GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ

પ્રશ્નોત્તર

પ્રશ્ન 1.
દૃઢ પદાર્થ એટલે શું? દઢ પદાર્થ અને વાસ્તવિક ઘન પદાર્થ વચ્ચેનો ભેદ લખો. કઈ પરિસ્થિતિમાં વાસ્તવિક ઘન પદાર્થને દૃઢ પદાર્થ ગણી શકાય છે?
ઉત્તર:
દઢ પદાર્થ એટલે આદર્શ રીતે સંપૂર્ણપણે ચોક્કસ અને અપરિવર્તિત આકાર ધરાવતો પદાર્થ કે જેના ઘટક કણોની બધી જ જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર બદલાતું નથી.

• વાસ્તવિક ઘન પદાર્થ (બાહ્ય) બળોના પ્રભાવ હેઠળ વિરૂપ થાય છે, જ્યારે દૃઢ પદાર્થ વિરૂપ થતો નથી.
• વાસ્તવિક ઘન પદાર્થમાં ઉદ્ભવતી વિરૂપતા જ્યારે અવગણ્ય હોય છે, ત્યારે તેને દઢ પદાર્થ ગણી શકાય છે. બીજી તરફ, એવી પરિસ્થિતિઓ કે જેમાં પૈડા, ભમરડા, સ્ટીલના સ્તંભો, અણુઓ અને ગ્રહો જેવા પદાર્થોની ગતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે તેમનું મરડાવું, વાંકું વળવું, કંપન કરવું વગેરે અવગણીને પણ તેમને દૃઢ પદાર્થ ગણવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2.
દૃઢ પદાર્થની જુદા જુદા પ્રકારની કઈ ગતિ શક્ય છે, તે જણાવો.
ઉત્તર:
દૃઢ પદાર્થની મુખ્યત્વે ત્રણ પ્રકારની ગતિ શક્ય છે :

1. શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ (સ્થાનાંતરિત) ગતિ (જે સુરેખીય અને વક્રીય હોઈ શકે છે.)
2. સ્થિર અને ચલિત ભ્રમણ-અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ
3. રોલિંગ (લોટણ) ગતિ

પ્રશ્ન 3.
દઢ પદાર્થની શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ (સ્થાનાંતરિત) ગતિ બે આકૃતિઓ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:
જ્યા૨ે દૃઢ પદાર્થના બધા જ કણો સુરેખ માર્ગ પર એકસરખું સુરેખ અંતર આપેલ સમયગાળામાં કાપે ત્યારે તે દઢ પદાર્થ શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ (સ્થાનાંતરિત) ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય. તેને સુરેખીય (Linear or rectilinear) ગતિ પણ કહે છે.

શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં જો પદાર્થના બધા કણો સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરતા હોય, તો સચોટ રીતે તેને સુરેખીય સ્થાનાંતરિત ગતિ કહે છે. પણ જો પદાર્થના બધા કણો વક્રમાર્ગ ૫૨ ગતિ કરતા હોય, તો સચોટ રીતે તેને વક્રીય સ્થાનાંતરિત ગતિ કહે છે.

સુરેખીય સ્થાનાંતરિત ગતિ :

• આકૃતિ 7.1માં ઢળતા સમતલ પર આજુબાજુ ખસ્યા વગર નીચે સરકતા દૃઢ પદાર્થ તરીકે એક લંબચોરસ બ્લૉક દર્શાવ્યો છે.
• આ ઢળતા સમતલ પર બ્લૉક અર્થાત્ દૃઢ પદાર્થ નીચેની તરફ એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેના બધા કણો એકસાથે આગળ વધી રહ્યા છે, એટલે કે કોઈ પણ સમયે તેના દરેક કણનો વેગ સમાન છે. આ પ્રકારની ગતિને દઢ પદાર્થની શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ (સ્થાનાંતરિત) ગતિ કહે છે.
• ટૂંકમાં, શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ (સ્થાનાંતરિત) ગતિમાં દૃઢ પદાર્થનો પ્રત્યેક કણ કોઈ પણ સમયે સમાન વેગ ધરાવે છે. સચોટ રીતે આ ઉપરોક્ત ગતિ સુરેખીય સ્થાનાંતરિત ગતિ કહેવાય છે.

વક્રીય સ્થાનાંતરિત ગતિ :

• આકૃતિ 7.2માં એક દઢ પદાર્થની વક્રમાર્ગ પરની ગતિ દર્શાવી છે.
• અહીં P એ પદાર્થનું કોઈ યાદચ્છિક બિંદુ છે અને O એ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) છે.
• દઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ‘O’નો ગતિપથ એ જ દૃઢ પદાર્થનો સ્થાનાંતરીય ગતિપથ છે.
• ત્રણ જુદા જુદા સમયે બિંદુઓ O અને Pની સ્થિતિઓ આકૃતિમાં અનુક્રમે O₁, O₂, O₃ અને P₁, P₂, P₃ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
• આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે, એક નિશ્ચિત દિશા OPનું સમક્ષિતિજ દિશા સાથેનું નમન (Orientation) જુદા જુદા સમયે એકસમાન છે, એટલે કે ખૂણાઓ α₁ = α₂ = α₃છે.
• અહીં પદાર્થના O અને P જેવા કણોનો વેગ દરેક સમયે સમાન છે, જે આકૃતિમાં જુદા જુદા સમયે પદાર્થની સ્થિતિ / ચિત્ર જોવાથી સ્પષ્ટ થાય છે. દૃઢ પદાર્થની આવી ગતિ પણ શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ (સ્થાનાંતરીય) ગતિ જ કહેવાય છે. સચોટ રીતે આ ગતિ વક્રીય સ્થાનાંતરિત ગતિ કહેવાય છે.
• ઉપરોક્ત બંને શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિમાં દૃઢ પદાર્થના દરેક કણનો વેગ કોઈ પણ ક્ષણે સમાન હોય છે. માત્ર દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર(CM)નો ગતિમાર્ગ સુરેખ ગતિમાં સુરેખ છે, જ્યારે વક્રગતિમાં વક્રરેખા છે.

પ્રશ્ન 4.
ચાકગતિ એટલે શું? સમજાવો. સ્થિર અને ચલિત અક્ષને અનુલક્ષીને થતી દઢ પદાર્થની ચાકગતિ વિશે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
જો દૃઢ પદાર્થના બધા જ કણો વર્તુળગતિ કરતા હોય અને આ વર્તુળોનાં કેન્દ્રો કોઈ એક નિશ્ચિત સુરેખા પર સ્થિર હોય તથા દરેક વર્તુળ આ નિશ્ચિત સુરેખાના લંબસમતલમાં હોય, તો દૃઢ પદાર્થની તેવી ગતિને ચાકગતિ કહે છે.
આ નિશ્ચિત સુરેખા જે એક ભૌમિતિક રેખા છે, તેને ભ્રમણ- અક્ષ (ધરી) કહે છે. ચાકગતિના કિસ્સામાં આ ભ્રમણ-અક્ષ સ્થિર હોય છે અથવા ગતિમાન પણ હોઈ શકે છે. જ્યારે ભ્રમણ-અક્ષ ગતિમાન હોય છે ત્યારે તે હંમેશાં એક સ્થિર બિંદુમાંથી પસાર થતો હોય છે.
સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિ :

• સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને દઢ પદાર્થના પરિભ્રમણમાં પદાર્થનો દરેક કણ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે, જે વર્તુળ-અક્ષના લંબસમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર અક્ષ પર છે.
• આકૃતિ 7.3માં એક સ્થિર અક્ષ(નિર્દેશ-ફ્રેમની Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને એક દઢ પદાર્થની ચાકતિ દર્શાવી છે.
• આ સ્થિર અક્ષથી r₁ અંતરે રહેલા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરાયેલા એક કણ P₁ને ધ્યાનમાં લો. આ કણ P₁ એ r₁ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ગતિ કરે છે કે જેનું કેન્દ્ર C₁Z-અક્ષ પર છે. આ વર્તુળ સ્થિર અક્ષના લંબસમતલમાં છે.
• આ દઢ પદાર્થનો બીજો કણ P₂ ધ્યાનમાં લો. આ કણ P₂ સ્થિર અક્ષથી r₂ અંતરે છે. આ કણ P₂ એ r₂ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ગતિ કરે છે કે જેનું કેન્દ્ર C₂ Z-અક્ષ પર છે. આ વર્તુળ પણ સ્થિર અક્ષના લંબસમતલમાં છે.
• P₁ અને P₂ દ્વારા બનાવેલ વર્તુળો અલગ અલગ સમતલમાં આવેલા હોઈ શકે છે, પણ બંને સમતલો સ્થિર અક્ષને તો લંબ જ હોય છે.
• અક્ષ પર ત્રીજો કણ P₃ એવો છે કે જેના માટે r₃ = 0 છે. દૃઢ પદાર્થ જ્યારે ચાકગતિ કરતો હોય છે ત્યારે P₃ જેવા દરેક કણ સ્થિર જ રહે છે. આ અપેક્ષિત છે, કારણ કે અક્ષ સ્થિર જ રહે છે.

સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિનાં ઉદાહરણો :
સીલિંગ ફૅન, કુંભારનો ચાકડો, મેળામાંનો વિશાળ ફાળકો (જાયન્ટ વ્હીલ), ચકડોળ (મૅરી-ગો-રાઉન્ડ) વગેરે.

ચલિત અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિ :

• આકૃતિ 7.5માં જમીન પર ફરતા ભમરડાની એક સ્થિતિ દર્શાવી છે. અહીં ભમરડાની ભ્રમણ-અક્ષ (ધરી) સ્થિર નથી તથા ભમરડો એક સ્થાનેથી બીજા સ્થાને સ્થાનાંતરિત પણ થતો નથી, અર્થાત્ સ્થાનાંતરણ ગતિ કરતો નથી.
• આ રીતે ફરતા ભમરડાની અક્ષ, જમીન સાથેના તેના સંપર્કબિંદુ ‘O’માંથી પસાર થતા અભિલંબને ફરતે ગતિ કરે છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક શંકુ બનાવે છે.
• અહીં, ભમરડાની અક્ષનું ઊર્ધ્વઅક્ષ(અભિલંબ)ને અનુલક્ષીને આ રીતે ફરવું તેને પૂર્ણન (Precession) કહે છે, જેમાં જમીન સાથેનું ભમરડાનું સંપર્કબિંદુ સ્થિર રહે છે.
• કોઈ પણ ક્ષણે ભમરડાની ભ્રમણ-અક્ષ સંપર્કબિંદુ ‘O’માંથી પસાર થાય છે.
• આ પ્રકારના પરિભ્રમણનું બીજું ઉદાહરણ એ દોલન કરતો ટેબલ-ફૅન અથવા પૅડેસ્ટલ-ફૅન છે.

• આ પ્રકારના પંખાની ભ્રમણાક્ષ સમક્ષિતિજ સમતલમાં દોલિત (એક બાજુથી બીજી બાજુ) ગતિ ધરાવે છે, જે ઊર્ધ્વઅક્ષને અનુલક્ષીને હોય છે.
• આ ઊર્ધ્વઅક્ષ કિકિત કરેલી હોય છે, જે આકૃતિ 7.6માં દર્શાવેલ ‘O’ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
• જ્યારે આવો પંખો ફરતો હોય છે ત્યારે તેની અક્ષ એક બાજુથી બીજી બાજુ ફરે છે ત્યારે પણ બિંદુ ‘O’ સ્થિર જ રહે છે.
• આમ, ભમરડા અથવા પૅડેસ્ટલ-ફૅનના પરિભ્રમણમાં દૃઢ પદાર્થનું એક જ બિંદુ સ્થિર રહે છે, પણ રેખા (અહીં અક્ષ) સ્થિર રહેતી નથી.
• ભમરડા અથવા પૅડેસ્ટલ-ફૅનની ચાકગતિમાં અક્ષ સ્થિર નથી, તેમ છતાં તેની અક્ષ હંમેશાં એક સ્થિર બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

પ્રશ્ન 5.
દઢ પદાર્થની રોલિંગ ગતિ એટલે શું? સમજાવો.
અથવા
ટૂંક નોંધ લખો : દઢ પદાર્થની રોલિંગ (લોટણ) ગતિ
ઉત્તર:
દૃઢ પદાર્થની રોલિંગ (લોટણ) ગતિ એટલે સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને તેની ચાકગતિ અને સ્થાનાંતરિત ગતિનું મિશ્રણ.

• આકૃતિ 7.7માં ઢળતા સમતલ પર ધાતુના અથવા લાકડાના એક નળાકારની નીચેની તરફ ગબડતી ગતિ દર્શાવી છે.
• અહીં, દૃઢ પદાર્થ એટલે કે નળાકાર ઢળતા સમતલની ટોચથી તળિયા સુધી સ્થાનાંતરિત થાય છે.
• આમ, દૃઢ પદાર્થ સ્થાનાંતરણ ગતિ કરે છે પણ તે શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરતો નથી, કારણ કે દૃઢ પદાર્થના બધા જ કણો કોઈ પણ ક્ષણે એકસરખા વેગ સાથે આગળ ગિત કરી રહ્યા નથી.
• તેનો અર્થ પદાર્થની ગતિમાં સ્થાનાંતરણની સાથે ‘બીજું કંઈક છે.’
• આ ‘બીજું કંઈક’ એટલે દૃઢ પદાર્થની તેની સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ.
• આમ, અહીં ઢળતા સમતલ પર નીચેની તરફ થતી દૃઢ પદાર્થની ગતિ એ સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ અને સ્થાનાંતરિત ગતિનું મિશ્રણ છે, જેને રોલિંગ (લોટણ) ગતિ કહે છે.

• આકૃતિ 7.8માં એક દઢ પદાર્થની વક્રમાર્ગ પરની ગતિ દર્શાવી છે.
• અહીં P એ પદાર્થનું કોઈ યાદચ્છિક બિંદુ છે અને O એ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) છે.
• દૃઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ‘O’નો ગતિપથ એ જ દૃઢ પદાર્થનો સ્થાનાંતરીય ગતિપથ છે.
• ત્રણ જુદા જુદા સમયે બિંદુઓ O અને Pની સ્થિતિઓ આકૃતિમાં અનુક્રમે O₁, O₂, O₃ અને P₁, P₂, P₃ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
• આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે, એક નિશ્ચિત દિશા OPનું સમક્ષિતિજ દિશા સાથેનું નમન (Orientation) જુદા જુદા સમયે જુદું જુદું છે; એટલે કે ખૂણાઓ α₁, α₂ અને α₃ બ્લુનાં મૂલ્યો ભિન્ન છે.
• અહીં પદાર્થના O અને P જેવા કણોનો વેગ દરેક સમયે અલગ અલગ હોય છે.
• ટૂંકમાં, આકૃતિ દઢ પદાર્થની સ્થાનાંતરિત ગતિ અને ચાકતિનું મિશ્રણ દર્શાવે છે. આ પ્રકારની મિશ્રિત ગતિ એ રોલિંગ ગતિ કહેવાય છે.

પ્રશ્ન 6.
કણોનું તંત્ર એટલે શું?
ઉત્તર:
એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરી શકે તેવા એક કરતાં વધારે કણોના સમૂહને કણોનું તંત્ર કહે છે.

પ્રશ્ન 7.
કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર એટલે શું?
ઉત્તર:
કણોનું તંત્ર સ્થિર હોય કે ગતિમાં હોય ત્યારે તેનું સમગ્ર દળ જે બિંદુ પાસે કેન્દ્રિત થયેલું ગણવામાં આવે છે, તેને કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) કહે છે.

પ્રશ્ન 8.
એક-પરિમાણમાં બે કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સૂત્ર લખો. આ પરથી n કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સૂત્ર જણાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 7.9માં દર્શાવ્યા અનુસાર, ધારો કે m₁ અને m₂ દળ ધરાવતા બે કણો X-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ Oથી અનુક્રમે x₁ અને x₂ અંતરે આવેલા છે.

