Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Ex 16.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Ex 16.2
પ્રશ્ન 1.
એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે, ઘટના E પાસા પર સંખ્યા 4 દર્શાવે છે’ અને ઘટના F પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા દર્શાવે છે’ શું E અને F પરસ્પર નિવારક છે?
ઉત્તરઃ
એક પાસો ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ E = {4}
અને F = {2, 4, 6}
∴ E ∩ F = {4} ≠ Φ
∴ E અને F પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 2.
એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓનું વર્ણન કરો:
(1) A: સંખ્યા 7 કરતાં નાની છે.
(2) B : સંખ્યા 7 કરતાં મોટી છે.
(3) C : સંખ્યા ૩નો ગુણક છે.
(4) D: સંખ્યા 4 કરતાં નાની છે.
(5) E : 4થી મોટી યુગ્મ સંખ્યા છે.
(6) F: સંખ્યા ૩ કરતાં નાની નથી.
તથા A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, B ∩ E, D ∩ E, A-C, D-E, E ∩ F’, F’ શોધો.
ઉત્તરઃ
એક પાસો ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
હવે..
(1) A : સંખ્યા 7 કરતાં નાની છે.
∴ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(2) B : સંખ્યા 7 કરતાં મોટી છે.
∴ B = Φ
(3) C : સંખ્યા 3નો ગુણક છે.
∴ C = {3, 6}
(4) D : સંખ્યા 4 કરતાં નાની છે.
∴ D = {1, 2, 3}
(5) E : 4થી મોટી યુગ્મ સંખ્યા છે.
∴ E = {6}
(6) F : સંખ્યા ૩ કરતાં નાની નથી.
∴ F = {3, 4, 5, 6}
∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ Φ
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ Φ
= Φ
B ∪ C = Φ ∪ {3, 6}
= {3, 6}
E ∩ F = {6} ∩ {3, 4, 5, 6}
= {6}
D ∩ E = {1, 2, 3} ∩ {6}
= Φ
A – C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {3, 6}
= {1, 2, 4, 5}
D – E = {1, 2, 3} – {6}
= {1, 2, 3}
E ∩F’ = {6} ∩ {3, 4, 5, 6}’
= {6} {1, 2}
F’ = {3, 4, 5, 6}’ = {1, 2}
પ્રશ્ન 3.
એક પ્રયોગમાં પાસાની એક જોડને ફેંકવામાં આવે છે અને તેમના ઉપર દેખાતી સંખ્યાઓની નોંધ કરવામાં આવે છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓનું વર્ણન કરો ઃ
A : સંખ્યાઓનો સરવાળો 8 કરતાં વધુ છે.
B : બંને પાસાઓ ઉપર સંખ્યા 2 દેખાય છે.
C : બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 7 છે અને 3નો ગુણિત છે.
આ ઘટનાઓની કઈ જોડની ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે?
ઉત્તરઃ
પાસાની એક જોડને ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {(1, 1), (1,2), (1,3), (1,4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (3, 1), (3,2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6, 6)}
એટલે કે, S = {(x, y) : x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
અહીં, A : સંખ્યાઓનો સરવાળો 8 કરતાં વધુ હોય.
∴ A = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B : બંને પાસાઓ ઉપર સંખ્યા 2 દેખાય.
∴ B = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}
C : બંને સંખ્યાઓનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 7 અને 3નો ગુણિત હોય.
∴ C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
અહીં, AB = Φ
· A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
B ∩ C = Φ
∴ B અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
A ∩ C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
= Φ
∴ A અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 4.
ત્રણ સિક્કાઓને એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. જો ત્રણ છાપ દેખાય તેને ઘટના A, બે છાપ અને એક કાંટો દેખાય તેને ઘટના B, ત્રણ કાંટા દેખાય તેને ઘટના C અને પહેલા સિક્કા ઉપર છાપ દેખાય તેને ઘટના D દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. કઈ ઘટનાઓ (1) પરસ્પર નિવારક છે? (2) પ્રાથમિક છે? (3) સંયુક્ત છે?
ઉત્તરઃ
ત્રણ સિક્કાઓને એક વાર ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
અહીં, A : ત્રણ છાપ દેખાય.
∴ A = {HHH}
B: બે છાપ અને એક કાંટો દેખાય.
∴ B = {HHT, HTH, THH}
C: ત્રણ કાંટા દેખાય.
∴ C = {TTT}
D: પહેલા સિક્કા ઉપર છાપ દેખાય.
∴ D = {HHH, HHT, HTH, HTT}
(1) A ∩ B = Φ
∴ A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
A ∩ C = Φ
∴ A અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
B ∩ C = Φ
∴ B અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
C ∩ D = Φ
∴ C અને D પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
(2) ઘટનાઓ A અને Cમાં એક જ નિદર્શ બિંદુ છે.
∴ A અને C પ્રાથમિક ઘટનાઓ છે.
(3) ઘટનાઓB અને Dમાં એક કરતાં વધુ નિદર્શ બિંદુઓ છે.
∴ B અને D સંયુક્ત ઘટનાઓ છે.
પ્રશ્ન 5.
