GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

નીરો આપેલા નિશ્ચાયકના પ્રત્યેક ઘટકના ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવ લખો :

પ્રશ્ન 1.
(i) \(\left|\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
0 & 3
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
0 & 3
\end{array}\right|\)

ઉપનિશ્ચાયક :
2 નો ઉ.નિ. = M₁₁ = 3
-4 નો ઉ.નિ. = M₁₂ = 0
0 નો ઉ.નિ. = M₁₂ = -4
3 નો ઉ.નિ. = M₁₂ = 2

સહઅવયવ :
A₁₁ = (-1)¹⁺¹ (3) = 3
A₁₂ = (-1)¹⁺² (0) = 0
A₁₂ = (-1)²⁺¹ (-4) = 4
A₁₂ = (-1)²⁺² (2) = 2

(ii) \(\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|\)
ઉપનિયાયક :
a નો ઉ.નિ. = M₁₁ = d
c નો ઉ.નિ. = M₁₂ = b
b નો ઉ.નિ. = M₂₁ = c
d નો ઉ.નિ. = M₂₂ = a

સહઅવયવ :
A₁₁ = (-1)¹⁺¹ d = d
A₁₂ = (-1)¹⁺² b = -b
A₂₁ = (-1)²⁺¹ c = -c
A₂₂ = (-1)²⁺² a = a

પ્રશ્ન 2.
(i) \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|\)

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 4 \\
3 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 4 \\
3 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)

પ્રશ્ન 3.
બીજી હારના ઘટકોના સહઅવયવના ઉપયોગથી
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\)
બીજી હારનાં પટકો a₂₁, a₂₂ તથા a₂₃ છે.
a₂₁ નો સહઅવયવ A₂₁ = (-1)²⁺¹ \(\left|\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
2 & 3
\end{array}\right|\) = -(9 – 16) = 7
a₂₂ નો સહઅવયવ A₂₂ = (-1)²⁺² \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 8 \\
1 & 3
\end{array}\right|\) = 15 – 8 = 7
a₂₃ નો સહઅવયવ A₂₃ = (-1)²⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right|\) = -(10 – 3) = -7
Δ = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃
= 2(7) + 0(7) + 1(-7)
= 14 + 0 – 7 = 7

પ્રશ્ન 4.
ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોના અવયવના ઉપયોગથી
Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y z \\
1 & y & z x \\
1 & z & x y
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & y z \\
1 & y & z x \\
1 & z & x y
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\)
ત્રીજા સ્તંભનાં ઘટકો a₁₃, a₂₃ તથા a₃₃ છે.
a₁₃ નો સહઅવયવ A₁₃ = (-1)¹⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}
1 & y \\
1 & z
\end{array}\right|\) = z – y
a₂₃ નો સહઅવયવ A₂₃ = (-1)²⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}
1 & x \\
1 & z
\end{array}\right|\) = -(z – x) = (x – z)
a₃₃ નો સહઅવયવ A₃₃ = (-1)³⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}
1 & x \\
1 & y
\end{array}\right|\) = y – x
∴ Δ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz(z – y) + zx(x – z) + xy(y – x)
= z²y – y²z + x²z – z²x + y²x – x²y
= xyz – y²z – x²y + xy² – z²x + yz² + zx² – xyz
(xyz ઉમેરતાં અને બાદ કરતાં)
= yz(x – y) – xy(x – y) – z²(x – y) + zx(x – y)
= (x – y) (yz – xy – z² + zx)
= (x – y) [y(z – x) – z(z – x)]
= (x – y) (y – z) (z – x)

પ્રશ્ન 5 માં વિધાન સારું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી સોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 5.
જો Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\) અને aij નો સહઅવયવ Aij હોય, તો Δ નું મૂલ્ય ……………….
(A) a₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(B) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(C) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₁₂ + a₂₃ A₁₃
(D) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
ઉત્તરઃ
D = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
(નોંધ : ઘટકોનો Suffix અને સહઅવયવનો Suffix સમાન હોવા જોઈએ, જેમ કે, a₂₁ A₂₁)