Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Ex 12.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Ex 12.2
પ્રશ્ન 1.
રેશ્મા જેમાં વિટામિન A ના ઓછામાં ઓછા 8 એકમ તથા વિટામિન B ના ઓછોમાં ઓછા 11 એકમ હોય એવી રીતે P અને Q એમ બે પ્રકારનો ખોરાક મિશ્ર કરવા માંગે છે. ખોરાક P ની કિંમત પ્રતિ કિગ્રા ₹ 60 છે અને ખોરાક Q ની કિંમત પ્રતિ કિગ્રા ₹ 80 છે. ખોરાક B પ્રતિ કિગ્રા 3 એકમ વિટામિન A અને પ્રતિ કિગ્રા 5 એકમ વિટામિન B ધરાવે છે, જ્યારે ખોરાક Q પ્રતિ કિગ્રા 4 એકમ વિટામિન A અને પ્રતિ કિગ્રા 2 એકમ વિટામિન B ધરાવે છે. આ મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે P પ્રકારનો ખોરાક x kg તથા Q પ્રકારનો ખોરાક y kg મિશ્ર કરવામાં આવે છે.
આપેલ માહિતી કોષ્ટક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે મળે.
સ્પષ્ટ છે કે x ≥ 0, y ≥ 0 ………….. (i)
3x + 4y ≥ 8 ………….. (ii)
5x + 2y ≥ 11 ………….. (iii)
Z = 60x + 80y, Z નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવાનું છે.
અસમતાઓ (i), (ii) તથા (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવ્યો છે. આ અસમતાઓ દ્વારા રચાતો શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંક્તિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસિમિત છે.
શિરોબિંદુઓ A(0, 5.5), B(2, \(\frac{1}{2}\)) તથા C(\(\frac{8}{3}\), o) આલેખ Z = 60x + 80y ની કિંમત મેળવીએ.
ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
A(0, 5.5)
B(2, \(\frac{1}{2}\))
B(\(\frac{8}{3}\), 0)
Z = 60 + 80yનું સંગત મૂલ્ય
Z = 440
Z = 160
Z = 160
Z = 60x + 80yનું ન્યુનતમ્ મૂલ્ય 160 મળે છે, જે B(2, \(\frac{8}{3}\)) તથા C(\(\frac{8}{3}\), 0) હિંદુઓને જોડતા પ્રત્યેક રેખાખંડ ઉપર મળે છે.
∴ મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત = ₹ 160
સ્પષ્ટ છે કે 60x + 80y < 160 નાં પ્રદેશને તથા શક્ય ઉકેલનાં પ્રદેશને સામાન્ય બિંદુઓ નથી.
પ્રશ્ન 2.
એક પ્રકારની કેક બનાવવા માટે 200 ગ્રામ લોટ અને 25 ગ્રામ મલાઈની જરૂર પડે છે. બીજા પ્રકારની કેક બનાવવા માટે 100 ગ્રામ લોટ અને 50 ગ્રામ મલાઈની જરૂર પડે છે. 5 કિલોગ્રામ લોટ અને 1 કિલોગ્રામ મલાઈથી વધુમાં વધુ કેટલી કેક બનાવી શકાય ? અહીં આપણે ધારી લઈશું કે, કેક બનાવવા માટેના અન્ય જરૂરી પદાર્થોની કોઈ તંગી નથી.
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય.
ધારો કે પ્રથમ પ્રકારનાં કેંકની સંખ્યા x છે. તથા બીજા પ્રકારનાં કંકની સંખ્યા y છે. Z = x + yનું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.
