GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.5

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.5

કોઈ પણ ત્રિકોણ ABC માટે જો a = 18, b = 24, 30, તો નીચેનાં મૂલ્ય શોધો. (પ્રશ્ન 1 તથા 2)

પ્રશ્ન 1.
cos A, cos B, cos C
ઉત્તરઃ
અહીં, ΔABCમાં a = 18, b = 24, c = 30 આપેલ છે.

પ્રશ્ન 2.
sin A, sin B, sin C
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{a+b}{c}=\frac{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin \frac{C}{2}}\)
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,

પ્રશ્ન 4.
\(\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{\cos \frac{\mathrm{C}}{2}}\)
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,

પ્રશ્ન 5.
sin\(\left(\frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}\right)=\left(\frac{b-c}{a}\right)\) cos\(\frac{A}{2}\)
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,

પ્રશ્ન 6.
a (b cos C – c cos B) = b² – c²
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
a (cos C – cos B) = 2 (b – c) cos²\(\frac{A}{2}\).
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}=\frac{b^2-c^2}{a^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
(b + c) cos\(\left(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\right)\) = a cos\(\left(\frac{\mathbf{B}-\mathbf{C}}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,

પ્રશ્ન 10.
a cos A+ b cos B + c cos C = 2a sin B sin C
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\) = k
∴ a = k sin A, b = k sin B, c = k sin C
ડા.બા.
= a cos A + b cos B + c cos C
= k sin A cos A + k sin B cos B + k sin C cos C
= \(\frac{k}{2}\) (2 sin A cos A + 2 sin B cos B + 2 sin C cos C)
= \(\frac{1}{2}\)(sin 2A + sin 2B + 2 sin C cos C)
= \(\frac{1}{2}\)[2sin\(\left(\frac{2 A+2 B}{2}\right)\) cos\(\left(\frac{2 A-2 B}{2}\right)\) + 2 sin C cos C]
= \(\frac{k}{2}\)[2 sin (A + B) cos (A-B) + 2 sin C cos C]
= \(\frac{k}{2}\)[2 sin (π-C) cos (A-B) + 2 sin C cos C] ( A + B + C = π)
= \(\frac{k}{2}\)[2 sin C cos (A-B) + 2 sin C cos C]
= \(\frac{k}{2}\)[cos (A-B) + cos C] sin C
= k [cos (A-B) + cos {π- (A + B)}] sin C (A+B+C = π)
= k [cos (A-B) – cos (A + B)] sin C
= k [2 sin A sin B] sin C
= 2k sin A sin B sin C
= 2a sin B sin C
= જ.બા.

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2 a b c}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
(b² – c²) cot A + (c² – a²) cot B + (a² – b²) cot C = 0
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\) = k
∴ a = k sin A, b = k sin B, c = k sin C
હવે, (b² – c²) cot A
= (k² sin²B – k² sin²C) cot A
= k² (sin²B – sin²C) cot A
= k² (sin B + sin C) (sin B – sin C) cot A

= k² sin (B + C) sin (B – C) cot A
= k² sin (-A) sin (B – C)·cot A ( :: A + B + C = π)
= k² sin A sin (B – C) ·\(\frac{\cos A}{\sin A}\)
= k² cos A sin (B – C) (A + B + C = π)
= k² cos {π- (В + C)}· sin (B-C)
= k² [-cos (B + C) · sin (B – C)]
= –\(\frac{k^2}{2}\)[2 cos (B+ C) sin (B-C)]
= –\(\frac{k^2}{2}\)(sin 2B – sin 2C)
= \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2C – sin 2B)
તે જ રીતે, (c² – a²) cot B = \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2A – sin 2C)
અને (a² – b²) cot C = \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2B – sin 2A)
∴ ડા.બા.. = (b² – c²) cot A + (c² – a²) cot B+ (a² – b²) cot C
= \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2A – sin 2C) + \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2B sin 2A) + \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2C- sin 2B)
= \(\frac{k^2}{2}\)(sin 2C – sin 2B + sin 2A – sin 2C + sin 2B – sin 2A)
= \(\frac{k^2}{2}\) × 0
= જ.બા.

