GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ

પ્રશ્ન 1.
DC સિગ્નલ અને AC સિગ્નલ એટલે શું ? શા માટે AC સિઝનનો ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે ?
ઉત્તર:

• DC સિગ્નલ (પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ) સમય સાથે બદલાતાં નથી એટલે કે, તે એકદિશ સિગ્નલ (પ્રવાહ કે વોલ્ટેજ) છે.
• જો સપ્લાયમાંથી મળતો વોટેજ સમય સાથે sine વિધેય અનુસાર બદલાય તો આવા વોલ્ટેજને પ્રત્યાવર્તી (ઉલટસૂલટ) અથવા ac વોલ્ટેજ કહે છે.
• વો સ્ટે જ શબ્દનો સામાન્ય અર્થ બે બિંદુઓ વચ્ચે ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
• ac વોલ્ટેજ વડે પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહને પ્રત્યાવર્તી (ઉલટસૂલટ) ac પ્રવાહ કહે છે.
• પાવર કંપનીઓ દ્વારા વેચાતી વિદ્યુતઊર્જાનું પ્રસાર અને વહેંચણી પ્રત્યાવર્તી સ્વરૂપે થાય છે તે ડી.સી. વોલ્ટેજના બદલે એ.સી, વોલ્ટેજનો ઉપયોગ પસંદ કરવાનું મુખ્ય કારણ છે.
• આ માટેનું બીજું કારણ એ છે, કે ટ્રાન્સફર્મરની મદદથી જરૂરિયાત મુજબના વોલ્ટેજ મેળવી શકાય છે. ડી.સી. વોલ્ટેજ માટે ટ્રાન્સફૉર્મર કાર્ય કરતું નથી.
• ઉપરાંત વિદ્યુતઊર્જાનું કરકસરયુક્ત લાંબા અંતર સુધી પ્રસારણ કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 2.
અવરોધકને લાગુ પાડેલ AC વોલ્ટેજની સમજૂતી આપો અને જરૂરી આલેખથી સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર અવરોધકને ac વોલ્ટેજ સાથે જોડેલો છે.

સહિ ac સ્રોત એવો ધ્યાનમાં લઈએ કે જે તેનાં બે છેડા વચ્ચે સાઇન વિધય અનુસાર બદલાતો જતો વિધુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઉત્પન્ન કરે, આવા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને ઐસી વોલ્ટેજ પક્ષ કહે છે.
∴એસી વોલ્ટેજ V = V_m sinωt …………………………… (1)
જ્યાં V_m એ દોલન પામતા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો પવિસ્તાર છે. એટલે મહત્તમ વોલ્ટેજ છે અને છ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સમીકર (1) પરથી, V = IR

જધાં I ને કિફના લૂપના નિયમ પરથી શોધી શકાય.
∴ IR = V_msinωt
∴ I = \(\frac{V_m}{R}\) sinωt
પણ \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}}\) = I_m ……………. (2)
∴ I = I_msinωt

જયાં પ્રવાહની કંપવિસ્તાર,
l_m = \(\frac{V_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}}\) ‘ જે ઓમનો નિયમ છે.
આ સંબંધ એ, સી, અને ડી.સી. વોલ્ટેજ કે પ્રવાહ (સિગ્નલ માટે સમાન રીતે લાગુ પાડી શકાય છે.
શુદ્ધ અવરોધના બે છેડા વચ્ચેના વોલ્ટેજ અને વિદ્યુતપ્રવાહના સમયના વિધેય તરીકેનો આલેખ દર્શાવ્યો છે.

અહીં V અને I બંને એક જ સમયે શુન્ય, લધુતમ અને મહતમ મૂલ્યો ધારણ કરે છે તેથી V અને 1 બંને એકબીજા સાથે સમાન કેળામાં છે.

પ્રશ્ન 3.
અવરોધક R માંથી એ.સી. પ્રવાહ પસાર થાય છે ત્યારે ઉદ્ભવતી વિધુતઊર્જા સમજાવો.
ઉત્તર:
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે, A.C. પરિપથમાં વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ sine વક્ર મુજબ બદલાય છે અને તેને અનુરૂપ ધન અને ઋણ મૂલ્યો ધારણ કરે છે.

આમ, એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન તત્કાલીન પ્રવાહનાં મૂલ્યોનો સરવાળો શૂન્ય છે તેથી સરેરાશ પ્રવાહ શૂન્ય છે.
સરેરાશ પ્રવાહ શૂન્ય છે તેનો અર્થ એવો નથી કે વપરાતો સરેરાશ વ્યય થતો) પાવર શૂન્ય છે અને વિધુતઊર્જાનો વ્યય થતો નથી.
જૂલ ઉષ્મા I²Rt સુત્ર વડે અપાય છે. આમ, જૂલ ઉષ્મા I² પર આધારિત છે પણ I ધન કે ઋણ પર આધારિત નથી.
અવરોધકમાં વ્યય થતો તત્કાલીન પાવર, P = I²R
= I_m²Rsin²ωt [∵ I = I_msinωt]

એક પૂર્ણચક દરમિયાન સરેરાશ પાવર \(\bar{p}\) નું મૂલ્ય, \(\bar{p}\) = <I²R >
= I_m²< Rsin²ωt> = I_m²R<sin²ωt> અહીં સરેરાશ મૂલ્ય માટે – (બાર) અને < > સંજ્ઞાઓ વાપરી છે.
∴ \(\bar{p}\) = I_m²< Rsin²ωt> [∵I_m²અને R અચળ છે.]

ત્રિકોણમિતિ પરથી,
<sin²ωt> = \(\left\langle\frac{1}{2}(1-\cos 2 \omega t)\right\rangle\)
= \(\left\langle\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos \omega t\right)\right\rangle\) મળે.
પણ <cos2ωt> = 0 તેથી <sin²ωt> = \(\frac{1}{2}\)
∴ \(\bar{p}=\frac{1}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}^2 \mathrm{R}\)

DC પાવર P = I²R માં હોય છે તેથી,
AC પાવરને રજૂ કરવા પ્રવાહના સરેરાશ વાર્ગતનું વર્ગમૂળ (rms) અથવા અસરકારક પ્રવાહ I_rms કે I વકે દર્શાવાય છે.
<cos2ωt> = [/latex]\frac{1}{\mathrm{~T}} \int_0^{\mathrm{T}} \cos 2 \omega t d t=\frac{1}{\mathrm{~T}}\left[\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}\right]_0^{\mathrm{T}} [/latex]
= \(\frac{1}{2 \omega T}[\sin 2 \omega T-0]=\frac{1}{2 \omega T}\)[sin2π – 0] = 0

પ્રશ્ન 4.
સરેરાશ વર્ગિતનું વર્ગમૂળ (root mean square) ની વ્યાખ્યા, સૂગ આપો, પ્રવાહ I વિરુદ્ધ got નો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:
કોઈ પક્ષ ભૌતિકરાશિના વર્ગના સરેરાશના વર્ગમૂળને સરેરાશ વતિનું વર્ગમૂળ કહે છે. ટૂંકમાં, તેને rms કહે છે અથવા તેને અસરકારક રાશિ પણ કહેવાય છે.
rms પ્રવાહ I અથવા I_rms વડે દર્શાવાય છે. I વિરુદ્ધ ωt નો આલેખ નીચે મુજબ મળે છે.

rms પ્રવાહ I મહત્તમ પ્રવાહ I_m સાથે I = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) = 0.707 I_m સંબંધ ધરાવે છે.
I_rms= \(\sqrt{\left\langle\mathrm{I}^2\right\rangle}\)
= \(\sqrt{\frac{1}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}^2}\)
= \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) = 0.707 I_m
P વડે દર્શાવાતો સરેરાશ પાવર I ના પદમાં,
P = \(\bar{p}=\frac{1}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}^2 \mathrm{R}=\mathrm{I}^2 \mathrm{R} \) પરથી મળે.

અને વોલ્ટેજ માટે rms નું મૂલ્ય,
V = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) = 0.707 V_m
હવે V_m = I_mR અથવા \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}} \mathrm{R} \)અથવા V = IR.

આ સમીકરણો ac વોલ્ટેજ અને ac પ્રવાહ વચ્ચેનો સંબંધ દેશવિ છે.
d.c. માટે પણ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહનો સંબંધ આના જેવો જ મળે છે.
હકીકતમાં a.c, પ્રવાહમાં થતાં સરેરાશ પાવર વ્યય જેટલી જ પાવર વ્યય સમતુલ્ય d.c.પ્રવાહ દ્વારા થાય તેને I અથવા I_rms કહે છે.
∴ P = \(\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}}\) = VI = I²R

પ્રશ્ન 5.
ઘૂમતા સદિશો વડે AC પ્રવાહ અને વોલ્ટેજની રજૂઆત માત્ર AC અવરોધ ધરાવતા પરિપચ માટે સમજાવો. (ઑગસ્ટ – 2020)
ઉત્તર:
અવરોધકમાંથી પસાર થતો AC પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે, પરંતુ ઇન્ડક્ટર, કેપેસિટર અથવા આવા પરિપથ ઘટકોના સંયોજનમાં હોય તેવા કિસ્સાઓમાં AC પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોતાં નથી.
AC પરિપથમાં પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેના કળા સંબંધો દર્શાવવા માટે ફેઝરનો ઉપયોગ કરીએ તો AC પરિપથોનું વિશ્લેષણ સરળ બને છે.
ફેઝર એક સદિશ છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઊગમબિંદુની આસપાસ છે કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે. તેથી તેને ધૂમતો સદિશ કહે છે.

V અને I ધૂમતા સદિશના ઊર્ધ્વ ઘટકો V_msinωt અને I_msinωt રજૂ કરે છે.
જયાં V_m અને I_m એ આંદોલિત રાશિઓના કંપવિસ્તાર અથવા મહત્તમ મૂલ્યો દર્શાવે છે.
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે એક અવરોધકને એસી સ્રોત સાથે જેડેલ છે.

આકૃતિ (a) માં દર્શાવેલ પરિપથને અનુરૂપ t₁ સમયે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના ફ્રેઝર અને તેમની વચ્ચેનો સંબંધ દવિ છે.
V અને I ના ઊર્ણ અક્ષ પરના પ્રક્ષેપો V_msinωt₁ અને I_msinωt₁ તે ક્ષણે અનુક્રમે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહનાં મૂલ્યો દર્શાવે છે.
જેમ પૂમતા સદિશ ળ કોબ્રીય ઝડપથી બ્રમન્ન કરે તેમ આકૃતિ (b) મુજબના વક્રો રચાતા જય છે.
અવરોધકના કિસ્સામાં V અને I નાં બંને ફેઝર (પૂમતા સદિશ) એક જ દિશામાં છે. આનો અર્થ એ થાય કે, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 6.
ઇન્ડક્ટરને લાગુ પાડેલ AC વોલ્ટેજ માટે પ્રવાહનું સમરણ મેળવો માને v અને I ના આલેખ દોરો. (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
આકૃતિમાં ઇન્ડક્ટર સાથે AC ત જો ડેલ છે.

