GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1 થી 11 માં આપેલ વિધેયોનાં x વિશે વિકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
(3x² – 9x + 5)⁹
ઉત્તરઃ
y = (3x² – 9x + 5)⁹
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(3x² – 9x + 5)⁹
= 9(3x² – 9x + 5)⁸.\(\frac{d}{d x}\)(3x² – 9x + 5)
= 9(3x² – 9x + 5)⁸ . (6x − 9)
= 27 (3x² – 9x + 5)⁸ (2x − 3)

પ્રશ્ન 2.
sin³x + cos⁶x
ઉત્તરઃ
y = sin³x + cos⁶x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)[sin³x + cos⁶x]
= \(\frac{d}{d x}\)(sin³x) + \(\frac{d}{d x}\)(cos⁶x)
= 3 sin²x.\(\frac{d}{d x}\)(sin x) + 6 cos⁵x ·\(\frac{d}{d x}\)(cos x)
= 3 sin x cos x (sin x – 2 cos⁴x)

પ્રશ્ન 3.
(5x)^{3 cos 2x}
ઉત્તરઃ
y = (5x)^{3 cos 2x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = 3 cos 2x .log(5x)
log y = 3 cos 2x[log 5 + log x]
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 4.
0 ≤ x ≤ 1 માટે sin^-1(x√x)
ઉત્તરઃ
y = sin^-1(x√x), 0 ≤ x ≤1
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
-2 < x < 2 માટે, \(\frac{\cos ^{-1} \frac{x}{2}}{\sqrt{2 x+7}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), માટે cot x<i, cot^-1\(\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
(log x)^log x, x > 1
ઉત્તરઃ
y = (log x)^{log x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = log x log(log x)

x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 8.
કૉઈ અચળ a, b માટે cos (a cos x + b sin x)
ઉત્તરઃ
y = cos (a cosx + b sinx)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)cos (a cosx + b sinx)
= −sin (a cosx + b sinx)\(\frac{d y}{d x}\)(a cosx + b sinx)
= −sin (a cosx + b sinx) (-a sinx + b cosx)
= sin (a cosx + b sinx) . (a sinx − b cosx)

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{3 \pi}{4}\) માટે (sin x – cos x)^{(sin x − cos x)}
ઉત્તરઃ
y = (sin x – cos x)^{(sin x − cos x)}
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = (sin x – cos x) log (sin x – cos x)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 10.
કોઈ નિશ્ચિત a > 0 અને x > 0 માટે x^x + x^a + a^x + a^a
ઉત્તરઃ
y = x^x + x^a + a^x + a^a
ધારો કે u = x^x
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = x. log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 11.
x > 3 માટે x^x2-3 + (x – 3)^x2
ઉત્તરઃ
y = x^x2-3 + (x – 3)^x2
ઘારો કે, u = x^x2-3 તથા v = (x – 3)^x2
∴ y = u + v
હવે u = x^x2-3
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

v = (x − 3)^x2
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = (x² – 3) log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 12.
–\(\frac{\pi}{2}\) < t < \(\frac{\pi}{2}\) માટે y = 12(1 − cos t), x = 10 (t − sin t), તો \(\frac{d y}{d x}\) શોધો.
ઉત્તરઃ
y = 12(1 – cos t)
∴ \(\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}\)12(1 – cos t)
= 12(0 + sin t) = 12 sin t
અને x = 10(t – sin t)

પ્રશ્ન 13.
જો 0 ≤ 1 ≤ 1 તો sin^-1 x + sin^-1\(\sqrt{1-x^2}\) માટે \(\sqrt{1-x^2}\) શોધો.
ઉત્તરઃ
y = sin^-1 x + sin^-1\(\sqrt{1-x^2}\)
ઘારો કે u = sin^-1 x તથા v = sin^-1\(\sqrt{1-x^2}\)
∴ y = u + v

પ્રશ્ન 14.
જો -1 < x < 1 માટે x\(\sqrt{1+y}\) + y\(\sqrt{1+x}\) = 0 હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{d y}{d x}=-\frac{-1}{(1+x)^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
જો કોઈક c > 0 માટે (x – a)² + (y – b)² = c² હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{d x^2}}\) a અને b પર આધારિત ના હોય તેવો અચળ છે.
ઉત્તરઃ
(x − a)² + (y – b)² = c²
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

જે a અને b થી સ્વતંત્ર અચળાંક છે.

