This GSEB Class 9 Maths Notes Chapter 7 ત્રિકોણ covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.
ત્રિકોણ Class 9 GSEB Notes
→ ત્રિકોણ ત્રણ પરસ્પર છેદતી રેખાઓથી બનતી બંધ આકૃતિને ત્રિકોણ કહે છે.
→ ત્રિકોણને ત્રણ બાજુઓ, ત્રણ ખૂણાઓ અને ત્રણ શિરોબિંદુઓ હોય છે. ત્રિકોણ ABCને ΔABC તરીકે દર્શાવાય છે. રેખાખંડ AB, BC અને CA એ ΔABCની બાજુઓ છે. ∠A, ∠B અને ∠C એ ΔABCના ખૂણા છે અને A, B અને C એ ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.
→ એકરૂપ આકૃતિઓઃ એકરૂપ અર્થાત્ બધી રીતે સમાન અથવા જેમના માપ અને આકાર બંને સરખાં હોય તેવી આકૃતિઓ. સમાન ત્રિજ્યાવાળા બે વર્તુળ, સમાન બાજુઓવાળા બે ચોરસ તથા સમાન બાજુઓવાળા બે સમબાજુ ત્રિકોણ હંમેશાં એકરૂપ થાય.
→ ત્રિકોણની સંગતતા બે ત્રિકોણ ΔABC અને ΔXYZ વચ્ચે 6 એક-એક સંગતતા થઈ શકે. ABC ↔ XYZ, ABC ↔ XZY, ABC ↔ YXZ, ABC ↔ YZX, ABC ↔ ZXY, ABC↔ ZYX. ΔABC B4 ΔXYZAL Roldal ABC ↔ XYZ માટે અનુરૂપ અંગો સંગત થા
શિરોબિંદુઓ A ↔ X, B ↔ Y, C ↔ Z
બાજુઓ : A ↔ B, X↔Y, BC ↔ YZ, CA ↔ ZX
ખૂણાઓ: ∠A ↔ ∠X, ∠B ↔ ∠Y, ∠C ↔ ∠Z.
→ ત્રિકોણની એકરૂપતા બે ત્રિકોણોની આપેલ સંગતતા માટે જો અનુરૂપ અંગો સમાન હોય, તો તે સંગતતા માટે ત્રિકોણો એકરૂપ કહેવાય. ΔABC અને ΔXYZ ની સંગતતા ABC ↔ XYZ માટે અનુરૂપ અંગો સમાન હોય, એટલે કે ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y, ∠C = ∠Z, AB = XY, BC = YZ અને CA = ZX હોય, તો સંગતતા ABC »XYZ એકરૂપતા છે તેમ કહેવાય. તેને સંતમાં ΔABC = ΔXYZ લખાય.
જો ΔABC ≅ A XYZ-I zoldal ABC + XYZ એકરૂપતા હોય, તો જરૂરી નથી કે બાકીની પાંચ સંગતતા પણ એકરૂપતા હોય. આથી ત્રિકોણની એકરૂપતા દર્શાવતી વખતે સંગતતાનો ક્રમ ચોક્કસપણે જાળવવો. ત્રિકોણની એકરૂપતા માટેની શરતોઃ
→ પૂર્વધારણા 7.1 (એકરૂપતાનો બાખૂબા નિયમોઃ જો બે ત્રિકોણ માટે એક ત્રિકોણની બે બાજુઓ અને અંતર્ગત ખૂણો બીજા ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ અને અંતર્ગત ખૂણાને સમાન હોય, તો તે બે ત્રિકોણો એકરૂપ થાય.
→ પ્રમેય 7.1 (ખૂબાખૂ) જો એક ત્રિકોણના બે ખૂણા અને અંતર્ગત બાજુ અનુક્રમે બીજા ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણા અને અંતર્ગત બાજુને સમાન હોય, તો આ બે ત્રિકોણ એકરૂપ છે.
→ એકરૂપતાની ખૂબૂબા શરતઃ જો ખૂણાની બે જોડ અને અનુરૂપ બાજુઓની એક જોડ સમાન હોય, તો તે ત્રિકોણ એકરૂપ હોય. આને આપણે ખૂખૂબા એકરૂપતાની શરત કહી શકીએ.