• આ તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર બિંદુ C એ એવું બિંદુ છે કે જે Oથી X અંતરે છે. અહીં X ને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :
  X = \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\) ………………. (7.1)
• સમીકરણ (7.1)માં Xને x₁ અને x₂નું દળભારિત સરેરાશ કહી શકાય.

• જો બંને કણોના દળ સમાન હોય, તો m₁ = m₂ = m.
  ∴ X = \(\frac{m x_1+m x_2}{m+m}\)
  ∴ X = \(\frac{x_1+x_2}{2}\) …………….. (7.2)
• આમ, સમાન દ્રવ્યમાન ધરાવતા બે કણોનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (બંને કણોને જોડતા રેખાખંડ ૫૨) બંને કણોની બરાબર મધ્યમાં આવેલું હોય છે.
• આ જ રીતે જો m₁, m₂, …………., m_n દળ ધરાવતાં n કણો X-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ Oથી અનુક્રમે x₁, x₂, ………….., x_n અંતરે આવેલા હોય, તો n કણોના બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું ઉગમબિંદુ ‘O’થી અંતર X નીચેના સૂત્ર પરથી મળે છેઃ
  X = \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2+\ldots+m_{\mathrm{n}} x_{\mathrm{n}}}{m_1+m_2+\ldots+m_{\mathrm{n}}}\)
  = \(\frac{\Sigma m_1 x_1}{\Sigma m_1}\)
  = \(\frac{\Sigma m_1 x_1}{M}\) …….. (7.3)
  જ્યાં, M = Σm_i = તંત્રનું કુલ દળ

પ્રશ્ન 9.
એક સમતલમાં (દ્વિ-પરિમાણમાં) રહેલા ત્રણ કણોના બનેલા તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર શોધો.
અથવા
એક ત્રિકોણનાં ત્રણ શિરોબિંદુઓ પર રહેલા ત્રણ કણોના બનેલા તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર શોધો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 7.10માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે આપેલ ત્રણ કણો જે સમતલમાં છે, તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર નક્કી કરવા માટે X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પસંદ કરેલ છે.
• m₁, m₂ અને m₃ દ્રવ્યમાન ધરાવતા ત્રણ કણોનાં સ્થાનને અનુક્રમે (x₁, y₁), (x₂, y₂) અને (x₃, y₃) યામો વડે દર્શાવેલ છે.
• આ ત્રણ કણોના બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cના યામો (X, Y) વડે દર્શાવી શકાય છે અને તેને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :

જો ત્રણેય કણોના દ્રવ્યમાન સમાન હોય, તો m₁ = m₂ = m₃ = m.

• આમ, સમાન દળના ત્રણ કણો માટે, તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર આ કણોથી બનતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર હોય છે.

પ્રશ્ન 10.
અવકાશમાં (ત્રિ-પરિમાણમાં) વિતરિત થયેલા n કણોના બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના સ્થાનસદિશનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, m₁, m₂, …., m_n દળ ધરાવતા n કણોના અવકાશમાં સ્થાન અનુક્રમે (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x_n, y_n, z_n) છે. અહીં કણો એક જ સમતલમાં હોવા જરૂરી નથી.

• આવા n કણોના બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન (X, Y, Z) નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :

અહીં, M = Σm_i એ તંત્રનું કુલ દળ છે. m_i એ i મા કણનું દળ છે અને i મા કણના સ્થાનને (x_i, y_i, z_i) વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

• હવે સ્થાનસદિશના સંકેતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ (7.6), (7.7) અને (7.8)ને એક સૂત્રના રૂપમાં સંયોજિત કરીને લખી શકાય છે.
• \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}\) જો એ i મા કણનો સ્થાનસદિશ તથા \(\vec{R}\) એ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ હોય, તો તે નીચે મુજબ લખી શકાય :
  \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}\) = x_iî + y_iĵ + z_ik̂ …………. (7.9)
  અને
  \(\vec{R}\) = X_iî + Y_iĵ + Z_ik̂ …………… (7.10)
  ∴ \(\vec{R}\) = \(\frac{\Sigma m_1 \overrightarrow{r_i}}{M}\) …………… (7.11)
• જો નિર્દેશ-ફ્રેમ(યામ તંત્ર)ના ઉગમબિંદુને આપેલ કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C પર લેવામાં આવે, તો આ કણોના આપેલા તંત્ર માટે Σm_i\(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}\) = 0 થશે.

પ્રશ્ન 11.
દ્રવ્યમાનનું સતત વિતરણ ધરાવતા તંત્ર(પદાર્થ)ના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રનું સ્થાન શોધવા માટેની સૈદ્ધાંતિક રીત સમજાવો.
ઉત્તર:

• દઢ પદાર્થ એ ખૂબ નજીક હોય તેવા કણોનું તંત્ર છે. દૃઢ પદાર્થમાં ણો(પરમાણુઓ કે અણુઓ)ની સંખ્યા ખૂબ મોટી હોય છે તથા કણો વચ્ચેનું અંતર ખૂબ જ નાનું હોય છે.
• તેથી આપેલ દૃઢ પદાર્થને દ્રવ્યમાનના સતત વિતરણ તરીકે લઈ શકાય છે.
• હવે, પદાર્થને n નાના દ્રવ્યમાન-ખંડોમાં વિભાજિત કરીએ કે જેમનાં દ્રવ્યમાન અનુક્રમે Δm₁, Δm₂, ……. , Δm_n હોય.
  જો Δm_i દ્રવ્યમાન ધરાવતો મો ખંડ બિંદુ (x_i, y_i, z_i) પર સ્થિત હોય, તો દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામોને લગભગ નીચે મુજબ લખી શકાય :
  X = \(\frac{\Sigma\left(\Delta m_i\right) x_i}{\Sigma\left(\Delta m_i\right)}\), Y = \(\frac{\Sigma\left(\Delta m_i\right) y_i}{\Sigma\left(\Delta m_i\right)}\), Z = \(\frac{\Sigma\left(\Delta m_i\right) y_i}{\Sigma\left(\Delta m_i\right)}\)
• જેમ n મોટો અને મોટો કરતાં જઈએ તેમ Δm_i, નાનો અને નાનો થાય છે અને પરિણામે ઉપરોક્ત સમીકરણો વધુ સચોટ બને છે. આવા કિસ્સામાં i પરનો સરવાળો સંકલનમાં પરિણમે છે.
  તેથી
  Σ (Δm_i) → ∫ dm = M
  Σ (Δm_i) x_i → ∫ x dm
  Σ (Δm_i) y_i → ∫ y dm
  Σ (Δm_i) z_i → ∫ z dm
  જ્યાં, M એ પદાર્થનું કુલ દ્રવ્યમાન છે.
• પરિણામે, હવે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામો,

ઉપરોક્ત ત્રણેય યામોને સદિશરૂપે દર્શાવતાં, સંયોજિત સ્વરૂપે
\(\vec{R}=\frac{1}{M} \int \vec{r} d m\) ………….. (7.13)

• જો દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પર યામ તંત્રનું ઉગમબિંદુ લઈએ, તો
  \(\vec{R}\) (X, Y, Z) = 0
  તેથી \(\int \vec{r} d m\) = ૦ થાય અથવા
  ∫ x dm = ∫ y dm = ∫ z dm = 0

પ્રશ્ન 12.
સમાંગ (નિયમિત ઘનતાનું વિતરણ ધરાવતા) પાતળા સળિયાના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.
ઉત્તર:
સમાંગ પદાર્થ / વસ્તુ એટલે જેનું દ્રવ્યમાન વિતરણ બધે એકસરખું (નિયમિત) હોય તેવો પદાર્થ / વસ્તુ.

• આકૃતિ 7.13માં એક પાતળો સમાંગ સળિયો દર્શાવ્યો છે.
• આ સળિયાની લંબાઈ X-અક્ષ પર છે અને સળિયાનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ ‘O’ પર છે.
• હવે, પરાવર્તન સંમિતિના આધારે એમ કહી શકાય કે પ્રત્યેક x પર સ્થિત સળિયાના દરેક dm દળખંડને અનુરૂપ dm દળખંડ -x ૫૨ રહેલો હોય છે.
• સંકલનમાં આવી દરેક જોડનો ચોખ્ખો ફાળો શૂન્ય છે અને તેથી ∫ x dm = 0 છે.
• હવે, પાતળો સળિયો X-અક્ષ પર છે. તેથી તેના માટે ∫ y dm = ∫ z dm = 0 થાય.
  ∴ ∫ \(\vec{r}\) dm = ૦ થાય.
  પણ, \(\vec{R}=\frac{1}{M} \int \vec{r} d m\) છે.
  ∴ \(\vec{R}\) R (X, Y, Z) = 0
• આમ, અહીં દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\vec{R}\) = ૦ મળે છે. તેનો અર્થ સમાંગ પાતળા સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર છે, અર્થાત્ ઉગમબિંદુ ‘O’ પર છે.

પ્રશ્ન 13.
અવકાશમાં (ત્રિ-પરિમાણમાં) n કણોના બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના સ્થાનસદિશનું સૂત્ર લખો અને તેના વેગનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
વિચારેલ યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને m₁, m₂, ……., m_n દ્રવ્યમાન ધરાવતા કણોના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે \(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \ldots, \overrightarrow{r_{\mathrm{n}}}\) હોય, તો આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ, તે જ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે નીચેના સૂત્રથી મળે છે :
\(\vec{R}=\frac{m_1 \overrightarrow{r_1}+m_2 \overrightarrow{r_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{r_{\mathrm{n}}}}{m_1+m_2+\ldots+m_{\mathrm{n}}}\)
= \(\frac{\Sigma m_1 \vec{r}_1}{\Sigma m_1}\)
પણ, Σm_i = M = તંત્રનું કુલ દ્રવ્યમાન છે.
∴ \(M \vec{R}=\Sigma m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{r_i}=m_1 \overrightarrow{r_1}+m_2 \overrightarrow{r_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{r_{\mathrm{n}}}\) …………… (7.14)

દરેક કણનું દ્રવ્યમાન સમય સાથે બદલાતું નથી તેમ ધારીને સમીકરણ (7.14) નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,

સમીકરણ (7.17) કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 14.
n કણોના બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના વેગનું સૂત્ર લખો અને તેના પરથી \(M \vec{A}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}\) સૂત્ર મેળવો. આ સૂત્ર પરથી ફલિત થતો નિષ્કર્ષ જણાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, n કણોના તંત્રમાં m₁, m₂, ………., m_n દળ ધરાવતા કણોના વેગ અનુક્રમે \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \ldots \overrightarrow{v_n},\) હોય; તો તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :
\(\vec{V}=\frac{m_1 \vec{v}_1+m_2 \overrightarrow{v_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{v_{\mathrm{n}}}}{m_1+m_2+\ldots+m_{\mathrm{n}}}\)
પણ m₁ + m₂ + …… + m_n = M = તંત્રનું કુલ દળ છે.
∴ \(\vec{V}=\frac{m_1 \overrightarrow{v_1}+m_2 \overrightarrow{v_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{v_{\mathrm{n}}}}{M}\)
∴ \(M \vec{V}=m_1 \overrightarrow{v_1}+m_2 \overrightarrow{v_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{v_{\mathrm{n}}}\) ……………….. (7.18)
તંત્રના દરેક કણનું દળ સમય સાથે બદલાતું નથી તેમ ધારીને, સમીકરણ (7.18)નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
∴ \(M \frac{d \vec{V}}{d t}=m_1 \frac{d \vec{v}_1}{d t}+m_2 \frac{d \vec{v}_2}{d t}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \frac{d \vec{v}_n}{d t}\) ………… (7.19)
\(\frac{d \vec{v}_1}{d t}=\overrightarrow{a_1}\) = પ્રથમ કણનો પ્રવેગ
\(\frac{d \vec{v}_2}{d t}=\overrightarrow{a_2}\) = દ્વિતીય ણનો પ્રવેગ ……. વગેરે
અને
\(\frac{d \vec{V}}{d t}=\vec{A}\) = કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ
∴ \(M \vec{A}=m_1 \vec{a}_1+m_2 \vec{a}_2+\ldots+m_{\mathrm{n}} \vec{a}_{\mathrm{n}}\) ………….. (7.20)

• હવે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી,
  \(m_1 \overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{F_1}\) = પ્રથમ કણ પર લાગતું પરિણામી બળ
  \(m_2 \overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{F_2}\) = દ્વિતીય કણ પર લાગતું પરિણામી બળ ………… વગેરે.
  ∴ \(M \vec{A}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\ldots+\vec{F}_{\mathrm{n}}\) ……………….. (7.21)
• આમ, કણોના તંત્ર (પ્રણાલી) પર લાગતાં તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો એ કણોના તંત્રના કુલ દ્રવ્યમાન અને તેના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રના પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલો છે.
  હવે, તંત્રમાં કણો પર પ્રવર્તતાં બળો બે પ્રકારના હોય છે :
  ( 1 ) તંત્રમાં કણો વચ્ચે પ્રવર્તતાં આંતરિક બળો
  ( 2 ) બહારના પદાર્થો દ્વારા લાગતાં બાહ્ય બળો
• ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર તંત્રમાં કણો વચ્ચે પ્રવર્તતાં આંતરિક બળો દરેક (કણોની) જોડમાં સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી આંતરિક બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે. તેથી સમીકરણ (7.21)માં માત્ર બાહ્ય બળો જ ફાળો આપે છે. તેથી સમીકરણ (7.21) નીચે મુજબ લખી શકાય :
  \(M \vec{A}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}\) ……………. (7.22)
  જ્યાં, \(\vec{F}_{\text {ext }}\) = કણોના તંત્ર પર લાગતાં બધાં જ બાહ્ય બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
  \(M \vec{A}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}\) પરથી ફલિત થતો નિષ્કર્ષ ઃ કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન- કેન્દ્ર એ રીતે ગતિ કરે છે કે જાણે કે તંત્રનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન, તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પર સંકેન્દ્રિત હોય તથા બધાં જ બાહ્ય બળો તેના પર જ લાગતાં હોય.
• કોઈ પણ તંત્ર અને તેના પ્રત્યેક કણોની ગતિ ગમે તેવી હોય
  તો પણ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર સમીકરણ (7.22) મુજબ જ ગતિ કરે છે. આથી જ દૃઢ પદાર્થની સ્થાનાંતરણ ગતિને તે જ્યારે ચાકગતિ પણ કરતો હોય ત્યારે અલગ પાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 15.
n કણોના બનેલા તંત્ર માટેના સમીકરણ \(M \vec{A}=\vec{F}_{\mathrm{ext}}\) સમજૂતી પ્રક્ષિપ્ત ગતિના ઉદાહરણ દ્વારા આપો.
ઉત્તર:

• એક પદાર્થને (દા. ત., રાસાયણિક બૉમ્બને) સમક્ષિતિજ દિશા સાથે અમુક કોણ બનાવતી દિશામાં અમુક વેગ v₀થી પ્રક્ષિપ્ત કરતાં, તે પરવલય આકારના માર્ગે ગતિ કરે છે. જો આ પદાર્થનો ગતિ દરમિયાન વિસ્ફોટ થાય, તોપણ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તે જ પરવલય આકારના માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
• આકૃતિ 7.14માં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ ૦ આગળથી એક પદાર્થને (બૉમ્બને) પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે, તો માર્ગમાં તેનો વિસ્ફોટ થતાં તે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
• આ વિસ્ફોટ તરફ દોરી રહેલાં બળો આંતિરક બળો છે. તેઓ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગતિમાં કોઈ જ ફાળો આપતા નથી. પણ અહીં કુલ બાહ્ય બળ એટલે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જે પદાર્થ પર લાગે છે, તે વિસ્ફોટ પહેલાં અને પછી સમાન જ છે.
• પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર વિસ્ફોટ બાદ પણ આ બાહ્ય બળના પ્રભાવ હેઠળ એ જ પરવલય પથ પર ગતિમાન રહે છે, કે જેને તે વિસ્ફોટ ન થયો હોત તોપણ અનુસરત.
• આમ, કુલ બાહ્ય બળની અસર હેઠળ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર કેવી રીતે ગતિ કરે છે તે સમજી શકાય છે.

