GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 5 ગતિના નિયમો

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 5 ગતિના નિયમો Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 5 ગતિના નિયમો

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
બળનો પ્રાથમિક ખ્યાલ આપો અને તેનાથી ઉત્પન્ન થતી મુખ્ય અસરો જણાવો.
ઉત્તર:
પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ કરાવવા માટે, ગતિમાન પદાર્થની ગતિ ધીમી પાડવા અથવા અટકાવવા માટે અથવા તેની ગતિની
દિશા બદલવા માટે બાહ્ય બળ જરૂરી છે. આવું બળ પૂરું પાડવા માટે કોઈક બાહ્ય પરિબળ જરૂરી છે. આ બાહ્ય પરિબળ પદાર્થ સાથે સંપર્કમાં હોય પણ ખરું અથવા ન પણ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, સ્થિર રહેલા ફૂટબૉલને ખસેડવા તેને લાત (Kick) મારવી પડે છે. જ્યારે ગજિયો ચુંબક દૂરથી લોખંડની ખીલીને આકર્ષી શકે છે.

પદાર્થ પર બળ લગાડવાથી નીચે મુજબની ત્રણ પ્રકારની અસર થાય છે :

1. બળ પદાર્થની ગતિમાં ફેરફાર કરી શકે છે, એટલે કે પદાર્થની ગતિ ધીમી અથવા ઝડપી કરી શકે છે. બળ ગતિમાન પદાર્થને સ્થિર પણ કરી શકે છે.
2. બળ પદાર્થની ગતિની દિશા બદલી શકે છે.
3. બળ પદાર્થનો આકાર બદલી શકે છે.

પ્રશ્ન 2.
સંપર્ક બળ એટલે શું? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
પદાર્થ સાથે યાંત્રિક સંપર્ક કરી જે બળ લગાડવામાં આવે છે, તેને સંપર્ક બળ કહે છે.

• ઉદાહરણ તરીકે, દડાને ઊંચે ફેંકવા માટે આપણે તેને ઉપર તરફ ધકેલવો પડે છે. સ્થિર ઊભેલી લારીને ગતિ કરાવવા માટે તેને ધક્કો મારવો પડે છે. ઢાળ પરથી ગબડતા દડાને અટકાવવા માટે આપણે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હાથ વડે બાહ્ય બળ લગાડીએ છીએ.
• આમ, પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ કરાવવા તેમજ તેની ગતિને ધીમી પાડવા અથવા અટકાવવા માટે વસ્તુ સાથેનો સંપર્ક હોવો જરૂરી છે.
• આ રીતે સંપર્કમાં રહીને લાગતા કે લગાડેલા બળને સંપર્ક બળ કહે છે.

પ્રશ્ન 3.
ક્ષેત્રબળ વિશે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
પદાર્થ પોતાના વિશિષ્ટ ગુણધર્મને લીધે પોતાની આસપાસના વિસ્તારમાં ગુણધર્મ અનુસાર જે-તે ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ક્ષેત્રમાં કોઈ પણ બિંદુએ મૂકેલા બીજા પદાર્થ ૫૨, ક્ષેત્રની એજન્સી દ્વારા બળ લાગે છે. આવા બળને ક્ષેત્રબળ (Field force) કહે છે.

• ઉદાહરણ તરીકે, મકાનની ટોચ પરથી મુક્ત કરેલો પદાર્થ પૃથ્વી તરફ પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. પૃથ્વી તે પદાર્થના સંપર્કમાં નથી પણ પૃથ્વીના ગુરુત્વક્ષેત્રને લીધે પદાર્થ પર લાગતું બળ પ્રવેગિત ગતિ માટે જવાબદાર છે.
  ચુંબકથી થોડે દૂર લોખંડની ખીલી મૂકતાં તે આકર્ષણ પામી ચુંબક તરફ ગતિ કરે છે. અહીં ચુંબકના ચુંબકીય ક્ષેત્રના કારણે ખીલી પર બળ લાગે છે.
• ગુરુત્વક્ષેત્ર, વિદ્યુતક્ષેત્ર, ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેવાં ક્ષેત્રોને લીધે લાગતાં બળોને ક્ષેત્રબળો કહે છે.

પ્રશ્ન 4.
ગતિ વિશે એરિસ્ટોટલનો ખ્યાલ શો હતો? તેની ગતિ વિશેની વિચારસરણીમાં શું ખામી હતી?
ઉત્તર:
ગ્રીક તત્ત્વચિંતક એરિસ્ટોટલનો ગતિ વિશે ખ્યાલ એવો હતો કે જો પદાર્થ નિયમિત કે અનિયમિત ગતિમાં હોય, તો તેની ગતિ ચાલુ રાખવા માટે બહારથી બાહ્ય બળની જરૂર પડે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, લીસી લાગતી સમક્ષિતિજ સડક પર એક જ સુરેખામાં નિયમિત ગતિ કરતી સાઇકલને પેડલ મારવાનું બંધ કરીએ તો સાઇકલ થોડી વારમાં અટકી પડે છે. સાઇકલને નિયમિત ગતિમાં રાખવા માટે તેને પેડલ મારીને બાહ્ય બળ લગાડતા રહેવું પડે છે.

• હકીકતમાં સડક વડે લાગતું બાહ્ય ઘર્ષણબળ સાઇકલની ગતિને અવરોધે છે. તેથી તેની ગતિ ચાલુ રાખવા પેડલ મારવા પડે છે.
• વિશ્વમાં ઘન પદાર્થો માટે ઘર્ષણ અને તરલ પદાર્થો માટે શ્યાનતા જેવા ગતિનો વિરોધ કરનારાં બળો હંમેશાં હાજર હોય છે. તેથી પદાર્થોની નિયમિત ગતિ ચાલુ રાખવા માટે અવરોધ બળોનો સામનો કરવા બાહ્ય પરિબળો વડે બળ લગાડવાની જરૂર પડે છે.
• અહીં એરિસ્ટોટલની વિચારસરણીમાં ખામી એ હતી કે તેણે અનુભવેલા કોઈક વ્યવહારુ અનુભવને કુદરતનો મૂળભૂત નિયમ ગણી લીધો. બળો અને ગતિ માટેનો કુદરતનો નિયમ શું છે તે જાણવા માટે ગતિને અવરોધતાં ઘર્ષણબળો હોય જ નહિ તેવી સ્થિતિની કલ્પના કરવી પડે.
• આથી ગતિ અંગેના એરિસ્ટોટલના મોટા ભાગના ખ્યાલો આજે ખોટા જણાયા છે.

પ્રશ્ન 5.
ગતિ વિશે ગૅલેલિયોનો ખ્યાલ રજૂ કરતા પ્રયોગોનું વર્ણન કરો.
ઉત્તર:
ગલેલિયોના મત અનુસાર, પદાર્થને પોતાની નિયમિત ગતિ ચાલુ રાખવા માટે કોઈ બાહ્ય બળની જરૂર પડતી નથી. આના સમર્થનમાં તેણે બે પ્રયોગો રજૂ કર્યા.

1. સમતલ ઢાળ પર પદાર્થની ગતિનો પ્રયોગ : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગતિનો અભ્યાસ કરવા માટે ગૅલેલિયોએ સમતલ ઢાળનો ૐ ઉપયોગ કર્યો.

આ પ્રયોગ પરથી તેણે નીચે મુજબનાં અવલોકનો કર્યાં :

• ઢાળ પર નીચે તરફ ગતિ કરતાં પદાર્થો પ્રવેગિત થાય છે, એટલે કે તેમની ઝડપ વધે છે.
• ઢાળ પર ઉપર તરફ ગતિ કરતાં પદાર્થો પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે, એટલે કે તેમની ઝડપ ઘટે છે.
• આ બે અવલોકનો પરથી ગલેલિયોએ તારણ કાઢ્યું કે, સમક્ષિતિજ સમતલ પરની ગતિ એ વચગાળાની સ્થિતિ છે. ઘર્ષણ રહિત સમક્ષિતિજ સમતલ પર ગતિ કરતાં પદાર્થને પ્રવેગ કે પ્રતિપ્રવેગ હોઈ શકે નહિ. તે અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવો જોઈએ.

2. બે ઢળતા સમતલો પર પદાર્થની ગતિનો પ્રયોગ : આ પ્રયોગમાં ગૅલેલિયોએ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે ઢળતા સમતલોનો ઉપયોગ કર્યો.

આ પ્રયોગ પરથી તેણે નીચે મુજબનાં અવલોકનો કર્યાં :

• જ્યારે એક સમતલ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરેલ દડો ગબડીને નીચે આવે છે અને બીજા સમતલ પર ઉપર ચડે છે. જો સમતલ ઘર્ષણ રહિત હોય, તો દડાએ પ્રાપ્ત કરેલી અંતિમ ઊંચાઈ એ મૂળ ઊંચાઈ જેટલી હોય છે. (જુઓ આકૃતિ (a))
• જ્યારે બીજા સમતલનો ઢાળ ઓછો રાખવામાં આવે અને પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરવામાં આવે તો દડો તેટલી જ ઊંચાઈએ પહોંચે છે પણ આ માટે તેને વધારે લાંબું અંતર કાપવું પડે છે. (જુઓ આકૃતિ (b))
• જ્યારે બીજા સમતલનો ઢાળ શૂન્ય કરવામાં આવે એટલે કે સમતલ સમક્ષિતિજ બને ત્યારે દડો તેટલી જ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે અનંત અંતર કાપે છે. આ ત્યારે જ શક્ય છે, જ્યારે દડો નિયમિત ગતિ કરતો હોય.
  આમ, બંને પ્રયોગો પરથી ગલેલિયોએ તારણ કાઢ્યું કે પદાર્થને પોતાની નિયમિત ગતિ ચાલુ રાખવા માટે કોઈ બાહ્ય બળની જરૂર પડતી નથી.

પ્રશ્ન 6.
“પદાર્થની સ્થિર અવસ્થા અને નિયમિત ગતિની અવસ્થા સમાન છે.” શું આપ આ વિધાન સાથે સંમત છો? શા માટે?
ઉત્તર:
આપેલ વિધાન સાથે સંમત છીએ, કારણ કે …

• ઘર્ષણ એ ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું એક બાહ્ય બળ છે, જે તેની ગતિનો વિરોધ કરે છે. આ ઘર્ષણનો વિરોધ કરતું બીજું પૂરતું બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે, તો પદાર્થ પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય બને અને પદાર્થનો અચળ વેગ (નિયમિત વેગ) જળવાઈ રહે છે.
• પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં હોય ત્યારે પણ તેના પર કોઈ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
• આમ, પદાર્થની સ્થિર અવસ્થા અને નિયમિત ગતિની અવસ્થામાં બળને લાગેવળગે છે ત્યાં સુધી સમતુલ્ય છે. બંને અવસ્થાઓમાં પદાર્થ ૫૨ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 7.
પદાર્થનું જડત્વ એટલે શું? તે શેના પર આધારિત છે?
ઉત્તર:
પદાર્થ પોતાની સ્થિર અથવા નિયમિત ગતિની અવસ્થામાં આપમેળે ફેરફાર કરી શકતો નથી. પોતાની અવસ્થા જાતે ન બદલવાના પદાર્થના ગુણધર્મને પદાર્થનું ‘જડત્વ’ (Inertia) કહે છે.

1. જડત્વ એટલે ‘ફેરફારનો વિરોધ’.
2. પદાર્થનું દળ જડત્વનું માપ છે, જે પદાર્થનું દળ વધુ હોય તેનું જડત્વ પણ વધુ હોય છે.

પ્રશ્ન 8.
ન્યૂટનનો ગતિનો પહેલો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
ગૅલેલિયોના જડત્વના નિયમને ન્યૂટને ગતિના પહેલા નિયમ તરીકે નીચે મુજબ રજૂ કર્યો :
“દરેક પદાર્થ તેની સ્થિર અવસ્થા અથવા નિયમિત સુરેખ ગતિની અવસ્થા જાળવી રાખે છે સિવાય કે કોઈ બાહ્ય બળ તેને અન્ય કંઈક કરવાની ફરજ પાડે.”

• સ્થિર અવસ્થા અથવા નિયમિત ગતિની અવસ્થા બંને શૂન્ય પ્રવેગ દર્શાવે છે. આ સંદર્ભમાં ગતિનો પહેલો નિયમ આ પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય :
  “જો પદાર્થ પર ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. જો પદાર્થ પર ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું હોય, તો જ તેનો પ્રવેગ અશૂન્ય હોય છે.”
• પદાર્થ પર ચોખ્ખું બળ લગાડતાં તે સ્થિર હોય, તો ગતિમાં આવે છે અને ગતિમાં હોય, તો તેનો વેગ બદલાય છે.
• આમ, બંને કિસ્સામાં તેમનામાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. આથી બળ એ પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરનાર કારણ તરીકે ઊપસી આવે છે. સ્થિર પદાર્થ અને નિયમિત ગતિ કરતા પદાર્થ પર ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય છે. આથી પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય છે તેમ કહેવાય.
• આમ, બળ એક એવી ભૌતિક રાશિ છે, જેના કારણે સ્થિર પદાર્થ ગતિમાં આવે છે અને ગતિમાન પદાર્થના વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
• આમ, ન્યૂટનનો ગતિનો પહેલો નિયમ બળની વ્યાખ્યા આપે છે. બળના મૂલ્ય અંગે માહિતી આપતો નથી.

પ્રશ્ન 9.
શું પૃથ્વી પર રહેલ સ્થિર પદાર્થ કે નિયમિત ગતિ કરતાં પદાર્થ પર બળો લાગે છે? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
પૃથ્વી પર કોઈ પદાર્થ સ્થિર હોય કે નિયમિત સુરેખ ગતિ કરતો હોય, તો તેના પર બળો લાગે છે. પદાર્થ પર લાગતાં જુદાં જુદાં બાહ્ય બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે, એટલે કે ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય બને છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમક્ષિતિજ સપાટી પર સ્થિર રહેલા પુસ્તક પર બે બાહ્ય બળો લાગે છે : (1) ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે લાગતું બળ એટલે કે વજન W અધોદિશામાં અને (2) ટેબલ દ્વારા પુસ્તક પર લાગતું લંબબળ R ઊદિશામાં. અહીં, લંબબળR એ વજન Wના જેટલું અને ઊદિશામાં હોવાથી પુસ્તક પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય થાય છે.

