GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ

GSEB Class 11 Physics ગુરુત્વાકર્ષણ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) એક પોલા વાહકની અંદર વિદ્યુતભાર મૂકીને વિદ્યુત બળોથી તમે તેનું Shielding કરી શકો છો. કોઈ પદાર્થને પોલા ગોળાની અંદર મૂકીને કે અન્ય રીતે તમે નજીકના દ્રવ્યની ગુરુત્વ અસરથી Shield કરી શકશો?
(b) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા નાના અવકાશયાનની અંદર રહેલો અવકાશયાત્રી ગુરુત્વાકર્ષણની પરખ (Detect) કરી શકતો નથી. જો પૃથ્વીની આસપાસ કક્ષીય ભ્રમણ કરતા અવકાશ-મથકનું પરિમાણ (Size) મોટું હોય, તો તે ગુરુત્વાકર્ષણની પરખ કરવાની આશા રાખી શકશે?
(c) જો તમે પૃથ્વી પર સૂર્યને લીધે લાગતાં અને ચંદ્રને લીધે લાગતાં ગુરુત્વીય બળોની સરખામણી કરો તો તમને જણાશે કે સૂર્યનું ખેંચાણ બળ, ચંદ્રના ખેંચાણ બળ કરતાં મોટું છે. (તમે આ બાબતને હવે પછીના સ્વાધ્યાયમાં આવતી વિગતોની મદદથી ચકાસી શકો છો.) આમ છતાં, ભરતી પર ચંદ્રના ખેંચાણ બળની અસર, ભરતી પરની સૂર્યની અસર કરતાં મોટી છે. આવું શા માટે?
ઉત્તર :
(a) ના. કોઈ પણ પદાર્થને પોલા ગોળા(ગોળીય કવચ)ની અંદર મૂકીને અથવા અન્ય કોઈ રીતે પોલા ગોળાની નજીક રહેલા કોઈ દ્રવ્ય / પદાર્થની ગુરુત્વીય અસરથી Shield કરી શકાતો નથી.
કારણ કે કોઈ પણ બે પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તે બે પદાર્થો વચ્ચેના માધ્યમ પર આધારિત નથી, પણ વિદ્યુત બળ એ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેના માધ્યમની જાત પર આધાર રાખે છે.

(b) હા. ખૂબ મોટા અવકાશયાનની અંદરનો અવકાશયાત્રી ગુરુત્વાકર્ષણ અસરની પરખ (Detect) કરી શકશે.
કારણ કે ખૂબ મોટા અવકાશયાનનું પોતાનું ગુરુત્વાકર્ષણ ગણનાપાત્ર તથા માપી શકાય તેટલું હોય છે.

(c) ભરતીની અસર એ અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ચંદ્ર અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર, સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના અંતર કરતાં ઓછું છે.
તેથી ભરતી પર ચંદ્રના ખેંચાણ બળની અસર, સૂર્યની ભરતી પરની અસર કરતાં વધુ હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) ઊંચાઈ વધતાં ગુરુત્વપ્રવેગ વધે છે / ઘટે છે.
(b) ઊંડાઈ વધતાં ગુરુત્વપ્રવેગ વધે છે / ઘટે છે. (પૃથ્વીને નિયમિત ઘનતાનો ગોળો ગણો.)
(c) ગુરુત્વપ્રવેગ, પૃથ્વીના દળ / પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
(d) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r₁ અને r₂ અંતરે આવેલાં બે બિંદુઓએ સ્થિતિ-ઊર્જાના તફાવત માટે -GM_em(1/r₁ – 1/r₂) સૂત્ર, mg(r₁ – r₂) સૂત્ર કરતાં વધુ / ઓછું ચોકસાઈભર્યું છે.
ઉત્તર:
(a) ઘટે છે.
કારણ કે g (h) = \(\frac{g}{\left(1+\frac{h}{R_e}\right)^2}\) સૂત્ર પરથી ઊંચાઈ h વધતાં, ગુરુત્વપ્રવેગ g (h) ઘટે છે.

(b ) ઘટે છે.
કારણ કે g (d) = g(1 – \(\frac{d}{R_{\mathrm{e}}}\)) સૂત્ર પરથી ઊંડાઈ d વધતાં ગુરુત્વપ્રવેગ g (d) ઘટે છે.

(c) પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\) હોય છે, જે દર્શાવે છે કે ગુરુત્વપ્રવેગ ૩, પદાર્થના દળ mથી સ્વતંત્ર છે.

(d) વધુ ચોકસાઈભર્યું છે.
કારણ કે mg(r₁ – r₂) સૂત્રમાં gનું મૂલ્ય પૃથ્વી પરના જુદાં જુદાં સ્થળોએ જુદું જુદું હોય છે. તેથી અહીં GMm (\(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\)) સૂત્ર વધુ ચોકસાઈભર્યું છે.

પ્રશ્ન 3.
ધારો કે કોઈ ગ્રહ (બુધ અને મંગળ સિવાયનો) સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની ઝડપ કરતાં બમણી ઝડપે વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિક્રમણ કરે છે, તો તેની કક્ષાનું પરિમાણ પૃથ્વીની કક્ષાના પરિમાણની સરખામણીએ કેટલું હોય?
ઉત્તર:
અહીં આપેલ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ, વર્તુળાકાર કક્ષામાં પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ (ω = \(\frac{2 \pi}{T}\)) અથવા રેખીય ઝડપ υ = \(\frac{2 \pi r}{T}\) કરતાં બમણી ઝડપે પરિક્રમણ કરતો હોવાથી, જો પૃથ્વીનો આવર્તકાળ T_e અને ગ્રહનો આવર્તકાળ T_p હોય, તો અહીં T_p = \(\frac{T_{\mathrm{e}}}{2}\) આપેલ છે તેમ કહી શકાય.

• સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર 1 AU = 1.496 × 10¹¹m છે, એટલે કે પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા
  r_e = 1 AU છે, તો ગ્રહની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાની
  ત્રિજ્યા r_p = ?
• હવે, ગ્રહોની ગતિ માટેના કૅપ્લરના ત્રીજા નિયમ T² ∝ r³ પરથી,
  T_p² ∝r_p³ અને T_e² ∝r_e³
  ∴ (\(\frac{T_p}{T_e}\))² = (\(\frac{r_{\mathrm{p}}}{r_{\mathrm{e}}}\))²
  ∴ r_p = r_e\(\left(\frac{T_{\mathrm{p}}}{T_{\mathrm{e}}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
  = 1 AU × \(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}}\)
  = 0.63 AU અથવા 0.63 r_e
  આમ, આપેલ ગ્રહની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાનું પરિમાણ r_p, પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષાના પરિમાણ r_e કરતાં ઓછું છે.

