GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
સંબંધ f એ

થી વ્યાખ્યાયિત છે અને સંબંધ g એ

થી વ્યાખ્યાયિત છે, તો સાબિત કરો કે ૐ એ વિધેય છે અને g એ વિધેય નથી.
ઉત્તરઃ
અહીં,

અહીં, fનો પ્રદેશ = {x : x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 10} = [0, 10] જ્યા૨ 0 ≤ x ≤ 3 ત્યા૨ે ની દરેક કિંમત માટે f (x) = x²નું અનન્ય મૂલ્ય મળે અને x = 3 ત્યારે f (3) = (3)² = 9
જ્યારે 3 < x ≤ 10 ત્યા૨ે ની દરેક કિંમત માટે f (x) = 3xનું અનન્ય મૂલ્ય મળે અને x = 3 ત્યારે f (3) = 3 × 3 = 9
∴ 0 ≤ x ≤ 10 માટે ની દરેક કિંમત માટે f(x)નું અનન્ય મૂલ્ય મળે છે.
∴ f એ વિધેય છે.
અહીં,

∴ gનો પ્રદેશ = {x : x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 10} = [0, 10] હવે, g (x) = x, 0 ≤ x ≤ 2
∴ g (2) = (2)² = 4

અને g (x) = 3x, 2 ≤ x ≤ 10
∴ g (2) = 3 × 2 = 6
અહીં, તુના પ્રદેશના ઘટક 2ને બે પ્રતિબિંબ 4 અને 6 મળે છે.
તેથી સંબંધ g એ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 2.
જો f (x) = x², તો \(\frac{f(1.1)-f(1)}{(1.1-1)}\) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f(x) = x²
∴ f (1.1) = (1.1)² = 1.21
અને f(1) = (1)² = 1
\(\frac{f(1.1)-f(1)}{(1.1-1)}=\frac{1.21-1}{1.1-1}\)
= \(\frac{0.21}{0.1}\)
= 2.1

પ્રશ્ન ૩.
વિધેય f (x) = \(\frac{x^2+2 x+1}{x^2-8 x+12}\) નો પ્રદેશ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f (x) = \(\frac{x^2+2 x+1}{x^2-8 x+12}\)
∴ f (x) = \(\frac{(x+1)^2}{(x-6)(x-2)}\)
અહીં, સ્પષ્ટ છે કે x = 6 અથવા x = 2 લેતાં છેદ શૂન્ય થાય અને f (x) વ્યાખ્યાયિત ન થાય. વળી 6 અથવા 2 સિવાયની કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે f(x) વ્યાખ્યાયિત થશે.
∴ f નો પ્રદેશR – {2, 6}

પ્રશ્ન 4.
f (c) = \(\sqrt{(x-1)}\) થી વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય ૐનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f (x) = \(\sqrt{(x-1)}\) અને f વાસ્તવિક વિધેય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે ઋણ સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી. : અહીં, x − 1 > 0 એટલે કે x = 1 થાય તો જ f વ્યાખ્યાયિત બને.
∴ f નો પ્રદેશ [1, ∞) થશે.
હવે, x ≥ 1 લેતાં x – 1 ≥ 0
∴ \(\sqrt{(x-1)}\) ≥ 0
∴ f (x) ≥ 0
f નો વિસ્તાર [0, ∞) એટલે કે, R⁺ ∪ {0} મળે.

પ્રશ્ન 5.
f (x) = |x – 1|થી વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય નો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f(x) = |x− 1| અને f વાસ્તવિક વિધેય છે.
હવે, |x – 1 | એ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે વ્યાખ્યાયિત છે જ.
∴ fનો પ્રદેશ R છે.
વળી, પ્રત્યેક x = R માટે |x−1| ≥ 0 થાય.
∴ f નો વિસ્તાર [0, ∞) એટલે કે, R⁺ ∪ {0} છે.

પ્રશ્ન 6.
જો f = {(x, \(\frac{x^2}{1+x^2}\)) : x ∈ R} એ Rથી Rનું વિધેય હોય, તો તે વિધેય fનો વિસ્તાર શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
f, g: R → R, f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3થી વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે, તો ૐ f+g, f−g અને \(\frac{f}{g}\) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f: R → R f(x) = x + 1
g: R → R g(x) = 2x – 3
(1) (f + g) (x) = f (x) + g (x)
= (x + 1) + (2x − 3)
= 3x – 2

(2) (f – g) (x) = f (x) − g(x)
= (x + 1) − (2x-3)
= x + 1 – 2x + 3 = 4 – x

(3) \(\frac{f}{g}\)(x) = \(\frac{f(x)}{g(x)}\)
= \(\frac{x+1}{2 x-3}\), x ≠ \(\frac{3}{2}\)

