GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.6

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.6 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.6

પ્રશ્નો 1 થી 22 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
x sin x
ઉત્તરઃ
I = ∫x sinx dx
u = x તથા v = sin x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = x∫sinx dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x) ∫sinx dx) dx
= -x cos x – ∫- cos x dx
= -x cos x + sin x + c

પ્રશ્ન 2.
x sin 3x
ઉત્તરઃ
I = ∫x sin 3x dx
u = x તથા v = sin 3x લેતાં, તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 3.
x² e^x
ઉત્તરઃ
I = ∫x² e^x dx
u = x² તથા v = e^x લેતાં, તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
I = x²∫e^x – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x²)∫e^xdx)dx
= x²e^x – ∫2x e^x dx
= x²e^x – 2 ∫x e^x dx]
u = x, o = e^x લઈ ફરીથી ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
= x²e^x – 2 [x∫e^x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x)∫e^x dx)dx]
= x²e^x – 2 [xe^x – ∫e^x dx]
= x²e^x – 2xe^x + 2e^x + c
= e^x (x² – 2x + 2) + c

પ્રશ્ન 4.
x log x
ઉત્તરઃ
I = ∫x logx dx
u = log x તથા v = x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનનો નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
x log 2x dx
ઉત્તરઃ
I = ∫x log 2x dx
u = log 2x તથા v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
x² log x
ઉત્તરઃ
I = ∫x² log x
u = log 2x તથા v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 7.
x sin^-1 x
ઉત્તરઃ
I = ∫x sin^-1x dx
u = sin^-1x તથા v = x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનનો નિયમ

જ્યાં I₁ = ∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\)dx
ધારો ક x = sin θ ⇒ dx = cos θ dθ

પ્રશ્ન 8.
x tan^-1x
ઉત્તરઃ
I = ∫x tan^-1x
u = tan^-1x અને v = x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 9.
xcos^-1x
ઉત્તરઃ
I = ∫xcos^-1x
u = cos^-1x અને v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 10.
(sin^-1x)²
ઉત્તરઃ
I = ∫(sin^-1x)²
ધારો ક ^-1x = θ ⇒ x = sin θ
⇒ dx = cos θ dθ
∴ I = ∫θ²cos θ dθ
u = θ² અને v = cos θ લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = θ² ∫cos θ dθ – ∫(\(\frac{d}{d \theta}\)θ²) ∫cos θ dθ) dθ
= θ² sin – 2θ sinθ dθ
= θ² sin θ – 2θ sinθ dθ]
= θ² sin θ – 2[θ ∫sin θ dθ – ∫(\(\frac{d}{d \theta}\)(θ) ∫sin θ dθ) dθ
(ફરીથી ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં)
I = θ² sin θ – 2[- θ cos θ – ∫- cos θ dθ]
= θ² sin θ – 2[-θ cos θ + sin θ] + c
= θ² sin θ + 2θ cos θ – 2sin θ + c
= (sin^-1x)²x – 2sin^-1x\(\sqrt{1-x^2}\) – 2x + c

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
ધારો ક cos^-1x = t ⇒ \(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\) dx = dt તથા x = cos t
∴ I = ∫-t cos t dt
= – ∫t cos t dt
u = t તથા v = cos t લેતાં અને ખંડશઃ સંક્લનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = – [t∫cost dt – ∫(\(\frac{d}{d t}\)(t)∫cost dt)dt]
= – [t sin t – ∫sin t dt]
= -[t sin t – (- cost)] + c
= -t sin t – cos t + C
= – t\(\sqrt{1-\cos ^2 t}\) – cos t + c
= –\(\sqrt{1-x^2}\) – x + c
= –[\(\sqrt{1-x^2}\) cos^-1x + x] + c

પ્રશ્ન 12.
x sec²x
ઉત્તરઃ
I = ∫xsec²x dx
u = x તથા v = secx લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતાં,
I = x∫sec²x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\)(x)· ∫sec²x dx) dx
= x tan x – ∫1 tan x dx
= x tan x + ∫\(\frac{-\sin x}{\cos x}\)dx
= x tan x + log |cos x| + c (∵ ∫\(\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\)dx = log|f(x)| + c)

પ્રશ્ન 13.
tan^-1x
ઉત્તરઃ
I = ∫tan^-1x dx
= ∫tan^-1x . 1 dx
u = tan^-1x તથા v = 1 લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = tan^-1x 1 dx

