GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.2

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલા દિશોનાં માનની ગણતરી કરો :
(i) \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂
(ii) \(\vec{b}\) = 2î – 7ĵ – 3k̂
(iii) \(\vec{c}\)= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)î + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)ĵ + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)k̂
ઉત્તરઃ
(i) \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂
∴ \(|\vec{a}|=\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2}=\sqrt{3}\)
∴ સિંદેશ \(\vec{a}\) નું માન = √3

(ii) \(\vec{b}\) = 2î −7ĵ − 3k̂
\(|\vec{b}|=\sqrt{(2)^2+(-7)^2+(-3)^2}\)
= \(\sqrt{4+49+9}=\sqrt{62}\)
સદિશ \(\vec{b}\) નું માન = \(\sqrt{62}\)

(iii) \(\vec{c}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)î + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)ĵ + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)k̂

પ્રશ્ન 2.
સમાન માપવાળા બે ભિન્ન સદિશો લખો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = î + 2ĵ + 3k̂ \(\vec{b}\) = 3î + ĵ + 2k̂

(નોંધ : અહીં આવા અસંખ્ય સદિશો મેળવી શકાય.)

પ્રશ્ન 3.
જેની દિશા સમાન હોય તેવા બે ભિન્ન દિશો લખો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ + 5k̂
\(\vec{b}\) = 4î + 6ĵ + 10k̂
∴ \(\vec{b}\) = 2(2î +3ĵ + 5k̂)
અહીં \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ની દિશા સમાન છે. પરંતુ \(\vec{a} \neq \vec{b}\)
(નોંધ : આવા અસંખ્ય ઉદાહરણો મેળવી શકાય)

પ્રશ્ન 4.
સદિશો 2î + 3ĵ અને x î + y ĵ સમાન થાય તેવી x અને yની કિંમતો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે \(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ અને \(\vec{b}\) = xî + yî
હવે \(\vec{a}\) = \(\vec{b}\)
∴ 2î + 3ĵ = xî + yĵ
સમાન સિદેશોનાં અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય છે.
∴ x = 2λ અને y = 3

પ્રશ્ન 5.
જે સદિશનું પ્રારંભ બિંદુ (2, 1) અને અંતિમ બિંદુ (–5, 7) હોય, તેના અદિશ અને સદિશ ઘટકો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે સદિશનું પ્રારંભ બિંદુ A (2, 1) છે.
તેનું અંતિમ બિંદુ B (–5, 7) છે.
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 2î + ĵ અને \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = -5ĵ + 7ĵ
હવે \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (-5î + 7ĵ) – (2î + ĵ)
= (-5 – 2)î + (7 – 1)ĵ
= -7î + 6ĵ
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)નાં અદિશ ઘટકો –7 અને 6 છે.
તથા સદિશ ઘટકો –7î, 6ĵ મળે.

પ્રશ્ન 6.
સદિશો \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = -2î + 4ĵ + 5k̂ અને \(\vec{c}\) = î − 6ĵ – 7k̂ નો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\vec{a}\) = î – 2ĵ + k̂,
\(\vec{b}\) = -2î + 4ĵ + 5k̂
\(\vec{c}\) = î − 6ĵ – 7k̂
તેમનો સરવાળો \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
= (î − 2ĵ + î) + (−2î + 4ĵ + 5k̂) + (î −6ĵ − 7k̂)
= (1 − 2 + 1) î +(−2 + 4 − 6) ĵ + (1 + 5 − 7) k̂
= 0ĵ − 4ĵ – î
= – 4ĵ – k̂

પ્રશ્ન 7.
સદિશો \(\vec{a}\) = î + ĵ + 2k̂ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = î + ĵ + 2k̂

પ્રશ્ન 8.
જો P અને Q અનુક્રમે બિંદુઓ (1, 2, 3) અને (4, 5, 6) હોય તો PQની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં P = (1, 2, 3) તથા Q = (4, 5, 6)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) = î + 2ĵ + 3k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) = 4î + 5ĵ + 6k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)
= (4î + 5ĵ + 6k̂) − (î + 2ĵ + 3k̂)
= (4 − 1) î + (5 − 2) ĵ + (6 − 3)k̂
= 3î + 3ĵ + 3k̂

પ્રશ્ન 9.
આપેલ સદિશો \(\vec{a}\) = 2î – ĵ + 2k̂ અને \(\vec{b}\) = −î + ĵ – k̂ હોય, તો સદિશ a + b ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = 2î – ĵ + 2k̂ અને \(\vec{b}\) = − î + ĵ – k̂
∴ \(\vec{a}+\vec{b}\) = (2î − ĵ + 2k̂) + (−î + ĵ − k̂)
= (2 − 1)î + (−1 + 1)ĵ + (2 − 1)k̂
= î + k̂

પ્રશ્ન 10.
5î – ĵ + 2k̂ સદિશની દિશામાં 8 એકમ માનવાળો સદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
દર્શાવો કे સદિશો 2î – 3ĵ + 4k̂ અને −4î + 6ĵ – 8k̂ સમરેખ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે \(\vec{A}\) = 2î – 3ĵ +4kˆ \(\vec{B}\) = −4î + 6ĵ − 8k̂
∴ A નો સ્થાન સદિશ \(\vec{OA}\) = 2iˆ – 3jˆ + 4kˆ
B નો સ્થાન સદિશ \(\vec{OB}\) = 4î + 6ĵ – 8kˆ
= -2 (2iˆ − 3jˆ + 4kˆ)
= – 2 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) સમાંતર સદિશો છે તથા તેમનું સામાન્ય બિંદુ O છે.
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) સમરેખ છે.
∴ સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) સમરેખ છે.