સીધી સડક પર નિયમિત ગતિ કરતી કાર જ્યારે સ્થિર હોય ત્યારે તેના પર કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું નથી. જ્યારે તે ઝડપ પકડે છે ત્યા૨ે તે પ્રવેગિત થાય છે ત્યારે તેના પર ચોખ્ખું બળ લાગે છે. ઘર્ષણબળ કારને પ્રવેગિત ગતિ આપે છે. કાર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે ત્યારે ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું નથી.

પ્રશ્ન 10.
સ્થિર બસમાં આપણે ઊભા હોઈએ અને બસ એકાએક ગતિમાં આવે, તો આપણે પાછળની તરફ શાથી ફેંકાઈ જઈએ છીએ?
ઉત્તર:
સ્થિર બસમાં આપણે ઊભા હોઈએ ત્યારે આપણા પગ બસના તળિયાના સંપર્કમાં હોય છે તથા પગ અને બસના તળિયા વચ્ચે ઘર્ષણ હોય છે.

• જો ઘર્ષણ ન હોય અને બસ ચાલુ થાય તો આપણે જ્યાં હતા ત્યાં જ રહેત અને બસનું તળિયું આપણા પગ નીચે આગળ ખસત અને બસનો પાછળનો ભાગ આપણને અથડાત.
• જ્યારે બસ એકાએક ચાલુ થાય છે ત્યારે આપણા પગ ઘર્ષણના કારણે બસની સાથે ગતિ કરે છે, ત્યારે શરીરનો પગ સિવાયનો ભાગ જડત્વના કારણે જ્યાં હોય ત્યાં જ રહે છે. તેથી બસની સાપેક્ષે આપણે બસના પ્રવેગની દિશાની વિરુદ્ધમાં પાછળની તરફ ફેંકાઈ જઈએ છીએ.

પ્રશ્ન 11.
વેગમાનની વ્યાખ્યા, એકમ તથા પારિમાણિક સૂત્ર જણાવી તેની અગત્ય ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકારને વેગમાન કહે છે.
વેગમાન = દળ × વેગ
\(\vec{p}=m \vec{v}\)

• વેગમાન એ દિશ રાશિ છે અને તેની દિશા વેગની દિશામાં જ હોય છે. વેગમાનનો SI એકમ kg m s^-1 અથવા N s છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L¹T^-1 છે.
• વેગમાન વડે વેગ કરતાં કંઈક વધારે માહિતી મળે છે.
  ઉદાહરણ :
  1. સમાન વેગ ધરાવતાં એક કાંકરી અને પથ્થર આપણને વાગે, તો કાંકરી કરતાં પથ્થર આપણને વધુ ઈજા કરે છે, કારણ કે પથ્થરનું દળ વધારે હોવાથી તેનું વેગમાન કાંકરીના વેગમાન કરતાં વધુ હોવાથી પથ્થર વધુ ઈજા કરે છે.
  2. સમાન વેગની ગતિ કરતાં બે વાહનો ટ્રક અને સાઇકલને આપેલ સમયગાળામાં રોકવા માટે સાઇકલ કરતાં ટ્રક પર વધારે બળ લગાડવું પડે છે, કારણ કે તેનું દળ વધારે હોવાથી વેગમાન વધારે હોય છે.
• અવલોકનો દર્શાવે છે કે, દળ અને વેગનો ગુણાકાર (વેગમાન), ગતિ પર બળની અસર ઊપજાવવામાં પાયાની બાબત છે.

પ્રશ્ન 12.
“વેગમાન અને વેગમાનનો ફેરફાર હંમેશાં એક જ દિશામાં હોતાં નથી.” ઉદાહરણ આપી સમજાવો.
ઉત્તર:
દોરીના એક છેડે પથ્થર બાંધીને સમક્ષિતિજ સમતલમાં અચળ ઝડપથી ઘુમાવવામાં આવે ત્યારે વેગમાનનું મૂલ્ય અચળ રહે છે, પણ તેની દિશા સતત બદલાય છે. (જુઓ આકૃતિ 5.3)

• અહીં, વેગમાન એ વેગની દિશામાં એટલે કે વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં અને વેગમાનનો ફેરફાર(સદિશ) કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે. આમ, સ્પષ્ટ થાય છે કે વેગમાન અને વેગમાનનો ફેરફાર હંમેશાં એક જ દિશામાં હોતા નથી.
• હવે, આ વેગમાન સંદેશમાં ફેરફાર કરવા માટે બળની જરૂર પડે છે. આવું બળ આપણા હાથ વડે દોરી મારફતે લગાડાય છે.
• પથ્થરને વધારે ઝડપથી અથવા નાની ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ઘુમાવવા આપણે હાથ વડે મોટું બળ લગાડવાની જરૂર પડે છે.
• આ દર્શાવે છે કે વેગમાન સંદેશનો ફેરફાર મોટો હોય, તો લગાડેલું બળ પણ મોટું હોય.
• આ અવલોકન પરથી ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ મળે છે.

પ્રશ્ન 13.
ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લખો અને સાબિત કરો \(\vec{F}=m \vec{a}\).
ઉત્તર:
ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ : પદાર્થના વેગમાનના ફેરફારનો દર લાગુ પાડેલા બળના સમપ્રમાણમાં અને લગાડેલા બળની દિશામાં હોય છે.

• ધારો કે, પદાર્થ પર બળ \(\vec{F}\), Δt સમયગાળા માટે લગાડતાં \(\vec{υ}\) તેનો વેગ \(\vec{υ}\) થી બદલાઈને \(\vec{υ}\) + Δ\(\vec{υ}\) થાય છે.
  પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન \(\vec{p}_{\mathrm{i}}=m \vec{v}\)
  પદાર્થનું અંતિમ વેગમાન \(\overrightarrow{p_{\mathrm{f}}}=m(\vec{v}+\Delta \vec{v})\)
  પદાર્થના વેગમાનમાં ફેરફાર \(\Delta \vec{p}=\vec{p}_{\mathrm{f}}-\vec{p}_{\mathrm{i}}\)
  = \(m(\vec{v}+\Delta \vec{v})-m \vec{v}\)
  \(\Delta \vec{p}=m \Delta \vec{v}\)
• ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,
  \(\vec{F} \propto \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}=k \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\)
  જ્યાં, k સમપ્રમાણતા અચળાંક છે.
  Δ t → 0નું લક્ષ લેતાં,

આમ, પદાર્થ પર લાગતું બળ એ દળ અને પ્રવેગના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે.

પ્રશ્ન 14.
બળનો SI એકમ લખો અને તેને વ્યાખ્યાયિત કરો. પદાર્થ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય કેવી રીતે ગણી શકાય?
ઉત્તર:
ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,
\(\vec{F}=k m \vec{a}\)
અહીં, નું કોઈ પણ મૂલ્ય પસંદ કરવાની સ્વતંત્રતા છે. સરળતા ખાતર k = 1 લેતાં,
\(\vec{F}=m \vec{a}\)
બળનો SI એકમ = kg m s^-2 = newton (N)
વ્યાખ્યા : 1 kg દળના પદાર્થમાં 1 ms^-2નો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરતા બળને 1 N બળ કહે છે.
(CGS પદ્ધતિમાં બળનો એકમ dyne છે. 1 N = 10⁵ dyne)

• બળનું પારિમાણિક સૂત્ર : M¹ L¹ T^-2
• m દળના અને \(\vec{v}_1\) વેગ ધરાવતા પદાર્થ પર બળ \(\vec{F}\), Δt સમયગાળા માટે લગાડતાં તેનો વેગ \(\vec{v}_2\), થાય, તો \(\vec{a}=\frac{\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}}{\Delta t}\) પરથી પદાર્થનો પ્રવેગ શોધી, \(\vec{F}=m \vec{a}\) સૂત્ર પરથી બળ \(\vec{F}\) નું મૂલ્ય ગણી શકાય.

પ્રશ્ન 15.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ લખો અને તેના મહત્ત્વના કિસ્સા ચર્ચો.
ઉત્તર:
ન્યૂટનના ગતિના નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ :
\(\vec{F}=m \vec{a}\)
(1) જો \(\vec{F}\) = 0 હોય, તો \(\vec{a}\) = 0 થાય. આથી પદાર્થનો વેગ \(\vec{υ}\) = અચળ.
આ હકીકત ન્યૂટનના પહેલા નિયમ સાથે સુસંગત છે.

(2) આ નિયમ સદિશ નિયમ છે. આથી બળના X, Y અને Z દિશાના ઘટકો નીચે મુજબ લખી શકાય :
F_x = \(\frac{d p_{\mathrm{x}}}{d t}\) = ma_x
F_y = \(\frac{d p_{\mathrm{y}}}{d t}\) = ma_y
F_z = \(\frac{d p_{\mathrm{z}}}{d t}\) = ma_z
જ્યાં, a_x, a_y‚ અને a_y અનુક્રમે X, Y અને Z દિશામાં પ્રવેગના ઘટકો છે.
∴ \(\vec{F}\) = F_x î + F_y ĵ + F_zk̂
એટલે કે, પદાર્થના વેગ અને તેના પર લાગતા બળ વચ્ચે ખૂણો રચાતો હોય, તો બળની દિશામાંના વેગનો ઘટક બદલાય પણ બળને લંબિંદશામાંનો વેગનો ઘટક અચળ રહે છે. દા. ત., અધોદિશામાં ગુરુત્વબળની અસર નીચે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિમાં વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.

(3) આ નિયમ બિંદુરૂપ કણને લાગુ પડે છે. નિયમમાં \(\vec{F}\) એ કણ પરનું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ અને \(\vec{a}\) કણનો પ્રવેગ છે.
આ નિયમ એ દૃઢ પદાર્થ એટલે કે કણોના તંત્રને પણ લાગુ પડે છે. જેમાં \(\vec{F}\) એ તંત્ર પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ અને \(\vec{a}\) એ સમગ્ર
તંત્રનો અથવા તે તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ છે. અહીં તંત્રનાં આંતરિક બળોને ગણતરીમાં લેવાતાં નથી.

(4) અવકાશમાં પદાર્થના સ્થાને આપેલા બિંદુએ આપેલી ક્ષણે પદાર્થનો પ્રવેગ \(\vec{a}\) તે બિંદુએ તે ક્ષણે તેના પર લાગતા બાહ્ય બળ \(\vec{F}\) વડે નક્કી થાય છે. પદાર્થ તે અગાઉની ક્ષણો કે અગાઉના પ્રવેગની સ્મૃતિ ધરાવતો નથી. દા. ત., પ્રવેગિત ટ્રેનમાંથી બહાર પડવા દીધેલા પથ્થરને તે પછીની ક્ષણે સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રવેગ હોતો નથી.

આઘાત (Impulse)
પ્રશ્ન 16.
બળનો આઘાત એટલે શું? સમજાવો.
ઉત્તર:
પદાર્થ પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) અને તે લાગતું હોય તે દરમિયાનના સમયગાળાના ગુણાકારને બળનો આઘાત (Impulse of force) કહે છે.

• ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર, \(\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}\)
  ∴ બળનો આઘાત \(\vec{F}\)dt = d\(\vec{F}\) = વેગમાનનો ફેરફાર
• જ્યારે મોટા મૂલ્યનું બળ બહુ જ અલ્પ સમય સુધી લાગતું હોય ત્યારે બળનું અને સમયગાળાનું મૂલ્ય જુદું જુદું મેળવવાનું મુશ્કેલ હોય છે, પરંતુ વેગમાનનો ફેરફાર માપી શકાય છે.

• ઉદાહરણ તરીકે, m દળનો એક દડો \(\vec{υ}\) વેગથી ગતિ કરીને \(\vec{υ}\)‘ વેગથી પાછો ફેંકાય છે ત્યારે દીવાલ વડે દડા પર અલ્પ સમય માટે જ બળ લાગે છે. આ દડાના વેગ છે \(\vec{υ}\) અને \(\vec{υ}\)‘ માપીને વેગમાનનો ફેરફાર જાણી શકાય છે.
• દડાનું અથડામણ પહેલાંનું વેગમાન \(\vec{p}=m \vec{v}\)
• દડાનું અથડામણ બાદનું વેગમાન \(\overrightarrow{p^{\prime}}=m \overrightarrow{v^{\prime}}\)
  ∴ આઘાતી બળ \(\vec{F}\) dt = વેગમાનમાં ફેરફાર
  = \(\vec{p}^{\prime}-\vec{p}\)
  = m\(\vec{υ}^{\prime}-\vec{υ}\)
• આવા અલ્પ સમય માટે લાગતા બળને આઘાતી બળ કહે છે.
• બળના આઘાતનો SI એકમ kgm s^-1 અથવા N s છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹ L¹T^-1 છે.
• બળનો આઘાત સદિશ રાશિ છે. તેની દિશા બળની દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 17.
અનુભવી ક્રિકેટર બૉલને કૅચ કરે ત્યારે તેનો હાથ આગળ લઈ જઈ ફ્રેંચ કરીને પાછળની તરફ લઈ જાય છે? શા માટે?
ઉત્તર:
ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર,

આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે, જો સંપર્કસમય મોટો કરવામાં આવે, તો બળની અસર ઓછી થાય છે.

આથી ક્રિકેટર બૉલને કૅચ કરે ત્યારે તેનો હાથ આગળ લઈ જઈ મૅચ કરીને પાછળની તરફ લઈ જાય છે, જેથી હાથ અને બૉલનો સંપર્કસમય વધે છે અને હાથ પર બળની અસર ઓછી થાય છે.

જો ક્રિકેટર તેનો હાથ સ્થિર રાખીને બૉલને કૅચ કરવાનો પ્રયત્ન કરે તો તેના વેગમાનમાં ફેરફાર ઝડપથી થાય છે અને બળનો આઘાત મોટો લાગે છે. પરિણામે તેના હાથના પંજાને ઈજા થવાની શક્યતા રહે છે.

વિશેષ માહિતી
આઘાત : જ્યારે ક્રિકેટર બૉલને બૅટથી ફટકારે છે ત્યારે બૉલ પર બળ ખૂબ જ ઓછા સમય માટે લાગે છે અને આ બળ સમય સાથે બદલાતું હોય છે. બળ – સમયનો આલેખ આકૃતિ 5.5માં દર્શાવ્યો છે.