વળી, 1kg = 1000g; ⇒ 5 kg = 5000g
1 kg = 1000g
આપેલ માહિતી પરથી,
X ≥ 0, y ≥ 0 ……….(i)
200x + 100y ≤ 500 ……….(ii)
25x + 50y ≤ 1000 ……….(iii)
2x + y ≤ 50 ……………(ii)
x + 2y ≤ 40 ……….(iii)
અસમતાઓ (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે. જે રેખાંતિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત છે તથા તેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(25, 0), B(20, 10) તથા C(0, 20) છે. Z = x + y નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
O(0, 0)
A(25, 0)
B(20, 10)
C(0, 20)
Z = x + y નું સંગત મૂલ્ય
Z = 0
Z = 25
Z = 30
Z = 20
∴ વધુમાં વધુ કેક Z = 30 બનાવી શકાય. જેમાં પ્રથમ પ્રકારની કેક 20 તથા બીજા પ્રકારની કેક 10 બનાવી શકાય.
પ્રશ્ન 3.
એક કારખાનામાં ટેનિસના રૅકેટ અને ક્રિકેટના બૅટનું ઉત્પાદન થાય છે. ટેનિસનું રૅકેટ બનાવવા માટે 1.5 કલાક યંત્ર-સમય અને 3 કલાક કસબીનો સમય લાગે છે. ક્રિકેટનું એક બૅટ બનાવવા માટે 3 કલાક યંત્ર સમય અને 1 કલાક કસબીનો સમય લાગે છે, કારખાનામાં એક દિવસ માટે યંત્ર-સમય 42 કલાકથી વધુ મળતો નથી અને સબીનો સમય 24 કલાકથી વધુ મળતો નથી.
(i) જો કારખાનું પૂરેપૂરી ક્ષમતાથી ચાલે તો કેટલાં રૅકેટ અને બૅટનું ઉત્પાદન થાય ?
(ii) જો એક રૅકેટ અને એક બૅટ પરનો નફો અનુક્રમે ₹ 20 અને ₹ 10 હોય, તો જ્યારે કારખાનું પૂરેપૂરી ક્ષમતાથી ચાલતું હોય ત્યારે મહત્તમ નફો કેટલો થાય ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે કારખાનામાં x ટેનિસ રૅકેટનું તથા y ક્રિકેટ બેટનું ઉત્પાદન થાય છે. આપેલ માહિતી પરથી,
1.5x + 3y ≤ 42 ………….. (i)
3x + y ≤ 24 …………. (ii)
x ≥ 0, 1 ≥ 0 ………….. (iii)
Z = x + yનું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતા (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આલેખમાં રેખાંક્તિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે, જે સીમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ 0(0, 0), A(8, 0), B(4, 12) તથા C(0, 14) છે,
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
0(0, 0)
A(8, 0)
B(4, 12)
C(0, 14)
Z = x + yનું સંગત મૂલ્ય
Z = 0
Z = H
Z = 16
Z = 14
જો કારખાનું પૂરેપૂરી ક્ષમતાથી ચાલે તો Z = x + y નું મહત્તમ મૂલ્ય 16 મળે છે.
∴ ટેનિસ રૅકેટનું ઉત્પાદન 4 તથા ક્રિકેટ બેટનું ઉત્પાદન 12 થાય છે.
મહત્તમ નફો = 4 × 20 + 12 × 10 = 80 + 120 = ₹ 200 મળે છે.
પ્રશ્ન 4.
એક ઉત્પાદક ચાકી અને ખીલાનું ઉત્પાદન કરે છે. એક પૅકેટ ચાકી બનાવવા માટે મશીન A પર 1 કલાક અને મશીન B પર 3 કલાકનો સમય લાગે છે. એક પૅકેટ ખીલા બનાવવા માટે મશીન A પર 3 કલાક અને મશીન B પર 1 કલાક સમય લાગે છે. તે એક પૅકેટ ચાકી પર હૈં ₹ 17.50 અને એક પૅકેટ ખીલા પર ₹ 7.00 નફો મેળવે છે. જો તેનાં મશીનો એક દિવસમાં વધુમાં વધુ 12 કલાક કામ કરતા હોય, તો ઉત્પાદકે મહત્તમ નફો મેળવવા માટે એક દિવસમાં કેટલાં પૅકેટ ચાકી અને કેટલાં પૅકેટ ખીલાનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવીએ.