→ CPCT: ત્રિકોણના ત્રણ ચોક્કસ અંગો (જેમાં ઓછામાં ઓછી એક બાજુ હોય) દ્વારા બે ત્રિકોણની એકરૂપતા સાબિત થાય. એકરૂપ ત્રિકોણોનાં બાકીનાં અંગો પણ સમાન હોય. તેને ટૂંકમાં CPCT (Corresponding Parts of Congruent Triangles) લખાય છે. અર્થાત્ એકરૂપ ત્રિકોણનાં અનુરૂપ અંગો.
ઉદાહરણ: 1.
આપેલ આકૃતિમાં XP = XS, XQ = XR ∠PXR = ∠SXQ સાબિત કરો કે PQ = SR.
ઉત્તર:
∠PXR = ∠SXQ (પક્ષ)
∴ ∠PXR – ∠QXR = ∠SXQ – ∠QXR (બંને બાજુ ∠QXR બાદ કરતાં)
∴ ∠PXQ = ∠SXR …. (1)
હવે, ΔXPQ અને ΔXSRમાં,
XP = XS, XQ = XR અને∠PXQ = ∠SXR (પક્ષ તથા (1) મુજબ)
∴ બાખૂબા મુજબ, ΔXPQ = ΔXSR
∴ PQ ≅ SR (CPCT)
ઉદાહરણ : 2.
લંબચોરસ ABCDમાં E એ BCનું મધ્યબિંદુ છે. સાબિત કરો કે AE = DE.
ઉત્તર:
લંબચોરસ ABCDમાં AB = DC (સામસામેની બાજુ)
તથા ∠B = ∠C = 90°.
વળી, E એ BCનું મધ્યબિંદુ હોવાથી BE = CE.
હવે, A ABE અને A DCEમાં,
AB = DC, BE = CE અને ∠B = ∠C.
∴ બાખૂબા મુજબ, ΔABE ≅ ΔDCE.
∴ AE = DE (CPCT)
→ ત્રિકોણના કેટલાક ગુણધર્મો : પ્રમેય 7.2: સમઢિબાજુ ત્રિકોણની બે સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય.
→ પ્રમેય 7.3: ત્રિકોણના સમાન ખૂણાની સામેની બાજુઓ સમાન હોય છે. ઉપરના બંને પ્રમેય 7.2 અને 7.3 એકબીજાના પ્રતીપ છે.
→ સમબાજુ ત્રિકોણ પ્રમેય 7.2ની મદદથી સરળતાથી સાબિત થાય કે સમબાજુ ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણા સમાન હોય છે. તે દરેક ખૂણો 60નો હોય. આથી સમબાજુ ત્રિકોણ એ સમકોણ ત્રિકોણ પણ છે. તે જ રીતે,
→ પ્રમેય 7.3ની મદદથી સરળતાથી સાબિત થાય કે સમકોણ ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોય છે. આમ, દરેક સમકોણ ત્રિકોણ એ સમબાજુ ત્રિકોણ પણ છે. નોંધઃ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણમાં બે સમાન બાજુઓ સિવાયની ત્રીજી બાજુને સામાન્ય રીતે પાયો કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ : 1.
ΔPQRમાં PQ = PR. સાબિત કરો કે, ∠R =∠Q.
ઉત્તર:
Δ PQRના CPનો દ્વિભાજક દોરો, જે QRને Mમાં છેદે.
OPM = 2 RPM …. (1)
હવે, Δ PMQ અને ΔPMR માં,
PQ = PR (પક્ષ), PM = PM (સામાન્ય) તથા
∠QPM = ∠RPM (1) મુજબ)
બાખૂબા મુજબ, ΔPMQ ≅ ΔPMR
∠R = ∠Q (CPCT)
ઉદાહરણ : 2.
આપેલ આકૃતિમાં, AB = AC તથા BP = CQ. સાબિત કરો કે, ΔAPQ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ છે.
ઉત્તર:
ΔABCમાં AB = AC.
∠ABC = ∠ACB (પ્રમેય 7.2)
∠ABP = ∠ACQ
હવે, ΔABP અને ΔACQમાં,
AB = AC, BP = CQ તથા ∠ABP = ∠ACQ (પક્ષ તથા (1) મુજબ)
∴ બાખૂબા મુજબ, ΔABP ≅ ΔACQ
∴ AP = AQ (CPCT)
હવે, ΔAPQમાં AP = AQ હોવાથી તેની બે બાજુઓ સમાન છે.
માટે, ΔAPO એ સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ છે.