પ્રશ્ન 16.
cos y = x cos(a + y), અને cos a ≠ ±1 હોય, તો સાબિત કરો કે, \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^2(a+y)}{\sin a}\).
ઉત્તરઃ
cos y = x cos(a + y)

પ્રશ્ન 17.
x = a (cos t + t sin t) અને y = a(sin t t cost), તો \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) મેળવો.
ઉત્તરઃ
x = a(cost + t sin t) = a cos t + a t sin t

પ્રશ્ન 18.
જો f(x) = |x|³, તો સાબિત કરો કે f”(x) પ્રત્યેક વાસ્તવિક x માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તે શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = |x|³, x ∈ R
∴ f(x) = x³, x ≥ 0
= -x³, x < 0

પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
વિધેય f(x) એ x = 0 આગળ વિકલનીય છે.
અર્થાત્ f'(x) નું અસ્તિત્વ છે.
f'(x) = 3x², x ≥ 0
= -3x², x < 0

પરિણામ (iii) અને (iv) પરથી,
વિધેય f ‘(x) એ x = 0 આગળ વિકલનીય છે.
અર્થાત્ f”(x) નું અસ્તિત્વ છે.
f”(x) = 6x, x ≥ 0
= – 6x, x < 0

પ્રશ્ન 19.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત પરથી સાબિત કરો કે \(\frac{d}{d x}\)(xⁿ) = nx^n-1(જ્યાં, n ધન પૂર્ણાંક છે.)
ઉત્તરઃ
P(n) : (xⁿ) = nx^n-1, n એ ધન પૂર્ણાંક છે.
n = 1 માટે,
\(\frac{d}{d x}\)(x¹) = 1(x)^1-1 = 1(x)° = 1(1) = 1
∴ P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(K), K = N માટે સત્ય છે.
∴ P(K): (x^K) = Kx^K-1
n = K + 1 માટે,
P(K + 1): \(\frac{d}{d x}\)(X^K+1)
= \(\frac{d}{d x}\) (x^K . x)
= x^K \(\frac{d}{d x}\) (x) + x. \(\frac{d}{d x}\)(x^K)
= x^K (1) + X .Kx^K-1 (.. (i) પરથી)
= x^K + x^K . K
= (K + 1) x^K
∴ P(K) સત્ય છે. → P(K + 1) સત્ય છે.
∴ ગાણિતિય અનુમાનનાં સિદ્ધાંત પ્રમાણે, P(n) એ n = N માટે સત્ય છે.
∴ \(\frac{d}{d x}\)(xⁿ) = nx^n-1, n એ ધન પૂર્ણાંક છે.

પ્રશ્ન 20.
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B વિકલનનો ઉપયોગ કરી cos ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તરઃ
sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 21.
શું બધે જ સતત હોય પરંતુ બરાબર બે બિંદુએ જ વિકલનીય ના હોય એવું વિધેય મળી શકે ? તમારો જવાબ ચકાસો.
ઉત્તરઃ
f(x) = |x − 1| + |x − 2, x = R
f(x) = 3 – 2x, x ≤ 1
= 1, 1 < x < 2
= 2x – 3, x ≥ 2
x = 1, f(1) = 1

∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ સતત છે.
x < 1 માટે f(x) = 3 – 2x જે બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
1 < x < 2 માટે f(x) 1 જે અચળ વિધેય હોવાથી સતત છે. x > 2 માટે f(x) = 2x – 3 જે બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
આમ, f(x) = [x − l[ + |x – 2| એ ∀ x = R માટે સતત છે.
વિકલન માટે :

∴ Rf'(1) ≠ Lf'(1)
∴ વિધેય f(x) એ x = 1 આગળ વિકલનીય નથી.

∴ Rf'(2) ≠ Lf'(2)
∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ વિકલનીય નથી.
આમ, f(x) = |x – 1| + |x – 2| એ દરેક જગ્યાએ સતત છે.
પરંતુ x = 1 તથા x = 2 આગળ વિકલનીય નથી.

પ્રશ્ન 22.
જો y = \(\left|\begin{array}{ccc}
f(x) & g(x) & h(x) \\
l & m & n \\
a & b & c
\end{array}\right|\) હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{d y}{d x}=\left|\begin{array}{ccc}
f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\
l & m & n \\
a & b & c
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
જો −1 ≤ x ≤ 1 માટે y = e^{a cos-1x} હોય, તો સાબિત કરો કે (1 – x²)\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – x\(\frac{d y}{d x}\) – a²y = 0
ઉત્તરઃ
y = e^{a cos-1x}
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,