GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.3

પ્રશ્ન 1થી 9માં આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}\) = 1
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\frac{x^2}{36}\)માં છેદ, \(\frac{y^2}{16}\)માં છેદ, કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ X-અક્ષ ઉપર છે.
∴ આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 36, b² = 16
∴ a = 6, b = 4
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}\)
= \(\sqrt{36-16}\)
= \(\sqrt{20}\)
= 2√5

આથી
(1) નાભિઓ (± c,0) = (± 20, 0)
(2) શિરોબિંદુઓ (± a, 0) = (± 6, 0)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 6 = 12
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 4 = 8 4
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{20}}{6}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 16}{6}=\frac{16}{3}\)

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}\) = 1
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\frac{y^2}{25}\) માં છે, \(\frac{x^2}{4}\) માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ ઉપર છે.
આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
b² = 4. a² = 25
∴ b = 2, a = 5
∴ c = \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\)
(1) નાભિઓ (0, ± c) = (0, ±\(\sqrt{21}\))
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ± a) = (0, ±\(\sqrt{21}\))
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 5 = 10
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 2 = 4
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{21}}{5}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{5}=\frac{8}{5}\)

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\frac{x^2}{16}\)માં છેદ, \(\frac{y^2}{9}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ એ X-અક્ષ ઉપર છે.
આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 16, b² = 9
∴ a = 4, b = 3
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)
(1) નાભિઓ (± c, 0) = (±√7, 0)
(2) શિરોબિંદુઓ (± a, 0) = (± 4, 0)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 4 = 8
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 3 = 6
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}\)

પ્રશ્ન 4.
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{100}\) = 1
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\frac{y^2}{100}\)માં છેદ, \(\frac{x^2}{25}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ ઉપર છે.
આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
b² = 25, a² = 100
∴ b = 5, a = 10
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\)
(1) નાભિઓ (0, ±c) = (0, ±\(\sqrt{75}\))
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ± a) = (0, ± 10)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 10 – 20
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 5 = 10
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{5 \sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 25}{10}\) = 5

પ્રશ્ન 5.
\(\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}\) = 1
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\frac{x^2}{49}\)માં છેદ, \(\frac{y^2}{36}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ X-અક્ષ ઉપર છે.
આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 49, b² = 36
∴ a = 7, b = 6
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{49-36}=\sqrt{13}\)
(1) નાભિઓ (±c, 0) = (±\(\sqrt{13}\), 0)
(2) શિરોબિંદુઓ (±a, 0) = (±7, 0)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 7 = 14
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 6 = 12
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{13}}{7}\)
(6) નાભિની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 36}{7}=\frac{72}{7}\)

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{400}\) = 1
ઉત્તરઃ
અહીં, \(\frac{y^2}{400}\)માં છેદ, \(\frac{x^2}{100}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ ઉપર છે.
આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
b² = 100, a² = 400
∴ b = 10, a = 20
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10 \sqrt{3}\)
(1) નાભિઓ (0, +c) = (0, ±10√3)
(2) શિરોબિંદુઓ (0, +a) = (0, ±20)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 20 = 40
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 10 = 20
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{10 \sqrt{3}}{20}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 100}{20}\) = 10

પ્રશ્ન 7.
36x² + 4y² = 144
ઉત્તરઃ
અહીં, ઉપવલયનું સમીકરણ 36x² + 4y² = 144 છે. એટલે કે, \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{36}\) = 1
અહીં, \(\frac{y^2}{36}\)માં છંદ, \(\frac{x^2}{4}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ ઉપર છે.
હવે, \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{36}\) = 1ને \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
b² = 4, a² = 36
∴ b = 2, a = 6
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}\) = 4√2
(1) નાભિઓ (0, ±c) = (0, ±4√2)
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ±a) = (0, +6)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 6 = 12
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 2 = 4
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{4 \sqrt{2}}{6}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{6}=\frac{4}{3}\)

પ્રશ્ન 8.
16x² + y² = 16
ઉત્તરઃ
અહીં, ઉપવલયનું સમીકરણ 16x² + y² = 16 છે. એટલે કે, \(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{16}\) = 1
અહીં, \(\frac{y^2}{16}\)માં છેદ, \(\frac{x^2}{1}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ ઉપર છે.
હવે, \(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{16}\) = 1 ને \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
b² = 1, a² = 16
∴ b = 1, a = 4
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\)
(1) નાભિઓ (0, ±c) = (0, ±\(\sqrt{15}\))
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ± a) = (0, ±4)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 4 = 8
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 1 = 2
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{2}\)