પ્રશ્ન 16.
કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના વેગનું સૂત્ર લખો અને દર્શાવો કે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન એ તંત્રના કુલ દળ અને તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના વેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે તથા કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ મેળવો.
ઉત્તર:
n કણોના બનેલા તંત્રમાં કણોના દળ અનુક્રમે m₁, m₂, ……….. m_n હોય અને તેમના આનુષાંગિક રેખીય વેગ અનુક્રમે \(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \ldots, \overrightarrow{v_{\mathrm{n}}}\) હોય, તો આ તંત્રના દ્રવ્યમાન- ન-કેન્દ્રનો વેગ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :
\(\vec{V}=\frac{m_1 \overrightarrow{v_1}+m_2 \overrightarrow{v_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{v_n}}{m_1+m_2+\ldots+m_{\mathrm{n}}}\)
પણ, m₁ + m₂ + ……….. + m_n = M = તંત્રનું કુલ દ્રવ્યમાન

સમીકરણ (7.26) એ કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે.
“કણોના તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ એ તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.”

પ્રશ્ન 17.
કણોના તંત્ર માટે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ નીચે મુજબ લખી શકાય છે :
\(\vec{F}_{\mathrm{ext}}=M \frac{d \vec{V}}{d t}=\frac{d \vec{P}}{d t}\)

• જો કણોના તંત્ર પર લાગતાં બાહ્ય બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય અર્થાત્ પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો \(\vec{F}_{\mathrm{ext}}\) = 0.
  ∴ 0 = M\(\frac{d \vec{V}}{d t}=\frac{d \vec{P}}{d t}\) થાય.
  ∴ \(\vec{P}\) = અચળ ∴ \(\vec{V}\) = અચળ (∵ \(\vec{P}=M \vec{V}\))
  આમ, “જ્યારે કણોના તંત્ર ૫૨ લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય ત્યારે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.”
  અથવા
  ‘‘જ્યારે કણોના તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય ત્યારે તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.”
• હવે, અહીં કણોના તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન \(\vec{P}\) = અચળ છે.
  પણ \(\vec{P}\) = \(\vec{P}\)_xî + p_yĵ + p_zk̂ હોવાથી
  P_xî + p_yĵ + p_zk̂ = અચળ થાય.
  ∴ P_x = C₁, P_y = C₂, P_z = C₃ લખી શકાય.
  જ્યાં, P_x, P_y અને P_z અને \(\vec{P}\) Pના અનુક્રમે X, Y અને Z અક્ષ પરના ઘટકો છે તથા C₁, C₂ અને C₃ અચળાંકો છે.

પ્રશ્ન 18.
કણોના તંત્રના કિસ્સામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમને સમજાવતાં ઉદાહરણો ચર્ચો.
ઉત્તર:
કણોના તંત્રના કિસ્સામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમને સમજાવતાં (અનુમોદન આપતાં) બે ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે :
( 1 ) ન્યુક્લિયર ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં રેડિયોઍક્ટિવ ભારે ન્યુક્લિયસ (રેડિયમ – Ra)નું વિભંજન.
( 2 ) ખગોળશાસ્ત્રમાં અવકાશમાં થતી દ્વિસંગી (યુગ્મ) તારાની ગતિ
ઉદાહરણ 1 :

• એક રેડિયમ (Ra) ન્યુક્લિયસનું એક રેડૉન (Rn) ન્યુક્લિયસ અને એક આલ્ફા કણ (He)માં કુદરતી વિઘટન થાય છે. આ ક્ષયકારક બળો એ તંત્રનાં આંતરિક બળો છે અને તંત્ર પરનાં બાહ્ય બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ બળો) તંત્રનું દળ ઘણું નાનું હોવાથી અવગણ્ય છે.
• તેથી તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન \(\vec{P}\) અને તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ \(\vec{V}\) બંને ક્ષય પહેલાં અને પછી સમાન જ છે.
• પરિણામે ક્ષયમાં ઉત્પન્ન થયેલા બે કણો રેડૉન ન્યુક્લિયસ અને આલ્ફા કણ એવી રીતે જુદી જુદી દિશામાં ગતિમાન થાય છે, કે તેમનું (સંયુક્ત) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર એ જ દિશામાં ગતિ કરે છે કે ક્ષય પૂર્વે મૂળ રેડિયમ ન્યુક્લિયસ જે પથ પર ગતિ કરતું હતું (આકૃતિ 7.15 (a)).
• હવે, ધારો કે એક રેડિયમ ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે. તેથી તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પણ સ્થિર છે અને આપણે આ સ્થિર નિર્દેશ-ફ્રેમમાં રહીને રેડિયમ ન્યુક્લિયસનું કુદરતી વિભંજન જોઈએ, તો ઉત્પન્ન થયેલા બે કણો રેડૉન ન્યુક્લિયસ અને α-કણ (He) એકબીજાની પ્રતિસમીપ (Back to back) દિશામાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી તેમનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર સ્થિર રહે (આકૃતિ 7.15 (b)).

ઉદાહરણ 2:

• ખગોળશાસ્ત્રમાં, અવકાશમાં દ્વિસંગી (યુગ્મ) તારાની ગતિ એક સામાન્ય ઘટના છે.
• જો કોઈ બાહ્ય બળો લાગતાં ન હોય, તો કોઈ દ્વિસંગી (યુગ્મ) તારાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (C) એક મુક્ત કણની જેમ ગતિ કરશે, જે આકૃતિ 7.16 (a)માં બતાવ્યા પ્રમાણે છે.
  તદ્ઉપરાંત સમાન દ્રવ્યમાનવાળા બે તારાઓના ગતિપથો પણ આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે, જે જટિલ દેખાય છે.
• હવે, જો આપણે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની નિર્દેશ-ફ્રેમમાં જઈને અવલોકન કરીએ તો આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્યાં બે તારાઓ એક વર્તુળમાં સ્થિર દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિ કરે છે. અહીં આ બે તારાઓના સ્થાન એકબીજાથી સંપૂર્ણ વિરુદ્ધ વ્યાસાંત બિંદુઓ પર હોય છે. (આકૃતિ 7.16 (b)).
  આમ, આપણી (જમીન પરની) નિર્દેશ-ફ્રેમમાં તારાઓના ગતિપથો એ (i) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સીધી રેખામાં નિયમિત ગતિ અને (ii) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તારાઓની વર્તુળાકાર ભ્રમણ- કક્ષાઓનું સંયોજન છે.
• ઉપરોક્ત બે ઉદાહરણો પરથી જોઈ શકાય છે કે, તંત્રના જુદા જુદા ભાગોની ગતિને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (C)ની ગતિ અને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને થતી ગતિમાં વિભાજન કરવું એ ખૂબ જ ઉપયોગી પદ્ધતિ છે, જે તંત્રની ગતિ સમજવામાં મદદ કરે છે.

પ્રશ્ન 19.
બે દેિશોના સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
બે સિંદશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\)નો સદિશ ગુણાકાર કરવાથી મળતો સદિશ \(\vec{c}\) એવો છે કે,

1. \(\vec{c}\) નું માન = |\(\vec{c}\)| = c = ab sin θ
   જ્યાં, a અને b એ અનુક્રમે \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના માન છે તથા
   θ એ બે સિંદશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો નાનો કોણ છે.
2. \(\vec{c}\) એ \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ને સમાવતા સમતલને લંબ છે.
3. \(\vec{c}\) ની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમથી અથવા જમણા હાથના નિયમની મદદથી જાણી શકાય છે.

અથવા
બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના સદિશ ગુણાકારને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે :
\(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = (ab sin θ)n̂
જ્યાં, a અને b એ અનુક્રમે \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના માન છે તથા θ એ બે સિદેશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો નાનો ખૂણો છે. n̂ એ \(\vec{c}\) ની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
સદિશ ગુણાકારને દર્શાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ક્રૉસ (×)ને કારણે તેને ક્રૉસ પ્રૉડક્ટ પણ કહે છે.

પ્રશ્ન 20.
બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) નો સદિશ ગુણાકાર કરવાથી મળતા (નવા) સદિશ \(\vec{c}\) ની દિશા નક્કી કરવા માટેનો જમણા હાથનો સ્ક્રૂનો નિયમ અને જમણા હાથનો નિયમ આકૃતિ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:

જમણા હાથના સ્ક્રૂનો નિયમ : આકૃતિ 7.17 (a)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જમણા હાથના સ્ક્રૂને \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) થી રચાતા સમતલને લંબરૂપે ગોઠવી, સ્ક્રૂના શીર્ષને \(\vec{a}\) થી \(\vec{b}\) ની દિશા તરફ ફેરવતાં સ્ક્રૂની અણી (ટીપ) જે દિશામાં આગળ ખસે છે, તેને \(\vec{c}\) ની દિશા એટલે કે \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) ની દિશા કહે છે.

જમણા હાથનો નિયમ : આકૃતિ 7.17 (b) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જો સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના સમતલને લંબરેખાની ફરતે જમણા હાથની આંગળીઓને \(\vec{a}\) થી \(\vec{b}\) ની દિશામાં વીંટાળવામાં આવે, તો બહારની દિશા તરફ વિસ્તરેલો (ઊભો) અંગૂઠો \(\vec{c}\) ની દિશા દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 21.
બે દેિશોના સદિશ ગુણાકાર માટે
1. ક્રમનો નિયમ
2. પરાવર્તન અંગેનો નિયમ
3. વિભાજનનો નિયમ જણાવો.
ઉત્તર:
1. ક્રમનો નિયમ : સદિશ ગુણાકાર ક્રમના નિયમનું પાલન કરતો નથી, એટલે કે તે સમક્રમી નથી, એટલે કે
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) ≠ \(\vec{b}\) × \(\vec{a}\) ………… (7.27)
અહીં બે સદિશો \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) અને \(\vec{b}\) × \(\vec{a}[/latex ના માન સમાન (ab sin θ) જ છે, પણ જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી બંનેની દિશા [latex]\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) થી રચાતા સમતલને લંબ છે અને પરસ્પર વિરુદ્ધ છે.
તેથી \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = – \(\vec{b}\) × \(\vec{a}\) થાય.

2. પરાવર્તન અંગેનો નિયમ : પરાવર્તન હેઠળ (એટલે કે અરીસામાં પ્રતિબિંબ તરીકે લેતાં) આપણને x → – x, y → – y અને z → – z મળે છે. પરિણામે દિશના બધા ઘટકો સંજ્ઞા બદલે છે અને આમ, a → – a, b → – b.
હવે, પરાવર્તન લેતાં,
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = (- \(\vec{a}\)) × (- \(\vec{b}\)) = \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)
આમ, \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) નું ચિહ્ન પરાવર્તન લેતાં બદલાતું નથી.

3. વિભાજનનો નિયમ :
\(\vec{a}\) × (\(\vec{b}\) + \(\vec{c}\)) = \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)
+ \(\vec{a}\) × (\(\vec{c}\)

પ્રશ્ન 22.
એકબીજાને સમાંતર સદિશો અને લંબસદિશો માટે સદિશ ગુણાકારની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
જો બે શૂન્યેતર દિશો એકબીજાને સમાંતર (θ = 0°) હોય, તો આવા સિંદેશોનો સંદેશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે, એટલે કે \(\vec{a} \times \vec{a}=\overrightarrow{0}\). જ્યાં \(\vec{0}\) એ એક શૂન્ય સદિશ છે, એટલે કે શૂન્ય માનવાળો સદિશ, કારણ કે \(\vec{a}\) × \(\vec{a}\) નું માન a²sin 0° = 0 છે.

[તે જ પ્રમાણે જો બે શૂન્યેતર સદિશો એકબીજાને પ્રતિસમાંતર (θ = 180°) હોય, તો આવા દિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે, કારણ કે \(\vec{a}\) × – \(\vec{a}\) નું માન a²sin 180° = 0 છે.]

આ પરથી એકમ સદિશો, î, ĵ અને k̂ માટે î × î = \(\vec{0}\), ĵ × ĵ = \(\vec{0}\) k̂ × k̂ = \(\vec{0}\)

જો બે શૂન્યેતર સદિશો એકબીજાને લંબ (θ = 90°) હોય, તો
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = ab sin 90° n̂
= ab n̂ (∵ sin 90° = 1)
જ્યાં, n એ \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) ની દિશામાંનો એકમ દિશ છે.
આ પરથી એકમ આદિશો, î, ĵ અને k̂ માટે
î × ĵ = i j sin 90° n̂
= (1) (1) (1) n̂
= n̂
જ્યાં,n̂ એકમ સદિશ છે.
હવે, î અને ĵ થી બનતા સમતલને લંબ અને જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ દ્વારા મળતો એકમ સદિશ k̂છે.
આમ, અહીં એકમ સદિશ = î × ĵ = n̂ = k̂ થાય.
ટૂંકમાં, î × ĵ = k̂
આ જ રીતે ĵ × k̂ = î અને k̂ × î = j
હવે, બે દિશોના સિંદેશ ગુણાકાર માટેના ક્રમના નિયમ પરથી કહી શકાય કે,
ĵ × î = – k̂, k̂ × ĵ = – î, î × k̂ = – ĵ
નોંધ : બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારના સંદર્ભમાં જો î, Ĵ, k̂ ચક્રીય ક્રમમાં (સમઘડી દિશામાં) હોય, તો દિશ ગુણાકાર ધન અને જો, î, Ĵ, k̂ ચક્રીય ક્રમમાં (સમઘડી દિશામાં) ન હોય, તો સદિશ ગુણાકાર ઋણ છે.

પ્રશ્ન 23.
બે સદિશોના સદિશ ગુણાકારને તેમના કાર્રેઝીયન ઘટકોના સ્વરૂપમાં મેળવો.
ઉત્તર:
ત્રિ-પરિમાણમાં જો \(\vec{a}\) = a_xî + a_yĵ + a_zk̂ અને \(\vec{b}\) = b_xî + b_yĵ + b_zk̂ હોય, તો
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = (a_xî + a_yĵ + a_zk̂ × b_xî + b_yĵ + b_zk̂
= a_xb_x(î × î) + a_xb_y(î × ĵ)
+ a_xb_z(î × k̂) + a_yb_x(ĵ × î)
+ a_yb_y(ĵ × ĵ) + a_yz_y(ĵ × k̂)
+ a_zb_x(k̂ × î) + a_zb_y(k̂ × ĵ)
+ a_zb_z(k̂ × k̂)

પ્રશ્ન 24.
દઢ પદાર્થના કોઈ કણ માટે કોણીય સ્થાનની સમજૂતી આપો. કોણીય સ્થાનાંતરની વ્યાખ્યા આપો.
અથવા
ચાકગતિમાં દઢ પદાર્થનું કોણીય સ્થાન અને કોણીય સ્થાનાંતર સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 7.19માં O બિંદુમાંથી પસાર થતી અને પુસ્તકના પૃષ્ઠને લંબ એવી સ્થિર ભ્રમણાક્ષ OZ ને અનુલક્ષીને એક દૃઢ પદાર્થ ચાકગતિ કરે છે. (આ ભ્રમણાક્ષ આકૃતિમાં બતાવી નથી.) આકૃતિમાં t અને t + Δt સમયે પુસ્તકના પાન સાથેના આ દૃઢ પદાર્થના આડછેદ દર્શાવ્યા છે.

