GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\), છે દર્શાવો કે (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1bA. I એ 2 કક્ષાવાળો એકમ શ્રેણિક છે અને n ∈ N.
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\), I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
P(n) : (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1ba, n ∈ N
n = 1 માટે, ડા.બા. = aI + bA
= \(a\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
0 & a
\end{array}\right]\)
જ.બા. = aI + a^{1 – 1}bA = aI + bA = \(\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
0 & a
\end{array}\right]\)
∴ n = 1 માટે P(1) સત્ય છે.
ધારો કે, P(k), k ∈ N માટે સત્ય છે.
P(k) : (aI + bA)^k = a^kI + ka^k-1 bA …………(1)
n = k + 1 માટે
ડા.બા. = (aI + bA)^k+1
= (aI + bA)^k . (aI + bA)
= (a^kI + ka^k-1 bA) (aI + bA) (∵ (1) પરથી)
= a^k+1I × I + ka^k bAI + a^kI bA + ka^k-1 b²A²
= a^k+1I + ka^k bA + a^k bA + ka^k-1 b² × 0
= a^k+1 I + (k + 1) a^k bA
(∵ A² = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) = 0)
= જ.બા.
∴ P(k) સત્ય છે. ⇒ P(k + 1) સત્ય છે.
∴ ગાણિતીય અનુમાનનાં સિદ્ધાંત પરથી સાબિત થાય છે કે
P(n), ∀ n ∈ N માટે સત્ય છે.

પ્રશ્ન 2.
જો A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\), સાબિત કરો કે,

ઉત્તરઃ

ધારો કે, P(k), k ∈ N માટે સત્ય છે. …………(1)
→ n = k + 1,
ડા.બા. =
= A^k+1
= A^k · A

= જ.બા.
P(k) સત્ય છે. ⇒ P(k + 1) સત્ય છે.
∴ ગાવિતીય અનુમાનનાં સિદ્ધાંત પ્રમાણે P(n), ∀ n ∈ N માટે સત્ય છે.

પ્રશ્ન 3.
જો A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\) હોય, તો સાબિત કરો કે
Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\). n એ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.
ઉત્તરઃ

∴ P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(k), k ∈ N માટે સત્ય છે.

P(k) સત્ય છે. ⇒ P(k + 1) સત્ય છે.
∴ ગાઘ્ધિતીય અનુમાનનાં સિદ્ધાંત પરથી આપેલ વિધાન
P(n) ∀ n ∈ N માટે સત્ય છે.

પ્રશ્ન 4.
જો A અને B સંમિત શ્રેણિક હોય, તો સાબિત કરો કે AB – BA વિસંમિત શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
A અને B સંમિત શ્રેણિકો છે.
∴ A = A’ નયા B = B’ …………(i)
ધારો કે P = AB – BA
= (AB)’ – (BA)’
= B’A’ – A’B’
= BA – AB (∵ (i) પરથી)
= -(AB – BA)
= -P
∴ P = AB – BA એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

પ્રશ્ન 5.
જો A સંમિત અથવા વિસંમિત શ્રેલિક હોય, તદ્નુસાર સાબિત કરો કે B’AB સંમિત અથવા વિસંમિત શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
A સંમિત શ્રેષ્ઠિક છે. ⇒ A’ = A
ધારો કે X = B’AB
∴ X’ = (B’ AB)’
= B’ A’ (B’)’ (∵ (B’)’ = B)
= B’ AB
= X
∴ X = B’ AB સંમિત શ્રેલિક છે.
→ A વિસંમિત શ્રેણિક છે, ⇒ A’ = -A
X’ = (B’ AB)’
= B’A’ (B’)’ (∵ (B’)’ = B)
= B'(-A)B
= – (B’ AB)
= -X
∴ X એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આમ, A સંમિત કે વિસંમિત શ્રેશિક હોય તે પ્રમારી B’ AB પણ સંમિત કે વિસંમિત શ્રેક્લિક થાય.

પ્રશ્ન 6.
જો શ્રેણિક A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 y & z \\
x & y & -z \\
x & -y & z
\end{array}\right]\) માટે, A’A = I તો x, y, z નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
x ની કઈ કિંમત માટે : [1 2 1] \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0?
ઉત્તરઃ
[1 2 1] \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
∴ [1 + 4 + 1 2 + 0 + 0 0 + 2 + 2] \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
∴ [6 2 4] \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0
∴ 0 + 4 + 4x = 0
∴ x = -1

પ્રશ્ન 8.
જો A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) હોય, તો સાબિત કરો કે
A² – 5A + 7I = 0.
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\)
ડા.બા. = A2 – 5A + 7I

પ્રશ્ન 9.
જો [x -5 -1] \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
4 \\
1
\end{array}\right]\) = 0 હોય, તો x શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ x(x + 2) – 45 – 2x – 3 = 0
∴ x² + 2x – 45 – 2x – 3 = 0
∴ x² = 48 = ±4\(\sqrt{3}\)

પ્રશ્ન 10.
એક ઉત્પાદક x, y, z એમ ત્રણ પ્રકારના માલનું ઉત્પાદન કરે છે. તે તેમનું બે બજારમાં વેચાણ કરે છે. વાર્ષિક વેચાણ નીચે દર્શાવેલ છે :

