GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.1

નીચેના પ્રતિવિધેય માટે તેની મુખ્ય કિંમત શોધો :

પ્રશ્ન 1.
\(\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = \(\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\)
∴ sin y = \(-\frac{1}{2}\)
sin^-1 વિષેયનો વિસ્તાર \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) છે.
તથા sin \(\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)\) = \(-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}\)
∴ \(\sin ^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\) ની મુખ્ય કિંમત \(-\frac{\pi}{6}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
\(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
∴ cos y = \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\)
(∵ cos^-1 વિધેયનો વિસ્તાર [0, π] છે.)
∴ \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) ની મુખ્ય કિંમત \(\frac{\pi}{6}\) છે.

પ્રશ્ન 3.
cosec^-1(2)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cosec^-1(2)
∴ cosec y = 2
cosec^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) – {0}
તથા cosec\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\) = 2.
cosec y = 2 = cosec\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
cosec^-1(2) ની મુખ્ય કિંમત \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\) છે.

પ્રશ્ન 4.
tan^-1(-\(\sqrt{3}\))
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = tan-1(-\(\sqrt{3}\))
∴ tan y = –\(\sqrt{3}\)
tan^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) છે.
tan y = –\(\sqrt{3}\) = tan\(\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
∴ tan^-1(-\(\sqrt{3}\)) ની મુખ્ય કિંમત \(-\frac{\pi}{3}\) છે.

પ્રશ્ન 5.
cos^-1\(\frac{-1}{2}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cos-1\(\frac{-1}{2}\)
∴ cos y = \(\frac{-1}{2}\)
cos^-1 વિધેયનો વિસ્તાર [0, π] છે. તથા cos\(\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\)
∴ cos y = –\(\frac{1}{2}\) = cos\(\frac{2 \pi}{3}\)
∴ cos^-1(-\(\frac{1}{2}\)) ની મુખ્ય કિંમત \(\frac{2 \pi}{3}\) છે.

પ્રશ્ન 6.
tan^-1(-1)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = tan^-1(-1)
∴ tan y = -1
tan^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) છે.
tan y = -1 = tan\(\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
∴ tan^-1(-1) ની મુખ્ય કિંમત \(-\frac{\pi}{4}\)

પ્રશ્ન 7.
sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = sec-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
∴ sec y = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
sec^-1 વિષેધનો વિસ્તાર [0, π] – \(\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\)
∴ sec y = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = sec\(\frac{\pi}{6}\)
∴ sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\) ના મુખ્ય કિંમત \(\frac{\pi}{6}\) છે.

પ્રશ્ન 8.
cot^-1(\(\sqrt{3}\))
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cot-1(\(\sqrt{3}\))
∴ cot y = \(\sqrt{3}\)
cot^-1 વિષેધનો વિસ્તાર [0, π] છે.
∴ cot y = \(\sqrt{3}\) = cot\(\frac{\pi}{6}\)
∴ cot^-1(\(\sqrt{3}\)) ની મુખ્ય કિંમત \(\frac{\pi}{6}\) છે.

પ્રશ્ન 9.
cos^-1\(\cos ^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
cosec^-1(-\(\sqrt{2}\))
ઉત્તરઃ
ધારો કે, cosec^-1(-\(\sqrt{2}\)) = y
cosec y = –\(\sqrt{2}\)
∴ cosec^-1 વિષેધનો વિસ્તાર \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) – {0} છે.
∴ cosec y = –\(\sqrt{2}\) = cosec\(\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
∴ cosec^-1(-\(\sqrt{2}\)) ની મુખ્ય કિંમત \(-\frac{\pi}{4}\)

નીચેની અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્ય મેળવો :

પ્રશ્ન 11.
tan^-1(1) + cos^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) + sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે,
tan^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) છે.
cos^-1 વિધેયનો વિસ્તાર [0, π] છે તથા
sin^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) છે.

પ્રશ્ન 12.
cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + 2sin^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
cos^-1 વિષેષનો વિસ્તાર [0, π] છે તથા sin^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) છે.
cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + 2sin^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
= \(\frac{\pi}{3}+2\left(\frac{\pi}{6}\right)\)
= \(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\)
= \(\frac{2 \pi}{3}\).

પ્રશ્નો 13 તથા 14 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13.
જો sin^-1x = y હોય, તો
(A) 0 ≤ y ≤ π
(B) \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < y < π
(D) \(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\)
ઉત્તરઃ
sin^-1 x = y ⇒ x = sin y
sin^-1 વિધેયનો વિસ્તાર \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) છે.
∴ \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
∴ વિકલ્પ {B} સત્ય છે.

પ્રશ્ન 14.
tan^-1\(\sqrt{3}\) – sec^-1(-2) નું મૂલ્ય …………….. છે.
(A) π
(B) \(-\frac{\pi}{3}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{2 \pi}{3}\)
ઉત્તરઃ