GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર

GSEB Class 11 Physics કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
કોઈ પદાર્થ પર થતા કાર્યનું ચિહ્ન સમજવું અગત્યનું છે. નીચે આપેલી રાશિઓ ધન કે ઋણ છે તે કાળજીપૂર્વક દર્શાવોઃ
(a) દોરડા સાથે બાંધેલી બાલદી (ડૉલ) કૂવામાંથી બહાર કાઢતાં માણસ વડે થયેલ કાર્ય
(b) ઉપરના કિસ્સામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કાર્ય
(c) ઢળતા સમતલ પર લપસતા પદાર્થ પર ઘર્ષણ વડે થયેલું કાર્ય
(d) ખરબચડા સમક્ષિતિજ સમતલ પર નિયમિત વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ પર લગાડેલ બળ વડે થતું કાર્ય
(e) દોલન કરતા લોલકને સ્થિર કરવા માટે હવાના અવરોધક
બળ વડે થયેલું કાર્ય
ઉકેલ:
(a) ધન
કારણ કે માણસ દ્વારા બાલદી પર લાગતું બળ \(\vec{F}_{\text {ext }}\) અને બાલદીનું સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) બંને એક જ દિશામાં છે, એટલે કે \(\vec{F}_{\text {ext }}\) અને \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 0° છે.
∴ માણસ વડે થયેલ કાર્ય,
W = \(\vec{F}_{\text {ext }}\) · \(\vec{d}\) = \(\vec{F}_{\text {ext }}\) d cos 0°
= \(\vec{F}_{\text {ext }}\) d
= + ve

(b) ઋણ
કારણ કે બાલદીનું સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) ઊર્ધ્વદિશામાં છે પણ બાલદી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \(\vec{F}_{\mathrm{g}}\) અધોદિશામાં છે, એટલે કે \(\vec{F}_{\mathrm{g}}\) અને \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 180° છે.
∴ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કાર્ય,
W = \(\vec{F}_{\mathrm{g}}\) · \(\vec{d}\) = F_g d cos 180°
= – F_g d
= – ve

(c) ઋણ
કારણ કે અહીં પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણબળ \(\vec{f}\) એ પદાર્થના સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે, એટલે કે \(\vec{f}\) અને \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 180° છે.
∴ ઘર્ષણ વડે થયેલું કાર્ય,
w = \(\vec{f}\) · \(\vec{d}\) = f d cos 180°
= – f d
= – ve

(d) ધન
કારણ કે ખરબચડા રસ્તા પર પદાર્થને નિયમિત વેગથી ગતિ કરાવવા તેના પર વેગની દિશામાં પૂરતું બાહ્ય બળ લગાડવું પડે છે. આ બાહ્ય બળ \(\vec{F}_{\text {ext }}\) અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) એક જ દિશામાં હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો θ = 0° છે.
∴ લગાડેલ બળ વડે થતું કાર્ય,
W = \(\vec{F}_{\text {ext }}\) · \(\vec{d}\) = F_ext d cos 0°
= F_ext d
= +ve

(e) ઋણ
કારણ કે હવાનું અવરોધક બળ હંમેશાં લોલકના ગતિપથના દરેક બિંદુ પાસે સ્થાનિક રીતે લોલકની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. એટલે કે હવાનું અવરોધક બળ \(\overrightarrow{f_{\mathrm{a}}}\) અને લોલકના સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 180° છે.
∴ હવાના અવરોધક બળ વડે થતું કાર્ય,
W = \(\overrightarrow{f_{\mathrm{a}}}\) . \(\vec{d}\)
= f_ad cos 180°
= – f_ad
= – ve

પ્રશ્ન 2.
પ્રારંભમાં સ્થિર રહેલ 21kg દળનો એક પદાર્થ 7 N જેટલા સમક્ષિતિજ દિશાના બળની અસર હેઠળ ટેબલ પર ગતિક ઘર્ષણ આંક = 0.1 સાથે ગતિ કરે છે, તો આપેલી ગણતરીઓ કરો અને તમારા પરિણામોનું અર્થઘટન કરો ઃ
(a) લગાડેલ બળ વડે 10sમાં થયેલ કાર્ય
(b) ઘર્ષણ વડે 10 sમાં થયેલ કાર્ય
(c) 10 sમાં પરિણામી બળ વડે પદાર્થ પર થયેલ કાર્ય
(d) 10sમાં પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર.
ઉકેલ:
અહીં, m = 2 kg; પ્રારંભિક વેગ u = 0; F = 7 N;
μ_k = 0.1; t = 10 s.
અહીં, પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણબળ,
f_k = μ_k N
= μ_k (mg)
= 0.1 × 2 × 9.8
= 1.96 N
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ,
F_net = F – f_k
= 7 – 1.96
= 5.04 N
∴ પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\) = 2.52 m s^-2
∴ 10 sમાં પદાર્થે કાપેલું અંતર,
s = ut + \(\frac{1}{2}\)at²
= (0) 10 + \(\frac{1}{2}\)(2.52) (10)²
= 126 m

(a) લગાડેલ બળ વડે 10sમાં થયેલ કાર્ય,
W_{બાહ્ય બળ} = F × s = 7 × 126 = 882 J

(b) ઘર્ષણ વડે 10 sમાં થયેલ કાર્ય,
W_{ઘર્ષણ} = f_k × s = – 1.96 × 126
= – 246.9 J = – 247 J

(c) 10 sમાં પરિણામી બળ વડે થયેલ કાર્ય,
W_{પરિણામી બળ} = F_net × s = 5.04 × 126 = 635 J

(d) 10 sને અંતે પદાર્થનો વેગ,
v = u + at
= 0 + 2.52 × 10
= 25.2 m s^-1
∴ 10 sમાં પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર,
ΔK = \(\frac{1}{2}\)mυ² – \(\frac{1}{2}\) mu²
= \(\frac{1}{2}\)m (υ² – u²)
= \(\frac{1}{2}\) × 2 × ((25.2)²− (0)²) = 635 J
અર્થઘટન : પરિણામ (c) અને (d) પરથી સ્પષ્ટ છે કે W_{પરિણામી બળ} = ΔK
આમ, પદાર્થ પર પરિણામી બળ વડે થતું કાર્ય પદાર્થની ગતિ- ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિ 6.28માં એક-પરિમાણમાં સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેયનાં કેટલાંક ઉદાહરણો આપ્યાં છે. કણની કુલ ઊર્જાનું મૂલ્ય ૪-અક્ષ પર ચોકડી × (Cross)ની નિશાની વડે દર્શાવ્યું છે. દરેક કિસ્સામાં, એવા વિસ્તાર દર્શાવો જો હોય, તો કે જેમાં આપેલ ઊર્જા માટે કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય. આ ઉપરાંત, દરેક કિસ્સામાં કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા કેટલી હોવી જોઈએ તે દર્શાવો. ભૌતિકશાસ્ત્રની દૃષ્ટિએ આવાં કેટલાંક ઉદાહરણો વિચારો કે જેમની સ્થિતિ-ઊર્જાનાં મૂલ્યો આ સાથે મળતાં આવે.


ઉકેલઃ કણની કુલ ઊર્જા E = ગતિ-ઊર્જા K + સ્થિતિ-ઊર્જા V
ગતિ-ઊર્જા K = E – V
ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\)mυ² હોવાથી તે હંમેશાં ધન જ હોય છે, તેથી આલેખના જે વિસ્તારમાં / ભાગમાં આપેલ ઊર્જા E(x) માટે કણની ગતિ-ઊર્જા K ઋણ હશે ત્યાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવશે નહીં.

(a) x > a માટે, xનાં દરેક મૂલ્યો માટે V(x) = +V₀ અચળ છે અને V₀ > E છે. તેથી Eના આપેલા મૂલ્ય (×) માટે K ઋણ હશે.
∴ x > a વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવશે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા E_min = 0
[પણ x = 0 થી x = a સુધીના વિસ્તારમાં સ્થિતિ-ઊર્જા V = 0 છે, તેથી Eના આપેલા મૂલ્ય (×) માટે K ધન હશે. ∴ આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો હશે.]

(b) x < 0, x = 0, x > a માટે, ટૂંકમાં ૪નાં દરેક મૂલ્યો માટે સ્થિતિ-ઊર્જા V ધન છે અને V > E છે, તેથી Eના આપેલા મૂલ્ય (×) માટે K ઋણ હશે.
∴ આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવશે નહીં. ટૂંકમાં, ગ્રાફના કોઈ પણ વિસ્તારમાં કણ હોઈ શકે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા E_min = + V₁

(c) x < a અને x > b માટે, xનાં દરેક મૂલ્યો માટે સ્થિતિ-ઊર્જા V ધન છે અને V = V₀ > E છે, તેથી Eના આપેલ મૂલ્ય (×) માટે K ઋણ હશે.
∴ x < a અને x > b વિસ્તા૨માં કણ અસ્તિત્વ ધરાવશે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા E_min = – V₁
[x > a અને x < b વિસ્તારમાં સ્થિતિ-ઊર્જા V ઋણ છે, જે -V₁ જેટલી છે. તેથી Eના આપેલા મૂલ્ય (×) માટે K ધન હશે. ∴ આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો હશે.]

(d) – \(\frac{b}{2}\) < x < – \(\frac{a}{2}\) અને \(\frac{a}{2}\) < x < \(\frac{b}{2}\) વિસ્તારમાં x નાં દરેક મૂલ્યો માટે સ્થિતિ-ઊર્જા V ધન છે અને V > E છે, તેથી Eના આપેલા મૂલ્ય (×) માટે K ઋણ હશે.
∴ આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવશે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા E_min = – V₁
[\(\frac{b}{2}\) > x અને x > \(\frac{b}{2}\) વિસ્તારમાં સ્થિતિ-ઊર્જા V ધન છે, પણ Eના આપેલ મૂલ્ય (×) કરતાં તે ઓછી છે. તેથી K ધન છે. ∴ આ વિસ્તારમાં કણ હોઈ શકે છે.]