ઇન્ડક્ટરનો ઓર્મિક અવરોધ અવગણી શકાય તેટલો ઓછો છે. એટલે આ પરિપથ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ પરિપથ છે.
ધારો કે, તેના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ v = v_msinωt છે.
કિફના બંધગાળાના નિયમ પરથી,
\(v-\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\) = 0 જ્યાં \(-\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\) આત્મપ્રેરિત emf છે.
∴ v = L\(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
∴ \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}=\frac{v}{\mathrm{~L}}\)
પણ v = v_msinωt
∴ \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}=\frac{v_{\mathrm{m}} \sin \omega t}{\mathrm{~L}}\)
∴ dI = \(\frac{v_{\mathrm{m}}}{\mathrm{L}}\)sinωdt …………………………… (1)

જ્યાં L એ આત્મપ્રેરકત્વ છે. સમીકરણ (1) સૂચવે છે કે, I(t) એ પ્રવાહનું સમય પરનું વિધેય છે. તેનાં માટેનું સમીકરણ એવું હશે કે જેનો ઢાળ \(\frac{d \mathrm{I}}{d t} \) એ sine વિધેય મુજબ બદલાતી જતી રાશિ હોય જેની કળા, સ્રોત વોલ્ટેજના જેટલી હોય છે.
અને તેનો કંપવિસતાર \(\frac{v_{\mathrm{m}}}{\mathrm{L}}\) વડે આપી શકાય છે.
સમીકરણ (1) નું સમય સાપેક્ષે સંકલન કરીને પ્રવાહ મેળવી શકાય.
∴ \(\int \frac{d i}{d t} d \mathrm{I}=\frac{v_{\mathrm{m}}}{\mathrm{L}} \int \sin \omega t d t \)
∴ I = \(-\frac{v_{\mathrm{m}}}{\mathrm{L}} \times \frac{\cos \omega t}{\omega}\)+અચળાંક ……………. (2)

અહીં સંકલનના અચળાંકને પ્રવાહનું પરિમાલ છે અને તેની સમયથી સ્વતંત્ર છે,
t = 0 સમયે પ્રવાન્ડ I = 0
∴ 0 = 0 + અચળ ,
∴ અચળ = 0
∴ સમીકરણ (2) પરથી,
∴ I = \(-\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{L} \omega} \cos \omega t \)
∴I = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\omega \mathrm{L}} \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) \)
[∵ -cosωt = sin(ωt – \(\frac{\pi}{2}\)) ]
∴ I = I_m sin \(\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\) [∵ \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\omega \mathrm{L}}\) = I_m]

ωL ને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ કહે છે તેને X_L વડે દર્શાવાય છે.
∴ X_L = ωL અને એકમ ઓહ્મ છે.
જેમ શુદ્ધ અવરોધ ધરાવતાં પરિપથમાં અવરોધ એ પ્રવાહને સીમિત કરે છે તેવી રીતે શુદ્ધ ઇક્ટિવ પરિપથમાં ઇન્ડક્ટરે પ્રવાહને સીમિત કરે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ, ઇન્ડક્ટર અને પ્રવાહની આવૃત્તિના સિમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ, ગ્રત વોલ્ટેજ અને ઇન્ડક્ટરમાં વહેતા પ્રવાહ માટે V = V_msinωt અને I = I_msin\(\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) \) ની સરખામણી પરથી કહી શકાય કે, પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતાં કળામાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો અથવા એક ચતુથાશ \(\left(\frac{1}{4} \text { ચક્ર }\right)\) ચક્ર જેટલો પાછળ છે. આ કિસ્સામાં કોઈ એક ક્ષણે (t₁) માટે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના ફેઝર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે મળે છે.

અહીં પ્રવાહ I નો ફેઝર વોલ્ટેજ, V ના ફેઝર કરતાં \(\frac{\pi}{2} \) જેટલો પાછળ છે.
\(\frac{\pi}{2}=\frac{\mathrm{T}}{4}\)
∴ \(\frac{\pi}{2}=\frac{T}{2 \pi} \times \frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi / 2}{\omega}=\frac{\pi}{2 \omega}\)

જયારે ફેઝરો (V અને I) કોલીય આવૃત્તિ છે સાથે વિષમધી | દિશામાં ભ્રમણ કરતાં હોય ત્યારે V = V_msinωt અને I = I_msin\(\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) \) દ્વારા અનુક્રમે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ મળે છે. જે આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ છે. ઇન્ડક્ટરવાળા પરિપથમાં પ્રવાહ, વોલ્ટેજ કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો કળામાં પાછળ હોય છે.
આ આલેખ V અને I વિરુદ્ધ ωt નો છે.

પ્રશ્ન 7.
માબ સ્વાળા AC પરિપથમાં પાપની ચર્ચા કરો. (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
માત્ર ઇન્ડક્ટરવાળા પરિપથમાં પ્રવાહ, વોલ્ટેજ કરતાં એક ચતુથાશ આવર્તકાળ \(\frac{T}{4}=\frac{\pi / 2}{\omega}\) પછી તેનું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવે છે.
ઈન્ડક્ટરને મળતો તત્કાલીન પાવર,
P = IV = I_msin\(\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\)× V_msin(ωt)
[∵ I = I_msin\(\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\) સને V = V_msinωt]
= -I_mV_mcos(ωt) sin(ωt)
= \(-\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{2}\)sin(2ωt)

એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાનનો સરેરાશ પાવર,
P_L = \(\left\langle-\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}} \sin (2 \omega t)}{2}\right\rangle\)
= \(-\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{2}<\sin (2 \omega t)> \) = 0
કારણ કે, એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન sin(2ωt)નું સરેરાશ = 0. આમ, પૂર્ણચક્ર પર ઈન્ડક્ટરને પૂરો પડાતો સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય છે, જે આકૃતિઓ વિસ્તારથી સમજાવે છે.

પ્રશ્ન 8.
કૅપેસિટરને લાગુ પાડેલ છે. સી. વોલ્ટેજ માટે પ્રવાહનું સમીકરણ મેળવો અને V તથા I ના આૌખો દૌરો.
ઉત્તર:
AC પરિપથમાં શુદ્ધ કૅપેસિટર ડેલું બતાવ્યું છે . V = V_msinωt ના મોતને કેપેસિટર સાથે જોડેલું છે,

જયારે કેપેસિટરને DC સ્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે ત્યારે થોડા સમય માટે પ્રવાહ પસાર થાય છે, જેથી કેપેસિટર વિદ્યુતભારિત થાય છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો પર વિદ્યુતભાર એકઠો થતાં બે પ્લેટો વચ્ચે વોલ્ટેજ વધે છે જે સ્રોતમાંથી મળતાં પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે.
જયારે કેપેસિટર સંપૂર્ણ વિદ્યુતભારિત (ચાર્જ) થાય ત્યારે પરિપથનો પ્રવાહ ધટીને શૂન્ય થાય છે.
જયારે કૅપેસિટરને AC સ્રોત સાથે જોડવામાં આવૈ છે ત્યારે તે પ્રવાહને નિયંત્રિત કરે છે પરંતુ, વિદ્યુતભારના વહનને સંપૂર્ણ રીતે રોકતું નથી,
પ્રત્યેક અર્ધચક્ર દરમિયાન પ્રવાહ ઊલયય છે તેમ કૅપેસિટર આર્વત રીતે વિદ્યુતભારિત (ચાર્જ) અને વિદ્યુતવિભારિત (ડિસ્ચાર્જ) થતું રહે છે.

ધારો કે, કોઈ એક t ક્ષણે કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર q છે.
∴ બે પ્લેટો વચ્ચે તાત્પણિક વોલ્ટેજ V છે.
∴V = \(\frac{q}{C}\)જયાં C એ કેપેસિટર પરનું કૅપેસિટન્સ છે.
કિર્ચીફના બંધગાળાના નિયમ મુજબ,

પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર I_m = \(\frac{v_m}{x_C}\)
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સનો SI એકમ ઓહમ (Ω) છે.
જેમ શુદ્ધ અવરોધવાળા પરિપથમાં અવરોધ પ્રવાહને નિયંત્રિત કરે છે તેવી રીતે શુદ્ધ કૅપેસિટિવ પરિપથમાં કૅપેસિટિવ રિએક્ટન્સ પ્રવાહના કંપવિસ્તારને નિયંત્રિત કરે છે.
શુદ્ધ કૅપેસિટિવ પરિપથમાં પ્રવાહનો પવિસ્તાર કૅપેસિટન્સ અને આવૃત્તિના ગુણાકારના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
∴ I ∝ \(\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\)
સમીકરણ V =V_msinωt અને I = I_m sin \(\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)\) ના સરખામણી દર્શાવે છે કે વોલ્ટેજ કરતાં \(\frac{\pi}{2}\)પ્રવાહ કળામાં જેટલો આગળ છે. આકૃતિમાં ! ક્ષણે ફેઝર ડાયાગ્રામ દર્શાવ્યો છે.

અહીં I પ્રવાહનો ફેઝર, વોલ્ટેજ V ના ફેઝર કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો આગળ રહે તેમ વિષમધી દિશામાં ભ્રમણ કરે છે.
આકૃતિ (b) V અને I વિરુદ્ધ ωt નો આલેખ દર્શાવ્યો છે, આ પરથી કહી શકાય કે વોલ્ટેજ કરતાં પ્રવાહ એક ચતુર્થાંશ આવર્તકાળ જેટલા સમયમાં વહેલા મહત્તમ મૂલ્ય મેળવે છે. આમ, કેપેસિટરવાળા પરિપથમાં પ્રવાહ કરતાં વોલ્ટેજ કળામાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો આગળ હોય છે.

પ્રશ્ન 9.
માત્ર કેપેસિટર ધરાવતા AC પરિપથમાં પાવરની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
કેપેસિટરને પૂરી પડાતો તાત્યણિક પાવર, p_c = IV = I_mcos(ωt)V_msin(ωt)
= I_mV_mcos(ωt)V_msin(ωt)
= \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{2}\)(2cosωtsinωt)
= \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{2}\) sin(2ωt)

સરેરાશ પાવર,
P_C = \(\left\langle\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}} \sin 2 \omega t}{2}\right\rangle=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{2}\)<sinωt>

પણ એક પૂર્ણચક્ર પર sin(2ωt) = 0 છે, જે આકૃતિ આ બાબતને વિસ્તારથી સમજાવે છે.
∴ સરેરાશ પાવર P_C = 0

1-1 દરમિયાન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રવાહ વહે છે અને તે o પાસે મહત્તમથી 1 પાસે શુન્ય સુધી પહોંચે છે. પ્લેટ A ધન વિધુતભારિત થાય છે જયારે પ્લેટ B પર ત્રણ વિધુતભારે છે જમાં થતો જાય છે અને 1 પાસે પ્રવાહ શૂન્ય થાય ત્યાં સુધીમાં મહત્તમ થાય છે. વોલ્ટેજ V_c = q/c વિધુતભારે q સાથે સમાન કળામાં હોય છે અને તેનું મૂલ્ય 1 પાસે મહત્તમ હોય છે. પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ બંને ધનહોવાથી પાવર P=V_cI ધન છે.
આ ચોથા ભાગનાં ચક્ર દરમિયાન સ્રોતમાંથી ઊર્જાનું શોષણ થાય છે અને કૅપેસિટરવિધુતભારિત થાય છે.

1-2 દરમિયાન પ્રવાહ ની દિશા ઊલટાઈ જાય છે. સંગ્રહિત વિદ્યુતભારે છિનવાઈ જાય છે. એટલે કે આ ચોથા ભાગનાં ચક્ર દરમિયાન કૅપેસિટર વિધુત વિભારિત (ડિસ્ચાર્જ) થાય છે. વોલ્ટેજ ઘટે છે પરંતુ હજુ તે ધન હોય છે. પ્રવાહ હોય છે અને તેમનો ગુણાકાર એટલે પાવરણ હોય છે. 0-1નાં ચોથા ભાગના ચક્ર દરમિયાન શોષાયેલ ઊર્જા આ ચોથા ભાગનાં ચક્ર દરમિયાન સ્રોતને પાછી મળે છે.