ધારો કે ઉત્પાદક એક દિવસમાં x પેકેટ ચાકી તથા yનું પેકેટ ખીલાનું ઉત્પાદન કરે છે. આપેલ પ્રશ્નનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે ધશે.
x + 3y ≤ 12 ……..(i)
3x + y ≤ 12 ……..(ii)
x ≥ 0, y ≥ 0 ……..(iii)
Z = 17.50x + 7y નું મહત્તમ મૂલ્ય આપેલ શરતોને આધીન મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i), (ii) અને (iii)નો આલેખ આલેખપત્રમાં દોરેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે. જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં ઉકેલ પ્રદેશ સીમિત છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(4, 0), B(3, 3) તથા C(0, 4) છે.
ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
O(0, 0)
A(4, 0)
B(3, 3)
C(0, 4)
Z = 17.50x + 7y નું સંગત મૂલ્ય
Z = 0
Z = 70
Z = 73.50
Z = 28
Z = 17.50x + 7y નું મહત્તમ મૂલ્ય 73.50 મળે છે. જે બિંદુ B(3, 3) આગળ છે.
∴ એક દિવસમાં 3 પેકેટ ચાકી અને ૩ પેકેટ ખીલાનું ઉત્પાદન કરનાં મહત્તમ નો ₹ 73.50 મળે છે.
પ્રશ્ન 5.
એક કંપની A અને B એમ બે પ્રકારના સ્ક્રૂનું ઉત્પાદન કરે છે. દરેક પ્રકારના સ્ક્રૂ માટે સ્વયં સંચાલિત તથા હસ્ત સંચાલિત એમ બે પ્રકારનાં મશીનનો ઉપયોગ થાય છે. A પ્રકારનાં સૂનાં પૅકેટનું ઉત્પાદન કરવા માટે સ્વયં સંચાલિત મશીન પર 4 મિનિટ અને હસ્ત સંચાલિત મશીન પર 6 મિનિટનો સમય લાગે છે. જ્યારે B પ્રકારના સૂનાં પૅકેટનું ઉત્પાદન કરવા માટે સ્વયં સંચાલિત મશીન પર 6 મિનિટ અને હસ્ત સંચાલિત મશીન પર ૩ મિનિટનો સમય લાગે છે. કોઈપણ દિવસે દરેક મશીન વધુમાં વધુ 4 કલાક ઉપલબ્ધ છે. ઉત્પાદકને A પ્રકારનાં જૂનાં પૅકેટના વેચાણથ ₹ 7 નફો મળે છે અને B પ્રકારના જૂનાં પૅકેટના વેચાણથી ₹ 10 નફો મળે છે. આપણે ધારી લઈશું કે તે કેટલા સ્ક્રૂનું ઉત્પાદન કરે છે તેટલા સ્ક્રૂનું વેચાણ કરી શકે છે, મહત્તમ નફો મેળવવા માટે કંપનીના માલિકે દરેક પ્રકારના સ્નૂના કેટલાં પૅકેટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ ? મહત્તમ નફો શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે કંપનીનો માલિક x પેકેટ A પ્રકારનાં સ્ક્રૂનું ઉત્પાદન કરે છે તથા પૃ પેકેટ B પ્રકારનાં સ્ક્રૂનું ઉત્પાદન કરે છે.
4x + 6y ≤ 240 ⇒ 2x + 3y ≤ 120 ……..(i)
6x + 3y ≤ 240 ⇒ 2x + y < 80 ……..(ii)
x ≥ 0, y ≥ 0 ……..(iii)
ઉપરની શરતોને આધીન Z = 7x + 10yનું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દોરેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે, જે રેખાંકિત ભાગ વર્ડ દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સીમિત છે, જેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(40, 0), B(30, 20) તથા C(0, 40) છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
O(0, 0)
A(40, 0)
B(30, 20)
C(0, 40)
Z = 7x + 10yનું સંગત મૂલ્ય
Z = 0
Z = 280
Z = 410
Z = 400
Z = 7x + 10y નું મહત્તમ મૂલ્ય 410 એ B(30, 20) બિંદુ આગળ મળે છે.
