GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.1

નીચેના પ્રતિવિધેય માટે તેની મુખ્ય કિંમત શોધો :

પ્રશ્ન 1.
$\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = $\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)$
∴ sin y = $-\frac{1}{2}$
sin^-1 વિષેયનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
તથા sin $\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ = $-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$
∴ $\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)$ ની મુખ્ય કિંમત $-\frac{\pi}{6}$ છે.

પ્રશ્ન 2.
$\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
∴ cos y = $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$
(∵ cos^-1 વિધેયનો વિસ્તાર [0, π] છે.)
∴ $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ની મુખ્ય કિંમત $\frac{\pi}{6}$ છે.

પ્રશ્ન 3.
cosec^-1(2)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cosec^-1(2)
∴ cosec y = 2
cosec^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ – {0}
તથા cosec$\left(\frac{\pi}{6}\right)$ = 2.
cosec y = 2 = cosec$\left(\frac{\pi}{6}\right)$
cosec^-1(2) ની મુખ્ય કિંમત $\left(\frac{\pi}{6}\right)$ છે.

પ્રશ્ન 4.
tan^-1(-$\sqrt{3}$)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = tan-1(-$\sqrt{3}$)
∴ tan y = –$\sqrt{3}$
tan^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
tan y = –$\sqrt{3}$ = tan$\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
∴ tan^-1(-$\sqrt{3}$) ની મુખ્ય કિંમત $-\frac{\pi}{3}$ છે.

પ્રશ્ન 5.
cos^-1$\frac{-1}{2}$
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cos-1$\frac{-1}{2}$
∴ cos y = $\frac{-1}{2}$
cos^-1 વિધેયનો વિસ્તાર [0, π] છે. તથા cos$\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$
∴ cos y = –$\frac{1}{2}$ = cos$\frac{2 \pi}{3}$
∴ cos^-1(-$\frac{1}{2}$) ની મુખ્ય કિંમત $\frac{2 \pi}{3}$ છે.

પ્રશ્ન 6.
tan^-1(-1)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = tan^-1(-1)
∴ tan y = -1
tan^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
tan y = -1 = tan$\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
∴ tan^-1(-1) ની મુખ્ય કિંમત $-\frac{\pi}{4}$

પ્રશ્ન 7.
sec^-1$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = sec-1$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$
∴ sec y = $\frac{2}{\sqrt{3}}$
sec^-1 વિષેધનો વિસ્તાર [0, π] – $\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$
∴ sec y = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ = sec$\frac{\pi}{6}$
∴ sec^-1$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)$ ના મુખ્ય કિંમત $\frac{\pi}{6}$ છે.

પ્રશ્ન 8.
cot^-1($\sqrt{3}$)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cot-1($\sqrt{3}$)
∴ cot y = $\sqrt{3}$
cot^-1 વિષેધનો વિસ્તાર [0, π] છે.
∴ cot y = $\sqrt{3}$ = cot$\frac{\pi}{6}$
∴ cot^-1($\sqrt{3}$) ની મુખ્ય કિંમત $\frac{\pi}{6}$ છે.

પ્રશ્ન 9.
cos^-1$\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
cosec^-1(-$\sqrt{2}$)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, cosec^-1(-$\sqrt{2}$) = y
cosec y = –$\sqrt{2}$
∴ cosec^-1 વિષેધનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ – {0} છે.
∴ cosec y = –$\sqrt{2}$ = cosec$\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
∴ cosec^-1(-$\sqrt{2}$) ની મુખ્ય કિંમત $-\frac{\pi}{4}$

નીચેની અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્ય મેળવો :

પ્રશ્ન 11.
tan^-1(1) + cos^-1$\left(-\frac{1}{2}\right)$ + sin^-1$\left(-\frac{1}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે,
tan^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.
cos^-1 વિધેયનો વિસ્તાર [0, π] છે તથા
sin^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.

પ્રશ્ન 12.
cos^-1$\left(\frac{1}{2}\right)$ + 2sin^-1$\left(\frac{1}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
cos^-1 વિષેષનો વિસ્તાર [0, π] છે તથા sin^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
cos^-1$\left(\frac{1}{2}\right)$ + 2sin^-1$\left(\frac{1}{2}\right)$
= $\frac{\pi}{3}+2\left(\frac{\pi}{6}\right)$
= $\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}$
= $\frac{2 \pi}{3}$.

પ્રશ્નો 13 તથા 14 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13.
જો sin^-1x = y હોય, તો
(A) 0 ≤ y ≤ π
(B) $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
(C) 0 < y < π
(D) $-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$
ઉત્તરઃ
sin^-1 x = y ⇒ x = sin y
sin^-1 વિધેયનો વિસ્તાર $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ છે.
∴ $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
∴ વિકલ્પ {B} સત્ય છે.

પ્રશ્ન 14.
tan^-1$\sqrt{3}$ – sec^-1(-2) નું મૂલ્ય …………….. છે.
(A) π
(B) $-\frac{\pi}{3}$
(C) $\frac{\pi}{3}$
(D) $\frac{2 \pi}{3}$
ઉત્તરઃ