GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.1

પ્રશ્ન 1.
યામ-સમતલમાં – 4, 5), (0, 7), (5, – 5) અને (– 4, – 2) શિરોબિંદુઓવાળો ચતુષ્કોણ દોરો અને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (– 4, 5), B (0, 7), C (5, – 5) અને D (– 4, − 2) ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
યામ-સમતલમાં ચતુષ્કોણ ABCD નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ

ચતુષ્કોણ ABCDનું ક્ષેત્રફળ
= ΔABCનું ક્ષેત્રફળ + ΔACDનું ક્ષેત્રફળ
= $\frac{1}{2}$|-4 (7+5)+0(- 5 − 5) + 5 (5 − 7)| +$\frac{1}{2}$|-4(-5+2)+ 5 (−2 −5) − 4 (5 + 5)|
= $\frac{1}{2}$|- 4 (12) + 0 + 5 (-2)| + $\frac{1}{2}$ |− 4 (− 3) + 5 (− 7) − 4 (10)|
= $\frac{1}{2}$|-48 – 10| + $\frac{1}{2}$|12 – 35 – 40|
= $\frac{1}{2}$ (58) + $\frac{1}{2}$ (63)
= $\frac{121}{2}$ ચોરસ એકમ

પ્રશ્ન 2.
એક સમબાજુ ત્રિકોણનો પાયો X-અક્ષ પર એવી રીતે આવેલો છે કે તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ છે. આ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ 20 હોય, તો તેનાં શિરોબિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ

ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે,
ધારો કે, સમબાજુ ત્રિકોણ ABCનો પાયો AB Y-અક્ષ પર આવેલો છે અને તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ છે.
હવે, સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 24 છે.
∴ AB = 21
∴ OA = a અને OB = a
A (0, a) અને B (0, – a) થશે.
ΔABC સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી શિરોબિંદુ C એ $\overline{\mathrm{AB}}$નાં લંબદ્વિભાજક પર હોય. આથી અહીં, બિંદુ X-અક્ષ પર હશે.
ધારો કે, C (x, O) છે. વળી, AC = ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ = 2a છે.
AC = 2a
∴ $\sqrt{(x-0)^2+(0-a)^2}$ = 2a
∴ x² + a² = 4a²
∴ x² = 3a²
∴ x = + 3 a
∴ C (√3 a, 0) અથવા C (−√3a, 0) થશે.
આમ, ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ (0, a), (0, – a) અને (√3 a, 0) અથવા (0, a), (0, – a) અને (− √3a, 0) થશે.

પ્રશ્ન 3.
જ્યારે (i) Pg, Y-અક્ષને સમાંતર હોય (ii) Pg, X-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે બિંદુઓ P (x₁, y₁) અને (x₂, y₂) વચ્ચેનું અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
P (x₁, y₁) અને (x₂, y₂) હોય, તો
PQ = $\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$ …………………….. (1)

(i) P, Y-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે બિંદુ P અને ઊના × યામ સમાન હોય.
આથી પરિણામ (1)માં x₁ = x₂ લેતાં,
PQ = $\sqrt{0+\left(y_2-y_1\right)^2}$
∴ PQ = |y₂ – y₁|

(ii) PQ, X-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે બિંદુ P અને છુના y યામ સમાન હોય.
આથી પરિણામ (1)માં y₁ = y₂ લેતાં,
PQ = $\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+0}$
∴ PQ = |x₂ − x₁|

પ્રશ્ન 4.
(7, 6) અને (3, 4)થી સમાન અંતરે હોય એવું X-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (7, 6) અને B (3, 4) છે.
ધારો કે, P (x, O) બિંદુ A અને Bથી સમાન અંતરે આવેલું X-અક્ષ પરનું બિંદુ છે.
∴ PA = PB
∴ $\sqrt{(x-7)^2+(0-6)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}$
∴ x – 14x + 49 + 36 = x – 6x + 9 + 16
∴ −14x + 85 = – 6x + 25
∴ – 8x = – 60
∴ x = $\frac{15}{2}$
∴ માગેલ બિંદુ ($\frac{15}{2}$, o) છે.

પ્રશ્ન 5.
P (0, − 4) અને B (8, 0)ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ અને ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, P (0, − 4) અને B (8, 0)ને જોડતા રેખાખંડનું
∴ મધ્યબિંદુ M (x, y) છે.
∴ x = $\frac{0+8}{2}$ = 4 અને y = $\frac{-4+0}{2}$ = -2
∴ M (4, − 2) થશે.
હવે, ઊગમબિંદુ O (0, 0) છે.
∴ રેખા OMનો ઢાળ = $\frac{-2-0}{4-0}$ (∵ ઢાળ = $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$)
= $\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2}$
આમ, માગેલ રેખાનો ઢાળ = $\frac{-1}{2}$

પ્રશ્ન 6.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યા વગર બતાવો કે (4, 4), (3, 5) અને (−1, −1) કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (4, 4), B (3, 5) અને C (– 1, − 1) એ ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.

∴ રેખાખંડ ABનો ઢાળ X રેખાખંડ ACનો ઢાળ = – 1 × 1 = -1
∴ રેખાખંડ AB એ રેખાખંડ ACને લંબ છે.
∴ ∠BAC કાટખૂણો છે.
∴ ΔABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

પ્રશ્ન 7.
એક રેખા Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30નો ખૂણો બનાવે, તો તે રેખાનો ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે રેખા Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30નો ખૂણો બનાવે છે.