પ્રશ્ન 4.
રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ કરતા એક કણ માટે સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય V(x) = \(\frac{k x^2}{2}\) આપેલ છે, જ્યાં K દોલકનો બળ-અચળાંક છે. K = 0.5 N m^-1 માટે V(x) વિરુદ્ધ ઝનો આલેખ આકૃતિ 6.29માં દર્શાવ્યો છે. દર્શાવો કે આ સ્થિતિમાં 1 J જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો ગતિ કરતો કણ x = ±2m પહોંચે એટલે પાછો’ ફરવો જ જોઈએ.

ઉકેલ:
રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ કરતાં કણની કોઈ પણ ક્ષણે કુલ ઊર્જા E એ તેની આંશિક ગતિ-ઊર્જા K અને આંશિક સ્થિતિ- ઊર્જા V રૂપે હોય છે.
∴ E = K + V
= \(\frac{1}{2}\)mυ² + \(\frac{1}{2}\)kx²
પણ અહીં, E = 1 J અને k = 0.5 N m^-1 છે.
∴ 1 = \(\frac{1}{2}\) × mυ² + \(\frac{1}{2}\) = × 0.5 × x²
∴ 1 = \(\frac{1}{2}\) + mυ² + \(\frac{1}{4}\)x²
∴ x² + 2mυ² = 4
હવે, સરળ આવર્ત ગતિ કરતો કણ તે બિંદુએથી પાછો ફરે, જે બિંદુ પાસે તેનો તાત્ક્ષણિક વેગ શૂન્ય બને.
∴ x² + 2 m (0)² = 4
∴ x = ± 2 m
તેથી સાબિત થાય છે કે રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ કરતો કણ જો 1 J જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો હોય, તો તે x = ∴2 m સ્થાને પહોંચે એટલે તરત જ ત્યાંથી પાછો ફરશે.

પ્રશ્ન 5.
ઉત્તર આપો :
(a) રૉકેટનું અસ્તર (Casing) રૉકેટના ઉડાણ દરમિયાન ઘર્ષણના કારણે સળગી ઊઠે છે. કોના ભોગે સળગવા માટે જરૂરી ઉષ્મા-ઊર્જા મળે છે? રૉકેટના કે વાતાવરણના?
(b) સૂર્યની આસપાસ ધૂમકેતુઓ અતિ દીર્ઘવૃત્તીય (Highly Elliptical) કક્ષામાં ઘૂમે છે. સામાન્ય રીતે સૂર્યના કારણે ધૂમકેતુ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની ગતિને લંબરૂપે લાગતું નથી. તેમ છતાં ધૂમકેતુની સંપૂર્ણ ભ્રમણકક્ષા દરમિયાન તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. શા માટે?
(c) પૃથ્વીની આજુબાજુ પાતળા વાતાવરણમાં ભ્રમણ કરતો કૃત્રિમ ઉપગ્રહ, વાતાવરણના અવરોધને કારણે તેની ઊર્જા ક્રમશઃ ગુમાવે છે, ભલે તે સૂક્ષ્મ પ્રમાણમાં હોય. તેમ છતાં તે જેમ પૃથ્વીની નજીક અને નજીક આવતો જાય તેમ તેની ઝડપ શા માટે ક્રમશઃ વધતી જાય છે?
(d) આકૃતિ 6.30 (i)માં એક માણસ તેના હાથોમાં 15kg દળ ઊંચકીને 2 m જેટલું ચાલે છે. આકૃતિ 6.30 (1)માં તે આટલું જ અંતર દોરડું ખેંચતા ખેંચતા ચાલે છે. દોરડું ગરગડી પરથી પસાર થઈને તેના બીજા છેડે 15kg જેટલું દળ લટકાવેલ છે. કયા કિસ્સામાં વધુ કાર્ય થયું હશે?

ઉત્તર:
(a) રૉકેટના અસ્તરને ઉડાણ દરમિયાન સળગવા માટેની જરૂરી ઊર્જા, માત્ર રૉકેટમાંથી જ મળે છે, વાતાવરણમાંથી નહીં.
રૉકેટના અસ્તરનું દહન તેના ઉડાણ દરમિયાન તેના વાતાવરણ સાથેના ઘર્ષણના લીધે થાય છે. તેથી રૉકેટનું દળ (સૂક્ષ્મ માત્રામાં) ઘટે છે.
પણ રૉકેટની કુલ ઊર્જા E = K + V = \(\frac{1}{2}\)mυ² + mgh (g અચળ ધારતાં). આમ, રૉકેટનું દળ m ઘટવાથી તેની કુલ ઊર્જા પણ ઘટે છે, તેથી રૉકેટના અસ્તરના દહન માટેની જરૂરી ઉષ્મા-ઊર્જા રૉકેટમાંથી જ અર્થાત્ રૉકેટના દળ તથા તેની કુલ ઊર્જા(સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જા)માંથી મળે છે.

(b) ધૂમકેતુ પર લાગતું સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે. સંરક્ષી બળ વડે (ધૂમકેતુ પ૨) થતું કાર્ય એ (ધૂમકેતુની) સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે. એટલે કે
W = – ΔV.
પણ કોઈ પણ આકાર ધરાવતા બંધમાર્ગ માટે સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર ΔV = 0 હોય છે.
તેથી ધૂમકેતુની સંપૂર્ણ ભ્રમણકક્ષા દરમિયાન તેના પર લાગતાં સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય W = 0 હોય છે.

(c) ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમના આધારે આપેલ ભ્રમણકક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં કૃત્રિમ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા E (ગતિ-ઊર્જા + સ્થિતિ- ઊર્જા) અચળ રહે છે.
હવે, કૃત્રિમ ઉપગ્રહ જેમ જેમ પૃથ્વીની નજીક આવતો જાય છે તેમ તેમ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા સૂત્ર –\(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{R_{\mathrm{e}}+h}\)અનુસાર ઘટતી જાય છે, પરિણામે તેની ગતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)mυ² અને તેથી તેની ઝડપ υ વધતી જાય છે.
આમ છતાં, પૃથ્વીની આજુબાજુ પાતળા વાતાવરણમાં ભ્રમણ કરતો કૃત્રિમ ઉપગ્રહ, વાતાવરણના અવરોધને લીધે પોતાની ઊર્જા ગુમાવે છે અને તેથી તેની કુલ ઊર્જા સૂક્ષ્મ માત્રામાં ક્રમશઃ ઘટતી જતી હોય છે.

(d) આકૃતિ 6.30 (1)માં માણસ પોતાના હાથોમાં 15 kg દળ ઊંચકીને 2 m જેટલું અંતર સમક્ષિતિજ દિશામાં ચાલે છે. અહીં માણસ વડે દળ પર લગાડાતું બળ ઊદિશામાં છે, જ્યારે તે દળનું સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ દિશામાં છે. તેથી દળ પર લગાડેલ બળ અને તેના સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો θ = 90° હોવાથી આ કિસ્સામાં માણસ
વડે થતું કાર્ય W = (F_ext) d cos 90° = 0.
(માત્ર ચાલતી વખતે માણસે, ઘર્ષણ વિરુદ્ધ 2m જેટલું અંતર કાપવા માટે કાર્ય કરવું પડે છે.)
આકૃતિ 6.30 (ii)માં માણસ દોરડાને સમક્ષિતિજ દિશામાં (ધારો કે અચળ ઝડપથી) ખેંચે છે. તેથી 15 kg દળ ઊર્ધ્વદિશામાં ઊંચકાય છે ત્યારે માણસ દ્વારા લગાડેલ બળ mg પણ ઊદિશામાં જ હશે. તેથી આ કિસ્સામાં માણસ વડે થતું કાર્ય,
W = (F_ext) d cos θ
= (mg) d cos 0°
= mgd = 15 × 9.8 × 2 = 294 J
આમ, કિસ્સા (ii)માં વધુ કાર્ય થયું છે.
આ કાર્ય ચાલતી વખતે, ઘર્ષણ વિરુદ્ધ 2m જેટલું અંતર કાપતી વખતે કરવામાં આવતાં કાર્ય કરતાં વધારાનું કાર્ય છે.

પ્રશ્ન 6.
સાચાં વિકલ્પ નીચે લીટી કરોઃ
(a) જ્યારે સંરક્ષી બળ પદાર્થ પર ધન કાર્ય કરે છે, ત્યારે પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા વધે છે / ઘટે છે / અચળ રહે છે.
(b) પદાર્થ વડે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય હંમેશાં તેની ગતિ- ઊર્જાના / સ્થિતિ-ઊર્જાના ઘટાડામાં પરિણમે છે.
(c) અનેક કણ ધરાવતા તંત્રના કુલ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર, તેના પર લાગતાં બાહ્ય બળોના / તંત્રમાં પ્રવર્તતા આંતરિક બળોના સદિશ સરવાળાને સમપ્રમાણ હોય છે.
(d ) બે પદાર્થોની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં જે રાશિઓ અથડામણ પછી બદલાતી નથી તે કુલ ગતિ-ઊર્જા / કુલ રેખીય વેગમાન / બે પદાર્થો વડે બનતા તંત્રની કુલ ઊર્જા છે.
ઉત્તર:
(a) જ્યારે સંરક્ષી બળ પદાર્થ પર ધન કાર્ય કરે છે, ત્યારે પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.
સમજૂતી: પદાર્થ પ૨ સંરક્ષી બળ દ્વારા થતું કાર્ય તેની સ્થિતિ- ઊર્જામાં થતા ફેરફારનાં ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
એટલે કે, W = – ΔV
∴ W = – (V_f – V_i)
∴ V_f = V_i – W
અહીં, કાર્ય Wની કિંમત ધન છે. તેથી V_f < V_i થાય.
∴ પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, શરૂઆતમાં પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ રહેલા m દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા mgh (ધન) હોય છે. હવે જો આ પદાર્થ ત્યાંથી અધોદિશામાં (પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ) માત્ર તેના પર લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળને (સંરક્ષી બળને) લીધે ગતિ કરે અને પૃથ્વીની સપાટી પર આવીને પડે તો પૃથ્વીની સપાટી પર તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય બને છે.