પ્રશ્ન 14.
x (log x)²
ઉત્તરઃ
I = ∫x (log x)²
u = (log x)² અને v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 15.
(x² + 1)log x
ઉત્તરઃ
I = ∫(x² + 1)log x dx
u = log x, તથા v = x² + 1 લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 16.
e^x (sin x + cos x)
ઉત્તરઃ
I = ∫e^x (sin x + cos x) dx
આપણે જાણીએ છીએ ક ∫e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c
અહીં f(x) = sin x લેતાં f'(x) = cos x થાય.
∴ I = ∫e^x (sin x + cos x) dx = e^x sin x + c

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
e^x\(\left(\frac{1+\sin x}{(1+\cos x)}\right)\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
e^x\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
e^2x sin x
ઉત્તરઃ
I = ∫e^2x sin x dx
u = e^2x તથા v = sinx લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલન કરતાં,
I = e^2x ∫sin x dx – ∫(d (e^2x ) ∫sinx dx) dx
= -e^2x cos x ∫2e^2x (- cos x) dx
= -e^2x cos x + 2
[e^2x∫cos xdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) (e^2x) ∫cosx dx) dx
(ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ ફરીથી કરતાં)
I = – e^2x cos x + 2[e^2x sinx – ∫2e^2x sin x dx]
∴ I = -e^2x cos x + 2e^2x sin x – 4∫e^2x sin x dx
∴ I = -e^2x cos x + 2e^2x sinx – 4I
∴ 5I = \(\frac{1}{5}\)(2 sin x – cos x)e^2x + c
= \(\frac{e^{2 x}}{5}\) (2sin x – cos x) + c
નોંધ : મિત્રો, નીચેના સૂત્રો યાદ રાખવા :

(1) ∫e^ax sin (bx+ k) dx = \(\frac{e^{a x}}{a^2+b^2}\)
[a sin (bx+ k) – b cos (bx + k)] + c (a, b ≠ 0)

(2) ∫e^ax cos (bx+ k) dx = \(\frac{e^{a x}}{a^2+b^2}\)
[a cos (bx + k) + b sin (bx + k)] + c (0, b ≠ 0)
દા.ત., [ex sinx dx માં
a = 2 તથા b = 1 તથા k = 0
∴ ∫e^2xsin dx = \(\frac{e^{2 x}}{4+1}\)[2sin x – cos x] + c
= \(\frac{e^{2 x}}{5}\)[2sin x – cos x] + c થાય.

પ્રશ્ન 22.
sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
ઉત્તરઃ
I = ∫sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) dx
x = tan t લેતાં dx = sec²t. dt
I = ∫sin^-1\(\left(\frac{2 \tan t}{1+\tan ^2 t}\right)\)sec²t dt
= ∫sin^-1(sin 2t) sec²t dt
= ∫2t sec²t dt
u = 2t તથા v = sec²t લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = 2t ∫sec²t dt – ∫(\(\frac{d}{d t}\)(2t)∫sec²t dt) dt
= 2t tan t – ∫2 tant dt
= 2t tan t – ∫2 tant dt
= 2t tant + 2∫\(\frac{-\sin t}{\cos t}\)dt
= 2t tan t + 2 log |cos t| + c

પ્રશ્નો 23 તથા 24 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 23.
∫x² e^x3dx = ………
(A) \(\frac{1}{3}\)e^x3 + c
(B) \(\frac{1}{3}\)e^x2 + c
(C) \(\frac{1}{2}\)e^x3 + c
(D) \(\frac{1}{2}\)e^x2 + c
ઉત્તરઃ
I = ∫x² e^x3dx
ધારો કે x³ = t ⇒ 3x² dx = dt
x² dx = \(\frac{d t}{3}\)

I = ∫e^t\(\frac{d t}{3}=\frac{1}{3}\)e^t + c
= \(\frac{1}{3}\)e^x3 + c
∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 24.
∫e^x sec x(1 + tan x) dx = ………….. .
(A) e^x cos x + c
(B) e^x sec x + c
(C) e^x sin x + c
(D) e^x tan x + c
ઉત્તરઃ
I = ∫e^x sec x (1 + tanx) dx
= ∫e^x (sec x + secx tan x) dx
f(x) = sec x હોય તો f'(x) = sec x tan x થાય.
∫e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c
I = e^x sec x + c
∴ વિકલ્પ (B) આવે.