2-3 દરમિયાન પ્રવાહ I, A થી B તરફ વહે છે. કૅપેસિટરની વિરુદ્ધ દ્રવત્વ (પોલારીઓ માટે વિદ્યુતભારિત થાય છે. એટલે કે પ્લેટ B પન વિધુતભાર અને પ્લેટ Acશણ વિધુતભાર મેળવે છે, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ બંને wત હોય છે. તેમનો ગુણાકાર ધન હોય છે. આ ચોથા ભાગના ચક દરમિયાન કેપેસિટર ઊર્જાનું શોષણ કરે છે.

3-4 દરમિયાન રૂપાસે પ્રવાહ ની દિશા ઊલટાઈ જાય છે અને તે 5 થી 6 તરફ વહે છે. સંગ્રહિત થયેલ વિધુતભાર છિનવાઈ જાય છે અને વોલ્ટેજનું મૂલ્ય V_cટે છે. જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણ ડિસ્ચાર્જ થાય છે ત્યારે 4પાસે શૂન્ય બને છે. પાવર ઋણ છે. 2-3 દરમિયાનમાં શોષાયેલ ઊર્જા સોતને પાછી મળે છે. શોષાયેલ ચોખ્ખી ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 10.
L-C-R શ્રેણી પરિપથને લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃત્તિમાં ‘દ’ AC ઉદ્ગમ સાથે L-C-R શૈલી પરિપથ દર્શાવ્યો છે. AC, ઉદ્દગમનું વોલ્ટેજ V = V_msinωt છે.

ધારો કે, t ક્ષણે કૅપેસિટર પરનો વીજભાર q અને પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ I છે.
∴ V = V_L+V_R+V_C
કિફના બંધગાળાના નિયમ પરથી \(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}+\mathrm{IR}+\frac{q}{\mathrm{C}}\) = V જયાં ઇન્ડક્ટરના બે છેડા વચ્ચેના સ્થિતિમાનનો તફાવત = \(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
કૅપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેના રિસ્થતિમાનનો તફાવત = \(\frac{q}{\mathrm{C}}\)
અને અવરોધના બે છેડા વચ્ચેના સ્થિતિમાનનો તફાવત = I_R છે.

પ્રશ્ન 11.
L- C-R શ્રેણી ઓસી પરિપથ માટે તામિક પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેની કળાનો સંબંધ ફેઝર ડાયાગ્રામની મદદથી પ્રયુક્તિથી મેળવો.
ઉત્તર:
પરિપથમાં L-C-R શ્રેણીમાં જોડેલા છે તેથી પરિપથના દરેક ઘટકમાં સમાન કંપવિસ્તાર, સમાન કળાવાળો સમાન પ્રવાહ હશે.

ધારો કે, આ સમાન પ્રવાહ I = I_msin(ωt+Φ) ………………………….. (1)
જયાં Φ એ વોલ્ટેજ અને તત્કાલીન પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
ધારો કે, પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહનો ફ્રેઝર \(\vec{I}\) છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_{\mathrm{L}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}_{\mathrm{C}}\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{R}} \) અને \(\overrightarrow{\mathrm{V}} \) એ અનુક્રમે ઇન્ડક્ટર, કેપેસિટર, અવરોધક અને ઉદ્દગમના બે છેવ વચ્ચેનો વોલ્ટેજના ફ્રેઝરો છે.
\(\vec{V}_{\mathrm{R}} \) અને \(\overrightarrow{\mathrm{I}} \) તે ના ફ્રેઝર સમાંતર છે.
\(\vec{V}_{\mathrm{C}} \) નો ફેઝર \(\overrightarrow{\mathrm{I}} \) ના ફેઝર કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો પાછળ છે અને \(\vec{V}_{\mathrm{L}}\) નો ફેઝર \(\overrightarrow{\mathrm{I}} \) ના ફ્રેઝર કરતાં 5 જેટલો આગળ છે.
\(\vec{V}_L, \vec{V}_C, \vec{V}_R\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{I}} \) ના ફેઝરો ને યોગ્ય કળા સાથે દર્શાવેલ છે.

V_L,V_R,V_C અને Iના ફ્રેઝરી વચ્ચેનો સંબંધ
આ ફેઝરોનો કંપવિસ્તાર નીચે મુજબ છે.
V_Rm = I_mR, V_Cm= I_mX_C, V_Lm = I_mX_L
પરિપથ માટે વોલ્ટેજનું સમીકરક્ષ,
\(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}+\mathrm{IR}+\frac{q}{\mathrm{C}}=\mathrm{V} \) ને નીચે મુજબ લખી શકાય.
\(\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{L}}+\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{C}}\) = \(\vec{V}\) જ્યાં V_L = \(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\), V_R = IR
અને V_c = \(\frac{q}{C}\)

∴ ફ્રેઝર સંબંધ \(\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{L}}+\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{R}}+\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{C}}=\overrightarrow{\mathrm{V}} \)
આ સંબંધને નીચે મુજબ આકૃતિમાં દશવિલ છે.

\(\overrightarrow{\mathrm{V}}_{\mathrm{L}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_{\mathrm{C}} \) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેનું પરિણામ ફેઝરનું મૂલ્ય,

પણ \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}\right)^2}\) = Z જયાં Z ને ઇમ્પિડન્સનું મૂલ્ય કહે છે.
∴ I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{Z}}\) જે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર છે.
X_L, X_C, અને R ના સરવાળાને L-C-R, શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ Z કહે છે.
પ્રવાહ \(\overrightarrow{\mathrm{I}}\) નો ફેઝર એ વોલ્ટેજ \(\vec{V}_{\mathrm{R}} \) ના ફેઝરને હંમેશાં સમાંતર છે તથા \(\vec{V}_{\mathrm{R}} \) ફેઝર અને \(\overrightarrow{\mathrm{V}}\) ફેઝર વચ્ચેનો કળા ખૂણો Φ છે અને Φ ને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે નક્કી કરી શકાય છે,

tan Φ =\(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{Cm}}-\mathrm{V}_{\mathrm{Lm}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{Rm}}}\)
= \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{R}}\)
∴ tan Φ = \(\frac{X_C-X_L}{R}\) જે કળા ખુણો આપે છે.
આકૃતિ પરથી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ Z શોધી શકાય છે જેને ઇમ્પિડન્સ ડાયાગ્રામ કહે છે. જે કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને Z એ તેનો ક્યે છે.
ઇમિડન્સ ડાયાગ્રામ પરથી ઇસ્પિડન્સ,
Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}\right)^2} \)

પ્રશ્ન 12.
X_C>X_L અને X_C < X_L માટેના ફેઝર ડાયાગ્રામ દોરો અને આ રીતના ગેરલાભ જણાવો.
ઉત્તર:
જો X_C> > X_L, હોય, તો કળા ખૂણો Φ ધન મળે તેથી પરિપથ કૅપેસિટિવ બને. પરિણામે પરિપથમાં પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતાં આગળ હોય છે.
જે X_C> < X_L, હોય તો કળા ખૂણો છે ઋણ બને છે તેથી પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ બને છે પરિણામે સ્રોત વોલ્ટેજ કરતાં પરિપથમાં પ્રવાહ પાછળ હોય છે.
X_C>> X_L, ના કિસ્સા માટે ωt સાથે V અને I માં થતાં ફેરફારોને નીચે ફેઝર ડાયાગ્રામમાં દર્શાવ્યા છે.

• આમ, ફેઝરની મદદથી L-C-R શ્રેણી પરિપથ માટે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર અને કળા મેળવવાની આ રીતમાં કેટલાંક ગેરલાભ છે. પ્રથમ એ કે ફ્રેઝર ડાયાગ્રામ, શરત/પ્રારંભિક સ્થિતિની કોઈ જ માહિતી આપતો નથી.
• બીજું એ કે તમે સમય નું યાદચ્છિક મૂલ્ય લઈ શકો છો અને જુદા જુદા ફ્રેઝર વચ્ચેનો સાપેક્ષ ખૂણો દર્શાવતાં જુદા-જુદા દોરી શકો છો. આ રીતે મેળવેલ ઉકેલને સ્થાથી અવસ્થા ઉકેલ કહે છે. જે વ્યાપક ઉકેલ નથી.
• આ ઉપરાંત આપણી પાસે શણિક ઉકેલ પણ છે જે V = 0 માટે પણ લાગુ પડે.
• સ્થાયી અવસ્થા ઉકેલ અને ક્ષણિક ઉકેલના સમન્વયથી મળતો ઉકેલ એ વ્યાપક ઉકેલ છે.
• પૂરતાં લાંબા સમય બાદ ક્ષણિક ઉકેલની અસર નાબૂદ થાય છે અને સ્થાયી અવસ્થા ઉકેલ દ્વારા પરિપથની વર્તણૂકનું વર્ણન કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 13.
LCR શ્રેણી એ. સી. પરિપથ માટે તામિક પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેની કળાનો સંબંધ વૈોષિક ઉકેલથી મેળવો. (ઑગસ્ટ – 2020)
ઉત્તર:
L-C-R શ્રેણી એ.સી. પરિપથ માટે વોલ્ટેજનું સમીકરણ,
\(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}+\mathrm{RI}+\frac{q}{\mathrm{C}}\) = V
\(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}+\mathrm{RI}+\frac{q}{\mathrm{C}}\) = V_msinωt ………………. (1)

આ સમીકરણ બળ પ્રેરિત અવમંદિત (પ્રણદિત) દોલકના સમીકરણ જેવું છે.
ધારો કે, આ સમીકરણનો ઉકેલ,
q = q_msin(ωt+θ) …………………. (3)
∴\(\frac{d q}{d t}\) = q_mωcos(ωt+θ) …………………………. (4)
અને \(\frac{d^2 q}{d t^2}\) = -q_mω²sin(ωt+θ) ……………………….. (5)
∴ સમીકરણ (2) માં સમીકરણ (3), (4) અને (5) નાં મૂલ્યો મૂકતાં,

Z વડે ગુણતાં અને ભાગતાં,
∴ q_mωZ\(\begin{array}{r}
{\left[\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Z}} \cos (\omega t+\theta)-\left(\frac{\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}}\right)\right.} \\
\sin (\omega t+\theta)=\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}} \mathrm{Z} \sin \omega t}{\mathrm{Z}}
\end{array}]\)
∴ q_mωZ\([\cos \phi \cos (\omega t+\theta)-\sin \phi \sin (\omega t+\theta)]\) = V_msinωt …………………………… (6)
જયાં \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Z}}\) = cosΦ અને \(\frac{X_C-X_L}{Z}\) = sinΦ
∴ \(\frac{X_C-X_L}{Z}\) = tanΦ …………………………….. (7)

સરખાવતાં,
V_m = q_mωZ
∴ V_m = I_mZ [∵ I_m = q_mω]
પરિપથમાં પ્રવાહ,
I = \(\frac{d q}{d t}=\frac{d}{d t}\)[q_msin(ωt+θ)
= q_mωcos(ωt+θ)
= I_mcos(ωt+θ) [∵ q_mω = I_m]

અથવા I = I_m sin(ωt+Φ)
જયાં θ = Φ – \(\frac{\pi}{2}\)
અને I_m= \(\frac{V_m}{Z}=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\left(X_C-X_L\right)^2}}\)
અને Φ = tan^-1\(\left(\frac{X_C-X_L}{R}\right)\)
આમ, L-C-R શૈલી એ.સી. પરિપથમાં પ્રવાહ I_mcos(ωt+θ) અથવા I_m sin(ωt+θ) અને કંપવિસ્તાર
I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}\right)^2}}\) મળે.
આમ, બંને રીતે મેળવેલો ઉકેલ સમાન મળે છે.