∴ મહત્તમ નફો મેળવવા માટે કંપનીના માલિકે A પ્રકારનાં જૂનાં 30 પેકેટ તથા B પ્રકારનો સ્ક્રૂનાં 20 પેકેટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ. તો કંપનીના માલિકને મહત્તમ નો ₹ 410 મળે.
પ્રશ્ન 6.
એક કુટીર ઉદ્યોગ પેડેસ્ટલ ગોળા (Padestal lamps) અને લાકડાના શેડ (Wooden shades) નું ઉત્પાદન કરે છે. તે દરેક માટે ભૂકો કરવાના (Grinding/Cutting) મશીન અને છાંટવાના (Sprayer) મશીનનો ઉપયોગ થાય છે. એક પેડેસ્ટલ ગોળાનું ઉત્પાદન કરવા માટે 2 કલાક જેટલો સમય ભૂકો કરવાના મશીન પર અને 3 કલાક જેટલો સમય છાંટવાના મશીન પર લાગે છે. એક શેડનું ઉત્પાદન કરવા માટે 1 કલાક જેટલો સમય ભૂકો કરવાના મશીન પર અને 2 કલાક જેટલો સમય છાંટવાના મશીન પર પર લાગે છે. કોઈપણ દિવસે છાંટવાનું મશીન 20 કલાક માટે ઉપલબ્ધ છે અને ભૂકો કરવાનું મશીન વધુમાં વધુ 12 કલાક માટે ઉપલબ્ધ છે. એક ગોળાના વેચાણથી ₹ 5 અને એક શેડના વેચાણથી ₹ ૩ નફો મળે છે. ધારો કે ઉત્પાદક જેટલા ગોળા અને શેડનું ઉત્પાદન કરે છે તે બધાનું વેચાણ કરી શકે છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે તે કેવી રીતે દૈનિક ઉત્પાદનનું આયોજન કરી શકે ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે ઉત્પાદક x પેડેસ્ટલ ગૌળાનું તથા y લાકડાનાં શેડનું ઉત્પાદન કરે છે.
આપેલ માહિતીનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે થશે.
2x + y ≤ 12 ……..(i)
3x + 2y ≤ 20 ……..(ii)
x ≥ 0, p ≥ 0 ……..(iii)
ઉપરની શરતોને આધીન Z = 5x + 3yનું મહત્તમ મેળવવાનું છે. અસમતાઓ (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે, જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(6, 0), B(4, 4) તથા C(0, 10) છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
O(0, 0)
A(6, 0)
B(4, 4)
C(0, 10)
Z = 5x + 3y નું સંગત મૂલ્ય
Z = 0
Z = 30
Z = 32
Z = 30
Z = 5x + 3y નું મહત્તમ મૂલ્ય B(4, 4) આગળ 32 મળે છે.
∴ ઉત્પાદક દૈનિક 4 પેડેસ્ટલ ગોળા તથા 4 લાકડાના શેડનું ઉત્પાદન કરે તો તેને મહત્તમ નફો ₹ 32 મળે છે.
પ્રશ્ન 7.
