GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.3

પ્રશ્ન 1.
નીચેના પૈકી કયો સંબંધ વિધેય છે? કારણ આપો. જો તે વિધેય હોય, તો તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
(1){(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(2){(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(3){(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
ઉત્તરઃ
(1) અહીં, સંબંધ R = {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 10, 17, 1)} આપેલ છે.
∴ 2, 5, 8, 11, 14, 17 એ Rના પ્રદેશના ઘટકો છે અને તે દરેક ઘટકને અનુરૂપ અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી આ સંબંધ R એ વિધેય છે.
આ વિધેયનો પ્રદેશ = {2, 5, 8, 11, 14, 17} અને વિસ્તાર = {1} છે.

(2) અહીં, સંબંધ R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)} આપેલ છે.
∴ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 એ Rના પ્રદેશના ઘટકો છે અને તે દરેક ઘટકને અનુરૂપ અનન્ય પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી આ સંબંધ R એ વિધેય છે.
આ વિધેયનો પ્રદેશ = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} અને વિસ્તાર = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

(3) અહીં, સંબંધ R = {{1, 3), (1, 5), (2, 5)} આપેલ છે. 1 અને 2 એ Rના પ્રદેશના ઘટકો છે.
અહીં, ના પ્રદેશના ઘટક 1ને બે પ્રતિબિંબ 3 અને 5 મળે છે. તેથી આ સંબંધ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 2.
નીચેનાં વાસ્તવિક વિધેયના પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો :
(1) f (x) = – |x|
ઉત્તરઃ
f(x) = − |x|
અહીં, બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે f(x) = − |x|
વ્યાખ્યાયિત થશે. fનો પ્રદેશ ર છે.
હવે, x ∈ R માટે |x| ≥0 થાય જ.
∴ – |x| ≤ 0
∴ f(x) ≤ 0
∴ fનો વિસ્તાર (– ∞, 0] છે.

(2) f (x) = \(\sqrt{9-x^2}\)
ઉત્તરઃ
f(x) = \(\sqrt{9-x^2}\)
અહીં, f (x) = \(\sqrt{9-x^2}\) વ્યાખ્યાયિત થવા માટે 9 – x² ≥ 0 હોવું જોઈએ.
∴ 9 ≥ x²
એટલે કે, x² ≤ 9
∴ x ∈ [-3, 3]
∴ fનો પ્રદેશ [–3, 3] છે.
હવ, x ∈ [-3, 3]
∴ -3 ≤ x ≤ 3
∴ 0 ≤ x² ≤ 9
∴ 0 ≤ x² ≤ 9
∴ 0 ≤ 9 – x² ≤ 9
∴ 0 ≤ \(\sqrt{9-x^2}\) ≤ 9
∴ 0 ≤ f(x) ≤ 3
fનો વિસ્તાર [0, 3] છે.

પ્રશ્ન 3.
f (x) = 2x – 5થી વ્યાખ્યાયિત વિધેય માટે નીચેની કિંમતો શોધો :
(1) f (0)
(2) f(7)
(3) f(-3)
ઉત્તરઃ
અહીં, f(x) = 2x – 5
(1) f(0) = 2(0) – 5 = -5
f(0) = -5

(2) f(7) = 2 (7) – 5 = 9
f(7) = 9

(3) f(− 3) = 2 (− 3) – 5 = -11
f(-3) = -11

પ્રશ્ન 4.
વિધેય ± એ સેલ્સિયસમાં ઉષ્ણતામાન અને ફેરનહીટમાં ઉષ્ણતામાન વચ્ચે રૂપાંતર કરતું સૂત્ર t(C) = \(\frac{9 c}{5}\) + 32 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો નીચેનાં મૂલ્યો શોધો :
(1) t (0)
(2) t (28)
(3) t(-10)
(4) જો t (C) = 212 હોય, તો C શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
નીચેનાં વિધેયોના વિસ્તાર શોધો :
(1) f(x) = 2 – 3x; x ∈ R, x > 0
(2) f (x) = x² + 2, x વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
(3) f (x) = x, x વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
ઉત્તરઃ
(1) f(x) = 2 – 3x, x ∈ R, x > 0
અહીં, x>0, x ∈ R
⇒ 3x > 0
⇒-3x < 0
⇒ 2 – 3x < 2
∴ f નો વિસ્તાર (– ∞, 2)

(2) અહીં, f (x) = x² + 2, x ∈ R
X ∈ R 2 x² ≥ 0
∴ x² + 2 ≥ 2
fનો વિસ્તાર [2, ∞)

(3) અહીં, f(x) = x, x ∈ R
x ∈ R હોવાથી f નો વિસ્તાર R થશે.