પ્રશ્ન 14.
અનુનાદ એટલે શું ? દાહરણ આપો.
ઉત્તર:
દોલન પામી શકે તેવાં તંત્રની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ અને બાહ્ય આવર્તક બળની આવૃત્તિ લગભગ સમાન થાય તો તંત્રના દોલનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બનવાની ઘટનાને અનુવાદ કહે છે. ઉદાહરશ્ન : હીંચકા પર ઝોલા ખાતા બાળકને જો તેની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ જેટલી આવૃત્તિથી દોરી વડે નિયમિત અંતરાલે ખેંચે અને ખેંચવાની આવૃત્તિ હીંચકાની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ જેટલી થાય, તો હીંચકાનો કંપવિસ્તાર માટે થશે જેને અનુનાદ થયો કહેવાય.

પ્રશ્ન 15.
L-C-R શ્રેણી એ.સી. પરિપચ માટે અનુનાદ સમજાવો અને તેના ઉપયોગો લખો. તે કેવા પ્રકારના પરિપથમાં શક્ય છે ?
ઉત્તર:
V_m કંપવિસ્તાર અને ω આવૃત્તિનાં વોલ્ટેજ વડે સંચાલિત L-C-R શ્રેન્રી એ.સી, પરિપથમાં મળતાં પ્રવાહની કંપવિસ્તાર,
I_m = \(\frac{V_m}{Z}=\frac{V_m}{\sqrt{R^2+\left(X_C-X_L\right)^2}}\)
જયાં X_c = \(\frac{1}{\omega C}\) અને X_L = ωL છે.
I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\frac{1}{\omega \mathrm{C}}-\omega \mathrm{L}\right)^2}}\) ……………………….. (1)

તેથી ω ના ફેરફારથી પ્રવાહના કંપવિસ્તારમાં ફેરફાર થાય છે. જયારે નું નિશ્ચિત મૂલ્ય છ જેટલું થાય ત્યારે X_C = X_L થતાં ઇમ્પિડન્સ Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+0^2}\) = R અને ત્યારે પ્રવાહના કંપવિસ્તારનું મહત્તમ મૂલ્ય મળે જેને અનુવાદ કહે છે.
∴ X_C = X_L હોય તો, સમીકરન્ન (1) પરથી,
I_m =\(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}}\) પ્રવાહ મહત્તમ બને છે.
અને X_C = X_L અથવા \(\frac{1}{\omega_0 C}\)= ω₀L
∴ω₀² = \(\frac{1}{\mathrm{LC}}\) અથવા ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}\)

આમ, અનુનાદીય આવૃત્તિએ પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને છે અને તે I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}} \) જેટલો છે.
આકૃતિમાં L = 1.00 mH, C = 1.00 nF તથા અવરોધ R ના બે મૂલ્યો R = 100 Ω અને R = 200 Ω માટે RLC ચૈન્ની પરિપથમાં ω અને I_m માં થતાં ફેરફારો દર્શાવ્યાં છે.
અહીં V_m = 100 V છે. ω₀ = 1.00 x 10⁶ rad/s
અનુનાદીય આવૃત્તિ માટે પ્રવાહની કંપવિસ્તાર મહત્તમ છે.
અનુવાદની સ્થિતિએ I = \(\frac{V_m}{R}\) હોવાથી R = 100 Ω માટે મળતાં પ્રવાહની કંપવિસ્તાર R = 200 Ω માટે મળતાં કંપવિસ્તાર કરતાં બમણો છે.

અનુનાદીય પરિપથોના ઉપથૌજનૌમાં વિવિધતા છે. ઉદાહરણ તરીકે રેડિયો અથવા TV સેટની ટયૂનિંગ કરવાની પ્રક્રિયામાં રેડિયો એન્ટેના ધણાં બધા બ્રૉડકાસ્ટિંગ સ્ટેશનોના સિગ્નલો મેળવે છે જે રૅડિયોના ટ્યુનિંગ પરિપથ માટે સ્રોત તરીકે વર્તે છે અને ઘણી બધી આવૃત્તિઓએ સંચાલિત થઈ શકે છે,

પરંતુ, કોઈ એક જ નિશ્ચિત રેડિયો સ્ટેશન સાંભળવા માટે આપણે રેડિયો ટ્યૂન કરીએ છીએ.
ટ્યુનિંગ કરવા માટે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ એવી રીતે બદલીએ. છીએ કે જેથી અનુનાદય આવૃત્તિનું મૂલ્ય નિશ્ચિત સ્ટેશનના રેડિયો સિગ્નલની આવૃત્તિ જેટલું લગભગ થાય. તેથી, અનુનાદ થાય અને પ્રવાહની કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને.

L અને C બંને હાજર હોય તેવા જ પરિપથોમાં અનુનાદ થઈ શકે છે. કારણ કે, L અને C ની કળા પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાના કારણે તેમના બે છેડા વચ્ચેના વોલ્ટેજ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને પ્રવાહની કંપવિસ્તાર I_m = \(\frac{V_m}{R}\) થાય છે. તેથી, ઓતના સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ, અવરોધ R ના બે છેડા વચ્ચે મળે છે, આનો અર્થ એ થાય કે RL અને RC ધરાવતાં પરિપથમાં અનુનાદ મેળવી શકાય નહીં પણ અનુનાદ થવા માટે L અને C બંને પરિપથમાં હોવાં જ જોઈએ.

પ્રશ્ન 16.
L-C – R શ્રેણી AC પરિપથ માટે અનુનાદની તીણતા માટેનું સમીકરણ મેળવો અને ક્વોલિટી ફેક્ટર (ગુણવત્તા અંક) Q કોને કહે છે ? અને બંન્ડવિની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
L-C – R AC શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહની કંપવિસ્તાર,
I_m= \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\frac{1}{\omega\mathrm{C}}-\omega\mathrm{L}\right)^2}}=\frac{V_m}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}\right)^2}}\)

જ્યારે ω = ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}\)= થાય ત્યારે પ્રવાહની કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે.
આ મહત્તમ કંપવિસ્તાર I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}}\) છે.
ω_o માટે પ્રવાહની કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે અને બીજી આવૃત્તિ ω માટે પ્રવાહનૌ કંપવિસ્તાર મહત્તમ મૂલ્ય કરતાં ઓછો હોય છે.
ω ના જે મૂલ્ય માટે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ કંપવિસ્તારના \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) ગણો થાય તો પરિપથમાં વ્યય થતાં પાવરનું મૂલ્ય અવું થાય છે.
∴ I = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) થાય તો, પાવર અડધો થાય અને ω ના બે મૂલ્યો મળે છે.

ω ના આ બે મૂલ્યોને ω₁, અને ω₂ કહીએ તો આ મૂલ્યો અનુનાદીય આવૃત્તિ ω₀ ની આસપાસ સંમિતિરૂપે છે.
∴ω₁ = ω₀ + Δω
અને ω₂ = ω₀ – Δω
∴ω₁ – ω₂= 2Δω મળે જેને પરિપથની બૈવિધ્ય કહે છે.
\(\frac{\omega_0}{2 \Delta \omega}\) ને અનુનાદ વક્રની તીક્ષ્ણતાના માપ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
જેમ Δω નું મૂલ્ય નાનું તેમ અનુનાદ વક વધુ તીવસ અથવા સાંકડો.

પ્રશ્ન 17.
L-C-R શ્રેણી એ, સી. પરિપથ માટે બૅડવિઠ્ઠ Δω નું સમીકરણ મેળવો અને Q ફેક્ટરનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ω₁ = ω₀+ Δω થાય ત્યારે પ્રવાહની કંપવિસ્તાર I_m = \(\frac{I_{\max }}{\sqrt{2}} \) થાય તેથી ω₁ પાસે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર,
I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{Z}}=\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\omega_0 \mathrm{~L}-\frac{1}{\omega_0 \mathrm{C}}\right)^2}}\)
\(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}^{\max }}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R} \sqrt{2}}\)

અથવા \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\omega_1 \mathrm{~L}-\frac{1}{\omega_1 C}\right)^2}=\mathrm{R} \sqrt{2} \)
અથવા R²+\(\left(\omega_1 \mathrm{~L}-\frac{1}{\omega_1 \mathrm{C}}\right)^2\) = 2R²
∴ \(\left(\omega_1 L-\frac{1}{\omega_1 C}\right)^2\) = R²
∴ \(\omega_1 L-\frac{1}{\omega_1 C}\) = R
પણ ω₁ =ω₀+Δω મૂકતાં,

પ્રશ્ન 18.
L-C-R શ્રેણી પરિપથમાં અનુવાદની તીણતા એટલે શું અને Q ફેક્ટરનું સૂત્ર તારવો.
ઉત્તર:
અનુનાદ આવૃત્તિ એ ર થી સ્વતંત્ર છે પણ અનુનાદની તીક્ષ્ણતા અવરોધ R ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
અનુનાદની તીક્ષ્ણતા = \(\frac{\omega_0}{2 \Delta \omega}\)
= \(\frac{\omega_0 2 \mathrm{~L}}{2 \times \mathrm{R}}\)
= \(\frac{\omega_0 \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}\)
પણ \( \frac{\omega_0 \mathrm{~L}}{\mathrm{R}} \) ને પરિપથનો ક્વોલિટી ફેક્ટર (ગુણવત્તા અંક) Q કકે છે
∴ ક્વોલિટી ફેક્ટર Q = \(\frac{\omega_0 \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}\)

∴ 2Δω = \(\frac{\omega_0}{\mathrm{Q}}\) જયાં ω₂, અને ω₁, એ (I_rms)_max ના \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)મૂલ્ય વખતે મળતી આવૃત્તિઓ છે.

તેથી જેમ Q નું મૂલ્ય મોટું હોય તો બૅન્ડવિડ્ય 2Δω નાની મળે અને અનુનાદની તીણતા વધારે મળે.
ω₀² = \(\frac{1}{\mathrm{LC}}\) મૂકતાં,
Q = \(\frac{\omega_0 \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}\) માં ω₀² = \( \frac{1}{\mathrm{LC}}\) પરથી,
L = \(\frac{1}{\omega_0^2 \mathrm{C}}\) મૂકતાં,
Q = \(\frac{\omega_0 \times 1}{\mathrm{R} \times \omega_0^2 \mathrm{C}}\)
∴ Q = \(\frac{1}{\omega_0 R C}\)

જે અનુનાદ ઓછો તીણા હોય, તો મહત્તમ પ્રવાહ ઓછો હોય ઉપરાંત Δω નું મૂલ્ય પણ નાનું હોય એટલે ω₀ ની નજીક ω₁, અને ω₂ મળે તેથી પરિપથનું સૂનિગ સારું હોતું નથી.

આથી અનુનાદ ઓછો તીક્ષણ હોય, તો પરિપથ દ્વારા આવૃત્તિને પસંદ કરવાની સિલેક્ટિવિટી ઓછી હોય છે અને જો અનુનાક વધુ તીક્ષ્ણ હોય તો પરિપથ દ્વારા આવૃત્તિને પસંદ કરવાની સિલેક્ટિવિટી વધુ હોય છે.

જો ક્વોલિટી ફૅક્ટર Q મોટો હોય એટલે કે R નાની અથવા L મોટો હોય તો તેવા પરિપથ દ્વારા આવૃત્તિને પસંદ કરવાની સિલેક્ટિવિટી વધુ હોય છે.

વધુ માહિતી :
(i) શ્રેણી પરિપથનો Q ફેક્ટર: \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{R}}}\) અથવા \(\frac{V_C}{V_R}\) અથવા
\(\frac{\omega_0 \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}\) અથવા \(\frac{1}{\omega_0 \mathrm{CR}}\) અથવા \(\frac{1}{\mathrm{R}} \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{C}}}\) = Q
(ii) સમાંતર પરિપથનો Q ફેક્ટર : Qફેક્ટર = R\(\sqrt{\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{L}}}\)

પ્રશ્ન 19.
L = 1.00 mH, C = 1.00 nF હોય તો અનુનાદીય આવૃત્તિ શોધો.
ઉત્તર:
અનુનાદીય આવૃત્તિ,
ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}=\frac{1}{\sqrt{\left(1 \times 10^{-3}\right) \times\left(1 \times 10^{-9}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{10^{-12}}}\)
∴ ω₀ = 1.00 × 10⁶ rad/s

પ્રશ્ન 20.
AC પરિપચ માટે પાવરની વ્યાખ્યા આપો. L-C-R શ્રેણી AC પરિપથ માટે સરેરાશ પાવરનું સૂર મેળવો.
ઉત્તર:
વિદ્યુત પરિપથમાં જે દરથી વિદ્યુત ઊર્જા ખર્ચાય તેને વિદ્યુત પાવર કહે છે, AC પરિપથમાં તત્કાલીન પાવર માપી શકતાં નથી, તેથી વાસ્તવિક પાવર માપવામાં આવે છે. AC પરિપધમાં વાસ્તવિક પાવર એટલે સમગ્ર આવર્તકાળ પરનું પાવરનું સરેરાશ મૂલ્ય. ધારો કે, AC પરિપથમાં કોઈ પન્ન ક્ષણે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ અનુક્રમે , V = V_msinωt અને I = I_msin(ωt + Φ) સમીકરણો પરથી મળે છે.
જ્યાં I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{Z}}\) અને Φ = tan^-1 \( \left(\frac{\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{R}}\right)\)
ઉદ્ગમ દ્વારા પૂરી પડાયેલ તાત્કાલિક પાવર, P = VI
= (V_msinωt)[I_msin(ωt + Φ)
= V_mI_msinωt.sin(ωt + Φ)
પણ 2sinAsinB = cos(A-B) – cos (A+B)
∴ P = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{2}\)[cos Φ – cos(2ωt + Φ)] …………. (1)

સમીકરણ (1) ની જમણી બાજુના બે પદોનું સરેરાશ, એક પૂર્ણ ચક્ર પર પાવરનું સરેરાશ આપે છે. આ બે પદો પૈકી બીજું પદ cos(2ωt + Φ) એ સમય પર આધારિત છે જેનું એક ચક્ર પરનું સરેરાશ શૂન્ય હોય છે.
∴ P = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{2}\) cos Φ
∴ P = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) cos Φ
∴P = V_rmsI_rmscosΦ

પણ V_rms ને V વડે અને I_rms ને I વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
∴P = VIcosΦ
પણ V = IZ લેતાં [∵ V = IR]
P = I²ZcosΦ

આમ, વપરાતો સરેરાશ પાવર એ માત્ર વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ પર આધારિત નથી પરંતુ, તેમની વચ્ચેના કળા ખૂણા Φ ના cosine પર પણ આધારિત છે.
cos Φ ને પાવર ફેક્ટર કહે છે, જે એકમરહિત છે.
અવરોધ અને ઇમ્પિડન્સના ગુન્નોત્તરને પાવર ફ્રેક્ટર કહે છે જેને cos Φ વડે દર્શાવાય છે.
∴ પાવર ફંક્ટર (cosΦ) = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{I}^2 \mathrm{Z}}\) અથવા \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Z}}\)

પ્રશ્ન 21.
L-C-R શ્રેણી એ.સી. પરિપથ માટે સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર લખો અને તેનાં જુદા જુદા કિસ્સાઓની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
આપેલ પરિપથ માટે સરેરાશ પાવર P = VIcosΦ
જયાં V = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}},\mathrm{I}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\)

કિસ્સાઓ :
1. અવરોધક પરિપથ (માત્ર શુદ્ધ અવરોધવાળા પરિપથ માટે) :
માત્ર શુદ્ધ (એકલા) અવરોધ R ધરાવતા પરિપથને અવરોધક પરિપથ કહે છે.
આવા પરિપથમાં પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કુળામાં હોય છે તેથી કળાતફાવત Φ = 0°
∴ સરેરાશ પાવર P = VIcos0°
∴ P = VI [∵ cos0° = 1]
જેમાં પાવર વ્યય મહત્તમ ક્રોય છે.

2. શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ અથવા શુદ્ધ કેપેસિટિવ પરિપથ અથવા પરિપથમાં માત્ર L અથવા માત્ર C હોય:
જો પરિપથ માત્ર ઇન્ડક્ટર અથવા માત્ર કેપેસિટર ધરાવતો હોય, તો તેવા પરિપથને અનુક્રમે ઇન્ડક્ટિવ અને કેપેસિટિવ પરિપથ કહે છે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ પરિપથમાં પ્રવાહ, વોલ્ટેજ કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો પાછળ અને શુદ્ધ કૅપેસિટિવ પરિપથમાં પ્રવાહ, વોલ્ટેજ કરતાં \(\frac{\pi}{2} \) જેટલો આગળ હોય છે, અર્થાત્ આ બંને પ્રકારના પરિપથમાં પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળાતફાવત \(\frac{\pi}{2} \) હોય છે. જ સરેરાશ પાવર P = VIcosΦ
= VIcos \(\frac{\pi}{2} \)
= 0 [∵ cos\(\frac{\pi}{2} \) = 0]
આવા પરિપથમાં પ્રવાહ પસાર થવા છતાંય પાવર વપરાતો નથી તેથી આવા પ્રવાહને વૉટલેસ પ્રવાહ કહે છે.
જે પરિપથમાં પાવર વ્યય શૂન્ય હોય, તો તેવાં પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહને વૉટલેસ પ્રવાહ કહે છે.

3. L-CPR શ્રેણી પરિપથ :
L-C-R શ્રેણી એ.સી. પરિપથમાં પાવર વ્યય P = VIcosΦ મુજબનો છે. જયાં Φ = tan^-1\(\left(\frac{\mathrm{X}_{\mathrm{C}}-\mathrm{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{R}}\right) \)
કેટલીક વખત RL અથવા RC અથવા L-C-R પરિપથોમાં Φ અશૂન્ય થશે. આવા કિસ્સાઓમાં પાવર વ્યય તો માત્ર અવરોધકમાં જ થાય છે.

4. L-C-R પરિપથમાં અનુવાદની સ્થિતિમાં વ્યય થતો પાવર :
અનુવાદની સ્થિતિમાં X_C= X_L છે તેથી માત્ર અવરોધક છે, પરિણામે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેની કળાનો તફાવત Φ = 0° છે.
∴ P = VIcos Φ = I²Zcos0°
∴ P = I²Z [cos0° = 1]
∴ P = I²R[∵ Z =R]
આમ, અનુનાદની સ્થિતિએ પરિપથમાં (R દ્વારા) મહત્તમ પાવર વ્યય થતો હોય છે,

પ્રશ્ન 22.
LC પરિપથ કોને કહે છે ? LC દૌલનો એટલે શું ?
ઉત્તર:
જેનો અવરોધ અવગણી શકય તેટલી નાની હોય એવા ઇન્ડક્ટરને કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે જોડવાથી બનતાં પરિપથને LC પરિપથ કહે છે. જયારે વિદ્યુતભારિત કૅપેસિટરને અવરોધ વગરના ઇન્ડક્ટર દ્વારા વિદ્યુતવિભારિત કરવામાં આવે છે ત્યારે અચળ કંપવિસ્તાર અને અચળ આવૃત્તિવાળા વિદ્યુતીય દોલનો ઉત્પન્ન થાય છે. આવા દોલનોને LC દોલનો કહે છે.

પ્રશ્ન 23.
IC પરિપથ માટેનું વિલ સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આ કેપેસિટરને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઇન્ડક્ટર (L) સાથે જોડીને L-C પરિપથ બનાવેલો છે.
ધારો કે, t = 0 સમયે કેપેસિટર ચાર્જ કરેલું છે અને તેના પરનો વિદ્યુતભાર q_m છે.

જે ક્ષણે પરિપથ પૂર્ણ કરવામાં આવે છે ત્યારે કૅપેસિટર પરનો વિધુતભારે વાહક તાર દ્વારા ઇન્ડક્ટર પર જાય છે. પરિણામે, પરિપથમાં પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે અને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર ઘટે છે.
ધારો કે, t સમયે કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર q અને પરિપથમાં પ્રવાહ I છે.
\(\frac{d \mathrm{I}}{d t} \) ધન હોવાથી ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત emf નું વત્વ (Polarity) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની હોય છે.

એટલે કે, a બિંદુ આગળનું સ્થિતિમાન ઊંચું અને b બિદુ આગળનું સ્થિતિમાન નીચું હોય છે.
∴ V_a >V_b.
જેમ જેમ q ઘટે છે તેમ તેમ I વધે છે.
∴ I = – \(\frac{d q}{d t}\)

કોઈ પક્ષ શણે ઇન્ડક્ટરમાં પ્રેરિત emf,
V = દ = \(-\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
અને કેપેસિટરની આસપાસ p.d= \(\frac{q}{C}\) કિફના બંધગાળાના નિયમ પરથી,
\(-\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}+\frac{q}{\mathrm{C}}\) = 0
પણ I = – \(\frac{d q}{d t}\)

જે બીજ ક્રમનું રેખીય વિદ્યુતભાર માટેનું સમીકરણ છે.
આ સમીકરણ સ.આ.ગ.ના વ્યાપક સમીકરણ \(\frac{d^2 x}{d t^2}+\omega_0^2 x\) = 0
જેવું છે તેથી કેપેસિટરની ડિસ્ચાર્જની ઘટના એ સ.આ.ગ. છે અને વિદ્યુતભાર જે પ્રાકૃતિક આવૃત્તિથી દોલન કરે છે તે આવૃત્તિ,
ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}\)
∴ 2πf₀ = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}} \)
∴ f₀ = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{\mathrm{LC}}}\) તેની આવૃત્તિ છે.