દઢ પદાર્થની વ્યાખ્યા અનુસાર, તેના બધા કણો પોતાની વર્તુળગતિ દરમિયાન આપેલા સમયમાં એકસરખું કોણીય સ્થાનાંતર કરે છે.
તેથી દૃઢ પદાર્થની ચાકગતિનું વર્ણન તેના અસંખ્ય ણોમાંથી કોઈ એક કણ(પ્રતિનિધિ કણ)ની ગતિ પરથી કરી શકાય છે. કોણીય સ્થાન : કોઈ ક્ષણે દૃઢ પદાર્થના કોઈ કણને તેના વર્તુળગતિ માર્ગના કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખાએ આપેલી નિશ્ચિત સંદર્ભરેખા સાથે આંતરેલા કોણને તે કણનું અને પરિણામે સમગ્ર દૃઢ પદાર્થનું કોણીય સ્થાન કહે છે.
આ માટે ચાકગતિ કરતા પદાર્થનો એક કણ P ધ્યાનમાં લો.
OXને સંદર્ભરેખા સ્વીકારેલ છે.
t સમયે P કણનું કોણીય સ્થાન = θ = ∠POX અને t + Δt સમયે તે જ કણનું કોણીય સ્થાન = θ + Δθ = ∠P’OX Δt સમયમાં કણના કોણીય સ્થાનમાં થતો ફેરફાર Δ θ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર : કણના કોણીય સ્થાન θ માં થતા ફેરફાર Δθ ને ણનું કોણીય સ્થાનાંતર કહે છે. તેનો એકમ radian અથવા rotation છે. 1 rotation = 2πradian.

પ્રશ્ન 25.
ચાકગતિ કરતા દઢ પદાર્થ માટે કોણીય વેગની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 7.20માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે Z-અક્ષ(સ્થિર અક્ષ)ને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા એક દૃઢ પદાર્થનો દરેક કણ વર્તુળ-પથ પર ગતિ કરે છે, જે અક્ષને લંબસમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર અક્ષ પર છે.
  અહીં એક લાક્ષણિક ણ (એક બિંદુ P આગળનો) r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ-પથ પર ગતિ કરે છે અને આ વર્તુળનું કેન્દ્ર C, અક્ષ પર છે.
• વર્તુળની ત્રિજ્યા r એ બિંદુ ‘P’નું સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)થી લંબઅંતર દર્શાવે છે. P આગળ કણનો રેખીય વેગ \(\vec{υ}\) દર્શાવેલ છે, જે વર્તુળ ૫૨ P બિંદુ પાસે દોરેલ સ્પર્શકની દિશામાં છે.
• t = t સમયે P બિંદુ પાસે રહેલ કણ t = t + Δt સમયે P’ પર પહોંચે છે, એટલે કે P બિંદુ પાસે રહેલ કણ Δt સમયગાળા બાદ P’ પર / ∠PCP’ = Δθ કોણ આંતરીને પહોંચે છે.
• Δθ એ કણનું Δt સમયમાં થતું કોણીય સ્થાનાંતર છે.
  [કણના કોણીય સ્થાનમાં થતા ફેરફારને કણનું કોણીય સ્થાનાંતર કહે છે.]
• Δt સમયગાળામાં કણનો સરેરાશ કોણીય વેગ,
  < ω > = \(\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\) …………….. (7.30)
• Δt → 0 લક્ષમાં \(\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\) ને બિંદુ P પાસેના કણનો તાત્ક્ષણિક કોણીય વેગ કહે છે. તાત્ક્ષણિક કોણીય વેગને કોણીય વેગ પણ કહે છે.
  ∴ કોણીય વેગ \(\vec{\omega}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d \theta}{d t}\) ……………… (7.31)
• કોણીય વેગ દિશ રાશિ છે. સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકતિ કરતા દૃઢ પદાર્થના કોણીય વેગનો સદિશ એ ભ્રમણાક્ષની દિશામાં હોય છે.
• કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) ની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમથી નક્કી કરી શકાય છે.
  જમણા હાથના સ્ક્રૂનો નિયમ : જમણા હાથના સ્ક્રૂને ભ્રમણાક્ષને સમાંતર ગોઠવી, દૃઢ પદાર્થ જે દિશામાં ભ્રમણ કરતો હોય તે દિશામાં સ્ક્રૂને ભ્રમણ આપતાં સ્ક્રૂ જે દિશામાં આગળ વધે છે, તેને કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) ની દિશા ગણવામાં આવે છે.
  આકૃતિ 7.21માં દૃઢ પદાર્થ સમઘડી અથવા વિષમઘડી દિશામાં પરિભ્રમણ કરતો હોય ત્યારે તેના કોણીય વેગની દિશા દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 26.
દૃઢ પદાર્થ માટે કોણીય વેગ અને રેખીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો. જરૂરી આકૃતિ દોરો.
અથવા
દઢ પદાર્થની ચાકગતિ માટે \(\vec{υ}=\vec{\omega} \times \vec{r}\) મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 7.22માં દર્શાવ્યા મુજબ સ્થિર ભ્રમણાક્ષ OZને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા દઢ પદાર્થનો એક લાક્ષણિક કણ, જે t = t સમયે બિંદુ P પર હતો, તે Δt સમયગાળા બાદ એટલે કે t = t + Δt સમયે, P′ પર રેખીય અંતર PP′ = rΔθ કાપીને પહોંચે છે; કારણ કે

તેથી Δt સમયગાળામાં કણની સરેરાશ રેખીય ઝડપ (સરેરાશ રેખીય વેગનું માન),

= r< ω > ………… (7.32)
∴ તાત્ક્ષણિક રેખીય ઝડપ (રેખીય વેગનું માન),
υ = \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} r\left(\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\right)=r\left(\frac{d \theta}{d t}\right)\) = rω …………. (7.33)
અહીં, r = વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે, જે આપેલ ક્ષણે કણનું અક્ષથી લંબઅંતર અથવા વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્રથી લંબઅંતર છે.

• વ્યાપક રૂપે, આપેલ ક્ષણે સ્થિર અક્ષથી r_i જેટલા લંબઅંતરે રહેલા કોઈ પણ કણ માટે, υ_i = ωr_i …………
  જયાં, i = 1, 2, n અને અહીં n એ દૃઢ પદાર્થના કણોની કુલ સંખ્યા છે.
• અક્ષ પરના બધા કણો માટે r = 0 હોવાથી υ = rω = 0. તેથી ધરી પરના બધા કણો સ્થિર છે.

• રેખીય વેગ \(\vec{υ}\) અને કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવવા આકૃતિ 7.23માં દર્શાવ્યા અનુસાર સ્થિર Z-અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા દૃઢ પદાર્થનો કોઈ એક લાક્ષણિક કણ t = t સમયે P બિંદુ ૫૨ છે.
• હવે, અક્ષ પરના કોઈ બિંદુ Oની સાપેક્ષે કણ Pનો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) લઈએ તો \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{O P}\) થાય અને વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર Cથી P બિંદુનું લંબઅંતર (વર્તુળની ત્રિજ્યા) r_⊥ છે.
• હવે, \(\vec{\omega} \times \vec{r}=\vec{\omega} \times \overrightarrow{O P}\)

પરંતુ, \(\vec{\omega}\) એ Z-અક્ષની દિશામાં અને P બિંદુ પરના કણ દ્વારા બનેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા \(\overrightarrow{C P}\) ને પણ લંબ છે.
∴ |\(\vec{\omega} \times \overrightarrow{C P}\)| = ω (CP) sin 90°
= ωr_⊥ (∵ \(\overrightarrow{C P}\) = \(\overrightarrow{r_{\perp}}\) ⇒ CP = r_⊥)
તેથી |\(\vec{\omega} \times \vec{r}\)| = ωr_⊥ થાય.
આમ, \(\vec{\omega} \times \vec{r}\) સદિશનું માન ωr_⊥ છે અને તે P બિંદુ પાસેના કણ દ્વારા રચાયેલ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં છે.
∴ \(\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}\)
જ્યાં, \(\vec{r}\) = P બિંદુ પાસેના કણનો ઉગમબિંદુ (સંદર્ભબિંદુ) Oની સાપેક્ષે સ્થાનસદિશ છે.

અગત્યની નોંધ :

1. સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરતા દૃઢ પદાર્થ માટે ની દિશા સમય સાથે બદલાતી નથી, પણ તેનું મૂલ્ય સમય સાથે બદલાઈ શકે છે.
2. જો અક્ષ સ્થિર ન રહેતી હોય, તો કોણીય વેગની દિશા પણ સમય સાથે બદલાતી હોય છે.
3. વધુ વ્યાપક પરિભ્રમણ કરતા પદાર્થ માટે નું મૂલ્ય અને દિશા એમ બંનેમાં સમય સાથે ફેરફાર થઈ શકે છે.

પ્રશ્ન 27.
કોણીય પ્રવેગ વિશે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
કોણીય વેગના ફેરફારના સમયદરને કોણીય પ્રવેગ કહે છે. તેને \(\vec{\alpha}\) વડે દર્શાવાય છે.

∴ \(\vec{\alpha}=\frac{d \vec{\omega}}{d t}\) …………… (7.35)

• કોણીય પ્રવેગ સદિશ રાશિ છે. તેનો એકમ rad/s² અને rotation/s² છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L⁰T^-2 છે.
• જો પરિભ્રમણ અક્ષ સ્થિર હોય, તો \(\vec{\omega}\) ની દિશા અને \(\vec{\alpha}\) ની દિશા પણ સ્થિર હોય છે (એક જ હોય છે). આવા સંજોગોમાં ઉપરોક્ત સદિશ સમીકરણ અદિશ સમીકરણમાં પરિણમે છે.
  ∴ α = \(\frac{d \omega}{d t}\) ………….. (7.36)

નોંધ : α = \(\frac{d \omega}{d t}\) સૂત્રમાં કોણીય ઝડપ ω = \(\frac{d \theta}{d t}\) = મૂકતાં,
α = \(\frac{d}{d t}\left(\frac{d \theta}{d t}\right)\)
= \(\frac{d^2 \theta}{d t^2}\)

પ્રશ્ન 28.
રેખીય પ્રવેગ અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવતું સૂત્ર તારવો.
ઉત્તર:
રેખીય વેગ \(\vec{υ}\) અને કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે :
\(\vec{υ}\) = \(\vec{\omega}\) × \(\vec{r}\)
રેખીય વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન રેખીય પ્રવેગ \(\vec{a}\) આપે છે.
તેથી \(\vec{υ}\) = \(\vec{\omega}\) × \(\vec{r}\) સમીકરણની બંને બાજુ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 29.
ચાકગતિ કરતા દૃઢ પદાર્થના કણના રેખીય પ્રવેગના ઘટકોની ચર્ચા કરો. અચળ કોણીય વેગથી ગતિ કરતા કણ માટે આ ઘટકોનું મૂલ્ય કેટલું થશે?
ઉત્તર:
ચાકગતિ કરતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ,
\(\vec{a}=(\vec{\alpha} \times \vec{r})+(\vec{\omega} \times \vec{v})\)
\(\vec{\omega} \times \vec{v}\) ને ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક ત કહે છે અને (\(\vec{a}_{\mathrm{r}}\))ને સ્પર્શીય ઘટક \(\vec{\alpha} \times \vec{r}\) કહે છે.
\(\vec{\omega} \times \vec{v}\) શોધવા વિશે :
\(\vec{\omega} \times \vec{v}\) ની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ અનુસાર શોધતાં તે કેન્દ્ર તરફ, ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં મળે છે (આકૃતિ 7.24માં Pથી O તરફ). તેથી \(\vec{\omega} \times \vec{v}\) ને રેખીય પ્રવેગ \(\vec{a}\) નો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક \(\vec{a}_{\mathrm{r}}\) કહે છે.

\(\vec{\alpha} \times \vec{r}\) ઘટક શોધવા વિશે :

• જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ મુજબ \(\vec{\alpha} \times \vec{r}\) વર્તુળ-માર્ગને દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. તેને \(\vec{a}_t\) વડે દર્શાવાય છે.

• આથી \(\vec{\alpha} \times \vec{r}\) ને રેખીય પ્રવેગ \(\vec{a}\) નો સ્પર્શીય ઘટક \(\vec{a}_t\) કહે છે.
  ∴ \(\vec{\alpha} \times \vec{r}\) = \(\vec{a}_t\) …………. (7.41)
  \(\vec{\alpha} \times \vec{r}\) નું મૂલ્ય અથવા \(\vec{a}_t\) નું મૂલ્ય,
  |\(\vec{a}_t\)| = αr sin 90°
  ∴ |\(\vec{a}_t\)| = αr …………. (7.42)
• અચળ કોણીય વેગથી ગતિ કરતા કણ માટે કોણીય પ્રવેગ α = 0 હોય છે.
  ∴ સ્પર્શીય ઘટકનું મૂલ્ય |\(\vec{a}_t\)| = r(0) =0 અને ત્રિજ્યાવર્તી
  ઘટકનું મૂલ્ય |\(\vec{a}_r\)| = \(\frac{v^2}{r}\)

વિશેષ સમજૂતી માટે

સમીકરણ (7.43) રેખીય પ્રવેગ \(\vec{a}\) નું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
રેખીય પ્રવેગની દિશા : જો \(\vec{a}\) અને \(\overrightarrow{a_{\mathrm{t}}}\) વચ્ચેનો કોણ β હોય, તો આકૃતિ 7.26 પરથી,
tan β = \(\frac{a_{\mathrm{r}}}{a_{\mathrm{t}}}=\frac{\omega^2 r}{\alpha r}\)
tan β = \(\frac{\omega^2}{\alpha}\)
∴ β = tan^-1 (\(\frac{\omega^2}{\alpha}\)) ………….. (7.44)

અગત્યનું જ્ઞાન

1. જો દઢ પદાર્થ કોઈ એક બિંદુ અથવા રેખા સાથે જડિત હોય, તો તે માત્ર ચાકતિ કરી શકે છે.
2. કોઈ પદાર્થની સ્થાનાંતરણ અવસ્થાને બદલવા માટે, એટલે કે પદાર્થમાં રેખીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે બળ જરૂરી છે.
   પણ ચાકગતિમાં એકલું બળ નહિ, પણ તે કેવી રીતે અને ક્યાં લગાડવામાં આવે છે, તે પણ મહત્ત્વનું છે.
3. ચાકગતિમાં બળને સમતુલ્ય ભૌતિક રાશિ બળની ચાકમાત્રા છે. તેને ટૉર્ક અથવા બળયુગ્મ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 30.
કણ પર લાગતા ટૉર્કની વ્યાખ્યા આકૃતિ દોરીને લખો અને ટૉર્કની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 7.27માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે બિંદુ P નો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) છે અને P બિંદુ પર રહેલા કણ પર બળ \(\vec{F}\) એ \(\vec{r}\) ની દિશા સાથે θ કોણે લાગે છે.
• ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે કણ પર લાગતા બળની ચાકમાત્રા નીચેના સદિશ ગુણાકાર વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે :
  \(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\) …………… (7.45)
• બળની ચાકમાત્રા (ટૉર્ક) એક સદિશ રાશિ છે. તેની દિશા \(\vec{r}\) અને \(\vec{F}\)થી બનતા સમતલને લંબ જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમની મદદથી નક્કી કરી શકાય છે.
• ટૉર્ક(\(\vec{\tau}\))નું માન (મૂલ્ય),
  τ = rF sin θ …………… (7.46)
  જ્યાં, r એ સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) નું માન એટલે કે લંબાઈ OP છે. F એ બળ \(\vec{F}\) નું માન છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ θ એ \(\vec{r}\) અને \(\vec{F}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
• બળની ચાકમાત્રાનો SI એકમ ન્યૂટન મીટર (Nm) છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-2 છે.
• ટૉર્કના પરિમાણ કાર્ય અને ઊર્જા જેવા જ છે, પણ ટૉર્ક સદિશ રાશિ છે, જ્યારે કાર્ય અને ઊર્જા અદિશ રાશિ છે.
• બળની ચાકમાત્રાનું માન,
  τ = (r sin θ) F = r_⊥ F ………… (7.47)
  જ્યાં, r_⊥ = r sin θ = ઉગમબિંદુથી બળ \(\vec{F}\) ની કાર્યરેખાનું લંબઅંતર છે.
  અથવા
  τ = r (F sin θ) = rF_⊥ ……………(7.48)
  જ્યાં, F_⊥ = F sin θ = \(\vec{F}\) નો \(\vec{r}\) ની લંબદિશામાંનો ઘટક છે.
• τ = rF sin θ પરથી સ્પષ્ટ છે, કે જો r = 0 અથવા F = 0 અથવા θ = 0° કે 180° હોય તો τ = 0 થાય. આમ, જો બળનું માન શૂન્ય હોય અથવા બળની કાર્યરેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો બળની ચાકમાત્રા શૂન્ય થાય છે.
• પરથી એ પણ સ્પષ્ટ છે, કે જો બળ \(\vec{F}\) ની દિશા ઊલટાવવામાં આવે, તો બળની ચાકમાત્રા \(\vec{\tau}\) ની દિશા પણ ઊલટાય છે. જો \(\vec{r}\) અને \(\vec{F}\) બંનેની દિશા ઊલટાવવામાં આવે, તો બળની ચાકમાત્રાની દિશા તે જ રહે છે (ઊલટાતી નથી).