પ્રશ્ન 4.
ગુરુના એક ઉપગ્રહ, આયો (Io)નો ક્ષીય આવર્તકાળ 1.769 day છે અને કક્ષીય ત્રિજ્યા 4.22 × 10⁸m છે. દર્શાવો કે ગુરુનું દળ સૂર્યના દળના હજારમાં ભાગનું છે.
ઉકેલઃ
રીત 1 :
સૂર્યનું દળ M_s = 2 × 10³⁰ kg આપેલ હોય ત્યારે …

T² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M}\))r³ સૂત્ર પરથી,
ગુરુના ઉપગ્રહ આયો (Io) માટે :
આકૃતિ 8.31 (a) પરથી,
T_i² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M_{\mathrm{j}}}\))r_i³ ………… (1)
ગુરુ માટે :
આકૃતિ 8.31 (b) પરથી,
T_j² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M_{\mathrm{s}}}\))r_j³ ……………. (2)

અહીં,
T_i = 1.769 day
= 1.769 × (24 × 60 × 60) s
T_i = 1.528 × 10⁵s
r_i = 4.22 × 10⁸m
સમીકરણ (1) પરથી,
M_j = \(\frac{4 \pi^2 r_i^3}{T_i^2 G}\)
∴ M_j = \(\frac{4 \times(3.14)^2 \times\left(4.22 \times 10^8\right)^3}{\left(1.528 \times 10^5\right)^2 \times 6.67 \times 10^{-11}}\)
= 1.9 × 10²⁷ kg
≈ 2 × 10²⁷ kg

પણ, અહીં સૂર્યનું દળ M_s = 2 × 10³⁰ kg આપેલ છે.
∴ \(\frac{M_{\mathrm{j}}}{M_{\mathrm{s}}}=\frac{2 \times 10^{27}}{2 \times 10^{30}}\) થાય.
∴ \(\frac{M_{\mathrm{j}}}{M_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{1000}\)
∴ m_j = \(\frac{M_{\mathrm{s}}}{1000}\)

રીત 2 :
સૂર્યનું દળ M_s આપેલ ન હોય, પરંતુ પૃથ્વીનો કક્ષીય આવર્તકાળ T_e = 365.25 day તથા પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની કક્ષીય ત્રિજ્યા r_e = 1 AU=1.496 × 10¹¹m આપેલ હોય ત્યારે …

T² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M}\))r³ સૂત્ર પરથી,
ગુરુના ઉપગ્રહ આયો (Io) માટે :
આકૃતિ 8.32 (a) પરથી,
T_i² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M_{\mathrm{j}}}\))r_i³ ………… (1)
ગુરુ માટે :
આકૃતિ 8.32 (b) પરથી,
T_e² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M_{\mathrm{s}}}\))r_ef³ ……………. (2)

અહીં,
T_i = 1.769 day
= 1.769 × (24 × 60 × 60) s
T_i = 1.528 × 10⁵s
r_i = 4.22 × 10⁸m
T_e = 365.25 day
= 365.25 × (24 × 60 × 60) s = 3.156 × 10⁷s
r_e = 1.496 × 10¹¹ m

હવે, સમીકરણ (1) પરથી,
M_j = \(\frac{4 \pi^2 r_i^3}{G T_i^2}\) ………… (3)
અને સમીકરણ (2) પરથી,
M_s \(\frac{4 \pi^2 r_{\mathrm{e}}^3}{G T_{\mathrm{e}}^2}\) ………… (4)

સમીકરણ (3) અને (4)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{M_{\mathrm{j}}}{M_{\mathrm{s}}}\) = (\(\frac{T_{\mathrm{e}}}{T_{\mathrm{i}}}\))² (\(\frac{r_{\mathrm{i}}}{r_{\mathrm{e}}}\))³
= \(\frac{\left(3.156 \times 10^7\right)^2}{\left(1.528 \times 10^5\right)^2} \times \frac{\left(4.22 \times 10^8\right)^3}{\left(1.496 \times 10^{11}\right)^3}\)
= (2.06 × 10²)² × (2.82 × 10^-3)³
= 4.24 × 10⁴ × 22.42 × 10^-9
= 95.06 × 10^-5
≈ 100 × 10^-5
= 10^-3
= \(\frac{1}{1000}\)
∴ M = \(\frac{M_{\mathrm{s}}}{1000}\)

પ્રશ્ન 5.
આપણે એવું ધારીએ કે આપણી આકાશગંગા (Galaxy) સૂર્યના દળ જેટલું દરેકનું દળ હોય તેવા 2.5 × 10¹¹ તારાઓની બનેલી છે. આકાશગંગાના કેન્દ્રથી 50,000 ly (Light Year –પ્રકાશવર્ષ) દૂર રહેલો કોઈ તારો એક ભ્રમણ પૂરું કરવા માટે કેટલો સમય લેશે? આકાશગંગાનો વ્યાસ 10⁵ ly લો.
ઉકેલઃ
આકાશગંગાનું દળ,
M = 2.5 × 10¹¹ તારાઓનું દળ
= 2.5 × 10¹¹ × 2 × 10³⁰ kg
(∵ 1 તારાનું દળ = સૂર્યનું દળ M_s = = 2 × 10³⁰ kg)
= 5 × 10⁴¹ kg
એક તારાની કક્ષીય ત્રિજ્યા r = \(\frac{10^5 l y}{2}\)
= 50,000 ly
= 50,000 × 9.46 × 10¹⁵m
(∵ 1 ly = 9.46 × 10¹⁵ m)

હવે, T² = (\(\frac{4 \pi^2}{G M}\))r³
T = \(\left(\frac{4 \pi^2 \times r^3}{G M}\right)^{\frac{1}{2}}\)
= \(\left(\frac{4 \times(3.14)^2 \times\left(4.73 \times 10^{20}\right)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{41}}\right)^{\frac{1}{2}}\)
= 1.12 × 10¹⁶ s
= \(\frac{1.12 \times 10^{16}}{365.25 \times(24 \times 60 \times 60)}\) year
= 3.54 × 10⁸ year

પ્રશ્ન 6.
સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) જો અનંત અંતરે સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે, તો પૃથ્વીની આસપાસ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ-ઊર્જા / સ્થિતિ-ઊર્જાના ત્રણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
(b) કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની બહાર મોકલી દેવા માટે આપવી પડતી ઊર્જા, તે ઉપગ્રહના સ્થાને જ સ્થિર રહેલા કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી બહાર મોકલવા માટે જરૂરી ઊર્જા કરતાં વધુ / ઓછી હોય છે.
ઉત્તર:
(a) ગતિ-ઊર્જા
કારણ કે પૃથ્વીની આસપાસ (R_e + h) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં m દળવાળા ઉપગ્રહની સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનાં સૂત્રો નીચે મુજબ છે :
સ્થિતિ-ઊર્જા V = – \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\)
ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{2\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\)
કુલ ઊર્જા E = V + K = – \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{2\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\)
હવે, ઉપ૨ ૨જૂ કરેલાં સૂત્રો પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ-ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.