પ્રશ્ન 24.
LC પરિપથના વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવો અને પ્રવાહનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
LC પરિપથનું વિકલ સમીકરણ,
\(\frac{d^2 q}{d t^2}+\frac{1}{\mathrm{LC}} q\) = 0
આ સમીકરણનો ઉકેલ,
q = q_mcos(ω₀t+ Φ) …………………………… (1)

જયાં q_m એ q નું મહત્તમ મૂલ્ય અને Φ એ કળા અચળાંક છે.
t = 0 સમયે q = q_m છે.
∴ q_m= q_mcosΦ
∴ 1 = cosΦ
∴ Φ = 0°
∴ સમીકરણ (1) પરથી,
q = q_mcos(ω₀t)

સમય t ની સાપેક્ષે વિલન કરતાં,
\( \frac{d q}{d t}=q_m \omega_0\left(-\sin \omega_0 t\right)\)
પણ \(\frac{d q}{d t}\) = -I
∴ -I = -q_mω₀sinω₀t
∴ I = I_msinω₀t
જયાં q_mω₀ = I_m
∴ I = I_m sinω₀t

પ્રશ્ન 25.
LC પરિપથના દોલનો કેવી રીતે થાય છે તે સમજાવો.
ઉત્તર:
આ કૃતિ (a) માં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રારંભિક વિધુતભારે q_m વાળા કૅપેસિટર સાથે આદર્શ ઇન્ડક્ટર જોડેલ છે.
વિદ્યુતભારિત પેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતઊર્જા,
U_E = \(\frac{1}{2} \frac{q_m^2}{C}\)
પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી તેમાં પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી, ઇન્ડક્ટરમાં ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
∴ LC પરિપથની કુલ ઊર્જ U = U_E = \(\frac{1}{2} \frac{q_m^2}{\mathrm{C}} \)

આકૃતિમાં LC પરિપથમાં થતા દોલનો સ્પ્રિંગના છેડે લગાવેલ બ્લૉકના દૌલનો જેવાં છે. આકૃતિમાં દોલનનું અર્ધચક દર્શાવેલ છે.
t = 0 સમયે કેળ બંધ કરતાં કૅપેસિટર વિદ્યુતભારિત (ડિસ્ચાર્જ) થવાની શરૂઆત થાય છે જે આકૃતિ (b) માં બતાવેલ છે. જેમ પરિપથમાં પ્રવાહ વધે છે તેમ ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રસ્થાપિત થાય છે તેથી તેમાં ચુંબકીય ઊર્જા U_B = \(\frac{1}{2}\)LI² સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે.

આકૃતિ (C) માં દર્શાવ્યા અનુસાર t = \(\frac{\mathrm{T}}{4}\)સમયે પ્રવાહ મહત્તમ (I_m) થાય છે ત્યારે કેપેસિટરમાંની બધી જ વિદ્યુતઊર્જા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં U_B = \( \) LI²_m સંગ્રહ પામે છે.
કેપેસિટરમાંની મહત્તમ વિદ્યુત ઊર્જા અને ઇન્ડક્ટરમાંની મહત્તમ ચુંબકીય ઊર્જા સમાન હોય છે. હવે જે સમર્થ કેપેસિટર પર કોઈ વીજભારે હોતો નથી તે સમયે તેમાં કોઈ ઊર્જા હોતી નથી.

આકૃતિ (d) માં દર્શાવ્યા મુજબ, હવે ઇન્ડક્ટર પરથી વિધુતભારે કેપેસિટર પર આવે છે. તેથી કૅપેસિટર વિધુતભારિત થવાનું શરૂ કરે છે.

આકૃતિ (e) અનુસાર t = \(\frac{T}{2}\) સમયે કેપેસિટર સંપૂર્ણ વિધુતભારિત થાય ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે પન્ન વિધુતભારોની વવ (Polarity) આકૃતિ (a) ની કરતાં વિરુદ્ધ હોય છે.
આ સમગ્ર પ્રક્રિયાનું ચોક્કસ સમયગાળ પુનરાવર્તન થશે અને તંત્રની ઊર્જા કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટર વચ્ચે દોલનો કરે છે.
આમ, કૅપેસિટરની બે પ્લેટોની વચ્ચેનો વિદ્યુતભાર ઇન્ડક્ટર થકી દોલનો કરે છે. આ ઘટનાને LC પરિપથના દોલનો કહે છે.

પ્રશ્ન 26.
LC દોલનોને ધિંગના છેડે જોડેલ બ્લોકના યાંત્રિક દોલનો સાથે સરખાવો.
ઉત્તર:
LC દોલની સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલ બ્લોકના યાંત્રિક દોલનો જેવાં જ છે. પ્રશ્ન 22 માં દરેક આકૃતિઓની નીચેનો ભાગ યાંત્રિક તંત્રની અનુરૂપ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
LC દોલનનું વિકલ સમીકરણ,
\(\frac{d^2 q}{d t^2}+\frac{q}{\mathrm{LC}}\)= 0 અથવા \(\frac{d^2 q}{d t^2}+\omega_0^2 q\) = 0 અને કોણીય આવૃત્તિ ω₀ સાથે ‘દોલન કરતાં m દળના બ્લોકની યાંત્રિક દોલનનું વિક્લ સમીકરણ,
\(\frac{d^2 x}{d t^2}+\omega_0^2 x\) = 0 અથવા \(\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{k x}{m}\) = 0
અહીં ω₀= \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) અને k એ અિગનો બળ અચળાંક છે.
યંત્રશાસ્ત્રમાં F = kx પરથી k = \(\frac{\mathrm{F}}{x}\) એટલે કે, એકમ સ્થાનાંતર માટે જરૂરી બાહ્ય બળને બળ અચળાંક કહે છે.
બળ અચળાંકનો એકમ : Nm^-1 છે.
LC પરિપથમાં આ સમીકરણને અનુરૂપ સમીકરણ V = \(\frac{q}{\mathrm{C}}\) છે.
∴\(\frac{1}{C}=\frac{V}{q}\) એટલે કે, એકમ વિદ્યુતભારને પ્રસ્થાપિત કરવા જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત \(\frac{1}{C} \) છે.
નીચેના કોષ્ટકમાં યાંત્રિક રાશિઓ અને વિદ્યુતે રાશિઓની સરખામણી બતાવેલ છે.

પ્રશ્ન 27.
LC દોલનોની ચર્ચા ક્યા બે કારણોના લીધે વાસ્તવિક નથી ?
ઉત્તર:

• દરેક ઇન્ડક્ટરને અમુક અવરોધ હોય છે, મા અવરોધને કારણે પરિપથના પ્રવાહ પર અવમંદનની અસર નીપજે છે. તેથી, અમુક સમય પછી વિધુતભારોના દોલનો નાશ પામે છે.
• જે અવરોધ શૂન્ય હોય તો પણ તંત્રની કુલ ઊર્જા અચળ રહેતી નથી. આ ઊર્જા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સ્વરૂપે તંત્રમાંથી ઉત્સર્જિત થાય છે. હકીકતમાં રેડિયો અને TV ટ્રાન્સમીટરો આ વિકિરણ પ૨ આધારિત હોય છે.

પ્રશ્ન 28.
ટ્રાન્સફોર્મર એટલે શું ? તેનો સિદ્ધાંત લખો અને તેની ચના લખો.
ઉત્તર:
ટ્રાન્સફૉર્મર એ AC ના નીચા વોલ્ટેજને ઊંચા વોલ્ટેજમાં અને ઊંચા વોલ્ટેજને નીચા વોલ્ટેજમાં રૂપાંતર કરનાર વિદ્યુત ઉપકરણ છે.
જે ટ્રાન્સફોર્મરની મદદથી ઈનપુટ વોલ્ટેજ વધારી શકાય તેને સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફૉર્મર અને જે ટ્રાન્સફોર્મરની મદદથી ઈનપુટ વોલ્ટેજ ઘટાડી શકાય તેને ઍપ-ડાઉન ટ્રાન્સફૉર્મર કહે છે. સિદ્ધાંત અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર ટ્રાન્સફૉર્મર કાર્ય કરે છે.
રચના : ટ્રાન્સફોર્મરમાં એકબીજાથી અલગ કરેલ બે કૉઇલ (ગૂંચળા)નું જો કું હોય છે.
આકૃતિ (a+b) માં દર્શાવ્યા મુજબ નરમ લોખંડના ગર્ભ (Core) પર તાંબાના તારના ગૂંચળા હોય છે, જે પૈકી એક ગૂંચળાને પ્રાઇમરી કૉઇલ અથવા પ્રાથમિક કોઇલ કહે છે, તેના પરના આંયની સંખ્યા N_p છે.

આ ગૂંચળાં બે રીતે વીંટાયેલા હોય છે.

1. કૉર ટાઇપ : નરમ લોખંડના ગર્ભના અલગ-અલગ ભાગો પર ગૂંચળાઓ વીંટાયેલા હોય છે. આકૃતિ (b).
2. shell ટાઈપ : નરમ લોખંડના એક ગર્ભ પર ઉપર અને નીચે અલગ રહે તેમ બે ગૂંચળાઓ વીંટાયેલા હોય છે. જે આકૃતિ (a) માં બતાવેલ છે.

બીજા ગૂંચળાને ગૌલ ગૂંચળું અથવા સેકન્ડરી કૉઇલ કહે છે. તેનાં પરના આંટની સંખ્યા N_s છે.
ઘણી વખત પ્રાઇમરી કૉઇલને ઇનપુટ કૉઇલ અને સેકન્ડરી કૉઇલને આઉટપુટ કૉઇલ પણ કહે છે.

shell type ટ્રાન્સફોર્મરમાં એકબીજા પર બે ગૂંચળાઓ રાખેલાં હોય છે.

પ્રશ્ન 29.
ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્ય પદ્ધતિ લખો.
ઉત્તર:
જ્યારે પ્રાઇમરી કૉઇલને પ્રત્યાવર્તી વોલ્ટેજ (AC વોલ્ટેજ) લાગુ પાડવામાં આવે છે ત્યારે પરિણામી પ્રવાહ ચુંબકીય લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે જે ગૌણ ગૂંચળા સાથે સંકળાય છે તેથી ગૌણ ગૂંચળામાં emf પ્રેરિત થાય છે.
આ પ્રેરિત emf ના મૂલ્યનો આધાર ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા પર છે.
ધારો કે, એ ક આદર્શ ટ્રાન્સફૉર્મરની પ્રાઇમરી કૉઇલને અવગણી શકાય તેટલો અવરોધ છે અને ગર્ભમાં રહેલ બધું જ ચુંબકીય ફ્લક્સ પ્રાથમિક અને ગૌણ એમ બંને ગૂંચળાના આંટા સાથે સંકળાયેલ છે.

જો ગૌષ ગૂંચળા સાથે કોઈ લૉડ જોડેલો ન હોય તો અને N_p અને N_s એ અનુક્રમે પ્રાથમિક અને ગૌણ ગૂંચળાના આયની સંખ્યા હોય તો, પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf,
દ_p = – N_p\(\frac{d \phi}{d t} \) ……………………… (1)
અને ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf,
દ_s = -N_s\(\frac{d \phi}{d t} \) …………………… (2)
પણ દ_p = V_p અને દ_s = V_s

જયાં V_p અને V_s એ અનુક્રમે પ્રાથમિક અને ગૌણ ગૂંચળાના બે છેવ વચ્ચેના વોલ્ટેજ છે.
સમીકરલ (1) અને (2) નીચે મુજબ લખી શકાય,
V_p = –\(-\mathrm{N}_p \frac{d \phi}{d t}\) અને V_s = \(-\mathrm{N}_s \frac{d \phi}{d t}\)
∴ \(\frac{\mathrm{V}_s}{\mathrm{~V}_p}=\frac{\mathrm{N}_s}{\mathrm{~N}_p}\)

આ સંબંધ ત્રણ ધારણાઓના આધારે મેળવેલ છે જે નીચે મુજબ છે.