ત્રણ સિક્કા એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. નીચેની ઘટનાઓનું વર્ણન કરો ઃ
(1) પરસ્પર નિવારક બે ઘટનાઓ
(2) પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ત્રણ ઘટનાઓ
(૩) પરસ્પર નિવારક ન હોય તેવી બે ઘટનાઓ
(4) પરસ્પર નિવારક છે, પરંતુ નિઃશેષ ન હોય તેવી બે ઘટનાઓ
(5) પરસ્પર નિવારક હોય પણ નિઃશેષ ન હોય તેવી ત્રણ ઘટનાઓ
ઉત્તરઃ
ત્રણ સિક્કાને એક વાર ઉછાળવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
(1) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએ :
A : એક છાપ અને બે કાંટા મળે.
∴ A = {HTT, THT, TTH}
અને B : એક કાંટો અને બે છાપ મળે.
∴ B = {HHT, HTH, THH}
∴ A ∩ B = Φ
∴ A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
(2) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએ :
A : એક છાપ મળે.
B : ત્રણ કાંટા મળે.
C : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
∴ A = {HTT, THT, TTH}
B = = {TTT}
C = {HHT, HTH, THH, HHH}
∴ A ∩ B = B ∩ C = A ∩ C = અને A ∪ B ∪ C = S
∴ A, B, C પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે.
(3) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએઃ
A : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
B : બરાબર બે છાપ મળે.
∴ A = {HHT, HTH, THH, HHH}
B = {HHT, HTH, THH}
∴ A ∩ B = {HHT, HTH, THH} ≠ Φ
∴ A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
(4) નીચે પ્રમાણેની ઘટનાઓ લઈએ ઃ
A : બરાબર એક છાપ મળે.
B : બરાબર બે છાપ મળે.
∴ A = {HTT, THT, TTH}
B = {HHT, HTH, THH}
∴ A ∩ B = Φ અને A ∪ B
{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH} = S
∴ A અને B પરસ્પર નિવારક છે, પરંતુ નિઃશેષ નથી.
(5) ધારો કે ઘટના,
A : બરાબર એક છાપ મળે.
B : બરાબર બે છાપ મળે.
C: બરાબર ત્રણ છાપ મળે.
∴ A = {HTT, THT, TTH}
B = {HHT, HTH, THH}
C = {HHH}
∴ A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = Φ અને
A ∪ B ∪ C
= {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH} ≠ S
∴ A, B, C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે, પણ નિઃશેષ ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 6.
બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવે છે. ઘટનાઓ A, B અને C નીચે આપેલ છે :
A: પહેલા પાસા ઉપર યુગ્મ સંખ્યા મળે છે.
B: પહેલા પાસા ઉપર અયુગ્મ સંખ્યા મળે છે.
C: પાસાઓ ઉપર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો 5 કે 5થી ઓછો છે.
નીચે આપેલ ઘટનાઓ વર્ણવોઃ
(1) A’
(2) B-નહિ
(3) A અથવા B
(4) A અને B
(5) A પરંતુ C નહીં
(6) B અથવા C
(7) B અને C
( 8 ) A ∩ B’ ∩ C
ઉત્તરઃ
બે પાસાઓ ફેંકવામાં આવતા મળતો નિદર્શાવકાશ :
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
એટલે કે, S = {(x, પુ) : x, y = 1, 2, 3, 4, 5, 6}
હવે, A : પહેલા પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા મળે તે ઘટના છે.
∴ A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B: પહેલા પાસા પર અયુગ્મ સંખ્યા મળે તે ઘટના છે.
∴ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), . (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} C : પાસાઓ ઉપર મળતી સંખ્યાનો સરવાળો 5 કે તેથી ઓછો હોય તે ઘટના છે.
∴ C = {1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
(1) A’ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
= B
(2) B નહિ, એટલે કે B’ = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
= A
(3) A અથવા B = A ∪ B
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = S
(4) A અને B = A ∩ B = Φ
(5) A પરંતુ C – નહીં = A – C
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
(6) B અથવા C = B ∪ C
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
(7)B અને C = B ∩ C
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)}
(8) A ∩ B’ ∩ C’ = A ∩ A ∩ C’ … [(2) પરથી]
= A ∩ C’
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
પ્રશ્ન 7.
ઉપર્યુક્ત પ્રશ્ન 6 પરથી નીચે આપેલાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો (તમારા જવાબનું કારણ આપો) :
(1) A અને B પરસ્પર નિવારક છે.
(2) A અને B પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ છે.
(3) A = B’
( 4) A અને C પરસ્પર નિવારક છે.
(5) A અને B′ પરસ્પર નિવારક છે.
(6) A’, B’ અને C પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ છે.
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 6ના ઉકેલ મુજબ,
(1) A ∩ B = 0
∴ A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે. આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.
(2) A ∩ B = Φ અને A ∪ B = S
∴ A અને B પરસ્પર નિવારક અને નિશેષ ઘટનાઓ છે. આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.
(3) A = B’ = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.
(4) A ∩ C = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)} ≠ Φ
A અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી. આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.
(5) A = B’ ∴ A ∩ B’ ≠ Φ
∴ A અને B′ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી. આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.
(6) A = B′ અને A’ = B
∴ B’ ∩ C = A ∩ C
= {2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)} ≠ Φ
અને A’ ∩ C = B ∩ C = {{1, 1), (1 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)} ≠ Φ
∴ A’, B’ અને C પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી. આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.