Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.6 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.6
પ્રશ્નો 1 થી 22 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :
પ્રશ્ન 1.
x sin x
ઉત્તરઃ
I = ∫x sinx dx
u = x તથા v = sin x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = x∫sinx dx – ∫(\frac{d}{d x}(x) ∫sinx dx) dx
= -x cos x – ∫- cos x dx
= -x cos x + sin x + c
પ્રશ્ન 2.
x sin 3x
ઉત્તરઃ
I = ∫x sin 3x dx
u = x તથા v = sin 3x લેતાં, તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\frac{d}{d x}(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 3.
x2 ex
ઉત્તરઃ
I = ∫x2 ex dx
u = x2 તથા v = ex લેતાં, તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\frac{d}{d x}(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
I = x2∫ex – ∫(\frac{d}{d x}(x2)∫exdx)dx
= x2ex – ∫2x ex dx
= x2ex – 2 ∫x ex dx]
u = x, o = ex લઈ ફરીથી ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
= x2ex – 2 [x∫ex dx – ∫(\frac{d}{d x}(x)∫ex dx)dx]
= x2ex – 2 [xex – ∫ex dx]
= x2ex – 2xex + 2ex + c
= ex (x2 – 2x + 2) + c
પ્રશ્ન 4.
x log x
ઉત્તરઃ
I = ∫x logx dx
u = log x તથા v = x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનનો નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\frac{d}{d x}(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 5.
x log 2x dx
ઉત્તરઃ
I = ∫x log 2x dx
u = log 2x તથા v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\frac{d}{d x}(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 6.
x2 log x
ઉત્તરઃ
I = ∫x2 log x
u = log 2x તથા v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\frac{d}{d x}(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 7.
x sin-1 x
ઉત્તરઃ
I = ∫x sin-1x dx
u = sin-1x તથા v = x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનનો નિયમ
જ્યાં I1 = ∫\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx
ધારો ક x = sin θ ⇒ dx = cos θ dθ
પ્રશ્ન 8.
x tan-1x
ઉત્તરઃ
I = ∫x tan-1x
u = tan-1x અને v = x લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમ
∫uv dx = u∫vdx – ∫(\frac{d}{d x}(u) ∫vdx)dx નો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 9.
xcos-1x
ઉત્તરઃ
I = ∫xcos-1x
u = cos-1x અને v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 10.
(sin-1x)2
ઉત્તરઃ
I = ∫(sin-1x)2
ધારો ક -1x = θ ⇒ x = sin θ
⇒ dx = cos θ dθ
∴ I = ∫θ2cos θ dθ
u = θ2 અને v = cos θ લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = θ2 ∫cos θ dθ – ∫(\frac{d}{d \theta}θ2) ∫cos θ dθ) dθ
= θ2 sin – 2θ sinθ dθ
= θ2 sin θ – 2θ sinθ dθ]
= θ2 sin θ – 2[θ ∫sin θ dθ – ∫(\frac{d}{d \theta}(θ) ∫sin θ dθ) dθ
(ફરીથી ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં)
I = θ2 sin θ – 2[- θ cos θ – ∫- cos θ dθ]
= θ2 sin θ – 2[-θ cos θ + sin θ] + c
= θ2 sin θ + 2θ cos θ – 2sin θ + c
= (sin-1x)2x – 2sin-1x\sqrt{1-x^2} – 2x + c
પ્રશ્ન 11.
\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}
ઉત્તરઃ
I = ∫\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}
ધારો ક cos-1x = t ⇒ \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = dt તથા x = cos t
∴ I = ∫-t cos t dt
= – ∫t cos t dt
u = t તથા v = cos t લેતાં અને ખંડશઃ સંક્લનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = – [t∫cost dt – ∫(\frac{d}{d t}(t)∫cost dt)dt]
= – [t sin t – ∫sin t dt]
= -[t sin t – (- cost)] + c
= -t sin t – cos t + C
= – t\sqrt{1-\cos ^2 t} – cos t + c
= –\sqrt{1-x^2} – x + c
= –[\sqrt{1-x^2} cos-1x + x] + c
પ્રશ્ન 12.
x sec2x
ઉત્તરઃ
I = ∫xsec2x dx
u = x તથા v = secx લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમોનો ઉપયોગ કરતાં,
I = x∫sec2x dx – ∫[\frac{d}{d x}(x)· ∫sec2x dx) dx
= x tan x – ∫1 tan x dx
= x tan x + ∫\frac{-\sin x}{\cos x}dx
= x tan x + log |cos x| + c (∵ ∫\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx = log|f(x)| + c)
પ્રશ્ન 13.
tan-1x
ઉત્તરઃ
I = ∫tan-1x dx
= ∫tan-1x . 1 dx
u = tan-1x તથા v = 1 લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = tan-1x 1 dx
પ્રશ્ન 14.
x (log x)2
ઉત્તરઃ
I = ∫x (log x)2
u = (log x)2 અને v = x લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 15.