એક કંપની પ્લાયવૂડમાંથી બે પ્રકારની નાવીન્યભરી સ્મરણિકા (souvenir)નું ઉત્પાદન કરે છે. A પ્રકારની એક સ્મરણિકા માટે 5 મિનિટ કાપવાનો (cutting) અને 10 મિનિટ જોડાણ કરવાનો (assembling) સમય જરૂરી છે. B પ્રકારની એક સ્મરણિકા માટે 8 મિનિટ કાપવાનો અને 8 મિનિટ જોડાણ કરવાનો સમય જરૂરી છે. કાપવા માટે 3 કલાક 20 મિનિટ અને જોડાણ કરવા માટે 4 કલાકનો સમય ઉપલબ્ધ છે. A પ્રકારની પ્રત્યેક સ્મરણિકામાંથી ₹ 5 તેમજ B પ્રકારની પ્રત્યેક સ્મરણિકામાંથી ₹ 6 નફો મળે છે. મહત્તમ નફો મેળવવા માટે કંપનીએ બંને પ્રકારની કેટલી સ્મરણિકાનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે કંપની A પ્રકારની x સ્મરણિકા તથા B પ્રકારની y સ્મરણિકાનું ઉત્પાદન કરે છે.
5x + 8y ≤ 200 ……………(i)
10x + 8y ≤ 240 ⇒ 5x + 4y ≤ 120 ……………(ii)
x ≥ 0, y ≥ 0 …………(iii)
ઉપરની શરતોને આધીન Z = 5x + 6y નું મહત્તમ મેળવવાનું છે. અસમતાઓ (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે. જે રેખાંક્તિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં ઉકેલ પ્રદેશ સીમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(24, 0), B(8, 20) તથા C(0, 25) છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ
O(0, 0)
A(24, 0)
B(8, 20)
C(0, 25)
Z = 5x + 6yનું સંગત મૂલ્ય
Z = 0
Z = 120
Z = 160
Z = 150
Z = 5x + 6y નું મહત્તમ મૂલ્ય B(8, 20) બિંદુએ 160 મળે છે.
∴ કંપનીએ A પ્રકારની 8 સ્મરણિકા તથા B પ્રકારની 20 સ્મરશિકાનું ઉત્પાદન કરે તો તેને મહત્તમ નફો ₹ 160 મળે છે.
પ્રશ્ન 8.
એક વેપારી મેજ પર રાખી શકાય તેવા (Desktop) મૉડલ અને સુવાહ્ય (ફેરવી શકાય તેવા) (Portable) મૉડલ એમ બે પ્રકારનાં અંગત કમ્પ્યૂટર્સના વેચાણનું આયોજન કરે છે. તેમની કિંમત અનુક્રમે ₹ 25,000 અને ₹ 40,000 છે. તેનો અંદાજ એવો છે કે કમ્પ્યૂટર્સની માસિક માંગ 250 નંગથી વધે નહિં. મેજ પર રાખવાનાં કમ્પ્યૂટર્સ દીઠ તેનો નફો ₹ 4500 છે અને સુવાહ્ય કમ્પ્યૂટર્સ દીઠ તેનો નફો ₹ 5000 છે. તે ₹ 70 લાખથી વધુ રોકાણ કરવા ઈચ્છતો નથી. તો તેણે મહત્તમ નફો મેળવવા માટે દરેક પ્રકારનાં કેટલાં કમ્પ્યૂટર્સનો સંગ્રહ કરવો જોઈએ ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનો સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે વેપારી Desktop model પ્રકારનાં x કમ્પ્યૂટર્સનું વેચાણ કરે છે તથા Portable model પ્રકારનાં y કમ્પ્યૂટર્સનું વેચાણ કરે છે. કમ્પ્યુટર્સની માસિક માંગ 250 થી વધતી નથી.
∴ x + y ≤ 250 ……….(i)
x ≥ 0, y ≥ 0 …………..(ii)
વેપારી ₹ 70 લાખથી વધુ રોકાણ કરતો નથી.
∴ 25000x + 40,000y ≤ 70,00,000
∴ 5x + 8y ≤ 1,400 ………….(iii)
સમીકરણ (i), (ii), (iii) શોને આધીન મહત્તમ નફો Z = 4500x + 5000y શોધવાનું છે.
