GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

This GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Class 10 GSEB Notes

→ તમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની દુનિયામાં ડોકિયું કર્યું અને તમને અસંમેય સંખ્યાઓ મળી. આ પ્રકરણમાં આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ચર્ચા ચાલુ રાખીશું. આપણે 1.2 અને 1.3માં ધન પૂર્ણાકોના ખૂબ જ અગત્યના ગુણધર્મો, યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયથી પ્રારંભ કરીશું.

→ યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ” નામ જ દર્શાવે છે કે તેને પૂર્ણાકોની વિભાજ્યતા સાથે કંઈક સંબંધ છે. સરળ ભાષામાં કહીએ તો, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાક વને બીજા કોઈ ધન પૂર્ણાક b વડે ભાગવામાં આવે તો અનૃણ શેષ r વધે અને તે b કરતાં નાની હોય. તમારામાંથી મોટા ભાગના અભ્યાસાથી કદાચ ભાગાકારને સ્વાભાવિક લાંબી પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખતા હશે. જોકે આ પરિણામ ખૂબ જ સરળતાથી દર્શાવી અને સમજી શકાય છતાં પૂર્ણાકોની વિભાજ્યતાના ગુણધર્મો-સંબંધી ઘણા બધા ઉપયોગો છે. આપણે તેમાંના કેટલાકને સમજીશું અને તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે બે ધન પૂર્ણાકોના ગુ.સા.અ. શોધવા માટે કરીશું.

→ અન્ય પાસામાં અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયમાં ધન પૂર્ણાકોના ગુણાકારની વાત આવે છે. તમે જાણો છો કે દરેક વિભાજ્ય પૂર્ણાકને અવિભાજ્ય પૂર્ણાકોના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય. આ અગત્યનો ગુણધર્મ એ અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય છે. આ પરિણામ સરળતાથી દર્શાવી અને સમજાવી શકાય. આપણે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયના બે મુખ્ય વ્યવહારુ ઉપયોગ કરીશું. તેના ગણિતના ક્ષેત્રના કેટલાક ખૂબ જ ઊંડા અને નોંધપાત્ર ઉપયોગો છે. તમે ધોરણ IXમાં અભ્યાસ કર્યો છે કે, √2, √3 અને √5 જેવી ઘણી બધી સંખ્યાઓને અસંમેય સાબિત કરવા આ પ્રમેય વપરાય છે. બીજું, આ પ્રમેયનો ઉપયોગ, સંમેય સંખ્યાઓ \(\frac{P}{q}\) (q ≠ 0)ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ ક્યારે સાત્ત હોય અને ક્યારે અનંત આવૃત્ત હોય તે જાણવામાં થાય છે. આ માટે આપણે ના છેદ qના અવિભાજ્ય અવયવો પર દષ્ટિપાત કરીએ છીએ. તમે જોશો કે, qનું અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવીકરણ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિનું સંપૂર્ણ સ્વરૂપ નક્કી કરે છે.

GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

→ આપણે જાણીએ છીએ કે, ગણતરીની સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4… વગેરેને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કહે છે અને તેમના સમૂહને N દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, N = {1, 2, 3, 4, }.

→ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને ધન પૂર્ણાકો પણ કહે છે.

→ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં 0(શૂન્ય)નો સમાવેશ કરવાથી આપણને પૂર્ણ સંખ્યાઓ મળે છે. પૂર્ણ સંખ્યાઓના સમૂહને જ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, x = {0, 1, 2, 3,..}.

→ 0, બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ તથા દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાની વિરોધી સંખ્યાને સમાવતા સમૂહને પૂર્ણાકોનો સમૂહ કહે છે અને તેને 1 અથવા 2 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, 1 અથવા Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. 0 એ ધન પૂર્ણાંક પણ નથી તેમજ ઋણ પૂર્ણાંક પણ નથી.

→ જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે, તે સંખ્યાઓને યુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને E દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, E = {2, 4, 6, .}.

→ જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી ના શકાય તે સંખ્યાઓને અયુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને 0 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, 0 = {1, 3, 5, …}.

→ સિવાયની કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના અવયવો જો ફક્ત 1 અને તે સંખ્યા પોતે જ હોય, તો તેવી સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યા અથવા ફક્ત અવિભાજ્ય કહે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહને P દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ………….}.

→ યુગ્મ સંખ્યાઓ પૈકી ફક્ત 2 જ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. 2 એ સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને જાન્યુઆરી 2019 સુધીમાં શોધાયેલ સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા 282,589,933–1 છે. જે 24,862,048 અંકો ધરાવતી સંખ્યા છે. તેનાથી પણ મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાની શોધ અવિરતપણે ચાલુ જ છે.

→ સિવાયની કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા જો અવિભાજ્ય ના હોય, તો તેને વિભાજ્ય સંખ્યા અથવા ફક્ત વિભાજ્ય કહે છે. વિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહને C દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ, C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, …………}.
ખાસ નોંધ લેવી કે, 1 એ વિભાજ્ય સંખ્યા પણ નથી કે અવિભાજ્ય સંખ્યા પણ નથી.

→ જે બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 1 સિવાય કોઈ પણ સામાન્ય અવયવ ન હોય તેવી સંખ્યાઓને પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યા કહે છે. દા. ત., 8 અને 15 પરસ્પર અવિભાજ્ય છે, પરંતુ 8 અને 12 પરસ્પર અવિભાજ્ય નથી.

→ જે સંખ્યાને \(\frac{P}{q}\) સ્વરૂપમાં (જ્યાં, p અને ૧ પૂણકો છે તથા q ≠ 0) દર્શાવી શકાય તેવી સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહે છે. સંમેય સંખ્યાઓના સમૂહને Q દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

→ જે સંખ્યા સંમેય સંખ્યા નથી તેવી સંખ્યાને અસંમેય સંખ્યા કહે છે. અસંમેય સંખ્યાઓના સમૂહને \(\overline{\mathrm{Q}}\) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

→ બધી જ સંમેય સંખ્યાઓ તેમજ બધી જ અસંમેય સંખ્યાઓના સમૂહને વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ કહે છે અને તેને R દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

→ યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય :
પ્રમેય 1.1 (યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય) આપેલ ધન પૂર્ણાકો ઘ અને મને સંગત અનન્ય અનૃણ પૂર્ણાકો q અને r એવા મળે કે જેથી a = bq + 1, 0 ≤ r < b. નોંધઃ q અનુણ છે, પરંતુ q, a તથા r સાથે શૂન્ય નથી. આ પરિણામ લાંબા સમયથી પ્રચલિત છે, પરંતુ તેની પ્રથમ વખત યુક્લિડ(Euclid)ની Elements Book Viામાં નોંધ લેવાઈ હતી. યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ આ પૂર્વપ્રમેય પર આધારિત છે. કોઈ પણ ધન પૂર્ણાક વને અથવા તેના વર્ગને અથવા ઘનને બીજા કોઈ પૂર્ણાક b દ્વારા ભાગવાથી મળતાં પરિણામો સાબિત કરવામાં લૂ અને જુની અનન્યતા ખૂબ જ ઉપયોગી સાબિત થાય છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ની કિંમતને અનુરૂપ વની કિંમત નીચેના પૈકી કોઈ

GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

→ પણ સ્વરૂપમાં લઈ શકાયઃ

  • 2k અથવા 2k + 1
  • 3k અથવા 3k + 1 અથવા 3k + 2
  • 4k અથવા 4k + 1 અથવા 4k + 2 અથવા 4k + 3 વગેરે. જ્યાં, k એ અનૃણ પૂર્ણાક છે.

