}}$
જ્યારે આવૃત્તિ ઘટે તો X_C વધે છે અને X_C વધતાં વહન પ્રવાહ પણ ઘટે છે. આમ, વહન પ્રવાહ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ જેટલો હોવાથી પરિપંથમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘટે છે.

પ્રશ્ન 5.
લાઇટ આગળ રાખેલા ફિલ્ટરમાંથી નીકળતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું કિરણપુંજ B₀ = 12 × 10^-8 sin(1.20 × 10⁷z – 3.60 × 10¹⁵t) વડે આપી શકાય છે, તો કિરણપુંજની સરેરાશ તીવ્રતા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• B = 12 × 10^-8 sin(1.20 × 10⁷ z – 3.60 × 10¹⁵ t) ને
  વ્યાપક સમીકરણ B = B₀(kz – ωt) સાથે સરખાવતાં,
  B₀ = 12 × 10^-8 T
• બીમની સરેરાશ તીવ્રતા,
  I_{સરેરાશ} = $\frac{\mathrm{B}_0^2}{2 \mu_0}$c
  = $\frac{1}{2} \times \frac{\left(12 \times 10^{-8}\right)^2 \times 3 \times 10^8}{4 \times 3.14 \times 10^{-7}}$
  ∴ I_{સરેરાશ} = 1.71 W/m²

પ્રશ્ન 6.
પોઇન્ટિંગ સદિશ $\overrightarrow{\mathbf{S}}$ એક એવો સદિશ છે, જેનું માન તરંગની તીવ્રતા જેટલું અને દિશા તરંગ-પ્રસરણની દિશામાં હોય છે. ગાણિતિક રીતે તેને $\overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{1}{\mu_0}(\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})$ વડે દર્શાવાય છે, તો $\overrightarrow{\mathbf{S}}$ વિરુદ્ધ t ના આલેખનો પ્રકાર દર્શાવો.
ઉત્તર:

• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ધારો કે, y-અક્ષની દિશામાં $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ z-અક્ષની દિશામાં $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ અને x-અક્ષની દિશામાં તરંગ પ્રસરણ હોય, તો $\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં પ્રસરણ પામતી ઊર્જા x-અક્ષની દિશામાં હોય તો,
  $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ = E₀ sin(ωt – kx)ĵ
  $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ = B₀ sin(ωt – kx)k̂
  ∴ $\overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{1}{\mu_0}(\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})=\frac{1}{\mu_0}$E₀B₀ sin?(ωt – kx)(ĵ × k̂)
  ∴ $\overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{\mathrm{E}_0 \mathrm{~B}_0}{\mu_0}$ = sin²(ωt – kx) [∵ ĵ × k̂ = î]
• સમય t સાથે $|\overrightarrow{\mathrm{s}}|$ ના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર નીચે આકૃતિમાં આપ્યા પ્રમાણે મળેછે.

પ્રશ્ન 7.
પ્રોફેસર સી.વી. રામને પારદર્શક નિર્વાત ટ્યૂબમાં મુક્ત રીતે લટકાવેલ નાના દડાને લેસરબીમ દ્વારા પ્રકાશિત કરીને પોતાના વિધાર્થીઓને આશ્ચર્યચકિત કરી દીધા. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો કયો ગુણધર્મ અહીં નિદર્શિત થાય છે ? આવા ગુણધર્મનું એક વધુ ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:

• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો, અન્ય તરંગોની જેમ ઊર્જા અને વેગમાન ધરાવે છે. આ વેગમાનને કારણે તેઓ “વિકિરણ દબાણ” તરીકે ઓળખાતું દબાણ પણ લગાડે છે. આ દબાણને કારણે ઉપરોક્ત ઘટનામાં ખૂબ જ નાના અને હલકા દડાને તેની પર આપાત કરેલા લેસર બીમ વડે લટકતો રાખીને પ્રોફેસર સી.વી.રામન તેમના વિદ્યાર્થીઓને ચકિત કરી શક્યા હતા. – ધૂમકેતુઓની પૂંછડીઓ પણ આવા વિકિરણ દબાણને કારણે ઉદ્ભવે છે.
• ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસરમાં ઉત્સર્જકમાંથી ઇલેક્ટ્રૉન્સનું ઉત્સર્જન તેમની ૫૨ આપાત થયેલા વિકિરણને લીધે થતું હોય છે. દર્શાવે છે કે આવું વિકિરણ ઊર્જા અને વેગમાન ધરાવે છે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને ચાર્જિંગ કરીએ તે સમયે પ્લેટોની વચ્ચે કોઈ એક બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર, B = $\frac{\varepsilon_0 \mu_{0 r}}{2} \frac{d E}{d t}$ હોય છે તેમ દર્શાવો. (અહીં સંજ્ઞાના અર્થ પ્રચલિત છે.)

