GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.3

પ્રશ્નો 1 થી 22 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
sin²(2x + 5)
ઉત્તરઃ
I = ∫sin²(2x + 5) dx
= \(\frac{1}{2}\)∫[1 – cos 2(2x + 5)]dx
= \(\frac{1}{2}\)∫dx – \(\frac{1}{2}\)∫cos(4x + 10)dx
ધારો કે 4x + 10 = t ⇒ 4dx dt ⇒ dx = \(\frac{d t}{4}\)
∴ I = \(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\)∫cos t \(\frac{d t}{4}\)
= \(\frac{x}{2}-\frac{1}{8}\)sin t + c
= \(\frac{x}{2}-\frac{1}{8}\)sin(4x + 10) + c (∴ t = 4x + 10)

પ્રશ્ન 2.
sin 3x cos 4x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin 3x cos 4x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫2 cos 4x sin 3x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫[sin(4x + 3x) – sin(4x – 3x)dx
(∵ 2 cos A sin B = sin (A + B) sin(A – B)
= \(\frac{1}{2}\)∫(+ sin7x – sinx) dx
= \(\frac{1}{2}\)∫sin7x dx – \(\frac{1}{2}\)∫ sinx dx
= –\(-\frac{1}{2} \frac{\cos 7 x}{7}+\frac{1}{2}\)cos x + c
= \(-\frac{1}{14}\)cos 7x + \(\frac{1}{2}\)cosx + c

પ્રશ્ન 3.
cos 2x cos 4x cos 6x
ઉત્તરઃ
I = ∫cos 2x cos 4x cos 6x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫(2cos 4x cos 2x). cos 6x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫[cos (4x + 2x) + cos(4x – 2x)cos 6x dx
[(∵ 2cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)]
= \(\frac{1}{2}\)∫(cos 6x + cos2x) cos 6x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫cos²6x dx + cos 2x dx
= \(\frac{1}{4}\)∫2 cos²6x dx + \(\frac{1}{4}\)∫ 2cos 6x cos 2x dx
= \(\frac{1}{4}\)∫(1 +cos 12x)dx + \(\frac{1}{4}\)∫[cos (6x + 2x) + cos(6x – 2x)]dx
( ∵ 2 cos²θ = 1 + cos 2θ d A તથા ફરીથી 2cos A cos B સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં)
= \(\frac{1}{4}\)∫(1 + cos 12x)dx + \(\frac{1}{4}\)∫[cos (8x + cos 4x)dx
= \(\frac{1}{4}\)∫(1 + cos 12x) dx + \(\frac{1}{4}\)∫(cos 8x + cos 4x)dx
= \(\frac{1}{4}\)[∫dx + ∫cos 12x)dx + \(\frac{1}{4}\)∫(cos 8x + cos 4x)dx
= \(\frac{1}{4}\)[∫dx + ∫cos 12x dx + ∫cos 8x dx + ∫cos 4x dx]
= \(\frac{1}{4}\)[x + \(\frac{\sin 12 x}{12}+\frac{\sin 8 x}{8}+\frac{\sin 4 x}{x}\)] + c

પ્રશ્ન 4.
sin³(2x + 1)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
sin³x cos³x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin³x cos³x dx
= ∫sinx sin²x cos³x dx
= ∫sinx (1 – cos²x) cos³x dx
= ∫(cos³x – cos⁵x) sin x dx
ધારો કે cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
∴ I = -∫(t³ – t⁵)dt
= \(\frac{-t^4}{4}+\frac{t^6}{6}\) + c
= \(\frac{1}{6}\)cos⁵x – \(\frac{1}{2}\)cos⁴x + c (∵ t = cos x)

પ્રશ્ન 6.
sin x sin 2x sin 3x
ઉત્તરઃ
I = sin x sin2 x sin3 x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫(cos x – cos 3x) sin 3x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫(cos x – cos 3x) sin 3x dx
(∵ 2sin A sin B = cos (A – B) – cos(A + B))

