GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
f : R → R, f(x) = 10x + 7 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. એવું વિધેય g : R → R શોધો કે જેથી gof = fog = I_R.
ઉત્તરઃ
f : R→ R, f(x) = 10x + 7
વિષય g : R → R, gof = fog = I_R
fog = I_R ⇒ f(g(x)) = I_R(x)
⇒ 10g(x) + 7 = x
⇒ g(x) = \(\frac{x-7}{10}\)

પ્રશ્ન 2.
ધારો કે W એ પૂર્ણસંખ્યાઓનો ગણ છે. f : W → W, n અયુગ્મ માટે f(n) = n – 1 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે અને n યુગ્મ માટે f(n) = n + 1 વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે f એ વ્યસ્ત સંપન્ન છે. f નો વ્યસ્ત શોધો.
ઉત્તરઃ

n, m ∈ W, n, m અયુગ્મ હોય.
f(n) = f(m) ⇒ n – 1 = m – 1
⇒ n = m
જે n અને m યુગ્મ હોય તો,
f(n) = f(m) ⇒ n + 1 = m + 1
⇒ n = m
n યુગ્મ હોય અને m અયુગ્મ હોય.
⇒ n ≠ m
→ f(n) ≠ f(m)
∴ વિધેય f એ એક-એક વિષય છે.
ધારો કે, n ∈ W (સહપ્રદેશ)
જો n અયુગ્મ હોય તો f નાં પ્રદેશમાં યુગ્મ સંખ્યા n – 1 મળે કે જેથી f(n – 1) = n – 1 + 1 = n થાય.
જો n યુગ્મ હોય તો f નાં પ્રદેશમાં n + 1 અયુગ્મ સંખ્યા મળે કે જેથી f(n + 1) = n + 1 – 1 = n થાય.
આમ, ∀ n ∈ W માટે તેનું પૂર્વ પ્રતિબિંબ Wમાં મળે છે.
∴ f વ્યાપ્ત વિષય છે.
f એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય હોવાથી f નાં વ્યસ્ત ઘટકનું અસ્તિત્વ છે.
ધારો કે y = n – 1
∴ n = y + 1
y = n + 1
∴ n = y – 1

પ્રશ્ન 3.
f : R → R, f(x) = x² – 3x + 2 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો શું f(f(x)) શોધો.
ઉત્તરઃ
f : R → R f(x) = x² – 3x + 2
f(f(x)) = f(x² – 3x + 2)
= (x² – 3x + 2)² – 3(x² – 3x + 2) + 2
= x⁴ + 9x² + 4 – 6x³ – 12x + 4x² – 3x² + 9x – 6 + 2
= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x

પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરો કે વિધેય f : R → {x ∈ R: -1 < x < 1}, f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\) એક એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
વિધેય f : R → {x ∈ R : -1 < x < 1},
f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\), x ∈ R
x, y ∈ R
(1) x > 0, y > 0, f(x) = f(y)
⇒ \(\frac{x}{1+x}=\frac{y}{1+y}\)
⇒ x + xy = y + xy
⇒ x = y

(2) x < 0, y < 0, f(x) = f(y)
⇒ \(\frac{-x}{1-x}=\frac{-y}{1-y}\)
⇒ -x + xy = -y + xy
⇒ x = y

(3) x > 0, y < 0, x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)
આમ, f એ એક-એક વિધેય છે.
0 < y < 1 હોય તો f(x) = y
∴ \(\frac{x}{1+x}=y\)
∴ x = y + xy
∴ x = \(\frac{y}{1-y}\) જ્યાં y ≠ 1
-1 < y < 0 હોય તો f(x) = -y
∴ \(\frac{-x}{1+x}=-y\)
∴ x = \(\frac{y}{1-y}\) જ્યાં y ≠ 1
∴ f(x) = \(f\left(\frac{y}{1-y}\right)\)
= \(\frac{\frac{y}{1-y}}{1+\frac{y}{1-y}}\)
= y
∴ વિધેય f એ વ્યાપ્ય વિધેય છે.

પ્રશ્ન 5.
સાબિત કરો કે વિધેય f : R → R, f(x) = x³ એક-એક છે.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = x³
x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁³ = x₂³
⇒ x₁ = x₂
∴ વિષેય f એ એક-એક વિષય છે.

