GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 6 વિકલિતના ઉપયોગો Ex 6.1

પ્રશ્ન 1.
જ્યારે (a) r = 3 સેમી તથા (b) r = 4 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યા ને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર શોધો.
(a) r = 3 સેમી
(b) r = 4 સેમી
ઉત્તરઃ
(a) r = 3 સેમી
r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A = πr²
\(\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\) = 2πr
\(\left.\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\right|_{r=3}\) = 2π(3) = 6π
∴ ત્રિજ્યા r = 3 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળનાં ક્ષેત્રફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ દર 6π (સેમી)² (સેમી) છે.

(b) r = 4 સેમી
r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A = πr²
\(\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\) = 2πr
\(\left.\frac{d \mathrm{~A}}{d r}\right|_{r=4}\) = 2π(4) = 8π
∴ ત્રિજ્યા 7 = 4 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળનાં ક્ષેત્રફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ દર 8π (સેમી)²/(સેમી) છે.

પ્રશ્ન 2.
એક સમઘનનું કદ 8 સેમી³/સે ના દરથી વધે છે. જ્યારે સમઘનની ધારની લંબાઈ 12 સેમી હોય ત્યારે તેનું પૃષ્ઠફળ કેટલી ઝડપથી વધે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે સમઘનની બાજુની લંબાઈ x સેમી છે.
∴ તેનું ઘનફળ V = x³ તથા તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ S = 6x². જ્યાં x એ t નું વિધેય છે.
આપેલ છે કે, \(\frac{d \mathrm{~V}}{d t}\) = 8 સેમી/સેકન્ડ

∴ સમઘનની સપાટીનાં ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર = 60π સેમી /સેકન્ડ

પ્રશ્ન 3.
એક વર્તુળની ત્રિજ્યા એકધારી 3 સેમી/સેના દરથી વધે છે. જ્યારે વર્તુળની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારાનો દર શોધો.
ઉત્તરઃ
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A = πr², r = વર્તુળની ત્રિજ્યા
વર્તુળની ત્રિજ્યા વધવાનો દર \(\frac{d r}{d t}\) = 3 સેમી/સેકન્ડ
\(\frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\)(πr²)
= \(\frac{d}{d r}\)(πr²). \(\frac{dr}{d t}\)
= 2πr\(\frac{dr}{d t}\)
= 2π(10) (3) (∵ r = 10 સેમી)
= 60 સેમી²/સેકન્ડ
∴ વર્તુળનાં ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર = 60 સેમી²/સેકન્ડ

પ્રશ્ન 4.
એક સમઘનની ધાર ૩ સેમી/સે.ના દરથી વધે છે. જ્યારે સમઘનની ધારની લંબાઈ 10 સેમી હોય ત્યારે તે સમઘનનું ઘનફળ કેટલી ઝડપથી વધે ?
ઉત્તરઃ
સમઘનની બાજુની લંબાઈ ધારો કે x સેમી છે.
∴ સમઘનનું ઘનફળ V = x³
આપેલ છે કે, \(\frac{d x}{d t}\) = 3 સેમી/સેકન્ડ
V = x³ ∴ \(\frac{d \mathrm{~V}}{d t}=\frac{d}{d t}\)(x3)
= \(\frac{d}{d x}\)(x³).\(\frac{d x}{d t}\)
= 3x² × 3
= 9x²
= 9(10)² (∵ x = 10 સેમી)
= 900 સેમી³/સેકન્ડ

