GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.5

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.5

પ્રશ્ન 1 થી 11 માં આપેલ વિધેયોના x ને સાપેક્ષ વિકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
ઉત્તરઃ
y = cos x cos 2x cos 3x
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = log[cosx cos 2x cos 3x]
∴ log y = log cosx + log cos2x + log cos3x
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 2.
\(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
(log x)^{cos x}
ઉત્તરઃ
y = (log x)^{cos x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = log[(log x)^{cos x}]
∴ log y = cos x log(log x)
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 4.
x^x – 2^{sin x}
ઉત્તરઃ
y = x^x – 2^{sin x}
ધારો કે u = x^x તથા v = 2^{sin x} ⇒ y = u – v

હવે y = u – v
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}-\frac{d v}{d x}\)
પરિણામ (i) અને (ii) નો ઉપયોગ કરતાં,
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = x^x (1 + log x) – 2^{sin x}. cos x – log2

પ્રશ્ન 5.
(x + 3)². (x + 4)³. (x + 5)⁴
ઉત્તરઃ
y = (x + 3)². (x + 4)³. (x + 5)⁴
બંને બાજુ log લેતાં,
logy = log[(x + 3)². (x + 4)³. (x + 5)⁴]
∴ logy = 2log(x + 3) + 3log(x + 4) + 4log(x + 5)

બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

બીજી રીત :
y = (x + 3)². (x + 4)³. (x + 5)⁴
ગુણાકારનાં નિયમનો ઉપયોગ કરી બંને બાજુ,
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^x+x^{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
(log x)^x + x^{log x}
ઉત્તરઃ
y = (log x)^x + x^{log x}
ધારો કે u = (log x)^x તથા v = x^{log x}
∴ y = u + v
u = (log x)^x
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = x log(log x)
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

v = x^{log x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log v = log x. log x = (log x)²
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 8.
(sin x)^x + sin^-1√x
ઉત્તરઃ
y = (sin x)^x + sin^-1√x
ધારો કે u = (sin x)^x
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = x log sinx
x પ્રત્યે વિલન કરતાં,

પ્રશ્ન 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
ઉત્તરઃ
y = x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
ધારો કે u = x^{sin x} તથા v = (sin x)^{cos x}
y = u + v
u = x^{sin x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = sin x log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

v = (sin x)^{cos x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log v = cos x log sin x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 10.
x^{x cos x} + \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\)
ઉત્તરઃ
y = x^{x cos x} + \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\)
ધારો કે u = x^{x cos x} તથા v = \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\) લેતાં,
y = u + v
u = x^{x cos x}
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = x cosx – log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 11.
(x cos x)^x + (x sin x)^{\(\frac{1}{x}\)}
ઉત્તરઃ
ધારો કે u = (x cos x)^x તથા v = (x sin x)^{\(\frac{1}{x}\)}
y = u + v
u = (x cos x)^x
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = x . log(x cosx)

x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્નો 12 થી 15 માં આપેલ વિધેયો માટે

પ્રશ્ન 12.
x^y + y^x = 1
ઉત્તરઃ
x^y + y^x = 1
ધારો કે u = xy તથા v = y^x
u + v = 1
હવે u = x^y
બંને બાજુ log લેતાં,
log u = y log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 13.
y^x = x^y
ઉત્તરઃ
y^x = x^y
બંને બાજુ log લેતાં,
x. log y = y. log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 14.
(cos x)^y = (cos y)^x
ઉત્તરઃ
(cos x)^y = (cos y)^x
બંને બાજુ log લેતાં,
y log(cos x) = x.log(cos y)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 15.
xy = e^(x-y)
ઉત્તરઃ
xy = e^(x-y)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 16.
f(x) = (1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸) વિધેયનું વિકલિત શોધો. તે પરથી f'(1) શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = (1 + x)(1 + x²)(1 + x⁴)(1 + x⁸)
બંને બાજુ log લેતાં,
log f(x) = log(1 + x) + log(1 + x²) + log(1 + x⁴) + log(1 + x⁸)

પ્રશ્ન 17.
(x² – 5x + 8)(x³ + 7x + 9) નું વિકલિત ત્રણ રીતે મેળવો :
(i) ગુણાકારના નિયમથી
(ii) વિસ્તરણ કરી બહુપદીય વિધેયથી
(iii) લઘુગણકીય વિકલનથી
શું ત્રણેય જવાબ સમાન છે ?
ઉત્તરઃ
(i) ગુણાકારના નિયમથી,
y = (x² – 5x + 8)(x³ + 7x + 9)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\)(x² – 5x + 8) \(\frac{d}{d x}\) (x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9)\(\frac{d}{d x}\)(x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8)(3×2 + 7) + (x³ + 7x + 9) (2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(ii) વિસ્તરણ કરી બહુપદીય વિધેયથી,
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
y = x⁵ + 7x³ + 9x² – 5x⁴ – 35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
∴ y = x⁵ – 5x² + 15x³ – 26x² + 11x + 72
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)[x⁵ – 5x⁴ + 15x³ – 26x² + 11x + 72]
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(iii) લઘુગણકીય વિકલનથી,
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = log(x² – 5x + 8) + log(x³ + 7x + 9)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

ત્રણેય રીતે કરેલ વિકલનોનાં જવાબો સરખા મળે છે.

પ્રશ્ન 18.
જો u, v, w એ ઝ ના વિધેય હોય તો બે રીતે, પ્રથમ પુનરાવર્તિત વિકલનના ગુણાકારના નિયમ અને બીજી લઘુગણકીય વિકલન દ્વારા બતાવો કે,
\(\frac{d}{d x}\)(u ·ν· w) = \(\frac{d u}{d x}\)v. w + u. \(\frac{d v}{d x}\). w + u. v. \(\frac{d w}{d x}\)
ઉત્તરઃ
y = u.v.w
(i) ગુણાકારનાં નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન શોધીએ.
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

(ii) લઘુગણકીય વિકલનની રીતે,
y = u.v.w
બંને બાજુ log લેતાં,
log y = log u + log v + log w
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,