Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Ex 6.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Ex 6.3
નીચેની અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ આલેખ પરથી મેળવો :
પ્રશ્ન 1.
x ≥ 3, y ≥ 2
ઉત્તરઃ
અહીં, x = 3ની રેખા બિંદુ (3, 0)માંથી પસાર થતી અને Y-અક્ષને સમાંતર રેખા છે.
y = 2ની રેખા બિંદુ (0, 2)માંથી પસાર થતી અને X-અક્ષને સમાંતર રેખા છે.
હવે, બિંદુ (0, 0)ને x = 3માં મૂકતાં 0 ≥ 3, જે સત્ય નથી. આથી x ≥ 3નો ઉકેલપ્રદેશ x = 3 રેખા અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને y ≥ 2માં મૂકતાં 0 ≥ 2, જે સત્ય નથી. આથી y = 2નો ઉકેલપ્રદેશ y = 2 રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે. હવે, આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આવેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે. જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 2.
3x + 2 ≤ 12; x ≥ 1, y ≥ 2
ઉત્તરઃ
પ્રથમ સમીકરણ 3x + 2y = 12, x = 1 અને y = 2 વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.
સ્પષ્ટ છે કે, x ≥ 1નો ઉકેલપ્રદેશ x = 1ની રેખા અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે. y ≥ 2નો ઉકેલપ્રદેશ y = 2ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, બિંદુ (0, 0)ને 3x + 2y ≤ 12માં મૂકતાં 0 ≤ 12 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 3x + 2y = 12ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 3.
2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 2x + y = 6 અને 3x + 4 = 12 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને 2x + y ≥ 6માં મૂકતાં 0 ≥ 6 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x + y = 6ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, બિંદુ (0, 0)ને 3x + 4y ≤ 12માં મૂકતાં 0 ≤ 12 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x + y = 6 રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 4.
x + y ≥ 4, 2x – y > 0
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખા 2x – y = 0 ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
પ્રથમ x + y = 4 અને 2x − y = 0 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને OC દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને x + y ≥ 4માં મૂકતાં 0 ≥ 4 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 4 રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (1, 1)ને 2x – y ≥ 0માં મૂકતાં 2 (1) − 1 > 0 એટલે કે 1 > 0 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x – y = 0 રેખાની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 5.
2x – y > 1, x – 2y < −1
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 2x − y = 1 અને x – 2y = -1 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને 2x – y > 1માં મૂકતાં 0 > 1 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x – y = 1 રેખાની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને x – 2y < – 1માં મૂકતાં 0 < −1 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x – 2y = – 1 રેખાની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે. હવે, આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 6.
x + y ≤ 6, x + y ≥ 4
ઉત્તરઃ
પ્રથમ x + y = 6 અને x + y = 4 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને x + y ≤ 6માં મૂકતાં 0 ≤ 6 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 6 રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને x + y ≥ 4માં મૂકતાં 0 ≥ 4 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 4 રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 7.
2x + y ≥ 8, x + 2y ≤ 10
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 2x + y = 8 અને x + 2y = 10 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને 2x + 9 ≥ 8માં મૂકતાં 0 = 8 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x + y = 8 રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને x + 2y ≥ 10માં મૂકતાં 0 ≥ 10 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + 2y = 10 રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે. હવે, આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 8.
x + y ≤ 9; y > x, x ≥ 0
ઉત્તરઃ
અહીં, સ્પષ્ટ છે કે x = 0નો ઉકેલપ્રદેશ x = 0 રેખા એટલે કે, Y-અક્ષ અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે. વળી, x− y = 0 ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે.
હવે, x + y = 9 અને x – y = ૦ સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને OC દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને x + y ≤ 9માં મૂકતાં 0 ≤ 9 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 9ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે. હવે y > x એટલે x – y < 0માં બિંદુ (0, 1) મૂકતાં – 1 < 0 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશx – y = 0 રેખાની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 9.
5x + 4y ≤ 20; x ≥ 1, y ≥ 2
ઉત્તરઃ
પ્રથમ સમીકરણ 5x + 4y = 20, x = 1 અને y = 2 વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.
સ્પષ્ટ છે કે x ≥ 1નો ઉકેલપ્રદેશ x = 1ની રેખા અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે.
y ≥ 2નો ઉકેલપ્રદેશ y = 2ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, બિંદુ (0, 0)ને 5x + 4y ≤ 20માં મૂકતાં, 0 ≤ 20 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 5x + 4y = 20ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ બંને ઉકેલપ્રદેશનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંતિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 10.
3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30; x ≥ 0, y ≥ 0
ઉત્તરઃ
પ્રથમ સમીકરણ 3x + 4y = 60 અને x + 3u = ૦ સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB અને CD દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને 3x + 4y ≤ 60માં મૂકતાં, 0 ≤ 60 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 3x + 4y = 60ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ મળે.
બિંદુ (0, 0)ને x + 3y ≤ 30માં મૂકતાં 0 ≤ 30 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 30 રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ મળે.
વળી, x ≥ 0 અને y ≥ 0નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, બિંદુ (0, 0) તથા પ્રથમ ચરણનાં બધાં જ બિંદુઓ છે.
હવે, આ બધા જ ઉકેલપ્રદેશોનો સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 11.