પ્રશ્ન 31.
આકૃતિ દોરીને કણના કોણીય વેગમાનની વ્યાખ્યા લખો અને કોણીય વેગમાનની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 7.28માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે બિંદુQ નો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) છે અને Q બિંદુ ૫૨, m દળ ધરાવતા કણનો રેખીય વેગ \(\vec{υ}\) અને રેખીય વેગમાન \(\vec{p}\) = m\(\vec{υ}\) છે.
  \(\vec{p}\) અને \(\vec{r}\) વચ્ચેનો કોણ θ છે.
• ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) નીચેના સિંદેશ ગુણાકાર વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે :
  \(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\) ……………. (7.49)
• રેખીય વેગમાનની ચાકમાત્રા (કોણીય વેગમાન) એક સદિશ રાશિ
  છે. તેની દિશા \(\vec{r}\) અને \(\vec{p}\) થી બનતા સમતલને લંબ જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમની મદદથી નક્કી કરી શકાય છે.
• કોણીય વેગમાન (\(\vec{l}\))નું માન (મૂલ્ય),
  1 = rp sin θ ………….. (7.50)
  જ્યાં, r એ સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) નું માન એટલે કે લંબાઈ OQ છે. p એ રેખીય વેગમાન \(\vec{p}\) નું માન છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ θ એ \(\vec{r}\) અને \(\vec{p}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
• બળની ચાકમાત્રાનો SI એકમ kg m²s^-1 (Js) છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-1 છે.
• રેખીય વેગમાનની ચાકમાત્રાનું માન,
  l = (r sin θ ) p = r_⊥p ……………. (7.51)
  જ્યાં, r_⊥ = r sin θ = = ઉગમબિંદુથી રેખીય વેગમાન \(\vec{p}\) ની દિશા-રેખાનું લંબઅંતર છે.
  અથવા
  l = r (p sin θ ) = rp_⊥ ………….. (7.52)
  જ્યાં, p_⊥ = p sin θ = \(\vec{p}\) નો \(\vec{r}\) ની લંબદિશામાંનો ઘટક છે.
• l = rp sinθ પરથી સ્પષ્ટ છે, કે જો r = 0 અથવા p = 0 અથવા θ = 0° કે 180° હોય, તો l = 0 થાય. આમ, જો રેખીય વેગમાનનું માન શૂન્ય હોય અથવા રેખીય વેગમાનની દિશારેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો રેખીય વેગમાનની ચાકમાત્રા શૂન્ય થાય છે.

પ્રશ્ન 32.
કણના કોણીય વેગમાન અને તેના પર લાગતા ટૉર્ક વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
કણના રેખીય વેગમાનની પરિભ્રમણીય સમતુલ્યતા એટલે કણનું કોણીય વેગમાન, જે સદિશ સ્વરૂપે નીચે મુજબ રજૂ કરવામાં આવે છે :
\(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\)
ઉપરના સમીકરણનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,

આમ, કણના કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો સમય-દર તેના પર લાગતા ટૉર્ક જેટલો હોય છે.
જે ચાકગતિ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ છે, જે રેખીય ગતિ માટેના ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ \(\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}\) ની પરિભ્રમણીય સમતુલ્યતાને વ્યક્ત કરે છે.

પ્રશ્ન 33.
n કણોના અસતત કે સતત વિતરણ વડે બનેલા (કણોના) તંત્ર માટે કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો સમય-દર પરિણામી બાહ્ય ટૉર્ક જેટલો હોય છે તેમ સાબિત કરો.
અથવા
કણોના કોઈ પણ તંત્ર માટે \(\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{\tau}_{\text {ext }}\)
જ્યાં, \(\vec{L}\) = કણોના તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન
\(\vec{\tau}_{\text {ext }}\) = કણોના તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટૉર્ક
ઉત્તર:
આપેલ ઉગમબિંદુને (સંદર્ભબિંદુને) અનુલક્ષીને કણોના તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન મેળવવા માટે તંત્રના પ્રત્યેક કણના તે જ ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનોનો સદિશ સરવાળો કરવો પડે.
તેથી n ણોના તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન,
\(\vec{L}=\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\ldots+\vec{l}_{\mathrm{n}}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}\) ……………. (7.54)
હવે, આપેલ ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને i મા કણનો સ્થાનસદિશ

\(\overrightarrow{r_i}\) અને i મા ણનું રેખીય વેગમાન \(\overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}=m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}\) (જ્યાં, m_i = iમા કણનું દળ અને \(\overrightarrow{υ_i}\) = iમા કણનો રેખીય વેગ) હોય, તો i મા કણનું રેખીય વેગમાન નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય :
\(\overrightarrow{l_i}=\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}} \times \overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}\)
∴ તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન,
\(\vec{L}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}=\sum_{i=1}^n\left(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}} \times \overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}\right)\) ………….. (7.55)
સમીકરણ (7.54)નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d \vec{L}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}\right)\) = \(\sum_{i=1}^n\left(\frac{d \overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}}{d t}\right)=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\tau_{\mathrm{i}}}\) …………… (7.56)
અહીં, \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}} \times \overrightarrow{F_{\mathrm{i}}}\) એ i મા કણ ૫૨ લાગતું ટૉર્ક છે.
જ્યાં, \(\overrightarrow{r_i}\) = આપેલ ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને i મા ણનો સ્થાનસદિશ અને \(\overrightarrow{F_{\mathrm{i}}}\) = i મા કણ પર લાગતાં બાહ્ય બળો \(\vec{F}_1 \text { ext }\) અને તંત્રના બીજા કણો દ્વારા i મા કણ પર લાગતાં આંતરિક બળો \(\vec{F}_1 \text { int }\) નો દિશ સરવાળો છે.

હવે, ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ તંત્રના કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતાં બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે અને આ બળો બંને કણોને જોડતી રેખા પર હોવાથી, પ્રત્યેક ક્રિયા-પ્રતિક્રિયા યુગ્મ-બળોની જોડથી પિરણમતું ટૉર્ક શૂન્ય હોય છે. આમ, તંત્ર પર લાગતાં કુલ ટૉર્કમાં આંતરિક બળોનો ફાળો શૂન્ય હોય છે. તેથી \(\overrightarrow{\tau_{\text {int }}}\) = 0. આથી કુલ ટૉર્ક \(\vec{\tau}=\vec{\tau}_{\mathrm{ext}}\)
∴ સમીકરણ (7.56) પરથી,
\(\frac{d \vec{L}}{d t}=\overrightarrow{\tau_{\mathrm{ext}}}\) …………….. (7.59)
આમ, કોઈ એક બિંદુની (ઉગમબિંદુની) સાપેક્ષે કણોના કોઈ એક તંત્રના કુલ કોણીય વેગમાનનો સમય સાથે ફેરફારનો દર એ આ જ બિંદુની સાપેક્ષે તંત્ર પર લાગતાં બાહ્ય ટૉર્કના (દિશ) સરવાળા બરાબર હોય છે.

ઉપરોક્ત સમીકરણ (7.59) રેખીય ગતિના સમીકરણ \(\frac{d \vec{P}}{d t}=\overrightarrow{F_{e x t}}\) સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.
મહત્ત્વની નોંધ : સમીકરણ (7.59) એ કણોના કોઈ પણ તંત્રને લાગુ પડે છે, એટલે કે તે દૃઢ પદાર્થ અથવા વિભિન્ન પ્રકારની આંતરિક ગતિ ધરાવતાં સ્વતંત્ર કણોનું તંત્ર હોય, દરેકને લાગુ પડે છે.

પ્રશ્ન 34.
કણોના તંત્ર માટે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
કણોના તંત્ર માટેના સમીકરણ \(\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{\tau}_{\mathrm{ext}}\) પરથી જો \(\vec{\tau}_{\mathrm{ext}}\) = 0 હોય, તો \(\frac{d \vec{L}}{d t}\) = 0
∴ \(\vec{L}\) = અચળ
આમ, “જો કણોના તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય ટૉર્ક શૂન્ય હોય, તો આ તંત્રના કુલ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે, એટલે કે તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.”

• કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{L}\) સદિશ રાશિ હોવાથી તેને ત્રિ-પરિમાણમાં તેના ઘટકોના સ્વરૂપમાં લખતાં,
  \(\vec{L}\) = L_xî + L_yĵ + L_zk̂
  અહીં, L_x = K₁, L_y = K₂ અને L_z = K₃ લખી શકાય.
  જ્યાં, K₁, K₂ અને K₃ અચળાંકો છે તથા L_x, L_y અને L_z એ કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{L}\) ના અનુક્રમે, X, Y અને Z અક્ષો પરના ઘટકો છે.
• અહીં તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત (અચળ) હોવાથી આ ત્રણેય ઘટકો (L_x, L_y અને L_z) પણ સંરક્ષિત (અચળ) છે.
• ચાકગતિમાં કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ એ રેખીય ગતિમાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણને સમતુલ્ય છે.

પ્રશ્ન 35.
દઢ પદાર્થનું
1. સ્થાનાંતરીય સંતુલન
2. ચાકગતીય સંતુલન
3. યાંત્રિક સંતુલન સમજાવો.
ઉત્તર:
બાહ્ય બળો દઢ પદાર્થની ગતિની સ્થાનાંતર અવસ્થામાં ફેરફાર કરી શકે છે અને તેથી \(\vec{F}_{\mathrm{ext}}=\frac{d \vec{p}}{d t}\) સૂત્ર અનુસાર તેમનું કુલ રેખીય વેગમાન બદલે છે.
જો પદાર્થ પરનું કુલ ટૉર્ક શૂન્ય ન થાય તો આવા ટૉર્ક દૃઢ પદાર્થની ચાકગતિની અવસ્થામાં પરિવર્તન લાવે છે અને તેથી \(\vec{\tau}_{\mathrm{ext}}=\frac{d \vec{L}}{d \vec{t}}\) સૂત્ર અનુસાર પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન બદલે છે.
1. સ્થાનાંતરીય સંતુલન ઃ જો દૃઢ પદાર્થ પરનું કુલ બળ અથવા તેના પર લાગતાં બધાં બળોનો સિદેશ સરવાળો શૂન્ય હોય, તો દૃઢ પદાર્થનું કુલ રેખીય વેગમાન સમય સાથે બદલાતું નથી. આવી પરિસ્થિતિમાં દૃઢ પદાર્થ સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય. તેથી સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટેની શરત નીચે મુજબ થાય :
કુલ બળ \(\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\ldots+\vec{F}_{\mathrm{n}}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{0}\) …………… (7.60)
ઉપરોક્ત સદિશ સમીકરણને તેના ઘટકોના પદમાં નીચે મુજબ અદિશ સમીકરણો સ્વરૂપે લખી શકાય :
\(\sum_{i=1}^n F_{\mathrm{ix}}\) = 0 \(\sum_{i=1}^n F_{\mathrm{iy}}\) = 0 અને \(\sum_{i=1}^n F_{\mathrm{iz}}\) = 0 ………………….. (7.61)
જ્યાં, F_ix, F_iy અને F_iz એ બળ \(\overrightarrow{F_{\mathrm{i}}}\) ના અનુક્રમે X, Y અને Z અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે.

2. ચાકગતીય સંતુલન : જો દઢ પદાર્થ પરનું કુલ ટૉર્ક અથવા તેના પર લાગતાં બધાં ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય, તો દૃઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન સમય સાથે બદલાતું નથી. આવી પરિસ્થિતિમાં દૃઢ પદાર્થ ચાકગતીય સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય. તેથી ચાકગતીય સંતુલન માટેની શરત નીચે મુજબ થાય :
કુલ ટૉર્ક \(\vec{\tau}=\overrightarrow{\tau_1}+\overrightarrow{\tau_2}+\ldots+\overrightarrow{\tau_{\mathrm{n}}}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\tau_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{0}\) ………………. (7.62)
ઉપરોક્ત સદિશ સમીકરણને તેના ઘટકોના પદમાં નીચે મુજબ અદિશ સમીકરણો સ્વરૂપે લખી શકાય :
\(\sum_{i=1}^n\) τ_ix = 0, \(\sum_{i=1}^n\) τ_iy = 0 અને \(\sum_{i=1}^n\) τ_iz = 0 …………….. (7.63)
જ્યાં, τ_ix, τ_iy અને τ_iz એ ટૉર્ક ના અનુક્રમે X, Y અને Z અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે.

3. યાંત્રિક સંતુલન : જો દૃઢ પદાર્થના રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાન બંને સમય સાથે બદલાતાં ન હોય, એટલે કે દૃઢ પદાર્થ રેખીય પ્રવેગ અને કોણીય પ્રવેગ ધરાવતો ન હોય, તો તે દૃઢ પદાર્થ યાંત્રિક સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
આમ, ત્રિ-પરિમાણમાં પદાર્થ પરનું કુલ બળ અને કુલ ટૉર્ક શૂન્ય થાય એ યાંત્રિક સંતુલનની શરત છે.
સંક્ષિપ્તમાં યાંત્રિક સંતુલનની શરત :
કુલ બળ \(\vec{F}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{0}\) અને
કુલ ટૉર્ક \(\vec{\tau}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{\tau_1}=\overrightarrow{0}\)

ખરેખર સમીકરણ (7.61) અને (7.63) એ કોઈ એક દઢ પદાર્થના યાંત્રિક સંતુલન માટેની જરૂરી એવી છ સ્વતંત્ર (એકબીજા પર નિર્ભર ન હોય તેવી) શરતો આપે છે.

ઘણી સમસ્યાઓમાં, જ્યારે દઢ પદાર્થ પર લાગતાં તમામ (ઘણાં) બળો એક જ સમતલમાં હોય છે, ત્યારે દઢ પદાર્થના યાંત્રિક સંતુલન માટે માત્ર ત્રણ જ શરતો સંતુષ્ટ થવી જોઈએ. આમાંની બે શરતો સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટેની અને એક શરત ચાકગતીય સંતુલન માટેની હોવી જોઈએ.

અહીં, સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે સમતલમાં કોઈ પણ બે લંબ- અક્ષોને અનુલક્ષીને બળોના ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય જ હોવો જોઈએ તથા ચાકગતીય સંતુલન માટે આ બળોના સમતલને લંબ કોઈ પણ અક્ષની સાપેક્ષે ટૉર્કના ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય જ હોવો જોઈએ.