જે દર્શાવે છે કે, સંરક્ષી બળ (અહીં, ગુરુત્વાકર્ષી બળ) વડે પદાર્થ પર ધન કાર્ય થતા પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે. (અહીં, પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર બંને એક જ દિશામાં છે, તેથી W_grav = F_grav d cos θ = (mg) h cos 0° = + mgh).

(b) પદાર્થ વડે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય હંમેશાં તેની ગતિ- ઊર્જાના ઘટાડામાં પરિણમે છે.
સમજૂતી : ઘર્ષણની લાક્ષણિકતા ગતિનો વિરોધ કરવાની છે. (બાહ્ય બળનો વિરોધ કરવાની છે.) પદાર્થ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કાર્ય પોતાની ગતિ-ઊર્જા ખર્ચીને કરે છે, તેથી પદાર્થ વડે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય તેની ગતિ-ઊર્જાના ઘટાડામાં પરિણમે છે.

(c) અનેક કણ ધરાવતાં તંત્રના કુલ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર, તેના પર લાગતાં બાહ્ય બળોના સિંદેશ સરવાળાને સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સમજૂતી : અનેક કણ ધરાવતા તંત્રના કણો વચ્ચે પ્રવર્તતાં આંતરિક બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય છે. એટલે કે, આંતરિક પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
તેથી તંત્રના કુલ વેગમાનમાં ફેરફાર માત્ર (પરિણામી) બાહ્ય બળને કારણે જ શક્ય છે.
∴ અનેક કણોના બનેલા તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનનો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતાં પરિણામી બાહ્ય બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(d) બે પદાર્થોની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં જે રાશિઓ અથડામણ પછી બદલાતી નથી તે કુલ રેખીય વેગમાન અને બે પદાર્થો વડે બનતા તંત્રની કુલ ઊર્જા છે.
સમજૂતી : બે પદાર્થોની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં બંને પદાર્થોની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
પરંતુ બંને પદાર્થોનું કુલ રેખીય વેગમાન (સદિશ) અને કુલ ઊર્જા (બધા જ પ્રકારની ઊર્જાઓનો સરવાળો) અચળ રહે છે અર્થાત્ તેમનું સંરક્ષણ થાય છે.

પ્રશ્ન 7.
આપેલાં વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે દર્શાવો. તમારા ઉત્તર માટે કારણ આપો :
(a) બે પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં દરેક પદાર્થના વેગમાન અને ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
(b) પદાર્થ પર લાગતા કોઈ પણ પ્રકારનાં આંતરિક કે બાહ્ય બળોની હાજરીમાં પણ તંત્રની કુલ આંતરિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
(c) પદાર્થની બંધમાર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન કુદરતમાંના દરેક પ્રકારનાં બળ માટે થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
(d) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની અંતિમ ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં તેની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.
ઉત્તર :
(a) ખોટું.
કારણ : બે પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, બંને પદાર્થોનું (એટલે કે બંને પદાર્થોથી બનેલા સમગ્ર તંત્રનું) કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે, પણ દરેક પદાર્થનું પોતાનું વેગમાન અને ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

(b) ખોટું.
કારણ : દાખલા તરીકે એક m દળનો બ્લૉક ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર, પ્રારંભમાં υ₀ ઝડપથી સરકીને, x₀ અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે. આ કિસ્સામાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ \(\frac{m v_0^2}{2}\) =
f_kx₀ (જ્યાં, f_k = ગતિક ઘર્ષણબળ) થાય. અહીં બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા તેના પર લાગતા ઘર્ષણબળને કારણે વેડફાઈ જાય છે. જે ઉષ્મા-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને તેથી ટેબલ અને બ્લૉકના તાપમાનમાં સૂક્ષ્મ પ્રમાણમાં વધારો જોવા મળે છે, પરિણામે ટેબલ અને બ્લૉકની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
આમ, અહીં તંત્ર(બ્લૉક + ટેબલ)ની આંતરિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

(c) ખોટું.
કારણ : કુદરતમાં પદાર્થની ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણબળ પ્રવર્તમાન હોય છે. ઘર્ષણબળ અસંરક્ષી બળ છે અને અસંરક્ષી બળના કિસ્સામાં પદાર્થની બંધમાર્ગ પ૨ની ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી.
(માત્ર સંરક્ષી બળો જેવાં કે ગુરુત્વાકર્ષી બળ, સ્થિત વિદ્યુતબળ વગેરેના કિસ્સામાં જ પદાર્થની બંધમાર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.)

(d) સાચું.
કારણ : અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં સમગ્ર તંત્રની કુલ ઊર્જા તથા કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું હોય છે. પરંતુ કુલ યાંત્રિક ઊર્જા Eનું સંરક્ષણ થતું નથી. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન પદાર્થો પર લાગતાં પરસ્પર આઘાતી બળો (Impulsive Forces) અને પદાર્થમાં ઉદ્ભવતા આકાર વિકાર (વિરૂપણ) દરમિયાન ઉષ્મા અને / અથવા અવાજ (ધ્વનિ) પણ ઉત્પન્ન થતા હોય છે.

આમ, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની અંતિમ ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં તેની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઓછી જ હોય છે.

પ્રશ્ન 8.
ધ્યાનપૂર્વક કારણ આપીને ઉત્તર લખો :
(a) બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન, અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન (એટલે કે જ્યારે તેઓ એકબીજાના સંપર્કમાં હોય તે દરમિયાન) શું બૉલની ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે?
(b) શું બે બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાનના ટૂંકા ગાળામાં તેમના રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે?
(c) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે (a) અને (b)ના ઉત્તર શું હશે?
(a) જો બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિ-ઊર્જા તેમના કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતી હોય, તો આ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે કે અસ્થિતિસ્થાપક? (નોંધ : અહીં આપણે અથડામણ દરમિયાન લાગતા બળને અનુલક્ષીને સ્થિતિ-ઊર્જાની વાત કરીએ છીએ, ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાની નહિ.)
ઉત્તર:
(a) ના.
કારણ કે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન જ્યારે બંને બૉલ એકબીજાના ભૌતિક સંપર્કમાં હોય છે ત્યારે તેમની ગતિ-ઊર્જાનો અમુક અંશ બંને બૉલમાં આકાર વિરૂપણ ઉત્પન્ન કરવામાં ખર્ચાઈ જાય છે, એટલે કે તે સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન તેમની ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. પણ અથડામણ પહેલાં અને અથડામણ પછી બંને બૉલની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોય છે.

(b) હા.
કારણ કે બે બૉલની અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતા પરસ્પર આઘાતી (Impulsive) બળોને કારણે માત્ર વેગમાનની આપ-લે થાય છે, પણ ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ (\(\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}\)) જે દરેક ક્ષણે પળાતો હોવાથી, બે બૉલના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે એટલે કે બે બૉલનું કુલ રેખીય વેગમાન દરેક ક્ષણે અચળ રહે છે.

(c)

કારણ કે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં હંમેશાં ગતિ-ઊર્જાનો વ્યય થતો હોય છે. તેથી અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અથડામણ દરમિયાન, અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન તેમજ અથડામણના અંતે કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

પરંતુ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, અથડામણ પહેલાંનું કુલ રેખીય વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ રેખીય વેગમાન એકસમાન હોય છે, એટલે કે અહીં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું પાલન થાય છે, જે અથડામણ દરમિયાનના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન (≈ 10^-3s) પણ પળાય જ છે.

(d) સ્થિતિસ્થાપક
કારણ કે ભૌતિક રાશિ ‘સ્થિતિ-ઊર્જા’ એ માત્ર સંરક્ષી બળ- ક્ષેત્ર માટે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે, એટલે કે જે વિસ્તારમાં સંરક્ષી બળ પ્રવર્તતું હોય ત્યાં જ સ્થિતિ-ઊર્જા શોધી શકાય છે.

અહીં પ્રશ્ન પ્રમાણે, બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિ-ઊર્જા તેમના કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે તેમ આપેલું છે, તેથી તેમની અથડામણ વખતે સંરક્ષી બળો જ પ્રવર્તતા હશે. હવે સંરક્ષી બળોની હાજરીમાં યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ પળાય છે અને સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોય છે.
∴ અહીં, બે બૉલની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હશે.

મહત્ત્વની નોંધ :
(1) દરેક પ્રકારના સંઘાતમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
(2) દરેક પ્રકારના સંઘાતમાં કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
(3) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં માત્ર સંરક્ષી બળો જ કામ કરે છે.
(4) અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં બધાં બળો સંરક્ષી બળો હોતાં નથી.