ઉત્તર:

• સમાંતર પ્લેટ કૅપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ I_d વિચારો જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

• કૅપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારના કોઈ બિંદુથી તેની અક્ષથી ૪ લંબ અંતરે આવેલાં બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા,

પ્રશ્ન 2.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો કે જેમની તરંગલંબાઈ,
(i) λ₁ કે જે, સેટેલાઇટ કોમ્યુનિકેશનમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે.
(ii) λ₂ કે જે, પાણીના શુદ્ધીકરણમાં જીવાણુને મારવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
(iii) λ₃ કે જે, ભૂમિગત પાઇપલાઇનમાં તેલના લીકેજ નક્કી કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
(iv) λ₄ કે જે, ઝાકળ અને ધુમ્મસની સ્થિતિમાં રન-વે પરની દ્રશ્યતા સુધારવા માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
(a) આ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોને ઓળખો અને તે વર્ણપટના કયા વિભાગ સાથે સંકળાયેલ છે તે જણાવો.
(b) આ તરંગલંબાઈને તેમના મૂલ્ય અનુસાર ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવો.
(c) દરેક માટે એક વધુ ઉપયોગ લખો.
ઉત્તર:
(a)

1. ઉપગ્રહના પ્રસારણમાં માઇક્રોતરંગોનો ઉપયોગ થાય છે, તેથી λ₁ તરંગલંબાઈવાળા તરંગો માઇક્રોવેવ તરંગો છે.
2. પારજાંબલી કિરણો પાણીના પ્યુરિફાયરમાં જંતુઓને મારવા વપરાય છે. તેથી λ₂ તરંગલંબાઈવાળા કિરણો પારજાંબલી કિરણોછે.
3. અન્ડરગ્રાઉન્ડ પાઇપલાઈનમાં લીકૅજ શોધવા માટે X- નો ઉપયોગ થાય છે. તેથી λ₃ એ X-rays છે.
4. ફૉગ (ધુમ્મસ) અને ભેજવાળી સ્થિતિમાં રસ્તાઓને સ્પષ્ટ રીતે જોવા માટે પારરક્ત તરંગોનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી λ₄ તરંગલંબાઈવાળા તરંગો પારરક્ત તરંગો છે.

(b) λ₃ < λ₂ < λ₄ < λ₁

(c)

1. રડાર તરીકે માઇક્રોવેવનો ઉપયોગ થાય છે.
2. આંખની સર્જરી માટે પારજાંબલી તરંગોનો ઉપયોગ થાય છે.
3. હાડકાંમાં ભાંગતૂટ શોધવા માટે X-ray નો ઉપયોગ થાય છે.
4. પ્રકાશીય પ્રસારણ (TV) માં પારરક્ત તરંગોનો ઉપયોગ થાય છે.

પ્રશ્ન 3.
વિકિરણ ફ્લક્સ ઘનતા ‘S’ નું એક આવર્તકાળ પર સરેરાશ મૂલ્ય S = $\frac{1}{2 c \mu_0} \mathrm{E}_0^2$ છે, તેમ દર્શાવો.
ઉત્તર:
– વિકિરણ ફૂલક્સ ઘનતા
S = $\frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$
∴ S = c²ε₀($\overrightarrow{\mathrm{E}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}$) ………….. (1)
[∵ c = $\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$]
ધારો કે, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો x-અક્ષની દિશામાં પ્રસરે છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ y-દિશામાં અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર દિશ z-દિશામાં હશે તેથી,

પ્રશ્ન 4.
તમને 2μF નું સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર આપેલ છે. તેની બે પ્લેટો વચ્ચે 1 mA સ્થાનાંતર પ્રવાહ તમે કેવી રીતે પ્રસ્થાપિત કરશો ?
ઉત્તર:
પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર,
q = CV
I_d dt = Cdv
∴ I_d = C = $\frac{d \mathrm{~V}}{d t}$
∴ $\frac{d \mathrm{~V}}{d t}=\frac{\mathrm{I}_d}{\mathrm{C}}=\frac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}}$
∴ $\frac{d \mathrm{~V}}{d t}$ = 500
તેથી કૅપેસિટરને 500$\frac{V}{s}$ નો ચલ સ્થિતિમાન આપીને આપણે જોઈતાં મૂલ્યનો સ્થાનાંતર પ્રવાહ મેળવી શકીએ.

