GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.5

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.5

પ્રશ્નો 1 થી 10ના વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે તેમ દર્શાવો અને દરેકનો ઉકેલ શોધો :

પ્રશ્ન 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²) dx
ઉત્તરઃ
(x² + xy) dy = (x² + y²) dx

∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે. આથી, આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. y = vx લેતાં,

પ્રશ્ન 2.
y’ = \(\frac{x+y}{x}\)
ઉત્તરઃ
y’ = \(\frac{x+y}{x}\)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}\) ……..(1)
ધારો કે F(x, y) = \(\frac{x+y}{x}\)
∴ F(λx, λy) = \(\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x}=\frac{\lambda(x+y)}{\lambda x}\) = λ⁰ F(x, y)
∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે y = vx

∴ y = x log x + cx

પ્રશ્ન 3.
(x – y) dy (x + y) dx = 0
ઉત્તરઃ
(x − y) dy – (x + y) dx = 0
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y}\) ………..(1)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{x+y}{x-y}\)
∴ F(λx, λy) = \(=\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x-\lambda y}=\frac{\lambda(x+y)}{\lambda(x-y)}\) = λ⁰ F(x, y)
∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.

ધારો કે y = vx

પ્રશ્ન 4.
(x² – y²) dx + 2xy dy
ઉત્તરઃ
(x² – y²) dx + 2xy dy
∴ 2 xy dy = -(x² – y²) dx
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2-x^2}{2 x y}\) …….(1)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{y^2-x^2}{2 x y}\)
∴ F (λx, λy) = \(\frac{\lambda^2 y^2-\lambda^2 x^2}{2 \lambda^2 x y}=\frac{\lambda^2\left(y^2-x^2\right)}{\lambda^2(2 x y)}\) = λ⁰ F(x, y)

∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે y = vx

∴ log (y²+ x²) – 2 log x = – log x + log c
∴ log (y² + x²) = log x + log c
∴ x² + y² = Cx

પ્રશ્ન 5.
x² \(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy
ઉત્તરઃ
x² \(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy

∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમરિમાણ વિક્લ સમીકરણ છે.
y = vx લેતાં, \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

આ કિંમતો સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 6.
xdy – ydx = \(\sqrt{x^2+y^2}\)dx
ઉત્તરઃ
xdy – ydx = \(\sqrt{x^2+y^2}\)dx

= λ⁰F(x, y)
∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

આ કિંમતો સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 7.
{x cos\(\left(\frac{y}{x}\right)\) + ysin\(\left(\frac{y}{x}\right)\)} ydx = {ysin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – xcos\(\left(\frac{y}{x}\right)\)}x dy
ઉત્તરઃ

∴ F(x, y) એ શૂન્ય ધાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.
y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

આ કિંમતો સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,.

પ્રશ્ન 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) – y + x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
ઉત્તરઃ

∴ F(x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.
y = vx લેતાં, \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

આ કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 9.
ydx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0
ઉત્તરઃ
ydx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0

∴ F (x, y) એ શૂન્ય ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.
ધારો કે y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

આ કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 10.
(1 + e^{\(\frac{x}{y}\)})dx + e^{\(\frac{x}{y}\)}(1 – \(\frac{x}{y}\))dy = 0
ઉત્તરઃ
(1 + e^{\(\frac{x}{y}\)})dx + e^{\(\frac{x}{y}\)}(1 – \(\frac{x}{y}\))dy = 0
∴ \(\frac{d x}{d y}=\frac{-e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}}\)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{\frac{x}{y}}}\) એ સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ એ સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્નો 11 થી 15 માં આપેલ પ્રત્યેક વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ આપેલ શરતોને અધીન રહીને મેળવો :

પ્રશ્ન 11.
(x + y)dy + (x − y)dx = 0; જ્યારે x = 1 ત્યારે y = 1
ઉત્તરઃ
(x + y)dy + (x − y)dx = 0
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{x+y}\) ….(1)
ધારો કે y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
આ કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 12.
x² dy + (xy + y²)dx = 0; જ્યારે x = 1 ત્યારે y = 1
ઉત્તરઃ
x² dy + (xy + y²)dx = 0
∴ \(\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x y+y^2\right)}{x^2}\) ……….(1)
ધારો કે y = vx ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)

આ કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 13.
[xsin²\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y]dx + x dy = 0; જ્યારે x = 1 ત્યારે y = \(\frac{\pi}{4}\)
ઉત્તરઃ
[xsin²\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y]dx + x dy = 0

∴ cot\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = log|ex| જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0; જ્યારે x = 1 ત્યારે y = 1
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec \(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0

પ્રશ્ન 15.
2xy + y² – 2x²\(\frac{d y}{d x}\) = 0; જ્યારે x = 1 ત્યારે y = 2
ઉત્તરઃ
2xy + y² – 2x²\(\frac{d y}{d x}\) = 0

∴ y = \(\frac{2 x}{1-\log |x|}\) જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્નો 16 તથા 17 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 16.
\(\frac{d x}{d y}\) = h\(\left(\frac{x}{y}\right)\) પ્રકારના સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ કયા આદેશ દ્વારા મેળવી શકાય ?
(A) y – vx
(B) v = yx
(C) x = vy
(D) x = v
ઉત્તરઃ
\(\frac{d x}{d y}\) = h\(\left(\frac{x}{y}\right)\) પ્રકારનાં સમપરિમાણ વિકલ સમીકરણના ઉકેલ માટે આદેશ x = vy લેવામાં આવે છે.
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 17.
નીચેનામાંથી કયું વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ છે ?
(A) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx = 0
(B) (xy) dx – (x³ + y³) dy = 0
(C) (x³ + 2y) dx + 2xy dy = 0
(D) y² dx + (x – xy – y) dy
ઉત્તરઃ
(A) (4x + 6y + 5) dy – (3y + 2x + 4) dx
\(\frac{d y}{d x}=\frac{3 y+2 x+4}{4 x+6 y+5}\)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{3 y+2 x+4}{4 x+6 y+5}\)
∴ F(λx, λy) = \(\frac{3 \lambda y+2 \lambda x+4}{4 \lambda x+6 \lambda y+5}\)
જે સમપરિમાણીય વિધેય નથી.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ નથી.

(B) (xy) dx − (x³ + y³) dy = 0
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^3+y^3}\)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{x y}{x^3+y^3}\)
F (λx, λy) = \(\frac{\lambda^2 x y}{\lambda^3 x^3+\lambda^3 y^3}\) જે સમપરિમાણીય વિધેય નથી.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ સમરિમાણ નથી.

(C) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0 dy (x3 +2y2)
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x^3+2 y^2\right)}{2 x y}\)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{x^3+2 y^2}{2 x y}\)
F (λx, λy) = \(\frac{\lambda^3 x^3+2 \lambda^2 x^2}{2 \lambda^2 x y}\) જે સમપરિમાણીય વિધેય નથી.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ નથી.

(D) y²dx + (x² − xy – y²) dy = 0
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{-y^2}{x^2-x y-y^2}\)
ધારો કે F (x, y) = \(\frac{y^2}{x^2-x y-y^2}\)
F (λx, λy) = \(\frac{\lambda^2 y^2}{\lambda^2 x^2-\lambda^2 x y-\lambda^2 y^2}\) = λ° F (x, y)
જે સમપરિમાણીય વિધેય છે.
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણ સમપરિમાણ છે.
∴ વિકલ્પ (D) આવે.