પ્રશ્ન 9.
પ્રારંભમાં એક પદાર્થ સ્થિર છે. તે એક-પરિમાણમાં અચળ પ્રવેગથી ગતિ શરૂ કરે છે. t સમયે તેને મળતો પાવર કોના સમપ્રમાણમાં હશે?
(i) \(t^{\frac{1}{2}}\)
(ii) t
(3) \(t^{\frac{3}{2}}\)
(iv) t²
ઉકેલ:
(ii) t
અહીં, υ₀ = 0 છે.
તેથી એક-પરિમાણમાં અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ
υ = υ₀ + at પરથી,
υ = 0 + at = at
પણ, તાત્ક્ષણિક પાવર P = Fυ
∴ P = (ma) × at
= ma² t
અહીં, m અને a અચળ હોવાથી,
P ∝ t
નોંધ : ઉપરોક્ત દાખલામાં પાવર P અચળ નથી પણ તે સમય t પર આધારિત છે, તેથી તાત્ક્ષણિક પાવર શોધેલ છે.

પ્રશ્ન 10.
એક પદાર્થ અચળ પાવરના ઉદ્ગમની અસર હેઠળ એક દિશામાં ગતિ શરૂ કરે છે. દ સમયમાં તેનું સ્થાનાંતર કોના સમપ્રમાણમાં હશે?
(i) \(t^{\frac{1}{2}}\)
(ii) t
(iii) \(t^{\frac{3}{2}}\)
(iv) t²
ઉકેલ:
(iii) \(t^{\frac{3}{2}}\)
અહીં, પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0 છે. તેના પર અચળ પાવર લાગવાના કારણે તે t સમયમાં υ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
W = Δ K = K_f – K_i = \(\frac{1}{2}\)mυ² – 0 = \(\frac{1}{2}\)mυ² ………… (1)
પણ, અહીં પાવર અચળ છે.
∴ P = \(\frac{W}{t}\)
∴ W = Pt ………… (2)
∴ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,

બીજી રીત :
પાવર P = \(\frac{W}{t}\)
∴ પાવર Pનું પારિમાણિક સૂત્ર,
[P] = \(\frac{\mathrm{M}^1 \mathrm{~L}^2 \mathrm{~T}^{-2}}{\mathrm{~T}}\) = M¹L² T^-3
પણ, અહીં પાવર અચળ છે.
∴ M¹L² T^-3 = અચળ
દળ M પણ અચળ છે.
∴ L² T^-3 = અચળ
∴ \(\frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{~T}^3}\) = અચળ
∴ L2 ∝ T³
∴ L ∝ \(\mathrm{T}^{\frac{3}{2}}\)
આમ, સ્થાનાંતર (L) એ \(\mathrm{T}^{\frac{3}{2}}\) ના સમપ્રમાણમાં છે.
નોંધ :ઉપરોક્ત દાખલો પદાર્થના પ્રવેગનું સૂત્ર શોધીને અને પછી અચળ પ્રવેગી ગતિનું સમીકરણ વાપરીને કરી શકાય નહીં. કારણ કે અહીં પ્રવેગ a એ સમય tનું વિધેય છે.

પ્રશ્ન 11.
એક પદાર્થની ગતિ યામપદ્ધતિની Z-અક્ષ પર સીમિત રાખવા માટે તેના પર \(\vec{F}\) જેટલું અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે, જે \(\vec{F}\) = -î + 2ĵ + 3k̂ N છે.
અહીં î , ĵ , k̂ અનુક્રમે તંત્રના X, Y અને Z અક્ષ પરના એકમ સદિશો છે. આ પદાર્થને Z-અક્ષ પર 4m અંતર સુધી ગતિ કરાવવા માટે આ બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
ઉકેલ:
અહીં, \(\vec{F}\) = -î + 2ĵ + 3k̂ N છે.
પદાર્થ 4m અંતર Z-અક્ષ પર કાપે છે, તેથી તેનું સ્થાનાંતર
\(\vec{d}\) = 4k̂m
હવે, કાર્ય W = \(\vec{F}\) . \(\vec{d}\)
= (- î + 2ĵ + 3k̂ ) · 4ic
= – 4 (î · k̂) + 8 (ĵ · k̂) + 12 k̂ · k̂)
= -4 (0) + 8 (0) + 12 (1)
= 12 J

પ્રશ્ન 12.
કૉસ્મિક કિરણોના એક પ્રયોગમાં એક ઇલેક્ટ્રૉન અને એક પ્રોટોનની હાજરી જોવા મળે છે, જેમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા 10 keV અને પ્રોટોનની 100keV છે. કોણ ઝડપી હશે, ઇલેક્ટ્રૉન કે પ્રોટોન? બંનેની ઝડપનો ગુણોત્તર મેળવો.
(ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ = 9.11 × 10^-31 kg, પ્રોટોનનું દળ = 1.67 × 10^-27 kg, 1 eV = 1.60 × 10^-19J)
ઉકેલ:
અહીં, ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા,
K_e = \(\frac{1}{2}\) m_eυ_e²
= 10 keV
= 10 × 1.6 × 10^-19J
પ્રોટોનની ગતિ-ઊર્જા K_p = \(\frac{1}{2}\) m_pυ_p²
= 100 keV
= 100 × 1.6 × 10^-19J
∴ \(\frac{K_{\mathrm{e}}}{K_{\mathrm{p}}}=\frac{m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}^2}{m_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2}=\frac{1}{10}\)

υ_e > υ_p તેથી ઇલેક્ટ્રૉન, પ્રોટોન કરતાં વધુ ઝડપી છે.

પ્રશ્ન 13.
2 mm ત્રિજ્યાનું વરસાદનું એક ટીપું 500 m ઊંચાઈએથી જમીન પર પડે છે. ઘટતા પ્રવેગથી (હવાના શ્યાનતા અવરોધને કારણે) તે મૂળ ઊંચાઈએથી અડધી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત ના કરે ત્યાં સુધી પડે છે, જ્યાં તે અંતિમ (ટર્મિનલ) ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ તે એકધારી (સમાન) ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપા પર થયેલ કાર્ય કેટલું હશે? જો તે 10 m s^-1ની ઝડપથી તેની સફર પૂરી કરીને જમીન પર પડે, તો તેની આ સફર દરમિયાન અવરોધક બળ વડે ટીપા પર કેટલું કાર્ય થયું હશે?
ઉકેલ:
ટીપાની ત્રિજ્યા r = 2 mm = 2 × 10^-3m
ઊંચાઈ h = 500 m
ટીપા વડે તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગની ગતિ
દરમિયાન કાપેલું અંતર \(\frac{h}{2}=\frac{500}{2}\) = 250 m
પાણીની ઘનતા ρ = 10³ kg m^-3
ટીપાની પ્રારંભિક ઝડપ u = 0
ટીપાની અંતિમ ઝડપ υ = 10 ms^-1

• ટીપાનું દળ m = ρV
  = ρ × \(\frac{4}{3}\)πr³
  = 10³ × \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (2× 10^-3)³
  = 3.35 × 10^-5 kg
• સફરના પ્રથમ અડધા ભાગની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપા પર થયેલ કાર્ય,
  W₁ = Fd cos θ = (mg)(\(\frac{h}{2}\)) cos 0°
  = (3.35 × 10^-5 × 9.8) × (250) × 1
  = 0.082 J
• સફરના બીજા અડધા ભાગની ગિત દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કાર્ય W₂ = 0.082 J
  કારણ કે બંને ભાગોની ગતિ દરમિયાન ટીપાએ કાપેલ અંતર
  (= 250 m) સમાન છે.
• હવે, સમગ્ર સફર દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કાર્ય,
  W_grav = W₂ + W₂
  = 0.082 + 0.082 0.164 J
• કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
  W_{બધાં બળો} = Δ K
  ∴ W_grav + W_r = K_f – K_i
  ∴ W_grav + W_r = \(\frac{1}{2}\)mυ² – 0
  ∴ W_r = \(\frac{1}{2}\)mυ² – W_grav
  = \(\frac{1}{2}\) × (3.35 × 10^-5) × (10)² – 0.164
  = 0.001675 – 0.164
  = – 0.1623 J
  અહીં, ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે કાર્ય W_r એ અવરોધક બળ વડે થયેલું કાર્ય છે, જે ટીપાની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેની ગતિનો વિરોધ કરે છે.

પ્રશ્ન 14.
વાયુપાત્રમાં એક અણુ સમક્ષિતિજ દીવાલને 200 m s^-1 ઝડપથી, લંબ સાથે 30° ખૂણે અથડાય છે અને તે જ ઝડપથી પાછો ફેંકાય છે. આ અથડામણમાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે? અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે કે અસ્થિતિસ્થાપક?
ઉકેલઃ

• વાયુના અણુની સ્થિર દીવાલ સાથેની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક હોય, હંમેશાં અથડામણ દરમિયાન કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય જ છે. (રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ)
• હવે, દીવાલનું દળ M એ અણુના દળ m કરતાં ખૂબ જ વધારે (M > > > m) છે અને અણુ સ્થિર દીવાલ સાથે અથડાયા બાદ υ_f = 200 m s^-1 જેટલી (મૂળ ઝડપ (υ_i) જેટલી) ઝડપથી જ પાછો ફેંકાય છે.
• અથડામણ પહેલાં (અણુ + દીવાલ)ની કુલ ગતિ-ઊર્જા,
  K_i = \(\frac{1}{2}\)mυ_i² + \(\frac{1}{2}\) MV_i²
  = \(\frac{1}{2}\)m(200)² + \(\frac{1}{2}\) M (0)²
  = (2 × 10⁴) m ……………. (1) (∵ દીવાલની પ્રારંભિક ઝડપV_i = 0 છે.)
• અથડામણના અંતે (અણુ + દીવાલની) કુલ ગતિ-ઊર્જા,
  K_f = \(\frac{1}{2}\)mυ_f² + \(\frac{1}{2}\) MV_f²
  = \(\frac{1}{2}\)m(200)² + \(\frac{1}{2}\) M (0)²
  = (2 × 10⁴) m ……………. (2) (∵ દીવાલની પ્રારંભિક ઝડપV_f = 0 છે.)
• સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
  K_i = K_f
  ∴ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે.

પ્રશ્ન 15.
એક બિલ્ડિંગના ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર પર રહેલ પંપ (મોટર) 30 m3 કદની ટાંકીને 15minમાં ભરી શકે છે. જો ટાંકી ગ્રાઉન્ડથી 40 mm ઊંચાઈએ હોય અને પંપની કાર્યક્ષમતા 30% હોય, તો પંપ દ્વારા કેટલા વિદ્યુતપાવરનો ઉપયોગ થયો હશે?
ઉકેલઃ
અહીં, ઉપર ચડતા પાણીનું દળ
m = કદ V × ધનતા ρ
= (30) × (10³)
= 3 × 10⁴ kg
ટાંકીની ગ્રાઉન્ડથી (જમીનથી) ઊંચાઈ h = 40 m
∴ પંપ (મોટર) દ્વારા ટાંકીને પૂર્ણ પાણીથી ભરવા માટે થયેલું કાર્ય,
W = mgh
= 3 × 10⁴ × 9.8 × 40
= 1.176 × 10⁷J
ટાંકીને પૂર્ણ પાણીથી ભરવા માટેનો જરૂરી સમય,
t = 15 min = 15 × 60 = 900 s

= 43.6 × 10³ W
= 43.6 kW

પ્રશ્ન 16.
બે એક જ સરખા બૉલબેરિંગ (છરા) એકબીજાના સંપર્કમાં રહે તે રીતે ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર સ્થિર રહેલા છે, જેમને તેટલા જ દળનું υ જેટલી ઝડપથી ગતિ કરતું એક બૉલબેરિંગ (છરો) સન્મુખ (Head-On) અથડાય છે. જો અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય, તો અથડામણ બાદ આકૃતિ 6.32માં કર્યું પરિણામ શક્ય છે?

ઉકેલ:
અહીં, તંત્ર સમાન દળ m ધરાવતા ત્રણ છરાઓનું બનેલું છે, તેમને ક્રમ 1, 2 અને 3 વડે દર્શાવેલા છે.

• સમગ્ર તંત્રની અથડામણ પહેલાંની કુલ ગતિ-ઊર્જા,
  K_i = \(\frac{1}{2}\)mυ² + 0 + 0 = \(\frac{1}{2}\)mυ² ………. (1)
• પરિણામ (i) : સમગ્ર તંત્રની અથડામણ બાદની કુલ ગતિ-ઊર્જા,
  K_f1 = 0 + \(\frac{1}{2}\) (2m)(\(\frac{υ}{2}\))² = \(\frac{1}{4}\)mυ² ………… (2)
• પરિણામ (ii) : સમગ્ર તંત્રની અથડામણ બાદની કુલ ગતિ-ઊર્જા,
  K_f2 = 0 + \(\frac{1}{2}\)mυ² = \(\frac{1}{2}\)mυ² …………… (3)
• પરિણામ (iii) : સમગ્ર તંત્રની અથડામણ બાદની કુલ ગતિ-ઊર્જા,
  K_f3 = \(\frac{1}{2}\) (3m)(\(\frac{υ}{3}\))² = \(\frac{1}{6}\)mυ² ……… (4)
• સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોય છે. અહીં મેળવેલાં ચાર સમીકરણો પરથી સ્પષ્ટ છે કે, K_i = K_f2
  ∴ પરિણામ (ii) શક્ય પરિસ્થિતિ રજૂ કરે છે.

પ્રશ્ન 17.
એક લોલકના ગોળા Aને લંબ સાથે 30° ખૂણેથી છોડતાં, આકૃતિ 6.33માં દર્શાવ્યા મુજબ, તે એટલા જ દળના ટેબલ પર સ્થિર રહેલા ગોળા B સાથે અથડાય છે. અથડામણ બાદ ગોળો A કેટલે ઊંચે સુધી જશે? ગોળાઓના કદને અવગણો અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે તેમ માનો.

ઉકેલ:
અથડામણ બાદ ગોળો A બિલકુલ ઊંચે જશે નહીં.

કારણ : એકસમાન દળવાળા બે પદાર્થો વચ્ચે જ્યારે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય છે ત્યારે અથડામણ બાદ બંનેના વેગોની અદલાબદલી થાય છે.

અહીં ગોળો A અમુક વેગથી, પ્રારંભમાં સ્થિર ગોળા B સાથે અથડાય છે, તેથી અથડામણ બાદ ગોળો A, ગોળા Bના સ્થાને સ્થિર થઈ જશે અને ગોળો B, ગોળા Aના વેગ જેટલા વેગથી ગતિ શરૂ કરશે. એનો અર્થ ગોળો A અથડામણ બાદ બિલકુલ ઊંચે જશે નહીં.

[અથવા અહીં, આપેલ બંને ગોળાઓ વચ્ચેની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે, તેથી અથડામણ પહેલાં બંનેની (અથવા તંત્રની) કુલ ગતિ-ઊર્જા = અથડામણના અંતે બંનેની (તંત્રની) કુલ ગતિ-ઊર્જા.

અહીં, B ગોળાની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય છે અને ગોળા Aની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા કંઈક \(\frac{1}{2}\)mυ² જેટલી છે. તેથી ગોળો A
જ્યારે સ્થિર ગોળા B સાથે અથડાય છે ત્યારે તે પોતાની બધી ગતિ- ઊર્જા ગોળા Bને આપી દેશે. પરિણામે ગોળો A, ગોળા Bના સ્થાને સ્થિર થઈ જશે અને ગોળો B તેણે મેળવેલ ગતિ-ઊર્જાથી ગોળા Aના વેગ જેટલા વેગથી ઉપર તરફ જશે.

આમ, ગોળો A અથડામણ બાદ બિલકુલ ઊંચે જશે નહીં.]

પ્રશ્ન 18.
એક લોલકના ગોળાને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ (સ્થાન) પરથી છોડવામાં આવે છે. જો લોલકની લંબાઈ 1.5m હોય, તો ગોળો જ્યારે ન્યૂનતમ બિંદુએ આવે ત્યારે તેની ઝડપ કેટલી હશે? અહીં આપેલ છે કે ગોળો તેની પ્રારંભિક ઊર્જાની 5% ઊર્જા હવાના અવરોધક બળ સામે ગુમાવે છે.
ઉકેલ:

• આકૃતિ 6.34માં દર્શાવ્યા મુજબ, ધારો કે લોલકના ગોળાનું દળ m છે. પ્રારંભમાં A સ્થાને રહેલ આ ગોળાની શિરોલંબ ઊંચાઈ h = 1.5 m છે. તેથી ગોળો A સ્થાને હોય ત્યારે તેની ત્યાં કુલ ઊર્જા એ માત્ર ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા mgh સ્વરૂપે જ હોય.
• હવે, ગોળાને A સ્થાનેથી મુક્ત કરવામાં આવે છે ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થવા લાગે છે. જ્યારે તે ન્યૂનતમ બિંદુ B પાસે પહોંચે છે, ત્યારે તેની કુલ ઊર્જા એ ફક્ત ગતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)mυ² સ્વરૂપે જ હોય છે.
  પણ ગોળાની પ્રારંભિક ઊર્જા(mgh)ની 5 % ઊર્જા હવાના અવરોધક બળની વિરુદ્ધ ગોળો ગુમાવે છે, તેથી ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
  B પાસે ગોળાની ગતિ-ઊર્જા = 95 % (mgh)
  ∴ \(\frac{1}{2}\)mυ² = \(\frac{95}{100}\) (mgh)
  ∴ υ = \(\sqrt{2 \times 0.95 \times g \times h}\)
  = \(\sqrt{2 \times 0.95 \times 9.8 \times 1.5}\)
  = \(\sqrt{27.93}\) = 5.3 m s^-1

પ્રશ્ન 19.
300 kg દળની એક લારી, 25 kg રેતીનો કોથળો લઈને ઘર્ષણ રહિત રસ્તા પર 27km/hની એકધારી ઝડપથી ગતિ કરે છે. થોડા સમય પછી રેતી કોથળાના એક કાણામાંથી 0.05 kg s^-1ના દરે નીકળીને લારીના તળિયા પર ઢોળાવા લાગે છે. રેતીનો સંપૂર્ણ કોથળો ખાલી થઈ જાય ત્યારે લારીની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
અહીં, રેતીનો કોથળો લઈને એક લારી એકધારી 27 km h^-1નની અચળ ઝડપે ઘર્ષણ રહિત રસ્તા પર ગતિ કરે છે. તેથી (લારી + રેતીના કોથળા) વડે બનેલા તંત્ર પર કોઈ જ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. (\(\vec{F}_{\text {ext }}\) = 0)

• જ્યારે રેતી કોથળાના એક કાંણામાંથી નીકળી લારીના તળિયા પર
  ઢોળાવા લાગે છે ત્યારે પણ (લારી + રેતીના કોથળા)થી બનેલા તંત્ર ૫૨ કોઈ જ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. તદ્ઉપરાંત તંત્રનું કુલ દળ પણ બદલાતું નથી.
• તેથી રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર રેતીનો કોથળો સંપૂર્ણ ખાલી થઈ જાય ત્યારે પણ લારીની ઝડપ પહેલાંના જેટલી જ 27 km h^-1 રહેશે.