• બૉલ જ્યારે બૅટના સંપર્કમાં આવે છે તે પહેલાં બળનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે અને સંપર્ક દરમિયાન બળનું મૂલ્ય વધીને મહત્તમ થાય છે. ત્યારબાદ બૉલ, બૅટનો સંપર્ક ગુમાવે છે ત્યારે બળનું મૂલ્ય ઘટીને શૂન્ય થાય છે.

આમ, ખૂબ જ ઓછા સમયગાળા દરમિયાન બળ સતત બદલાયા કરે છે.

• Δt સમયગાળામાં લાગતું સરેરાશ બળ \(\vec{F}\) હોય અને આ સમયગાળા દરમિયાન વેગમાનમાં થતો ફેરફાર Δ\(\vec{P}\) હોય, તો બળનો આઘાત
  \(\vec{F}\). Δt = Δ\(\vec{P}\)

• પરનું સમીકરણ દર્શાવે છે કે જો સંપર્કસમય મોટો કરવામાં આવે, તો બળની અસર ઓછી થાય છે. દા. ત., ક્રિકેટર જ્યારે બૉલને કૅચ કરે છે ત્યારે તે તેનો હાથ આગળ લઈ જઈ કૅચ કરીને પાછળ કે નીચે તરફ લઈ જાય છે. આમ કરવાથી બૉલ અને હાથનો સંપર્કસમય વધે છે અને બળની અસર ઓછી થાય છે. જો આમ ન કરવામાં આવે, તો તેના હાથના પંજાને ઈજા થવાની શક્યતા રહે છે.
  યાદ રાખો : F – t આલેખમાં આલેખ નીચે ઘેરાતા ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય આઘાતનું મૂલ્ય અથવા વેગમાનનો ફેરફાર આપે છે.

પ્રશ્ન 18.
ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ : દરેક ક્રિયા બળ- (Action)ને હંમેશાં સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાંનું પ્રતિક્રિયા બળ (Reaction) હોય છે.

• ઉદાહરણ તરીકે, એક સ્પ્રિંગને હાથ વડે દબાવતાં, સ્પ્રિંગ પણ હાથ પર વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે. પૃથ્વી કોઈ પથ્થરને પોતાની તરફ આકર્ષે છે ત્યારે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ પથ્થર પણ પૃથ્વી પર એટલું જ બળ વિરુદ્ધ દિશામાં લગાડે છે. પણ પૃથ્વીના ખૂબ મોટા દળને લીધે આ બળની તેની ગતિ પર ખૂબ જ અત્યંત ઓછી અસર થતી હોવાથી તે નીરખી-પારખી શકાતી નથી.
• ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ પરથી ફલિત થાય છે કે કુદરતમાં કોઈ બળ એકલું-અટૂલું હોતું નથી. બળો બે પદાર્થોની એકબીજાની વચ્ચેની આંતરક્રિયાથી જ ઉદ્ભવે છે. આ બળો હંમેશાં જોડ(Pair)માં ઉદ્ભવે છે અને એક જોડમાંનાં બે બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
• બે પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયામાં ગમે તે એક બળને ક્રિયા બળ’ અને બીજાને ‘પ્રતિક્રિયા બળ’ તરીકે ગણી શકાય.

ઉદાહરણ :
(1) વ્યક્તિ સ્કેટિંગ કરવાના બૂટ પહેરીને ભીંત પર ધક્કો લગાવે છે ત્યારે તરત જ ધક્કાની વિરુદ્ધ દિશામાં તે સરકી પડે છે. વ્યક્તિ ભીંત પર જેટલું બળ \(\vec{F}\) લગાવે છે તેટલું બળ \(\vec{R}\) ભીંત વ્યક્તિ પર લગાડે છે. એ બળ પગ પર પ્રદર્શિત થાય છે. એટલે જ તે ધક્કાની વિરુદ્ધ દિશામાં સરકી જાય છે. (જુઓ આકૃતિ 5.6)

(2) વ્યક્તિ જ્યારે જમીન પર ચાલે છે, ત્યારે તેના એક પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ ધક્કો લાગે છે અને જમીન તેટલું જ પ્રત્યાઘાતી બળ (R) વ્યક્તિ પર આગળની તરફ લગાડે છે. (જુઓ આકૃતિ 5.7) આમ, જમીનના પ્રત્યાઘાતી બળના સમક્ષિતિજ ઘટક (R cos θ)ને કારણે જ વ્યક્તિ આગળ ચાલી શકે છે અને R sin θ ઘટક વ્યક્તિના વજન બળને સંતુલિત કરે છે.

(3) ઘોડો જ્યારે ગાડી પર બળ લગાડે છે, ત્યારે ગાડી પણ ઘોડા પર તેટલા જ મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાંનું બળ લગાડતી હોય છે.

પ્રશ્ન 19.
ક્રિયા બળ અને પ્રતિક્રિયા બળ સમજાવો. આ બળોની પદાર્થોથી બનેલા તંત્રની ગતિ પર શું અસર થાય છે? સમજાવો.
અથવા
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમના મહત્ત્વના મુદ્દાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર બળો હંમેશાં જોડમાં જ ઉદ્ભવે છે અને જોડમાંનાં બે બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આ નિયમના મહત્ત્વના મુદ્દાઓ નીચે મુજબ છે :
(1) બે પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયામાં ગમે તે એક બળને ‘ક્રિયા બળ’ અને બીજાને ‘પ્રતિક્રિયા બળ’ તરીકે લઈ શકાય.
(2) આ બંને બળો જુદા જુદા પદાર્થો ૫૨ એકસાથે જ લાગે છે.

(3) ક્રિયા બળ અને પ્રતિક્રિયા બળ જુદા જુદા પદાર્થો પર લાગે છે. A પર B વડે લાગતું બળ \(\vec{F}\)_AB અને B ૫૨ A વડે લાગતું બળ \(\vec{F}\)_BA એક જ ક્ષણે લાગે છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર, \(\vec{F}\)_AB = – \(\vec{F}\)_BA

પદાર્થ Aની ગતિની ચર્ચા માટે તે પદાર્થ પરનું બળ \(\vec{F}\)_AB જ અને પદાર્થ Bની ગતિ માટે \(\vec{F}\)_BA બળ ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.

(4) A અને B પદાર્થોથી બનતા સમગ્ર તંત્રની ગતિ વિચારતાં આ બંને બળો – \(\vec{F}\)_AB અને \(\vec{F}\)_BA તંત્રની અંદરનાં બળો બનશે અને તેમનું કુલ બળ શૂન્ય બનશે. આમ, સમગ્ર તંત્રની ગતિ માટે તેમને ગણવા નહિ. તંત્રની સમગ્રપણે ગતિ માટે તંત્રમાંનું (આંતરિક) બળ જવાબદાર નથી.

પ્રશ્ન 20.
વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
આપણે જાણીએ છીએ કે, જ્યારે રાઇલમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે છે ત્યારે ગોળી આગળની દિશામાં જાય છે અને
રાઇફલ પાછળની દિશામાં ધકેલાય છે. તેને રાઇફલનો રિકૉઇલ (Recoil) કહે છે.

• ગોળી રાઇલમાંથી છૂટે છે તે પહેલાં રાઇફલ અને ગોળી બંને સ્થિર હોવાથી તેમના વેગમાન શૂન્ય થશે.
  ∴ (રાઇલ + ગોળી)નું પ્રારંભિક વેગમાન = \(\vec{0}\)

• ધારો કે, Δt સમયમાં જ્યારે રાઇફલમાંથી ગોળી છૂટે છે ત્યારે રાઇફલ ગોળી પર આગળની દિશામાં \(\vec{F}\) બળ લગાડે છે. આટલા જ સમયગાળામાં ગોળી, રાઇલ પર પાછળની દિશામાં – \(\vec{F}\)બળ લગાડે છે.
• ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર,
  ગોળીના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,
  \(\vec{P}\)_b = \(\vec{F}\) dt – 0 = \(\vec{F}\) dt
  રાઇફલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર,
  \(\vec{P}\)_r = – \(\vec{F}\) dt – 0 = – \(\vec{F}\) Dt
  ∴ ગોળી છૂટ્યા બાદ(રાઇફલ + ગોળી)નું કુલ વેગમાન,
  \(\overrightarrow{p_{\mathrm{b}}}+\overrightarrow{p_{\mathrm{r}}}=\vec{F} d t+(-\vec{F} d t)\)
  = \(\vec{0}\)
  = (રાઇફલ + ગોળી)નું પ્રારંભિક વેગમાન
  ∴ (રાઇફલ + ગોળી)નું અંતિમ વેગમાન = (રાઇફલ + ગોળી)નું પ્રારંભિક વેગમાન
• એટલે કે, (રાઇફલ + ગોળી)નું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
  વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ ઃ આંતરક્રિયા કરતાં કણોના અલગ
  કરેલા તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
• અલગ કરેલા તંત્ર એટલે કે બાહ્ય બળ ન લાગતું હોય તેવા તંત્રમાં કણોની દરેક જોડમાં પરસ્પર લાગતાં બળો વ્યક્તિગત કણોના વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકે છે, પરંતુ પરસ્પર લાગતાં બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી દરેક જોડમાં વેગમાનના ફેરફાર એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.

પ્રશ્ન 21.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા અને ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરી વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ તારવો.
અથવા
દર્શાવો કે, બે પદાર્થો વચ્ચે થતાં સંઘાતમાં પણ વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, પદાર્થ A એ \(\overrightarrow{v_{\mathrm{A}}}\) અને પદાર્થ B એ \(\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}\) જેટલા વેગથી ગતિ કરે છે.

• પદાર્થ Aનું પ્રારંભિક વેગમાન = \(\overrightarrow{P_{\mathrm{A}}}\)
  પદાર્થ Bનું પ્રારંભિક વેગમાન \(\overrightarrow{P_{\mathrm{B}}}\)

• ધારો કે, આ બે પદાર્થો Δt જેટલા નાના સમયગાળામાં અથડાઈને છૂટા પડે છે.
  સંઘાત બાદ પદાર્થ Aનું વેગમાન = \(\overrightarrow{p_A^{\prime}}\)
  સંઘાત બાદ પદાર્થ Bનું વેગમાન = \(\overrightarrow{p_B^{\prime}}\)
• પદાર્થ A પર પદાર્થ B દ્વારા લાગતું બળ \(\vec{F}\)_AB અને પદાર્થ B પર પદાર્થ A દ્વારા લાગતું બળ \(\vec{F}\)_BA હોય, તો ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,
  \(\vec{F}\)_AB · Δ t = પદાર્થ _Aના વેગમાનમાં ફેરફાર = \(\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}^{\prime}}-\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}}\)
  \(\vec{F}\)_BA · Δ t = પદાર્થ Bના વેગમાનમાં ફેરફાર = \(\overrightarrow{p_{\mathrm{B}}^{\prime}}-\overrightarrow{p_{\mathrm{B}}}\)
• ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર,
  \(\vec{F}_{\mathrm{AB}}=-\vec{F}_{\mathrm{BA}}\)
  ∴ \(\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}^{\prime}}-\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}}=-\left(\overrightarrow{p_{\mathrm{B}}^{\prime}}-\overrightarrow{p_{\mathrm{B}}}\right)\)
  ∴ \(\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}^{\prime}}+\overrightarrow{p_{\mathrm{B}}^{\prime}}=\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}}+\overrightarrow{p_{\mathrm{B}}}\)
  ∴ સંઘાત બાદ તંત્રનું કુલ વેગમાન = સંઘાત પહેલાં તંત્રનું કુલ વેગમાન
  આ દર્શાવે છે કે, અલગ કરેલા તંત્રનું કુલ અંતિમ વેગમાન તેના કુલ પ્રારંભિક વેગમાન જેટલું હોય છે. સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક બંને પ્રકારના સંઘાતમાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

પ્રશ્ન 22.
કણ સંતુલનમાં છે એમ ક્યારે કહેવાય? કણ સંતુલનમાં રહે તે માટેની શરત શું છે?
ઉત્તર:
યંત્રશાસ્ત્રમાં કણનું સંતુલન એટલે જેમાં કણ પરનું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય. આથી કણ કાં તો સ્થિર છે અથવા અચળ વેગથી ગતિમાં છે.

• કણ પર એક કરતાં વધુ બળો લાગતાં હોય, તેવા સંજોગોમાં કણે સંતુલિત અવસ્થા જાળવી રાખવી હોય, તો તે માટેની શરત એ છે કે,
  Σ\(\vec{F}\) = 0
  એટલે કે, ણ પર લાગતાં બધાં બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવું જોઈએ.
• જો બે બળો \(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\) એક કણ પર એકસાથે લાગતાં હોય, તો સંતુલન માટે જરૂરી છે કે,
  Σ\(\vec{F}\) = \(\vec{F}_1\) + \(\vec{F}_2\) = 0
  આથી \(\vec{F}_1\) = – \(\vec{F}_2\)
  એટલે કે, કણ પરનાં બે બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાનાં હોય છે. (આકૃતિ 5.11 (a))

• આકૃતિ 5.11 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ કણ P પર \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\), અને \(\vec{F}_3\)‚ એમ ત્રણ એકબિંદુગામી લાગતાં હોય, તો કણના સંતુલન માટે આ ત્રણ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.
  Σ\(\vec{F}\) = \(\vec{F}_1\) + \(\vec{F}_2\) + \(\vec{F}_3\) = 0
  એટલે કે, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ પરથી કોઈ પણ બે બળો(\(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\))નો સરવાળો એ ત્રીજા બળ (\(\vec{F}_3\))ના મૂલ્ય જેટલો અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવો જોઈએ.
• ત્રિકોણની રીતનો ઉપયોગ કરી \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\), અને \(\vec{F}_3\) બળોનો સિંદેશ સરવાળો આકૃતિ 5.11 (c)માં દર્શાવ્યા મુજબ બંધગાળો રચે છે. એટલે કે, તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે. આથી કણ સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
• \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\) અને \(\vec{F}_3\) બળોને તેના ઘટક સ્વરૂપે દર્શાવતા, કણના સંતુલન માટેની શરત,
  F_1x + F_2x + F_3x = 0
  F_1y + F_2y + F_3y = 0
  F_1z + F_2z + F_3z = 0
  જ્યાં, F_1x’ F_1y અને F_1z, બળ \(\vec{F}_1\) ના x , y અને z દિશામાંના ઘટકો છે.