∴ આ રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં θ = 120°નો ખૂણો બનાવશે.
∴ રેખાનો ઢાળ = tan θ
= tan 120°
= tan (180° – 60°)
= – tan 60°
= -√3
આમ, આપેલી રેખાનો ઢાળ -√3 છે.

પ્રશ્ન 8.
જો બિંદુઓ (x, – 1), (2, 1) અને (4, 5) સમરેખ હોય, તો ની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (x, 1), B (2, 1) અને C (4, 5) સમરેખ બિંદુઓ છે.
∴ ABનો ઢાળ = BCનો ઢાળ

પ્રશ્ન 9.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વગર બતાવો કે (– 2, − 1), (4, 0), (3, 3) અને (−3, 2) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (– 2, − 1), B (4, 0), C (3, 3) અને D (– 3, 2) ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.

અહીં, ABનો ઢાળ = CDનો ઢાળ અને
BCનો ઢાળ = ADનો ઢાળ
∴ AB || CD BC || AD
∴ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

પ્રશ્ન 10.
(3, − 1) અને B (4, – 2)ને જોડતી રેખા અને X-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (3, − 1) અને B (4, − 2) છે.
∴ ABનો ઢાળ = $\frac{-2-(-1)}{4-3}=\frac{-1}{1}$ = -1
ધારો કે, રેખા AB, X-અક્ષની સાથે 6 માપનો ખૂણો બનાવે છે.
∴ રેખા ABનો ઢાળ = tan θ = – 1
∴ tan θ = – tan 45° = tan (180° – 45°) = tan 135°
∴ θ = 135°
આમ, માગેલ ખૂણાનું માપ 135° છે.

પ્રશ્ન 11.
જો બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ ૮ હોય અને tan o = હોય અને બે રેખાઓ પૈકીની એક રેખાનો ઢાળ બીજી રેખાના ઢાળ કરતાં બે ગણો હોય તો તે બે રેખાઓના ઢાળ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, એક રેખાનો ઢાળ m છે.
∴ બીજી રેખાનો ઢાળ 2m થશે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ જ છે.

∴ 3m = 1 + 2m² અથવા −3m = 1 + 2m²
∴ 2m² – 3m + 1 = 0 અથવા 2m² + 3m + 1 = 0
∴ (m – 1) (2m − 1) = 0 અથવા (m + 1) (2m + 1) = 0
∴ m = 1 અથવા m = $\frac{1}{2}$ અથવા m = – 1 અથવા m = –$\frac{1}{2}$

હવે, બે રેખાઓના ઢાળ m અને 2m છે.
mની કિંમતો 1, $\frac{1}{2}$, − 1 અને −$\frac{1}{2}$ લેતાં,
માગેલી બે રેખાઓના ઢાળ (1 અને 2) અથવા ($\frac{1}{2}$ અને 1) અથવા (−1 અને −2) અથવા (−$\frac{1}{2}$ અને -1) છે.

પ્રશ્ન 12.
એક રેખા (x₁, y₁) અને (h, k)માંથી પસાર થાય છે. જો આ રેખાનો ઢાળ m હોય, તો સાબિત કરો કે k – y₁ = m (h – x₁).
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (x₁, y₁) અને B(h, k)માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ m છે.
∴ રેખા ABનો ઢાળ = $\frac{k-y_1}{h-x_1}$ = m
∴ k – y₁ = m (h − x₁)
આમ, માગેલું પરિણામ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 13.
જો ત્રણ બિંદુઓ (h, 0), (a, b) અને (0, k) એક રેખા પર આપેલા હોય, તો સાબિત કરો કે $\frac{a}{h}+\frac{b}{k}$ = 1.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (h, 0), B (a, b) અને C (0, k) એક રેખા પર આવેલા છે.
∴ ABનો ઢાળ = BCનો ઢાળ
∴ $\frac{b-0}{a-h}=\frac{k-b}{0-a}$
∴ $\frac{b}{a-h}=\frac{k-b}{-a}$
∴ -ab = (k – b) (a – h)
∴ – ab = ak – hk – ab + bh
∴ 0 = ak – hk + bh
∴ ak + bh = hk
∴ $\frac{a k}{h k}+\frac{b h}{h k}$ = 1
∴ $\frac{a}{h}+\frac{b}{k}$ = 1

પ્રશ્ન 14.
વસ્તી અને સંગત વર્ષનો એક આલેખ નીચે આપેલ છે. રેખા ABનો ઢાળ શોધો અને તેનો ઉપયોગ કરી વર્ષ 2010માં વસ્તી કેટલી હશે તે શોધો.

ઉત્તરઃ
અહીં, A (1985, 92) અને B (1995, 97) રેખા પર આવેલાં બે બિંદુઓ છે.
∴ રેખા ABનો ઢાળ = $\frac{97-92}{1995-1985}$
= $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$
ધારો કે, વર્ષ 2010માં વસ્તી x કરોડ હશે.
હવે, બિંદુ C (2010, x) એ રેખા AB ૫ર આવે.
∴ A, B, C સમરેખ બિંદુઓ છે.
∴ ABનો ઢાળ = BCનો ઢાળ
∴ $\frac{1}{2}=\frac{x-97}{2010-1995}$
∴ $\frac{1}{2}=\frac{x-97}{15}$
∴ 15 = 2x – 194
∴ 2x = 209
∴ x = 104.5
આમ, વર્ષ 2010માં વસ્તી 104.5 કરોડ હશે.