પ્રશ્ન 20.
0.5 kgનો એક પદાર્થ સીધી રેખા પર, વેગ υ = \(a x^{\frac{3}{2}}\) થી ગતિ કરે (મુસાફરી કરે) છે, જ્યાં a = \(5 \mathrm{~m}^{-\frac{1}{2}}\) s^-1. તેના x = 0 થી x = 2m સ્થાનાંતર દરમિયાન પરિણામી બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
ઉકેલ:
અહીં, m = 0.5 kg
υ = \(a x^{\frac{3}{2}}\)
= υ = \(5 x^{\frac{3}{2}}\) (∵ a = \(5 \mathrm{~m}^{-\frac{1}{2}}\) s^-1 આપેલ છે.)
∴ પદાર્થના પ્રારંભિક સ્થાન x = om પાસે, પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ_i = \(5(0)^{\frac{3}{2}}\) = 0 અને પદાર્થના અંતિમ સ્થાન x = 2m પાસે, પદાર્થનો અંતિમ વેગ υ_i = \(5(2)^{\frac{3}{2}}\) m s ^-1
– હવે, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
W_{બધાં બળો} = ΔΚ
= K_f – K_i
= \(\frac{1}{2}\)mυ_f² – \(\frac{1}{2}\)mυ_i²
= \(\frac{1}{2}\)m (υ_f² – υ_i²)
= \(\frac{1}{2}\) × 0.5 × ((\(5(2)^{\frac{3}{2}}\)² – (0)²)
= \(\frac{1}{2}\) × 0.5 × 25 × (2)³
\(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × 25 × 8 = 50 J
બીજી રીત :

પ્રશ્ન 21.
એક પવનચક્કીનાં પાંખિયાં ફરે ત્યારે A જેટલા ક્ષેત્રફળનું વર્તુળ આવરી લે છે.
(a) જો પવન υ વેગથી આ વર્તુળને લંબરૂપે વહેતો હોય, તો t સમયમાં કેટલા દળની હવા તેમાંથી પસાર થશે?
(b) હવાની ગતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
(c) ધારો કે પવનચક્કી પવન-ઊર્જાની 25 % ઊર્જાનું વિદ્યુત-ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે અને A = 30 m², υ = 36 km/h તથા હવાની ઘનતા 1.2 kg m^-3 છે, તો કેટલો વિદ્યુતપાવર ઉત્પન્ન થશે?
ઉકેલ:
અહીં, પવનનો વેગ υ = 36 km h^-1 = 10 ms^-1 પવનચક્કીનાં પાંખિયાં એક ભ્રમણ પૂર્ણ કરે, ત્યારે તેમના દ્વારા આવરી લેવાતાં વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = A = 30 m².
હવાની ઘનતા ρ = 1.2 kg m^-3

(a) પવનચક્કીમાંથી એકમ સમયમાં પસાર થતી હવાનું કદ (કદ-ફ્લક્સ) = Aυ
∴ પવનચક્કીમાંથી t સમયમાં પસાર થતી હવાનું કદ V = Aυ × t
તેથી પવનચક્કીમાંથી t સમયમાં પસાર થતી હવાનું દળ,
m = Aυt × ρ (∵ દળ = કદ × ઘનતા)
= Aυtρ

(b) હવાની ગતિ-ઊર્જા K_હવા = \(\frac{1}{2}\)mυ²
= \(\frac{1}{2}\) × Aυt ρ × υ²
= \(\frac{1}{2}\) Aυ³ ρ t

(c) ઉત્પન્ન થતી વિદ્યુત-ઊર્જા = 25 % (હવાની ગતિ-ઊર્જા)

= 4500 W
= 4.5 kW

પ્રશ્ન 22.
વજન ઓછું કરવા માગતી (ડાયેટિંગ કરતી) એક વ્યક્તિ, 10 kg દળને એક હજાર વાર દરેક વખતે 0.5 m જેટલું ઊંચકે છે. ધારો કે તેણી જેટલી વખત દળને નીચે લાવે તેટલી વખત સ્થિતિ- ઊર્જાનો વ્યય થાય છે.
(a) તેણીએ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ કેટલું કાર્ય કર્યું હશે?
(b) ખોરાક(ફૅટ)માંથી 1 કિલોગ્રામ દીઠ 3.8 × 10⁷ J ઊર્જા મળે છે. જેનું યાંત્રિક ઊર્જામાં રૂપાંતરણ 20% કાર્યક્ષમતાના દરે થાય છે. ડાયેટિંગ કરનારે કેટલું ફૅટ વાપર્યું હશે?
ઉકેલ:
દળ m = 10 kg
ઊંચાઈ h = 0.5 m
ગુરુત્વપ્રવેગ g = 9.8 m s^-2
જેટલી વખત દળ ‘m’ વ્યક્તિએ ઊંચક્યું છે, તેની સંખ્યા n = 1000

(a) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ થતું કાર્ય,
W = n × mgh
= 1000 × 10 × 9.8 × 0.5
= 49000 J

(b) 1 kg ચરબી(ફૅટ)માંથી મળતી કુલ ઊર્જા = 3.8 × 10⁷J
1 kg ચરબી(ફેટ)માંથી મળતી યાંત્રિક
E = 20% (કુલ ઊર્જા) ઊર્જા,
= \(\frac{20}{100}\) × 3.8 × 10⁷J
= 76 × 10⁷J
આમ, 76 × 10⁷J જેટલી યાંત્રિક ઊર્જા થાય એના માટે વપરાતી વ્યક્તિની ચરબી (ફૅટ) = 1 kg
∴ વ્યક્તિ દ્વારા થતા કુલ કાર્ય (અથવા ખર્ચાતી ઊર્જા) 49000 J
માટે વપરાતી ચરબી (ફૅટ) = \(\frac{49000}{76 \times 10^5}\)
= 6.45 × 10^-3kg

પ્રશ્ન 23.
એક કુટુંબ 8 kW પાવરનો ઉપયોગ કરે છે.
(a) સમક્ષિતિજ સપાટી પર સૂર્ય-ઊર્જા સીધી જ, એક ચોરસ મીટરદીઠ 200 જેટલા સરેરાશ દરથી આપાત થાય છે. જો આની 20 % ઊર્જાનું ઉપયોગી વિદ્યુત-ઊર્જામાં રૂપાંતરણ થઈ શકતું હોય, તો 8 kW મેળવવા માટે કેટલું મોટું ક્ષેત્રફળ જોઈએ?
(b) આ ક્ષેત્રફળને સામાન્ય રીતે જોવા મળતા ઘરના છાપરાના ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવો.
ઉકેલ:
અહીં, એક કુટુંબ દ્વારા વપરાતો વિદ્યુતપાવર,
P_{વિદ્યુત} = 8 kW = 8000 W

(a) 1 m² ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર આપાત થતી સૌર-ઊર્જા (પાવર) = P_સૌર = 200 W
1m² ક્ષેત્રફળ પર આપાત સૌર-ઊર્જા(પાવર)માંથી મળતો વિદ્યુતપાવર,
P_{વિદ્યુત} = 20 % (Pસૌર)
\(\frac{20}{100}\) × 200 W
= 40 W

= \(\frac{1 \mathrm{~m}^2 \times 8000 \mathrm{~W}}{40 \mathrm{~W}}\)
= 200 m²
ટૂંકમાં, 8 kW વિદ્યુતપાવર મેળવવા માટે જરૂરી ક્ષેત્રફળ 200 m² છે.

(b) સામાન્ય રીતે જોવા મળતા ઘરનું / મકાનનું છાપરું ચોરસ હોય છે. જો આ ચોરસ છાપરાની દરેક બાજુની લંબાઈ ‘a’ હોય, તો ઘરના છાપરાનું ક્ષેત્રફળ = 2 થાય, જેને ઉપરોક્ત મળેલ ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવતાં,
a² = 200 m²
∴ a = \(\sqrt{200}\) m
= √2 × 10 m
= 1.414 × 10 m
= 14.14m
≈ 14m
તેથી મળેલ ક્ષેત્રફળ(200 m²)ને 14m × 14 m ક્ષેત્રફળ ધરાવતાં મકાનની / ઘરની છતના ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવી શકાય છે.
એનો ખરેખર એ અર્થ થાય છે કે, જો 8kW વિદ્યુતપાવર મેળવવો હોય, તો ચોરસ મકાનની છતનું ક્ષેત્રફળ 14m × 14m હોવું જોઈએ અને આ છત પર આટલા જ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સોલ૨- પૅનલ લગાડવી જોઈએ.

પ્રશ્ન 24.
0.012 kg દળની એક બુલેટ (ગોળી) 70 m s^-1ની સમક્ષિતિજ ઝડપથી 0.4 kg દળના લાકડાના બ્લૉકને અથડાય છે અને તરત જ બ્લૉકની સાપેક્ષે સ્થિર થઈ જાય છે. આ બ્લૉકને ઉપરની છત સાથે પાતળા તાર વડે લટકાવ્યો છે. બ્લૉક કેટલી ઊંચાઈ સુધી જશે તે ગણો. આ ઉપરાંત, બ્લૉકમાં કેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થઈ હશે તે પણ ગણો.
ઉકેલ :
ગોળીનું દળ m₁ = 0.012 kg
ગોળીની પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઝડપ u₁ = 70 m s^-1
લાકડાના બ્લૉકનું દળ m₂ = 0.4 kg
લાકડાના બ્લૉકની પ્રારંભિક ઝડપ u₂ = 0
(લાકડાના બ્લૉક + ગોળી)નો અથડામણ બાદનો સંયુક્ત વેગ (અથવા અંતિમ વેગ) = υ m s^-1

• રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
  (લાકડાના બ્લૉક + ગોળી)નું અથડામણ પહેલાનું વેગમાન = (લાકડાના બ્લૉક + ગોળી)નું અથડામણ બાદનું વેગમાન
  ∴ m₁u₁ + m₂u₂ = (m₁ + m₂) υ
  = 0.012 × 70 + 0.4 × 0 (0.012 + 0.4) υ
  ∴ υ = \(\frac{0.012 \times 70}{0.012+0.4}\)
  = \(\frac{0.84}{0.412}\)
  = 2.04 m s^-1
• હવે, ધારો કે અથડામણ પછી (લાકડાનો બ્લૉક + ગોળી) h જેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉપર તરફ જાય છે.
  ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમના આધારે,
  (લાકડાના બ્લૉક + ગોળી)ની મહત્તમ ઊંચાઈના સ્થાને ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા = (લાકડાના બ્લૉક + ગોળી)ની સૌથી નીચેના સ્થાને ગતિ-ઊર્જા
  ∴ (m₁ + m₂)gh = \(\frac{1}{2}\) (m₁ + m₂)υs²
  ∴ h = \(\frac{v^2}{2 g}\)
  = \(\frac{(2.04)^2}{2 \times 9.8}\)
  = \(\frac{4.1616}{19.6}\)
  = 0.2123 m
• હવે, લાકડાના બ્લૉકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા
  = ગુમાવાયેલી (વેડફાતી) ગતિ-ઊર્જા
  = (ગોળીની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા) – ((બ્લૉક + ગોળી)ની અંતિમ ગતિ-ઊર્જા)
  = \(\frac{1}{2}\)m₁u₁² – \(\frac{1}{2}\)(m₁ + (m₂)υ²
  \(\frac{1}{2}\) × 0.012 × (70)² – \(\frac{1}{2}\)(0.012 + 0.4) × (2.04)²)
  = 0.006 × 4900 – \(\frac{0.412}{2}\) × 4.1616
  = 29.4 – 0.86
  = 28.54 J
  = \(\frac{28.54}{4.2}\) cal
  = 6.8 cal

પ્રશ્ન 25.
બે ઘર્ષણ રહિત રસ્તાઓ એક ધીમો અને બીજો ઝડપી ઢાળવાળો એકબીજાને બિંદુ A પાસે મળે છે, જ્યાંથી બે પથ્થરોને સ્થિર સ્થિતિમાંથી દરેક રસ્તા પર સરકાવવામાં આવે છે (આકૃતિ 6.35). શું બંને પથ્થરો તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે? શું બંને ત્યાં એકસરખી ઝડપથી પહોંચશે? સમજાવો.
અહીં θ₁ = 30°, θ₂ = 60° અને h = 10 m આપેલ હોય, તો બંને પથ્થરોની ઝડપ અને તેમણે લીધેલ સમય કેટલો હશે? g = 10 m s^-2 લો.

ઉકેલઃ

ઢાળના તળિયે પહોંચવા માટેના સમયની ગણતરી અને સમજૂતી :
પથ્થર 1 માટેઃ
આકૃતિ 6.36માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સ્પષ્ટ છે કે m₁ દળ ધરાવતાં પથ્થર 1નો ઢાળ (AB)ની સપાટીને સમાંતર રેખીય પ્રવેગ a₁ = g sin θ₁ છે, કારણ કે પથ્થર 1 પર લાગતું લંબપ્રતિક્રિયા બળ R₁ એ m₁ g cos θ₁ને સમતોલે છે જ્યારે બળ m₁ g sin θ₁ એ ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચે તરફ લાગે છે.
ઢાળ AB પર સરકીને તળિયે પહોંચતા પથ્થર 1ને લાગતો સમય
t₁ હોય, તો s = ut + \(\frac{1}{2}\)at²પરથી,
AB = 0 + \(\frac{1}{2}\)a₁t₁² (∵ પથ્થર 1નો પ્રારંભિક વેગ u = 0 અંતર s = AB)
∴ AB = \(\frac{1}{2}\) g sin. θ₁t₁²
પણ આકૃતિ 6.36 પરથી,

પથ્થર 2 માટે :
પથ્થર 1 અને પથ્થર 2 બંને માટે ઘર્ષણ રહિત ઢાળની ઊંચાઈ h = 10 m સમાન હોવાથી, પથ્થર 1 મુજબ પથ્થર 2ને ઢાળ ACના તળિયે પહોંચવા માટેનો સમય,
t₂ = \(\frac{1}{\sin \theta_2} \sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
= \(\frac{1}{\sin 60^{\circ}} \sqrt{\frac{2 \times 10}{10}}\)
= 2 \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)S
= 1.6329 S
આમ, (1) t₁ ≠ t₂ ∴ બંને પથ્થર ઢાળના તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે નહીં.
(2) t₁ > t₂ હોવાથી ઝડપી (વધુ) ઢાળવાળા ઘર્ષણ રહિત રસ્તા પરનો પથ્થર 2, ઢાળના તળિયે વહેલો પહોંચશે.

ઢાળના તળિયા પાસે ઝડપની ગણતરી અને સમજૂતી :
પથ્થર 1 માટે:
પ્રારંભમાં પથ્થર 1ની ઢાળના તળિયાથી ઊંચાઈ h = 10 m છે, તેથી

(∵ ઢાળ ઘર્ષણ રહિત છે.)
∴ m₁ gh = \(\frac{1}{2}\)m₁υ₁²
જ્યાં, υ₁ = ઢાળ ABના તળિયા પાસે પથ્થર 1ની ઝડપ
∴ υ₁ = \(\sqrt{2 g h}\)

પથ્થર 2 માટે :
પથ્થર 1 અને પથ્થર 2 બંને માટે ઘર્ષણ રહિત ઢાળની ઊંચાઈ
h = 10m સમાન હોવાથી,
પથ્થર 1 મુજબ પથ્થર 2ની ઢાળ (AC)ના તળિયે ઝડપ,
υ₂ = \(\sqrt{2 g h}\)
આમ, બંને પથ્થરો ઢાળના તળિયે સમાન ઝડપથી પહોંચશે. તેથી
υ₁ = υ₂ = υ લખી શકાય.
υ = \(\sqrt{2 g h}\)
= \(\sqrt{2 \times 10 \times 10}\)
= \(\sqrt{2 \times 100}\)
= 14.14 m s^-1
બંને પથ્થરોની ઢાળના તળિયે ઝડપ 14.14m s^-1 જેટલી સમાન હશે.

બીજી રીત :
ગોળા 1 માટે :
υ₀₁ = 0, a₁ = g sin 30° = 10 × \(\frac{1}{2}\) = 5 ms^-2
હવે, ΔABPમાં sin 30° = \(\frac{h}{d_1}\)
∴ d₁ = \(\frac{10}{\sin 30^{\circ}}\) ∴ d₁ = \(\frac{10}{\frac{1}{2}}\) = 20 m
હવે, d₁υ₀₁t₁ + \(\frac{1}{2}\)a₁t₁²
∴ 20 = 0 + \(\frac{1}{2}\) × 5 × t₁²
∴ t₁² = \(\frac{40}{5}\) = 8
∴ t₁ = 2√2 s 

υ₁ = υ₀₁ + a₁t₁
∴ υ₁ = 0 + 5 × 2√2
∴ υ₁ = 10√2
∴ υ₁ = 14.4 m s^-1 

ગોળા 2 માટે :
υ₀₂ = 0 a₂ = g sin 60° = 10 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 5√3 m s^-2
હવે, ΔACPમાં sin 60° = \(\frac{h}{d_2}\)

અહીં, t₁ = 2√2 s અને t₂ = 2\(\sqrt{\frac{2}{3}}\) S મળે છે.
અહીં, t₂ ≠ t₂ હોવાથી બંને ગોળાઓ એક જ સમયે ઢાળના તળિયે (જમીન પર) પહોંચશે નહીં.
બંને ગોળાઓની ઢાળને તળિયે ઝડપ 14.14ms^-1 જેટલી સમાન હશે.

પ્રશ્ન 26.
આકૃતિ 6.37માં દર્શાવ્યા મુજબ ખરબચડા ઢાળ પર રાખેલ 1 kg નો એક બ્લૉક, 100 N m^-1 જેટલા સ્પ્રિંગ-અચળાંકવાળી સ્પ્રિંગ સાથે જોડેલ છે. સ્પ્રિંગની ખેંચાયા પહેલાંની સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં બ્લૉકને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. બ્લૉક સ્થિર સ્થિતિમાં આવતા પહેલાં ઢાળ પર 10 cm જેટલું અંતર નીચેની તરફ ખસે છે. બ્લૉક અને ઢાળ વચ્ચેનો ઘર્ષણઆંક શોધો. ધારો કે સ્પ્રિંગનું દળ અવગણ્ય છે અને ગરગડી ઘર્ષણ રહિત છે. g = 10 m s^-2 લો.

ઉકેલ:

અહીં, બ્લૉકનું દળ m = 1 kg
સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ-અચળાંક k = 100 N m^-1
ઢાળ પર નીચે તરફ બ્લૉકનું સ્થાનાંતર x = 10 cm
= 10 × 10^-2 m
ઢાળનો કોણ θ = 37°

• આકૃતિ 6.38માં બ્લૉક પર લાગતાં જુદાં જુદાં બળો અને તેમના ઘટકો પણ દર્શાવ્યા છે.
• બ્લૉક પર લાગતું લંબપ્રતિક્રિયા બળ R = m g cos θ અને ઘર્ષણબળ f = μR = μ (m g cos θ)
• જો બ્લૉક પર ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચે તરફ લાગતું પરિણામી બળ F હોય, તો
  F = mg sin θ – f
  = mg sin θ – μ mg cos θ
  = mg (sin θ – μ cos θ )
• બ્લૉકની સંતુલિત સ્થિતિમાં,

∴ F × x = \(\frac{1}{2}\)kx²
∴ [mg (sin θ – μcos θ)] × x = \(\frac{1}{2}\)kx²
∴ 2 mg (sin θ – μcos θ)) = kx
∴ 2 × 1 × 10 (sin 37° – μ cos 37°) = 100 × 10 × 10-2
∴ 20 (0.601 μ × 0.798) = 10
∴ 0.601 – 0.798 μ = 0.5
∴ 0.798 μ = 0.101
∴ μ = \(\frac{0.101}{0.798}\) = 0.126