અગત્યની નોંધ : ચાકગતિની કોઈ વિચારણા એક કણને લાગુ પડતી નથી. તેથી માત્ર સ્થાનાંતરણ સંતુલન માટેની શરતો જ એક કણને લાગુ પડે છે. ટૂંકમાં, એક કણના સંતુલન માટે તેના પર લાગતાં તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં, તમામ બળો એક જ કણ પર કાર્યરત હોવાથી તેઓ એકબિંદુગામી હોવાં જોઈએ.

પ્રશ્ન 36.
દઢ પદાર્થનું આંશિક સંતુલન કોને કહેવાય છે? તેના વિવિધ કિસ્સાઓ આકૃતિઓ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:
જ્યારે કોઈ દૃઢ પદાર્થ સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં હોય અને ચાકગતીય સંતુલનમાં ન હોય અથવા તે ચાકગતીય સંતુલનમાં હોય અને સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં ન હોય, તો તે દૃઢ પદાર્થ આંશિક સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
કિસ્સો 1 : પદાર્થ ચાકગતીય સંતુલનમાં છે, પણ તે સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં નથી.

• આકૃતિ 7.29માં દર્શાવ્યા મુજબ એક હલકા (અવગણ્ય દળવાળા) સળિયા AB ના બે છેડાઓ A અને B ૫૨ સમાન મૂલ્યનાં બે સમાંતર બળો સળિયાને લંબરૂપે લગાડવામાં આવેલ છે.
• C એ સળિયા ABનું મધ્યબિંદુ છે. તેથી CA = CB = a.
• હવે, A અને B પર બંને બળોની ચાકમાત્રાનું માન (મૂલ્ય) aF જેટલું સમાન છે, પરંતુ તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ છે. તેથી આ સળિયા પરની બળની કુલ ચાકમાત્રા શૂન્ય થશે. તેથી સળિયો ચાકગતીય સંતુલનમાં છે, પરંતુ સળિયા પરનું પરિણામી બળ = F + F = 2F છે, જે શૂન્ય નથી. તેથી સળિયો સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં નથી.
• આમ, અહીં સળિયાના ચાકગતીય સંતુલન માટે Σ\(\vec{\tau}=\overrightarrow{0}\) અને તે સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં ન હોવાથી Σ\(\vec{F}\) ≠ \(\vec{0}\) થશે. કિસ્સો 2 : પદાર્થ સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે, પણ તે ચાકગતીય સંતુલનમાં નથી.

• આકૃતિ 7.30માં દર્શાવ્યા મુજબ એક હલકા (અવગણ્ય દળવાળા) સળિયા AB ના બે છેડાઓ A અને B પર સમાન મૂલ્યના, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાંનાં બે બળો સળિયાને લંબરૂપે લગાડવામાં આવેલ છે.
• અહીં સળિયા પરનાં બે બળો સમાન મૂલ્યનાં અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી સળિયા પરનું કુલ બળ = F − F = 0 થશે. તેથી સળિયો સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે, પરંતુ સળિયાના છેડા A અને B પર લાગતાં સમાન મૂલ્યનાં બળોથી રચાતી બળોની ચાકમાત્રા (ટૉર્ક) સમાન છે, પણ તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં નથી, પણ સમાન દિશામાં કાર્યરત છે. તેથી સળિયા પરનું કુલ ટૉર્ક શૂન્ય નથી. તેથી તે ચાકગતીય સંતુલનમાં નથી અને તે વિષમઘડી દિશામાં ચાકગતિ કરે છે.
  જો સળિયો તેના મધ્યબિંદુ C આગળથી સ્થિર હોય, તો તે C બિંદુમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને શુદ્ધ ચાકગતિ (એટલે કે સ્થાનાંતરણ વગરની ચાકગતિ) કરે છે.
• આમ, અહીં સળિયાના સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે Σ\(\vec{F}\) = \(\vec{0}\) અને તે ચાકગતીય સંતુલનમાં ન હોવાથી Σ\(\vec{\tau}\) ≠ \(\vec{0}\) થશે.

પ્રશ્ન 37.
બળયુગ્મ એટલે શું? તેનાં ઉદાહરણો જણાવી સમજાવો.
ઉત્તર:
જુદી જુદી કાર્યરેખા ધરાવતા બે સમાન મૂલ્યનાં અને વિરુદ્ધ દિશામાંનાં બળોની જોડને બળયુગ્મ કહે છે.
બળયુગ્મ સ્થાનાંતરીય ગતિ વિનાની ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે. ઉદાહરણો :
(1)

આકૃતિ 7.31માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જ્યારે આપણે કોઈ બૉટલના ઢાંકણને ઘુમાવીને ખોલીએ છીએ, ત્યારે આપણી આંગળીઓ ઢાંકણાં પર એક બળયુગ્મ લગાડે છે પરિણામે ઢાંકણું સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં રહે છે પણ ચાકગતીય સંતુલનમાં રહેતું નથી. તેથી ઢાંકણું ચાકગતિ કરે છે અને ખૂલે છે.

(2)

આકૃતિ 7.32માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હોકાયંત્રની સોય પર બળયુગ્મ લાગે છે.

પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ચુંબકીય સોયના ઉત્તર અને દક્ષિણ ધ્રુવો પર સમાન મૂલ્યનાં બળો લગાડે છે. સોયના ઉત્તર ધ્રુવ પર લાગતું બળ પૃથ્વીની ઉત્તર દિશા તરફ અને દક્ષિણ ધ્રુવ પર લાગતું બળ પૃથ્વીની દક્ષિણ દિશા તરફ હોય છે.

સોય જ્યારે પૃથ્વીની ઉત્તર-દક્ષિણ દિશાનો નિર્દેશ કરે છે, ત્યારે આ બંને બળોની ક્રિયારેખા (કાર્યરેખા) એક જ હોય છે, પણ તે સિવાયની દિશા માટે સોયના બંને છેડે (ધ્રુવો પર) લાગતાં બળોની ક્રિયારેખા (કાર્યરેખા) એક જ હોતી નથી તેથી પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે સોય પર લાગતાં બળો સમાન મૂલ્યનાં અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી સોય પર બળયુગ્મ લાગે છે, પરિણામે સોય સ્થાનાંતરીય ગતિ સિવાયની ચાકતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 38.
ચાકમાત્રાનો સિદ્ધાંત (Principle of moments) આકૃતિ દોરીને સમજાવો અને યાંત્રિક લાભ (Mechanical advantage) માટેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આદર્શ ઉચ્ચાલન : આદર્શ ઉચ્ચાલન (લિવર) એ મૂળભૂત રીતે એક હલકો (અવગણ્ય દળ ધરાવતો) એવો સળિયો (દંડ) છે, જેને તેની લંબાઈ પરના એક બિંદુએથી ટેકવેલ (એટલે કે કિલકિત કરેલ (Pivoted)) હોય છે.

જે બિંદુ આગળ તેને ટેકવેલ હોય તે બિંદુને આધાર અથવા આધારબિંદુ (Fulcrum) કહે છે.

ઉદાહરણ : (1) બાળકોના રમતના મેદાનમાંનો ચીંચવો (See- saw) અને (2) સાદી તુલાનો દંડ.

ઉચ્ચાલન એ એક યાંત્રિક સંતુલન ધરાવતું તંત્ર છે.

આકૃતિ 7.33માં દર્શાવ્યા મુજબ દંડને લંબરૂપે આધારબિંદુ ‘O’થી અનુક્રમે d₁ અને d₂ જેટલા અંતરે બે અલગ અલગ બળો \(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\) લાગે છે.

આથી આધારબિંદુ આગળ લગાડેલા ટેકા વડે, દંડ પર પ્રતિક્રિયા બળ (Reaction) \(\vec{R}\) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ \(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\) ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.

હવે, દંડના (સળિયાના) સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટેની શરત
Σ\(\vec{F}\) = 0 પરથી,
R – F₁ – F₂ = 0 …….. (7.64) થવું જોઈએ.
દંડના (સળિયાના) ચાકગતીય સંતુલન માટેની શરત Σ\(\vec{\tau}\) = 0 પરથી આધારબિંદુ ‘O’ની સાપેક્ષે દરેક બળથી મળતી ચાકમાત્રા(જે
ખરેખર ટૉર્ક τ છે)નો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
∴ d₁F₁ – d₂F₂ = 0 …………….. (7.65)
સામાન્ય રીતે જે બળની ચાકમાત્રા (ટૉર્ક) પદાર્થને (અહીં સળિયાને) વિષમઘડી દિશામાં ચાકગતિ કરાવવાનો પ્રયત્ન કરે તેને ધન અને સમઘડી દિશામાં ચાકગતિ કરાવવાનો પ્રયત્ન કરે તેને ઋણ લેવામાં આવે છે. અહીં, Rની આધારબિંદુ ‘O’ની સાપેક્ષે ચાકમાત્રા શૂન્ય થશે, કારણ કે તે આધારબિંદુએ લાગે છે.

ઉચ્ચાલનમાં બળ F₁ એ સામાન્યતઃ કંઈક વજન (ભાર) હોય છે, જેને ઊંચકવાનું હોય છે અને બળ F₂ એ ભારને ઊંચકવા માટે લાગુ પાડવામાં આવતો પ્રયાસ હોય છે.

સમીકરણ (7.65) પરથી,
d₁F₁ = d₂F₂ ……………. (7.66)
એટલે કે, (ભારભુજા) × (ભાર) = (પ્રયાસભુજા) × (પ્રયાસ) …………… (7.67)
અહીં ભારભુજા એટલે આધારબિંદુ અને ભાર વચ્ચેનું અંતર તથા પ્રયાસભુજા એટલે આધારબિંદુ અને પ્રયાસ વચ્ચેનું અંતર.

આ સમીકરણ(7.66) અથવા (7.67)ને ઉચ્ચાલન માટેનો ચાકમાત્રાનો સિદ્ધાંત (Principle of moments) કહે છે.
“ઉચ્ચાલનમાં ચાકગતીય સંતુલન (સ્થાનાંતરીય નહીં) વખતે આધારબિંદુની સાપેક્ષે, બળની ચાકમાત્રાઓનો બેજિક સરવાળો શૂન્ય થાય છે.’’

અહીં \(\frac{F_1}{F_2}\) ગુણોત્તરને યાંત્રિક લાભ-M. A. (Mechanical Advantage) કહે છે.
∴ M.A. = \(\frac{F_1}{F_2}=\frac{d_2}{d_1}\) ……………….. (7.68)

આમ, પ્રયાસભુજાની લંબાઈ d₂, ભારભુજાની લંબાઈ d₁ કરતાં વધારે રાખવાથી યાંત્રિક લાભ(M.A.)નું મૂલ્ય 1 કરતાં મોટું મળી શકે છે, એટલે કે ઓછા પ્રયાસ બળ વડે મોટા ભારને ઊંચકી શકાય છે.
નોંધ : સમાંતર બળો \(\vec{F}_1\) અને \(\vec{F}_2\) સળિયાને (અર્થાત્ ઉચ્ચાલનને) લંબરૂપે ન લાગે તોપણ અને સળિયાના છેડે અમુક કોણે લાગે. ત્યારે પણ ચાકમાત્રાનો સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે.

પ્રશ્ન 39.
ગુરુત્વકેન્દ્ર એટલે શું? સમજાવો. અનિયમિત આકારના કાર્ડબોર્ડનું ગુરુત્વકેન્દ્ર નક્કી કરવાની બે જુદી જુદી રીતો સમજાવો.
ઉત્તર:
પદાર્થનું ગુરુત્વકેન્દ્ર (Centre of Gravity – CG) એ પદાર્થનું એક એવું બિંદુ છે, કે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર વજન (અર્થાત્ બળ) લાગે છે અને પદાર્થ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ટૉર્ક શૂન્ય હોય છે. અનિયમિત આકારના કાર્ડબોર્ડનું ગુરુત્વકેન્દ્ર નક્કી કરવાની બે રીતો :
(1)

• આકૃતિ 7.34માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક અનિયમિત આકારનું પૂંઠું (કાર્ડબોર્ડ) લો તથા પેન્સિલ જેવી પાતળી અણીવાળી એક વસ્તુ લો.
• કેટલાક પ્રયત્નો દ્વારા, કાર્ડબોર્ડ ૫૨ એક બિંદુ G એવું શોધી કાઢો કે, જ્યાં કાર્ડબોર્ડ પેન્સિલની અણી પર સંતુલિત રહી શકે (કાર્ડબોર્ડ આ સ્થિતિમાં સમક્ષિતિજ રહી શકે.)
• આ સંતુલનનું બિંદુ G એ કાર્ડબોર્ડનું ગુરુત્વકેન્દ્ર છે.
• અહીં, પેન્સિલની અણી કાર્ડબોર્ડ ૫૨ ઊર્ધ્વદિશામાં ઉપર તરફ બળ લગાડે છે, જેના કારણે કાર્ડબોર્ડ યાંત્રિક સંતુલનમાં છે.
• પેન્સિલની અણી દ્વા૨ા કાર્ડબોર્ડ પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ R, કાર્ડબોર્ડ પર લાગતાં પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (અર્થાત્ કાર્ડબોર્ડનું કુલ વજન) Mg જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી કાર્ડબોર્ડ સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે.
• અહીં, કાર્ડબોર્ડ ચાકગતીય સંતુલનમાં પણ છે, કારણ કે જો તે આમ ન હોય, તો અસંતુલિત ટૉર્કને કારણે તે એક તરફ નમી અને પડી જશે.
• કાર્ડબોર્ડનું CG એવી રીતે શોધવામાં (નિર્ધારિત કરવામાં) આવે છે કે જેથી, તેના જુદા જુદા કણો પર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે લાગતાં બળો m₁\(\vec{g}\), m₂\(\vec{g}\), ……….. વગેરેને કારણે તેના પરનું કુલ ટૉર્ક શૂન્ય થાય છે.
• જો \(\overrightarrow{r_i}\) એ વિસ્તરિત પદાર્થના (અહીં કાર્ડબોર્ડના) i મા કણનો, તેના CGની સાપેક્ષે સ્થાનસદિશ હોય, તો CGની સાપેક્ષે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળના કારણે 1મા કણ પર લાગતું ટૉર્ક \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{r_i} \times m_{\mathrm{i}} \vec{g}\) થશે.
• પણ CGને અનુલક્ષીને કાર્ડબોર્ડ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ટૉર્ક શૂન્ય છે.
  ∴ \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{g}}}=\Sigma \overrightarrow{\tau_{\mathrm{i}}}=\Sigma \overrightarrow{r_{\mathrm{i}}} \times m_{\mathrm{i}} \vec{g}=\overrightarrow{0}\) …………… (7.69)
• હવે, \(\vec{g}\) એ કાર્ડબોર્ડના બધા કણો માટે સમાન છે, તેથી સરવાળામાંથી તે બહાર આવે અને પરિણામે ઉપરોક્ત સમીકરણ (7.69) નીચે મુજબ લખી શકાય.
  \(\vec{g} \times \Sigma m_1 \overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{0}\) …………. (7.70)
• પરંતુ \(\vec{g}\) એ શૂન્ય નથી.
  ∴ \(\Sigma m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{r_i}=\overrightarrow{0}\) …………..(7.71)
  જ્યાં, \(\overrightarrow{r_i}\) = કાર્ડબોર્ડના CGની સાપેક્ષે તેના i મા કણનો સ્થાનસદિશ છે.
• હવે, અવકાશમાં (ત્રિ-પરિમાણમાં) આપેલ પદાર્થના (અહીં કાર્ડબોર્ડના) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) Cનો સ્થાનસદિશ \(\vec{R}=\frac{\Sigma m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}}{M}\) છે.
  જ્યાં, \(\overrightarrow{r_i}\) = i માકણનો યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે સ્થાનસદિશ છે.
• સમીકરણ (7.71)નો ઉપયોગ કરતાં, \(\vec{R}\) = \(\vec{0}\) મળે.
  આમ, યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે પદાર્થના (અહીં કાર્ડબોર્ડના) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ શૂન્ય મળે છે. તેથી પદાર્થનું (અહીં કાર્ડબોર્ડનું) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર જ છે.
• ટૂંકમાં, અહીં કાર્ડબોર્ડનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પર સંપાત થાય છે. અહીં પદાર્થ (કાર્ડબોર્ડ) નાનો છે. તેથી પદાર્થના એક બિંદુથી બીજા બિંદુ પર જતાં \(\vec{g}\) બદલાતો નથી.
• નિયમિત ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાં કે ગુરુત્વ મુક્ત અવકાશમાં પદાર્થનું ગુરુત્વકેન્દ્ર અને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર એક જ હોય છે.