→ જેના વડે ધન પૂર્ણાકો અને b બંને વિભાજ્ય હોય તેવો મોટામાં મોટો ધન પૂણક d એ વ અને મનો ગુ.સા.અ. છે. → યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ એ આપેલા બે ધન પૂર્ણાકોનો ગુ.સા.અ. શોધવાની પ્રવિધિ છે. c > d હોય તેવા બે ધન પૂર્ણાકો દે અને તેનો ગુ.સા.અ. મેળવવા માટે નીચેનાં સોપાન છેઃ

  • સોપાન 1: યુક્લિડના ભાગાકાર પૂર્વપ્રમેયનો : અને ઉપર ઉપયોગ કરતાં, આપણને c = dq + r, 0 ≤ 7 < d થાય તેવી પૂર્ણ સંખ્યાઓ q અને મળે.
  • સોપાન 2: જો r = 0, તો તે એ C અને વનો ગુ.સા.અ. થાય. જો r ≠ 0, તો અને અને ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય – લગાડીએ.
  • સોપાન 3: આ પ્રક્રિયા જ્યાં સુધી શેષ 0 ન થાય ત્યાં સુધી ચાલુ રાખો. આ તબક્કે જ્યારે શેષ શૂન્ય બને ત્યારે ભાજક એ માગેલ ગુ.સા.અ. થાય. આ પ્રવિધિમાં પરિણામ મળે છે, કારણ કે ગુ.સા.અ. (c, d) = ગુ.સા.અ. (d, r). ગુ.સા.અ. (c, d) એ અને વનો ગુ.સા.અ. દર્શાવે છે.

→ ઉદાહરણ : યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ દ્વારા 175 અને 112નો ગુ.સા.અ. શોધો.
(1) 175 > 112 હોવાથી આપણે 175 અને 112 માટે ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીએ તો નીચેનું પરિણામ મળે:
175 = 112 × 1 + 63

(2) શેષ 63 %0 હોવાથી આપણે 112 અને 63 માટે
ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીએ તો નીચેનું પરિણામ મળે :
112 = 63 × 1 + 49

(3) શેષ 49 8 0 હોવાથી આપણે 63 અને 49 માટે ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીએ તો નીચેનું પરિણામ મળે ?
63 = 49 × 1 + 14

(4) શેષ 14 હોવાથી આપણે 49 અને 14 માટે ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીએ તો નીચેનું પરિણામ મળે :
49 = 14 × 3 + 7

(5) શેષ 7 8 9 હોવાથી આપણે 14 અને 7 માટે ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીએ તો નીચેનું પરિણામ મળે :
14 = 7 × 2 + 0.

(6) હવે શેષ શૂન્ય મળે છે અને હવે આપણે પ્રક્રિયા આગળ નથી કરી શકતા. આ પગલે ભાજક 7 હોવાથી 175 અને 112નો ગુ.સા.અ. 7 છે, એટલે કે ગુ.સા.અ. (175, 112) = 7.
યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ માત્ર ખૂબ જ મોટી સંખ્યાઓના ગુ.સા.અ. મેળવવા માટે જ ઉપયોગી છે એટલું જ નહીં પરંતુ તે કમ્યુટરના પ્રોગ્રામ તૈયાર કરવા માટેના અલ્ગોરિધમ(પ્રવિધિ)નાં ખૂબ જ શરૂઆતનાં ઉદાહરણોમાંની એક છે.

નોંધ:

  • યુક્લિડના ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય અને ભાગપ્રવિધિ ખૂબ જ નજીકથી એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી લોકો અવારનવાર ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયને ભાગાકાર પ્રવિધિ પણ કહેતા હતા.
  • વળી, યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનું વિધાન માત્ર ધન પૂર્ણાકો માટે જ કર્યું છે, છતાં તેને b ≠ 0 હોય તેવા બધા જ શૂન્યતર પૂર્ણાકો સુધી વિસ્તારી શકાય, જોકે ભાગપ્રવિધિના આ પાસાની ચર્ચા આપણે અહીં નહીં કરીએ.

GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

→ a અને ‘ના ગુ.સા.અ. અંગેનું એક અગત્યનું પરિણામ 175 અને 112નો ગુ.સા.અ. શોધવાના ઉપરોક્ત ઉદાહરણમાં સોપાન (4) પરથી
7 = 49 – 14 × 3
= 49 – (63 – 49) × 3. સિોપાન (3) પરથી
= 49-63 × 3 + 49 × 3
= 49 × 4 – 63 × 3.
= (112 – 63) × 4 – 63 × 3 (સોપાન (2) પરથી]
= 112 × 4-63 × 4-63 × 3
= 112 × 4-63 × 7
= 112 × 4 – 175 – 112) × 7 સોપાન (1) પરથી]
= 112 × 4 – 175 × + 112 × 7
= 112 × 11 – 175 17
= 11 × 112 – 7 × 175
આ પરિણામને બીઝૉટનું નિત્યસમ કહે છે. તેના દ્વારા બે સંખ્યાઓના ગુ.સા.અ.ને તે બે સંખ્યાઓના કોઈ ગુણકના તફાવત સ્વરૂપે દર્શાવવામાં આવે છે.
સાંકેતિક રીતે, ગુ.સા.અ. (a, b) = ax – bu, જ્યાં, ૪ અને પુ એ પૂર્ણાકો છે. નોંધ લેશો કે ગુ.સા.અ.

(a, b) = ax – bg અભિવ્યક્તિ અનન્ય નથી, એટલે કે મેળવેલ અભિવ્યક્તિમાં વ x b અથવા તેના ગુણક ઉમેરવા અને બાદ કરવાથી x અને પુની બીજી ઘણી કિંમતો મળી શકે છે.

→ યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનાં કેટલાંક અગત્યનાં તારણોઃ

  • કોઈ પણ પૂર્ણાક 2k અથવા 2k + 1 સ્વરૂપનો હોય છે. જ્યાં, કોઈ પૂર્ણાક છે. 2k સ્વરૂપનો પૂર્ણક યુગ્મ પૂર્ણાક છે અને 2k + 1 સ્વરૂપનો પૂર્ણાક અયુગ્મ પૂર્ણાક છે.
  • કોઈ પણ અયુગ્મ પૂર્ણાક 4k + 1 અથવા 4k + 3 સ્વરૂપનો હોય છે. જ્યાં, કોઈ પૂર્ણાક છે.
  • 3 વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવો પૂર્ણાક 3k+1 સ્વરૂપનો હોય છે. 5 વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવો પૂર્ણાક 5k ± 1 અથવા 5k ± 2 સ્વરૂપનો હોય છે વગેરે. અહીં, દરેક કિસ્સામાં k એ કોઈ પૂર્ણાક છે.

→ અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય
પ્રમેય (અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય) ઃ દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને તેના અવયવોના ક્રમને અવગણીને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે.

→ અંકગણિતનું મૂળભૂત, પ્રમેય દર્શાવે છે કે, આપેલ કોઈ પણ વિભાજ્ય સંખ્યાનું તેના અવયવોના ક્રમને અવગણીને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે નિરૂપણ કરી શકાય. આમ, 210નું અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવીકરણ તરીકે 2 × 3 × 5 × 7 અથવા 7 × 5 × 3 × 2 અથવા 3 × 7 × 5 × 2 બધા જ એકસમાન છે.

→ આથી ઉપરોક્ત પ્રમેયને બીજા શબ્દોમાં આ રીતે પણ દર્શાવી શકાય કે, “1થી મોટી કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવીકરણ તેમના ક્રમને અવગણીએ તો અનન્ય હોય છે.”

→ અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કોઈ પણ વિભાજ્ય સંખ્યાને તેના
અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવવાની ક્રિયાને અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કહે છે. જેમ કે, 27720 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 11
= 2 × 3 × 5 × 7 × 11

→ અવયવ વૃક્ષ: જ્યારે કોઈ વિભાજ્ય સંખ્યાનું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ નીચે મુજબ કરવામાં આવે તેને અવયવ વૃક્ષ કહે છે.
GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 1

આથી 8580 = 2 × 2 × 3 x× 5 × 11 × 13
= 23 × 3 × 5 × 11 × 13

→ ગુ.સા.અ. બે કે તેથી વધુ આપેલી સંખ્યામાં રહેલા સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવના નાનામાં નાનાં ઘાતાંકવાળાં પદોના ગુણાકારને આપેલ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. (ગુરુતમ સામાન્ય અવયવ) કહે છે.

→ લ.સા.અ. બે કે તેથી વધુ આપેલી સંખ્યામાં રહેલા તમામ અવિભાજ્ય અવયવોના મહત્તમ ઘાતાંકવાળાં પદોના ગુણાકારને આપેલ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. (લઘુતમ સામાન્ય અવયવી) કહે છે.

→ કોઈ પણ બે ધન પૂર્ણાકો વ અને b માટે, ગુ.સા.અ. (a, b) × લ.સા.અ. (a, b) = a × b
આ પરિણામના ઉપયોગથી ચાર પૈકીની કોઈ પણ ત્રણ રાશિ આપેલ હોય તો ચોથી રાશિ સહેલાઈથી શોધી શકાય છે. ત્રણ ધન પૂર્ણાકો p, q અને જુના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ ત્રણ ધન પૂર્ણાકો p, q અને r ના ગુ.સા.અ. અને લ.સા.અ. વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબનાં સમીકરણો દ્વારા મળે છે લ.સા.અ. (p, q, r)
GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 2

→ જો વ અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો ગુ.સા.અ. (a, b) = 1 અને લ.સા.અ. (a, b) = a × b.

→ બે કે તેથી વધુ આપેલ સંખ્યાઓનો ગુ.સા.અ. એ તેમના લ.સા.અ.નો અવયવ હોય જ છે. બીજા શબ્દોમાં, બે કે તેથી વધુ આપેલ સંખ્યાઓનો લ.સા.અ. એ તેમના ગુ.સા.અ.નો ગુણક હોય છે.

→ અસંમેય સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન : જ અસંમેય સંખ્યા જે સંખ્યાને પૂર્ણક p તથા શૂન્યતર પૂર્ણક q માટે 3 સ્વરૂપમાં લખી ન શકાય તે સંખ્યા sને અસંમેય સંખ્યા કહેવાય છે. આપણે √2 , √3, √7 , π, 0.10100100010000… જેવી અસંમેય સંખ્યાઓથી પરિચિત છીએ

→ આ વર્ષે આપણે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયની મદદથી તે પૈકીની કેટલીક સંખ્યાઓ માટે તે સંખ્યાઓને અસંમેય સાબિત કરીશું.

→ જો p અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય, તો √p અસંમેય સંખ્યા છે. કે જો કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા p એ વ્રશ્નો અવયવ હોય, તો તે વનો પણ અવયવ હોય જ.

→ જો a સંમેય સંખ્યા હોય તથા Vb એ શૂન્યતર અસંમેય સંખ્યા હોય, તો a + √b , a – b, a = b તથા a – √b અસંમેય સંખ્યાઓ છે.

GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

→ પ્રમેય : ધારો કે, p એ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. ધન પૂર્ણાક a માટે, વ એ p વડે વિભાજ્ય હોય, તો વ પણ p વડે વિભાજ્ય હોય. સાબિતી : ધારો કે, qનું અવિભાજ્ય અવયવોમાં અવયવીકરણ નીચે પ્રમાણે છે:
a = p1p2..pn, જ્યાં, p1, p2, pn એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આવશ્યક નથી કે તે p1, p2,…, pn ભિન્ન સંખ્યાઓ જ હોય.

