GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 12 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
A (3, − 1, 2), B (1, 2, − 4) અને C (– 1, 1, 2) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ હોય, તો ચોથ શિરોબિંદુના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, D (x, y, z) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનું ચોથું શિરોબિંદુ છે.
હવે, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
તેથી ACનું મધ્યબિંદુ = BDનું મધ્યબિંદુ

∴ x + 1 = 2, g + 2 = 0, z – 4 = 4
∴ x = 1, y = – 2, z = 8
આમ, ચોથા શિરોબિંદુના યામ (1, −2, 8) છે.

પ્રશ્ન 2.
A (0, 0, 6), B (0, 4, 0) અને C (6, 0, 0) શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણની મધ્યગાઓની લંબાઈ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, ΔABCની મધ્યગાઓ AD, BE અને CF છે. જ્યાં, A (0, 0, 6), B(0, 4, 0) અને C(6, 0, 0) છે.
∴ D, E અને F એ અનુક્રમે BC, AC અને ABનાં મધ્યબિંદુઓ થશે.

આમ, ΔABCની મધ્યગાઓની લંબાઈ 7, \(\sqrt{34}\) અને 7 એકમ થશે.

પ્રશ્ન 3.
ΔPQRનાં શિરોબિંદુઓ P (24, 2, 6), 9 (– 4, 3b, − 10) અને R (8, 14, 2c) હોય તથા મધ્યકેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય a, b અને નાં મૂલ્યો શોધો.
ઉત્તરઃ
ΔPQRનાં શિરોબિંદુઓ P (2a, 2, 6), Q (– 4, 3b, − 10), R(8, 14, 2c) છે.
∴ તેનું મધ્યકેન્દ્ર
\(\left(\frac{2 a-4+8}{3}, \frac{2+3 b+14}{3}, \frac{6-10+2 c}{3}\right)\) = \(\left(\frac{2 a+4}{3}, \frac{3 b+16}{3}, \frac{2 c-4}{3}\right)\)
પરંતુ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ ઊગમબિંદુ (0, 0, 0) છે.
∴ \(\frac{2 a+4}{3}\) = 0, \(\frac{3 b+16}{3}\) = 0, \(\frac{2 c-4}{3}\) = 0
∴ 2a + 4 = 0, 3b + 16 = 0 અને 2c – 4 = 0
∴ a = – 2, b = \(\frac{-16}{3}\) અને c = 2

પ્રશ્ન 4.
બિંદુ P (3, – 2, 5)થી 5/2 અંતરે આવેલા -અક્ષ પરના બિંદુના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, Y-અક્ષ પરનું માગેલું બિંદુ A (0, ૩, ૦) છે તથા P (3, – 2, 5) છે.
અહીં, AP = 5√2 આપેલ છે.
∴ AP² = 50
∴ (0 − 3)² + (y + 2)² + (0 − 5)² = 50
∴ 9 + (y + 2)² + 25 = 50
∴ (y + 2)² = 16
∴ y + 2 = ± 4
∴ y + 2 = 4 અથવા y + 2 = -4
∴ y = 2 અથવા y = 6
આમ, Y-અક્ષ પરના માગેલા બિંદુના યામ (0, 2, 0) અથવા (0, – 6, 0) છે.

પ્રશ્ન 5.
P (2, −3, 4) ǹ g (8, 0, 10)ને જોડતતા રેખાખંડ પર આવેલાં બિંદુ Rનો યામ 4 હોય, તો બિંદુ Rના યામ શોધો.
[સૂચન : ધારો કે, R એ P9નું ગુણોત્તર : 1માં વિભાજન કરે છે. તેથી બિંદુ Rના યામ \(\left(\frac{8 k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10 k+4}{k+1}\right)\)]
ઉત્તરઃ
ધારો કે, R (x, પુ, z) છે.
હવે, R તે PQનું k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
જ્યાં, P (2, − 3, 4) તથા Q(8, 0, 10)

આમ, બિંદુ Rના યામ (4, −2, 6) છે.

પ્રશ્ન 6.
જો A (3, 4, 5) અને B (– 1, 3, −7) આપેલ બિંદુઓ હોય, તો એવાં બિંદુઓ Pના બિંદુગણનું સમીકરણ મેળવો કે, જેથી PA² + PB² = 2 થાય; જ્યાં, k અચળ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ ના યામ (x, y, z) છે.
∴ PA² = (x – 3)² + (y −4)² + (z −5)²
અને PB² = (x + 1)² + (y − 3)² + (z + 7)²
હવે, PA² + PB² = 2 આપેલ છે.
∴ (x − 3)² + (y − 4)² + (z − 5)² + (x + 1)² + (y − 3)² + (z + 7)² = k²
∴ x² -6x + 9 + y² – 8y + 16 + z² – 10z + 25 + x² + 2x + 1 + y² – 6y + 9 + z² + 14z +49 = k²
∴ 2x² + 2y² + 2z² – 4x – 14y + 4z = k² – 109
∴ x² + y² + z² − 2x – 7y + 2z = \(\frac{k^2-109}{2}\)
જે માગેલા બિંદુગણનું સમીકરણ છે.