પ્રશ્ન 8.
જો f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (−1, −3)} એ Zથી Z, f(x) = ax + bથી વ્યાખ્યાયિત વિધેય હોય, તો a અને b શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f = {(1, 1), (2, 3), (0, −1), (−1, −3)}
અને f(x) = ax + b
∴ f(1) = 1, f(2) = 3, f(0) = − 1, f(− 1) = −3
હવે, f(1) = 1 પરથી, a (1) + b = 1
∴ a + b = 1
f(0) = −1 પરથી, a (0) + b = − 1
∴ b = -1
પરિણામ (1)માં b =− 1 મૂકતાં,
a – 1 = 1 ∴ a = 2
આમાં a = 2 અને b = -1

પ્રશ્ન 9.
R એ Nથી Nનો સંબંધ છે. R = {{a, b) : a, b ∈ N અને a = b²} થાય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત છે, તો શું નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે?
(1) પ્રત્યેક a ∈ N માટે (a, a) ∈ R
(2) જો (a, b) ∈ R, dì (b, a) ∈ R
(3) જો (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R, તો (a, c) ∈ R પ્રત્યેક વિધાનમાં તમારા જવાબની સત્યાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
અહીં, R = {(a, b) : a, b = N ∈ a = b²} આપેલ છે.
પ્રત્યેક a ∈ N અને (a, a) ∈ R.
આ વિધાન સત્ય નથી. દા. ત., અહીં, (2, 2) ∉ R કારણ કે, 2 ≠ 2².

(2) જો (a, b) ∈ R, તો (b, a) ∈ R.
આ વિધાન સત્ય નથી. દા. ત., (4, 2) ∈ R કારણ કે, 4 = 2² પરંતુ (2, 4) ≠ R કારણ કે, 2 ≠ 4².

(3) જો (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R, તો (a, c) ∈ R. આ વિધાન સત્ય નથી.
દા. ત., (16, 4) ∈ R, (4, 2) ∈ R પરંતુ (16, 2) ∉ R કારણ કે, 16 = 4² અને 4 = 2² પરંતુ 16 ≠ 2².

પ્રશ્ન 10.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} અને f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1) (4, 5), (2, 11)}, તો શું નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે?
(1) f એ Aથી Bનો સંબંધ છે.
(2) f એ Aથી B પરનું વિધેય છે. પ્રત્યેક વિકલ્પમાં તમારા જવાબની સત્યાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2, 3, 4},
B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} અને
f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}
(1) A X B = {1, 1), (1, 5), (1, 9), (1, 11),
(1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3, 16), (4, 1), (4, 5), (4, 9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}
અહીં, fની પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ A × Bમાં પણ છે.
∴ f ⊂ A × B
∴ f એ Aથી Bનો સંબંધ છે.

(2) f એ Aથી B પરનું વિધેય છે. આ વિધાન અસત્ય છે.
અહીં, (2, 9) ∈ f
અને (2, 11) ∈ f છે.
આમ, f (2) = 9 અને f (2) = 11
∴ પ્રદેશના ઘટક 2ને બે પ્રતિબિંબ 9 અને 11 મળે છે.
∴ સંબંધ f એ વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 11.
f એ z × z નો ઉપગણ છે.
જો f = {{ab, a + b) : a, b = Z}થી વ્યાખ્યાયિત છે, તો શું ૐ એ 7થી 7નું વિધેય છે? તમારા જવાબની સત્યાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f = {(ab, a + b) : a, b ∈ Z}, તો f એ zથી z પરનું વિધેય નથી.
દા. ત., a= 1, b = 4 લેતાં,
(1 × 4, 1 + 4) ∈ f એટલે કે, (4, 5) ∈ f
a = 2, b = 2 લેતાં,
(2 × 2, 2 + 2) ∈ f એટલે કે, (4, 4) ∈ f.
આમ, fના પ્રદેશના કોઈક ઘટક 4ને બે પ્રતિબિંબ 5 અને 4 મળે છે.
∴ f એ Zથી 7નું વિધેય નથી.

પ્રશ્ન 12.
A = {9, 10, 11, 12, 13} અને f : A→ N, f (n) = nનો મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ છે. નો વિસ્તાર મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {9, 10, 11, 12, 13} અને
f : A → N f (n) = nનો મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ છે.
∴ f (9) = 3, કારણ કે 9 = 3 × 3
∴ 9નો મહત્તમ અવિભાજ્ય અવયવ 3 છે. તે પ્રમાણે વિચારતાં,
f(10) = 5 (∵ 10 = 5 × 2)
f(11) = 11 (∵ 11 = 11 × 1)
f (12) = 3 (∵ 12 = 3 × 2 × 2)
f (13) = 13 (∵ 13 = 13 × 1)
∴ f નો વિસ્તાર = {∵ 3, 5, 11, 13}