પ્રશ્ન 12.
સદિશ î + 2ĵ + 3k̂ ના દિક્કોસાઇન શોધો.
ઉત્તરઃ
સદિશ \(\vec{P}\) = î + 2 ĵ + 3k̂
∴ x = 1, y = 2, z = 3

∴ આપેલ સદિશનાં દિક્કોસાઇનો \(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\) છે.

પ્રશ્ન 13.
જે સદિશ બિંદુઓ A (1, 2, −3) અને B (−1, −2, 1)ને Aથી B તરફની દિશામાં જોડતો હોય તે સદિશના દિક્કોસાઇન શોધો.
ઉત્તરઃ
A (1, 2, −3) તથા В (−1, −2, 1) .
∴ OA = î + 2ĵ − 3k̂
હવે \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
− (− î − 2ĵ + k̂) −(î + 2ĵ − 3k̂)
= (−1−1) î + (−2 − 2) ĵ + (1 + 3) î
= – 2î – 4ĵ + 4k̂

પ્રશ્ન 14.
સાબિત કરો કે સદિશ î + ĵ + k̂ એ અક્ષો OX, OY અને OZ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
ઉત્તરઃ
સદિશ \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂
∴ \(|\vec{a}|=\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2}=\sqrt{3}\)
ધારો કે સદિશ @ એ અક્ષો OX, OY અને OZ સાથે અનુક્રમે α, β, તથા γ માપનો ખૂણો બનાવે છે.

∴ સદિશi + j+k એ અક્ષો OX, OY અને OZ સાથે સમાન માપના ખૂણા બનાવે છે.

પ્રશ્ન 15.
બિંદુ R એ બિંદુઓ P અને Qને જોડતા રેખાખંડનું 2:1 ગુણોત્તરમાં (i) અંતઃ (ii) બહિર્વિભાજન કરે છે. P અને Qના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે î + 2ĵ – k̂ અને -î + ĵ + k̂ છે, તો બિંદુ Rનો સ્થાનસદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
બિંદુ Pનો સ્થાન સદિશ OP = î + 2ĵ – k̂
બિંદુ નો સ્થાન સદિશ QQ = -î + ĵ + k̂
(i) બિંદુ R એ P અને Qને જોડતાં રેખાખંડનું 2: 1નાં ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

∴ બિંદુ નો સ્થાન સદિશ –\(\frac{1}{3}\)î + \(\frac{4}{3}\)ĵ + \(\frac{1}{3}\)k̂ છે.

(ii) બિંદુ R એ P અને Qને જોડતાં રેખાખંડનું 2 : 1નાં ગુણોત્તરમાં બર્હિવિભાજન કરે છે.

∴ બિંદુનો સ્થાન સદિશ = -3î + 3k̂

પ્રશ્ન 16.
બિંદુઓ P (2, 3, 4) અને Q (4, 1, −2)ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનો સ્થાનસદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
Pનો સ્થાન સદિશ \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) = 2î + 3ĵ + 4k̂
Qનો સ્થાન સદિશ \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) = 4 î + ĵ −2 k̂
ધારો કે \(\overline{\mathrm{PQ}}\)નું મધ્યબિંદુ R છે.
∴ Rનો સ્થાન દિશ

મધ્યબિંદુનો સ્થાન સદિશ = 3î + 2ĵ + k̂

પ્રશ્ન 17.
સાબિત કરો કે બિંદુઓ A, B અને Cના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે
\(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂, \(\vec{b}\) = 2 î − ĵ + k̂, \(\vec{c}\) = î – 3ĵ – 5k̂ હોય, તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ રચે છે.
ઉત્તરઃ
અહી, \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = \(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = \(\vec{b}\) = 2 î − ĵ + k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = \(\vec{c}\) = î – 3ĵ – 5k̂

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (2î − ĵ + k̂) − (3î – 4ĵ −4k̂)
= -î + 3ĵ + 5k̂

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (î − 3ĵ − 5k̂) – (2î − ĵ + k̂)
=-î – 2ĵ – 6k̂

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= (3î − 4 ĵ −4k̂) – (i − 3 ĵ − 5k̂)
= 2î – ĵ + k̂

∴ પાયથાગોરસનાં પ્રતિપ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં બિંદુઓ A, B અને C કાટકોણ ત્રિકોણ રચે છે.

પ્રશ્નો 18 તથા 19માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 18.
ત્રિકોણ ABC જુઓ આકૃતિ માટે નીચેનામાંથી કયાં વિધાનો સત્ય નથી :

(A) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}\)
(B) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{0}\)
(C) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}\)
(D) \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{0}\)
ઉત્તરઃ
આકૃતિ પરથી, ΔABC માટે,

∴ વિધાન (D) પણ સત્ય થાય છે.
∴ વિધાન (C) સત્ય નથી.

પ્રશ્ન 19.
જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) , બે સમરેખ સદિશો હોય, તો નીચે આપેલાં પૈકી કયાં વિધાનો અસત્ય છે :
(A) કોઈક અદિશ λ માટે, \(\vec{a}\) = λ.\(\vec{a}\)
(B) \(\vec{a}\) = + \(\vec{b}\)
(C) \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના અનુરૂપ ઘટકો પ્રમાણમાં નથી.
(D) બંને સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ની દિશા સમાન છે, પરંતુ માન ભિન્ન છે.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) બે સમરેખ સદિશો છે.
∴ કોઈક અદિશ λ માટે \(\vec{b}\) = λ\(\vec{a}\)
∴ વિધાન (B), (C) અને (D) અસત્ય છે.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.2

Leave a Comment Cancel Reply