પ્રશ્ન 13.
\(\left(\frac{b^2-c^2}{a^2}\right)\) sin 2A + \(\left(\frac{c^2-a^2}{b^2}\right)\) sin 2B + \(\left(\frac{a^2-b^2}{a^2}\right)\)sin 2C = 0
ઉત્તરઃ
sin સૂત્ર પ્રમાણે,

અન્ય રીત :
sin સૂત્ર પ્રમાણે,

= sin 2C – sin 2B + sin 2A – sin 2C + sin 2B – sin 2A
= 0
= જ.બા.

પ્રશ્ન 14.
એક ટેકરી પર શિરોલંબ દિશામાં એક વૃક્ષ ઊભું છે. તે ક્ષિતિજ સાથે 15નો ખૂણો બનાવે છે. ટેકરી પરના વૃક્ષના તળિયેથી 35 મી નીચે આવેલા મેદાનના એક બિંદુએથી જોતાં વૃક્ષની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 60° માલૂમ પડે છે. વૃક્ષની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ધારો કે, વૃક્ષ BC છે. વૃક્ષના તળિયેથી ટેકરીનાં ઢોળાવ પર 35 મીટર અંતરે આવેલું બિંદુ P છે. ધારો કે, વૃક્ષની ઊંચાઈ h મીટર છે.

અહીં, ∠APB = 15° અને ∠APC = 60° આપેલ છે.
∴ ∠BPC = 60° – 15° = 45°
કાટકોણ ત્રિકોણ ACPમાં,
∠APC = 60°
∴ ∠ACP = ∠ BCP = 30°
ΔBPCમાં sin `સૂત્ર પ્રમાણે,
\(\frac{\mathrm{BC}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\mathrm{PB}}{\sin 30^{\circ}}\)
∴ \(\frac{h}{(1 / \sqrt{2})}=\frac{35}{(1 / 2)}\)
√2h = 70
∴ h = \(\frac{70}{\sqrt{2}}\) 35√2 મીટર
આમ, વૃક્ષની ઊંચાઈ 35√2 મીટર છે.

પ્રશ્ન 15.
બે જહાજ એકસાથે બંદર છોડે છે. એક જહાજ 24 કિમી / કલાકની ઝડપે ઈશાન દિશામાં અને બીજું 32 કિમી / કલાકની ઝડપે દક્ષિણથી પૂર્વ દિશા સાથે 75ના ખૂણે જાય છે. ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, ત્રણ કલાક બાદ જહાજ અનુક્રમે બિંદુ A અને B આગળ છે.
∠NOA = 45° અને ∠SOB = 75°
આકૃતિ પ્રમાણે ∠AOB = 45° + 15° = 60°
જહાજ Aની ઝડપ 24 કિમી / કલાક અને
જહાજ Bની ઝડપ 32 કિમી / કલાક છે.
∴ OA = 24 × 3 = 72
OB = 32 × 3 = 96
ધારો કે, ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર x કિમી છે.
∴ AB = x

cos સૂત્ર પ્રમાણે,

∴ x² = 14400 – 6912 = 7488
∴ x = 86.5 (લગભગ)
આમ, ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર 86.5 કિમી હશે.

પ્રશ્ન 16.
નદીની એક જ બાજુએ બે વૃક્ષ A અને B આવેલાં છે. નદીમાંના બિંદુ Cથી વૃક્ષ A અને B વૃક્ષનાં અંતર અનુક્રમે 250 મીટર અને 300 મીટર છે. જો ખૂણો C એ 45નો હોય, તો તે બે વૃક્ષ વચ્ચેનું અંતર શોધો. (√2 = 1.44)

ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ઝાડ A અને B વચ્ચેનું અંતર x મીટર છે.
∴ AB = x
CA = 250 મી, CB = 300 મી અને ∠C=45° આપેલ છે.
cos સૂત્ર પ્રમાણે,

∴ x² = 152500 – 106082.04 = 46417.96
∴ x = 215.5 (લગભગ)
આમ, બે ઝાડ વચ્ચેનું અંતર લગભગ 215.5 મીટર હશે.