પ્રશ્ન 9.
4x² + 9y² = 36
ઉત્તરઃ
અહીં, ઉપવલયનું સમીકરણ 4x² + 9y² = 36 છે. એટલે કે, \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1
અહીં, \(\frac{x^2}{9}\)માં છેદ, \(\frac{y^2}{4}\)માં છેદ કરતાં મોટો હોવાથી પ્રધાન અક્ષ X-અક્ષ ઉપર છે.
હવે, \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1 ને \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 9, b² = 4
∴ a = 3, b = 2
∴ c = \(\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\)
(1) નાભિઓ (± c, 0) = (±√5, 0)
(2) શિરોબિંદુઓ (± 9, 0) = (3, 0)
(3) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a = 2 × 3 = 6
(4) ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b = 2 × 2 = 4
(5) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
(6) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 4}{3}=\frac{8}{3}\)

નીચેના પ્રશ્ન 10થી 20માં આપેલ શરતોનું સમાધાન કરતાં પ્રત્યેક ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો :

પ્રશ્ન 10.
શિરોબિંદુઓ (±5, 0), નાભિઓ (+4, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, શિરોબિંદુઓ X-અક્ષ પર છે તેથી ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, a = 5 અને c = 4 આપેલ છે.
હવે, c² = a² – b²
∴ 16 = 25 – b²
∴ b² = 9
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

પ્રશ્ન 11.
શિરોબિંદુઓ (0, ± 13), નાભિઓ (0, +5)
ઉત્તરઃ
અહીં, શિરોબિંદુઓ Y-અક્ષ પર છે તેથી ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, a = 13, c = 5 આપેલ છે.
હવે, c² = a² – b²
∴ 25 = 169 – b²
∴ b² = 144
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}\) = 1

પ્રશ્ન 12.
શિરોબિંદુઓ (±6, 0), નાભિઓ (±4, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, શિરોબિંદુઓ X-અક્ષ પર છે. તેથી ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, a = 6, c = 4 આપેલ છે.
હવે, c² = a² – b²
∴16 = 36 – b²
∴ b² = 20
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}\) = 1

પ્રશ્ન 13.
પ્રધાન અક્ષનાં અંત્યબિંદુઓ (±3, 0), ગૌણ અક્ષનાં અંત્યબિંદુઓ (0, ±2)
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રધાન અક્ષ એ X-અક્ષ પર છે અને ગૌણ અક્ષ એ Y-અક્ષ છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, a = 3 અને b = 2 આપેલ છે.
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1

પ્રશ્ન 14.
પ્રધાન અક્ષનાં અંત્યબિંદુઓ (0, ± √5 ), ગૌણ અક્ષનાં અંત્યબિંદુઓ (± 1, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રધાન અક્ષ એ Y-અક્ષ પર છે અને ગૌણ અક્ષ એ X-અક્ષ પર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, a = √5, b = 1 આપેલ છે.
∴માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{5}\) = 1

પ્રશ્ન 15.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ 26, નાભિઓ (±5, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, 2a = 26 અને c = 5 આપેલ છે.
∴ a = 13 અને c = 5
હવે, c²= a² – b²
∴ 25 = 169 – b²
∴ b² = 144
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}\) = 1

પ્રશ્ન 16.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ 16, નાભિઓ (0, ±6)
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ Y-અક્ષ પર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, 2b = 16 અને c = 6 આપેલ છે.
∴ b = 8 અને c = 6
હવે, c² = 2 – b²
∴ 36 = a² – 64
∴ a² = 100
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}\) = 1

પ્રશ્ન 17.
નાભિઓ (±3, 0), a = 4
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, c = 3 અને a = 4 આપેલ છે.
હવે, c² = 2 _ b²
∴ 9 = 16 – b²
∴ b² = 7
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}\) = 1

પ્રશ્ન 18.
b = 3, 0 = 4, કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ તથા નાભિઓ X-અક્ષ પર હોય.
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, b = 3 અને c = 4 આપેલ છે.
હવે, c² = a² – b²
∴ 16 = a² -9
∴ a² = 25
∴ માગેલા ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}\) = 1

પ્રશ્ન 19.
કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ, પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ પર હોય અને બિંદુઓ (3, 2) અને (1, 6)માંથી પસાર થાય.
ઉત્તરઃ
અહીં, ઉપવલયનું કેન્દ્ર (0, 0) છે અને પ્રધાન અક્ષ Y-અક્ષ પર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
આ ઉપવલય તે બિંદુઓ (3, 2) અને (1, 6)માંથી પસાર થાય છે.

પ્રશ્ન 20.
પ્રધાન અક્ષ x-અક્ષ પર હોય અને બિંદુઓ (4, 3) અને (6, 2)માંથી પસાર થાય.
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રધાન અક્ષ X-અક્ષ ઉપર છે.
∴ ઉપવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, આ ઉપવલય તે બિંદુઓ (4, 3) અને (6, 2)માંથી પસાર થાય છે.

અથવા x² + 4y² = 52