GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4

પ્રશ્ન 1.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sin A, sec A અને tan A ને cot Aના પદોમાં દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
sin A = \(\frac{1}{\{cosec} A}=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}\)
(∵ cosec² A = 1 + cot² A)

sec A = \(\sqrt{1+\tan ^{2} A}=\sqrt{1+\frac{1}{\cot ^{2} A}}=\frac{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}{\cot A}\)

tan A = \(\frac{1}{\cot \mathrm{A}}\)

આમ, sin A = \(\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}}\), sec A = \(\frac{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}{\cot A}\)

અને tan A = \(\frac{1}{\cot \mathrm{A}}\)

પ્રશ્ન 2.
ખૂણા A ના ખધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sec Aના પદોમાં દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
tan A = \(\sqrt{\sec ^{2} \mathrm{~A}-1}\)

cot A = \(\frac{1}{\tan \mathrm{A}}=\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} \mathrm{~A}-1}}\)

cosec² A = 1 + cot² A
= 1 + \(\frac{1}{\sec ^{2} A-1}=\frac{\sec ^{2} A}{\sec ^{2} A-1}\)

∴ cosec A = \(\frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}\)

cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)

sin² A = 1 – cos² A
= 1 – \(\frac{1}{\sec ^{2} A}=\frac{\sec ^{2} A-1}{\sec ^{2} A}\)

આમ, sin A = \(\), cos A = \(\frac{1}{\sec A}\)

tan A = \(\sqrt{\sec ^{2} A-1}\), cot A = \(\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}\) અને

cosec A = \(\frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}\)

પ્રશ્ન 3.
કિંમત શોધો :
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
ઉત્તરઃ
= \(\frac{\cos ^{2}\left(90^{\circ}-63^{\circ}\right)+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-73^{\circ}\right)}\)

= \(\frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ}}\)

= \(\frac{1}{1}\) [∵ sin² θ + cos² θ = 1] = 1

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
ઉત્તરઃ
= sin 25° sin (90° – 65°) + cos 25° cos (90° – 65°)
= sin 25° sin 25° + cos 25° cos 25°
= sin² 25° + cos² 25° = 1 (∵ sin² θ + cos² θ = 1)

પ્રશ્ન 4.
સાથો વિકષ્પ પસંદ કરો અને તમા પસંદગીની યથાર્થતા યકસો
(i) 9 sec² A – 9 tan² A = ……………..
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 9
ઉત્તરઃ
9 sec² A – 9 tan² A = 9 (sec² A – tan² A)
= 9 (1)
= 9
આથી સાથો વિકષ્પ (B) 9 છે.

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) = ……………….
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
ઉત્તરઃ
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) =

આથી સાથો વિકષ્પ (C) 2 છે.

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) = …………..
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
ઉત્તરઃ
(sec A + tan A) (1 – sin A) = \(\left(\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\right)\) (1 – sin A)

= \(\left(\frac{1+\sin A}{\cos A}\right)\) (1 – sin A)

= \(\frac{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}}\)

= \(\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}}\) = cos A
આથી સાથો વિકષ્પ (D) cos A છે.

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\) = ……………
(A) sec A
(B) -1
(C) cot A
(D) tan A
ઉત્તરઃ
\(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\) = \(\frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{{cosec}^{2} \mathrm{~A}}\)

= \(\frac{\left(\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}\right)}{\left(\frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}\right)}\)

= \(\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}\) = tan² A
આથી સાચો વિકલ્પ (D) tan A છે.

પ્રશ્ન 5.
નીચેના નિત્યસમોમાં જેમના માટે પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તે ખૂણા લઘુકોણ છે. આ નિત્યસમો સાબિત કરો:

(i) (cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)

(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}\) = 2 sec A

(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + sec θ cosec θ
[સૂચનઃ પદાવલિને sin θ અને cos θ ના સ્વરૂપે લખો.]

(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
[સૂિચનઃ ડો.બા. અને જ.બા.નું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.].

(v) નિત્યસમ cosec² A = 1 + cot² A નો ઉપયોગ કરીને \(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\) = cosec A + cot A સાબિત કરો

(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\) = sec A + tan A

(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\) = tan θ

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A

(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
[સૂચનઃ ડો.બા. અને જ.બા.નું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.].

(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}\) = tan² A.

ઉત્તરઃ
(i) ડા.બા. = (cosec θ – cot θ)²

(ii) ડા.બા. = \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}\)

(iii) ડા.બા. = \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\)

(iv) જ.બા = \(\frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{1-\cos \mathrm{A}}\)

(v) ડા.બા =  \(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\)

(vi) ડા.બા. = \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}\)

(vii) ડા.બા. = \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\)

(viii) ડા.બા. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + 2 sin A cosec A + cosec² A + cos² A + 2 cos A sec A + sec² A
= sin² A + 2(1) + (1 + cot² A) + cos² A + 2(1) + (1 + tan²A)
= (sin² A + cos² A) + 2 + 1 + cot² A + 2 + 1 + tan² A
= 1 + 2 + 1 + cot² A + 2 + 1 + tan² A
= 7 + tan² A + cot² A
= જ.બા.

(ix) ડા.બા. = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)

(x) ૫હેલો ભાગ = \(\left(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)\)