1. પ્રાથમિક પ્રવાહ અને તેનો અવરોધ નાના છે.
2. પ્રાથમિક અને સેકન્ડરી ગૂંચળાઓમાં આંય દીઠ સમાન ફુલક્સ સકળાયેલ છે, કારણ કે, ખૂબ જ ઓછું લક્સ ગર્ભમાંથી છટકી જાય છે.
3. સેકન્ડરી પ્રવાહનું મૂલ્ય ઓછું છે.
   સેકન્ડરી કૉઈલના આંટાઓની સંખ્યા N_s અને પ્રાઇમરી કૉઇલના અટાઓની સંખ્યા N_p ના ગુણોત્તરને ટ્રાન્સફૉર્મેશન ગુણોત્તર λ કહે છે.
   ∴ λ = \(\frac{\mathrm{N}_s}{\mathrm{~N}_p}\)

જો N_s > N_p હોય, તો આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં વધારો થાય અને આવા ટ્રાન્સફૉર્મરને ઍપ-અપ ટ્રાન્સફોર્મર કહે છે.
જો N_s < N_pહોય તો આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં ઘટાડો થાય છે અને આવા ટ્રાન્સફૉર્મરને સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર કહે છે.

પ્રશ્ન 30.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે પાવરના સૂત્રના ઉપયોગથી \(\frac{\mathrm{I}_p}{\mathrm{I}_s}=\frac{\mathrm{V}_s}{\mathrm{~V}_p}=\frac{\mathrm{N}_s}{\mathrm{~N}_p}\) મેળવો
ઉત્તર:
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરની કાર્યક્ષમતા 100 % હોય છે તેથી ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી અને ઇનપુટ પાવર અને ખાઉટપુટ પાવર સરખો હોય છે.
પાવર p = IV
∴ ઇનપુટ પાવર = આઉટપુટે પાવર
I_pV_p = I_sV_s …………………. (1)

થોડી ઊર્જાનો હંમેશાં વ્યય થતો હોય છે છતાંય સારી રીતે ડિઝાઇન કરેલા ટ્રાન્સફોર્મરની ક્ષમતા 95 % કરતાં વધુ હોય છે.
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,
\(\frac{\mathrm{V}_s}{\mathrm{~V}_p}=\frac{\mathrm{N}_s}{\mathrm{~N}_p}\) ………………………….. (2)

જ્યાં V_s અને V_p એ ગૌણ અને પ્રાથમિક ગૂંચળાના બે છેડા વચ્ચેના વોલ્ટેજ અને N_s તથા N_p એ અનુક્રમે ગૌણ અને પ્રાથમિક ગૂંચળાના આંટાઓની સંખ્યા છે.
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\(\frac{\mathrm{I}_p}{\mathrm{I}_s}=\frac{\mathrm{V}_s}{\mathrm{~V}_p}=\frac{\mathrm{N}_s}{\mathrm{~N}_p} \) …………………………… (3)
અહીં, 1 અને V ના દોલનોની આવૃત્તિ ac મોતની આવૃત્તિ જેટલી જ છે, તેથી સમીકરણ (૩) એ અનુરૂપ રાશિઓના કંપવિસ્તાર અથવા rms મૂલ્યોનો ગુણોત્તર પણ આપે છે.

પ્રશ્ન 31.
ટ્રાન્સફોર્મરના લીધે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ પર દૈવી અસર થાય છે ?
ઉત્તર:
આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,
\(\frac{\mathrm{I}_p}{\mathrm{I}_s}=\frac{\mathrm{V}_s}{\mathrm{~V}_p}=\frac{\mathrm{N}_s}{\mathrm{~N}_p}\)
(i) જે પ્રાઇમરી કૉઇલ કરતાં સેકન્ડરી કૉઇલમાં આટાઓની સંખ્યા વધુ હોય, તો N_s > N_p તેથી સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફૉર્મર થશે. તેથી V_s > V_p થશે એટલે કે પ્રાઇમરીનાં વોલ્ટેજ કરતાં સેકન્ડરીમાં વોલ્ટર્જ વધશે અને I_p > I_s પરથી પ્રાઇમરી કૉઇલમાં પ્રવાહ કરતાં સેકન્ડરી કૉઈલમાં પ્રવાહ ઘટશે.

(ii) જો પ્રાઇમરી કરતાં સેકન્ડરીમાં આંયઓની સંખ્યા ઓછી હોય, તો N_s < N_p થશે અને ટ્રાન્સફોર્મર સ્ટેપ-ડાઉન થશે.
તેથી V_s < V_p થાય એટલે કે, પ્રાઇમરી વોલ્ટેજ કરતાં સેકન્ડરીમાં વોલ્ટેજ ઘટશે અને I_p < I_s થશે એટલે કે, પ્રાઇમરીમાં પ્રવાહ કરતાં સેકન્ડરીમાં પ્રવાહ વધશે.

પ્રશ્ન 32.
વાસ્તવિક દ્રાન્સફોર્મરમાં શેના કારણે અલ્પ માત્રામાં ઊર્જાનો વ્યય થાય છે ?
ઉત્તર:
(i) ફલક્સ લીકેજ : ગર્ભની નબળી ડિઝાઇન અથવા ગર્ભમાં હવાના ગેપના કારણે પ્રાઇમરી સાથે સંકળાયેલ બધું જ – લક્સ સેકન્ડરી કૉઇલમાંથી પસાર થતું નથી. પરિણામે
થોડુંક ફુલક્સ લીકેજ થાય છે. પ્રાઇમરી અને સેકન્ડરી કૉઈલને એકબીજા પર વીંટળીને આ લીકેજ ધટાડી શકાય.

(ii) વાઇન્ડિંગનો અવરોધ : વાઇનિંગમાં વપરાતા તારને – કેટલોક અવરોધ હોય છે તેથી તારમાંથી પ્રવાહ વહેતાં I²R સ્વરૂપે ઉખાં ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. વધારે મૂલ્યનો પ્રવાહ અને ઓછો વોલ્ટેજવાળા વાઇન્ડિંગમાં જાડા તારનો ઉપયોગ કરીને આ વ્યય લધુતમ કરી શકાય છે,

(iii) એ.ડી. પ્રવાહ (ઘૂમરી પ્રવાહ) : પ્રત્યાવર્તી (AC) ચુંબકીય લક્સ લોખંડના ગર્ભમાં એ.ડી. પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે, પરિણામે, ઉમા ઉત્પન્ન થાય છે, તેથી તેની ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. સ્તરો અથવા પટ્ટીઓના બનેલા ગર્ભનો ઉપયોગ કરીને આ અસર ઘટાડી શકાય છે.

(iv) હિસ્ટરીસીસ : પ્રત્યાવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ગર્ભનું ચુંબકીકરલ અને વિચુંબકીકરણ કરવામાં ગર્ભમાં ઊર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે દેખાય છે અને તેનો વ્યય થાય છે તેથી ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. ઓછા હિસિસ ધરાવતા ચુંબકીય દ્રવ્યના ગર્ભના ઉપયોગથી આ પ્રકારના વર્ષમાં ઘટાડો કરી શકાય છે.

(v) AC વોલ્ટેજ પર તૈન્સફૉર્મર કાર્ય કરે છે તેથી તેના દરેક ચક્ર દરમિયાન કૌરની લંબાઈમાં વધારો અને પટાડો થાય છે. પરિણામે ટ્રાન્સફોર્મર ગણગણાટ જેવો અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે તેથી થોક વિદ્યુતઊર્જા આ ગણગણાટના અવાજમાં વ્યય પામે છે,

પ્રશ્ન 33.
લાંબા અંતરો સુધી વિધુત પાવર પહોંચાડવા ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ સમજાવો.
ઉત્તર:

• ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરીને લાંબા અંતર સુધી વિદ્યુતઊર્જાનું મોટા પાયે પ્રસારણ અને વિતરણ કરવામાં આવે છે.
• જનરેટરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ સ્ટેપ-અપ કરવામાં આવે છે. જેથી પ્રવાહ ઘટે છે અને I²R જેટલી ઊર્જા ઘટે છે.
• ત્યારબાદ તેને લાંબા અંતરે ગ્રાહકોની નજીકના વિસ્તારના સબશન સુધી મોકલવામાં આવે છે.
• આ સબ-સ્ટેશને વોલ્ટેજને ઘટાડવામાં આવે છે. 240V ની પુરવઠો ઘરો સુધી પહોંચે તે પહેલાં વિતરણ સબ-સ્ટેશન અને
• થાંભલા ખાતે ટ્રાન્સફૉર્મર વડે તેને ફરીથી ધટાડવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 34.
ટ્રાન્સફોર્મરના અગત્યના ઉપયોગો વખો.
ઉત્તર:

1. રેડિયો રિસીવ૨, ટેલિફોન, લાઉડ સ્પિકરમાં નાના ટ્રાન્સફૉર્મરનો ઉપયોગ થાય છે.
2. TV રેફ્રિજરેટર, એરકન્ડિકશનર, કબૂટર્સ વગેરેમાં તથા વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટરમાં ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ થાય છે.
3. પાવર સપ્લાયને સ્ટેબિલાઇડ કરવા.
4. વિદ્યુત વૈલ્ડિંગ માટે મોટો વિદ્યુતપ્રવાહ મેળવવા સ્ટેપ- ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ થાય છે.
5. ભઠ્ઠીની અંદર ધાતુને ઓગાળવા સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ થાય છે.
6. X-ray નું ઉત્પાદન કરવા માટે સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ થાય છે.
7. પાવર સ્ટેશનમાં ઉત્પન્ન થતી વિદ્યુત ઊર્જાને ગ્રાહકો સુધી પહોંચાડવા ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ થાય છે.

દર્પણના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
એક શ્રેણી L-C-R પરિપથમાં એ.સી. વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ નીચે મુજબના છે.
ઉત્તર:
V = \(200 \sqrt{2} \cos \left(3000 t-55^{\circ}\right) \) V,
I = \(10 \sqrt{2} \cos \left(3000 t-10^{\circ}\right)\)A, તો પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અને અવરોધ R શોધો.
δ₁ = 10°,
δ₂ = 55°
∴ δ = δ₂ – δ₁ = 55° – 10° = 45°
V_m = 200\(\sqrt{2}\)
I_m = 10\(\sqrt{2}\)A
અહીં δ = 45°
∴ tan δ = tan 45°
∴ tan δ = 1
હવે, L-C-R શ્રેણી પરિપથ માટે,

∴ |Z| = \(\frac{200 \sqrt{2}}{10 \sqrt{2}}\)
∴ |Z| = 20 Ω ……………………………. (iii)
સમી. (i) અને (ii) પરથી
∴ 20 = \(\sqrt{2}\) × R
∴ 10\(\sqrt{2}\) = R
∴ 10 × 1.414 = R
∴ R = 14.14 Ω

પ્રશ્ન 2.
એક વિધુતપ્રવાહ 12 A ના ડી.સી. પ્રવાહ (Component) અને I= 9sinot A ના એ.સી. પ્રવાહ (Component) નો બનેલો છે, તો પરિણામી પ્રવાહનું સૂત્ર લખો અને I_rms શોધો.
ઉત્તર:
t સમયે પરિણામ પ્રવાહ
I = 12 + 9 sinωt
હવે I_rms = \(\sqrt{\left\langle\mathrm{I}^2\right\rangle}=\sqrt{\left\langle(12+9 \sin \omega t)^2\right\rangle}\)
∴ I_rms = \(\sqrt{\left.<144>+216 \sin \omega t+81 \sin ^2 \omega t\right\rangle} \) …………… (1)

અહીં સરેરાશ એક આવર્તકાળ પર છે.
∴ <144> = 144
∴ 216 <sinωt>= 0 અને 81<sin²ωt>= 81 × \(\frac{1}{2}\) = 40.5

સમી. (1) માં કિંમતો મૂકતાં,
∴ I_rms = \(\sqrt{144+0+40.5}\)
= \(\sqrt{184.5}\)
= 13.583
≈ 13.58 A

પ્રશ્ન 3.
એક્બીજા સાથે સમાંતર જોડેલ L₁ ને L₂ ઇન્ડક્ટાવાળા બે ગૂંચળાઓનો પરિણામી ઇન્ડક્ટન્સ શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે, આ ગૂંચળાઓના ઇન્ડક્ટવ રિએક્ટન્સ Z_L1 અને Z_L2 છે, તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી, પરિણામ રિએક્ટન્સ,
Z = \(\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}_1}\mathrm{Z}_{\mathrm{L}_2}}{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}_1}+\mathrm{Z}_{\mathrm{L}_2}}=\frac{j \mathrm{X}_{\mathrm{L}_1} \times j \mathrm{X}_{\mathrm{L}_2}}{j \mathrm{X}_{\mathrm{L}_1}+j \mathrm{X}_{\mathrm{L}_2}}\)
∴ Z = \(\frac{j \mathrm{X}_{\mathrm{L}_1}\mathrm{X}_{\mathrm{L}_2}}{\mathrm{X}_{\mathrm{L}_1}+\mathrm{X}_{\mathrm{L}_2}} \) ……………………… (i)

જો પરિણામી ઇન્ડક્ટન્સ L હોય તો, 2 = jωL.
વળી, X_L1= ωL₁, અને X_L2 = ωL₂
આ મૂલ્યો સમીકરણ (1) માં મૂક્તાં,
jωL = \(\frac{j \omega^2 \mathrm{~L}_1 \mathrm{~L}_2}{\omega \mathrm{L}_1+\omega \mathrm{L}_2}\)
∴ L = \(\frac{\mathrm{L}_1 \mathrm{~L}_2}{\mathrm{~L}_1+\mathrm{L}_2}\)

પ્રશ્ન 4.
આકૃતિમાં દશર્વિલ પરિપચ માટે આપેલ અવરોધ માટે કોણીય અનુનાદ આવૃત્તિ મેળવો. (માર્ચ-2013, 2018)
ઉત્તર:

અહીં, ઇન્ડક્ટર L અને અવરોધ R શ્રેણીમાં છે, જો તેમનો સમતુલ્ય ઇમ્પિડન્સ Z, હોય, તો
Z₁ = R + jX_L = R + jωL
આ Z₁ સાથે કેપેસિટર C સમાંતર છે, માટે સમગ્ર પરિપથનો સમતુલ્ય ઇમ્પિડન્સ Z હોય, તો
\(\frac{1}{Z}=\frac{1}{\mathrm{R}+j \omega \mathrm{L}}+j \omega \mathrm{C}\)
[∵ \(\frac{1}{-\frac{1}{\omega \mathrm{C}} j}=-\frac{\omega \mathrm{C}}{j}=j \omega \mathrm{C}\) ]
= \(\frac{\mathrm{R}-j \omega \mathrm{L}}{\mathrm{R}^2+\omega^2 \mathrm{~L}^2}+j \omega \mathrm{C}\)

જિમણી બાજુ પ્રથમ પદને R- jωLવડે ગુણતા અને ભાગતાં
= \(\frac{\mathrm{R}+j\left(\omega C \mathrm{R}^2+\omega^3 \mathrm{~L}^2 \mathrm{C}-\omega \mathrm{L}\right)}{\mathrm{R}^2+\omega^2 \mathrm{~L}^2}\)
∴ Z = \(\frac{\mathrm{R}^2+\omega^2 \mathrm{~L}^2}{\mathrm{R}+j\left(\omega \mathrm{CR}{ }^2+\omega^3 \mathrm{~L}^2 \mathrm{C}-\omega \mathrm{L}\right)}\)

હવે, Z નું મૂલ્ય આપેલા R માટે મહત્તમ મેળવવા માટે કેદમાં (j નો સહગુણક) શૂન્ય થવો જોઈએ.
∴ ωCR²+ω³L²C – ωL = 0
∴ ω²L²C = L – CR²
∴ ω² = \(\frac{1}{\mathrm{LC}}-\frac{\mathrm{R}^2}{\mathrm{~L}^2}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{1}{\mathrm{LC}}-\frac{\mathrm{R}^2}{\mathrm{~L}^2}}\)

પ્રશ્ન 5.
અવરોધ R(Ω) અને કેપેસિટર C(F)ને શ્રેણીમાં જોડી તે સંયોજનને સમાંતર V વોટનું આવૃત્તિવાળું A.C, ઉદ્ગમ જોડ્યું છે. હવે ઉદ્ગમના વોલ્ટેજમાં ફેરફાર કર્યા સિવાય જો આવૃત્તિ \(\frac{\omega}{3}\)કરવામાં આવે, તો માલૂમ પડે છે કે પ્રવાહ અડધો થઈ જાય છે, તો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ અને અવરોધનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:
પ્રથમ કિસ્સો :
(અહીં I અને V નાં rms મૂલ્યોને સગવડતા ખાતર I અને V વડે દેશવિલ છે.)
I = \(\frac{\mathrm{V}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\frac{1}{\omega^2 \mathrm{C}^2}}}\)
∴ I² = \(\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}^2+\mathrm{X}_{\mathrm{C}^2}}\) …………………….. (i)

દ્વિતીય કિસ્સો :
\(\frac{\mathrm{I}}{2}=\frac{\mathrm{V}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\frac{9}{\omega^2 \mathrm{C}^2}}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{I}^2}{4}=\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}^2+9 \mathrm{X}_{\mathrm{C}^2}}\) …………………….. (ii)
સમીકરણ (i) ને (ii) વડે ભાગતાં,

પ્રશ્ન 6.
એક L-C-R એ.સી. શ્રેણી પરિપથ માટે L = 5H, ω = 100 rads^-1, R = 100 Ω અને પાવર ફેક્ટર 0.5 છે, તો પરિપથમાં કૅપેસિટન્સનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
પાવર ફંકટર cosδ = \(\frac{\mathrm{R}}{\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\omega \mathrm{L}-\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\right)^2}}\)
બંને બાજુ વર્ગ લેતાં, cos²δ = \(\frac{\mathrm{R}^2}{\mathrm{R}^2+\left(\omega \mathrm{L}-\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\right)^2}\)

∴ C = \(\frac{1}{326.8 \times 100}\) = 0.00003059
≈ 30.6 × 10^-6 F
= 30.6 μF

પ્રશ્ન 7.
230 V નો અને 500 Hz આવૃત્તિવાળો એક AC ઉદ્ગમમ L= 8.1 mH, C = 12.5 μF અને R = 100 Ω સાથે શ્રેણીમાં જોડેલ છે, તો અવરોધના બે છેડા વચ્ચે વોલ્ટેજ શોધો.
ઉત્તર:
L – C – R શ્રેણી-પરિપથ માટે ઇમ્પિડન્સ,
|Z| = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{L}}-\mathrm{X}_{\mathrm{C}}\right)^2}\)
જયાં, X_L= ωL = 2πfL
= 2 × 3.14 × 500 × 8.1 × 10^-3
= 25.4 Ω

અને X_C = \(\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2 \pi f C}\)
= \(\frac{1}{2 \times 3.14 \times 500 \times 12.5 \times 10^{-6}}\) = 25.4 Ω
∴ |Z| = \(\sqrt{(10)^2+(25.4-25.4)^2}\) = 10Ω

હવે I_rms = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{|\mathrm{Z}|}=\frac{230}{100}\) = 2.3 A
∴ અવરોધના બે છેડા વચ્ચેના વોલ્ટેજ
V_R = I_rms × R = 2.3 × 100
∴ V_R = 230 V

પ્રશ્ન 8.
એક R-C એ.સી. પરિપથમાં મહત્તમ વોલ્ટેજ 200 V તથા મહત્તમ પ્રવાહ 2.2 A છે, તો પરિપથમાં વપરાતો પાવર અને પાવર ફેક્ટર ગણો. (અગે X_C = 60 Ω અને R = 80 Ω]
ઉત્તર:
અહીં V_m = 200 V ,
I_m = 2.2 A,
X_C = 60 Ω,
R = 80 Ω

|Z| = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{X}_{\mathrm{C}}^2}\)
= \(\sqrt{(80)^2+(60)^2}=\sqrt{6400+3600}\)
= \(\sqrt{10000}\)
∴ |Z| = 100 Ω

અને પાવર ફેક્ટર cosδ = \(\frac{\mathrm{R}}{|\mathrm{Z}|}=\frac{80}{100}\)
∴ cosδ = 0.8
∴ પરિપથમાં વપરાતો પાવર P = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) cosδ
∴ P = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{2}\) cosδ
∴ P = \(\frac{200 \times 2.2 \times 0.8}{2}\)
∴ P = 176 W

વિશેષ માહિતી :
બે અલગ-અલગ ધટના, સમાન ગાણિતિક પ્રક્રિયા ધોરણ XI, ભૌતિકવિજ્ઞાન પાઠયપુસ્તક પરિચ્છેદ 14.10 માં વર્ણવેલ બળપ્રેરિત અવમંદિત દોલનોની ગાણિતિક સરખામણી, at વોલ્ટેજ લગાડેલા LCB પરિપથની ગાણિતીક પ્રક્રિયા સાથે કરવાની તમને ગમશે. અર્શી, સમીકરણ (7.28), ધોરણ XI પાઠયપુસ્તકનાં સમીકરણ [1437 (b)] માં વપરાલ સંશા અને પ્રાચલો જુદા જુદ્ધ હોવા છતાં તેના જેવું છે. માટે આપણે રખા બંને સ્થિતિ માટે રાશિઓની સમતુલ્યતાની સૂચિ તૈયાર કરીએ,

તમારે તે અવશ્ય નોંધવું જોઈએ કે, સ્થાનાંતર (x) ને અનુરૂપ વીજભાર (q), કંપવિસ્તાર A (મહત્તમ સ્થાનાંતર)ને અનુરૂપ સંગ્રહિત મહત્તમ વીજભાર q_m થશે. ધોરન્ન XI નું સમીકરણ [14.39 (a)] દૌલનોનો કંપવિસ્તાર અન્ય પ્રાચલના પદમાં આપે છે જેને સગવડ ખાતર અહીં ફરી રજૂ કરેલ છે.

ઉપરોક્ત સમીકરણમાં દરેક પ્રાચલોને અનુરૂપ વિદ્યુતીય રાશિઓ મૂકીએ અને જોઈએ શું થાય છે? X_L = ωL, X_C = \( \frac{1}{\omega C}\) અને ω₀² = \(\frac{1}{\mathrm{LC}}\)નો ઉપયોગ કરીને L, C, D અને 6, નો લોપ કરો. જયારે તમે સમીકરણ (7.33) અને (7.34) નો ઉપયોગ કરશો તો જોઈ શકશો કે તેમાં સંપૂર્ણ સામ્યતા છે.

ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં તમને આવી ઘણી પરિસ્થિતિ જોવા મળશે કે જેમાં જુદી જુદી ઘટનાઓ સમાન ગાણિતિક સમીકરડ્યો વડે રજૂ કરવામાં આવે છે. આ પૈકીની કોઈ એક સાથે તમે કામ પાડેલું હોય, તો તમે અન્ય પરિસ્થિતિઓ માટે અનુરૂપ રાશિઓની ફેરબદલી કરીને તમે નવા સંદર્ભમાં પરિણામોનું અર્થઘટન કરી શકો છો. તમે ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં જુદા જુદા ક્ષેત્રોમાંથી આવી જ સમાન પરિસ્થિતિઓ શોધવાનો પ્રયત્ન કરો તેમ અમે સૂચવીએ છીએ. અલબત્ત, તમે તફાવતથી પણ પરિચિત હોવા જોઈએ.