GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર Ex 14.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર Ex 14.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર Ex 14.3

પ્રશ્ન 1.
નીચેનું આવૃત્તિ-વિતરણ એક વિસ્તારમાં 68 ગ્રાહકોનો માસિક વીજવપરાશ આપે છે. આ માહિતીનો મધ્યસ્થ, મધ્યક અને બહુલક શોધો અને તેમને સરખાવો.

ઉત્તર:
અહીં h = 20 છે. a = 135 લઈને નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ :

મધ્યસ્થ:
હવે, n = 68 માટે, \(\frac{n}{2}=\frac{68}{2}\) = 34
સંચમી આવૃત્તિના સ્તંભ પરથી સ્પષ્ટ છે કે 34મું અવલોકન વર્ગ 125 – 145માં આવેલ છે. માટે 125 – 145 મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 125
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 22
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 20
h = વર્ગની લંબાઈ = 20
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ M = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h
= 125 + \(\left(\frac{34-22}{20}\right)\) × 20 = 137 એકમ
મધ્યક:
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
4845 x = a + xh
= 135 + 6 x 20 = 137.05 એકમ

બહુલકઃ
અહીં, મહત્તમ આવૃત્તિ 20 એ વર્ગ 125 – 145ની આવૃત્તિ છે. માટે 125 – 145 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, L = બહુલક વર્ગની અધઃસીમા = 125
h = વર્ગની લંબાઈ = 20
f₁ = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 20
f₀= બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 13
f₂ = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 14
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
બહુલક Z = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2\left(f_{1}\right)-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 125 + \(\left(\frac{20-13}{2 \times 20-13-14}\right)\) × 20
= 125 + 10.76
= 135.76 એકમ
આમ, માહિતીનો મધ્યસ્થ, મધ્યક અને બહુલક અનુક્રમે 137 એકમ, 187.05 એકમ અને 135.76 એકમ છે.
સરખામણીઃ
મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનાં ત્રણેય માપની સરખામણી કરતાં જણાય છે કે તે ત્રણેયની કિંમત લગભગ સમાન છે.

પ્રશ્ન 2.
જો નીચે આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણનો મધ્યસ્થ 28.5 હોય, તો x અને y ઇનાં મૂલ્યો શોધોઃ

ઉત્તર:

અહીં, કુલ અવલોકનો n = 60 છે.
\(\frac{n}{2}\) = 30
45 + x + y = 60
x + y = 15 ……………… (1)
મધ્યસ્થ 28.5 છે, જે વર્ગ 20 – 30માં સમાયેલ છે.
આથી 20 – 30 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 20
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 5 +x
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 20
h = વર્ગની લંબાઈ = 10
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ M = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h
28.5 = 20 + \(\frac{30-(5+x)}{20}\) × 10
8.5 = \(\frac{25-x}{2}\)
17 = 25 – x
x = 8
હવે, (1) પરથી 8 + y = 15 મળે.
y = 7
આમ, x અને પુનાં મૂલ્યો અનુક્રમે 6 અને 7 છે.

પ્રશ્ન 3.
એક જીવનવીમા એજન્ટ, 100 પૉલિસી-ધારકોની ઉંમર માટે નીચેનું વિતરણ પ્રાપ્ત કર્યું. જેમની ઉંમર 18 વર્ષથી વધુ, પરંતુ 60 વર્ષથી ઓછી હોય તેવી જ વ્યક્તિઓને પૉલિસીઓ આપવામાં આવી હોય, તો તેમની મધ્યસ્થ ઉંમર શોધો.

ઉત્તર:
અહીં, આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણ થી ઓછા’ પ્રકારનું આવૃત્તિ-વિતરણ છે. તે પરથી નીચે પ્રમાણેનું સતત આવૃત્તિ-વિતરણ સહેલાઈથી મળે. પૉલિસી 18 વર્ષથી વધુ ઉંમરવાળી વ્યક્તિઓને આપવામાં આવે છે. તેથી પ્રથમ વર્ગ 18 – 20 થશે.

અહીં, n = 100
∴ \(\frac{n}{2}\) = 50
50મું અવલોકન વર્ગ 35 – 40માં સમાયેલ હોવાથી 35 – 40 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 35
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 45
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 33
h = વર્ગની લંબાઈ = 5
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યરી M = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h
= 35 + \(\left(\frac{50-45}{33}\right)\) × 5
= 35.76
આમ, પૉલિસી-ધારકોની મધ્યસ્થ ઉંમર 35.76 વર્ષ છે.
નોંધઃ
અહીં, પ્રથમ વર્ગની વર્ગલંબાઈ બીજા વર્ગની વર્ગલંબાઈથી અલગ પડે છે. તેથી સૂત્ર વાપરવાની શરતનું પાલન થતું નથી. પરંતુ મધ્યસ્થની કિંમત પર છેડાની કિંમતોતખૂબ નાની અથવા ખૂબ મોટી કિંમતો)ની ખાસ અસર પડતી ન હોવાથી, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.]