(a) જો x, y, z ની નંગ દીઠ વેચાણકિંમત અનુક્રમે ₹ 2.50, ₹ 1.50 અને હૈં ₹ 1.00 હોય, તો શ્રેણિક બીજગણિતની મદદથી પ્રત્યેક બજારમાંથી થતી કુલ આવક શોધો.
(b) જો ઉપરની ત્રણ વસ્તુનો નંગદીઠ ઉત્પાદનખર્ચ અનુક્રમે ₹ 2.00, ₹ 1.00 અને ₹ 0.50 પૈસા થતો હોય, તો કુલ નફો શોધો.
ઉત્તરઃ

બજાર I માટે, કુલ રેવન્યુ = ₹ 46,000
બજાર II માટે, કુલ રેવન્યુ = ₹ 53,000
કુલ વેચાણ કિંમત = ₹ 99,000

કુલ મૂળ કિંમત = ₹ (31,000 + 36,000)
મૂળ કિંમત = ₹ (67,000)
નફો = વેચાણ કિંમત – મૂળ કિંમત
= ₹ 99,000 – ₹ 67,000
= ₹ 32,000
∴ ચોખ્ખો નફો = ₹ 32,000

પ્રશ્ન 11.
જો X\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
-7 & -8 & -9 \\
2 & 4 & 6
\end{array}\right]\) હોય, તો શ્રેણિક X શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
જો A અને B સમાન કક્ષાવાળા એવા ચોરસ શ્રેણિક હોય, કે જેથી AB = BA થાય, તો ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતથી સાબિત કરો કે ABⁿ = BⁿA. વધુમાં સાબિત કરો કે પ્રત્યેક n ∈ N માટે (AB)ⁿ = AⁿBⁿ.
ઉત્તરઃ
P(n) : ABⁿ = BⁿA, n ∈ N
n = 1 માટે, AB = BA જે આપેલ છે,
∴ P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(k), k ∈ N માટે સત્ય છે.
∴ P(k) : ABⁿ = BⁿA …………..(i)
n = k + 1
AB^k+1 = AB^k · B
= B^k AB (∵ (1) પરથી)
= B^k BA (∵ AB = BA)
= B^k+1A
P(k) સત્ય છે. ⇒ P(k + 1) સત્ય છે.
∴ ગાણિતીય અનુમાનનાં સિદ્ધાંત પ્રમા P(n) એ ∀ n ∈ N માટે સત્ય છે.
ધારો કે P(n) = (AB)ⁿ = AⁿBⁿ, ∀ n ∈ N
n = 1 માટે (AB)¹ = A¹ B¹ ⇒ AB = AB
∴ P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(k), k ∈ N માટે સત્ય છે.
P(k) : (AB)^k = A^kB^k …………(1)
n = k + 1 માટે,
(AB)^k+1 = (AB)^k (AB)
= A^k · B^k (AB) (∵ (1) પરથી)
= A^k · B^k (BA) (∵ AB = BA)
= A^k (B^k · B)A
= A^k B^k+1 A
= (A^k A) B^k+1
= A^k+1 B^k+1
P(k) સત્ય છે. ⇒ P(k + 1) સત્ય છે.
∴ ગાણિતીય અનુમાનનાં સિદ્ધાંત પ્રમાણે P(n), ∀ n ∈ N માટે સત્ય છે.

પ્રશ્નો 13 થી 15 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13.
જો A = \(\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\) માટે A² = I થાય, તો…
(A) 1 + α² + βγ = 0
(B) 1 – α² + βγ = 0
(C) 1 – α² – βγ = 0
(D) 1 + α² – βγ = 0
જવાબ (C) 1 – α² – βγ = 0
ઉત્તરઃ
A = \(\left[\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\)
A² = I
∴ A × A = I

∴ α² + βγ = 1 તથા βγ + α² = 1
∴ 1 – α² – βγ = 0
∴ વિક્વ (C) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 14.
જો શ્રેણિક A એ સંમિત અને વિસંમિત બંને હોય, તો….
(A) A વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
(B) A શૂન્ય શિક છે.
(C) A ચોરસ શ્રેણિક છે.
(D) આમાંથી એક પણ નહીં.
જવાબ (B) A શૂન્ય શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
A સંમિત અને વિસંમિત બંને શ્રેણિક છે.
∴ A = A’ તથા A = -A’
∴ A = -A (∵ A’ = A)
∴ 2A = 0 ⇒ A = 0
∴ A એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

પ્રશ્ન 15.
જો A એ A² = A થાય તેવો ચોરસ શ્રેણિક A હોય, તો (I + A)³ – 7A = ……………
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A
જવાબ (C) I
ઉત્તરઃ
A² = A ⇒ A³ = A² તથા A = I
(I + A)³ – 7A
= I³ + A³ + 3IA (I + A) – 7A
= I + A² + 3A (I + A) – 7A
= I + A² + 3A + 3A² – 7A
= I + 4A² – 4A
= I + 4A – 4A (∵ A² = A મૂકતાં)