Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.4
પ્રશ્ન 1.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sin A, sec A અને tan A ને cot Aના પદોમાં દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
sin A = \frac{1}{\{cosec} A}=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}
(∵ cosec2 A = 1 + cot2 A)
sec A = \sqrt{1+\tan ^{2} A}=\sqrt{1+\frac{1}{\cot ^{2} A}}=\frac{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}{\cot A}
tan A = \frac{1}{\cot \mathrm{A}}
આમ, sin A = \frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}}, sec A = \frac{\sqrt{\cot ^{2} A+1}}{\cot A}
અને tan A = \frac{1}{\cot \mathrm{A}}
પ્રશ્ન 2.
ખૂણા A ના ખધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર sec Aના પદોમાં દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
tan A = \sqrt{\sec ^{2} \mathrm{~A}-1}
cot A = \frac{1}{\tan \mathrm{A}}=\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} \mathrm{~A}-1}}
cosec2 A = 1 + cot2 A
= 1 + \frac{1}{\sec ^{2} A-1}=\frac{\sec ^{2} A}{\sec ^{2} A-1}
∴ cosec A = \frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}
cos A = \frac{1}{\sec A}
sin2 A = 1 – cos2 A
= 1 – \frac{1}{\sec ^{2} A}=\frac{\sec ^{2} A-1}{\sec ^{2} A}
આમ, sin A = , cos A = \frac{1}{\sec A}
tan A = \sqrt{\sec ^{2} A-1}, cot A = \frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}} અને
cosec A = \frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}
પ્રશ્ન 3.
કિંમત શોધો :
(i) \frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
(i) \frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}
ઉત્તરઃ
= \frac{\cos ^{2}\left(90^{\circ}-63^{\circ}\right)+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-73^{\circ}\right)}
= \frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ}}
= \frac{1}{1} [∵ sin2 θ + cos2 θ = 1] = 1
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
ઉત્તરઃ
= sin 25° sin (90° – 65°) + cos 25° cos (90° – 65°)
= sin 25° sin 25° + cos 25° cos 25°
= sin2 25° + cos2 25° = 1 (∵ sin2 θ + cos2 θ = 1)
પ્રશ્ન 4.
સાથો વિકષ્પ પસંદ કરો અને તમા પસંદગીની યથાર્થતા યકસો
(i) 9 sec2 A – 9 tan2 A = ……………..
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 9
ઉત્તરઃ
9 sec2 A – 9 tan2 A = 9 (sec2 A – tan2 A)
= 9 (1)
= 9
આથી સાથો વિકષ્પ (B) 9 છે.
(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) = ……………….
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
ઉત્તરઃ
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) =
આથી સાથો વિકષ્પ (C) 2 છે.
(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) = …………..
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A
ઉત્તરઃ
(sec A + tan A) (1 – sin A) = \left(\frac{1}{\cos A}+\frac{\sin A}{\cos A}\right) (1 – sin A)
= \left(\frac{1+\sin A}{\cos A}\right) (1 – sin A)
= \frac{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}}
= \frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}} = cos A
આથી સાથો વિકષ્પ (D) cos A છે.
(iv) \frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A} = ……………
(A) sec A
(B) -1
(C) cot A
(D) tan A
ઉત્તરઃ
\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A} = \frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{{cosec}^{2} \mathrm{~A}}
= \frac{\left(\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}\right)}{\left(\frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}\right)}
= \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = tan2 A
આથી સાચો વિકલ્પ (D) tan A છે.
પ્રશ્ન 5.
નીચેના નિત્યસમોમાં જેમના માટે પદાવલિ વ્યાખ્યાયિત કરી છે, તે ખૂણા લઘુકોણ છે. આ નિત્યસમો સાબિત કરો:
(i) (cosec θ – cot θ)2 = \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
(ii) \frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A} = 2 sec A
(iii) \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} = 1 + sec θ cosec θ
[સૂચનઃ પદાવલિને sin θ અને cos θ ના સ્વરૂપે લખો.]
(iv) \frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}
[સૂિચનઃ ડો.બા. અને જ.બા.નું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.].
(v) નિત્યસમ cosec2 A = 1 + cot2 A નો ઉપયોગ કરીને \frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1} = cosec A + cot A સાબિત કરો
(vi) \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}} = sec A + tan A
(vii) \frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta} = tan θ
(viii) (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2 = 7 + tan2 A + cot2 A
(ix) (cosec A – sin A) (sec A – cos A) = \frac{1}{\tan A+\cot A}
[સૂચનઃ ડો.બા. અને જ.બા.નું અલગ અલગ સાદું રૂપ આપો.].
(x) \left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2} = tan2 A.
ઉત્તરઃ
(i) ડા.બા. = (cosec θ – cot θ)2
(ii) ડા.બા. = \frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}
(iii) ડા.બા. = \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}
(iv) જ.બા = \frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{1-\cos \mathrm{A}}
(v) ડા.બા = \frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}
(vi) ડા.બા. = \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}
(vii) ડા.બા. = \frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}
(viii) ડા.બા. = (sin A + cosec A)2 + (cos A + sec A)2
= sin2 A + 2 sin A cosec A + cosec2 A + cos2 A + 2 cos A sec A + sec2 A
= sin2 A + 2(1) + (1 + cot2 A) + cos2 A + 2(1) + (1 + tan2A)
= (sin2 A + cos2 A) + 2 + 1 + cot2 A + 2 + 1 + tan2 A
= 1 + 2 + 1 + cot2 A + 2 + 1 + tan2 A
= 7 + tan2 A + cot2 A
= જ.બા.
(ix) ડા.બા. = (cosec A – sin A) (sec A – cos A)
(x) ૫હેલો ભાગ = \left(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)