Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.3
પ્રશ્ન 1.
આપેલ આકૃતિમાં આપેલ ત્રિકોણો પૈકી કઈ જોડીના ત્રિકોણો સમરૂપ છે, તે જણાવો. પ્રશ્નનો જવાબ આપવા કઈ સમરૂપતાની શરતનો ઉપયોગ કર્યો તે લખો અને સમરૂપ ત્રિકોણની જોડીઓને સંકેતમાં લખો:
(i) 
ઉત્તરઃ
∆ ABC અને ∆ PQRમાં,
∠A = ∠P = 60°,
∠B = ∠Q = 80° અને
∠C = ∠R = 40°
ખૂખૂબૂ શરત અનુસાર, ∆ ABC ~ ∆ PQR
(ii) 
ઉત્તરઃ
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\),
\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RP}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\) અને
\(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PQ}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)આમ, \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{RP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PQ}}\)
∴ બાબાબા શરત અનુસાર, ∆ ABC ~ ∆ BRP
(iii) 
ઉત્તરઃ
ના, આપેલ ત્રિકોણો સમરૂપ નથી, કારણ કે,
\(\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}\) , \(\frac{\mathrm{LP}}{\mathrm{DF}}=\frac{1}{2}\)
પરંતુ \(\frac{\mathrm{LM}}{\mathrm{EF}}=\frac{2.7}{5} \neq \frac{1}{2}\)
(iv) 
ઉત્તરઃ
∆ MNL અને ∆ QPRમાં,
\(\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{QP}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\),
\(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{QR}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) અને
∠M = ∠Q = 70°
બાખૂબા શરત અનુસાર, ∆ MNL ~ ∆ QPR
(v) 
ઉત્તરઃ
ના, આપેલ ત્રિકોણો સમરૂપ નથી, કારણ કે બે આપેલ બાજુઓનાં માપ પ્રમાણમાં છે, પરંતુ તે બાજુઓને અંતર્ગત ખૂણા સમાન નથી.
(vi) 
ઉત્તરઃ
∆ DEFમાં, ∠D = 70°, ∠E = 80°
∠F = 180° – 70° – 80° = 30°
∆ PQRમાં, ∠Q = 80° , ∠R = 30°
∴ ∠P = 180° – 80° – 30° = 70°
B414, ∆ DEF અને ∆ PQRમાં,
∠D = ∠P, ∠E = ∠Q અને ∠F = ∠R
∴ ખૂખૂબૂ શરત અનુસાર, ∆DEF ~ ∆PQR
પ્રશ્ન 2.
આપેલ આકૃતિમાં, ∆ ODC ~ ∆ OBA, ∠BOC = 125 અને ∠CDO = 70° હોય, તો ∠DOC, ∠DCO અને ∠OAB શોધો.
ઉત્તરઃ
∆ DOCમાં, ∠COB બહિષ્કોણ છે.
∠COB + ∠DOC = 180°
125 + ∠DOC = 180°
∠DOC = 55°
વળી, ∠COB = ∠ODC + ∠DCO
125° = 70° + ∠DCO
∠DCO = 55°
હવે, ∆ ODC ~ ∆ OBA
∠OAB = ∠OCD
∠OAB = 55°
આમ, ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° અને ∠OAB = 55.
પ્રશ્ન 3.
સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં AB || DC છે. વિકર્ણો AC અને BD એકબીજાને બિંદુ 0માં છેદે છે. હવે ત્રિકોણોની સમરૂપતાનો ઉપયોગ કરી સાબિત કરો કે, = \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\).
ઉત્તરઃ
પક્ષ: સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB || DC છે. વિકણ AC અને BD એકબીજાને 2 બિંદુમાં છેદે છે.
સાધ્ય: \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\)
સાબિતી: સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB || CD.
∴ ∠CAB = ∠ACD અને ∠DBA = ∠BDC (યુગ્મકોણ) ……….. (1)
હવે, ∆ OAB અને ∆ OCDમાં,
∠OAB = ∠OCD અને ∠OBA = ∠ODC ((1) મુજબ) .
ખૂબૂ શરત અનુસાર, ∆ CAB ~ ∆ OCD.
∴ \(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\).
પ્રશ્ન 4.
આપેલ આકૃતિમાં, \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}\) અને ∠1 = ∠2.
સાબિત કરો કે, ∆ PQS ~ ∆ TQR.