અસમતા (i), (ii) અને (111) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દોરેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OABC છે. જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહી ઉકેલ પ્રદેશ સીમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), A(250, 0), B(200, 50) તથા C(0, 175) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 4500x + 5000y નું સંગત મૂલ્ય |
| O(0, 0) | Z = 0 |
| A(250, 0) | Z = 1,12,500 |
| B(200, 50) | Z = 11,50,000 |
| C(0, 175) | Z = 8,75,000 |
Z = 4500x + 5000y નું મહત્તમ મૂલ્ય B(200, 50) આગળ મળે છે અને તે 11,50,000 છે.
∴ વેપારીએ મહત્તમ નફો ₹ 11,50,000 મેળવવા માટે Desktop model કમ્પ્યૂટર્સનાં 200 એકમ તથા Portable model કમ્પ્યૂટર્સ 50 એકમ સંગ્રહ કરવા જોઈએ.
પ્રશ્ન 9.
એક સમતોલ આહાર ઓછામાં ઓછા 80 એકમ વિટામિન A અને 100 એકમ ખનીજ તત્ત્વો ધરાવે છે. F1 અને F2 બે પ્રકારના ખોરાક ઉપલબ્ધ છે. F1 પ્રકારના એક એકમ ખોરાકની કિંમત ₹ 4 છે અને F2 પ્રકારના એક એકમ ખોરાકની કિંમત ₹ 6 છે. F1 પ્રકારનો એક એકમ ખોરાક ૩ એકમ વિટામિન A અને 4 એકમ ખનીજ તત્ત્વો ધરાવે છે. F2 પ્રકારનો એક એકમ ખોરાક 6 એકમ વિટામિન A અને ૩ એકમ ખનીજ તત્ત્વો ધરાવે છે. આ પ્રશ્નને સુરેખ આયોજનના પ્રશ્ન તરીકે ગાણિતિક સ્વરૂપમાં દર્શાવો. બંને પ્રકારના ખોરાકના મિશ્રાથી તૈયાર થયેલ ન્યૂનતમ જરૂરી પોષક તત્ત્વો ધરાવતા સમતોલ આહારની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે F1 પ્રકારનાં આહારનાં એકમોની સંખ્યા x છે. તથા F2 પ્રકારનાં આહારનાં એકમોની સંખ્યા y છે.
આપેલ માહિતીનું ગાબ્રિતિક સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે મળે છે.
3x + 6y ≥ 80 …………….(i)
4x + 3y ≥ 100 …………….(ii)
x ≥ 0, y ≥ 0 …………….(iii)
(i), (ii) અને (iii) શરતોને આધીન Z = 4x + 6y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દોરેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ આલેખપત્રમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસિમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ A(\(\frac{80}{3}\), 0), B(24, \(\frac{4}{3}\))તથા C(0, \(\frac{100}{3}\)) છે.
Z = 4x + 6y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 104 મળે છે. જે બિંદુ B(24, \(\frac{4}{3}\)) આગળ મળે છે. અહીં ઉકેલ પ્રદેશ અસિમિત છે. તેથી 4x + 6y < 104 દોરતાં, આલેખપત્રમાં તે તૂટક રેખા દર્શાવે છે. 4x + 6y < 104 અને ઉકેલ પ્રદેશ વચ્ચે સામાન્ય બિંદુઓ નથી.
∴ સમતોલ આહાર Z = 4x + 6yની ન્યૂનતમ કિંમત ₹ 104 મળે છે. જેમાં F1 પ્રકારનો આહાર 24 એકમ તથા F2 પ્રકારનો આહાર \(\frac{4}{3}\) એકમ હોય છે.
પ્રશ્ન 10.
