GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Ex 5.4

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Ex 5.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Ex 5.4

વર્ગમૂળ શોધો :

પ્રશ્ન 1.
-15 – 8i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, \(\sqrt{-15-8 i}\) = x + yi; જયાં x, y ∈ R.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
– 15 – 8i = (x + yi)²
= x² + y²i² + 2xyi
∴ – 15 – 8i = (x² – y²) + 2xyi (∵ i² = −1)
વાસ્તવિક ભાગ અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં,
x² – y² = -15 અને 2xy = -8
∴ y = –\(\frac{4}{x}\)
∴ x – \(\left(-\frac{4}{x}\right)^2\) = – 15
∴ x – \(\frac{16}{x^2}\) = – 15
∴ x² – 16 = – 15x²
∴ x² + 15x² – 16 = 0
∴ (x² + 16) (x² – 1) = 0
∴ x² = 16 અથવા x² = 1
હવે, x એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ x² ≠ -16 ∴ x² = 1 ∴ x = ± 1
જ્યારે x = 1, y = \(-\frac{4}{1}\) = -4
જ્યારે x = -1, y = \(\frac{-4}{-1}\) = 4
∴ −15 – 8 iના વર્ગમૂળ 1 − 4 અને −1 + 4i,
એટલે કે ± (1 – 4i) છે.

પ્રશ્ન 2.
-8 – 6i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, √-8-6i = x + yi; જયાં x, y ∈ R.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
– 8 −6i = (x + yi)² = x² + y²i² + 2xyi
∴ – 8 – 6i = (x² – y²) + 2xyi (∵ i² = −1)
વાસ્તવિક ભાગ અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં,
x² – y² = -8 અને 2xy = -6
∴ y = -3
∴ x² – \(\left(\frac{-3}{x}\right)^2\) = -8
∴ x² – \(\frac{9}{x^2}\) = -8
x² – 9 = -8x²
∴ x² + 8x² – 9 = 0
∴ (x² + 9) (x² – 1) = 0
x² = -9 અથવા x² = 1
હવે, x એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ x² ≠ -9 ∴ x² = 1 ∴ x = ± 1
જયારે x = 1, y = \(\frac{-3}{1}\) = -3
જયારે x = −1, y = \(\frac{-3}{-1}\) = 3
∴ – 8 – 6iના વર્ગમૂળ 1 – 31 અને −1 + 3i, એટલે કે ± (1 – 3i) છે.

પ્રશ્ન 3.
1 – i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, √1−i = x + yi; જયાં x, y ∈ R.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
1 − i = (x + yi)² = x² + y²i² + 2xyi
∴ 1 − i = (x² − y²) + 2xyi (∵ i² = −1)
વાસ્તવિક ભાગ અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં,
x – y = 1 અને 2xy = -1

પ્રશ્ન 4.
-i
ઉત્તરઃ
ધારો કે, √-i = x + yi; જયાં x, y ∈ R.
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
-i = (x + yi)²
= x² + y²i² + 2xyi
∴ 0 −i = (x² – y²) + 2xyi (∵ i² = −1)
વાસ્તવિક ભાગ અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં,
x² – y² = 0 અને 2 xy = -1

પ્રશ્ન 5.
i
ઉત્તરઃ
\(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\)i અને \(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)i

પ્રશ્ન 6.
1 + i
ઉત્તરઃ
±\(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\) ±\(\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\)i