→ ત્રિકોણની એકરૂપતા માટેની કેટલીક વધુ શરતોઃ પ્રમેય 7.4 (એકરૂપતાની બાબાબા શરત): જો એક ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓને સમાન હોય, તો આ બંને ત્રિકોણ એકરૂપ થાય.
→ પ્રમેય 7.5 (એકરૂપતાની કાકબા શરત): જો બે કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક ત્રિકોણનો કર્ણ અને એક બાજુ બીજા ત્રિકોણના કર્ણ અને અનુરૂપ બાજુને સમાન હોય, તો આ બે ત્રિકોણ એકરૂપ હોય.
નોંધઃ કાકબા એટલે કાટખૂણો – કર્ણ – બાજુને માટે વપરાય છે.
ઉદાહરણ : 1.
આપેલ આકૃતિમાં PS = QR તથા PR = QS છે. સાબિત કરો કે,
(1) ∠PSQ = ∠QRP અને
(2) ∠SPQ = ∠ROP
ઉત્તર:
ΔSPQ અને ΔRQPમાં, PS = QR (પક્ષ),
QS = PR (પક્ષ) તથા PQ = QP (સામાન્ય)
બાબાબા મુજબ, ΔSPG ≅ ΔROP
∴ ∠PSQ = ∠QRP તથા ∠SPQ = ∠RQP (CPCT)
ઉદાહરણ : 2.
આપેલ આકૃતિમાં AB ⊥ Bg, PO ⊥ GB, AC = PR અને BR = QC છે. સાબિત કરો કે, ∠BAC = ∠QPR.
ઉત્તર:
AB ⊥ BQ. માટે, ∠ABQ = 90°. ∴ ∠ABC = 90°
PQ ⊥ OB. માટે, ∠PQB = 90°. ∴∠PQR = 90°
BR = QC
→ ત્રિકોણમાં અસમતાઓ: પ્રમેય 7.6: જો ત્રિકોણની બે બાજુઓ અસમાન હોય, તો મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય.
→ પ્રમેય 7.7: કોઈ પણ ત્રિકોણમાં સૌથી મોટા ખૂણાની સામેની બાજુ સૌથી મોટી હોય છે. નોંધઃ કોઈ પણ કાટકોણ ત્રિકોણમાં કાટખૂણા સિવાય બંને ખૂણા લઘુકોણ હોય. આથી કાટખૂણાની સામેની બાજુ એટલે કે કર્ણ એ બાકીની બે બાજુઓથી મોટી હોય. આમ, કાટકોણ
→ ત્રિકોણમાં સૌથી મોટી બાજુ કર્ણ હોય.
પ્રમેય 7.8: ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનો સરવાળો તેની ત્રીજી બાજુ કરતાં વધારે હોય છે.
→ પ્રમેય 7.8 મુજબ, ΔABCમાં AB + BC > CA, BC + CA > AB અને CA + AB > BC. તે પરથી બાજુઓના તફાવત સ્વરૂપે પણ પરિણામ મેળવી શકાય કે CA > | AB – BC|, AB > | BC – CA | અને BC > | CA- AB |.
ટૂંકમાં, A ABCમાં AB + BC > CA – | AB – BC |,
BC + CA > AB > | BC – CA તથા
CA + AB > BC > | CA – AB |.
તે જ રીતે, કોઈ ત્રિકોણની બે બાજુઓ આપેલ હોય, તો ત્રિકોણની પરિમિતિ અંગેની અસમતા નીચે મુજબ મળે : 2 × (બે બાજુઓનો સરવાળો) > ત્રિકોણની પરિમિતિ > 2 × (આપેલ પૈકી મોટી બાજુ)
ઉદાહરણ : 1.
ΔXYZમાં આXY >XZ અને Pએ YZપરનું કોઈ બિંદુ છે. સાબિત કરો કે, XY > XP
ઉત્તર:
ΔXYZમાં XY > XZ (પક્ષ)
∠XZY > ∠XYZ
∠XZP > ∠XYP (P એ YZનું બિંદુ છે.) ….. (1)
AXPZમાં ∠XPY બહિષ્કોણ છે અને ∠XZP તેનો અંત સન્મુખ કોણ છે.
∠XPY > ∠XZP ……. (2)
(1) અને (2) પરથી,
∠XPY > ∠XYP
આથી ΔXYPમાં XY > XP.