પ્રશ્ન 5.
શૂન્યાવકાશમાં મૂકેલી સપાટી પર I તીવ્રતાવાળા EM તરંગ વડે લાગુ પડતું વિકિરણ દબાણ છે, તેમ દર્શાવો.
ઉત્તર:

• બળ એટલે વેગમાનના ફેરફારનો દર,
  ∴ F = $\frac{d p}{d t}$
• હવે E = mc²
  ∴ U = (mc)c [∵ E = U]
  ∴ U = pc [∵ mc = P વેગમાન]
• બંને બાજુનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
બલ્બમાંથી ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તીવ્રતા બલ્બથી બે ગણા અંતરે મેળવવામાં આવે, તો મૂળ તીવ્રતામાં શું ફેરફાર થાય ? લેસર કિરણપુંજ કોઈ ઓરડાની લંબાઈ સુધી ગતિ કરે છે ત્યારે તેની તીવ્રતા અચળ રહે છે. અચળ તીવ્રતા માટે લેસર કિરણપુંજનો કયો ભૌમિતિક ગુણધર્મ જવાબદાર છે, જે બલ્બમાંથી આવતા પ્રકાશ કિરણપુંજમાં નથી ?
ઉત્તર:

• જો અંતર બમણું થાય તો પ્રકાશિત વર્તુળાકારનું ક્ષેત્રફળ ચાર ગણું થાય. તેથી, પ્રકાશની તીવ્રતા મૂળ તીવ્રતાના ચોથા ભાગની ∵ (I ∝ $\frac{1}{r^2}$ થાય પણ લેસરના કિસ્સામાં બીમનું વિસ્તરણ થતું નથી તેથી તેની તીવ્રતા અચળ રહે છે.
• લેસર બીમના પ્રકાશની તીવ્રતા અચળ રહેવા માટેની ભૌમિતિક લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે.
  1. એક જ દિશામાં
  2. એક રંગીય કે એક જ તરંગલબાંઈવાળા
  3. સુસંગત પ્રકાશ
  4. અથડામણ આ લાક્ષણિકતાઓ બલ્બના પ્રકાશના કિસ્સામાં ગેરહાજર છે.

પ્રશ્ન 7.
વિધુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ વીજભારિત કણ પર q$\overrightarrow{\mathrm{E}}$ જેટલું બળ લગાડે છે. પરંતુ, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું વિધુતક્ષેત્ર વિકિરણ દબાણમાં પોતાનું યોગદાન આપતું નથી. (પરંતુ ઊર્જા સ્થાનાંતરિત કરે છે) સમજાવો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર એ આંદોલન કરતું ક્ષેત્ર છે. તેથી, તે વિદ્યુતભારિત કણ પર બળ લગાડે છે. પૂર્ણ સંખ્યાના ચક્રો પર આ સરેરાશ વિદ્યુતબળનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. જો કે દરેક અડધા ચક્ર પછી તેની દિશા બદલાય છે. તેથી, વિકિરણ દબાણ ઉત્પન્ન કરવામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર જવાબદાર નથી.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
નિયમિત રેખીય સ્થિત વીજભાર ઘનતા λ ધરાવતા અનંત લંબાઈના તારને z-અક્ષ પર સંપાત કરેલ છે. (આકૃતિ જુઓ). આ તારને તેની લંબાઈની દિશામાં v = Vk̂_z જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરાવવામાં આવે, તો પોઇન્ટિંગ સદિશ S = $\frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$ ની ગણતરી કરો.

ઉત્તર:
અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત પાતળા સુરેખ તાર વડે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર
$\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 a}$ĵ ………….. (1)
જ્યાં a એ તારની આસપાસના નળાકાર ગૉસિયન પૃષ્ઠના આડછેદની ત્રિજ્યા છે.
અને તારમાં વહેતા પ્રવાહ I ના કારણે તેનાથી ‘a’ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

પ્રશ્ન 2.
v = 4 × 100⁸ Hz આવૃત્તિ ધરાવતાં દરિયાનાં પાણી માટે પરમિટિવિટી ε = 80 ε₀, પરમિએબિલિટી μ = μ₀ અને પ્રતિરોધકતા p (resistivity) = 0.25 Ωm છે. દરિયાના પાણીમાં મૂકેલ સમાંતર પ્લેટ ધરાવતું કે જેને V(t) = V₀sin(2πvt) ac સ્રોત વડે કાર્યરત કરેલ હોય તેવા કેપેસિટર માટે સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા એ વહન પ્રવાહ ઘનતાનો કેટલો અંશ થશે ?
ઉત્તર:
– કૅપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર d અને લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ V(t) = V₀sin2πvt છે તેથી તેમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર,
ઓમના નિયમ અનુસાર,