∴ સમઘનનાં ઘનફળ વધવાનો દર 900 સેમી³/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 5.
શાંત સરોવરમાં એક પથ્થર નાંખવામાં આવે છે અને પાણીમાં વર્તુળાકાર વમળો સર્જાય છે. વર્તુળાકાર વમળોની ત્રિજ્યા 5 સેમી/સે.ની ઝડપે વધે છે. જ્યારે વર્તુળાકાર વમળની ત્રિજ્યા 8 સેમી. હોય, ત્યારે આ વર્તુળાકાર વમળોનું ક્ષેત્રફળ કેટલી ઝડપે વધે છે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા r = 8 સેમી
∴ તેનું ક્ષેત્રફળ A = πr²
આપેલ છે કે \(\frac{d r}{d t}\) = 5 સેમી/સેકન્ડ
A = πr² ∴ \(\frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\)(πr²)
= \(\frac{d}{d r}\)(πr²). \(\frac{d r}{d t}\)
= 2πr. (5)
= 10πr
= 10π(8) (∵ r = 8 cm)
= 80π સેમી²/સેકન્ડ
∴ ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર 80 સેમી2/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 6.
એક વર્તુળની ત્રિજ્યા 0.7 સેમી/સે.ના દરે વધે છે, તો વર્તુળના પરિઘના વધવાનો દર કેટલો હશે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા = r સેમી
∴ વર્તુળનો પરીઘ c = 2πr
આપેલ છે કે, \(\frac{d r}{d t}\) = 0.7 સેમી/સેકન્ડ
C = 2πr ∴ \(\frac{d c}{d t}=\frac{d}{d t}\)(2πr)
= \(\frac{d}{d r}\)(2πr). \(\frac{d r}{d t}\)
= 2π(0.7)
= 1.4 સેમી/સેકન્ડ
∴ પરીઘનાં વધવાનો દર = 1.4π સેમી/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 7.
એક લંબચોરસની લંબાઈ x, 5 સેમી/મિનિટના દરે ઘટે છે અને તેની પહોળાઈ 4 સેમી/મિનિટના દરે વધે છે. જ્યારે x = 8 સેમી અને y = 6 સેમી હોય, ત્યારે (a) લંબચોરસની પરિમિતિ અને (b) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધો.
ઉત્તરઃ
લંબચોરસની લંબાઈ ૪ સેમી તથા તેની પહોળાઈ y સેમી છે.
આપેલ છે કે, \(\frac{d x}{d t}\) = -5 સેમી/મિનિટ (ઋણ નિશાની એ લંબાઈ ઘટવાનો દર દર્શાવે છે.)
\(\frac{d y}{d t}\) = 4 સેમી/મિનિટ
લંબચોરસની પરિમિતિ P = 2x + 2y
∴ \(\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{d}{d t}\)(2x + 2y)
= 2\(\frac{d x}{d t}\) + 2\(\frac{d y}{d t}\)
= 2(-5) + 2(4)
= -10 + 8
= -2 સેમી/મિનિટ
∴ લંબચોરસની પરિમિતિ 2 સેમી/મિનિટનાં દરથી ઘટે છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ A = xy
\(\frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\)(xy)
= x\(\frac{d y}{d t}\) + y\(\frac{d y}{d t}\)

\(\frac{d \mathrm{~A}}{d t}\) = 8(4) + 6(-5) (∵ x = 8 સેમી y = 6 સેમી)
= 32 – 30
= 2 સેમી2|મિનિટ
∴ લંબચોરસનાં ક્ષેત્રફળ વધવાનો દર 2 સેમી² મિનિટ છે.

પ્રશ્ન 8.
એક ગોળાકાર ફુગ્ગામાં તેનું કદ 900 સેમી³/સે ના દરે વધે એવી રીતે હવા ભરવામાં આવે છે. જ્યારે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા 15 સેમી હોય ત્યારે ત્રિજ્યાના વધવાનો દર શોધો. ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા સેમી છે.
∴ તેનું ઘનફળ = ગોળાનું ઘનફળ V = \(\frac{4}{3}\)πr³
આપેલ છે કે \(\frac{d V}{d t}\) = 900 સેમી3 સેકન્ડ તથા r =15 સેમી \(\frac{d r}{d t}\) = ?

∴ ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા વધવાનો દર \(\frac{1}{\pi}\) સેમી./સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 9.
એક ગોળાકાર ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા ચલિત થાય છે અને તે ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે. જ્યારે તેની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય ત્યારે તેના ઘનફળમાં ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતા વધારાનો દર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા 7 સેમી છે.
∴ તેનું ક્ષેત્રફળ A = 4πr² તથા તેનું ઘનફળ V = \(\frac{4}{3}\)πr³
V = \(\frac{4}{3}\)πr³ ∴ \(\)(\(\frac{4}{3}\)πr³)
= 4πr²
= 4 (10)² (∵ r = 10 સેમી)
= 400π સેમી³/સેમી
∴ ઘનફળનો ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ દર 400 સેમી³/સેમી છે.