(x2 + 1)log x
ઉત્તરઃ
I = ∫(x2 + 1)log x dx
u = log x, તથા v = x2 + 1 લેતાં અને ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
પ્રશ્ન 16.
ex (sin x + cos x)
ઉત્તરઃ
I = ∫ex (sin x + cos x) dx
આપણે જાણીએ છીએ ક ∫ex [f(x) + f'(x)] dx = ex f(x) + c
અહીં f(x) = sin x લેતાં f'(x) = cos x થાય.
∴ I = ∫ex (sin x + cos x) dx = ex sin x + c
પ્રશ્ન 17.
\frac{x e^x}{(1+x)^2}
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 18.
ex\left(\frac{1+\sin x}{(1+\cos x)}\right)
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 19.
ex\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 20.
\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 21.
e2x sin x
ઉત્તરઃ
I = ∫e2x sin x dx
u = e2x તથા v = sinx લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલન કરતાં,
I = e2x ∫sin x dx – ∫(d (e2x ) ∫sinx dx) dx
= -e2x cos x ∫2e2x (- cos x) dx
= -e2x cos x + 2
[e2x∫cos xdx – ∫(\frac{d}{d x} (e2x) ∫cosx dx) dx
(ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ ફરીથી કરતાં)
I = – e2x cos x + 2[e2x sinx – ∫2e2x sin x dx]
∴ I = -e2x cos x + 2e2x sin x – 4∫e2x sin x dx
∴ I = -e2x cos x + 2e2x sinx – 4I
∴ 5I = \frac{1}{5}(2 sin x – cos x)e2x + c
= \frac{e^{2 x}}{5} (2sin x – cos x) + c
નોંધ : મિત્રો, નીચેના સૂત્રો યાદ રાખવા :
(1) ∫eax sin (bx+ k) dx = \frac{e^{a x}}{a^2+b^2}
[a sin (bx+ k) – b cos (bx + k)] + c (a, b ≠ 0)
(2) ∫eax cos (bx+ k) dx = \frac{e^{a x}}{a^2+b^2}
[a cos (bx + k) + b sin (bx + k)] + c (0, b ≠ 0)
દા.ત., [ex sinx dx માં
a = 2 તથા b = 1 તથા k = 0
∴ ∫e2xsin dx = \frac{e^{2 x}}{4+1}[2sin x – cos x] + c
= \frac{e^{2 x}}{5}[2sin x – cos x] + c થાય.
પ્રશ્ન 22.
sin-1\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)
ઉત્તરઃ
I = ∫sin-1\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) dx
x = tan t લેતાં dx = sec2t. dt
I = ∫sin-1\left(\frac{2 \tan t}{1+\tan ^2 t}\right)sec2t dt
= ∫sin-1(sin 2t) sec2t dt
= ∫2t sec2t dt
u = 2t તથા v = sec2t લેતાં તથા ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = 2t ∫sec2t dt – ∫(\frac{d}{d t}(2t)∫sec2t dt) dt
= 2t tan t – ∫2 tant dt
= 2t tan t – ∫2 tant dt
= 2t tant + 2∫\frac{-\sin t}{\cos t}dt
= 2t tan t + 2 log |cos t| + c
પ્રશ્નો 23 તથા 24 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
પ્રશ્ન 23.
∫x2 ex3dx = ………
(A) \frac{1}{3}ex3 + c
(B) \frac{1}{3}ex2 + c
(C) \frac{1}{2}ex3 + c
(D) \frac{1}{2}ex2 + c
ઉત્તરઃ
I = ∫x2 ex3dx
ધારો કે x3 = t ⇒ 3x2 dx = dt
x2 dx = \frac{d t}{3}
I = ∫et\frac{d t}{3}=\frac{1}{3}et + c
= \frac{1}{3}ex3 + c
∴ વિકલ્પ (A) આવે.
પ્રશ્ન 24.
∫ex sec x(1 + tan x) dx = ………….. .
(A) ex cos x + c
(B) ex sec x + c
(C) ex sin x + c
(D) ex tan x + c
ઉત્તરઃ
I = ∫ex sec x (1 + tanx) dx
= ∫ex (sec x + secx tan x) dx
f(x) = sec x હોય તો f'(x) = sec x tan x થાય.
∫ex (f(x) + f'(x)) dx = ex f(x) + c
I = ex sec x + c
∴ વિકલ્પ (B) આવે.