ઉત્તરઃ
∆PQRમાં, ∠1 = ∠2, એટલે કે, ∠PQR = ∠PRQ
∴ PR = QP
હવે, \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QP}}\)
∆ TORમાં, P અને s અનુક્રમે 9T અને QR પરનાં બિંદુઓ છે તથા \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QP}}\).
પ્રમેય 6.2 મુજબ, SP || RT.
∠QPS = ∠QTR અને ∠QSP = ∠QRT (અનુકોણો)
હવે, ∆ PQS અને ∆ TQRમાં,
∠QPS = ∠OTR,
∠QSP = ∠QRT અને ∠PQs = ∠TQR (એક જ ખૂણો)
. ખૂખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ PQS ~ ∆ TQR.
પ્રશ્ન 5.
∆PQR ની બાજુઓ PR અને QR પર બિંદુઓ S અને T એવાં છે કે જેથી ∠P = ∠RTS. સાબિત કરો કે, ∆RPQ ~ ∆RTS.
ઉત્તરઃ
પક્ષ : ∆PQRની બાજુઓ PR અને QR પર બિંદુઓ અને T એવાં છે કે જેથી ∠P = ∠RTS.
સાધ્ય: : ∆ RPQ ~ ∆ RTS
સાબિતી: ∠P = ∠RTS
∴ ∠RPQ = ∠RTS.
∆ RPQ અને ARTSHI,
∴ ∠RPQ = ∠RTS અને
∠PRO = ∠TRS (એક જ ખૂણો)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ RPQ ~ ∆ RTS.
પ્રશ્ન 6.
આપેલ આકૃતિમાં, જો ∆ ABE ≅ ∆ ACD હોય, તો સાબિત કરો કે ∆ ADE ~ ∆ ABC.
ઉત્તરઃ
∆ABE ≅ ∆ACD (આપેલ છે.)
AB = AC અને AE = AD (CPCT)
હવે, ∆ADE અને ∆ABCમાં,
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}\)
અને ∠DAE = ∠BAC (એક જ ખૂણો)
∴ બાખૂબા શરત મુજબ, ∆ADE ~ ∆ABC.
પ્રશ્ન 7.
આપેલ આકૃતિમાં, AABCના વેધ AD અને CE એકબીજાને P બિંદુમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે,
(i) ∆ AEP ~ ∆ CDP
(ii) ∆ ABD ~ ∆ CBE
(iii) ∆ AEP ~ ∆ ADB
(iv) ∆ PDC ~ ∆ BEC
ઉત્તરઃ
(i) ∆ AEP અને ∆ CDP માં,
∠AEP = ∠CDP (કાટખૂણા)
∠EPA = ∠DPC (અભિકોણો)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ AEP ~ ∆ CDP.
(ii) ∆ ABD અને ∆ CBE માં,
∠ABD = ∠CBE (એક જ ખૂણો)
∠ADB = ∠CEB (કાટખૂણા)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABD ~ ∆ CBE.
(iii) ∆ AEP અને ∆ ADB માં,
∠AEP = ∠ADB (કાટખૂણા) ∠EAP = ∠DAB (એક જ ખૂણો)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ AEP ~ ∆ ADB.
(iv) ∆ PDC અને ∆ BEC માં,
∠PDC =∠BEC (કાટખૂણા)
∠PCD = ∠BCE (એક જ ખૂણો)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ PDC ~ ∆ BEC.
પ્રશ્ન 8.
બિંદુ E એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD ની લંબાવેલ બાજુ AD પરનું બિંદુ છે. BE એ CDને Fમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે, ∆ ABE ~ ∆ CFB.
ઉત્તરઃ
પક્ષ: બિંદુ E એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD ની લંબાવેલ બાજુ AD પરનું બિંદુ છે. BE એ CDને Fમાં છેદે છે.
સાધ્ય: ∆ ADE ~ ∆ CFB
સાબિતી: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDમાં,
∠A = ∠C (સામસામેના ખૂણા) :
∠BAE = ∠FCB ………. (1)
બિંદુ E એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDની લંબાવેલ બાજુ AD પરનું બિંદુ છે.
AE || BC
∠AEB = ∠CBS (યુગ્મકોણ)
∠AEB = ∠CBF …………… (2)
હવે, ∆ABE અને ∆CFBમાં,
∠BAE = ∠FCB ((1) મુજબ)
∠AEB = ∠CBF ((2) મુજબ)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABE ~ ∆ CFB.
પ્રશ્ન 9.