વધારાની માહિતી
એકબિંદુગામી બળો : જે બળોની કાર્યરેખાઓ એક જ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો તેવાં બળોને એકબિંદુગામી બળો (Concurrent forces) કહે છે.

• આકૃતિ 5.12 (a) માં પદાર્થના A, B અને C બિંદુ ૫૨ અનુક્રમે ત્રણ બળો \(\vec{F}_1\), \(\vec{F}_2\), અને \(\vec{F}_3\) લાગે છે. આ ત્રણેય બળોને પાછળ લંબાવતાં (તેમની કાર્યરેખાઓ) તેઓ O બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આથી પદાર્થ સમતોલનમાં રહે છે. આવાં બળોને એબિંદુગામી બળો કહી શકાય.
• જો \(\vec{F}_3\) બળ C બિંદુ પર લાગવાને બદલે આકૃતિ 5.12 (b) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે D બિંદુ પર લાગતું હોય, તો પદાર્થ સમતોલનમાં ન રહે અને તે ચાકતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 23.
યંત્રશાસ્ત્રનાં નીચેનાં બળોનો સામાન્ય ખ્યાલ આપો :
(i) સંપર્ક બળ
(ii) પુનઃસ્થાપક બળ
(iii) તણાવ આ બળોનું ઉદ્ભવ સમજાવો.
ઉત્તર:
(i) સંપર્ક બળ : સંપર્ક બળ એ એક ઘન / પ્રવાહી પદાર્થના બીજા ઘન/ પ્રવાહી પદાર્થના સંપર્કને લીધે ઉદ્ભવે છે. જ્યારે પદાર્થ સંપર્કમાં હોય ત્યારે પદાર્થોની દરેક જોડ માટે ગતિના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરતાં પરસ્પર સંપર્ક બળો લાગતાં હોય છે.

• દા. ત., ટેબલના સંપર્કમાં રહેલું સ્થિર પુસ્તક તેનું વજન બળ (ક્રિયા બળ) ટેબલ પર લગાડે છે અને ટેબલની સપાટી પુસ્તક પર તેટલા જ મૂલ્યનું વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે.

• સંપર્ક બળના સંપર્કસપાટીને લંબિંદશામાંના ઘટકને લંબબળ (N) અથવા લંબપ્રતિક્રિયા કહે છે. સંપર્ક બળના સંપર્કસપાટીના સમાંતર ઘટકને ઘર્ષણબળ f (ઘર્ષણ) કહે છે.
• જ્યારે ઘન પદાર્થો તરલ સાથે સંપર્કમાં હોય ત્યારે પણ સંપર્ક બળો લાગે છે. દા. ત., તરલમાં ડૂબેલા ઘન પદાર્થ પર ઉપરની તરફ ઉત્લાવક બળ લાગે છે. શ્યાનતા બળ, હવાનો અવરોધ વગેરે સંપર્ક બળો છે.

(ii) પુનઃસ્થાપક બળ : જ્યારે કોઈ સ્પ્રિંગને બાહ્ય બળ વડે દબાવવામાં કે ખેંચવામાં આવે ત્યારે તેમાં પુનઃસ્થાપક બળ બળ ઉદ્ભવે છે. પુનઃસ્થાપક બળ નાના પુનઃસ્થાપક સ્થાનાંતર માટે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર(વધારા અથવા ઘટાડા)ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ બળને F = – kx વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જ્યાં, x એ સ્થાનાંતર અને k એ બળ-અચળાંક છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પુનઃસ્થાપક બળ, સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

(iii) તણાવ : દોરીને છેડે લટકાવેલ પદાર્થને લીધે દોરીમાં ઉદ્ભવતા પુનઃસ્થાપક બળને તણાવ (T) કહે છે. અતન્ય દોરી માટે બળ- અચળાંક ખૂબ મોટો હોય છે. અવગણ્ય દળ ધરાવતી દોરીમાં, સમગ્ર દોરી પર તણાવ બળ T અચળ હોય છે.

[યંત્રશાસ્ત્રનાં જુદાં જુદાં સંપર્ક બળો મૂળભૂત રીતે વિદ્યુતબળોમાંથી ઉદ્ભવે છે. સૂક્ષ્મ સ્તરે બધા પદાર્થો વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઘટકો ઇલેક્ટ્રૉન્સ અને ન્યુક્લિયસના બનેલા હોય છે. પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા, અણુઓના સંઘાતો વગેરેથી ઉદ્ભવતાં સંપર્ક બળોને વિદ્યુતભારિત પદાર્થો વચ્ચેનાં વિદ્યુતબળોના રૂપમાં લઈ શકાય.]

સંપર્ક બળ અને તેના ઘટકો : જ્યારે પદાર્થો સંપર્કમાં હોય ત્યારે પદાર્થોની સંપર્કસપાટી આગળ કણોની દરેક જોડમાં પરસ્પર બળ લાગે છે, જેને સંપર્ક બળ કહે છે, જે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરે છે.

• સંપર્ક બળ (R)ના બે ઘટકો લેતાં, (1) સંપર્કસપાટીઓને લંબદિશામાંના ઘટકને લંબપ્રતિક્રિયા બળ (N) અથવા લંબબળ કહે છે. (2) સંપર્કસપાટીઓને સમાંતર ઘટકને ઘર્ષણબળ (f) કહે છે.
  ∴ |\(\vec{R}\)|² = |\(\vec{N}\)|² + |\(\vec{f}\)|²
• ઉદાહરણ : ધારો કે, એક બ્લૉક θ ઢોળાવવાળી સપાટી પર સ્થિર છે. આ બ્લૉક પર તેના વજન બળ (\(\vec{W}\)) જેટલું બળ ઢાળની સપાટી
  પર અધોદિશામાં લાગે છે. (જુઓ આકૃતિ 5.16) આ સપાટી બ્લૉક પર તેટલા જ મૂલ્યનું પણ વિરુદ્ધ દિશામાં બળ \(\vec{R}\) લગાડે છે, જેને સંપર્ક બળ કહે છે.
• જુદી જુદી પરિસ્થિતિમાં \(\vec{R}\) ના બે લંબઘટકો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે ઃ
  1. સપાટીને લંબ ઘટકને લંબબળ (Normal force) N કહે છે.
  2. સપાટીને સમાંતર ઘટકને ઘર્ષણબળ (Frictional force) \(\vec{f}\) કહે છે.

ગરગડી દ્વારા પદાર્થની ગતિ : આકૃતિ 5.17માં
ધારો કે, આ બંને પદાર્થોનો સામાન્ય પ્રવેગ a છે.

m₁ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતાં બળો :

1. વજન બળ m₁g અધોદિશામાં
2. દોરીમાં તણાવ T ઊર્ધ્વદિશામાં આ પદાર્થ a જેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરે છે.
   આથી પરિણામી બળ (m₁a) નીચેની દિશામાં હશે.

∴ પરિણામી બળ, m₁g – T = m₁a ………… (a)

હલકા પદાર્થ (m₂) પર લાગતાં બળો :

1. વજન બળ m₂g અધોદિશામાં
2. દોરીમાં તણાવ T ઊદિશામાં
   આ પદાર્થ a જેટલા પ્રવેગથી ઉપરની તરફ જાય છે.
   આથી પરિણામી બળ,
   T – m₂g = m₂a …………….. (b)
   સમીકરણ (a) અને (b)નો સરવાળો કરતાં,
   m₁g – m₂g = (m₁ + m₂) a
   ∴ (m₁ – m₁) g = (m₁ + m₂) a
   ∴ પ્રવેગ a = \(\frac{\left(m_1-m_2\right) g}{\left(m_1+m_2\right)}\)
   સમીકરણ (a) અને (b)નો ગુણોત્તર લેતાં,
   \(\frac{m_1 g-T}{T-m_2 g}=\frac{m_1 a}{m_2 a}=\frac{m_1}{m_2}\)
   ∴ m₁m₂g – m₂T = m₁T – m₁m₂g
   ∴ 2m₁m₂g = T (m₁ + m₂)
   ∴ દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ,
   T = \(\frac{2 m_1 m_2 g}{m_1+m_2}\)

પ્રશ્ન 24.
ઘર્ષણ એટલે શું? સમજાવો.
ઉત્તર :
સમક્ષિતિજ સપાટી પર કોઈ પદાર્થને ગતિ આપી છોડી દેવામાં આવે છે, તો તે અમુક અંતર કાપીને અટકી જાય છે.
આ દર્શાવે છે કે ગતિમાન વસ્તુની સપાટી અને સમક્ષિતિજ સપાટી વચ્ચે કોઈ બળ ઉત્પન્ન થતું હોવું જોઈએ જે પદાર્થની ગતિનો વિરોધ કરે છે.

• ટેબલ પર પહેલાં સ્થિર પદાર્થ પર બળ F લગાડવામાં આવે અને છતાં તે ખસતો નથી. ધારો કે, આ બળ નાનું હોય, પરંતુ ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર તેમાં a = \(\frac{F}{m}\) જેટલા પ્રવેગથી ખસવો જોઈએ. અહીં પદાર્થ સ્થિર રહે છે.
• એટલે કે સમક્ષિતિજ દિશામાં બીજું કોઈક બળ લાગવા માંડે છે અને આપેલા બળ Fનો વિરોધ કરે છે. જેથી પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય.
• પદાર્થની ટેબલ સાથેની સંપર્કસપાટીને સમાંતર દિશામાં લાગતાં આ બળને ઘર્ષણબળ અથવા ઘર્ષણ કહે છે. તેને f_s વડે દર્શાવાય છે.

પ્રશ્ન 25.
સ્થિત ઘર્ષણબળ અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 5.19માં દર્શાવેલ પદાર્થને ટેબલની સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકેલો છે. પદાર્થ પોતાના વજન બળ (W = mg) જેટલું બળ ટેબલની સપાટી પર લગાડે છે અને તેટલા જ મૂલ્યનું લંબબળ N સપાટી પદાર્થ પર લગાડે છે.

• પદાર્થ સંતુલન અવસ્થામાં હોવાથી,
  W = N

• હવે, પદાર્થ પર ધન X-દિશામાં નાનું બળ \(\vec{F}\) લગાડવામાં આવે છે, છતાં પદાર્થ ગતિમાં આવતો નથી. એનો અર્થ એ થાય કે પદાર્થ પર એકમાત્ર બળ \(\vec{F}\) લાગતું નથી, પરંતુ બીજું બળ ઋણ X-દિશામાં લાગતું હોવું જોઈએ, જે ચોખ્ખા બળને શૂન્ય બનાવી પદાર્થને સ્થિર રાખે છે.
• આ બીજું બળ એ સંપર્ક બળનો સપાટીને સમાંતર ઘટક છે, જેને ઘર્ષણબળ f_s કહે છે. તેને સ્થિત ઘર્ષણ પણ કહે છે.
• આ સ્થિત ઘર્ષણબળ પોતાની મેળે અસ્તિત્વમાં આવતું નથી, પણ જ્યારે બાહ્ય બળ \(\vec{F}\) લાગે તે જ ક્ષણે તે લાગવા માંડે છે. તે અપેક્ષિત ગતિનો વિરોધ કરે છે.
• હવે, બાહ્ય બળ \(\vec{F}\) થોડું અને ધીમે ધીમે વધારીએ તેમ છતાં પદાર્થ ખસતો નથી. એથી સ્પષ્ટ છે કે ઘર્ષણબળ f_s પણ તે જ પ્રમાણે વધતું હશે. આ ઘર્ષણબળ સ્વનિયમન (Self-adjusting) બળ છે.
• બાહ્ય બળ \(\vec{F}\) હજુ વધારતાં ઘર્ષણબળનું મૂલ્ય અમુક સીમા સુધી જ વધી શકે છે. જો આ બાહ્ય બળ એ મહત્તમ ઘર્ષણબળ કરતાં સહેજ વધે કે તરત પદાર્થ ગતિ શરૂ કરે છે. પદાર્થ ગતિ શરૂ કરવાની અણી પર હોય ત્યારે લાગતા ઘર્ષણબળને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ f_{s (max)} અથવા સીમાંત ઘર્ષણબળ કહે છે.
  f_{s (max)} : μ_S N
  જ્યાં, μ_S ઘ્રુને સ્થિત ઘર્ષણાંક કહે છે. તેનું મૂલ્ય સંપર્ક સપાટીના પ્રકાર પર આધારિત છે.
  f_{s (max)}
  એ સંપર્ક ક્ષેત્રફળ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 26.
ગતિક ઘર્ષણની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
જ્યારે કોઈ સપાટી પર રહેલા પદાર્થ પર સપાટીને સમાંતર લાગતા બાહ્ય બળનું મૂલ્ય મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ f_{s (max)} કરતાં સહેજ પણ વધે કે તરત જ પદાર્થ ગતિ કરવા લાગે છે.

• પ્રયોગો દર્શાવે છે કે જેવી આ સાપેક્ષ ગતિ શરૂ થાય કે તરત જ ઘર્ષણબળનું મૂલ્ય મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ f_{s (max)} કરતાં ઘટી જાય છે. (જુઓ આકૃતિ 5.21)
• સંપર્કસપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરતાં ઘર્ષણબળને ગતિક ઘર્ષણબળ (f_K) કહે છે. (જુઓ આકૃતિ 5.20)
• ગતિક ઘર્ષણબળ સંપર્કસપાટીઓના ક્ષેત્રફળ પર આધારિત નથી. તે લંબબળના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેમજ તે વેગથી પણ સ્વતંત્ર હોય છે.
  f_K ∝ N ∴ f_K = μ_K N
  અહીં, μ_k ને ગતિક ઘર્ષણાંક કહે છે. તેનું મૂલ્ય સંપર્કસપાટીના પ્રકાર પર આધારિત છે.
• પ્રયોગો દર્શાવે છે, કે μ_k < μ_S.
• એક વાર સાપેક્ષ ગતિ શરૂ થાય પછી, ગતિના બીજા નિયમ મુજબ પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{F-f_{\mathrm{k}}}{m}\) હોય છે. જો પદાર્થ પર લગાડેલું બળ દૂર કરવામાં આવે તો તેનો પ્રવેગ –\(\frac{f_{\mathrm{k}}}{m}\) થાય છે અને છેવટે તે અટકી જાય છે.