પ્રશ્ન 10.
એક 5 મીટર લાંબી નિસરણી દીવાલે ટેકવી છે. સીડીનો નીચેનો છેડો જમીન પર 2 સેમી/સેના દરે દીવાલથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે. જ્યારે સીડીનો નીચેનો છેડો દીવાલથી 4 મીટર દૂર હોય, ત્યારે દીવાલ પર નિસરણીની ઊંચાઈ કેટલી ઝડપથી ઘટે છે ?
ઉત્તરઃ
\(\overline{\mathrm{AB}}\) નિસરણી છે.
AB = 5m

નિસરણીનો નીચેનો ભાગ B એ ખસેડીને Q બિંદુએ લાવવામાં આવે છે.
∴ તેનો ઉપરનો છેડો A એ P બિંદુએ આવશે.
આપેલ છે કે OB = 4m
ધારો કે BQ = x m ⇒ \(\frac{d x}{d t}\) = 2 સેમી/સેકન્ડ
= 0.02 મીટર/સેકન્ડ

ધારો કે AP = y m
AB = PQ = 5m
AB² = OA² + OB²
25 = (OA)² + 16
∴ (OA)² = 25 – 16
∴ OA = 3m
હવે OQ = OB + BQ = (4 + x)m
OP = OA – AP = (3 – y)m
હવે PQ² = Op² + OQ²
∴ (5)² = (3 – y)² + (4 + x)²
∴ 25 = 9 – 6y + y² + 16 + 8x + x²
∴ x² + y² + 8x – 6y = 0
t પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

શરૂઆતમાં t = 0 સમયે નિસરણી AB સ્થાને છે.
તે સમયે x = 0, y = 0 તથા \(\frac{d x}{d t}\) = 0.02 મીટર/સેકન્ડ

ઋણ નિશાની એ નિસરણીની ઊંચાઈ ઘટે છે તે બતાવે છે.
∴ નિસરણીની ઊંચાઈ ઘટવાનો દર \(\frac{8}{3}\)સેમી/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 11.
એક પદાર્થ, વક્ર 6y = x³ + 2 પર ગતિ કરે છે. વક્ર પરનાં જે બિંદુઓએ તેમના જી-યામમાં તેમના ૪-યામ કરતાં 8 ગણી ઝડપે ફેરફાર થાય, તે બિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
પદાર્થકણની ગતિનું સમીકરણ : 6y = x³ + 2
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં, 6\(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2}{2}\)

આપેલ છે કે વક્ર પરનાં બિંદુનાં y- યામનાં બદલાવવાનો દર એ ૪- યામનાં બદલાવવાનાં દર કરતાં 8 ગણો છે.
\(\frac{d y}{d x}\) = 8
\(\frac{x^2}{2}\) = 8
∴ x² = 16
∴ x = ±4
વક્રનું સમીકરણ 6y = x³ + 2
x = 4 હોય ત્યારે 6y = (4)3 + 2 = 66
∴ y = 11
x = –4 હોય ત્યારે 6y = (-4)³ + 2 = -62
∴ y = \(\frac{-62}{6}\)
= \(-\frac{31}{3}\)
∴ માંગેલ બિંદુઓ (4, 11) અને (-4, \(-\frac{31}{3}\)) છે.

પ્રશ્ન 12.
હવાના પરપોટાની ત્રિજ્યા \(\frac{1}{2}\) સેમી/સેના દરથી વધે છે, જ્યારે પરપોટાની ત્રિજ્યા 1 સેમી હોય ત્યારે તેના કદમાં થતા વધારાનો દર કેટલો હોય ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે હવાનાં પરપોટાની ત્રિજ્યા = r સેમી
આપેલ છે કે, \(\frac{d r}{d t}=\frac{1}{2}\) સેમી/સેકન્ડ તથા r = 1 સેમી

∴ હવાનાં પરપોટાનાં કદ વધવાનો દર 2π (સેમી)³/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 13.
એક ગોળાકાર ફુગ્ગાનો વ્યાસ \(\frac{3}{2}\)(2x + 1) છે. તો આ ફુગ્ગાના ઘનફળમાં xને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર શોધો. ફુગ્ગો ગોળાકાર જ રહે છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા = r

∴ ફુગ્ગાનાં કદનો x ને સાપેક્ષ બદલાવનો દર
\(\frac{27}{8}\)π (2x + 1)² છે.

