GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.1

પ્રશ્ન 1થી 6માં જેનું nમું પદ આપેલ છે, તે શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ લખો :

પ્રશ્ન 1.
a_n = n (n + 2)
ઉત્તરઃ
અહીં, a_n = n (n + 2)માં n = 1, 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,
a₁ = 1 (1 + 2) = 1 (3) = 3
a₂ = 2 (2 + 2) = 2 (4) = 8
a₃= 3(3 + 2) = 3 (5) 15
a₄ = 4 (4 + 2) = 4 (6) = 24
a₅ = 5 (5 + 2) = 5 (7) = 35
આમ, પ્રથમ પાંચ પદો 3, 8, 15, 24 અને 35 છે.

પ્રશ્ન 2.
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
a_n = 2ⁿ
ઉત્તરઃ
અહીં, n = 2ⁿ માં n = 1, 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,
a₁ = 2¹ = 2, a₂ = 2² = 4, a₃ = 2³ = 8
a₄ = 2⁴ = 16, a₅ = 2⁵ = 32
આમ, પ્રથમ પાંચ પદો 2, 4, 8, 16 અને 32 છે.

પ્રશ્ન 4.
a_n = \(\frac{2 n-3}{6}\)
ઉત્તરઃ
અહીં, a_n = \(\frac{2 n-3}{6}\) માં n = 1, 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,

પ્રશ્ન 5.
a_n = (-1)_n-15_n+1
ઉત્તરઃ
અહીં, a_n = (-1)_n-15_n+1માં n = 1, 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,
a₁ = (− 1)_1-1 . 5₁₊₁ = (− 1)⁰ · 5² = (1) (25) = 25
a₂ = (− 1)_2-1 . 5₂₊₁ = (− 1)¹· 5³ = (− 1) (125) = -125
a₃ = (− 1 )^3-1 . 5³⁺¹ = (− 1)² · 5⁴ = (1) (625) = 625
a₄ = (− 1)^4-1 . 5⁴⁺¹ = (− 1 )³ · 5⁵ = (− 1) (3125) = -3125
a₅ = (-1)^5-1.5⁵⁺¹ = (− 1)⁴· 5⁶ = (1) (15625) = 15625
આમ, પ્રથમ પાંચ પદો 25, − 125, 625, −3125 અને 15625 છે.

પ્રશ્ન 6.
a_n = n\(\frac{n^2+5}{4}\)
ઉત્તરઃ
અહીં, a_n = n\(\frac{n^2+5}{4}\)માં n = 1, 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,

આમ, પ્રથમ પાંચ પદો \(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}\), 21 અને \(\frac{75}{2}\) છે.

પ્રશ્ન 7થી 10માં જેનું nમું પદ આપેલ છે, તે શ્રેણીના નિર્દેશિત પદ શોધો :

પ્રશ્ન 7.
a_n = 4n – 3; a₁₇, a₂₄
ઉત્તરઃ
અહીં, a_n = 4n – 3માં n = 17 અને 24 મૂકતાં,
a₁₇ = 4 (17) – 3 = 68 – 3 = 65
a₂₄ = 4 (24) – 3 = 96 – 3 = 93
આમ, 17મું અને 24મું પદ અનુક્રમે 65 અને 93 છે.

પ્રશ્ન 8.
a_n = \(\frac{n^2}{2^n}\); a₇
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
a_n = (-1)^n-1n³; a₉
ઉત્તરઃ
અહીં, a_n = (− 1)^n-1· n³માં n = 9 મૂકતાં,
a₉ = (− 1)^9-1 . 9³ = (− 1)⁸ · 729 = (1) 729 = 729
આમ, 9મું પદ 729 છે.

પ્રશ્ન 10.
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\); a₂₀
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11થી 13માં આપેલ શ્રેણીઓનાં પ્રથમ પાંચ પદ શોધો અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો :

પ્રશ્ન 11.
a₁ = 3, n > 1 માટે a_n = 3a_n-1 + 2
ઉત્તરઃ
અહીં, a₁ = 3 અને a_n = 3a_n-1 + 2મું n = 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,
a₂ = 3a₁ +2 = 3(3) + 2 (∵ a₁ = 3)
= 11

a₃ = 3a₂ + 2 = 3 (11) + 2 (∵ a₂ = 11)
= 35
∴ a₃ = 35

a₄ = 3a₃ + 2 = 3 (35) + 2 (∵ a₃ = 35) = 107
∴ a₄ = 107

a₅ = 3a₄ + 2 = 3 (107) + 2 (∵ a₄ = 107) = 323
∴ a₅ = 323
આમ, આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો 3, 11, 35, 107 અને 323 છે અને સંબંધિત શ્રેઢી 3 + 11 + 35 + 107 + 323 + ….. છે.

પ્રશ્ન 12.
a₁ = −1, n ≥ 2 માટે a_n = \(\frac{a_{n-1}}{n}\)
ઉત્તરઃ
અહીં, a₁ = − 1 અને a_n = \(\frac{a_{n-1}}{n}\), n ≥ 2 છે.
હવે, n = 2, 3, 4 અને 5 મૂકતાં,

આમ, આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો – 1, –\(\frac{1}{2}\), –\(\frac{1}{6}\), –\(\frac{1}{24}\) અને –\(\frac{1}{120}\) છે અને સંબંધિત શ્રેઢી (– 1) + \(\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)+\left(-\frac{1}{24}\right)+\left(-\frac{1}{120}\right)\) + ………..છે.

પ્રશ્ન 13.
a₁ = a₂ = 2, n > 2 માટે a_n = a_n-1 – 1
ઉત્તરઃ
અહીં, a₁ = a₂ = 2 અને a_n = a_n-1 -1 છે.
હવે, a_n = a_n-1 – 1માં n = 3, 4 અને 5 મૂકતાં,
a₃ = a₂ – 1 = 2 – 1 (∵ a₂ = 2)
= 1
∴ a₃ = 1

a₄ = a₃ – 1 = 1 – 1 (∵ a₃ = 1)
= 0
∴ a₄ = 0

a₅ = a₄ – 1 = 0 – 1 (∵ a₄ = 0)
= -1
∴ a₅ = -1
આમ, આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદો 2, 2, 1, 0 અને – 1 છે અને સંબંધિત શ્રેઢી 2 + 2 + 1 + 0 + (- 1) +…………. છે.

પ્રશ્ન 14.
ફિબોનાકી શ્રેણી 1 = a₁ = a₂ અને n > 2 માટે a_n = a_n-1 + a_n-2 એમ વ્યાખ્યાયિત થાય છે. n = 1, 2, 3, 4, 5 માટ\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, a₁ = a₂ = 1 અને a_n = a_n-1 + a_n-2, n > 2 છે.
હવે, n = 3, 4, 5 અને 6 લેતાં,
a₃ = а₂ + a₁ = 1 + 1 (a₁ = a₂ = 1)
= 2
∴ a₃ = 2

a₄ = a_4-1 + a_4-2 = a₃ + а₂
= 2 + 1 (a₂ = 1, a₃ = 2)
= 3
∴ a₄ = 3

a₅ = a_5-1 + a_5-2 = a₄ + a₃
= 3 + 2 (a₃ = 2, a₄ = 3)
= 5
∴ a₅ = 5

હવે, n = 1, 2, 3, 4, 5 માટે \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) શોધવું છે.