આપેલ આકૃતિમાં, ત્રિકોણ ABC અને AMP કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેમાં ખૂણા B અને M કાટખૂણા છે. સાબિત કરો કે,
(i) ∆ ABC ~ ∆ AMP
(ii) \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\)
ઉત્તરઃ
∆ ABC અને ∆ AMPમાં,
∠ABC = ∠AMP (કાટખૂણા)
∠BAC = ∠MAP (એક જ ખૂણો)
ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABC ~ ∆ AMP (પરિણામ (1))
∆ ABC ~ ∆ AMP હોવાથી, \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\). (પરિણામ (2))
પ્રશ્ન 10.
D અને E એ ∆ABC અને ∆EFGની બાજુઓ અનુક્રમે AB અને FB પર આવેલા હોય તેવી રીતે CD અને GH અનુક્રમે ∠ACB અને ∠EGF ના દ્વિભાજક છે. જો ∆ ABC ~ ∆ FEG હોય, તો સાબિત કરો કે
(i) \(\frac{\mathbf{C D}}{\mathbf{G H}}=\frac{\mathbf{A C}}{\mathbf{F G}}\)
(ii) ∆ DCB ~ ∆ HGE
(iii) ∆ DCA ~ ∆ HGF
ઉત્તરઃ
∆ ABC ~ ∆ FEG
∠A = ∠F, ∠B = ∠E અને ∠ACB = ∠FGE …………. (1)
CD એ ∠ACB નો અને GH એ ∠FGE નો દ્વિભાજક છે.
∴ ∠ACD = ∠BCD = \(\frac{1}{2}\) ∠ACB …………. (2)
અને ∠FGH = ∠EGH = \(\frac{1}{2}\) ∠FGE ……. (3)
આથી (1), (2) અને (3) પરથી,
∠ACD = ∠FGH અને ∠BCD = ∠EGH ………. (4)
હવે, ∆ DCB અને ∆HGEમાં,
∠B = ∠E ((1) મુજબ)
∠BCD = ∠EGH ((4) મુજબ)
આથી ખૂબૂ શરત મુજબ,
∆ DCE ~ ∆ EGE (પરિણામ (2))
વળી, ∆ DCA અને ∆ HGFમાં
∠A = ∠F ((1) મુજબ)
∠ACD = ∠FGH ((4) મુજબ)
આથી ખૂબૂ શરત મુજબ,
∆ DCA ~ ∆ HGF (પરિણામ (3)
હવે, ∆ DCA ~ ∆ HGF.
∴ \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}\) (પરિણામ (1))
પ્રશ્ન 11.
આપેલ આકૃતિમાં, E એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABCની લંબાવેલ બાજુ CB પર આવેલ બિંદુ છે તથા AB = AC. જો AD ⊥ BC અને EF ⊥ AC હોય, તો સાબિત કરો કે ∆ ABD ~ ∆ ECF.
ઉત્તરઃ
∆ ABC માં AB = AC
∠ABC = ∠ACB
∠ABD = ∠ECF ( E એ લંબાવેલ બાજુ CB પર અને F એ બાજુ AC પરનાં બિંદુ છે.)
AD ⊥ BC
∠ADB = 90°
EF ⊥ AC
∠EFC = 90°
હવે, ∆ ABD 24″ ∆ ECFમાં,
∠ABD = ∠ECF
∠ADB = ∠EFC (કાટખૂણા)
ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABD ~ ∆ ECF.
પ્રશ્ન 12.
∆ ABCની બાજુઓ AB અને BC તથા મધ્યગા AD અનુક્રમે ∆ PQR ની બાજુઓ PQ અને QR તથા મધ્યગા PM ને સમપ્રમાણમાં છે જુઓ આપેલ આકૃતિ). સાબિત કરો કે ∆ ABC ~ ∆ PQR.
ઉત્તરઃ
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\) (આપેલ છે.)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{BC}}{\frac{1}{2} \mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\) ………….. (1)
∆ ABD માં, AD મધ્યગ છે.
\(\frac{1}{2}\) BC = BD
∆ PQRમાં, PM મધ્યગા છે.
\(\frac{1}{2}\) QR = PM
આથી (1), (2) અને (3) પરથી,
આથી બાબાબા શરત મુજબ, ∆ ABD ~ ∆ PQM.
∠ABD = ∠PQM
∠ABC = ∠PQR
હવે, ∆ ABC અને ∆ PQRમાં,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\) અને ∠ ABC = ∠ PQR આથી બાખૂબા શરત મુજબ, ∆ ABC ~ ∆ POR.