પ્રશ્ન 6.
બે વિધેયો f : N → Z અને g : Z → Z નાં ઉદાહરશ આપો કે જેથી gof એક-એક હોય પરંતુ g એક-એક ન હોય.
(સૂચન : f(x) = x અને g(x) = |x| નો વિચાર કરો.)
ઉત્તરઃ
ધારો કે f : N → Z, f(x) = x
તથા g : Z → Z, g(x) = |x|
વિધેય g : Z → Z માટે 5 ∈ Z તથા -5 ∈ Z
પરંતુ g(5) = g(-5) = 5 પરંતુ 5 ≠ -5
∴ g એ એક-એક વિષય નથી.
gof(x) = g(f(x)) = g(x) = |x|
gof : N → Z, gof(x) = |x|
ગણ N માં ફક્ત ધન પૂર્ણાંક પટકો જ આવેલાં છે.
તથા તેનું gof નીચે પ્રતિબિંબ ધન પૂર્ણાંક જ મળશે.
x₁, x₂ ∈ N, gof(x₁) = gof(x₂)
⇒ |x₁| = |x₂|
⇒ x₁ = x₂
∴ gof એ એક-એક વિશેષ છે.

પ્રશ્ન 7.
બે વિધેયો f : N → N અને g : N → N નાં ઉદાહરણ આપો કે જેથી gof વ્યાપ્ત હોય પરંતુ f વ્યાપ્ત ન હોય.
(સૂચન : f(x) = x + 1 અને g(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
x-1 & x>1 \\
1 & x=1
\end{array}\right.\) વિચાર કરો.)
ઉત્તરઃ
f : N → N, f(x) = x + 1

વિધેય : N → N, f(x) = x + 1
ધારો કે y ∈ N (સાપ્રદેશ)
x ∈ N (પ્રદેશ) એવો મળે કે જેથી f(x) = y થાય.
x + y = 1 ⇒ x = y – 1
હવે y = 1 લેતાં, x = 1 – 1 = 0 ∉ N
∴ y = 1 એ કોઈપણ x નું પ્રતિબિંબ નથી.
∴ વિધેય f એ વ્યાપ્ત નથી.
gof : N → N
gof(x) = g(x + 1)
= x + 1 – 1, x > 1
= x
= 1, x = 1
∴ gof(x) = \(\begin{cases}x & x>1 \\ 1 & x=1\end{cases}\)
સ્પષ્ટ છે કે gof વ્યાપ્ત વિષય છે.

પ્રશ્ન 8.
X એ આપેલ અતિ ગણ છે. X ના તમામ ઉપગણોના ગળ P(X) નો વિચાર કરો. P(X) માં સંબંધ R આ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે :
P(X) ના ઉપગણો A અને B માટે, A ⊂ B તો અને તો જ ARB. R, P(X) પર સામ્ય સંબંધ છે ? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉત્તરઃ
X ≠ Φ, P(X) એ X નાં ઉપગણોનો ગણ છે.
A, B ∈ P(X), ARB ⇒ A ⊂ B
A ⊂ A ⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
A, B ∈ P(X), ARB ⇒ A ⊂ B
BRA ⇒ B ⊂ A
⇒ ARB ≠ BRA
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
A, B, C ∈ P(X)
ARB તથા BRC
⇒ A ⊂ B તથા B ⊂ C
⇒ A ⊂ C
⇒ ARC
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
સ્પષ્ટ છે કે મેં એ સામ્ય સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 9.
આપેલ અરિક્ત ગણ X નો ઘાતગણ P(X) છે. દ્વિકૃક્રિયા * : P(X) × P(X) → P(X) એ A * B = A ∩ B, ∀ A, B ∈ P(X) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે X એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને ક્રિક્રિયા * ને સાપેક્ષ P(X) માં કેવળ X જ વ્યસ્તસંપન્ન છે.
ઉત્તરઃ
X ≠ Φ, P(X) એ X નાં ઉપગણોનો ગણ છે.
* : P(X) × P(X) → P(X), A * B = A ∩ B
∀A, B ∈ P(X)
X ≠ Φ, ધારો કે A, B ∈ X ⇒ A, B ∈ P(X)
⇒ A ∩ B ∈ P(X)
હવે A ∩ X = A = X ∩ A, A, X ∈ P(X)
∴ A * X = A = X * A
∴ X એ * માટેનો તટસ્થ ઘટક છે.
X * X = X ∩ X = X, X = P(X)
∴ * ઢિક્રિયા માટે ફક્ત ઘટક X નો જ વ્યસ્ત મળે છે.

પ્રશ્ન 10.
ગણ {1, 2, 3,……, n} થી {1, 2, 3, ……., n} સુધીના તમામ વ્યાપ્ત વિષયોની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ગણ A = {1, 2, 3……., n}
ગણ A માં ઘટકોની સંખ્યા n છે.
∴ A થી પરનાં શ્રાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા n! થાય.

પ્રશ્ન 11.
S = {a, b, c} અને T = {1, 2, 3} લો. જો અસ્તિત્વ હોય, તો નીચે આપેલાં વિધેયો F : S → T માટે F^-1 શોધો.
(i) F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
(ii) F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
ઉત્તરઃ
S = {a, b, c}, T = {1, 2, 3}
(i) F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
F^-1 = {(3, a), (2, b), (1, c)}
(∵ F એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષેધ છે.)

(ii) F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
અહીં, F(b) = 1 તથા F(c) = 1
∴ F એ એક-એક વિષય નથી.
∴ F^-1 નું અસ્તિત્વ નથી.

પ્રશ્ન 12.
a * b = |a – b| અને a o b = a, ∀ a, b ∈ R દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિકૃક્રિયાઓ * : R × R → R અને o : R × R → R નો વિચાર કરો. સાબિત કરો કે કે સમક્રમી છે પરંતુ જૂથના નિયમને અનુસરતી નથી. o જૂથના નિયમને અનુસરે છે પરંતુ સમક્રમી નથી. વધુમાં, બતાવો કે ∀ a, b, c ∈ R, a * (b o c) = (a * b) o (a * c). [જો આ સત્ય હોય, તો આપણે વિક્રિયા * ને ક્રિક્રિયા o પર વિભાજનીય કહીશું.] શું ઢિક્રિયા o એ ઢિક્રિયા * પર વિભાજનીય થશે ? તમારા જવાબની સત્યાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
* : R × R → R a * b = |a – b|
o : R × R → R, a o b = a, ∀ a, b ∈ R
a, b ∈ R = |a – b|
= |b – a|
= b * a
a * b = b * a
∴ * એ સમક્રમી ક્રિયા છે.
ધારો કે 5, 8, 10 ∈ R

(5 * 8) * 10 = |5 – 8| * 10
= 3 * 10
= |3 – 10|
= 7
5 * (8 * 10) = 5 * |8 – 10|
= 5 * 2
= |5 – 2|
= 3
∴ (5 * 5) * 10 ≠ 5 * (8 * 10)
અર્થાત્ (a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ * આ એ જૂથનાં નિયમનું પાલન કરતું નથી.
હવે o ક્રિયા માટે a, b ∈ R
a o b = a તથા b o a = b
∴ a o b ≠ b o a
∴ o એ સમક્રમી નથી.
a, b, c ∈ R (a o b) o c = a o c = a
a o (b o c) = a o b = a
∴ (a o b) o c = a o (boc)
∴ એ જૂનાં નિયમનું પાલન કરે છે.
∀ a, b, c ∈ R માટે,
a * (b o c) = a * b = |a – b|
તથા (a * b) o (a * c) = |a – b| 0 |a – c| = |a – b|
∴ a * (b o c) = (a * b) o (a * c)
∴ ક્રિયા * એ ક્રિયા o પર વિભાજનનાં નિયમનું પાલન કરે છે.
હવે a o (b * c) = a o |b – c| = a
(a o b) * (a o c) = a * a = |a – a| = 0
∴ a o (b * c) ≠ (a o b) * (a o c)
∴ ક્રિયા o એ ક્રિયા * પર વિભાજનનાં નિયમનું પાલન કરતી નથી.