(b) ઓછી
કારણ કે પૃથ્વીની આસપાસ (R_e + h) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં m દળવાળા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા E_revolving = – \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{2\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\) હોય છે, જ્યારે તે જ સ્થાને સ્થિર રહેલા m દળના કોઈ પદાર્થની કુલ ઊર્જા E_stationary = m દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા.
V = – \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\) હોય છે. (∵ K = 0).
આમ, અહીં E_revolving = \(\frac{E_{\text {stationary }}}{2}\) છે.
∵ પૃથ્વીની આસપાસ (R_e + h) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં m દળના ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની બહાર મોકલી દેવા માટે આપવી પડતી ઊર્જા, ઉપગ્રહના તે જ સ્થાને સ્થિર રહેલા m દળના પદાર્થને આપવી પડતી ઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.

પ્રશ્ન 7.
પૃથ્વી પરથી ફેંકાતા પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ
(a) શું તે પદાર્થના દળ પર આધારિત છે?
(b) જ્યાંથી ફેંકવામાં આવે તે સ્થાન પર આધારિત છે?
(c) પ્રક્ષિપ્ત કરવાની દિશા પર આધારિત છે?
(d) પદાર્થને ફેંકવાના સ્થાનની ઊંચાઈ પર આધારિત છે?
ઉત્તર:
(a) ના, કારણ કે પૃથ્વી પરથી ફેંકવામાં આવતા પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રમાં પદાર્થનું દળ m ગેરહાજર છે.

(b) હા, કારણ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રની અંદર જ પદાર્થનું સ્થાન સમાવિષ્ટ છે.

(c) ના, કારણ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ, પ્રક્ષિપ્ત દિશાથી સ્વતંત્ર છે.

(d) હા, કારણ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રમાં પદાર્થને ફેંકવાના સ્થાનની ઊંચાઈ સમાવિષ્ટ છે.
પ્રશ્ન (7) ના સચોટ ઉત્તરની સમજૂતી માટે નીચેના નિષ્ક્રમણ ઝડપનાં વિવિધ સૂત્રોનો અભ્યાસ કરો :

• પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાન પરથી પદાર્થને ફેંકીને અનંત અંતરે મોકલવા માટે તેને આપવી પડતી ઝડપ એટલે કે નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય :
  υ_e = \(\sqrt{\frac{2 G M_e}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}}=\sqrt{2 g\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\)
  જ્યાં, g = પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ
• પૃથ્વીની સપાટી પર h = 0 લેતાં નિષ્ક્રમણ ઝડપનાં વિવિધ સૂત્રો નીચે મુજબ થશે :
  υ_e = \(\sqrt{\frac{2 G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}}=\sqrt{2 g R_{\mathrm{e}}}\)
  તદ્ઉપરાંત, પૃથ્વીનું દળ M_e = V × ρ
  = \(\frac{4}{3}\)πR_e³ ρ હોવાથી
  υ_e = \(\sqrt{\frac{2 G}{R_{\mathrm{e}}} \times \frac{4}{3} \pi R_{\mathrm{e}}^3 \rho}\)
  = \(\sqrt{\frac{2 \pi G \rho}{3} \times 4 R_{\mathrm{e}}^2}\)
  = D\(\sqrt{\frac{2 \pi G \rho}{3}}\)
  જ્યાં, D = 2R_e = પૃથ્વીનો વ્યાસ અને
  ρ = પૃથ્વીના દ્રવ્યની ઘનતા
  આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે, જે ગ્રહના દ્રવ્યની ઘનતા વધુ હોય છે, તેની સપાટી પર આપેલ પદાર્થ માટે, નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય પણ વધુ હોય છે.

પ્રશ્ન 8.
એક ધૂમકેતુ સૂર્યની આસપાસ અતિ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. આ ધૂમકેતુ માટે
(a) રેખીય ઝડપ
(b) કોણીય ઝડપ
(c) કોણીય વેગમાન
(d) ગતિ-ઊર્જા
(e) સ્થિતિ-ઊર્જા
(f) સમગ્ર કક્ષા પર કુલ ઊર્જા અચળ હશે? ધૂમકેતુ જ્યારે સૂર્યની ખૂબ નજીક આવે ત્યારે કોઈ દળક્ષતિ થાય, તો તે અવગણો.
ઉત્તર:
(a) ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ υ અચળ હશે નહીં.
કારણ કે ગ્રહોની ગતિ માટેના કૅપ્લરના બીજા નિયમ \(\frac{d A}{d t}=\frac{L}{2 m}=\frac{m v r}{2 m}=\frac{v r}{2}\) = અચળ પરથી જ્યારે ધૂમકેતુ સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે તેની રેખીય ઝડપ વધુ હોય છે
અને જ્યારે સૂર્યથી દૂર હોય છે ત્યારે રેખીય ઝડપ ઓછી હોય છે. ટૂંકમાં, ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ બદલાતી હોય છે.

(b) ધૂમકેતુની કોણીય ઝડપ ω અચળ હશે નહીં.
કારણ કે ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ υ બદલાતી હોવાથી તેની કોણીય ઝડપ પણ બદલાય છે.

(c) ધૂમકેતુનું કોણીય વેગમાન L અચળ રહે છે.
કારણ કે ધૂમકેતુ તેના પર સૂર્ય વડે લાગતા ત્રિજ્યાવર્તી (Radial) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. તેથી તેના પર કોઈ ટૉર્ક લાગતું નથી.

(d) ધૂમકેતુની ગતિ-ઊર્જા K અચળ રહેતી નથી.
કારણ કે અહીં ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ છ બદલાતી હોવાથી તેની રેખીય ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\) mυ² પણ
બદલાતી રહે છે.

(e) ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જા V અચળ રહેતી નથી.
કારણ કે ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જાનો આધાર સૂર્ય અને ધૂમકેતુ વચ્ચેના અંતર પર છે. ધૂમકેતુ સૂર્યની આસપાસ અતિ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો હોવાથી, સૂર્ય અને ધૂમકેતુ વચ્ચેનું અંતર સતત બદલાતું રહે છે. તેથી ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જા સતત બદલાતી રહે છે.

(f) ધૂમકેતુની સમગ્ર કક્ષા પર કુલ ઊર્જા E અચળ રહે છે.
કારણ કે યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમના આધારે, ધૂમકેતુની ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા ભલે બદલાય પણ તેની યાંત્રિક ઊર્જા બદલાતી નથી.

પ્રશ્ન 9.
અવકાશમાંના અવકાશયાત્રીને થતી પીડા માટે કયાં લક્ષણો જણાય ?
(a) પગમાં સોજો
(b) ચહેરા પર સોજો
(c) માથું દુખવું
(d) સંરચનાની (Orientational) તકલીફ.
ઉત્તર:
(a) પગમાં સોજા ચઢતા નથી.
કારણ કે પૃથ્વીની સપાટી પર, વ્યક્તિનું સમગ્ર વજન (W = mg) તેના પગ દ્વારા વહન થતું હોય છે.
અવકાશમાં અવકાશયાનમાં વજનવિહીનતાની અવસ્થા હોય છે. તેથી ત્યાં અવકાશયાત્રી પગમાં ભાર અનુભવતો ન હોવાથી પગમાં સોજા ચઢતા નથી.

(b) ચહેરા પર સોજો ચઢશે.
કારણ કે અવકાશયાનમાં વજનવિહીનતાની અવસ્થામાં અવકાશયાત્રીના શરીરની અંદરનું દબાણ તેની બહારના દબાણ કરતાં વધુ હોય છે. તેથી રુધિરનું વધુ પડતું વહન થવાના કારણે ચહેરા પર સોજા ચઢે છે.

(c) માથું દુખે છે.
કારણ કે ચહેરા પર ચઢેલા સોજા, માનસિક તણાવ તથા વધુ પડતા રુધિર વહનને લીધે તેનું માથું દુખવા લાગે છે.

(d) Orientational – સંરચનાની તકલીફ થાય છે.
કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિની Orientation – નમન / સંરચનાનો આધાર એ તેના મગજની કાર્યશીલતા પર છે, જે તેના સ્થાન, સ્થળ અને સમય પર આધારિત હોય છે. અવકાશયાનમાં અવકાશયાત્રીનું મગજ વ્યવસ્થિત કાર્ય ન કરતું હોવાથી તેને સંરચનાની (Orientational) તકલીફ થાય છે.

ટૂંકમાં, અવકાશયાનમાં અવકાશયાત્રીના (b) ચહેરા પર ચઢતા સોજા, (c) માથું દુખવું અને (d) સંરચનાની તકલીફને લીધે તેને પીડા અનુભવાય છે.

નીચેના બે પ્રશ્નો (10) અને (11)માં આપેલા ઉત્તરોમાંથી સાચો ઉત્તર પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 10.
નિયમિત દળ ઘનતા ધરાવતા એક અર્ધગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર C પર ગુરુત્વ તીવ્રતાની દિશા દર્શાવતું તીર (જુઓ આકૃતિ 8.38) (i) a (ii) b (iii) c (iv) d

ઉત્તર:
(iii) c
ગુરુત્વતીવ્રતા (અથવા ગુરુત્વક્ષેત્ર) I = \(\frac{d U(r)}{d r}\)
જ્યાં, U (r) = ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન જે અંતર (૪)નું વિધેય છે.

• હવે, સંપૂર્ણ ગોળીય કવચની અંદરના દરેક બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અચળ હોય છે, તેથી સંપૂર્ણ ગોળીય કવચની અંદરના
  દરેક બિંદુ પાસે ગુરુત્વતીવ્રતા I = \(\frac{d U(r)}{d r}\) = 0

• હવે, રકમમાં આપેલ અર્ધગોળાકાર કવચને સંપૂર્ણ ગોળીય કવચ બનાવતાં (જુઓ આકૃતિ 8.34) કવચના કેન્દ્ર C પાસે ગુરુત્વ તીવ્રતા I = 0. બીજા શબ્દોમાં કવચના કેન્દ્ર C પાસે વિચારેલા એકમ દળના પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષી બળ શૂન્ય થાય. અર્થાત્ કેન્દ્ર C પાસે વિચારેલા એકમ દળના પદાર્થ પર દરેક દિશાઓમાંથી લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષી બળો સંમિત (Symmetric) હશે.
• જો ફરીથી સંપૂર્ણ ગોળીય કવચનો ઉપરનો અડધો ભાગ દૂર કરવામાં આવે, તો કવચના કેન્દ્ર C પાસે વિચારેલા એકમ દળના પદાર્થ (m = 1 એકમ) પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષી બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં હશે, એટલે કે c દ્વારા દર્શાવેલા તીરની દિશામાં હશે.
  આમ, અર્ધગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર C પાસે ગુરુત્વ તીવ્રતા દર્શાવતું તી૨ c વડે દર્શાવાય.

પ્રશ્ન 11.
ઉપરના પ્રશ્ન (10)માં કોઈ યાદચ્છિક બિંદુ P આગળ ગુરુત્વ તીવ્રતાની દિશા દર્શાવતું તીર (i) d (ii) e (iii) f (iv) g.
ઉત્તર:
(ii) e

પ્રશ્ન (10)ના ઉત્તરમાં સમજાવ્યા મુજબ, અર્ધગોળાકાર કવચના યાદચ્છિક બિંદુ P પાસે ગુરુત્વ તીવ્રતા e દ્વારા દર્શાવેલા તીરની દિશામાં હશે.

પ્રશ્ન 12.
પૃથ્વી પરથી એક રૉકેટ સૂર્ય તરફ છોડવામાં આવે છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી કેટલા અંતરે રૉકેટ પરનું ગુરુત્વ છે? સૂર્યનું દળ = 2 × 10³⁰ kg, પૃથ્વીનું દળ
બળ શૂન્ય બને 6 × 10²⁴ kg બીજા ગ્રહો વગેરેની અસર અવગણો. (પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની કક્ષીય ત્રિજ્યા = 1.5 × 10¹¹m)
ઉકેલઃ

• ધારો કે, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી x અંતરે આવેલા સ્થાને m દળવાળા રૉકેટ પર પૃથ્વી દ્વારા અને સૂર્ય દ્વારા લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાંના થાય છે. તેથી ત્યાં રૉકેટ પર પ્રવર્તતું પરિણામી ગુરુત્વ બળ શૂન્ય બને છે.
• જો પૃથ્વી અને સૂર્યનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર r હોય, તો સૂર્યથી (r – x) અંતરે રૉકેટ પરનું પરિણામી ગુરુત્વ બળ શૂન્ય થશે. લેતાં,
• હવે, F_RE = F_RS
  \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{x^2}=\frac{G m M_{\mathrm{s}}}{(r-x)^2}\)
  ∴ \(\frac{(r-x)^2}{x^2}=\frac{M_s}{M_{\mathrm{e}}}\)
  ∴ \(\frac{r-x}{x}=\sqrt{\frac{M_{\mathrm{s}}}{M_{\mathrm{e}}}}\)
  પણ, M_s = 2 × 10³⁰ kg
  M_e = 6 × 10²⁴ kg
  ∴ \(\frac{r-x}{x}=\sqrt{\frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}}}\) = 577.4
  ∴ \(\frac{r}{x}\) – 1 = 577.4
  ∴ \(\frac{r}{578.4}\) = 578.4
  ∴ x = \(\frac{r}{578.4}\)
  પણ, r = 1.5 × 10¹¹ m છે.
  ∴ x = \(\frac{1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}}{578.4}\) = 2.59 × 10⁸ m

પ્રશ્ન 13.
તમે ‘સૂર્યનું વજન’ કેવી રીતે કરશો, એટલે કે તેના દળનો અંદાજ કેવી રીતે મેળવશો? સૂર્યની ફરતે પૃથ્વીની કક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યા 1.5 × 10⁸ km છે.
ઉકેલ:
સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વી વર્તુળાકાર માર્ગે પરિક્રમણ કરે છે, જેના માટે જરૂરી એવું કેન્દ્રગામી બળ, પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચે પ્રવર્તતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે પૂરું પડાય છે.

= 2.0 × 10³⁰ kg

પ્રશ્ન 14.
શનિ પરના વર્ષનો સમયગાળો, પૃથ્વી પરના વર્ષના સમયગાળા કરતાં 29.5 ગણો છે. જો પૃથ્વી સૂર્યથી 1.50 × 10⁸ km
અંતરે હોય, તો સૂર્યથી શનિ કેટલે દૂર હશે?
ઉકેલ:
અહીં, T_s = 29.5 T_e
r_e = 1.50 × 10 km
r_s = ?
ગ્રહોની ગતિ માટેના કૅપ્લરના ત્રીજા નિયમ પરથી,
T² ∝ r³
∴ (\(\frac{T_{\mathrm{s}}}{T_{\mathrm{e}}}\))² = (\(\frac{r_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{e}}}\))³
∴ r_s = r_e × \(\left(\frac{T_{\mathrm{s}}}{T_{\mathrm{e}}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
= 1.50 × 10⁸ × \(\left(\frac{29.5 T_{\mathrm{e}}}{T_{\mathrm{e}}}\right)^{\frac{2}{3}}\)
= 1.50 × 10⁸ × (29.5)3
= 1.43 × 10⁹ km
= 1.43 × 10¹². m

પ્રશ્ન 15.
એક પદાર્થનું પૃથ્વીની સપાટી પર વજન 63 N છે. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં અડધી ઊંચાઈએ તે પદાર્થ પરનું પૃથ્વીનું ગુરુત્વ બળ કેટલું હશે?
ઉકેલ:
અહીં, પૃથ્વીની સપાટી પર m દળવાળા પદાર્થનું વજન W = mg = 63 N અને પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ h = \(\frac{R_{\mathrm{e}}}{2}\) છે.
હવે, પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ,
g (h) = g(\(\frac{R_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}+h}\))²
= g(\(\frac{R_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}+\frac{R_{\mathrm{e}}}{2}}\))² (∵ h = \(\frac{R_{\mathrm{e}}}{2}\))
= \(\frac{4}{9}\) g
∴ પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ m દળવાળા પદાર્થ પર લાગતું
ગુરુત્વ બળ,
F = mg (h)
= m × (\(\frac{4}{9}\)g)
= \(\frac{4}{9}\) × (mg)
= \(\frac{4}{9}\) × W
= \(\frac{4}{9}\) × 63
= 28 N

પ્રશ્ન 16.
પૃથ્વીને નિયમિત દળ ઘનતા ધરાવતો ગોળો ધારીને, જે પદાર્થનું સપાટી પર વજન 250 N હોય, તો તેનું પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ અડધા અંતરે વજન કેટલું થશે?
ઉકેલ:
અહીં, પૃથ્વીની સપાટી પર m દળવાળા પદાર્થનું વજન, W = mg = 250 N
હવે, પૃથ્વીની સપાટીથી ત જેટલી ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ,
g (d) = g(1 – \(\frac{d}{R_{\mathrm{e}}}\))
= g(1 – \(\frac{R_{\mathrm{e}} / 2}{R_{\mathrm{e}}}\)) (∵ d = \(\frac{R_{\mathrm{e}}}{2}\))
= \(\frac{g}{2}\)
∴ પૃથ્વીની સપાટીથી પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ અડધા અંતરે એટલે કે
d = \(\frac{R_{\mathrm{e}}}{2}\) જેટલી ઊંડાઈએ તે પદાર્થનું વજન,
W’ = m g (d)
= m × \(\frac{g}{2}\)
= \(\frac{W}{2}\)
= \(\frac{250}{2}\)
= 125 N

પ્રશ્ન 17.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી 5 km s^-1ની ઝડપે ઊર્ધ્વદિશામાં એક રૉકેટ છોડવામાં આવે છે. પૃથ્વી પર પાછા આવતા અગાઉ રૉકેટ કેટલે દૂર સુધી જશે? પૃથ્વીનું દળ = 6 × 10²⁴ kg, પૃથ્વીની સરેરાશ ત્રિજ્યા = 6.4 × 10⁶m, G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2.
ઉકેલ:
અહીં, υ = 5 km s^-1 = 5 × 10³ ms^-1
M_e = 6 × 10²⁴ kg
R_e = 6.4 × 10⁶ m
G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2

• ધારો કે, રૉકેટ પૃથ્વી તરફ પાછા આવતાં પહેલાં h જેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉપર તરફ જાય છે. આ ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાન આગળ રૉકેટનો રેખીય વેગ શૂન્ય થશે.
• હવે, યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

= 8 × 10⁶ m
આમ, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી 8 × 10⁶m જેટલા મહત્તમ અંતર સુધી રૉકેટ જશે અને પછી ત્યાંથી પાછું પૃથ્વી તરફ આવવા લાગશે.

• અહીં, R_e + h = 8 × 10⁶ m છે.
  ∴ h = 8 × 10⁶ – R_e
  = 8 × 10⁶ – 6.4 × 10⁶
  = 1.6 × 10⁶ m

પ્રશ્ન 18.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ 11.2 km s^-1 છે. એક પદાર્થને આના કરતાં ત્રણ ગણી ઝડપે બહાર ફેંકવામાં આવે છે. પૃથ્વીથી અત્યંત દૂરના અંતરે જતાં એ પદાર્થની ઝડપ કેટલી હશે? સૂર્ય અને બીજા ગ્રહોની હાજરી અવગણો.
ઉકેલ:
અહીં, પૃથ્વીની સપાટી પર આપેલ પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ υ_e = 11.2 km s^-1. પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ છ = : 30e (આપેલ છે.) પૃથ્વીના ગુરુત્વક્ષેત્રની બહાર અનંત અંતરે આ પદાર્થની ઝડપ અર્થાત્ અંતિમ ઝડપ υ’ = ?
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
(અનંત અંતરે પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જા) = (પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જા)
∴ K_f + V_f = K_i + V_i
∴ \(\frac{1}{2}\) mυ’² + 0 = \(\frac{1}{2}\) mυ² + (- \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}\))
પણ, પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપ,
υ_e = \(\sqrt{\frac{2 G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}}\) છે. તેથી \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}=\frac{v_{\mathrm{e}}^2}{2}\) થાય.
∴ \(\frac{1}{2}\) mυ’² = \(\frac{1}{2}\)mυ² – \(\frac{1}{2}\) mυ_e²
∴ υ’² = υ² = υ_e²
∴ υ’ = \(\sqrt{v^2-v_{\mathrm{e}}^2}\)
પણ, અહીં υ = 3υ_e છે.
∴ υ’ = \(\sqrt{\left(3 v_{\mathrm{e}}\right)^2-v_{\mathrm{e}}^2}\)
= √8 υ_e
= √8 × 11.2
= 31.68 km s^-1

પ્રશ્ન 19.
પૃથ્વીની સપાટીથી 400 km ઊંચાઈએ એક ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર મોકલવા માટે કેટલી ઊર્જા ખર્ચવી પડશે? ઉપગ્રહનું દળ = 200 kg, પૃથ્વીનું દળ = 6.0 × 10²⁴ kg, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા = 6.4 × 10⁶ m, G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2.
ઉકેલ:
અહીં, પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ
h = 400 km = 0.4 × 10⁶m,
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R_e = 6.4 × 10⁶m,
પૃથ્વીનું દળ M_e = 6.0 × 10²⁴ kg,
ઉપગ્રહનું દળ m = 200 kg
G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2

• પૃથ્વીની આસપાસ (R_e + h) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં m દળવાળા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા E = – \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{2\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\) છે. જે ઋણ છે, જે દર્શાવે છે કે ઉપગ્રહ પૃથ્વી સાથે બંધન અવસ્થામાં છે.
• ઉપગ્રહ જ્યારે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર જાય છે ત્યારે ત્યાં તેની કુલ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
  ∴ ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર મોકલવા માટે ખર્ચવી પડતી (તેને આપવી પડતી) લઘુતમ ઊર્જા = – E થાય.
• હવે, E = – \(\frac{G m M_e}{2\left(R_e+h\right)}\) = – \(\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 200 \times 6.0 \times 10^{24}}{2\left(6.4 \times 10^6+0.4 \times 10^6\right)}\)
  = – \(\frac{6.67 \times 12 \times 10^{15}}{2 \times 6.8 \times 10^6}\)
  = – 5.885 × 10⁹ J
  ∴ ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર મોકલવા માટે ખર્ચવી પડતી લઘુતમ ઊર્જા = – E = + 5.885 × 10⁹ J.

પ્રશ્ન 20.
દરેકનું એક સોલર (સૂર્ય જેટલું = 2 × 10³⁰ kg) દળ ધરાવતા બે તારા એકબીજા તરફ સન્મુખ (Head on) સંઘાત માટે જઈ રહ્યા છે. જ્યારે તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર 10⁹ km હોય છે, ત્યારે તેમની ઝડપ અવગણ્ય છે. તેઓ કેટલી ઝડપથી એકબીજાને (just) અથડાશે? દરેક તારાની ત્રિજ્યા 10⁴ km છે. સંઘાત થયા વિના તારાઓ વિકૃત થતા નથી એમ ધારો. (Gનું જ્ઞાત મૂલ્ય લો.)
ઉકેલઃ
દરેક તારાનું દળ M = 2 × 10³⁰ kg; દરેક તારાની ત્રિજ્યા R = 10⁴ km = 10⁷ m

• પ્રારંભમાં બંને તારાઓનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર r = 10⁹ km = 10¹²m હોય છે, ત્યારે તેમના વડે બનતા તંત્રની (પ્રારંભિક) ગુરુત્વીય
  સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V_i = \(\frac{-G M \times M}{r}=-\frac{G M^2}{10^{12}}\)

• અંતિમ સ્થિતિમાં જ્યારે આ તારાઓ just head on અથડામણ કરશે ત્યારે તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર

= 2R = 2 × 10⁴ km
= 2 × 10⁷ m હશે. તે વખતે તેમના વડે રચાતા તંત્રની (અંતિમ) ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
V_f = \(\frac{-G M \times M}{2 R}\)
= \(-\frac{G M^2}{2 \times 10^7}\)
∴ બંને તારાઓથી રચાતા તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો

• ધારો કે બે તારાઓની (just) head on અથડામણ વખતે તેમની એકસમાન રેખીય ઝડપ υ છે, તો તેમના વડે રચાતા તંત્રની રેખીય ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર,

= 2 × \(\frac{1}{2}\) mυ² – 0 ( ∵ પ્રારંભમાં બંને તારાઓની ઝડપ અવગણ્ય (શૂન્ય) છે.)
= Mυ²

• હવે, યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
  Δ K = – Δ V

= 2.6 × 10⁶ m s^-1

પ્રશ્ન 21.
એક સમક્ષિતિજ ટેબલ પર દરેકનું 100kg દળ અને 0.10 m ત્રિજ્યા હોય તેવા બે ભારે ગોળાઓને એકબીજાથી 1.0m અંતરે મૂકેલા છે. ગોળાઓનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુએ ગુરુત્વ બળ અને ગુરુત્વસ્થિતિમાન કેટલા હશે? તે બિંદુએ મૂકેલો કોઈ પદાર્થ સંતુલનમાં હશે? જો તેમ હોય તો સંતુલન સ્થિર છે કે અસ્થિર ?
ઉકેલ:

• આકૃતિ 8.39માં દર્શાવ્યા મુજબ A અને B એ બે ભારે ગોળાઓના સ્થાન છે તથા C એ બંને ગોળાઓનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ છે.
• અહીં, CA = CB = r = 0.5 m છે.
• હવે, C બિંદુ પાસે પરિણામી ગુરુત્વ બળ શોધવા માટે ત્યાં m દળ ધરાવતો એક કણ વિચારો.
• આ કણ પર ગોળા A અને ગોળા B દ્વારા લાગતાં ગુરુત્વ બળો નીચે મુજબ મળે :
  કણ પર ગોળા A દ્વારા લાગતું ગુરુત્વ બળ,
  \(\vec{F}_{\mathrm{CA}}=\frac{G M m}{r^2}\) CA દિશામાં
  કણ પર ગોળા B દ્વારા લાગતું ગુરુત્વ બળ,
  \(\vec{F}_{\mathrm{CB}}=\frac{G M m}{r^2}\) CB દિશામાં
  ∴ મધ્યબિંદુ C આગળ રહેલા m દળના કણ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વ બળ,
  \(\vec{F}_{\mathrm{C}}=\vec{F}_{\mathrm{CA}}+\vec{F}_{\mathrm{CB}}\)
  પણ, \(\vec{F}_{\mathrm{CA}}=-\vec{F}_{\mathrm{CB}}\) છે.
  ∴ \(\vec{F}_{\mathrm{C}}=-\vec{F}_{\mathrm{CB}}+\vec{F}_{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{0}\)
  આમ, બંને ભારે ગોળાઓનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ C પાસે પરિણામી ગુરુત્વ બળ શૂન્ય છે.
• હવે, આપેલા બિંદુએ (અહીં C બિંદુએ) એકમ દળદીઠ લાગતા ગુરુત્વ બળ (\(\frac{\vec{F}_{\mathrm{C}}}{m}\)) ને તે બિંદુ આગળની ગુરુત્વતીવ્રતા (અથવા ગુરુત્વક્ષેત્ર) કહે છે. તેથી C બિંદુ પાસે પરિણામી ગુરુત્વક્ષેત્ર \(\overrightarrow{I_{\mathrm{C}}}=\frac{\vec{F}_{\mathrm{C}}}{m}=\overrightarrow{0}\)
• ગુરુત્વસ્થિતિમાન (U) અદિશ રાશિ હોવાથી, C બિંદુ પાસે કુલ ગુરુત્વસ્થિતિમાન
  U_C = (- \(\frac{G M}{r}\)) + (- \(\frac{G M}{r}\)
  = \(\frac{-2 G M}{r}\)
  = \(\frac{-2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{0.5}\)
  = – 2.668 × 10^-8Jkg^-1
• મધ્યબિંદુ C પાસે પરિણામી ગુરુત્વ બળ શૂન્ય હોવાથી તે બિંદુ પાસે જો કોઈ પદાર્થ મૂકવામાં આવે, તો તે સંતુલનમાં રહેશે.
  પરંતુ આ પદાર્થને તેની આ સંતુલિત સ્થિતિમાંથી A ગોળા તરફ કે B ગોળા તરફ સહેજ ચલિત કરીને (ખસેડીને) મુક્ત કરવામાં આવે, તો તે પોતાની મૂળ પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પાછો આવી શકતો નથી. તેથી આ પદાર્થ C બિંદુ પાસે અસ્થાયી સંતુલન(Unstable equilibrium)માં છે તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 22.
તમે પાઠ્યપુસ્તકમાં શીખ્યા છો કે ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ પૃથ્વીની સપાટીથી લગભગ 36,000 km ઊંચાઈ ધરાવતી કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. આ ઉપગ્રહના સ્થાને ગુરુત્વસ્થિતિમાન કેટલું હશે? (અનંત અંતરે ગુરુત્વ સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લો.) પૃથ્વીનું દળ = 6.0 × 10²⁴ kg, ત્રિજ્યા= 6400 km.
ઉકેલ : પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r = R_e + h (જ્યાં, h = પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ) અંતરે ગુરુત્વસ્થિતિમાનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છેઃ
U (r) = \(\frac{-G M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\)
પણ, અહીં G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2
M_e = 6.0 × 10²⁴ kg
R_e = 6400 km = 6.4 × 10⁶ m
h = 36,000 km 36 × 10⁶ m
∴ U (r) = \(\frac{-6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{\left(6.4 \times 10^6+36 \times 10^6\right)}\)
= \(=\frac{-6.67 \times 6.0 \times 10^{13}}{42.4 \times 10^6}\)
= \(\frac{-40.02}{42.4}\) × 10⁷
= – 0.9439 × 10⁷J kg^-1
= – 9.439 × 10⁶ Jkg^-1

પ્રશ્ન 23.
સૂર્યના દળ કરતાં 2.5 ગણું દળ ધરાવતો અને સંકોચાઈને 12 kmનું પરિમાણ ધરાવતો એક તારો 1.5 પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ જેટલી ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે.
(આ પ્રકારના અત્યંત ઠાંસીને નક્કર બનેલા compact તારાને ન્યુટ્રૉન તારા કહે છે. પલ્સાર તરીકે ઓળખાતા કેટલાક અવકાશી પદાર્થો આ પ્રકારમાં આવે છે.)
તેના વિષુવવૃત્ત પર મૂકેલો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે તેની સપાટીને ચોંટીને રહેશે? (સૂર્યનું દળ = 2 × 10³⁰ kg)
ઉકેલ:
આપેલા તારાની સપાટી પર રહેલ પદાર્થ પર લાગતું તારાનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (F_g) જ્યારે તે પદાર્થની કક્ષીય ગતિ માટે જરૂરી એવા કેન્દ્રગામી બળ (F_C) જેટલું કે તેના કરતાં વધારે હશે, ત્યારે જ તે પદાર્થ આપેલ તારાની સપાટીને ચોંટીને રહેશે અને તારાની સાથે પરિભ્રમણ કરશે.

કારણ કે આ સ્થિતિમાં જ પદાર્થ પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (F_g) કરતાં ઓછું હશે અને પદાર્થ તારાની સપાટી પરથી ઊડીને ચાલ્યો જશે નહીં.
આમ,
mg ≥ m\(\frac{v^2}{R}\)
∴ g ≥ m\(\frac{v^2}{R}\)
અહીં, તારાનું દળ M = 2.5 × 2 × 10³⁰ kg
= 5.0 × 10³⁰ kg
તારાની ત્રિજ્યા R = 12 km = 12 × 10³ m
તારાની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ,
g = \(\frac{G M}{R^2}\)
= \(\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.0 \times 10^{30}}{\left(12 \times 10^3\right)^2}\)
= 0.2316 × 10¹²ms^-2
હવે, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ a_C = \(\frac{v^2}{R}\)
= \(\frac{(R \omega)^2}{R}\)
= R ω²
= R (2 πv)²
= (12 × 10³) × (2 × 3.14 × 1.5)²
= (12 × 10³ × 4 × 9.86 × 2.25)
= 1064.88 × 10³
= 1.1 × 10⁶ ms^-2
અહીં, g > \(\frac{v^2}{R}\) હોવાથી તારાના વિષુવવૃત્ત પર મૂકેલો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે તારાની સપાટીને ચોંટીને રહેશે.