માટે a = (p1p2… pn) (p1p2…pn)
= p12p22……..pn2
હવે, આપણને આપેલ છે કે a એ p વડે વિભાજ્ય છે. માટે અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય પરથી કહી શકાય કે, Op એ gશ્નો એક અવિભાજ્ય અવયવ હોય. અંકગણિતના

મૂળભૂત પ્રમેયના અનન્યતા ભાગ પરથી કહી શકાય કે, વન્ના અવિભાજ્ય અવયવો માત્ર p1, p2 , pn છે. આથી ) એ p1, p2,.., pn પૈકીનો એક હોય. હવે, a = p1p2… pn હોવાથી p એ વનો પણ અવયવ છે.

→ પ્રમેય : √2 એ અસંમેય છે. સાબિતી : ધારો કે √2 સંમેય છે.

  • આથી આપણે √2 = થાય તેવા પૂણકો 1 અને s (s ≠ 0) મેળવી શકીએ.
  • જો ” અને sને 1 સિવાય સામાન્ય અવયવ હોય, તો સામાન્ય અવયવ વડે r તથા ને ભાગતાં √2 = \(\frac{a}{b}\) મળે.
  • આપણે વ અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય લઈ શકીએ. આથી b√2 = a
  • આપણે બંને બાજ વર્ગ કરી પુન:ગોઠવણ કરીએ તો, 2b2 = a2 મળે. માટે a2 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે. હવે, પ્રમેય 1.3 અનુસાર, a એ 2 વડે વિભાજ્ય છે.
  • આથી આપણે કોઈ પૂર્ણાક c માટે a = 2c લખી શકીએ.
  • aની કિંમત મૂકતાં આપણને 2b2 = 4c2 મળે. આથી b2 = 2c2 થાય.
  • આનો અર્થ એ થાય કે, ‘એ 2 વડે વિભાજ્ય છે. આથી b પણ 2 વડે વિભાજ્ય છે. (ફરીથી પ્રમેય 1.3, p = 2 સાથે ઉપયોગમાં લેતાં) માટે વ તથા મને ઓછામાં ઓછો એક સામાન્ય અવયવ 2 છે.
  • આથી વ અને મને 1 સિવાય કોઈ જ સામાન્ય અવયવ નથી તે ધારણાનો વિરોધાભાસ મળે.
  • √2 સંમેય છે તે ધારણા અસત્ય હોવાથી આ વિરોધાભાસ ઉદ્ભવ્યો. આથી કહી શકાય કે, √2 અસંમેય છે.

→ સંમેય સંખ્યાઓ અને તેના દશાંશ નિરૂપણનું પુનરાવર્તન દરેક સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત અથવા અનંત અને આવૃત્ત હોય છે.

→ જો x એ સાન્ત દશાંશ નિરૂપણવાળી સંમેય સંખ્યા હોય, તો ન્ને જ્યાં pઅને q પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો હોય અને qનું અવિભાજ્યમાં અવયવીકરણ 2n 5mળ સ્વરૂપમાં હોય તેવા સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય. n, m એ અનૃણ પૂર્ણાકો છે. (જો m = n = 0, તો q = 1 તે અવિભાજ્યોમાં વર્ગીકરણ નથી. \(\frac{p}{q}\) પોતે જ પૂર્ણાક છે.) ઘ. ત., 0.35 = 60 = 20 =
GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 3
→ જો x = \(\frac{p}{q}\) માં qનું અવિભાજ્યોમાં અવયવીકરણ 25 સ્વરૂપે હોય અને n, m એ અનૃણ પૂર્ણાકો હોય, તો xનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોય.
GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 4
→ જો qનું અવિભાજ્યોમાં અવયવીકરણ અનુણ પૂણકો n, m માટે 2n 5m સ્વરૂપે ન હોય, તો x = \(\frac{p}{q}\) નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત છે.
GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 5
→ જો કોઈ સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોય, તો તેના \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં qનું અવિભાજ્યોમાં અવયવીકરણ 25ળ સ્વરૂપે ન હોય. જ્યાં, n અને m અનૃણ પૂર્ણાકો છે. કે

→ કોઈ પણ અસંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત્ત હોય છે.

→ યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય આપેલ ધન પૂર્ણાકો a અને bને સંગત a = bq + r, 0 4 r ≤ bનું સમાધાન કરે તેવી પૂર્ણ સંખ્યાઓ q અને નું અસ્તિત્વ છે. (બંને સાથે શૂન્ય નહીં)

→ યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિઃ યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય અનુસાર a > b હોય તેવા કોઈ પણ બે ધન પૂર્ણાકો વ અને મનો ગુ.સા.અ. નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય?
સોપાન 1: a = bq + , 0 < r < b થાય તેવા 9 અને મેળવવા ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.
સોપાન 2: જો n = 0 નો ગુ.સા.અ. b છે. જો r ≠ 0 તો ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો છે અને માટે ઉપયોગ કરો.
સોપાન ૩: જ્યાં સુધી શેષ ૦ ન મળે ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખો. શેષ ૦ થાય તે તબક્કે ભાગફળ એ ગુ.સા.અ. (a, b) થાય. વળી, ગુ.સા.અ. (a, b) = ગુ.સા.અ.
(b, r) અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેયઃ દરેક વિભાજ્ય સંખ્યાને તેના અવયવોના ક્રમને અવગણીને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણાકાર તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે.

→ જો p અવિભાજ્ય હોય અને d એ p વડે વિભાજ્ય હોય, તો વ પણ રૂ વડે વિભાજ્ય છે.

→ કોઈ પણ અવિભાજ્ય પૂર્ણાકનું વર્ગમૂળ એ અસંમેય સંખ્યા છે. ∠2, ∠3, ∠5 વગેરે અસંમેય સંખ્યાઓ છે.

→ કોઈ પણ સંમેય સંખ્યા અને અસંમેય સંખ્યાનો સરવાળો તથા તફાવત અસંમેય સંખ્યા છે.

→ શૂન્યતર હોય તેવી કોઈ પણ સંમેય સંખ્યા અને અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર તથા ભાગાકાર અસંમેય સંખ્યા છે.

→ કોઈ પણ બે ધન પૂર્ણાકો વ અને b માટે,
ગુ.સા.અ. (a, b) × લ.સા.અ. (a, b) = a × b

→ કોઈ પણ ત્રણ ધન પૂણકો a, b અને તે માટે, લ.સા.અ. (a, b, c)
GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ 6

→ કોઈ પણ બે ધન પૂર્ણાકો વ અને b માટે, ગુ.સા.અ. (ka, kb) = k ગુ.સા.અ. (a, b) જ્યાં, k શૂન્યતર અચળાંક છે.

→ જેનું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત છે તેવી સંમેય સંખ્યા વને આપણે \(\frac{p}{q}\) સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ. p અને q પરસ્પર અવિભાજ્ય છે અને અનૃણ પૂર્ણાકો n, m માટે qનું અવિભાજ્યોમાં અવયવીકરણ 2n5m સ્વરૂપમાં હોય.

→ જેમાં અનૃણ પૂર્ણાકો n, m માટે qનું અવિભાજ્યોમાં અવયવીકરણ 25ળ સ્વરૂપનું હોય તેવી સંમેય સંખ્યા x = \(\frac{p}{q}\) નું દશાંશ નિરૂપણ સાન્ત હોય.

→ જેમાં અનૃણ પૂર્ણાકોn, m માટે qનું અવિભાજ્યોમાં અવયવીકરણ 2n5m સ્વરૂપનું ન હોય તેવી સંમેય સંખ્યા x = \(\frac{p}{q}\)નું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને આવૃત્ત હોય.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *