GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 15 તરંગો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 15 તરંગો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 15 તરંગો

GSEB Class 11 Physics તરંગો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
2.5 kg દળની એક દોરી 200 Nના તણાવ હેઠળ છે. તણાવવાળી દોરીની લંબાઈ 20.0 m છે. જો દોરીના એક છેડે એક લંબગત આંચકો (Jerk) આપવામાં આવે, તો તે વિક્ષોભને બીજા છેડે પહોંચતાં કેટલો સમય લાગે?
ઉકેલ:
દોરીનું દળ m = 2.5 kg, તણાવ T = 200 N
દોરીની લંબાઈ l = 20 m
દોરીની રેખીય દળ-ધનતા μ = \(\frac{m}{l}=\frac{2.5}{20}\) = 0.125 kg m^-1
દોરી પર વિક્ષોભની ઝડપ υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
= \(\sqrt{\frac{200}{0.125}}\)
= \(\sqrt{1600}\)
= 40 m s^-1
વિક્ષોભને તે દોરીના બીજા છેડે પહોંચતા લાગતો સમય,

∴ t = 0.5 s

પ્રશ્ન 2.
300 m ઊંચા ટાવરની ટોચ પરથી પડવા દીધેલો એક પથ્થર ટાવરના પાયા આગળના જળાશયના પાણીમાં ખાબકે છે. આ ખાબકવાનો અવાજ ટોચ પર ક્યારે સંભળાશે? હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s^-1 આપેલ છે. (g = 9.8 m s^-2)
ઉકેલ:
d = 300 m, υ₀ = 0, g = 9.8 ms^-2
ધારો કે, પથ્થરને ટાવરની ટોચ પરથી પાણીમાં પડતાં લાગતો સમય t₁ છે. પાણીની સપાટીથી ટાવરની ટોચ સુધી ધ્વનિને પહોંચતા લાગતો સમય t₂ છે. આથી t = t₁ + t₂ સમય બાદ ટાવરની ટોચ પર ધ્વનિનો અવાજ સંભળાશે.
પથ્થરને પાણીની સપાટી સુધી લાગતો સમય t₁ :
d = υ₀t₁ + \(\frac{1}{2}\)at₁²
300 = (0) t₁ + \(\frac{1}{2}\)(9.8) t₁²
∴ t₁ = \(\sqrt{\frac{300 \times 2}{9.8}}\) = 61.22
∴ t₁ = 7.82 s
ધ્વનિને પાણીની સપાટીથી ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચતા લાગતો સમય :

∴ t = t₁ + t₂ = 7.82 + 0.88 = 8.7 s
∴ t = 8.7 s

પ્રશ્ન 3.
સ્ટીલના એક તારની લંબાઈ 12.0m અને દળ 2.10 kg છે. તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ સૂકી હવામાં 20°C તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ જેટલી એટલે કે 343 ms^-1 જેટલી બને તે માટે તારમાં તણાવ કેટલો હોવો જોઈએ?
ઉકેલ:
ધ્વનિની હવામાં ઝડપ υ = 343 m s^-1
તારની લંબાઈ l = 12 m, તારનું દળ m = 2.1 kg
તારમાં તણાવ T = ?
∴ તારની રેખીય દળ-ઘનતા μ = \(\frac{m}{l}\)
= \(\frac{2.1}{12}\) = 0.175 kg m^-1
સ્ટીલના તા૨માં લંબગત તરંગની ઝડપ,
υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
∴ T = v² · μ
= (343)² (0.175)
= 2.06 × 10⁴ N
∴ T = 2.06 × 10⁴N

પ્રશ્ન 4.
υ = \(\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\) નો ઉપયોગ કરી સમજાવો કે, શા માટે હવામાં ધ્વનિની ઝડપ (a) દબાણ પર આધારિત નથી. (b) તાપમાન સાથે વધે છે. (c) આર્દ્રતા (ભેજ – Humidity) સાથે વધે છે.
ઉકેલ:
(a) દબાણની અસર : લાપ્લાસના સૂત્ર અનુસાર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ,
υ = \(\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\)
હવાની ઘનતા ρ = \(\frac{m}{V}\)
∴ υ = \(\sqrt{\frac{\gamma \cdot P V}{m}}\)
પરંતુ, અચળ તાપમાને PV = RT (1 મોલ વાયુ માટે)
υ = \(\sqrt{\frac{\gamma R T}{m}}\) ………….. (1)
અહીં,γ , R અને m અચળ હોવાથી, આપેલા તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ દબાણ (P) પર આધારિત નથી.

(b) તાપમાનની અસર : સમીકરણ (1) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, υ ∝ \(\sqrt{T}\)
આમ, હવામાં ધ્વનિની ઝડપ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે તાપમાન સાથે ધ્વનિની ઝડપ વધે છે.

(c) આર્દ્રતા(ભેજ – Humidity)ની અસર : ભેજવાળી હવામાં
પાણીની હાજરી હોવાથી તેની ઘનતા બદલાય છે.
જો ભેજવાળી હવાની ઘનતા ρ_m હોય, તો તેમાં ધ્વનિની ઝડપ,
υ_m = \(\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho_{\mathrm{m}}}}\)
સૂકી હવાની ઘનતા ρ_d હોય, તો તેમાં ધ્વનિની ઝડપ,
υ_d = \(\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho_{\mathrm{d}}}}\)
∴ \(\frac{v_{\mathrm{m}}}{v_{\mathrm{d}}}=\sqrt{\frac{\rho_{\mathrm{d}}}{\rho_{\mathrm{m}}}}\) …………. (2)
ભેજવાળી હવામાં પાણીની હાજરી હોવાથી તેની ઘનતા ઓછી
હોય છે. એટલે કે, ρ_m < ρ_d
આથી સમીકરણ (2) પરથી,
υ_m > υ_d
એટલે કે, સૂકી હવા કરતાં ભેજવાળી હવામાં ધ્વનિની ઝડપ વધુ હોય છે. હવામાં આર્દ્રતા (ભેજ) વધતાં ધ્વનિની ઝડપ વધે છે.

પ્રશ્ન 5.
તમે એવું શીખ્યા છો કે એક પરિમાણમાં પ્રગામી તરંગ y = f (x, t) દ્વારા રજૂ કરાય છે. જ્યાં, x અને t એ x – υt કે x + υt જેવા સંયોજનરૂપે દેખાય છે. એટલે કે y = f (x ± υt) શું આથી ઊલટું સત્ય છે? પુનાં નીચેનાં વિધેયો શક્ય રીતે પ્રગામી તરંગને રજૂ કરે છે કે કેમ તે ચકાસો :
(a) (x – υt)²
(b) log [(x + υt) /x₀]
(c) 1 /(x + υt)
ઉકેલ:
જો y = f (x ± υt) એ પ્રગામી તરંગનું વિધેય દર્શાવતું હોય, તો તેનાથી ઊલટું સત્ય નથી. એટલે કે, x – υt અને x + υt ધરાવતા દરેક વિધેય પ્રગામી તરંગ દર્શાવે તે જરૂરી નથી. આપેલ વિધેય પ્રગામી તરંગ દર્શાવે તે માટે શરત છે કે, x અને tનાં દરેક મૂલ્યો માટે વિધેયનું મૂલ્ય સીમિત (નિશ્ચિત) હોવું જોઈએ.
અહીં, આપેલ ત્રણેય વિધેયો (a), (b) અને (c) આ શરતનું પાલન કરતાં નથી. આથી તેઓ પ્રગામી તરંગ દર્શાવતા નથી.

પ્રશ્ન 6.
એક ચામાચીડિયું હવામાં 1000 Hz આવૃત્તિનો ધ્વનિ ઉત્પન્ન કરે છે. જો આ ધ્વનિ-તરંગ એક પાણીની સપાટીને મળતું હોય, તો
(a) પરાવર્તિત ધ્વનિની
(b) પારગમિત ધ્વનિની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે? ધ્વનિની હવામાં ઝડપ 340 m s^-1 અને પાણીમાં ઝડપ 1486 ms^-1 છે.
ઉકેલ:
ધ્વનિની આવૃત્તિ v = 1000 kHz = 10⁶ Hz
ધ્વનિની હવામાં ઝડપ υ_a = 340 m s^-1
ધ્વનિની પાણીમાં ઝડપ υ_w = 1486 m s^-1

(a) પાણીથી પરાવર્તિત ધ્વનિની હવામાં તરંગલંબાઈ,
λ_a = \(\frac{v_{\mathrm{a}}}{v}=\frac{340}{10^6}\) = 3.4 × 10^-4m

(b) ધ્વનિની પાણીમાં તરંગલંબાઈ,
λ_w = \(\frac{v_{\mathrm{w}}}{v}\)
= \(\frac{1486}{10^6}\)
= 1486 × 10^-6
= 1.49 × 10^-3 m

પ્રશ્ન 7.
એક હૉસ્પિટલમાં પેશીમાંની ગાંઠ(ગ્રંથિ)નું સ્થાન નક્કી કરવા અલ્ટ્રાસૉનિક સ્કેનર વપરાય છે. જે ગાંઠમાં ધ્વનિની ઝડપ 1.7 km s^-1 હોય તેમાં ધ્વનિની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે? સ્કેનરની કાર્યવાહક (Operating) આવૃત્તિ 4.2 MHz છે.
ઉકેલ:
ગાંઠમાં ધ્વનિની ઝડપ υ = 1.7 km s^-1
= 1.7 × 10³ m s^-1
સ્કેનરની આવૃત્તિ v = 4.2 MHz = 4.2 × 10⁶ Hz
ધ્વનિની તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{v}{v}\)
= \(\frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6}\)
= 4.047 × 10^-4
∴ λ = 4.1 × 10^-4m

પ્રશ્ન 8.
એક દોરી પર લંબગત હાર્મોનિક તરંગ y (x, t) = 3.0 sin (36t + 0.018x + \(\frac{\pi}{4}\)) વડે રજૂ કરાય છે. જ્યાં, x અને y cmમાં અને t sમાં છે. Xની ધન દિશા ડાબેથી જમણી તરફ છે.
(a) આ પ્રગામી તરંગ છે કે સ્થિત-તરંગ છે? જો તે પ્રગામી હોય, તો ઝડપ કેટલી અને પ્રસરણની દિશા કઈ છે?
(b) તેના કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ કેટલા છે?
(c) ઉદ્ગમ પાસે મૂળ (પ્રારંભિક) કળા કેટલી છે?
(d) તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર કેટલું છે?
ઉકેલ:
y (x, t) = 3.0 sin (36 t + 0.018 x + \(\frac{\pi}{4}\)) cm
(a) ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરતાં પ્રગામી તરંગના સમીકરણ સાથે સરખાવતાં,
y (x, t) = a sin (ωt + kx + \(\frac{\pi}{4}\)
તરંગનો કંપવિસ્તાર a = 3 cm
કોણીય આવૃત્તિ ω = 36 rad s^-1
કોણીય તરંગ-સંખ્યા k = 0.018 m^-1
પ્રારંભિક કળા Φ₀ = \(\frac{\pi}{4}\) rad
આમ, આપેલ સમીકરણ એ પ્રગામી તરંગનું છે અને તેની પ્રસરણની દિશા જમણીથી ડાબી તરફ (ઋણ X દિશા) છે.
તરંગની ઝડપ υ = \(\frac{\omega}{k}=\frac{36}{0.018}\) = 2000 cm s^-1
∴ υ = 20 m s^-1

(b) કંપવિસ્તાર a = 3.0 cm
હવે, ω = 2πv પરથી,
તરંગની આવૃત્તિ v = \(\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{36}{2 \times 3.14}\) = 5.73 Hz

(c) ઉદ્ગમ પાસે કળા એટલે કે પ્રારંભિક કળા Φ = \(\frac{\pi}{4}\) rad

(d) તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું અંતર એટલે કે તરંગની તરંગલંબાઈ k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) પરથી,
λ = \(\frac{2 \pi}{k}=\frac{2 \times 3.14}{0.018}\) = 348.8 cm = 3.48 m

પ્રશ્ન 9.
પ્રશ્ન (8)માં રજૂ કરેલ તરંગ માટે x = 0, 2 અને 4 cm માટે સ્થાનાંતર (y) વિરુદ્ધ (t)ના આલેખ દોરો. આ આલેખોના આકાર કેવા છે? પ્રગામી તરંગમાં દોલન ગતિ એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ કઈ બાબતોમાં જુદી પડે છેઃ કંપવિસ્તાર, આવૃત્તિ કે કળા?
ઉકેલ:
દોરી પર પ્રસરતા હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ, y (x, t) = 3.0 sin (36 t + 0.018x + \(\frac{\pi}{4}\)) cm ………… (1)
આથી તરંગનો કંપવિસ્તાર a = 3 cm
કોણીય તરંગ-સંખ્યા k = 0.018 cm^-1
કોણીય આવૃત્તિ ω = 36 rad s^-1
∴ તરંગનો આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{36}=\frac{\pi}{18}\)S

(i) x = 0 માટે :
y(0, t) = 3.0 sin (36 t + 0.018 (0) + \(\frac{\pi}{4}\)) cm
= 3 sin (36 t + 36 t + \(\frac{\pi}{4}\)) cm ………….. (2)

(ii) x = 2 cm માટે :
y (2, t) = 3.0 sin (36 t + 0.018 (2) + \(\frac{\pi}{4}\)) cm
= 3 sin (36 t + 0.036 + \(\frac{3.14}{4}\)) cm
= 3 sin (36 t + 0.821) cm …………. (3)

(iii) x = 4 cm માટે :
y (4, t) = 3.0 sin (36 t + 0.018 (4) + \(\frac{\pi}{4}\)) cm
= 3.0 sin (36 t + 0.857) cm ………… (4)
સમીકરણ (2), (3) અને (4)માં tનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો મૂકી સ્થાનાંતર પુનું મૂલ્ય ગણી શકાય.

નીચે આપેલ કોષ્ટકમાં x = 0 માટે સ્થાનાંતરનાં મૂલ્યો આપેલ છે :

સ્થાનાંતર (y) – સમય (t)નો આલેખ :

આ જ રીતે x = 2 cm અને x = 4 cm માટે y – tના આલેખ દોરી શકાય.
અહીં, મળતા બધા જ આલેખો sine આકારના છે. તેમના કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ સમાન છે, પરંતુ પ્રારંભિક કળાઓ જુદી છે.

પ્રશ્ન 10.
પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગ માટે y (x, t) = 2.0 cos 2π (10t – 0.0080x + 0.35) છે.
જ્યાં, x અને y cmમાં અને t sમાં છે. જે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (a) 4 m (b) 0.5 m (c) \(\frac{\lambda}{2}\) (d) \(\frac{3 \lambda}{4}\) હોય, તેમને માટે દોલન ગતિનો કળા-તફાવત શોધો.
ઉકેલ:
y (x, t) = 2.0 cos 2π (10t – 0.0080x + 0.35) cm
∴ y = 2 cos (2π × 10 × t – (2x × 0.0080) x + 2 × 0.35)
પ્રગામી તરંગના સમીકરણ y = a cos (ωt – kx + Φ₀ ) સાથે સરખાવતાં,
∴ k = 2 × 0.0080
∴ \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) = 2π × 0.0080 (∵ K = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\))
હવે, કળા-તફાવત ΔΦ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) × પથ-તફાવત
∴ ΔΦ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) · Δx

(a) Δ x = 4 m = 400 cm માટે,
ΔΦ = [/latex]\frac{2 \pi}{\lambda}[/latex] · Δx
= 2π × 0.0080 × 400 = 6.4 r π rad

(b) Δ x = 0.5 m = 50 cm માટે,
Δ Φ = 2π × 0.0080 × 50
= 0.8 π rad

(c ) Δ x = \(\frac{\lambda}{2}\) માટે,
ΔΦ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) · Δx
= \(\frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2}\) = π rad

(d) Δ x = \(\frac{3 \lambda}{4}\) માટે,
ΔΦ = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) · Δx
= \(\frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{3 \lambda}{4}=\frac{3 \pi}{2}\) rad

પ્રશ્ન 11.
એક દોરી(બંને છેડે જડિત)નું લંબગત સ્થાનાંતર y (x, t) = 0.06 sin(\(\frac{2 \pi}{3}\) x) cos (120 π t) પરથી મળે છે. જ્યાં, x અને પુ mમાં અને t sમાં છે. દોરીની લંબાઈ 1.5m અને દળ 3.0 × 10^-2kg છે.
નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) આ વિધેય પ્રગામી તરંગ કે સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે?
(b) આ તરંગનું વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતાં બે તરંગોના સંપાતપણા તરીકે અર્થઘટન કરો. દરેક તરંગની તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ કેટલા હશે?
(c) દોરીમાંનો તણાવ શોધો.
ઉકેલ:
દોરી પરના તરંગનું સમીકરણ,
y = 0.06 sin \(\frac{2 \pi}{3}\) x cos 120 π t …………… (1)

(a) દોરી પરના સ્થિત-તરંગનું સમીકરણ,
y = 2a sin kx cos ω t ……………. (2)
સમીકરણ (1) એ સમીકરણ (2) જેવું છે. જે દર્શાવે છે કે, આપેલ વિધેય સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે.
આ પરથી k = \(\frac{2 \pi}{3}\)m^-1 ω = 120 π rad s^-1 અને a = 0.03 m

(b) એકસમાન હોય તેવા અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતાં બે તરંગોનું સંપાતીકરણ સ્થિત-તરંગો ઊપજાવે છે. આ બે તરંગો નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય :
y₁ = a sin (kx – ω t), y₂ = a sin (kx + ω t)
∴ y₁ = 0.03 sin (\(\frac{2 \pi}{3}\)x – 120 π t),
y₂ = 0.03 sin(\(\frac{2 \pi}{3}\)x + 120 π t)
દોરી પરનું સ્થિત-તરંગ ઉપરોક્ત બે વિધેયો y₁ અને y₂ ના સંપાતીકરણથી મળે છે.
k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{2 \pi}{3}\)
∴ તરંગની તરંગલંબાઈ λ = 3 m
ω = 2π v = 120 π rads^-1
∴ તરંગની આવૃત્તિ v = \(\frac{120 \pi}{2 \pi}\) = 60 Hz
તરંગની ઝડપ υ = \(\frac{\omega}{k}=\frac{120 \pi}{\frac{2 \pi}{3}}\) = 180 m s^-1

(c) દોરીનું દળ = 3 × 10^-2 kg, દોરીની લંબાઈ l = 1.5 m
∴ μ = \(\frac{m}{l}=\frac{3 \times 10^{-2}}{1.5}\) = 2 × 10² kg m^-1
દોરી પર તરંગની ઝડપ υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
∴ દોરી પર તરંગવ T = υ² · μ
T = (180)² (2 x 10^-2)
∴ T = 648 N

પ્રશ્ન 12.
(i) પ્રશ્ન (11)માં જણાવેલ દોરી પરના તરંગ માટે દોરી પરનાં બધાં બિંદુઓ એકસમાન (a) આવૃત્તિ (b) કળા (c) કંપવિસ્તારથી દોલનો કરે છે? તમારા ઉત્તરો સમજાવો. (ii) એક છેડેથી 0.375 ml દૂર આવેલા બિંદુએ કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?
ઉકેલ:
(i) દોરી પરનું સ્થિત-તરંગ,
y = 0.06 sin(\(\frac{2 \pi}{3}\) x) cos (120 π t)

(a) આપેલ સમીકરણમાં વિધેય cos (120 πt) એ સ્થિત- તરંગની આવૃત્તિ નક્કી કરે છે. આ વિધેય x પર આધારિત ન હોવાથી આપણે કહી શકીએ કે, દોરી પરનાં નિસ્યંદબિંદુઓ સિવાય બધાં બિંદુઓએ આવૃત્તિ સમાન હશે.

(b) ઉપર સમજાવ્યા મુજબ દોરી પરનાં નિસ્યંદબિંદુઓ સિવાય બધાં જ બિંદુઓ સમાન કળામાં દોલન કરતાં હશે.

(c) આપેલ સ્થિત-તરંગનો કંપવિસ્તાર નીચે મુજબ છે :
a = 0.06 sin\(\frac{2 \pi}{3}\)x
અહીં, કંપવિસ્તાર x પર આધારિત હોવાથી કહી શકાય કે, દોલન કરતાં બધાં જ બિંદુઓનો કંપવિસ્તાર સમાન હશે નહિ.

(ii) એક છેડેથી x = 0.375 m દૂર આવેલા બિંદુએ કંપવિસ્તાર,
a = 0.06 sin\(\frac{2 \pi}{3}\) · x
= 0.06 sin(\(\frac{2 \pi}{3}\) × 0.375
= 0.06 sin (0.785)
∴ a = 0.042 m

પ્રશ્ન 13.
એક સ્થિતિસ્થાપક તરંગનું સ્થાનાંતર (લંબગત કે સંગત) દર્શાવવા માટે x અને માં કેટલાંક વિધેયો નીચે આપેલાં છે. આમાંથી કયું વિધેય (i) પ્રગામી તરંગ (ii) સ્થિત-તરંગ (iii) એકેય તરંગ નહિ, રજૂ કરે છે?
(a) y = 2 cos (3x) sin (10t)
(b ) y = 2\(\sqrt{x-v t}\)
(c ) y = 3 sin (5x – 0.5t) + 4 cos (5x – 0.5t)
(d) y = cos x sin t + cos 2x sin 2t
ઉકેલ:
(a) y = 2 cos (3x) sin (10t)
આપેલ સમીકરણ એ x અને tના એમ બે સ્વતંત્ર વિધેયોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે. આથી તે સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે.

(b) y = 2\(\sqrt{x-v t}\)
આપેલ સમીકરણ કોઈ પણ પ્રકારના તરંગને રજૂ કરતું નથી.

(c) y = 3 sin (5x – 0.5t) + 4 cos (5x – 0.5t)
= a₁ sin (kx – ωt) + an sin (x – ωt)
આપેલ સમીકરણ એ એક જ દિશામાં પ્રસરતા પ્રગામી તરંગોનું સંયોજન દર્શાવે છે, એટલે કે પુ એ પ્રગામી તરંગનું વિધેય દર્શાવે છે.

(d) y = cos x sin t + cos 2x sin 2t
આપેલ સમીકરણનું દરેક પદ એ સ્થિત-તરંગ દર્શાવે છે. આથી y એ બે સ્થિત-તરંગોના સંપાતીકરણથી મળતું પરિણામી વિધેય છે.

પ્રશ્ન 14.
બે દૃઢ આધાર વચ્ચે તણાવવાળી એક દોરી 45 Hz આવૃત્તિ સાથે તેના મૂળભૂત મોડમાં દોલનો કરે છે. દોરીનું દળ 3.5 × 10^-2 kg અને તેની રેખીય દળ-ઘનતા 4.0 × 10^-2 kg m^-1 છે. (1) દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ કેટલી હશે? (ii) દોરીમાં તણાવ કેટલો હશે?
ઉકેલ:
દોરીનું દળ m = 3.5 × 10^-2 kg
દોરીની રેખીય દળ-ઘનતા μ = 4 × 10^-2kgm^-1
આવૃત્તિ v = 45 Hz
દોરીની દળ-ઘનતા μ = \(\frac{m}{L}\)
∴ દોરીની લંબાઈ L = \(\frac{m}{\mu}=\frac{3.5 \times 10^{-2}}{4 \times 10^{-2}}\) = 0.875 m

(i) જ્યારે દોરી મૂળભૂત મોડમાં દોલન કરે, ત્યારે
L = \(\frac{\lambda}{2}\)
∴ λ = 2L = 2 × 0.875
∴ λ = 1.75 m
દોરી પર તરંગની ઝડપ,
υ = λv
= (1.75) (45)
∴ υ = 78.75 m s^-1

(ii) દોરી પર પ્રસરતા તરંગની ઝડપ,
υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
∴ T = υ²
= (78.75)² (4 × 10^-2)
= 248.1 N
∴ T = 248.1 N

પ્રશ્ન 15.
એક મીટર લાંબી એક છેડે ખુલ્લી અને બીજે છેડે ખસી શકે તેવો પિસ્ટન ધરાવતી એક નળી અચળ આવૃત્તિના ઉદ્ગમ (340 Hz આવૃત્તિનો સ્વરકાંટો) સાથે નળીની લંબાઈ 25.5 cm અને 79.3 cm હોય ત્યારે અનુનાદ દર્શાવે છે. પ્રયોગના તાપમાને હવામાંથી ધ્વનિની ઝડપનો અંદાજ મેળવો. છેડા પરની અસરો અવગણ્ય છે.
ઉકેલ:
v = 340 Hz, L₁ = 25.5 cm = 0.255 m,
L₂ = 79.3 cm = 0.793 m
ખુલ્લી નળીના બીજા છેડે પિસ્ટન ગોઠવેલ હોવાથી તે બંધનળી તરીકે વર્તશે. બીજે છેડે બંધ એવી લંબાઈની નળીમાંનો હવાનો સ્તંભ,
v = (n + \(\frac{1}{2}\)). જ્યાં, n = 0, 1, 2, … વડે મળતી આવૃત્તિઓથી દોલનો કરે છે.
ધારો કે, L₁ હવાના સ્તંભ માટે nમા મોડની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિએ અનુનાદ ઉત્પન્ન થાય છે.
v = (n + \(\frac{1}{2}\)) · \(\frac{v}{2 L_1}\) = (2n + 1) · \(\frac{v}{4 L_1}\) ………… (1)
હવે, પિસ્ટનને ખસેડતા L₂ હવાના સ્તંભ માટે (n + 1)મા મોડની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિએ અનુનાદ ઉત્પન્ન થાય છે.
v = (n + 1) + \(\frac{1}{2}\)) · \(\frac{v}{2 L_2}\) = (2n + 3) · \(\frac{v}{4 L_2}\)
……… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) સરખાવતાં,
(2n + 3) · \(\frac{v}{4 L_2}\) = (2n + 1) · \(\frac{v}{4 L_1}\)
∴ \(\frac{2 n+3}{2 n+1}=\frac{L_2}{L_1}=\frac{0.793}{0.255}\) ≈ 3
∴ 2n + 3 = 6n + 3
∴ n = 0
અહીં, નળીમાં L₁ = 25.5 cm આગળ, n = 0 એટલે કે મૂળભૂત અથવા પ્રથમ હાર્મોનિકે અનુનાદ મળે છે. ત્યારબાદ L₂ = 79.3 cm આગળ, n = 1 એટલે કે ત્રીજી હાર્મોનિક માટે અનુનાદ મળે છે. સમીકરણ (1)માં n = 0 મૂકતાં,
v = (2n + 1) · \(\frac{v}{4 L_1}\)
∴ 340 = (2 (0) + 1) · \(\)
∴ υ = 340 × 4 × 0.255
= 346.8 ms^-1
હવામાં ધ્વનિની ઝડપ υ = 346.8 m s^-1

પ્રશ્ન 16.
100 cm લંબાઈનો સ્ટીલનો એક સળિયો તેના મધ્યમાંથી જકડેલો (Clamped) છે. સળિયાનાં સંગત દોલનોની મૂળભૂત આવૃત્તિ 2.53 kHz આપેલ છે. સ્ટીલમાં ધ્વનિની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
L = 100 cm = 1m, v = 2.53 kHz
અહીં, સળિયાને મધ્યમાંથી જકડેલો હોવાથી ત્યાં નિસ્યંદબિંદુ ઉદ્ભવશે અને સળિયાના બંને છેડે પ્રસ્પંદબિંદુ ઉદ્ભવશે.

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
L = \(\frac{\lambda}{4}+\frac{\lambda}{4}=\frac{\lambda}{2}\)
∴ λ = 2L = 2 (1) = 2 m
સ્ટીલમાં ધ્વનિની ઝડપ,
υ = λ · v = (2) (2.53 × 10³)
∴ υ = 5.06 × 10³ m s^-1

પ્રશ્ન 17.
20 cm લાંબી નળી એક છેડે બંધ છે. 430 Hzના ઉદ્ગમ વડે નળીનો કયો હાર્મોનિક મોડ અનુનાદમાં ઉત્તેજિત થાય છે? જો બંને છેડા ખુલ્લા હોય, તો તે જ ઉદ્ગમ નળી સાથે અનુનાદમાં હશે? (હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s^-1 છે.)
ઉકેલ:
L = 20 cm = 0.2 m, v = 430 Hz,
υ = 340 m s^-1 બંધનળી માટે નોર્મલ મોડ્સ – પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ,
v = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{v}{2 L}\)
∴ 430 = (n + \(\frac{1}{2}\))\(\frac{340}{2 \times 0.2}\)
∴ n = \(\frac{430 \times 2 \times 0.2}{340}\) – \(\frac{1}{2}\)
∴ n = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) = 0
આમ, બંધનળી n = 0 મોડ એટલે કે મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) માટે અનુનાદમાં ઉત્તેજિત થાય છે.
બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે nમી આવૃત્તિ,
v_n = \(\frac{n v}{2 L}\)
∴ 430 = \(\frac{n \times 340}{2 \times 0.2}\)
∴ n = \(\frac{1}{2}\)
પરંતુ આપેલ સમીકરણમાં n એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. આથી આપેલ ઉદ્ગમ (430 Hz) એ ખુલ્લી નળીમાં અનુનાદ ઉત્પન્ન નહિ કરી શકે.

પ્રશ્ન 18.
સિતારના બે તાર A અને B સ્વર ‘ગા’ ઉત્પન્ન કરવામાં થોડી સુમેળ ક્ષતિ(Out of Tune)ને લીધે 6Hz આવૃત્તિનાં સ્પંદ ઉત્પન્ન કરે છે. A તારમાં તણાવ સહેજ ઘટાડતાં સ્પંદની આવૃત્તિ ઘટીને ૩Hz થાય છે. જો Aની મૂળ આવૃત્તિ 324 Hz હોય, તો Bની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
∴ તાર Aની આવૃત્તિ = 324 Hz
સ્પંદની આવૃત્તિ = 6 Hz
∴ તાર Bની શક્ય આવૃત્તિઓ = 324 + 6
= 330 Hz અથવા 318 Hz
તાર Aમાં તણાવ ઘટાડતાં તેની આવૃત્તિ પણ ઘટશે, કારણ કે v ∝ \(\sqrt{T}\)
જો તાર Bની આવૃત્તિ 330 Hz હોય, તો તાર Aમાં તણાવ ઘટાડતાં સ્પંદની આવૃત્તિ વધશે, પરંતુ અહીં સ્પંદની આવૃત્તિ 6H2થી ઘટીને 3 Hz થાય છે.
આથી તાર Bની આવૃત્તિ = 318 Hz

પ્રશ્ન 19.
સમજાવો શા માટે (અથવા કેવી રીતે) :
(a) ધ્વનિ-તરંગમાં સ્થાનાંતરનું નિસ્યંદબિંદુ એ દબાણનું પ્રસ્પંદબિંદુ છે.
(b) ચામાચીડિયા કોઈ ‘આંખ’ વિના અંતરાયોનાં અંતરો, દિશાઓ, પ્રકાર અને પરિમાણો જાણી શકે છે.
(c) વાયોલિનના સૂર અને સિતારના સૂરની એકસમાન આવૃત્તિ હોઈ શકે છે, તેમ છતાં આપણે તે બે સૂર વચ્ચેનો ભેદ પારખી શકીએ છીએ.
ઉત્તર:
(a) ધ્વનિ-તરંગમાં નિસ્યંદબિંદુએ દોલનોનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય અને દબાણ મહત્તમ હોય છે. પ્રસ્પંદબિંદુએ કંપવિસ્તાર મહત્તમ અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

આમ, ધ્વનિ-તરંગમાં સ્થાનાંતરનું નિસ્યંદબિંદુએ દબાણનું પ્રસ્પંદબિંદુ અને સ્થાનાંતરનું પ્રપંદબિંદુએ દબાણનું નિસ્યંદબિંદુ છે.

(b) ચામાચીડિયાં એ અલ્ટ્રાસૉનિક તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. આ તરંગોની આવૃત્તિ 20 kHz કરતાં વધુ હોય છે. આ તરંગો પદાર્થ- (અંતરાય)થી પરાવર્તિત થઈ પાછા આવતાં લાગતા સમયગાળા પરથી ચામાચીડિયું એ પદાર્થનું અંતર નક્કી કરે છે.

પરાવર્તિત થયેલા તરંગની તીવ્રતા પરથી તે પદાર્થનો પ્રકાર અને પરિમાણ નક્કી કરે છે. ચામાચીડિયું તેના બે કાન વચ્ચેથી પસાર થતાં પરાવર્તિત તરંગના સમયગાળા પરથી પદાર્થની દિશા જાણી શકે છે.

(c) દરેક મ્યૂઝિકલ યંત્ર મૂળભૂત આવૃત્તિ તેમજ તેના overtones પણ ઉત્પન્ન કરે છે. વાયોલિન અને સિતારના સૂરની આવૃત્તિઓ સમાન હોય પણ તેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા overtonesની સંખ્યા અને તીવ્રતા સમાન હોતી નથી. આથી આપણે વાયોલિનના સૂર અને સિતારના સૂર વચ્ચેનો ભેદ પારખી શકીએ છીએ.

પ્રશ્ન 20.
રેલવે સ્ટેશનના પ્લૅટફૉર્મની બહારના સિગ્નલ આગળ સ્થિર ઊભેલી એક ટ્રેન સ્થિર હવામાં 400 Hz આવૃત્તિની સિસોટી (Whistle) વગાડે છે. પ્લૅટફૉર્મ પરના નિરીક્ષકને સિસોટીની આવૃત્તિ કેટલી જણાશે; જ્યારે (a) ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મ તરફ 10 m s^-1ની ઝડપથી આવતી હોય (b) ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મથી દૂર 10 m s^-1ની ઝડપથી જતી હોય? (સ્થિર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s^-1 લો.)
ઉકેલ :
V₀ = 400 Hz, υ_S = 10 ms^-1 υ_O = 0
υ = 340 m s^-1
(a) ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મ (સ્થિર નિરીક્ષક) તરફ આવતી હોય તે કિસ્સામાં υ_O = 0, υ_S = – 10 m s^-1

નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ,
V = V₀(\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\))
= 400 (\(\frac{340+0}{340-10}\))
= 412.12 Hz

(b) જ્યારે ટ્રેન સ્થિર નિરીક્ષકથી દૂર જાય ત્યારે,
υ_O = 0 અને υ_S = +10 m s^-1

નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ,
V = V₀(\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\))
= 400 (\(\frac{340+0}{340+10}\))
= 400 × \(\frac{340}{350}\)
= 388.57 Hz
દરેક કિસ્સામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s^-1 હશે.

પ્રશ્ન 21.
એક સ્ટેશન-યાર્ડમાં ઊભેલી ટ્રેન હવામાં 400 Hz આવૃત્તિની સિસોટી વગાડે છે. યાર્ડથી સ્ટેશન તરફ પવન 10 m s^-1ની ઝડપથી ફૂંકાવાનું શરૂ થાય છે. સ્ટેશનના પ્લૅટફૉર્મ પર ઊભેલા નિરીક્ષકને સંભળાતા ધ્વનિની આવૃત્તિ, તરંગલંબાઈ અને વેગ કેટલા હશે? શું આ પરિસ્થિતિ હવા સ્થિર હોય અને નિરીક્ષક 10 m s^-1ની ઝડપથી યાર્ડ તરફ દોડતો હોય તે કિસ્સાના જેવી જ છે? (સ્થિર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s^-1 લો.)
ઉકેલ:
v = 400 Hz, ધ્વનિની ઝડપ υ = 340 m s^-1, υ_O = 0, υ_S = 0, પવનની ઝડપ υ_w = 10 m s^-1.

(i) પવન-યાર્ડથી પ્લૅટફૉર્મ તરફની દિશામાં ફૂંકાય છે, એટલે કે તે ધ્વનિની ગતિની દિશામાં ફૂંકાય છે. પરિણામે ધ્વનિની ઝડપ
υ’ = υ + υ_w
= 340 + 10
= 350 m s^-1

(ii) પ્લૅટફૉર્મ પરના નિરીક્ષકની સંભળાતી આવૃત્તિ,
V = V₀(\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\))
= 400 (\(\frac{350+0}{350+0}\))
v = 400 Hz
અહીં, ધ્વનિના ઉદ્ગમ અને નિરીક્ષક વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ નથી. આથી આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહિ.

(iii) ધ્વનિની તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{v^{\prime}}{v}=\frac{350}{400}\)
∴ λ = 0.875 m

(iv) સ્થિર હવાની પરિસ્થિતિમાં નિરીક્ષક, ઉદ્ગમ (ટ્રેન) તરફ ગતિ કરે ત્યારે,
υ_O = +10 m s^-1, υ_S = 0, υ_O = 340 m s^-1

નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ,
V = V₀(\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\))
= 400 (\(\frac{340+10}{340+0}\)) = \(\frac{350}{340}\) × 400
∴ v’ = 411.8 Hz
નિરીક્ષકની ગતિને લીધે ધ્વનિની તરંગલંબાઈ બદલાશે નહિ, તેમજ માધ્યમની સાપેક્ષે ધ્વનિની ઝડપ υ = 340 m s^-1 રહેશે.
આમ, આપેલ બંને પરિસ્થિતિઓ અલગ છે.