પ્રશ્ન 14.
એક પાઇપ દ્વારા 12 સેમી³/સેના દરથી રેતી નાખવામાં આવે છે. આ રેતી દ્વારા જમીન પર શંકુ બને છે. તેની ઊંચાઈ હંમેશાં તેના પાયાની ત્રિજ્યા કરતાં \(\frac{1}{6}\)ગણી રહે છે. જ્યારે ઊંચાઈ 4 સેમી 6 હોય ત્યારે રેતીના આ શંકુની ઊંચાઈના વધવાનો દર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે કોઈ t સમયે શંકુની ઊંચાઈ h, તેનું ઘનફળ V તથા પાયાની ત્રિજ્યા છે.

∴ રેતીનાં શંકુની ઊંચાઈ વધવાનો દર \(\frac{1}{48 \pi}\) સેમી/સેકન્ડ છે.

પ્રશ્ન 15.
એક વસ્તુના ૪ એકમના ઉત્પાદનનો કુલ ખર્ચ (રૂપિયામાં) C(x) = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000 દ્વારા મળે છે. જ્યારે 17 એકમનું ઉત્પાદન થયેલ હોય ત્યારે સીમાંત ખર્ચ શોધો.
ઉત્તરઃ
C(x) = 0.007 x³ – 0.003 x² + 15x + 4000
જ્યાં ૪ એ ઉત્પાદનનાં એકમો છે તથા C(x) એ કુલ કિંમત છે.
હવે \(\frac{d c}{d x}=\frac{d}{d x}\)[0.007x³ -0.003x² + 15x + 4000]
= 0.021x² – 0.006x +15
જ્યારે x = 17 હોય ત્યારે,
\(\frac{d c}{d x}\) = 0.021 (17)² – 0.006 (17) + 15
= 6.069 0.102 + 15
= 20.967
∴ x = 17 એકમ હોય ત્યારે સીમાંત કિંમત ₹ 20.967 છે.

પ્રશ્ન 16.
એક વસ્તુના ૪ એકમના વેચાણથી મળતી કુલ આવક (રૂપિયામાં) R(x) = 13x² + 26x + 15 દ્વારા મળે છે. જ્યારે x = 7 હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધો.
ઉત્તરઃ
R(x) = 13x² + 26x + 15
જ્યાં R(x) એ કુલ રેવન્યુ છે તથા x એ ઉત્પાદકનાં એકમો છે.
હવે \(\frac{d \mathrm{R}}{d x}=\frac{d}{d x}\)(13x² + 26x + 15)
= 26x + 26
\(\left.\frac{d \mathrm{R}}{d x}\right|_{x=7}\) = 26(7) + 26
= 26 × 8
= 208
જ્યારે x = 7 હોય ત્યારે સીમાંત આવક ₹ 208 છે.

પ્રશ્નો 17 તથા 18માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 17.
જ્યારે ત્રિજ્યા 6 સેમી હોય ત્યારે વર્તુળના ક્ષેત્રફળમાં તેની ત્રિજ્યાને સાપેક્ષ થતા ફેરફારનો દર ………… હોય.
(A) 10π
(B) 12π
(C) 8π
(D) 11π
ઉત્તરઃ
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા = r સેમી
∴ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A = πr²

∴ વિકલ્પ (B) આવે.

પ્રશ્ન 18.
એક વસ્તુના x એકમના વેચાણથી મળતી કુલ આવક (રૂપિયામાં) R(x) = 3x² + 36x + 5 દ્વારા મળે છે. જ્યારે x = 15 હોય ત્યારે થતી સીમાંત આવક ₹ …… હોય.
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
ઉત્તરઃ
R(x) = 3x² + 36x + 5
= 6x + 36
∴ \(\left.\frac{d \mathrm{R}}{d r}\right|_{x=15}\) = 6(15) + 36
= 126
∴ વિકલ્પ (D) આવે.