પ્રશ્ન 27.
ઘર્ષણબળ એ ગતિને નહિ પણ અપેક્ષિત ગતિ- (Impending motion)ને અવરોધે છે.” સમજાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, પ્રવેગિત ગતિ કરતી ટ્રેનના ડબામાં તળિયે એક સૂટકેસ પડેલી છે. જ્યારે ટ્રેન ગતિમાં હોય ત્યારે સૂટકેસની ગતિ પણ પ્રવેગિત ગતિ કહેવાય.

• ન્યૂટનના પહેલા નિયમ મુજબ, જ્યાં સુધી કોઈ પદાર્થ પર બળ લગાડવામાં ન આવે ત્યાં સુધી તે ગતિમાં આવી શકે નહિ. સૂટકેસ પર કોઈ પણ પ્રકારનું બળ લગાડતા નથી છતાં તે પ્રવેગિત ગતિ કેમ કરે છે?

• ટ્રેન પર જમણી તરફ F જેટલું બળ લાગતાં ટ્રેન અને સૂટકેસ બંને સાથે જમણી તરફ પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. અહીં સૂટકેસ જમણી દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે, એટલે કે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ પણ જમણી દિશામાં હશે.
• સૂટકેસ પર બાહ્ય બળ લાગતું નથી. આથી સૂટકેસ અને ડબાના તળિયા વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ દિશામાં સૂટકેસ પર લાગતું ઘર્ષણબળ f_s જ સૂટકેસની ગતિ માટે જવાબદાર છે. આ ઘર્ષણબળ પણ જમણી તરફની દિશામાં હશે.
• જો આ ઘર્ષણબળ લાગતું ન હોય, તો ટ્રેનના ડબાનું તળિયું જેમ આગળ જાય તેમ આ સૂટકેસ તેના જડત્વના ગુણધર્મને કારણે ત્યાંની ત્યાં પડી રહેત અને ડબાના બીજા છેડા (પાછળની દીવાલ) સાથે અથડાત. આમ, આવી અપેક્ષિત ગતિનો ઘર્ષણબળ વિરોધ કરે છે તેમ કહેવાય.
• પદાર્થ પર લાગતા બળના કારણે જે ગતિ થવી જોઈએ, પરંતુ ઘર્ષણના કારણે વાસ્તવમાં થતી ન હોય, તેને અપેક્ષિત ગતિ (Impending motion) કહે છે.

પ્રશ્ન 28.
ટૂંક નોંધ લખો : રોલિંગ ઘર્ષણબળ
ઉત્તર:
જ્યારે રિંગ, તકતી કે ગોળો કોઈ સપાટી પર સરક્યા સિવાય ગબડે છે ત્યારે ગબડતા પદાર્થની જે રેખા (કે બિંદુ) જે ક્ષણે સપાટીને અડકે છે; તે તત્ક્ષણ પૂરતી સ્થિર હોય છે. આવા ગબડતા પદાર્થ પર સ્થિત કે ગતિક ઘર્ષણબળ લાગતું નથી.

• પદાર્થ એક વખત ગબડવાનું ચાલુ કરે, ત્યારબાદ તેની ગતિ અચળ ઝડપથી સતત ચાલુ રહેવી જોઈએ, પરંતુ ગબડતો પદાર્થ અમુક અંતર કાપી સ્થિર થઈ જતો હોય છે. એટલે કે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કંઈક ઘર્ષણ તો લાગે છે. આવા પ્રકારના ઘર્ષણને રોલિંગ ઘર્ષણ કહે છે.
• આપેલ દળના પદાર્થ અને આપેલ સપાટી માટે સ્થિત અને ગતિક ઘર્ષણ કરતાં રોલિંગ ઘર્ષણ ઘણું ઓછું (ક્યારેક 102 કે 10મા ભાગનું) હોય છે.
• પદાર્થ ગબડવાની ક્રિયામાં સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ ક્ષણિક વિકૃત થાય છે. તેથી સપાટી સાથેના સંપર્કમાં બિંદુ કે રેખા નહિ, પણ થોડુંક ક્ષેત્રફળ આવે છે અને તેથી સંપર્ક બળનો સપાટીને સમાંતર ઘટક આ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે તેમ લાગે છે.

રોલિંગ ઘર્ષણબળના નિયમો :

1. રોલિંગ ઘર્ષણબળનું મૂલ્ય સંપર્કસપાટીના ક્ષેત્રફળ ૫૨ આધારિત નથી.
2. રોલિંગ ઘર્ષણબળનું મૂલ્ય લંબબળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
   ∴ f_r ∝ N ∴ f_r = μ_rN
   જ્યાં, μ_rને રોલિંગ ઘર્ષણાંક કહે છે. તે એકમ રહિત છે. પ્રયોગો દર્શાવે છે કે, μ_r < μ_K < μ_S.

પ્રશ્ન 29.
ઘર્ષણના લાભ અને ગેરલાભ લખો.
ઉત્તર:
ઘર્ષણબળ એ અગ્નિ જેવું અનિવાર્ય છે. કોઈ કોઈ વાર તે ઇચ્છનીય અને જરૂરી છે અને ઘણી વખત તે નુકસાનકારક પણ છે.

ઘર્ષણના લાભ :

1. ઘર્ષણની હાજરીમાં જ આપણે ચાલી શકીએ છીએ. સ્કેટિંગના બૂટ પહેરીને રસ્તા પર ચાલી શકાતું નથી, કારણ કે તેમાં બૂટ અને રસ્તા વચ્ચેનું ઘર્ષણબળ ઓછું હોય છે.
2. કાર, સ્કૂટર, ટ્રક જેવાં વાહનોની પ્રવેગી ગતિ માટે ઘર્ષણ આશીર્વાદરૂપ છે. જો ટાયર અને રસ્તા વચ્ચે ઘર્ષણ ન હોય, તો વાહન પ્રવેગી ગતિ કરી શકે નહીં.
3. ઘર્ષણને લીધે યંત્રના ફરતા પૈડાની ગતિ પટ્ટા (Belt) વડે બીજા પૈડાને આપી શકાય છે.
4. ઘર્ષણને લીધે કાગળ પર લેખનકાર્ય થઈ શકે છે.
5. ઘર્ષણ સાપેક્ષ ગતિને ઝડપથી અટકાવવા માટે જરૂરી છે. તેનો ઉપયોગ યંત્રોમાં અને વાહનોમાં બ્રેક માટે થાય છે.

ઘર્ષણના ગેરલાભ :

1. વાહનોમાં આશરે 20% જેટલી ઊર્જા ઘર્ષણનો સામનો કરવામાં વપરાઈ જાય છે.
2. વાહનોનાં ટાયરો ઘસાઈ જાય છે.
3. ઘર્ષણને લીધે મશીનોના જુદા જુદા ભાગોને ઘસારો પહોંચે છે.
4. મશીનમાં જુદા જુદા ભાગો વચ્ચે થતા ઘર્ષણને લીધે પાવરનો વ્યય ઉષ્મા-ઊર્જા રૂપે થાય છે, જે મશીનની કાર્યક્ષમતાને ઘટાડે છે.

પ્રશ્ન 30.
ઘર્ષણ ઘટાડવાના ઉપાયો જણાવો.
ઉત્તર:

1. ઘર્ષણ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે અને તે રીતે ઊર્જાનો ઉષ્મા વગેરે રૂપે વ્યય કરે છે. યંત્રમાં ગતિક ઘર્ષણ ઘટાડવા માટે ઊંજણ (Lubricants) વપરાય છે. સાબુ, ગ્રીઝ, ગ્રેફાઇટ જુદા જુદા પ્રકારના ઓઇલ વગેરે જેવાં લુબ્રિકન્ટો વાપરવામાં આવે છે.
2. યંત્રોના ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે બૉલ-બેરિંગ્સ વાપરી તેના સંપર્કમાંની સપાટીઓ વચ્ચેનું રોલિંગ ઘર્ષણ ઘણું ઓછું હોવાથી ઊર્જાનો વ્યય ઘટાડી શકાય છે.
3. સાપેક્ષ ગતિમાં હોય તેવી ઘન સપાટીઓ વચ્ચે હવાની પાતળી ગાદી જાળવી રાખીને ઘર્ષણ ઘટાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 31.
કેન્દ્રગામી બળ સમજાવો.
ઉત્તર:
ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર υ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરતાં m દળના કણ પર વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ \(\frac{v^2}{r}\) જેટલો પ્રવેગ લાગતો હોય છે. આવા પ્રવેગને ત્રિજ્યાવર્તી અથવા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ (Radial or Centripetal acceleration) કહે છે.

• ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, આ પ્રવેગ માટે જરૂરી બળ
  F_c = દળ × પ્રવેગ
  F_c = m × \(\frac{v^2}{r}\)
  ∴ F_c = \(\frac{m v^2}{r}\)
  
• F_c ને કેન્દ્રગામી બળ કહે છે.
  ઉદાહરણ :
  1. ગ્રહોને સૂર્યની આસપાસ ફરવા માટેનું જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ સૂર્ય વડે ગ્રહો પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષી બળ છે.
  2. ધન વિદ્યુતભારિત ન્યુક્લિયસ અને ઋણ વિદ્યુતભારિત ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું કુલંબીય આકર્ષી બળ એ ઇલેક્ટ્રૉનને ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
• નિયમિત વર્તુળમય ગતિમાં પદાર્થની ઝડપ અચળ હોય છે, પરંતુ તેનો વેગનો સંદેશ (\(\vec{F}\)) બદલાયા કરે છે. આથી કેન્દ્રગામી બળ (\(\vec{υ}\)_c)ની દિશા પણ દરેક ક્ષણે બદલાય છે. આ બળની દિશા હંમેશાં વર્તુળના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 32.
સમતલ વક્રાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ(υ_max)નું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, આકૃતિ 5.24 (a)માં દર્શાવ્યા અનુસાર m દળ ધરાવતું વાહન υ જેટલી અચળ ઝડપથી r ત્રિજ્યાવાળા વક્રાકાર સમક્ષિતિજ રસ્તા પર ગતિ કરી રહ્યું છે.

• આકૃતિ 5.24 (b)માં આ વાહન પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યાં છે.

• 1. વાહનનું વજન બળ mg, જે અધોદિશામાં લાગે છે.
  2. રસ્તાની સપાટી વડે વાહન પર લાગતું લંબબળ N, જે ઊર્ધ્વદિશામાં લાગે છે.
     વાહનને શિરોલંબ દિશામાં કોઈ જ પ્રવેગ ન હોવાથી,
     N – mg = 0
     ∴ N = mg ……………. (5.1)
  3. વાહનના ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેનું ઘર્ષણબળ f, જે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે. આ બળ વક્રાકાર રસ્તાની કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.
• આ ઘર્ષણબળ f_s એ વાહનને વક્ર રસ્તા પર ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ F_C પૂરું પાડે છે.
  F_C = f_S = \(\frac{m v^2}{r}\) …………….. (5.2)
• આ સ્થિત ઘર્ષણબળ f_S જે વર્તુળના કેન્દ્રથી દૂરની તરફ થનારી વાહનની અપેક્ષિત ગતિનો વિરોધ કરે છે.
  જો મળી શકતું મહત્તમ ઘર્ષણબળ f_{S (max)} હોય, તો
  f_{S (max)} = μ_S · N
  ∴ f_{S (max)} = μ_S · mg …………… (5.3)
• જ્યાં, μ_S એ વાહનના ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક છે.
• જો વાહનની ઝડપ υ એવી હોય જેથી વાહન પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ, ઘર્ષણબળ કરતાં ઓછું હોય, તો વાહન સહીસલામત રીતે ગતિ કરી શકે.
  F_C < f_{S (max)}
  ∴ \(\frac{m v^2}{r}\) < μ_S · mg ………….. (5.4)
• વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ υ_max હોય ત્યારે,
  કેન્દ્રગામી બળ = ઘર્ષણબળ
  ∴ \(\frac{m v_{\max }^2}{r}\) = μ_S · mg
  ∴ υ²_max = μ_S · r · mg
  ∴ υ_max = \(\sqrt{\mu_{\mathrm{s}} \cdot r \cdot g}\) ……………. (5.5)
• ઉપરના સૂત્રમાં વાહનનું દળ m આવતું ન હોવાથી તે નાના- મોટા દરેક વાહન માટેની મહત્તમ સલામત ઝડપ દર્શાવે છે.
• જો વાહનની ઝડપ υ_max કરતાં વધી જાય, તો તે રસ્તાની બહાર ફેંકાઈ જાય છે, કારણ કે તે વખતે \(\frac{m v^2}{r}\) μ_S mg હોય છે.

પ્રશ્ન 33.
θ ઢોળાવવાળા વક્રાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા વાહન માટે (FBD)ની મદદથી મહત્તમ સલામત ઝડપ(υ_max)નું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 5.25માં θ જેટલા ઢોળાવવાળા વક્રમાર્ગ પર υ જેટલી ઝડપથી m દળવાળું વાહન જતું દર્શાવ્યું છે. ધારો કે, વક્રમાર્ગની ત્રિજ્યા r છે.
• આકૃતિમાં θ જેટલા ઢોળાવવાળા વક્રમાર્ગનો પુસ્તકના પાન સાથેનો છેદ દર્શાવ્યો છે અને વાહન પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યાં છે. વાહન પર માત્ર ત્રણ બળો લાગે છે :
  1. વાહનનું વજન બળ mg અધોદિશામાં
  2. લંબબળ N. (આ બળ રસ્તા અને પૈડાની સંપર્કસપાટીને લંબરૂપે ઊર્ધ્વદિશા સાથે θ ખૂણો બનાવતી દિશામાં છે.)
  3. ઘર્ષણબળ f = μ_S N, ઢાળની સપાટીને સમાંતર દિશામાં.
• લંબબળનો ઊર્ધ્વઘટક N cos θ એ વજન mg અને ઘર્ષણબળના અધોદિશાના ઘટક f sin θને સમતોલે છે.
  ∴ N cos θ = mg + f sin θ
  ∴ mg = N cos θ – f sin θ …………… (5.6)
• લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક N sin θ અને ઘર્ષણબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક f cos θ એ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
  ∴ \(\frac{m v^2}{r}\) = N sin θ + f cos θ ……………… (5.7)
  સમીકરણ (2) અને (1)નો ગુણોત્તર લેતાં,
  \(\frac{v^2}{r g}=\frac{N \sin \theta+f \cos \theta}{N \cos \theta-f \sin \theta}\) …………….. (5.8)
• જો વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ υ_max હોય, તો આ ઝડપ વખતે ઉત્પન્ન થવું જોઈતું ઘર્ષણબળ,
  f_{s (max)} = μ_S N ………………. (5.9)
  મહત્તમ સલામત ઝડપ માટે સમીકરણ (5.8) નીચે મુજબ લખાય :

• ઉપરનું સમીકરણ θ ઢોળાવવાળા વક્રમાર્ગ પરથી પસાર થતા વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ માટેનું સૂત્ર છે.

પ્રશ્ન 34.
વક્રાકાર ઢોળાવવાળા રોડ પર વાહનની Optimum ઝડપ એટલે શું? સમજાવો.
ઉત્તર:
વક્રાકાર ઢોળાવવાળા રોડ પર વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ υ_max નીચેના સૂત્રથી અપાય છે :
υ_max = \(\sqrt{r g\left(\frac{\mu_{\mathrm{s}}+\tan \theta}{1-\mu_{\mathrm{s}} \tan \theta}\right)}\)
જ્યાં, μ_S = વાહનના ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક
r = વક્રાકાર રોડની વક્રતાત્રિજ્યા

• જો રસ્તા અને વાહનના ટાયર વચ્ચે ઘર્ષણ ન હોય, તો
  μ_S = 0 ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતાં,
  υ₀ = \(\sqrt{r g\left(\frac{0+\tan \theta}{1-(0) \tan \theta}\right)}\)
  ∴ υ₀ = \(\sqrt{r g \tan \theta}\)
  અહીં, υ₀ને વાહનની Optimum ઝડપ કહે છે.
• આ ઝડપથી જતાં વાહન માટે ઘર્ષણબળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતું નથી. ઢોળાવવાળા વક્રાકાર રોડ પર આ ઝડપે જતાં ટાયરને લાગતો ઘસારો ન્યૂનતમ હોય છે.
• જો વાહનનો વેગ υ < υ₀ હોય, તો ઘર્ષણબળ ઢોળાવના ઊંચા ભાગ તરફ લાગતું હોય છે.
• ઢોળાવવાળા રસ્તા પર વાહન તો જ પાર્ક કરી શકાય જો tan θ ≤ μ_S હોય.

પ્રશ્ન 35.
યંત્રશાસ્ત્રમાં કોયડાઓ ઉકેલવા કયા મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લેવા પડે? સમજાવો.
ઉત્તર:
યંત્રશાસ્ત્રના કોયડાઓમાં ક્યારેક એક કરતાં વધુ પદાર્થો સંકળાયેલા હોય છે. આવા પદાર્થો એકબીજા પર બળ લગાડતા હોય છે. ઉપરાંત દરેક પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અનુભવતો હોય છે.

• આવા કોયડાઓમાં પદાર્થોના સમૂહમાંથી જે ભાગની ગતિની ચર્ચા કરવાની હોય તેને તંત્ર તરીકે લેવાનું અને સમૂહના બાકીના ભાગોને આપણે પસંદ કરેલા તંત્ર પર બળ લગાડતા બીજાં પિરબળોને પરિસર તરીકે લેવાય છે.
• કોયડાઓ ઉકેલવા નીચે મુજબના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ :
  1. પદાર્થ-સમૂહના જુદા જુદા ભાગો, જોડાણો, આધારો વગેરેને દર્શાવતી આકૃતિ દોરો.
  2. સમૂહના એક અનુકૂળ ભાગને તંત્ર તરીકે પસંદ કરો.
  3. આ તંત્ર અને સમૂહના બાકીના ભાગો વડે તેના પર લાગતાં બળોને દર્શાવતી જુદી આકૃતિ દોરો. બીજાં માધ્યમો વડે લાગતાં બળોનો સમાવેશ કરો. તંત્ર વડે પરિસર પર લાગતાં બળોનો સમાવેશ કરવો નહિ.
     આ પ્રકારની આકૃતિને Free Body Diagram અથવા FBD કહે છે.
  4. FBDમાં જે બળો તમને આપેલાં હોય અથવા જેમના લાગવા વિશે ચોક્કસ હોય તેમને FBDમાં દર્શાવો, બાકીનાને અજ્ઞાત બળ તરીકે લઈ ગતિના નિયમો વાપરીને શોધી કાઢો.
  5. જરૂર પડે તો બીજા એક તંત્રને પસંદ કરી તેના માટે ફરીથી ઉપરની પદ્ધતિ અનુસરો. આમ કરવા માટે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. દા. ત., જો Aના FBDમાં B વડે A પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) વડે દર્શાવીએ તો Bના FBDમાં A વડે B પર લાગતું બળ –\(\vec{F}\) વડે દર્શાવવું.

ડાયનેમિક્સના કોયડાઓ ઉકેલવા અંગે અગત્યનું માર્ગદર્શન : આપણે જે પદાર્થની ગતિનો અભ્યાસ કરવો હોય તે પદાર્થને ચોક્કસ પરિમાણ હોય છે. જો આ પદાર્થોના બધા જ ભાગોનો પ્રવેગ સમાન હોય, તો તે પદાર્થને કણ તરીકે સ્વીકારી શકાય. હવે, આ કણને ન્યૂટનના ગતિના નિયમો લાગુ પાડી તે પદાર્થની ગતિનો અભ્યાસ કરી શકાય. આ માટેના steps નીચે મુજબ છે :

Step I : તંત્ર નક્કી કરવું.
જેના પર ન્યૂટનના ગતિના નિયમો લાગુ પાડવાના છે, તેમાંના કોઈ એક કે વધુ ભાગોને તંત્ર તરીકે લઈ શકાય. દા. ત., કોઈ એક કણ, બ્લૉક, એકબીજા પર રહેલ બે બ્લૉક્સ કે દોરી વડે બાંધેલા બે બ્લૉક્સને તંત્ર તરીકે લઈ શકાય. યાદ રાખો, જે ભાગોને તંત્રમાં સમાવવાના હોય તે દરેકનો પ્રવેગ સમાન હોવો જોઈએ.

• ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 5.26ને ધ્યાનમાં લો. અહીં, બ્લૉક B એ બ્લૉક A પર સરકતો નથી. તકતી D દોરી પર સરકે છે અને દોરીમાં બધે જ તણાવ સમાન છે.
• આકૃતિ 5.26માં દર્શાવ્યા અનુસાર બ્લૉક A, B, C અને Gનો પ્રવેગ સમાન છે, કારણ કે તેઓ કોઈ પણ સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે. આથી કોઈ એક કે વધુ બ્લૉક્સને તંત્ર તરીકે લઈ શકાય.

દા. ત., (A), (B), (A + B), (B + C), (A + B + C), (A + B + C + G) … વગેરે.

• અહીં, (E + G) બ્લૉક્સને તંત્ર તરીકે ન લઈ શકાય, કારણ કે તેમના સ્થાનાંતરની દિશા અલગ અલગ છે. (D + E)ને પણ તંત્ર તરીકે સ્વીકારી શકાય નહિ, કારણ કે તકતી દોરી પર સરકે છે. આથી તેના વડે કોઈ પણ સમયમાં કપાયેલ અંતર તેમજ બ્લૉક E વડે કપાયેલ અંતર અલગ અલગ હશે.

Step II : બળોને ઓળખો.
હવે, તંત્ર પર લાગતાં બળોનું લિસ્ટ બનાવો.
અહીં, તંત્રની અંદર ઉદ્ભવતાં બળો(આંતરિક બળો)ને ધ્યાનમાં લેવા નહિ. તેમજ તંત્ર દ્વારા લાગતાં બળો ધ્યાનમાં લેવાં નહિ.
આકૃતિ 5.27માં દર્શાવ્યા મુજબ જમીન પર બ્લૉક A અને તેના પર બ્લૉક B પડેલ છે.

• બ્લૉક Aને તંત્ર તરીકે લેતાં તેના પર લાગતાં બળો :

• 1. પૃથ્વી, બ્લૉક A ને પોતાની તરફ W જેટલા બળથી નીચે તરફ આકર્ષે છે.
  2. બ્લૉક B, બ્લૉક A ને N₁ જેટલા બળથી નીચે તરફ દબાવે છે.
  3. જમીન, બ્લૉક A ને N જેટલા બળથી ઉપરની તરફ દબાવે છે.
• બ્લૉક Bને તંત્ર તરીકે લેતાં તેના પર લાગતાં બળો :
  1. પૃથ્વી, બ્લૉક Bને પોતાની તરફ W’ જેટલા બળથી નીચે તરફ આકર્ષે છે.
  2. બ્લૉક A, બ્લૉક Bને ઉપરની તરફ N₁ જેટલા બળથી દબાવે છે.

• (બ્લૉક A + બ્લૉક B)ને તંત્ર તરીકે લેતાં તેના પર લાગતાં બળો :
  1. પૃથ્વી, બ્લૉક A ને W જેટલા વજન બળથી પોતાની તરફ આકર્ષે છે.
  2. બ્લૉક B ને પૃથ્વી W’ જેટલા વજન બળથી પોતાની તરફ આકર્ષે છે.
  3. જમીન, બ્લૉક Aને ઉપરની તરફ N જેટલા બળથી દબાવે છે.

અહીં ત્રણેય કિસ્સામાં ઘર્ષણબળ ધ્યાનમાં લીધું નથી.

Step III : Free Body Diagram (FBD) દોરવો. નક્કી કરેલા તંત્રને એક બિંદુ વડે દર્શાવી શકાય. આ તંત્ર પર લાગતાં બળોને રજૂ કરતા સદિશો આ બિંદુથી દોરવામાં આવે છે. આવી રેખાકૃતિને Free Body Diagram (FBD) કહે છે.
Step IIમાં દર્શાવેલાં જુદાં જુદાં તંત્રો માટે FBD નીચે મુજબ દોરી શકાય :

Step IV : અક્ષોની પસંદગી કરી ગતિનું સમીકરણ લખવું. જ્યારે તંત્ર પર લાગતાં બધાં જ બળો એક જ સમતલમાં હોય, ત્યારે X અને Y એમ બે જ અક્ષો પસંદ કરો અને નીચેના મુદ્દા ધ્યાનમાં રાખો :

1. જો તંત્ર સંતુલનમાં હોય, તો ગમે તે બે પરસ્પર
   લંબદિશાઓને X અને Y અક્ષ તરીકે લઈ શકાય.
2. તંત્ર જે દિશામાં ગતિ કરતું હોય કે કરવાની શક્યતા હોય, તે દિશામાં X-અક્ષ પસંદ કરો અને તેની લંબદિશામાં Y-અક્ષ લો.
3. તંત્ર પર લાગતાં બળોના X ઘટકો લઈ તેમના પરિણામીને તંત્રના દળ અને તે દિશામાંના પ્રવેગના ગુણાકાર સાથે સરખાવતાં એક સમીકરણ મળશે.
   ΣF_x = ma
4. આ જ રીતે બળોના Y ઘટકોનો સરવાળો લઈ તેમના પરિણામીને શૂન્ય સાથે સરખાવી બીજું સમીકરણ મેળવો.
   ΣF_y = 0
   ઉપરનાં બંને સમીકરણો ઉકેલવાથી અજ્ઞાત ભૌતિક રાશિ (દા. ત., બળ, વેગ, પ્રવેગ …) શોધી શકાય છે.
5. જો મળતાં સમીકરણોની સંખ્યા કરતાં અજ્ઞાત રાશિઓની સંખ્યા વધુ હોય, તો બીજા કોઈને તંત્ર તરીકે પસંદ કરી step Iથી step IV નું પુનરાવર્તન કરી ગતિનાં બીજાં સમીકરણો મેળવો.
   ઉદાહરણ : ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર રહેલા M દળના એક બ્લૉકને વ્યક્તિ દોરી વડે ખેંચે છે. આકૃતિ 5.31માં દર્શાવ્યા મુજબ દોરી સમક્ષિતિજ સાથે θ કોણ બનાવે છે. જો બ્લૉકનો પ્રવેગ a હોય, તો બ્લૉક પર દોરી દ્વારા લાગતું બળ અને સપાટી દ્વારા બ્લૉક પર લાગતું બળ શોધો.

I. આપણને બ્લૉકની ગતિમાં રસ છે. આથી બ્લૉકને તંત્ર તરીકે લો.
II. બ્લૉક પર લાગતાં બળોનો વિચાર કરો.

1. પૃથ્વી બ્લૉકને Mg જેટલા વજન બળથી પોતાની તરફ આકર્ષે છે.
2. જમીન બ્લૉકને N જેટલા બળથી ઉપરની તરફ દબાવે છે.
3. દોરી બ્લૉકને T જેટલા બળથી ખેંચે છે.
   III. FBD બનાવો.
   IV. X અને Y અક્ષોની પસંદગી કરવી.
   
   બ્લૉકની ગતિ સમક્ષિતિજ દિશામાં જમણી તરફ હોવાથી આ દિશામાં X-અક્ષ લો અને તેને લંબ ઊર્ધ્વદિશામાં Y-અક્ષ લો. (જુઓ આકૃતિ 5.32)
   Mg બળનો X-દિશાનો ઘટક = 0
   N બળનો X-દિશાનો ઘટક = 0
   T બળનો X-દિશાનો ઘટક = T cos θ
   ∴ ન્યૂટનના નિયમ અનુસાર,
   ΣF_x = T cos θ = Ma ………… (1)
   Mg બળનો Y-દિશાનો ઘટક = – Mg
   N બળનો Y-દિશાનો ઘટક = N
   T બળનો Y-દિશાનો ઘટક = T sin θ
   ∴ Y-દિશામાં લાગતાં બળોનું પરિણામી બળ,
   ΣF_y = N + T sin θ – Mg
   ન્યૂટનના નિયમ અનુસાર,
   N + Tsin θ – Mg = 0 …………… (2)
   (∵ Y-અક્ષની દિશામાં પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.)
   સમીકરણ (1) પરથી દોરી દ્વારા બ્લૉક પર લાગતું બળ,
   T = \(\frac{M a}{\cos \theta}\)
   સમીકરણ (2)માં Tનું મૂલ્ય મૂકતાં,
   N + (\(\frac{M a}{\cos \theta}\)) sin θ – Mg = 0
   ∴ N + M (a tan θ – g) = 0
   ∴ જમીન દ્વારા બ્લૉક પર લાગતું બળ,
   N = M (g – a tan θ)

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
જડત્વની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
જો પદાર્થ પર ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો પદાર્થ પોતાની સ્થિર અથવા નિયમિત ગતિની અવસ્થામાં આપમેળે ફેરફાર કરતો (કરી શકતો) નથી. પોતાની અવસ્થા જાતે ન બદલવાના પદાર્થના આ ગુણધર્મને પદાર્થનું ‘જડત્વ’ કહે છે.