∴ J_d = J_0dcos2πvt
(જ્યાં J_0d એ મહત્તમ સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા)
સમીકરણ (4) અને સમીકરણ (2) નો ગુણોત્તર લેતાં,

પ્રશ્ન 3.
l લંબાઈ અને a ત્રિજ્યા a(< < l ) ધરાવતા લાંબા કેબલને z-અક્ષ પર સંમિતીય રીતે સંપાત કરેલ છે. આ કેબલ એક પાતળો તાર અને કો-અક્ષીયલ વાહક પાઇપ ધરાવે છે. પાતળા તારમાંથી AC પ્રવાહ I(t) = I₀sin(2πvt) પસાર થાય છે. જે કો-અક્ષીયલ વાહક પાઇપમાંથી પાછો ફરે છે. કેબલની અંદર રહેલા તારથી S જેટલા અંતરે પ્રેરિત વિધુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathbf{E}}$(s, t) = µ₀I₀vcos(2πvt)1n($\frac{s}{a}$)k̂ છે.
(i) કેબલની અંદર સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા ગણો.
(ii) કુલ સ્થાનાંતર પ્રવાહ I_d શોધવા માટે કેબલના આડછેદ પર સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતાનું સંકલન કરો.
(iii) સ્થાનાંતર પ્રવાહ I_0d ની વહનપ્રવાહ I_O સાથે સરખામણી કરો.
ઉત્તર:
(i) કેલબની અંદર રહેલા તારથી s (s < સમઅક્ષીય કેલબની ત્રિજ્યા) અંતરે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર,



= $\frac{a}{2}\left(\frac{a \pi}{\lambda}\right)^2$
= $\frac{a^3 \pi^2}{2 \lambda^2}$
તેથી માગેલ ગુણોત્તર $\frac{\mathrm{I}_{0 d}}{\mathrm{I}_0}=\frac{a^3 \pi^2}{2 \lambda^2}$

પ્રશ્ન 4.

ઉત્તર:
(i) નીચે દર્શાવેલ આકૃતિ વિચારો.

z-દિશામાં પ્રસરતાં EM તરંગો દરમિયાન ધારો કે, ૪-અક્ષની દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{\mathrm{E}}$ અને y-અક્ષની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ છે.
∴ $\overrightarrow{\mathrm{E}}$î = E₀ અને $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ĵ = B₀
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર બંધ ચોરસ માર્ગ 1234 પરનું રેખા સંકલન,

(ii) ધારો કે, 1234 ચોરસ અસંખ્ય સૂક્ષ્મ ક્ષેત્રફળ ખંડ ds નો બનેલો છે, તો એક સૂક્ષ્મ ખંડનું ક્ષેત્રફળ ds = h dz

(iv) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનું 1234 નું ચોરસ લૂપ y-z સમતલમાં છે.


જ્યાં I_c એ વહન પ્રવાહ છે અને શૂન્યાવકાશ માટે
I_c = 0

પ્રશ્ન 5.
$\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = E₀sin(kz – ωt)î અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = B₀sin(kz – ωt)ĵ વડે દર્શાવતું EM તરંગ z-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે, તો દર્શાવો કે,
(i) તરંગની સરેરાશ ઊર્જા-ઘનતા u_av = $\frac{1}{4} \varepsilon_0 \mathrm{E}_0^2+\frac{1}{4} \frac{\mathrm{B}_0^2}{\mu_0}$ વડે આપી શકાય છે.
(ii) તરંગની સમય પર સરેરાશ તીવ્રતા I_av = $\frac{1}{2} c \varepsilon_0 \mathrm{E}_0^2$ છે.
ઉત્તર:
(i) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર દિશના લીધે તરંગો ઊર્જાનું વહન કરે છે.

• વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ સમય સાથે અને એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ તથા ક્ષણે ક્ષણે બદલાય છે.
• ધારો કે, E અને B એ સમયે અનુક્રમે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સરેરાશ છે.
  તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર E ના લીધે ઊર્જા ઘનતા,
  U_E = $\frac {1}{2}$ε₀E² અને
  ચુંબકીય ક્ષેત્ર B ના લીધે ઊર્જા ઘનતા,
  U_B = $\frac{1}{2} \frac{\mathrm{B}^2}{\mu_0}$
  તેથી EM તરંગની કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા,
  U_{સરેરાશ} = U_E + U_B = $\frac {1}{2}$ε₀E² + $\frac{1}{2} \frac{\mathrm{B}^2}{\mu_0}$
• EM તરંગો z-દિશામાં પ્રસરતા વિચારો તો, વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{\mathbf{E}}$ = E₀ sin(kz – ωt) અને $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ = B₀ sin(kz – ωt)થી દર્શાવાય.