પ્રશ્ન 22.
દોરી પરના એક પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગને y (x, t) = 7.5 sin (0.0050x + 12t + \(\frac{\pi}{4}\)) cm વડે ૨જૂ કરાય છે.
(a) x = 1 cm આગળના બિંદુને t = 1 s સમયે દોલનના સ્થાનાંતર અને વેગ કેટલા હશે? આ વેગ તરંગના પ્રસરણના વેગ જેટલો છે?
(b) x = 1 cm બિંદુના t = 1 s, 5 s અને 11 s સમયોના લંબગત સ્થાનાંતર જેટલાં જ સ્થાનાંતર ધરાવતા દોરી પરનાં બિંદુઓનાં
સ્થાન શોધો.
ઉકેલઃ
y (x, t) = 7.5 sin(0.005x + 12t + \(\frac{\pi}{4}\)) ……. (1)
y (x, t) = a sin (kx + ωt + Φ₀) સાથે સરખાવતાં,
કંપવિસ્તાર a = 7.5 cm, k = 0.005 cm^-1,
ω = 12 rad s^-1

(a) x = 1 cm અને t = 1 s સમયે સ્થાનાંતર,
y (1, 1) = 7.5 sin
((0.005 × 1) + 12 (1) + \(\frac{3.14}{4}\))
= 7.5 sin (0.005 + 12 + 0.785)
= 7.5 sin (12.790)
y(1, 1) = 7.5 × 0.222
= 1.67cm
કોઈ બિંદુએ દોલનનો વેગ,
υ’ = \(\frac{d y}{d t}\) = \(\frac{d}{d t}\) (7.5 sin (0.005x + 12t + \(\frac{\pi}{4}\)))
= 7.5 × 12 cos (0.005x + 12t + \(\frac{\pi}{4}\)
x = 1 cm, t = 1 s સમયે દોલનનો વેગ,
υ’ = 7.5 × 12 cos (0.005 × 1) + 12(1) + \(\frac{3.14}{4}\))
= 90 cos (12.790)
= 90 × 0.9751
= 87.76 cm s^-1
તરંગ-પ્રસરણનો વેગ υ = \(\frac{\omega}{k}=\frac{12}{0.005}\)
= 2400 cm s^-1
આમ, υ’ ≠ υ એટલે કે દોલનનો વેગ એ તરંગના વેગથી અલગ છે.

(b) k = \(\frac{2 \pi}{\lambda}\) = 0.005
∴ λ = \(\frac{2 \pi}{0.005}\) = 1256.6 cm
= 12.6m
∴ x = 1 cmથી ± λ, ± 2λ, ± 3λ…. જેટલાં અંતરોએ આવેલા દરેક બિંદુએ સ્થાનાંતર અને વેગ સમાન હશે. એટલે કે, t = 2s, 5s, 11s સમયે x = 1 cmથી ±12.6 m, ± 25.2 m, ± 37.8 m અંતરે આવેલાં બિંદુઓએ સ્થાનાંતર સમાન હશે.

પ્રશ્ન 23.
એક નાનું ધ્વનિ-સ્પંદન (દા. ત., સિસોટીનો એક ક્ષણિક અવાજ) એક માધ્યમમાં મોકલવામાં આવે છે.
(a) શું સ્પંદનને નિશ્ચિત (1) આવૃત્તિ (ii) તરંગલંબાઈ (iii) પ્રસરણની ઝડપ છે?
(b) જો સ્પંદન ઉત્પન્ન થવાનો દર, દર 20 મિનિટ પછી 1નો હોય, તો (એટલે કે સિસોટી દર 20 s બાદ સેકન્ડના ખૂબ નાના ભાગ માટે વગાડાય છે.) શું સિસોટી વડે ઉત્પન્ન થતા સ્વરની આવૃત્તિ \(\frac{1}{20}\) અથવા 0.05 Hz છે?
ઉત્તર:
(a) સ્પંદનને નિશ્ચિત આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઈ હોતી નથી, પરંતુ નિશ્ચિત ઝડપ હોય છે. તે હવામાં ધ્વનિ-તરંગની ઝડપથી પ્રસરણ પામે છે.
(b) ના, \(\frac{1}{20}\) અથવા 0.05 Hz એ સિસોટી વડે ઉત્પન્ન થતા સ્વરની આવૃત્તિ દર્શાવતું નથી. તે સ્પંદન પુનરાવર્તિત દર દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 24.
રેખીય દળ-ઘનતા 8.0 × 10^-3 kg m^-1 હોય તેવી એક લાંબી દોરીનો એક છેડો 256 Hzની આવૃત્તિના એ વિદ્યુતચાલિત સ્વરકાંટા સાથે જોડેલ છે. બીજો છેડો એક ગરગડી પરથી પસાર થઈ 90 kg દળ ધરાવતા એક પલ્લા સાથે બાંધેલ છે. ગરગડી આગળનું દોરીનું બિંદુ ત્યાં આવતી બધી ઊર્જાને શોષી લે છે. તેથી ત્યાં પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર અવગણ્ય છે. t = ૦ સમયે દોરીના ડાબા છેડા (સ્વરકાંટા બાજુનો છેડો) x = 0નું લંબગત સ્થાનાંતર (ઘુ = 0) શૂન્ય છે અને તે ધન Y-દિશામાં ગતિ કરે છે. તરંગનો કંપવિસ્તાર 5 cm છે. દોરીમાં તરંગને રજૂ કરતા લંબગત સ્થાનાંતર પુને x અને tના વિધેય તરીકે લખો.
ઉકેલ:
દોરી પર તરંગ ધન X-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. આથી તેનું તરંગ સમીકરણ,
y (x, t) = a sin (ωt – kx) ………. (1)
હવે, a = 5 cm = 0.05 m, μ = 8 × 10^-3kg m^-1,
m = 90 kg, v = 256 Hz
∴ ω = 2πv = 2 × 3.14 × 256
∴ ω = 1.61 × 10³ rad s^-1
દોરી પર તરંગની ઝડપ,
υ = \(\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{m g}{\mu}}\)
∴ υ = \(\sqrt{\frac{90 \times 9.8}{8 \times 10^{-3}}}\) = 332 m s^-1
υ = \(\frac{\omega}{k}\) પરથી,
k = \(\frac{\omega}{v}=\frac{1.61 \times 10^3}{332}\) = 4.84 m^-1
a, ω અને kનાં મૂલ્યો સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
y = 0.05 sin (1.61 × 10³t – 4.84 x) m
આપેલ તરંગ-સમીકરણમાં x અને y metreમાં અને t એ secondમાં છે.