પ્રશ્ન 4.
એક છોડનાં 40 પાંદડાઓની લંબાઈ ખૂબ જ નજીકના મિલિમીટર સુધી માપવામાં આવી અને મેળવેલ માહિતી નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવી છે :

પાંદડાઓની મધ્યસ્થ લંબાઈ શોધો.
(સૂચનઃ મધ્યસ્થ શોધવા માટે માહિતીને સતત વર્ગોમાં ફેરવવાની જરૂર છે, કારણ કે સૂત્ર સતત વર્ગો માટે છે. પછી વર્ગો 117.5 – 126.5, 126.5 – 135.5, …, 171.5 – 180.5માં પરિવર્તિત થાય છે.)
ઉત્તર:
માહિતીને સતત વર્ગોમાં ફેરવીને નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ :

અહીં, n = 40
∴ \(\frac{n}{2}\) = 20 20મું અવલોકન વર્ગ 144.5 – 153.5માં સમાયેલ છે. આથી 144.5– 153.5 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 144.5
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 17
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 12
h = વર્ગની લંબાઈ = 9
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ M = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h

= 144.5 + \(\left(\frac{20-17}{12}\right)\) × 9

= 146.75
આમ, પાંદડાઓની મધ્યસ્થ લંબાઈ 146.75 મિમી છે.

પ્રશ્ન 5.
નીચેનું કોષ્ટક 400 નિઓન ગોળાના આયુષ્યનું આવૃત્તિ-વિતરણ આપે છેઃ

ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ શોધો.
ઉત્તર:

અહીં, n = 400
∴ \(\frac{n}{2}\) = 200
200મું અવલોકન વર્ગ 3000 – 3500માં સમાયેલ હોવાથી 3000 – 3500 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 3000
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 130
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 86
h = વર્ગની લંબાઈ = 500
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ M= l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h
= 3000 + \(\left(\frac{200-130}{86}\right)\) × 500 = 3406.98
આમ, ગોળાના આયુષ્યનો મધ્યસ્થ 3406.98 કલાક છે.

પ્રશ્ન 6.
સ્થાનિક ટેલિફોન યાદીમાંથી 100 અટક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવી હતી અને અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનું આવૃત્તિ-વિતરણ નીચે પ્રમાણે મેળવ્યું હતું:

અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યસ્થ શોધો. અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યક પણ શોધો. અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો બહુલક શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, h = 3 છે. a = 8.5 લઈને નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ :

મધ્યસ્થ:
અહીં, n = 100
∴ \(\frac{n}{2}\) = 50
50મું અવલોકન વર્ગ 7 – 10માં સમાયેલ હોવાથી 7 – 10 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 7
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચમી આવૃત્તિ = 36
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 40
h = વર્ગની લંબાઈ = 3
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ M = l +\(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h

= 7 + \(\left(\frac{50-36}{40}\right)\) × 3
= 8.05 અક્ષરો
મધ્યકઃ
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યક M = l + \(\frac{\Sigma f_{i} u_{l}}{\Sigma f_{i}}\) × h
= 8.5 + \(\frac{-6}{100}\) × 3 = 8.32 અક્ષરો

બહુલકઃ
અહીં, મહત્તમ આવૃત્તિ 40 એ વર્ગ 7 – 10ની આવૃત્તિ હોવાથી 7 – 10 એ બહુલક વર્ગ છે.
હવે, l = બહુલક વર્ગની અધઃસીમા = 7
h = વર્ગની લંબાઈ = 3
f₁ = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ = 40
f₀ = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ = 30
f₂ = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ = 16

સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
બહુલક Z = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) x h
= 7 + \(\left(\frac{40-30}{2 \times 40-30-16}\right)\) x 3
= 7 + \(\frac{10 \times 3}{34}\) = 7.88 અક્ષરો
આમ, અટકોમાં આવતા અક્ષરોની સંખ્યાનો મધ્યસ્થ 8.05 અક્ષરો, મધ્યક 8.32 અક્ષરો અને બહુલક 7.88 અક્ષરો છે.

પ્રશ્ન 7.
નીચેનું વિતરણ એક ધોરણના 30 વિદ્યાર્થીઓનાં વજન આપે છે. વિદ્યાર્થીઓના વજનનો મધ્યસ્થ શોધો.

ઉત્તર:

અહીં, n = 30
∴ \(\frac{n}{2}\) = 15
15મું અવલોકન વર્ગ 55 – 60માં સમાયેલ હોવાથી 55 – 60 એ મધ્યસ્થ વર્ગ છે.
હવે, l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા = 55
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ = 13
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ = 6
h = વર્ગની લંબાઈ = 5
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતાં,
મધ્યસ્થ M = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h

= 55 + \(\left(\frac{15-13}{6}\right)\) × 5

= 55 + \(\frac{10}{6}\) = 56.67
આમ, વિદ્યાર્થીઓનાં વજનનો મધ્યસ્થ 56.67 કિગ્રા છે.