પ્રશ્ન 13.
X એ આપેલ અરિક્ત ગણ છે, * : P(X) × P(X) → P(X), A * B = (A – B) ∪ (B – A), ∀ A, B ∈ P(X) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ક્રિકૃક્રિયા છે. સાબિત કરો કે રિક્ત ગણ Φ એ દિક્રિયા * માટે તટસ્થ ઘટક છે અને P(X) ના તમામ ઘટક A વ્યસ્ત સંપન્ન છે તથા A^-1 = A.
(સૂચના : (A – Ø) ∪ (Ø – A) = A અને (A – A) ∪ (A – A) = A * A = Ø.
ઉત્તરઃ
X ≠ Φ, P(X) એ X નાં ઉપગોનો ગન્ન છે.
* : P(X) × P(X) → P(X)
A * B = (A – B) ∪ (B – A), ∀ A, B ∈ P(X)
આપણે જાણીએ છીએ કે જે છે એ એકમ ઘટક હોય તો
a * e = e * a = a થાય.
∀A ∈ P(X) માટે,
Φ * A = (Φ – A) ∪ (A – Φ) = Φ ∪ A = A
તથા A * Φ = (A – Φ) ∪ (Φ – A) = A ∪ Φ = A
∴ Φ * A = A * Φ = A
∴ Φ એ * માટેનો એકમ ઘટક છે.
વળી A * A = (A – A) ∪ (A – A) = Φ ∪ Φ = Φ
∀A ∈ P(X) માટે, A નો વ્યસ્ત ઘટક A^-1 = A છે.

પ્રશ્ન 14.
ગન્ન {0, 1, 2, 3, 4, 5} પર ક્રિક્રિયા * નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત છે :
a * b = \(\begin{cases}a+b, & a+b<6 \\ a+b-6, & a+b \geq 6\end{cases}\)
સાબિત કરી કે આ ક્રિયા માટે શૂન્ય એ તટસ્ય ઘટક છે અને આ ગણનો પ્રત્યેક શૂન્યેતર ઘટક વ્યસ્ત સંપન્ન છે. અહીં, 6 – a એ ઘટક a નો વ્યસ્ત છે.
ઉત્તરઃ
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A ઉપર વ્યાખ્યાયિત ક્રિક્રિયા * નીચે પ્રમાણે છે.
* : A × A → A, a, b ∈ A

આપણે * માટેનું ટેબલ Table બનાવીએ.

આપેલ Table પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
∀ a ∈ A માટે a * 0 = 0 * a = a
જેમ કે 5 * 0 = 0 * 5 = 5, 3 * 0 = 0 * 3 = 3
∴ 0 એ * ક્રિક્રિયા માટેનો એકમ પટક છે.
જો a * b = b * a = 0 થાય તો b ને a નો વ્યસ્ત ઘટક કહેવાય છે.
Table પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
1 * 5 = 5 * 1 = 0
2 * 4 = 4 * 2 = 0
3 * 3 = 3 * 3 = 0
∴ a ≠ 0 માટે a નાં વ્યાનું અસ્તિત્વ છે. 1 નો વ્યસ્ત 5 છે તથા 5 નો વ્યસ્ત 1 છે. 2 નો વ્યસ્ત 4 છે તથા 4 નો વ્યસ્ત 2 છે.
અર્થાત્ a નો વ્યસ્ત = a^-1 = 6 – a છે.

પ્રશ્ન 15.
A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-4, -2, 0, 2} અને વિધેયો f, g : A → B, f(x) = x² – x, x ∈ A અને g(x) = \(2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1\), x ∈ A દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. f અને g સમાન વિધેયો છે ? તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
(સૂચન : યાદ કરી કે વિધેયો f : A → B અને g : A → B માટે f(a) = g(a), ∀ a ∈ A હોય, તો f અને g સમાન વિધેયો કહેવાય છે.)
ઉત્તરઃ
A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-4, -2, 0, 2}
f, g : A → B, f(x) = x² – x, ∀ a ∈ A
g(x) = \(2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1\), x ∈ A
અહીં વિધેય f અને g નો પ્રદેશ સમાન છે. તેમનો પ્રદેશ
A = {-1, 0, 1, 2} છે.
x = -1 માટે, f(-1) = (-1)² + 1 = 2
g(-1) = \(2\left|-1-\frac{1}{2}\right|-1\) = 2
x = 0 માટે, f(0) = 0
g(0) = \(2\left|0-\frac{1}{2}\right|-1\) = 0
x = 1 માટે, f(1) = (1)² – 1 = 0
g(1) = \(2\left|1-\frac{1}{2}\right|-1\) = 0
x = 2 માટે, f(2) = (2)² – 2 = 2
g(2) = \(2\left|2-\frac{1}{2}\right|-1\) = 2
આમ, ∀ a ∈ A માટે, f(x) = g(x) મળે છે.
∴ વિધેયો f અને g સમાન વિષેષ્ઠ છે,