F1 અને F2 બે પ્રકારનાં ખાતર પ્રાપ્ય છે. F1 માં નાઈટ્રોજનનું પ્રમાણ 10% અને ફૉસ્ફરિક ઍસિડનું પ્રમાણ 6% આવેલું છે. અને F2 માં નાઈટ્રૉજનનું પ્રમાણ 5% અને ફૉસ્ફરિક ઍસિડનું પ્રમાણ 10% આવેલું છે. જમીનની ચકાસણી કર્યા પછી ખેડૂતને માલૂમ પડ્યું કે, તેને પાક માટે ઓછામાં ઓછું 14 કિગ્રા નાઈટ્રૉજન અને 14 કિગ્રા ફૉસ્ફેરિક ઍસિડની જરૂર પડશે. જો એક કિગ્રા ખાતર F1 ની કિંમત ₹ 6 હોય અને એક કિગ્રા ખાતર F2 ની કિંમત ₹ 5 હોય, તો દરેક પ્રકારના કેટલા ખાતરનો ઉપયોગ કરવો પડેશે કે જેથી ન્યૂનતમ ખર્ચમાં જરૂરી પોષક તત્ત્વો મળી રહે ? ન્યૂનતમ ખર્ચ કેટલો થશે ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે F1 પ્રકારનું ખાતર x kg જોઈએ તથા F2 પ્રકારનું ખાતર y kg જોઈએ.
આપેલ માહિતીનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે મળશે.
\(\frac{10}{100}\)x + \(\frac{5}{100}\)y ≥ 14 ⇒ 2x + y ≥ 280 ………..(i)
\(\frac{6}{100}\)x + \(\frac{10}{100}\)y ≥ 14 ⇒ 3x + 5y ≥ 700 ………..(ii)
x ≥ 0, y ≥ 0 ………..(iii)
શરતો (i), (ii) અને (iii)ને આધીન Z = 6x + 5y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમના (i), (ii) અને (iii) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દોરેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંક્તિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસિમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ A(\(\frac{700}{3}\) 0), B(100, 80) તથા C(0, 280) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 6x + 5y નું સંગત મૂલ્ય |
| A(\(\frac{700}{3}\), 0) | Z = 1400 |
| B(100, 80) | Z = 1000 |
| C(0, 280) | Z = 1400 |
Z = 6x + 5y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 1000 બિંદુ B(100, 80) આગળ મળે છે.
અહીં શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસિમીત છે. તેથી 6x + 5y < 1000 દોરો. જે આલેખપત્રમાં તૂટક રેખા વડે દર્શાવેલ છે. 6x + 5y < 1000 ને તથા શક્ય ઉકેલ પ્રદેશને સામાન્ય બિંદુ નથી.
∴ ન્યૂનતમ ખર્ચ Z = ₹ 1000 મળે છે. જેમાં F1 પ્રકારનું ખાતર 100 kg તથા F2 પ્રકારનું ખાતર 80 kg હોવું જોઈએ.
પ્રશ્ન 11.
મર્યાદાઓની અસમતા સંહિત 2x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 15, x ≥ 0, y ≥ 0 થી રચાતા શક્ય ઉકેલનાં પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ (0, 0), (5, 0), (3, 4) અને (0, 5) છે. ધારો કે Z = px + qy, P, q > 0. જો Z ની મહત્તમ કિંમત શિરોબિંદુ (3, 4) અને (0, 5) બંને આગળ મળે તો p અને q વચ્ચેનો સંબંધ….
(A) P = q (B) P = 2q (C) p = 3q (D) q = 3p
ઉત્તરઃ
2x + y ≤ 10, x + 3y ≤ 15, x, y ≥ 0
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ (0, 0), (5, 0), (3, 4) અને (0, 5) છે.
ધારો કે Z = px + qy, p, q > 0
(3, 4) હિંદુએ Z = 3x + 4q
(0, 5) બિંદુએ Z = 5q
∴ 54 = 3p + 4q
∴ 3p = q
અથવા q = 3p
p અને q વચ્ચેનો સંબંધ q = 3p છે.
∴ વિકલ્પ (D) આવે.