પ્રશ્ન 24.
મંગળ પર એક અવકાશયાન સ્થિર થયેલ છે. આ અવકાશયાનને સૂર્યમંડળની બહાર ધકેલી દેવા માટે કેટલી ઊર્જા ખર્ચવી પડશે ? અવકાશયાનનું દળ = 1000 kg, સૂર્યનું દળ = 2 × 10³⁰ kg, મંગળનું દળ = 6.4 × 10²³ kg, મંગળની ત્રિજ્યા = 3395 km, મંગળની કક્ષાની ત્રિજ્યા = 2.28 × 10⁸ km, G = 6.67 × 10^-11Nm²kg^-2.
ઉકેલ :
અહીં, અવકાશયાનનું દળ m = 1000 kg = 10³ kg
સૂર્યનું દળ M_s = 2 × 10³⁰ kg
મંગળનું દળ M_m 6.4 × 10²³kg
મંગળની ત્રિજ્યા R_m = 3395 km = 3.395 × 10⁶ m
મંગળની વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા r = 2.28 × 10⁸ km
= 2.28 × 10¹¹ m
G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2

• અહીં, અવકાશયાન મંગળની સપાટી પર સ્થિર છે અને મંગળ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિક્રમણ કરે છે, તેથી અવકાશયાન પણ સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય.
• તેથી અવકાશયાનની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણ ગતિના કારણે કુલ ઊર્જા (= ગતિ-ઊર્જા + સ્થિતિ-ઊર્જા),
  E = – \(\frac{G m M_s}{2 r}\) ……………… (1)
• અવકાશયાન મંગળની સપાટી પર સ્થિર છે. તેથી મંગળની સપાટી પર અવકાશયાનની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V = – \(\frac{G m M_{\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{m}}}\) ………… (2)
• ટૂંકમાં, અવકાશયાનની ખરેખર કુલ ઊર્જા,
  E_spaceship = E + V
  = \(\frac{-G m M_s}{2 r}+\frac{-G m M_{\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{m}}}\)
  = – Gm (\(\frac{M_{\mathrm{s}}}{2 r}+\frac{M_{\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{m}}}\))
  = – 6.67 × 10^-11 × 10³ (\(\frac{2 \times 10^{30}}{2 \times 2.28 \times 10^{11}}+\frac{6.4 \times 10^{23}}{3.395 \times 10^6}\))
  = -6.67 × 10^-8 × (0.4386 × 10¹⁹ + 1.885 × 10¹⁷)
  = – 6.67 × 10^-8 × (4.386 + 0.1885) × 10¹⁸
  = 6.67 × 4.5745 × 10¹⁰
  = – 30.5119 × 10¹⁰
  = – 3.05 × 10¹¹ J
  ∴ અવકાશયાનને સૂર્યમંડળની બહાર ધકેલી દેવા માટેની જરૂરી (લઘુતમ) ઊર્જા
  = + E_spaceship
  = 3.05 × 10¹¹ J

પ્રશ્ન 25.
મંગળની સપાટી પરથી એક રૉકેટ ઊર્ધ્વદિશામાં 2 km s^-1ની ઝડપથી છોડવામાં આવે છે. જો મંગળના વાતાવરણના અવરોધને લીધે તેની પ્રારંભિક ઊર્જાની 20 % ઊર્જા વ્યય પામતી હોય, તો મંગળની સપાટી પર પાછું આવતા પહેલાં રૉકેટ કેટલે દૂર જશે? મંગળનું દળ = 6.4 × 10²³ kg, મંગળની ત્રિજ્યા = 3395 km, G = 6.67 × 10^-11 N m²kg^-2.
ઉકેલ:
અહીં, G = 6.67 × 10^-11 N m²kg^-2.
મંગળ ગ્રહનું દળ M_m 6.4 × 10²³ kg
મંગળ ગ્રહની ત્રિજ્યા R_m = 3395 km
= 3.395 × 10⁶ m
મંગળની સપાટી પરથી છોડવામાં આવતાં રૉકેટની પ્રારંભિક ઝડપ u = 2 km s^-1
= 2 × 10³ m s^-1

• જો રૉકેટનું દળ m હોય, તો રૉકેટની પ્રારંભિક રેખીય ગતિ-ઊર્જા
  K_i = \(\frac{1}{2}\) mu²
  = \(\frac{1}{2}\) m (2 × 10³)²
  = 2 × 10⁶ (m) J …………… (1)
• મંગળના વાતાવરણના અવરોધને લીધે રૉકેટ પોતાની 20 % ગતિ-ઊર્જા ગુમાવે છે, તેથી હવે રૉકેટની ચોખ્ખી ગતિ-ઊર્જા
  = 80 % [2 × 10⁶ (m)] J
  = \(\frac{80}{100}\) × 2 × 10⁶ (m) J
  = 1.6 × 10⁶ (m) J ……………. (2)
• હવે, જેમ જેમ રૉકેટ આકાશમાં ઉપર તરફ જાય છે તેમ તેમ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમના આધારે રૉકેટની ગતિ-ઊર્જા ઘટતી જાય છે અને રૉકેટની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા વધતી જાય છે.
• ધારો કે, મંગળ ગ્રહના કેન્દ્રથી r = R_m + h અંતરે રૉકેટની ચોખ્ખી ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય બને છે અને તે સમગ્રતયા તેની સ્થિતિ- ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
• ટૂંકમાં, રૉકેટની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર (ઘટાડો) ΔK = રૉકેટની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર (વધારો) ΔV
  ∴ રૉકેટની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો = 1.6 × 10⁶ (m) J …………… (3)
• હવે, મંગળ ગ્રહની સપાટી પર રૉકેટની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા
  V_Rm = – \(\frac{-G m M_{\mathrm{m}}}{R_{\mathrm{m}}}\) …………… (4)
  મંગળના કેન્દ્રથી r = R_m + h અંતરે રૉકેટની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા
  V_r = \(\frac{-G m M_{\mathrm{m}}}{r}\)
  અહીં, r > R_m છે. તેથી V_r > V_Rm થાય.
  તેથી રૉકેટની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો

= 1 – 0.127
= 0.873
∴ r = \(\frac{R_{\mathrm{m}}}{0.873}\)
= \(\frac{3395 \mathrm{~km}}{0.873}\)
= 3888.9 km
∴ મંગળની સપાટી પરથી ઊર્ધ્વદિશામાં જતા રૉકેટની જરૂરી ઊંચાઈ,
h = r – R_m
( r = R_m + h છે.)
= 3888.9 – 3395
= 493.9 km