પ્રશ્ન 16 થી 19 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 16.
ગણ A = {1, 2, 3} લો. ઘટક (1, 2) અને (1, 3) સમાવતા હોય અને સ્વવાચક અને સંમિત હોય, પરંતુ પરંપરિત ન હોય તેવા સંબંધોની સંખ્યા …………. છે.
(A) a
(B) 2
(C) 3
(D) 4
ઉત્તરઃ
A = {1, 2, 3}
સંબંધ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)} સંબંધ R સ્વવાચક છે.
કારણ કે, (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R

પરંતુ (2, 1) ∈ R, (1, 3) ∈ A ⇒ (2, 3) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત નથી.
∴ મોંગલ સંબંધોની સંખ્યા 1 છે.
વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 17.
ગણ A = {1, 2, 3} લો. (1, 2) ને સમાવતા સામ્ય સંબંધોની સંબંધ …………… છે.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
ઉત્તરઃ
A = {1, 2, 3}
સંબંધ R₁ = {(1, 1), (2, 2}, (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}
(1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R₁ ⇒ R₁ સ્વવાચક છે.

(1, 2) (2, 1) ∈ R₁ ⇒ (1, 1) ∈ R₁
હવે (1, 2) (2, 3) ∈ R₁ ⇒ (1, 3) ∈ R₁
(2, 3) (3, 2) ∈ R₁ ⇒ (2, 2) ∈ R₁
∴ R એ પરંપરિત છે.
આમ, R₁ એ સ્થવાક, સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
હવે, R₂ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
સ્પષ્ટ છે કે R₂ પણ સ્વપાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ છે.
∴ R₂ પણ સામ્ય સંબંધ છે.
આમ, (1, 2) ને સમાવતાં ગન્ન A પરનાં સામ્ય સંબંધોની સંખ્યા બે છે. વિકલ્પ (B) આવે.

પ્રશ્ન 18.
f : R → R, ચિત્ર વિધેય (Slgun Function) લો.
f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
1, & x>0 \\
0, & x=0 \\
-1, & x<0
\end{array}\right.\)
અને g : R → R, મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય g(x) = [x], જ્યાં [x] = x અથવા x થી નાના પૂર્ણાંકો પૈકી મહત્તમ પૂર્ણાંક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે, તો fog અને gof એ (0, 1] માં એકના એક જ (સમાન) છે ?
(A) હા
(B) ના
(C) સંદિગ્ધ
(D) સંયોજિત વિધેયનું અસ્તિત્વ નથી.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = \(\left\{\begin{array}{cc}
1, & x>0 \\
0, & x=0 \\
-1, & x<0
\end{array}\right.\)
g : R → R, g(x) = [1]
જયાં [x] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિષય દર્શાવે છે.
gof : R → R, x ∈ (0, 1]
x = \(\frac{1}{2}\) લેતાં,
gof(\(\frac{1}{2}\)) = \(g\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)\)
= g(1)
= [1] = 1
fog(\(\frac{1}{2}\)) = \(f\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right)\)
= f (g(0.5))
= f(0)
= 0
∴ (0, 1] અંતરાલમાં gof ≠ fog
∴ વિકલ્પ (B) આવે.

પ્રશ્ન 19.
ગણ {a, b} પર ક્રિક્રિયાઓની સંખ્યા
(A) 10
(B) 16
(C) 20
(D) 8
ઉત્તરઃ
A = {a, b}
ફિક્રિયાએ A × A → A પરનું વિધેય છે.
n(A) = 2 ⇒ n(A × A) = n(A) n(A) = 4
∴ A × A નાં ઉપગોની સંખ્યા = 2⁴ = 16
∴ A પરની ફ઼િક્રિયાઓની સંખ્યા = 16
∴ વિકલ્પ (B) આવે.