પ્રશ્ન 2.
અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ એટલે શું?
ઉત્તર:
જે નિર્દેશ-ફ્રેમમાં ન્યૂટનના ગતિનો પહેલો નિયમ પળાતો નથી, તેને અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ કહે છે.

પ્રશ્ન 3.
સમક્ષિતિજ ટેબલ પર સ્થિર રહેલું પુસ્તક અને અચળ ઝડપથી અધોદિશામાં ગતિ કરતું વરસાદનું ટીપું, એ બેમાં ગતિશાસ્ત્રની દૃષ્ટિએ શું સામ્ય છે?
ઉત્તર:
સ્થિર રહેલું પુસ્તક અને અચળ ઝડપથી ગતિ કરતું ટીપું બંનેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. આથી તેમના પર લાગતું પરિણામી બળ પણ શૂન્ય હશે.

પ્રશ્ન 4.
એક પદાર્થ માટે F – tનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. આરંભથી 0.03 sના ગાળામાં વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય કેટલું હશે?

ઉત્તર:
F – t આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ એ બળના આઘાતનું, એટલે કે વેગમાનના ફેરફારનું મૂલ્ય આપે છે.
∴ વેગમાનનો ફેરફાર = F · Δt
= OABC આલેખનું ક્ષેત્રફળ
= OA × OC
= (10) (0.03) = 0.3 N s

પ્રશ્ન 5.
અપેક્ષિત ગતિ એટલે શું?
ઉત્તર:
અપેક્ષિત ગતિ એટલે જો ઘર્ષણ ના હોય, તો પદાર્થને લગાડેલા બળની અસર નીચે જે ગતિ થાય તે.

પ્રશ્ન 6.
બળના આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર આપો.
ઉત્તર:
બળનો આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર
= m · Δυ
∴ [બળનો આઘાત] = M⁰L¹T^-1

પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં દર્શાવેલા પાણી ભરેલાં બે બીકરોમાંથી કયું સ્થિર છે અને કયું પ્રવેગથી ઢાળ પર ઊતરી રહ્યું છે તે તમે કહી શકશો?
(સૂચન : સ્થિર પ્રવાહીની સપાટી સમક્ષિતિજ રહે છે. પ્રવેગિત બીકરમાંના પ્રવાહી પર બીકરના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં આભાસી બળ લાગતું ગણવાનું છે.)

ઉત્તર:
આકૃતિ (b)માં દર્શાવેલ પ્રવાહીની સપાટી સમક્ષિતિજ છે. આથી તે બીકર સ્થિર છે. આકૃતિ (a)માં દર્શાવેલ ઢાળની સપાટી પર ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચે તરફ પ્રવેગી ગતિ કરે છે. આથી પ્રવાહી પર ઉપરની તરફ આભાસી બળ લાગે છે અને પ્રવાહી બીકરમાં ઉપરની તરફ ચડે છે.

પ્રશ્ન 8.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં (i) વેગનું માત્ર મૂલ્ય અચળ હોય છે. (ii) વેગદિશ અચળ હોય છે. (iii) વેગની દિશા અચળ હોય છે – સત્ય હોય તે પસંદ કરો. (આ જ પ્રમાણે પ્રવેગ, વેગમાન અને બળ અંગે પ્રશ્નો તમે જાતે બનાવો અને તેના ઉત્તર પણ જાતે જ આપો.)
ઉત્તર:
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં વેગનું માત્ર મૂલ્ય અચળ હોય છે.
– આ જ રીતે પ્રવેગ, વેગમાન અને બળનાં મૂલ્યો અચળ હોય છે. તેમની દિશા દરેક ક્ષણે બદલાતી રહે છે.

પ્રશ્ન 9.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ દરમિયાન પદાર્થના (i) વેગનું મૂલ્ય (ii) પ્રવેગનું મૂલ્ય (iii) બળનું મૂલ્ય (iv) વેગમાનનો સદિશ એ બધામાંથી કયું અચળ નથી હોતું?
ઉત્તર:
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં પદાર્થના વેગની દિશા દરેક ક્ષણે બદલાતી હોવાથી વેગમાનનો સદિશ અચળ નથી હોતો.

પ્રશ્ન 10.
ન્યૂટનનો ગતિનો પહેલો નિયમ લખો. તે બળની વ્યાખ્યા આપે છે કે એકમ?
ઉત્તર:
જુઓ ‘યાદ રાખો’ વિભાગમાં મુદ્દો 1.
તે બળની વ્યાખ્યા આપે છે.

પ્રશ્ન 11.
વેગમાન એટલે શું? તેનો SI એકમ પદ્ધતિમાં એકમ આપો.
ઉત્તર:
પદાર્થના દળ અને વેગના ગુણાકારને વેગમાન કહે છે.
\(\vec{p}=m \vec{v}\)
એકમ : kg m s^-1 અથવા N s

પ્રશ્ન 12.
ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લખો. તે બળની વ્યાખ્યા આપે છે કે એકમ?
ઉત્તર:
નિયમ : પદાર્થના વેગમાનના ફેરફારનો દર લાગુ પાડેલા બળના સમપ્રમાણમાં અને લગાડેલા બળની દિશામાં હોય છે. તે બળનો એકમ આપે છે.

પ્રશ્ન 13.
વેગમાનના ફેરફારના દરનો એકમ લખો.
ઉત્તર:
વેગમાનના ફેરફારનો દર \(\frac{d \vec{p}}{d t}=\vec{F}\)
એટલે કે એકમ = N (newton) અથવા \(\frac{\operatorname{kg~m}}{\mathrm{s}^2}\)

પ્રશ્ન 14.
1 newton એટલે શું?
ઉત્તર:
જે બળ 1 kg દળના પદાર્થમાં 1 m s^-2 જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે, તે બળને 1newton કહે છે.

પ્રશ્ન 15.
પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર શેના પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:
પદાર્થના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર તેના પર લાગતા બળ (\(\vec{F}\)) અને સમયના ગાળા (Δt) ઉપર આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 16.
બળનો આઘાત એટલે શું? તેનો એકમ અને પારિમાણિક સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:
પદાર્થ પર લાગતું બળ અને તે લાગતું હોય તે દરમિયાનના સમયના ગુણાકારને બળનો આઘાત કહે છે.
(બળનો આઘાત = \(\vec{F}\) dt)
એકમ : kg m s^-1 અથવા N S
પારિમાણિક સૂત્રઃ M¹L¹T^-1

પ્રશ્ન 17.
શું \(\vec{F}=m \vec{a}\) સૂત્ર બધા સંજોગોમાં સાચું છે? કેમ?
ઉત્તર:
ના, કારણ કે \(\vec{F}=m \vec{a}\) સૂત્ર મેળવતી વખતે દળ સમયની સાથે બદલાતું નથી તેમ સ્વીકાર્યું છે, પરંતુ જો પદાર્થનો વેગ પ્રકાશના વેગ (c)ના ક્રમનો હોય, તો સાપેક્ષવાદ મુજબ દળ અચળ રહેતું નથી. તેથી \(\vec{F}=m \vec{a}\) સૂત્ર બધા સંજોગોમાં સાચું નથી.

પ્રશ્ન 18.
બળનો આઘાત સદિશ રાશિ છે કે અદિશ? જો સદિશ હોય, તો તેની દિશા કઈ?
ઉત્તર:
બળનો આઘાત \(\vec{F}\) dt સદિશ રાશિ છે.
તેની દિશા વેગમાનના ફેરફાર (d\(\vec{P}\))ની દિશા હોય છે.

પ્રશ્ન 19.
“ક્રિકેટર સિક્સર લગાવવા બૅટને ઘુમાવીને બૉલને ફટકારે છે.” કારણ આપો.
ઉત્તર:
કારણ કે, બૅટને ઘુમાવવાથી બૅટ અને બૉલનો સંપર્ક- સમય Δ t વધી જાય છે. તેથી ફટકાના બળનો આઘાત (\(\vec{F}\) . Δ t) વધી જાય છે. પરિણામે બૉલના વેગમાનનો ફેરફાર વધે છે. અર્થાત્ બૉલનો અંતિમ વેગ υ વધે છે.

પ્રશ્ન 20.
ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
નિયમ : દરેક ક્રિયા બળ(Action)ને હંમેશાં સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાંનું પ્રતિક્રિયા બળ (Reaction) હોય છે.

પ્રશ્ન 21.
વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
નિયમ : આંતરક્રિયા કરતા કણોના અલગ કરેલા તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.

પ્રશ્ન 22.
વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમની અગત્ય જણાવો.
ઉત્તર:
વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ મૂળભૂત અને સાર્વત્રિક છે. આ નિયમ ગ્રહોનાં બનેલાં તંત્રો તેમજ ઇલેક્ટ્રૉન, પ્રોટોન વગેરે સૂક્ષ્મ કણોના બનેલાં તંત્રો માટે સમાન રીતે સાચો છે. આ બાબત તેની અગત્ય સૂચવે છે.

પ્રશ્ન 23.
કણ સંતુલનમાં રહે તે માટેની શરત શું છે?
ઉત્તર:
કણ પર એક કરતાં વધુ બળો લાગતાં હોઈ, કણે સંતુલિત અવસ્થા જાળવી રાખવી હોય તે માટેની શરત,
Σ\(\vec{F}\) = 0
એટલે કે, કણ પર લાગતાં બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 24.
કોલ્ડ વેલ્ડિંગ એટલે શું?
ઉત્તર:
બે સપાટીઓ એકબીજાના સંપર્કમાં આવે છે ત્યારે એક સપાટીના ઉપસેલા ભાગો, બીજી સપાટીના તેના જેવા જ સૂક્ષ્મ ખાડાઓમાં ભરાઈ જાય છે. આને એક પ્રકારનું કોલ્ડ વેલ્ડિંગ કહે છે.

પ્રશ્ન 25.
ઘર્ષણનું ઉદ્ગમ શું છે?
ઉત્તર:
સપાટીનું આણ્વિક સ્તરે રહેલ ખરબચડાપણું ઘર્ષણનું ઉદ્ગમ છે.

પ્રશ્ન 26.
ઘર્ષણબળ એટલે શું?
ઉત્તર:
જ્યારે એક સપાટી પર બીજી સપાટી ખસવાનો પ્રયત્ન કરે ત્યારે તેનો વિરોધ કરતું જે બળ ઉદ્ભવે છે, તેને ઘર્ષણબળ કહે છે.

પ્રશ્ન 27.
ગતિક ઘર્ષણબળ એટલે શું?
ઉત્તર:
બે સંપર્કસપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરતા ઘર્ષણબળને ગતિક ઘર્ષણબળ કહે છે.

પ્રશ્ન 28.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમો લખો.
ઉત્તર:
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમો:

1. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ _{fS (max)} સંપર્કસપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધારિત નથી.
2. મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ લંબબળ (N)ને સમપ્રમાણમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 29.
કોઈ સપાટી પર રાખેલ પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ (લંબપ્રત્યાઘાતી બળ) કઈ બાબતો પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:

1. પદાર્થના વજન mg અને
2. સપાટીના ઢોળાવ θ.

પ્રશ્ન 30.
સમક્ષિતિજ સપાટી સાથે θ ખૂણો ધરાવતી ઢાળવાળી સપાટી પર રાખવામાં આવેલ m દળવાળા પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ કેટલું હશે?
ઉત્તર:
લંબબળ N = mg cos θ

પ્રશ્ન 31.
ઘર્ષણબળ કઈ કઈ બાબતો પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:
ઘર્ષણબળ આ ચાર બાબતો પર આધાર રાખે છે :

1. પદાર્થ પર લાગતા લંબબળ ૫૨,
2. સપાટીના પ્રકાર (ખરબચડાપણા) પર,
3. સપાટીઓના દ્રવ્ય પર અને
4. તાપમાન ૫૨.

પ્રશ્ન 32.
સ્થિત ઘર્ષણાંકની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ અને લંબબળ (N)ના ગુણોત્તરને સ્થિત ઘર્ષણાંક μ_s કહે છે.

પ્રશ્ન 33.
જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ કોને કહેવાય?
ઉત્તર:
જે નિર્દેશ-ફ્રેમમાં ન્યૂટનની ગતિનો પહેલો નિયમ પળાય છે, તેને જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ કહે છે. સ્થિર અને અચળવેગી ગતિ કરતી નિર્દેશ-ફ્રેમને જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ કહે છે.

પ્રશ્ન 34.
કયું ઘર્ષણબળ વધારે હશે? સ્થિત કે ગતિક ઘર્ષણબળ?
ઉત્તર:
સ્થિત ઘર્ષણબળ એ ગતિક ઘર્ષણબળ કરતાં વધારે હોય છે.

પ્રશ્ન 35.
ઢાળ પર મૂકેલા પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ શાના પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:
ઢાળની સપાટી પર મૂકેલા પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ પદાર્થના વજન (mg) તથા રસ્તાના ઢોળાવ θ પર આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 36.
અચળ ઝડપથી વર્તુળ ગતિ કરતો પદાર્થ સમતોલનમાં ગણાય?
ઉત્તર:
ના, તેને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે. સમતોલનમાં રહેલો પદાર્થ કાં તો સ્થિર અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય છે.

પ્રશ્ન 37.
બે પદાર્થોના દળ અલગ અલગ છે, પરંતુ તેમનું રેખીય વેગમાન સમાન છે, તો બેમાંથી કયા પદાર્થની ઝડપ વધુ હશે?
ઉત્તર:
પદાર્થનું વેગમાન p = mυ
અહીં, p અચળ છે. આથી જે પદાર્થ હલકો હશે તેનો વેગ વધુ હશે.

પ્રશ્ન 38.
ક્રિયા બળ અને પ્રતિક્રિયા બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, તો શા માટે તેઓ એકબીજાને નાબૂદ નથી કરતાં?
ઉત્તર:
ક્રિયા બળ અને પ્રતિક્રિયા બળ બે જુદા જુદા પદાર્થો પર લાગતાં બળો છે. આથી તેઓ એકબીજાને નાબૂદ નથી કરતાં.