પ્રશ્ન 27.
7 m s^-1 જેટલી અચળ ઝડપે નીચે તરફ જતી લિફ્ટની ઉપરની છત પરથી 0.3 kg નો એક સ્ક્રૂ (બૉલ્ટ) નીચે પડે છે. તે લિફ્ટના ભોંયતળિયા પર (લિફ્ટની લંબાઈ = 3 m) પડે છે અને પાછો ઉછળતો નથી. ભોંયતળિયા પર સ્ક્રૂ (બૉલ્ટ) વડે લાગેલ ધક્કા વડે કેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થઈ હશે? જો લિફ્ટ સ્થિર હોત, તો તમારો ઉત્તર જુદો હોત?
ઉકેલ :
બૉલ્ટનું દળ m = 0.3 kg
લિફ્ટની લંબાઈ l = h = 3 m
ગુરુત્વપ્રવેગ g = 9.8m s^-2

• અહીં, લિફ્ટ નિયમિત ઝડપથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે. તેથી લિફ્ટનો પ્રવેગ a = 0 થાય.
  ∴ આ કિસ્સામાં લિફ્ટ એ જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ કહેવાય.
• હવે લિફ્ટની આ ગતિ દરમિયાન બૉલ્ટ, લિફ્ટની છતથી છૂટો પડીને લિફ્ટના તળિયે આવીને પડે છે અને પાછો ઉછળતો નથી. તેથી લિફ્ટની છત પાસે રહેલા બૉલ્ટની બધી ગુરુત્વીય સ્થિતિ- ઊર્જા (mgh) એ ઉષ્મામાં ફેરવાય છે.
  ∴ બૉલ્ટ તળિયે અથડાવાના કારણે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા
  = mgh
  = 0.3 × 9.8 × 3
  = 8.82 J
• જો લિફ્ટ સ્થિર હોત તોપણ ઉત્તર બદલાશે નહીં, 8.82 J જ રહે. કારણ કે શૂન્ય પ્રવેગવાળી લિફ્ટ અને સ્થિર લિફ્ટ બંને જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમનાં ઉદાહરણો છે અને બંનેમાં બૉલ્ટનો લિફ્ટના તળિયે અથડાવવાનો સાપેક્ષ વેગ સમાન જ હોય છે.

પ્રશ્ન 28.
200 kg દળની એક લારી ઘર્ષણ રહિત પટ્ટા પર 36 km/hની સમાન (એક ધારી) ઝડપે ગતિ કરે છે. 20 kg દળનો એક બાળક લારી પર તેના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી (10 મીટર સુધી) લારીની સાપેક્ષે તેની વિરુદ્ધ દિશામાં 4m s^-1ની ઝડપથી દોડે છે અને લારી પરથી બહાર કૂદકો મારે છે. લારીની અંતિમ ઝડપ કેટલી
હશે? છોકરો દોડવાનું શરૂ કરે તે સમયથી લારી કેટલે સુધી ગઈ હશે?
ઉકેલ:
લારીનું દળ m₁ = 200 kg
લારીનો નિરપેક્ષ વેગ υ₁ = 36 km h^-1 = 10 m s^-1 (→)
બાળકનું દળ m₂ = 20 kg (←)

• બાળકનો લારી પર લારીની સાપેક્ષે, લારીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં વેગ υ₁ = 4ms^-1(←)
• બાળક લારી પર દોડવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં(લારી + બાળક)થી બનેલા તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન,
  P_i = (m₁ + m₂) υ₁
  = (200 + 20) × 10
  = 2200 kg m s^-1(→)
• જ્યારે લારી પર, લારીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં બાળક, લારીની સાપેક્ષે દોડવાનું શરૂ કરે છે ત્યારે, શરૂઆતમાં તે લારીને પાછળની દિશામાં (લારીની ગતિની મૂળ દિશામાં) પોતાના પગ વડે આઘાત લગાડે છે અને પછી લારીના નવા વેગની સાપેક્ષે 4m s−1ના વેગથી ગતિ કરવા લાગે છે.
  તેથી ધારો કે લારીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ υ’ (→) હોય, તો જમીનની સાપેક્ષે બાળકનો વેગ υ’ – 4 (←) થાય.
• બાળક લારી પર દોડતો હોય ત્યારે(લારી + બાળક)થી બનેલા તંત્રનું રેખીય વેગમાન,
  P_f = m₁ υ’ + m₂ (υ’ – 4)
  = 200 υ’ + 20 (υ’ – 4)
  = 220 υ’ – 80 (→)
• અહીં(લારી + બાળક)થી બનેલા તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. તેથી તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
  ∴ P_i = P_f
  ∴ 220 υ’ – 80 = 2200
  ∴ 220 υ’ = 2280
  ∴ υ’ = \(\frac{2280}{220}\)
  = 10.36 m s^-1
  આમ, લારીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ,
  υ’ = 10.36 m s^-1 (→) છે.
  ∴ બાળકનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ = υ’ – 4
  = 10.36 – 4
  = 6.36 m s^-1 (←)
• બાળકને ગતિશીલ લારી પર, લારીના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી 10 m અંતર કાપતાં લાગતો સમય,

= \(\frac{10}{6.36}\)
= 1.5723 s
∴ જમીનની સાપેક્ષે લારીએ t = 1.5723 s સમયમાં કાપેલું અંતર x = υ’ × t
= 10.36 × 1.5723
= 16.2890 m

પ્રશ્ન 29.
આકૃતિ 6.39માં દર્શાવેલ સ્થિતિ-ઊર્જા વક્રોમાંથી કયા વક્રો બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દર્શાવતા નથી? અહીં r એ બૉલનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે. દરેક બિલિયર્ડ બૉલની ત્રિજ્યા R છે.

ઉકેલ:
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન, અતિસૂક્ષ્મ સમયગાળા (આશરે 10^-3s) દરમિયાન અથડાતા પદાર્થોની ગતિ-ઊર્જા એ સ્થિતિ- ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.

• બે પદાર્થોથી / દળોથી બનેલા તંત્રની સ્થિતિ-ઊર્જા V(r) એ તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર r ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. એટલે કે, V(r) ∝ \(\frac{1}{r}\)
• જ્યારે બંને બિલિયર્ડ બૉલ અથડાય છે અર્થાત્ ભૌતિક સંપર્કમાં આવે છે ત્યારે જ સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય બને છે.
  એટલે કે અંતર r = R + R = 2R વખતે V(r) = 0
• આપેલ. આલેખો પૈકી માત્ર આલેખ (v) ઉપરોક્ત બે શરતોનું પાલન કરે છે.
  ∴ આલેખ (v) સિવાયના બધા સ્થિતિ-ઊર્જા વક્રો, બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દર્શાવતાં નથી.
  (માત્ર આલેખ (v) જ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દર્શાવે છે.)

પ્રશ્ન 30.
સ્થિર રહેલા ન્યૂટ્રૉનનો ક્ષય વિચારોઃ n → p + e^–. દર્શાવો કે આ પ્રકારના દ્વિ-કણ ક્ષયમાં ચોક્કસ ઊર્જા ધરાવતો જ ઇલેક્ટ્રૉન મળવો જોઈએ અને તેથી ન્યૂટ્રૉન કે ન્યુક્લિયસના (આકૃતિ 6.40) β -ક્ષયના સતત ઊર્જા-વિતરણને સમજાવી ન શકે.

[નોંધ : આ સ્વાધ્યાયનું સામાન્ય પરિણામ, W. Pouliના β-ક્ષય દરમિયાન ત્રીજા કણના અસ્તિત્વની ધારણા માટેની ઘણી દલીલોમાંનું એક હતું. આ કણને ન્યુટ્રિનો કહે છે. આપણે હવે જાણીએ છીએ કે, આ કણનો પ્રાકૃતિક સ્પિન (પરિક્રમણાંક) \(\frac{1}{2}\) (e^–, p અથવા nની જેમ) હોય છે, પરંતુ તે તટસ્થ (વિદ્યુતભાર રહિત) હોય છે અને તે લગભગ દળ રહિત અથવા અત્યંત નહિવત્ (ઇલેક્ટ્રૉનના દળ કરતાં પણ ઘણું ઓછું) દળ ધરાવે છે તથા તે દ્રવ્ય સાથે ખૂબ નબળી રીતે આંતરક્રિયા કરે છે. ન્યૂટ્રૉનના ક્ષયની સાચી પ્રક્રિયા આ મુજબ છે : n → p + e^– + υ^– ]
ઉકેલ:
આપેલ ક્ષય-પ્રક્રિયા n → p + e^– માં ઉત્પન્ન થતા ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા E = (Δ m) c² (જ્યાં, c = શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો
વેગ) છે.
અહીં, Δm = દળક્ષતિ = (ન્યૂટ્રૉનનું દળ) – {(પ્રોટોન + ઇલેક્ટ્રૉન)નું દળ}
∴ આપેલ ક્ષય-પ્રક્રિયા મુજબ, ન્યુક્લિયસમાંથી બહાર નીકળતા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જાનું મૂલ્ય નિશ્ચિત છે.
આમ છતાં, આકૃતિ 6.40માંનો પ્રાયોગિક આલેખ દર્શાવે છે કે, ઉત્પન્ન થતા ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા શૂન્ય અને મહત્તમની વચ્ચે કોઈ પણ હોઈ શકે છે. તેથી કહી શકાય કે, આપેલ ક્ષય-પ્રક્રિયા એ ન્યૂટ્રૉન કે ન્યુક્લિયસના β-ક્ષયનો સતત ઊર્જા-વિતરણ દર્શાવતો પ્રાયોગિક આલેખ (વક્ર) માટેનો સંતોષકારક ખુલાસો / પુરાવો આપતું નથી.
નોંધઃ સ્થિર ન્યુટ્રૉનના ક્ષયની સાચી પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે :
n → p + e^– + υ^–
જ્યાં, υ^– = ઍન્ટિન્યુટ્રિનો.