2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, 2x – 3y ≤ 6
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 2x + y = 4, x + y = 3 અને 2x – 3y = 6 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.
નોંધઃ અહીં, બિંદુ C (3, 0) અને E (3, 0) એક જ બિંદુ દર્શાવશે.
બિંદુ (0, 0)ને 2x + y ≥ 4માં મૂકતાં 0 ≥ 4 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x + y = 4ની રેખા અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને x + y ≥ 3માં મૂકતાં ૦૯૩ મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 3 રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને 2x – 3y ≤ 6માં મૂકતાં 0 ≤ 6 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x – 3y = 6 રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ ત્રણેય ઉકેલપ્રદેશોનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 12.
x – 2y ≤ 3, 3x + 4y ≥ 12; x ≥ 0, y ≥ 1
ઉત્તરઃ
પ્રથમ x – 2y = 3, 3x + 4y = 12 અને y = 1 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ AB, CB અને EF દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને x – 2y ≤ 3માં મૂકતાં 0 ≤ 3 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x – 2y = 3ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (0, 0)ને 3x + 4y ≥ 12માં મૂકતાં 0 ≥ 12 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 3x + 4y = 12ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
y ≥ 1નો ઉકેલપ્રદેશ y = 1ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
x ≥ 0નો ઉકેલપ્રદેશ x = ૦ની રેખા એટલે કે Y-અક્ષ અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે.
હવે, આ ચારેય ઉકેલપ્રદેશોનો જેમાં સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 13.
4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x; x ≥ 3, x, y ≥ 0
ઉત્તરઃ
સ્પષ્ટ છે કે અહીં, y = 2x એટલે કે 2x – y = 0ની રેખા ઉગમબિંદુ Oમાંથી પસાર થાય છે. પ્રથમ 4x + 39 = 60, 2x – y = 0 અને x = 3 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, OC અને DE દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને 4x + 3y ≤ 60માં મૂકતાં 0 ≤ 60 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 4x + 3y = 60 રેખા અને તેની ડાબી તરફનું અર્ધતલ છે. બિંદુ (1, 0)ને y ≥ 2x એટલે કે 2x – y ≤ 0માં મૂકતાં 2(1) − 0 ≥ 0 ∴ 2 ≥ 0, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ 2x – y = 0 રેખાની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
x ≥ 3નો ઉકેલપ્રદેશ x = ૩ની રેખા અને તેની જમણી તરફનું અર્ધતલ છે.
x ≥ 0 અને y ≥ 0નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, બિંદુ (0, 0) તથા પ્રથમ ચરણનાં બધાં જ બિંદુઓ છે.
હવે, આ બધા જ ઉકેલપ્રદેશોનો સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય પ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 14.
3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80; x ≤ 15, y ≥ 0, x ≥ 0
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 3x + 2y = 150, x + 4y = 80 અને x = 15 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ અનુક્રમે AB, CD અને EF દોરીશું.
બિંદુ (0, 0)ને 3x + 2y ≤ 150માં મૂકતાં 0 ≤ 150 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલ 3x + 2y = 150ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
બિંદુ (0, 0)ને x + 4y ≤ 80માં મૂકતાં 0 ≤ 80 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલ x + 4y = 80ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
x ≤ 15નો ઉકેલપ્રદેશ x = 15ની રેખા અને તેની ડાબી તરફનું અર્ધતલ છે.
x ≥ 0 અને y ≥ 0નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, બિંદુ (0, 0) અને પ્રથમ ચરણનાં બધાં જ બિંદુઓ છે. હવે, આ બધા જ ઉકેલપ્રદેશોનો સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય ઉકેલપ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહતિનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 15.
x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x – y ≤ 0; x ≥ 0, y ≥ 0
ઉત્તરઃ
પ્રથમ x + 2y = 10, x + y = 1 અને x – y = 0 સમીકરણો વડે દર્શાવાતી રેખાઓ AB, CD અને OE દોરીશું.
સ્પષ્ટ છે કે x – y = ૦ની રેખા ઉગમબિંદુ Oમાંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ (0, 0)ને x + 2 ≤ 10માં મૂકતાં 0 ≤ 10 મળે, જે સત્ય છે. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + 2y = 10ની રેખા અને તેની નીચે તરફનું અર્ધતલ છે.
બિંદુ (0, 0)ને x + y ≥ 1માં મૂકતાં 0 ≥ 1 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x + y = 1ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
બિંદુ (1, 0)ને x − y ≤ 0માં મૂકતાં 1 ≤ 0 મળે, જે સત્ય નથી. આથી આ અસમતાનો ઉકેલપ્રદેશ x – y = 0ની રેખા અને તેની ઉપર તરફનું અર્ધતલ છે.
× ≥ 0 અને y ≥ 0નો ઉકેલપ્રદેશ X-અક્ષની ધન દિશા, Y-અક્ષની ધન દિશા, ઉગમબિંદુ (0, 0) અને પ્રથમ ચરણમાં રહેલાં બધાં જ બિંદુઓ છે.
હવે, આ બધા જ ઉકેલપ્રદેશોનો સમાવેશ થતો હોય તેવો સામાન્ય ઉકેલપ્રદેશ આપેલ અસમતા સંહિતનો ઉકેલપ્રદેશ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.