પ્રશ્ન 39.
એક પદાર્થ માટેના બળ વિરુદ્ધ સમય (F – t) આલેખમાં 1 s ના સમયગાળામાં ઘેરાતા ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય 100 N s છે, તો બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
ઉત્તર:
બળનો આઘાત = F · Δt

પ્રશ્ન 40.
સ્થિર લિફ્ટમાં સ્પ્રિંગકાંટા ઉપર ઊભેલી વ્યક્તિનું વજન 55 N છે. જો લિફ્ટ અચળ વેગથી નીચે ઊતરતી હોય, તો વ્યક્તિનું વજન કેટલું નોંધાશે?
ઉત્તર:
લિફ્ટ અચળ વેગથી નીચે ઊતરતી હોવાથી લિફ્ટનો પ્રવેગ શૂન્ય થશે. આથી વ્યક્તિ પર ઊદિશામાં કોઈ આભાસી બળ લાગશે નહિ. પરિણામે તેનું વજન 55 N જ નોંધાશે.

પ્રશ્ન 41.
બે જુદા જુદા દળના પદાર્થો સમાન વેગથી ગતિ કરતા હોય, તો તેમના માટે વેગમાન (p) – દળ (m)નો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:
ધારો કે, બે પદાર્થોના દળ m₁ અને m₂ છે. m₁ > m₂ છે અને તેઓ સમાન વેગથી ગતિ કરે છે.
∴ P₁ = m₁υ અને P₂ = m₂υ
∴ \(\frac{p_1}{p_2}=\frac{m_1 v}{m_2 v}=\frac{m_1}{m_2}\)
આમ, p ∝ m.

વેગમાન એ દળના સમપ્રમાણમાં છે. આથી તેમનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સુરેખા મળશે.

પ્રશ્ન 42.
જો બે પદાર્થોનું વેગમાન સમાન હોય, તો તેમના માટે વેગ (υ) વિરુદ્ધ દળ (m)નો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:
બે પદાર્થોનું વેગમાન સમાન છે.
∴ P₁ = P₂
∴ m₁υ₁ = m₂υ₂
∴ \(\frac{v_2}{v_1}=\frac{m_1}{m_2}\)
∴ υ ∝ \(\frac{1}{m}\)

અહીં પદાર્થનો વેગ તેના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે.

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) પદાર્થને નિયમિત ગતિમાં ચાલુ રાખવા માટે બળની જરૂર છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(2) જો પદાર્થ પરનું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(૩) ન્યૂટનના ગતિનો પહેલો નિયમ બળની વ્યાખ્યા અને બીજો નિયમ બળનું મૂલ્ય આપે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(4) આઘાત એ બળ અને પ્રવેગનો ગુણાકાર છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(5) આઘાતનો ખ્યાલ જ્યારે નાનું બળ મોટા સમય માટે લાગે ત્યારે ઉપયોગી છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(6) ક્રિયા બળ અને પ્રતિક્રિયા બળ એકસાથે લાગે છે, પરંતુ તેઓ જુદા જુદા પદાર્થો પર લાગે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(7) વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ ન્યૂટનના ગતિના પહેલા અને બીજા નિયમ પરથી મળે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(8) સ્થિત ઘર્ષણ f_s અપેક્ષિત સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે અને ગતિક ઘર્ષણ f_k વાસ્તવિક સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(9) જ્યાં સુધી સ્થિર પદાર્થ સપાટી પર ખસતો ન હોય ત્યાં સુધી સ્થિત ઘર્ષણનું મૂલ્ય, મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ કરતાં મોટું હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(10) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ f_{S (max)} સપાટીઓનાં સંપર્ક ક્ષેત્રફળ પર આધારિત છે.
(max)
ઉત્તર:
ખરું

(11) સામાન્ય રસ્તા પર ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેનું ઘર્ષણ કારને પ્રવેગ આપવા માટે જરૂરી બાહ્ય બળ પૂરું પાડે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(12) ગતિક ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય સ્થિત ઘર્ષણાંક કરતાં વધુ હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(13) બળ હંમેશાં ગતિની દિશામાં જ હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(14) વર્તુળમય ગતિમાં પદાર્થ પર લાગતા કેન્દ્રગામી બળની દિશા દરેક ક્ષણે બદલાય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(15) નિયમિત વર્તુળગતિમાં પદાર્થના વેગનો સદિશ કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(16) વાહનને વક્ર રસ્તા પર ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ વાહન અને રસ્તા વચ્ચેનું ઘર્ષણબળ પૂરું પાડે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(17) નિયમિત વર્તુળગતિમાં પદાર્થની ઝડપ અચળ છે, પરંતુ વેગ બદલાય છે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) વૈજ્ઞાનિક ………………….. ના મતે પદાર્થને ગતિમાં ચાલુ રાખવા માટે બાહ્ય બળની જરૂર છે.
ઉત્તર:
એરિસ્ટોટલ

(2) પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં એક સેકન્ડમાં થતા ફેરફારનો દર 10 kg m s^-1 હોય, તો પદાર્થ પર લાગતું બળ ………………….. .
ઉત્તર:
10 N

(3) આઘાતનું પારિમાણિક સૂત્ર ……………………… છે.
ઉત્તર:
M¹L¹T^-1

(4) m દળનું એક બલૂન અવકાશમાં સ્થિર છે, તો તેના પર લાગતું પરિણામી બળ …………………….. હશે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(5) પદાર્થ ત્યાં સુધી પ્રવેગિત ગતિ ચાલુ રાખે, જ્યાં સુધી તેના પરનું પરિણામી બળ સતત ………………….. .
ઉત્તર:
વધે

(6) ન્યૂટનના ગતિનો બીજો નિયમ ………………………… નું મૂલ્ય આપે છે.
ઉત્તર:
બળ

(7) 100g દળના પદાર્થ પર બળ લાગતાં તેના વેગમાં પ્રતિસેકન્ડે 20 cm s^-1 નો ફેરફાર થાય છે, તો આ બળનું મૂલ્ય …………………… N હશે.
ઉત્તર:
0.02

(8) સમક્ષિતિજ રસ્તા પર થતી વાહનની …………………. ગતિ એ રસ્તા અને વાહનના ટાયર વચ્ચેના ઘર્ષણને આભારી છે.
ઉત્તર:
પ્રવેગી

(9) θ કોણના એક ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર m દળનો બ્લૉક મૂકેલ છે, તો ઢાળની સપાટી વડે બ્લૉક પર લાગતું લંબબળ ………………………….. જેટલું હશે.
ઉત્તર:
mg cos θ

(10) નિયમિત વર્તુળગતિમાં પદાર્થ પર લાગતા કેન્દ્રગામી બળ અને વેગ વચ્ચેનો કોણ ……………………….. હોય છે.
ઉત્તર:
90°

(11) M દળ ધરાવતા પદાર્થ પર \(\vec{F}\) = (6 î – 8 ĵ + 10 k̂) Nબળ લગાડતાં તેમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ 1 m s^-2 હોય, તો પદાર્થનું દળ …………………. kg.
ઉત્તર:
10√2

(12) 0.5 kg દળ ધરાવતો પદાર્થ 9.5 ms^-2ના પ્રવેગથી નીચે પડે છે. હવા દ્વારા તેની ગતિની વિરુદ્ધમાં લાગતું બળ ………………….. N હશે. (g = 9.8 ms^-2).
ઉત્તર:
0.15

(13) ન્યૂટનનો ગતિનો નિયમ ……………………. સંરક્ષણનો નિયમ સૂચવે છે.
ઉત્તર:
વેગમાન

(14) 0.05 s માં 25 N s વેગમાનથી ગતિ કરતા હથોડાને અટકાવવા માટે જરૂરી સરેરાશ બળ ………………….. N.
ઉત્તર:
500

(15) υ વેગથી ગતિ કરતો m દળનો પદાર્થ દીવાલ સાથે અથડાય છે. જો અથડામણ બાદ પદાર્થ તેટલા જ વેગથી પાછો ફેંકાતો હોય, તો તેના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર …………………… હશે.
ઉત્તર:
2 m υ

(16) 4 kg દળના પદાર્થ પર 8 Nનું બળ X-દિશામાં અને 6 Nનું બળ Y-દિશામાં લાગે છે, તો તે પદાર્થના પ્રવેગનું મૂલ્ય ……………………. હશે.
ઉત્તર:
2.5 m s^-2

(17) ઊર્ધ્વદિશામાં g જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરતી લિફ્ટમાં ઊભેલા M દળના માણસ દ્વારા લિફ્ટના તળિયા પર લાગતું બળ ……………………. હશે.
ઉત્તર:
2Mg

(18) એક લિફ્ટ ‘a’ જેટલા પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે. લિફ્ટમાં રહેલો માણસ એક બૉલને a₀ જેટલા પ્રવેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલ અવલોકનકાર દ્વારા નોંધાતો બૉલનો પ્રવેગ ………………… અને …………………… દિશામાં હશે.
ઉત્તર:
(a – a₀), અધો

(19) મુક્તપતન કરતી લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ …………………….. હશે.
ઉત્તર:
અનંત

(20) રેખીય ગતિ કરતાં કણ પર લાગતું બળ સમય સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર બદલાય છે. કણે શૂન્યથી 8 S દરમિયાન મેળવેલ વેગમાન …………………. હશે.

ઉત્તર:
શૂન્ય

(21) 100 kg દળના પદાર્થને બરફની સપાટી પર ગતિમાં લાવવા માટે 98 N બળની જરૂર પડે છે, તો સ્થિત ઘર્ષણાંક µ_S નું મૂલ્ય ……………………. હશે.
ઉત્તર:
0.1

(22) એક બૉક્સને ઢાળ પર મૂકેલ છે. જ્યારે ઢાળનો ખૂણો વધારતાં વધારતાં 60°નો થાય છે, ત્યારે બૉક્સ ઢાળ પરથી સરકે છે, તો સ્થિત ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય ……………………
હશે.
ઉત્તર:
1.732

(23) r ત્રિજ્યા ધરાવતા લીસા વક્રાકાર માર્ગ પર વાહનની optimum ઝડપથી સાઇકલ ચલાવતા સવારને લંબ સાથે θ કોણે નમવું પડે તો optimum ઝડપ υ₀ =………………… .
ઉત્તર:
\(\sqrt{r g \tan \theta}\)

(24) r ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર માર્ગ પર વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ υ_max = ……………. .
ઉત્તર:
\(\sqrt{\mu_{\mathrm{s}} r g}\)

(25) R ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર પથ પર એક કણ નિયમિત ઝડપ થી ગતિ કરે છે. વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે છે. જો તેની ઝડપ અચળ રાખવી હોય, તો તેનું કેન્દ્રગામી કરવું બળ …………………… પડે.
ઉત્તર:
અડધું

(26) સમતલ વક્રમાર્ગ પર વાહનની સલામત ઝડપ ……………………… પર આધારિત નથી.
ઉત્તર:
પેસેન્જર અને વાહનના દળ

જોડકાં જોડો :

પ્રશ્ન 1.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ન્યૂટનનો ગતિનો પહેલો નિયમ	p. Δ\(\vec{P}\) = 0
2. ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ	q. \(\vec{F}\)AB = – \(\vec{F}\)BA
3. ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ	r. બળ
4. વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ	s. જડત્વ

ઉત્તર :
(1 – s), (2 – r), (3 – q), (4 – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ન્યૂટનનો ગતિનો પહેલો નિયમ	s. જડત્વ
2. ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ	r. બળ
3. ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ	q. \(\vec{F}\)AB = – \(\vec{F}\)BA
4. વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ	p. Δ\(\vec{P}\) = 0

પ્રશ્ન 2.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. બંદૂકનો રિકૉઇલ	p. ન્યૂટનનો પ્રથમ નિયમ
2. પ્રવેગ એક અને ગતિ બે દિશામાં છે.	q. ન્યૂટનનો બીજો નિયમ
3. બળની વ્યાખ્યા	r. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ
4. બળનું માન	s. ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ

ઉત્તર:
(1 – s), (2 – r), (3 – p), (4 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. બંદૂકનો રિકૉઇલ	s. ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ
2. પ્રવેગ એક અને ગતિ બે દિશામાં છે.	r. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ
3. બળની વ્યાખ્યા	p. ન્યૂટનનો પ્રથમ નિયમ
4. બળનું માન	q. ન્યૂટનનો બીજો નિયમ

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 1 kg, 5 kg અને 2 kg દળ ધરાવતા પદાર્થો એકબીજા સાથે જોડાઈને રહેલા છે. જો ઘર્ષણબળ ન હોય, તો કૉલમ A અને કૉલમ B સરખાવો.
(g = 10 m /s²)

કૉલમ A	કૉલમ B
1. 5 kg બ્લૉક	p. 17.5 N
2. T1નું મૂલ્ય	q. 1.25 m s2
3. T2નું મૂલ્ય	r. 11.25 N
4. પ્રવેગનું મૂલ્ય	s. જમણી બાજુ ગતિ કરે

ઉત્તર :
(1 – s), (2 – r), (3 – p), (4 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. 5 kg બ્લૉક	s. જમણી બાજુ ગતિ કરે
2. T1નું મૂલ્ય	r. 11.25 N
3. T2નું મૂલ્ય	p. 17.5 N
4. પ્રવેગનું મૂલ્ય	q. 1.25 m s2

પ્રશ્ન 4.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. વેગમાનના ફેરફારનો દર	p. જડત્વીય ફ્રેમ
2. વેગમાનનો ફેરફાર	q. બળ
3. અચળ વેગથી ગતિ કરતી નિર્દેશ-ફ્રેમ	r. અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ
4. પરિભ્રમણ કરતી નિર્દેશ-ફ્રેમ	s. બળનો આઘાત

ઉત્તર:
(1 – q), (2 – s), (3 – p), (4 – r).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. વેગમાનના ફેરફારનો દર	p. જડત્વીય ફ્રેમ
2. વેગમાનનો ફેરફાર	q. બળ
3. અચળ વેગથી ગતિ કરતી નિર્દેશ-ફ્રેમ	r. અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ
4. પરિભ્રમણ કરતી નિર્દેશ-ફ્રેમ	s. બળનો આઘાત