પ્રશ્ન 7.
sin 4x sin 8x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin 4x sin 8x dx
= \(\frac{1}{2}\)∫2sin 8x sin 4x dx
= \(\frac{1}{2}\)(cos 4x – cos 12x) dx
(∵ 2sin A sin B = cos (AB) cos(A + B))
I = \(\frac{1}{2}\)[∫cos 4x dx – ∫cos 12x dx]
= \(\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 4 x}{4}-\frac{\sin 12 x}{12}\right]\) + c

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)dx

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{\cos x}{1+\cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
sin⁴x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin⁴x dx
= ∫(sin²x)²x dx

પ્રશ્ન 11.
cos⁴2x
ઉત્તરઃ
I = ∫cos⁴2x dx
= ∫(cos²2x)² dx

પ્રશ્ન 12.
\(\frac{\sin ^2 x}{1+\cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}\)
ઉત્તરઃ

= 2 ∫(cos x + cos a) dx
= 2∫cos x dx + 2cos a Jdx
= 2sin x + 2x cos α + C
= 2(sin x + x cos α) +

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
tan³ 2x sec 2x
ઉત્તરઃ
I = ∫tan³ 2x. sec 2x
= ∫tan²2x. tan 2x. sec 2x dx
ધારો કે sec 2x = t ⇒ 2sec 2x. tan 2x dx = dt
I = \(\frac{1}{2}\)∫(t² – 1)dt
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{t^3}{3}\) – t] + c
= \(\frac{1}{6}\)sec³ 2x – \(\frac{1}{2}\)sec2x + c (∵ t = sec 2x)

પ્રશ્ન 16.
tan⁴x
ઉત્તરઃ
I = ∫tan⁴x dx
= ∫tan²x. tan²x dx
= ∫tan²x. (sec²x – 1)dx
= ∫tan²x. sec²xdx – ∫tan²x dx
I = ∫tan²x sec²x dx – ∫(sec²x – 1)dx

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)dx
= ∫\(\frac{\sin ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)dx + ∫\(\frac{\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)dx
= ∫secx tanx dx + ∫cosecx. cotx. dx
= sec x – cosec x + C

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{\cos 2 x+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{1}{\sin x \cos ^3 x}\)
ઉત્તરઃ

ધારો કે tan x = t ⇒ sec²x dx = dt
I = ∫(t + \(\frac{1}{t}\))dt
= \(\frac{t^2}{2}\) + log |t| + c
= \(\frac{\tan ^2 x}{2}\) + log |tan x| + c (∵ t = tan x)
(નોંધ : અંશમાં 1 = sin²x + cos²x લઈને પણ આ દાખલો કરી શકાય છે.)

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2}\)
ઉત્તરઃ

ધારો કે cos x + sin x = t ⇒ (-sin x + cos x)dx = dt
⇒ (cos x – sin x)dx = dt
I = ∫\(\frac{1}{t}\)dt
= log |t| + c
= log|cosx + sin x| + c (∵t = cos x + sin x)

પ્રશ્ન 21.
sin^-1(cos x)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
\(\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
∫\(\frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)dx = …….. .
(A) tan x + cot x + c
(B) tan x + cosec x + c
(C) -tan x + cot x + c
(D) tan x + sec x + c
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\)dx
= ∫\(\left(\frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x}\right)\)dx
= ∫(sec²x – cosec²x)dx
= tan x + cot x + c
∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 24.
∫\(\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(e^x x\right)}\)dx = ………
cos2 (etx)
(A) -cot(ex^x) + c
(B) tan(xe^x) + c
(C) tan (e^x) + c
(D) cot (e^x) + c
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(e^x x\right)}\)dx
ધારો કે e^x⋅ x = t ⇒ (e^x + xe^x) dx = dt
⇒ e^x(1 + x)dx = dt
I = ∫\(\frac{d t}{\cos ^2 t}\)
= ∫sec2t dt
= tan t + C
= tan (e^x. x) + c (t = e^x. x)
= tan (xe^x + c)
∴ વિકલ્પ (B) આવે.