પ્રશ્ન 25.
એક સબમરીનમાં રાખેલી સોનાર (SONAR) પદ્ધતિ 40.0 kHz પર કાર્યાન્વિત થાય છે. એક દુશ્મન સબમરીન SONAR તરફ 360 km h^-1ની ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે. બીજી સબમરીનથી પરાવર્તિત થતા ધ્વનિ-તરંગની આવૃત્તિ કેટલી હશે? (પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ 1450 m s^-1 લો.)
ઉકેલ:
v_S = 40 kHz, υ = 1450 m s^-1
અહીં, SONARમાંથી ઉદ્ભવતા ધ્વનિ-તરંગની આવૃત્તિ બે તબક્કામાં બદલાય છે :
(1) SONARથી દુશ્મનની ગતિમાન સબમરીન તરફ જતાં આવૃત્તિ બદલાશે. આ કિસ્સામાં SONAR એ ધ્વનિ-ઉદ્ગમ (S) અને સબમરીન એ નિરીક્ષક (O) તરીકે વર્તશે. આથી υ_S = 0 અને
υ_O = 360\(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=\frac{360 \times 1000}{3600}\) = 100 m^-1 s.
V₀₁ = (\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\))V_S
= (\(\frac{1450+100}{1450+0}\)) × 40 × 10³
= 42.758 kHz

(2) બીજા તબક્કામાં દુશ્મનની સબમરીન 42.758 kHzની આવૃત્તિને પરાવર્તિત કરે છે. આ કિસ્સામાં સબમરીન એ ધ્વનિ-ઉદ્ગમ (S) અને SONAR એ નિરીક્ષક (O) તરીકે વર્તશે.
V_S = 42.758 kHz, υ_O = 0, υ_S = −100 m s^-1
પરાવર્તિત તરંગની આવૃત્તિ,
V₀₂ = (\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\))V_S
= \(\frac{1450+0}{1450-100}\) × 42.758 × 10³
= 45.92 kHz
આમ, સબમરીનથી પરાવર્તિત થઈ SONAR તરફ જતાં ધ્વનિની આવૃત્તિ 45.92 kHz હશે.

પ્રશ્ન 26.
ભૂકંપ પૃથ્વીની અંદરના ભાગમાં ધ્વનિ-તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. વાયુ કરતાં જુદી બાબત એ છે કે, પૃથ્વી લંબગત (S) અને સંગત (P) બંને તરંગો અનુભવે છે. S તરંગની લાક્ષણિક ઝડપ 4 km s^-1 અનેP તરંગની ઝડપ 8 km s^-1 છે. સિસ્મોગ્રાફ ભૂકંપથી આવતા S અને P તરંગોને નોંધે છે. એક ભૂકંપમાં પ્રથમ P તરંગ, પ્રથમ S તરંગ કરતાં 4 min વહેલું આવી પહોંચે છે. તરંગો સુરેખામાં ગતિ કરતાં ધારી લઈને ભૂકંપ કેટલા અંતરે થયો તે શોધો.
ઉકેલ:
લંબગત તરંગોનો વેગ υ_S = 4.0 km s^-1
સંગત તરંગોનો વેગ υ_p = 8 km s^-1
ધારો કે, ધરતીકંપનું ઉદ્ગમ અને સિસ્મોગ્રાફ વચ્ચેનું અંતર d છે અને સંગત (P) તરંગ આટલું (d) અંતર કાપવા માટે t સમય લે છે.
∴ લંબગત (S) તરંગ d અંતર કાપવા માટે (t + 4 × 60) s જેટલો સમય લેશે.

∴ t + 240 = 2t
∴ t = 240 s
હવે, υ_p = \(\frac{d}{t}\)
∴ d = υ_pt = 8 × 240
∴ d = 1920 km

પ્રશ્ન 27.
એક ગુફામાં ચામાચીડિયું અલ્ટ્રાસૉનિક સ્પંદનો દ્વારા દિશાઓની જાણકારી મેળવતાં હળવેથી અને ઝડપથી પસાર થાય છે. ચામાચીડિયા દ્વારા ઉત્સર્જિત ધ્વનિની આવૃત્તિ 40 kHz ધારો. એક સપાટ દીવાલની સપાટી તરફની એક ત્વરિત તરાપમાં ચામાચીડિયું હવામાં ધ્વનિની ઝડપના 0.03 ગણી ઝડપે ગતિ કરે છે. દીવાલ પરથી પરાવર્તન થઈને કેટલી આવૃત્તિ ચામાચીડિયાને સંભળાશે?
ઉકેલ:
ચામાચીડિયા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી આવૃત્તિ V₀ = 40 kHz
ચામાચીડિયાની ઝડપ υ_S = – 0.03 υ
જ્યાં, υ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
દીવાલની ઝડપ υ_O = 0
પ્રથમ કિસ્સામાં ચામાચીડિયું (Source) એ દીવાલ તરફ (Observer) ગતિ કરે છે. આથી દીવાલ આગળ મળતી આભાસી આવૃત્તિ,
V’ = (\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\)) . V_O
= \(\frac{v+0}{v-0.03 v}\) × 40 × 10³
= \(\frac{40 \times 10^3}{0.97}\)
= 41.24 × 10³Hz
આ આવૃત્તિ દીવાલ દ્વારા પરાવર્તિત થાય છે અને દીવાલ તરફ ગતિ કરતાં ચામાચીડિયાને મળે છે. આ કિસ્સામાં, દીવાલ એ ઉદ્ગમ (Sourse) અને ચામાચીડિયું એ નિરીક્ષક (O) તરીકે વર્તશે. આથી υ_S = 0 અને υ_O = 0.03 υ.
ચામાચીડિયાને સંભળાતી આવૃત્તિ,
V” = (\(\frac{v+v_{\mathrm{O}}}{v+v_{\mathrm{S}}}\)) . V’
= \(\frac{v+0.03 v}{v+0}\) × 41.24 × 10³
= 1.03 × 41.24 × 10³
= 42.47 kHz