પ્રશ્ન 13.
બિંદુ D એ ∆ ABC ની બાજુ BC પરનું એવું બિંદુ છે કે ∠ADC = ∠BAC. સાબિત કરો કે, CA2 = CB . CD.
ઉત્તરઃ
∆ CDA અને ∆ CABમાં,
∠ADC = ∠BAC (આપેલ છે.)
∠ACD = ∠BCA (એક જ ખૂણો)
ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ CDA ~ ∆ CAB
\(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CA}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}\)
∴ CB · CD = CA · CA
∴ CA2 = CB. CD
પ્રશ્ન 14.
∆ ABCની બાજુઓ AB અને AC તથા મધ્યગા AD એ અનુક્રમે ∆ PQRની બાજુઓ PG અને PR તથા મધ્યગા PMને સમપ્રમાણમાં છે. સાબિત કરો કે, ∆ ABC ~ ∆ PQR.
ઉત્તરઃ
∆ ABCમાં, AD મધ્યગા છે.
∴ BD = DC
લંબાવેલ AD પર બિંદુ એવું લો, જેથી AD = DE થાય તથા BE અને CE જોડો.
∴ AE = 2AD
ચતુષ્કોણ ABECના વિકર્ણો AE અને BC પરસ્પર દુભાગે છે.
∴ ABEC એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ BE = AC (સામસામેની બાજુઓ) …………….. (1)
તે જ રીતે, ∆ PQRમાં, PM મધ્યગા છે.
QM = MR
લંબાવેલ PM પર બિંદુ ય એવું લો, જેથી PM = MN થાય તથા QN અને RN જોડો.
∴ PN = 2PM
ચતુષ્કોણ PQNRના વિકણ PN અને QR પરસ્પર દુભાગે છે.
∴ PONR એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ QN = PR (સામસામેની બાજુઓ) …… (2)
હવે, \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\) (આપેલ છે.) –
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{QN}}=\frac{2 \mathrm{AD}}{2 \mathrm{PM}}\) ((1) અને (2) પરથી)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{QN}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{PN}}\)બાબાબા શરત મુજબ, ∆ ABE ~ ∆ PQN.
∠BAE = ∠QPN
∠BAD = ∠QPM …………. (3).
તે જ રીતે સાબિત કરી શકાય કે,
∆ ACE ~ ∆ PRN
∠CAE = ∠RPN
∠CAD =∠RPM …………. (4).
(3) અને (4)નો સરવાળો લેતાં,
∠BAD + ∠CAD = ∠QPM + ∠RPM
∠BAC = ∠QPR
હવે, ∆ ABC અને ∆PQRમાં,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}\) અને ∠BAC = ∠OPR
આથી બાખૂબા શરત મુજબ, ∆ ABC ~ ∆ POR.
પ્રશ્ન 15.
એક 6 મીટર ઊંચા શિરોલંબ વાંસનો જમીન પર પડતો પડછાયો. 4 મીટર લાંબો છે. એ જ વખતે એક મિનારાનો પડછાયો 28 મીટર લાંબો છે. મિનારાની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, AB એ શિરોલંબ વાંસ છે તથા AC તેનો પડછાયો છે. તે જ રીતે, PQ મિનારો છે અને QR તેનો પડછાયો છે.
બંને પડછાયાની લંબાઈ એક જ સમયે માપવામાં આવતી હોવાથી ∠C અને ∠R બંને સૂર્યનો ઉલ્લેધકોણ દર્શાવે છે.
∠C = ∠R
∆ ABC અને ∆ PQRમાં, ∠C = ∠R
∠B = ∠Q (કાટખૂણા)
ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABC ~ ∆ PQR.
PQ = \(\frac{6 \times 28}{4}\)
: PQ = 42 મી
આમ, મિનારાની ઊંચાઈ 42 મી છે.
પ્રશ્ન 16.
જો ∆ ABC ~ ∆ PQR તથા AD અને PM અનુક્રમે ∆ ABC અને ∆ PQR ની મધ્યગા હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\).
ઉત્તરઃ
∆ ABC ~ ∆ PQR (આપેલ છે.)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}\) (: AD અને PM B ∆ ABC 34
∆ PQR ની મધ્યગાઓ છે.)
વળી, ∠ABC = ∠PQR
∠ABD = ∠PQM
હવે, ∆ ABD અને ∆ PQMમાં,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}\) અને ∠ABD = ∠PQM
બાખૂબ શરત મુજબ, ∆ ABD ~ ∆ POM
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\)