Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Ex 6.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Ex 6.2
નીચેની અસમતાઓનો ઉકેલગણ આલેખ પર દ્વિ-પરિમાણીય યામ-સમતલમાં મેળવો :
પ્રશ્ન 1.
x + y < 5
ઉત્તરઃ
પ્રથમ x + y = 5ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં x = 5 મળે અને x = 0 લેતાં y = 5 મળે.
∴ A (5, 0) અને B (0, 5) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\)ને ત્રૂટક રેખા વડે દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા x + y < 5માં મૂકતાં, 0 + 0 < 5 અર્થાત્ 0 < 5 જે સત્ય છે. આથી ઉકેલપ્રદેશ x + y = 5 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું અર્ધતલ છે. જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં x + y = 5 રેખાનો સમાવેશ ઉકેલપ્રદેશમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 2.
2x + y ≥ 6
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 2x + y = 6ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં 2x = 6 મળે.
∴ x = 3 અને x = 0 લેતાં y = 6 મળે.
∴ A (3, 0) અને B(0, 6) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે. નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા 2x + y ≥ 6માં મૂકતાં 2(0) + 0 ≥ 6 એટલે કે, 0 ≥ 6 મળે જે સત્ય નથી.
આથી ઉકેલપ્રદેશ 2x + y = 6 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્ધતલ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 3.
3x + 4y ≤ 12
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 3x + 4y = 12ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં ૩x = 12 ∴ x = 4 મળે અને
x = 0 લેતાં 4y = 12 ∴ પુ = 3 મળે.
∴ A (4, 0) અને B (0, 3) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) દર્શાવેલ છેઃ
હવે, રેખા \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા 3x + 4y ≤ 12માં મૂકતાં, 3 (0) + 4 (0) ≤ 12 એટલે કે, 0 ≤ 12 મળે જે સત્ય છે. આથી ઉકેલપ્રદેશ 3x + 4y = 12 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું અર્ધતલ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 4.
y + 8 ≥ 2x
ઉત્તરઃ
અહીં, y + 8 = 2x
∴ 2x – y ≤ 8
પ્રથમ 2x – y = 8ની રેખા દોરીશું. રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં 2x – 0 = 8 ∴x = 4 અને
x = 0 લેતાં ૦ – y = 8 ∴ y = − 8 મળે.
∴ A (4, 0) અને B (0,− 8) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા 2x – y ≤ 8માં મૂકતાં, 2 (0) − 0 ≤ 8 એટલે કે, 0 ≤ 8 જે સત્ય છે. આથી ઉકેલપ્રદેશ 2x – y = 8 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું અર્ધતલ છે. જે છાયાંતિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 5.
x – y ≤ 2
ઉત્તરઃ
પ્રથમ x – y = 2ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં x = 2 મળે અને x = 0 લેતાં y =− 2 મળે.
∴ A (2, 0) અને B (0, − 2) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા x – y ≤ 2માં મૂકતાં, 0 − 0 ≤ 2 અર્થાત્ 0 ≤ 2 જે સત્ય છે. આથી ઉકેલપ્રદેશ x – y = 2 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું અર્ધતલ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 6.
2x – 3y > 6
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 2x – 3y = 6ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં 2x – 0 = 6 ∴ x = 3 અને
x = 0 લેતાં 0 – 3y = 6 ∴ y =−2 મળે.
∴ A (3, 0) અને B(0, −2) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\)ને ત્રૂટક રેખા વડે દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા 2x – 3 > 6માં મૂકતાં, 2 (0) – 3 (0) > 6 એટલે કે, 0 > 6 મળે, જે સત્ય નથી.
આથી ઉકેલપ્રદેશ 2x – 3y = 6 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્ધતલ છે, જે છાયાંતિ ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં, 2x – 3y = 6 રેખાનો સમાવેશ ઉકેલપ્રદેશમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 7.
– 3x + 2y ≥ -6
ઉત્તરઃ
પ્રથમ – 3x + 2y = – 6ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં -3x + 0 = – 6 ∴ x = 2 અને
x = 0 લેતાં 0 + 2y = 6 ∴ y = – ૩ મળે.
∴ A (2, 0) અને B (0, −3) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા 3x + 2y = 6માં મૂકતાં, − 3 (0) + 2 (0) ≥ 6 એટલે કે 0 = 6 મળે, જે સત્ય નથી.
આથી ઉકેલપ્રદેશ · 3x + 2y = 6 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું ન હોય તેવું અર્ધતલ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
પ્રશ્ન 8.
3y – 5x < 30
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 3y – 5x = 30ની રેખા દોરીશું.
રેખાના અક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ મેળવવા,
y = 0 લેતાં – 5x = 30 ∴ x = – 6 મળે અને
x = 0 લેતાં 3y = 30 ∴ y = 10 મળે.
∴ A (– 6, 0) અને B(0, 10) રેખા પરનાં બિંદુઓ છે.
નીચેની આકૃતિમાં \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\)ને ત્રૂટક રેખા વડે દર્શાવેલ છેઃ
હવે, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા 3 – 5x <30માં મૂકતાં, 3 (0) – 5 (0) < 30 એટલે કે 0 < 30, જે સત્ય છે.
આથી ઉકેલપ્રદેશ 3y – 5x = 30 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું અર્ધતલ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં, \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) નો સમાવેશ ઉકેલપ્રદેશમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 9.
y < -2
ઉત્તરઃ
પ્રથમ y = – 2ની રેખા દોરીશું.
જે (0, – 2)માંથી પસાર થતી અને X-અક્ષને સમાંતર રેખા છે. નીચેની આકૃતિમાં ત્રૂટક રેખા વડે પુ = – 2ની રેખા દર્શાવેલ છેઃ
હવે, y = –2 કરી તેને અસમતા y < − 2 માં મૂકતાં, 0 < – 2, જે સત્ય નથી. આથી ઉકેલપ્રદેશ y = – 2 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને ન સમાવતું અર્ધતલ છે. જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં, y = – 2 રેખાનો સમાવેશ ઉકેલપ્રદેશમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 10.
x > -3
ઉત્તરઃ
પ્રથમ x = -3ની રેખા દોરીશું.
જે (−3, 0)માંથી પસાર થતી અને Y-અક્ષને સમાંતર રેખા છે.
નીચેની આકૃતિમાં ત્રૂટક રેખા વડે x = –3ની રેખા દર્શાવેલ છે :
હવે, x = 3 રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ (0, 0)ને પસંદ કરી તેને અસમતા x > -3માં મૂકતાં, 0 > − 3, જે સત્ય છે.
આથી ઉકેલપ્રદેશ x =−3 રેખાથી બિંદુ (0, 0)ને સમાવતું અર્ધતલ છે, જે છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં, x = – 3 રેખાનો સમાવેશ ઉકેલપ્રદેશમાં થતો નથી.