(2)

• આકૃતિ 7.35માં કાર્ડબોર્ડ જેવા જ અનિયમિત આકારના પદાર્થનું CG શોધવા માટેની ગોઠવણ દર્શાવી છે.
• જો કાર્ડબોર્ડને A જેવા કોઈ એક બિંદુએથી દૃઢ આધાર પરથી લટકાવવામાં આવે, તો Aમાંથી પસાર થતી ઊર્ધ્વરેખા CGમાંથી પસાર થાય છે. આ રેખાને AA₁ વડે દર્શાવી છે.
• ત્યારબાદ બીજા B અને C જેવા બિંદુએથી કાર્ડબોર્ડને લટકાવીએ તો B અને Cમાંથી પસાર થતી ઊર્ધ્વરેખાઓ અનુક્રમે BB₁ અને CC₁ થાય છે.
• આ બધી (ત્રણેય) ઊર્ધ્વરેખાઓનું છેદનબિંદુ CG આપે છે.
• અહીં, પદાર્થ (કાર્ડબોર્ડ) પૂરતો નાનો હોવાથી તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પણ આ રીતે શોધી શકાય છે અને તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તથા ગુરુત્વકેન્દ્ર એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
• જો પદાર્થ એટલો બધો વિસ્તરિત હોય કે જેથી પદાર્થના એક ભાગથી બીજા ભાગ પર જતાં \(\vec{g}\) બદલાતો હોય, તો પછી ગુરુત્વકેન્દ્ર અને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર એક (સંપાતી) નથી.
  મૂળભૂત રીતે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર અને ગુરુત્વકેન્દ્ર અલગ અલગ ખ્યાલો છે. દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે કોઈ સંબંધ નથી, તે ફક્ત પદાર્થના દળ-વિતરણ પર જ આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 40.
દઢ પદાર્થની ચાકગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા દૃઢ પદાર્થના બધા કણો વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા હોય છે. સ્થિર અક્ષથી r_i જેટલા લંબઅંતરે આવેલ કણનો, આપેલ ક્ષણે રેખીય વેગ υ_i = r_iω હોય છે.

• આ કણની ગતિ-ઊર્જા,
  K_i = \(\frac{1}{2}\) m_iυ_i²
  = \(\frac{1}{2}\) m_i(r_iω)²
  જ્યાં, m_i = સ્થિર અક્ષથી r_i જેટલા લંબઅંતરે આવેલ કણનું દળ
  i = 1, 2, …………., n એ કણોની કુલ સંખ્યા છે.
• હવે, દૃઢ પદાર્થની કુલ ગતિ-ઊર્જા K એ દરેક કણની ગતિ-ઊર્જાઓનો સરવાળો છે.
  ∴ K = \(\sum_{i=1}^n\) K_i \(\frac{1}{2}\) \(\sum_{i=1}^n\) m_i r_i²ω²
  ω એ દૃઢ પદાર્થના બધા કણો માટે સમાન હોવાથી તેને સરવાળાની બહાર લેતાં,
  K = \(\frac{1}{2}\)ω² (\(\sum_{i=1}^n\)(m_ir_i²))
• હવે, \(\sum_{i=1}^n\)(m_ir_i² = I = સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને દૃઢ પદાર્થની
  જડત્વની ચાકમાત્રા છે. …………. (7.72)
  ∴ K = \(\frac{1}{2}\)Iω² ……………. (7.73)
• અહીં, પ્રાચલ I એ કોણીય વેગના માનથી સ્વતંત્ર છે. તે દૃઢ પદાર્થની અને જે અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકતિ કરે છે તેની એક લાક્ષણિકતા છે.

પ્રશ્ન 41.
ચાકગતિ કરતા પદાર્થ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા એટલે શું? તેનું સૂત્ર, એકમ અને પારિમાણિક સૂત્ર આપો.
અથવા
ટૂંક નોંધ લખો : જડત્વની ચાકમાત્રા
ઉત્તર:
જડત્વની ચાકમાત્રા : જો આપેલ દૃઢ પદાર્થના કણોના દ્રવ્યમાન અનુક્રમે m₁, m₂, m₃, …………, m_n હોય અને આ કણોના પરિભ્રમણાક્ષથી લંબઅંતરો અનુક્રમે r₁, r₂, r₃, …………, r_n હોય, તો
m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + ….. m_nr_n² = \(\sum_{i=1}^n\) m_ir_i² ને આપેલ પરિભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને તે દૃઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા
(I) કહે છે.
અર્થાત્ m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + ….. m_nr_n²
∴ I = \(\sum_{i=1}^n\) m_ir_i²
જડત્વની ચાકમાત્રાની વ્યાખ્યાઃ “કોઈ નિયત ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને દૃઢ પદાર્થના પ્રત્યેક કણનાં દળ અને તેના ભ્રમણાક્ષથી લંબઅંતરોના વર્ગના ગુણાકારોના સરવાળાને તે દૃઢ પદાર્થની તે અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કહે છે.”
સમીકરણ K = \(\frac{1}{2}\)Iω² એ રેખીય ગતિના સમીકરણ K = \(\frac{1}{2}\)mυ² જેવું, સમીકરણ \(\vec{L}=I \vec{\omega}\) એ રેખીય ગતિના સમીકરણ
\(\vec{P}=M \vec{v}\) જેવું તથા સમીકરણ \(\vec{\tau}=I \vec{\alpha}\) એ રેખીય ગતિના સમીકરણ \(\vec{F}=M \vec{a}\) જેવું છે.

• આ સામ્યતાના સંદર્ભમાં કહી શકાય કે, રેખીય ગતિમાં જે ભાગ દળ ભજવે છે તેવો જ ભાગ ચાકગતિમાં જડત્વની ચાકમાત્રા ભજવે છે.
• પદાર્થનું દળ એ તેની રેખીય ગતિની સ્થિતિમાં ફેરફારને અવરોધે છે. તેથી તે તેની રેખીય ગતિમાં જડત્વનું માપ છે. તેવી જ રીતે ચાકગતિમાં આપેલ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા તેની ચાકગતિમાં ફેરફારનો પ્રતિકાર કરે છે, તેથી તેને પદાર્થની ચાકગતીય જડત્વના માપ તરીકે ગણવામાં આવે છે; પદાર્થના જુદા જુદા ભાગો અક્ષથી વિવિધ અંતરો પર કેવી રીતે વહેંચાયેલા છે તેનું એ માપ છે.
• પદાર્થના દ્રવ્યમાનથી વિપરીત, જડત્વની ચાકમાત્રા એ ચોક્કસ
  જથ્થો નથી, પણ સમગ્ર પદાર્થના સંદર્ભમાં પરિભ્રમણ અક્ષના નમન અને સ્થાન પર આધારિત છે.
• દઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થનાં દળ, તેના આકાર અને કદ, ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને દ્રવ્યમાનનું વિતરણ તથા પરિભ્રમણ અક્ષની સ્થિતિ અને નમન પર આધાર રાખે છે.
• આમ, દળ એ રેખીય ગતિ માટે જડત્વ છે અને જડત્વની ચાકમાત્રા એ ચાકગતિ માટે જડત્વ છે.
• જડત્વની ચાકમાત્રાનો SI પદ્ધતિમાં એકમ kgm² છે.
• જડત્વની ચાકમાત્રાનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T⁰ છે.
• જડત્વની ચાકમાત્રા એ અદિશ રાશિ છે.

પ્રશ્ન 42.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા સમજાવો અને તેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
કોઈ એક ભ્રમણાક્ષના સંદર્ભમાં ચાકગતિ કરતાં દૃઢ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેવી રીતે વિતરણ પામેલ છે, તેના એક માપ તરીકે એક પ્રાચલ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આપેલ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાને કોઈ અક્ષથી એક એવા દળબિંદુના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, કે જેનું દ્રવ્યમાન એ સમગ્ર પદાર્થના દ્રવ્યમાન જેટલું જ હોય છે અને જેની જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થની તે અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી હોય છે.

ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા એ જડત્વની ચાકમાત્રા અને પદાર્થના કુલ દ્રવ્યમાન સાથે સંબંધિત છે.

ધારો કે, M દળ ધરાવતા તથા n કણોના બનેલા એક દઢ પદાર્થના દરેક કણનું દળ m છે. તેથી દૃઢ પદાર્થનું કુલ દળ M = mn.

આકૃતિ 7.36માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે n કણોના OZ પરિભ્રમણ- અક્ષથી લંબઅંતરો અનુક્રમે r₁, r₂, ……, r_n છે, તો આ દૃઢ પદાર્થની OZ પરિભ્રમણ-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = mr₁² + mr₂² + …….. + mr_n²
∴ I = m (r₁² + r₂² + r_n²
ઉપરના સમીકરણની જમણી બાજુને n વડે ગુણતાં અને ભાગતાં,

આમ, સમીકરણ પરથી k² એ આપેલ ભ્રમણાક્ષ OZથી દૃઢ પદાર્થના કણોનાં લંબઅંતરોના વર્ગોનું સરેરાશ (Mean) દર્શાવે છે.
k ને આપેલ ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને દૃઢ પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા કહે છે.
k ની વ્યાખ્યા : આપેલ ભ્રમણાક્ષથી દૃઢ પદાર્થના કણોનાં લંબઅંતરોના વર્ગોના સરેરાશ મૂલ્યના વર્ગમૂળને તે દૃઢ પદાર્થની તે ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા કહે છે.
“ચાકગતિ કરતા દૃઢ પદાર્થની પરિભ્રમણાક્ષથી જે અંતરે આવેલા બિંદુએ પદાર્થનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રિત થયેલું કલ્પતા તેની જડત્વની ચાકમાત્રા આપેલા દ્રવ્યમાન વિતરણ માટે, મૂળ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ થાય તે અંતરને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા કહે છે.’’
અથવા
“જો આપેલા પદાર્થનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન એવા વર્તુળના પરિઘ પર વિતરિત થયેલું કલ્પવામાં આવે કે જેથી તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને મળતી વર્તુળની જડત્વની ચાકમાત્રા, મૂળ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી થાય, તો તે વર્તુળની ત્રિજ્યાને પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા કહે છે.”

કોઈ પણ પદાર્થ માટે તેનું દ્રવ્યમાન અચળ રહે છે પણ તેની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય (1) પરિભ્રમણાક્ષના સ્થાન ૫૨ તથા (2) તે પરિભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થના દ્રવ્યમાનના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.

આમ, કોઈ એક પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનાં મૂલ્યો જુદી જુદી પરિભ્રમણ-અક્ષને અનુલક્ષીને જુદાં જુદાં આવે છે.

ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો SI પદ્ધતિમાં એકમ metre (m) અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L¹T⁰ છે.

પ્રશ્ન 43.
ચાકગતિ-ઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, પોતાના સમતલમાં કેન્દ્રની ફરતે ω જેટલા કોણીય વેગથી ચાકગતિ કરતી R ત્રિજ્યા અને M દળવાળી પાતળી રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
R ત્રિજ્યા અને M દળવાળી એક પાતળી રિંગ તેના સમતલમાં, તેના ભૌમિતિક કેન્દ્રની ફરતે ω જેટલા કોણીય વેગથી પરિભ્રમણ (ચાકગતિ) કરે છે.
આ રિંગનો દરેક દળખંડ (dm દળ ધરાવતો), અક્ષથી R અંતરે છે અને દરેક દળખંડ υ = Rω જેટલી રેખીય ઝડપ સાથે વર્તુળ ગતિ કરે છે, તેથી દળખંડની ગતિ-ઊર્જા,
dK = \(\frac{1}{2}\)(dm) υ²
= \(\frac{1}{2}\)(dm)R²ω²
∴ રિંગની કુલ ગતિ-ઊર્જા K = ∫ dK
= \(\frac{1}{2}\)R²ω²∫ dm
= \(\frac{1}{2}\)MR²ω² ……… (7.77)
આ ઉપરોક્ત સમીકરણને ચાકગતિ-ઊર્જાના સૂત્ર K = \(\frac{1}{2}\) Iω² સાથે સરખાવતાં,
રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા I = MR² ……………. (7.78)

પ્રશ્ન 44.
M દળ ધરાવતી તથા R ત્રિજ્યા ધરાવતી નિયમિત રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને MR² હોય છે તેમ સાબિત કરો.
ઉકેલ:

આકૃતિ 7.37માં દર્શાવેલી M દ્રવ્યમાનવાળી અને R ત્રિજ્યાની રિંગના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ હોય તેવી અક્ષ ZZ’ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવી છે.

• આ રિંગનો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનો dx લંબાઈનો ખંડ વિચારો.
• હવે, રિંગનું એકમ લંબાઈદીઠ દળ λ =
  પણ R ત્રિજ્યાવાળી રિંગની લંબાઈ l = 2π R
  ∴ λ = \(\frac{M}{2 \pi R}\)
• તેથી dx લંબાઈના ખંડનું દ્રવ્યમાન = λ dx = (\(\frac{M}{2 \pi R}\)) dx
• આ ખંડની ZZ’ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા
  dI = (ખંડનું દ્રવ્યમાન)(ખંડનું ZZ’ અક્ષથી લંબઅંતર)²
  ∴ dI = (\(\frac{M}{2 \pi R}\))) dx (R²) = \(\frac{M}{2 \pi}\) Rdx …………. (7.79)
• ZZ’ અક્ષની સાપેક્ષે સમગ્ર રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા સમીકરણ (7.79)નું x = 0થી x = 2π Rના અંતરાલ વચ્ચે સંકલન કરતાં,

∴ I = MR² ………… (7.80)
[નોંધ : I = MR² ને I = Mk² સાથે સરખાવતાં, k² = R²
∴ k = R = ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા]

પ્રશ્ન 45.
એક પાતળા l લંબાઈના, દળ રહિત સળિયાના બંને છેડે લગાડેલ સમાન દળ \(\frac{M}{2}\) વડે બનતા તંત્રની, તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 7.38માં દર્શાવ્યા મુજબ નાના દ્રવ્યમાન (\(\frac{M}{2}\)) ની એક જોડ ધરાવતો l લંબાઈનો એક દળ રહિત સળિયો, તેના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ (ચાકગતિ) કરે છે.
• અહીં, તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C છે અને દરેક દળ \(\frac{M}{2}\) એ Cથી (ધરીથી) \(\frac{l}{2}\) અંતરે છે.
• હવે, દરેક \(\frac{M}{2}\) દ્રવ્યમાનની, આકૃતિમાં દર્શાવેલ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા (\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{l}{2}\))² થાય.
  ∴ સમગ્ર તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I = (\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{l}{2}\))² + (\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{l}{2}\))²
  = 2(\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{l^2}{4}\))
  = \(\frac{M l^2}{4}\) ……………. (7.81)

પ્રશ્ન 46.
એક પાતળા સળિયા માટે તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાંત્રાનું સૂત્ર મેળવો.
અથવા
નિયમિત પાતળા સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તથા સળિયાની લંબાઈને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
ઉત્તર:

આકૃતિ 7.39માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે M દળ તથા l લંબાઈ ધરાવતો એક નિયમિત આડછેદવાળો અને નિયમિત દળ-વિતરણવાળો પાતળો સળિયો ધ્યાનમાં લો.

• સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તથા સળિયાની લંબાઈને લંબ હોય તેવી અક્ષ YY’ વિચારો.
• આ YY’ -અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ શોધી શકાયઃ
• યામ-પદ્ધતિનું ઉગમબિંદુ સળિયાના કેન્દ્ર O પર સંપાત થાય છે અને X-અક્ષ સળિયાની લંબાઈ પર સંપાત થાય છે તેમ ધારો.
• ઉગમબિંદુ Oથી x અંતરે dx લંબાઈ ધરાવતો સળિયાનો સૂક્ષ્મ ખંડ વિચારો.
• હવે, સળિયાની એકમ લંબાઈદીઠ દળ λ =
  ∴ dx લંબાઈના ખંડનું દ્રવ્યમાન = λ dx
  = \(\frac{M}{l}\)dx
• આ ખંડની YY’-અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા,
  dI = (ખંડનું દ્રવ્યમાન) (ખંડનું YY’-અક્ષથી લંબઅંતર)²
  ∴ dI = (\(\frac{M}{l}\) dx) (x)² ………….. (7.82)
• YY’-અક્ષની સાપેક્ષે સમગ્ર સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા
  સમીકરણ (7.82)નું x = –\(\frac{1}{2}\) થી x = + \(\frac{l}{2}\) ના અંતરાલ વચ્ચે સંકલન કરતાં,
  
  
  

પ્રશ્ન 47.
લંબ અક્ષોના પ્રમેયનું વિધાન લખો અને જરૂરી આકૃતિ દોરી તેને ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
લંબ અક્ષોનો પ્રમેય : કોઈ એક સમતલીય પદાર્થ(લેમિના)ની તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ તેની સાથે સંગામી અને લેમિનાના સમતલમાં સ્થિત બે લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી જ હોય છે.

• આકૃતિ 7.40માં એક સમતલીય (જેની જાડાઈ તેનાં અન્ય પરિમાણો જેવા કે લંબાઈ, પહોળાઈ અથવા ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં ખૂબ ઓછી હોય) પદાર્થ દર્શાવ્યો છે.
• બિંદુ O પર આ પદાર્થને લંબ એક અક્ષને Z-અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે. આ પદાર્થના સમતલ અને Z-અક્ષ સાથે સંગામી એટલે કે, Oમાંથી પસાર થતી બે પરસ્પર લંબઅક્ષોને X અને Y અક્ષો તરીકે લેવામાં આવે છે.
  આ પ્રમેય જણાવે છે કે, I_Z = I_X + I_Y …………… (7.84)
• આ પ્રમેય માત્ર સમતલીય પદાર્થોને જ લાગુ પાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 48.
સમાંતર અક્ષોના પ્રમેયનું વિધાન લખો અને જરૂરી આકૃતિ દોરી તેને ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
સમાંતર અક્ષોનો પ્રમેય : કોઈ પણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને લીધેલ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અને તેના દ્રવ્યમાન અને બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના લંબઅંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.

• આકૃતિ 7.41માં એક યાદચ્છિક આકારનો પદાર્થ દર્શાવ્યો છે. તેમાં Z અને Z’ એ બે સમાંતર અક્ષો છે કે જે બે વચ્ચેનું અંતર a છે.
• Z-અક્ષ એ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Oમાંથી પસાર થાય છે. સમાંતર અક્ષોના પ્રમેય અનુસાર, I_Z’ = I_Z + Ma² ……………. (7.85)
  જ્યાં, I_Z અને I_Z એ પદાર્થની અનુક્રમે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Oમાંથી પસાર થતી Z અને બિંદુ O’માંથી પસાર થતી Z’ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાઓ છે.
  M એ પદાર્થનું કુલ દળ અને a એ બે અક્ષો વચ્ચેનું લંબઅંતર છે.
• આ પ્રમેય કોઈ પણ પદાર્થને લાગુ પાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 49.
શુદ્ધ ચાકગતિ વિજ્ઞાનની ચલ રાશિઓની સમજૂતી યોગ્ય આકૃતિ દોરીને આપો.
ઉત્તર:
જ્યા૨ે કોઈ દૃઢ પદાર્થ માત્ર સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકતિ કરતો હોય છે, ત્યારે ગતિના આ કિસ્સામાં માત્ર એક મુક્તતાના અંશનો સમાવેશ થાય છે એટલે કે, પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરવા માટે માત્ર એક જ સ્વતંત્ર ચલની જરૂર પડે છે. સ્થાનાંતરીય ગતિમાં આ રેખીય ગતિને અનુરૂપ છે.

• આકૃતિ 7.42માં Z-અક્ષને અનુલક્ષીને X-Y સમતલમાં ચાકગતિ કરતો એક દૃઢ પદાર્થ દર્શાવેલ છે.
• આ દઢ પદાર્થના P જેવા કોઈ એક કણને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે જે સમતલમાં વર્તુળ ગતિ કરે છે, તેમાં P કણનું t = 0 સમયે કોણીય સ્થાન θ₀ છે જે સમગ્ર દૃઢ પદાર્થનું પણ t = 0 સમયે કોણીય સ્થાન છે. તથા t = t સમયે P કણનું કોણીય સ્થાન θ₀ + θ છે જે પણ સમગ્ર દૃઢ પદાર્થનું t = t સમયે કોણીય સ્થાન છે.
• તેથી t સમયમાં P કણનું થતું કોણીય સ્થાનાંતર θ છે, જે સમગ્ર દઢ પદાર્થનું પણ કોણીય સ્થાનાંતર છે.
• પદાર્થનું કોણીય સ્થાન અને કોણીય સ્થાનાંતર, P કણની ગતિના સમતલમાં, એક નિશ્ચિત દિશાથી માપવામાં આવે છે. અહીં આ નિશ્ચિત દિશા X’-અક્ષ તરીકે લીધેલ છે, જે X-અક્ષને સમાંતર પસંદ કરેલ છે.
• અહીં, Z-અક્ષ એ દૃઢ પદાર્થની પરિભ્રમણ અક્ષ છે, સ્થિર છે અને કણની ગતિનું સમતલ X-Y સમતલ છે.
• હવે, કોણીય વેગ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો સમય-દર છે. તેથી ω = \(\frac{d \theta}{d t}\). અહીં ભ્રમણાક્ષ સ્થિર હોવાથી કોણીય વેગને દિશ તરીકે લેવાની જરૂર નથી.
• વધુમાં, કોણીય પ્રવેગ એ કોણીય વેગના ફેરફારનો સમય-દર છે, તેથી α = \(\frac{d \omega}{d t}\).
• અહીં, કોણીય સ્થાનાંતર θ, કોણીય વેગ ω અને કોણીય પ્રવેગ α ને શુદ્ધ ચાકગતિ વિજ્ઞાનની ચલ રાશિઓ કહે છે, કારણ કે તેઓ સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને દૃઢ પદાર્થની ચાકતિ દરમિયાન તેના દરેક કણ માટે તથા સમગ્ર દૃઢ પદાર્થ માટે એકસમાન જ હોય છે.

પ્રશ્ન 50.
અચળ પ્રવેગી રેખીય ગતિનાં સમીકરણો લખો અને તેમને અનુરૂપ સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી અચળ કોણીય પ્રવેગી ચાકગતિનાં માત્ર સમીકરણો લખો.
ઉત્તર:
નિયમિત (એટલે કે અચળ) પ્રવેગ સાથે થતી શુદ્ધ રેખીય ગતિનાં સમીકરણો નીચે મુજબ છે :
υ = υ₀ + at ……….. (7.86)
x = x₀ + υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at² …………. (7.87)
υ² = υ₀² + 2a (x – x₀) ………….. (7.88)
જ્યાં, x₀ = પ્રારંભિક (t = 0 સમયે) સ્થાન
x = અંતિમ (t = t સમયે) સ્થાન
(x – x₀) = સ્થાનાંતર
υ₀ = પ્રારંભિક વેગ
υ = અંતિમ વેગ
a = રેખીય પ્રવેગ
t = સમય અથવા સમયગાળો

હવે, શુદ્ધ ચાકગતિમાં વપરાતી રાશિઓ કોણીય સ્થાનાંતર (θ – θ₀), કોણીય વેગ (ω) અને કોણીય પ્રવેગ (α) એ શુદ્ધ રેખીય ગતિમાં વપરાતી રાશિઓ જેવી કે, રેખીય સ્થાનાંતર (x – x₀), રેખીય વેગ (υ) અને રેખીય પ્રવેગ (a)ને અનુરૂપ છે તેથી શુદ્ધ રેખીય ગતિનાં સમીકરણોને અનુરૂપ નિયમિત (અચળ) કોણીય પ્રવેગ સાથેનાં ચાકગતિનાં સમીકરણો નીચે મુજબ લખી શકાય છે :
ω = ω₀ + αt ………… (7.89)
θ = θ₀ + ω₀t + \(\frac{1}{2}\)αt² ………… (7.90)
ω² = ω₀² + 2α(θ – θ₀) ………. (7.91)
જ્યાં, θ₀ પ્રારંભિક (t = ૦ સમયે) કોણીય સ્થાન
θ = અંતિમ (t = t સમયે) કોણીય સ્થાન
(θ – θ₀ ) = કોણીય સ્થાનાંતર
ω₀ = પ્રારંભિક કોણીય વેગ
ω = અંતિમ કોણીય વેગ
α = કોણીય પ્રવેગ
t = સમય અથવા સમયગાળો

પ્રશ્ન 51.
સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને દઢ પદાર્થની ચાકગતિના કિસ્સામાં ટૉર્ક (\(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\))ની ગણતરી કરવા માટે બળ \(\vec{F}\) અને સ્થાનસદિશ ના \(\vec{r}\) ના કયા ઘટકો ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ? સમજાવો.
ઉત્તર:
ચાકગતિમાં જડત્વની ચાકમાત્રા I અને ટૉર્ક \(\vec{\tau}\) એ રેખીય ગતિમાં તેને સમતુલ્ય એવા અનુક્રમે દ્રવ્યમાન M અને બળ \(\vec{F}\) ની જેમ સમાન ભૂમિકા ભજવે છે.

• વ્યાપકરૂપે, રેખીય ગતિમાં થયેલ કાર્યને Fdx દ્વારા આપવામાં આવે છે, તો ચોક્કસ અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિમાં કાર્યને τdθ વડે દર્શાવવું જોઈએ, કારણ કે dx → dθ અને F → τ ને સમતુલ્ય છે.
• હવે, અહીં અક્ષ સ્થિર હોવાથી ટૉર્કના માત્ર જે ઘટકો સ્થિર અક્ષની દિશામાં છે તેમને જ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે, કારણ કે આ ઘટકો જ પદાર્થને અક્ષની સાપેક્ષે ભ્રમણ કરાવવા માટે જવાબદાર છે; જ્યારે પરિભ્રમણ અક્ષને લંબ રહેલો ટૉર્કનો ઘટક અક્ષને તેના સ્થાનેથી ફેરવે છે.
• અહીં, ધારી શકાય કે (બાહ્ય) ટૉર્કના આ લંબરૂપ ઘટકોની અસર નાબૂદ (સમતુલિત) કરવા માટે જરૂરી ટૉર્ક એટલે કે બળોની ચાકમાત્રા સર્જાશે, જેથી કરીને અક્ષની સ્થિર સ્થિતિ જળવાઈ રહેશે. આમ, ટૉર્કના લંબઘટકોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી.
  ઉપરની ચર્ચાનો અર્થ એ થાય કે, દૃઢ પદાર્થ પર લાગતાં ટૉર્કની ગણતરી કરવા માટે આપણે નીચેની બાબતો ધ્યાનમાં લેવી પડે :
  1. માત્ર તે બળોને જ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે કે જે અક્ષના લંબસમતલમાં આવેલાં છે. જે બળો અક્ષને સમાંતર હોય છે તે અક્ષને લંબ (દિશામાં) ટૉર્ક આપશે અને તેમને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી.
  2. સ્થાનસદિશોના માત્ર તે જ ઘટકોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે કે જે અક્ષને લંબ છે. સ્થાનસદિશોના અક્ષની દિશામાંના ઘટકો અક્ષને લંબરૂપે ટૉર્ક આપે છે અને તેમને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી.

પ્રશ્ન 52.
ટૉર્ક દ્વારા થતા કાર્યનું સૂત્ર તારવો અને તે પરથી પાવરનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 7.43માં પૃષ્ઠના સમતલને લંબ Z-અક્ષને સ્થિર અક્ષ લઈને તેને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા એક દઢ પદાર્થનો આડછેદ દર્શાવેલ છે.
• ધારો કે, \(\vec{F}_1\) બળ દૃઢ પદાર્થના બિંદુ P₁ પરના કણ પર અક્ષને લંબસમતલમાં લાગે છે, જેની કાર્યરેખા અક્ષના લંબસમતલ (X’-Y’ સમતલ)માં છે.
• P₁ બિંદુ પરનો કણ એ r₁ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર પથ બનાવે છે કે જેનું કેન્દ્ર C એ અક્ષ પર છે અને CP₁ = r ₁ છે.
• આકૃતિ 7.43માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે Δt સમયમાં આ કણ P₁, બિંદુ પરથી P’ પર પહોંચે છે. Δt સમયગાળો શૂન્યવત્ ગણીએ તો કણનું કોણીય સ્થાનાંતર dθ = ∠ P₁CP’₁ છે અને આ કણના રેખીય સ્થાનાંતર \(\overrightarrow{d s_1}\) નું માન ds₁ = r₁dθ છે.
• હવે, આ બળ \(\vec{F}_1\) વડે થતા કાર્યને dW₁ વડે દર્શાવીએ, તો
  dW₁ = \(\overrightarrow{F_1} \cdot \overrightarrow{d s_1}\) = F₁ds₁ cos Φ₁
  જ્યાં, Φ₁ = \(\vec{F}_1\) અને બિંદુ P₁ આગળના સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો છે.
• α₁ એ \(\vec{F}_1\) અને સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{O P_1}=\vec{r}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
• આકૃતિ 7.43 પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
  Φ₁ + α₁ = 90°
  ∴ Φ₁ = 90° – α₁
  ∴ cos Φ₁ = cos (90° – α₁)
  ∴ cos Φ₁ = sin α₁ થાય.
• તેથી dW₁ = F₁ds₁ cos Φ₁
  = F₁r₁dθ) sin α₁ થાય.

• હવે, ઉગમબિંદુ ની સાપેક્ષે બળ \(\vec{F}_1\) ના કારણે લાગતું ટૉર્ક \(\vec{\tau}=\overrightarrow{O P_1} \times \overrightarrow{F_1}\) છે.
• પણ આકૃતિ 7.44 પરથી સ્પષ્ટ છે, કે \(\overrightarrow{O P_1}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C P_1}\)
• \(\overrightarrow{O C}\) એ અક્ષની દિશામાં છે, તેથી તેનાથી મળતા ટૉર્કને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી. (∵ ટૉર્ક (OC) (F₁) sin 0° = 0 છે.)
• તેથી બળ \(\vec{F}_1\) ના કારણે અસરકારક ટૉર્ક \(\) છે, તે પરિભ્રમણ અક્ષની દિશામાં છે અને તેનું માન τ₁ = r₁F₁ sin α₁ છે, તેથી તેના દ્વારા થતું કાર્ય dW₁ = τ₁ dθ છે.
• જો પદાર્થ પર એક કરતાં વધુ બળો કાર્યરત હોય, તો તે બધાં દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યને ઉમેરતાં પદાર્થ પર થતું કુલ કાર્ય મળે છે. વિવિધ બળોને કારણે લાગતાં ટૉર્કના માનને τ₁, τ₂, ………… વગેરે દ્વારા દર્શાવતાં, કુલ કાર્ય dW= (τ₁ + τ₁ + …) dθ.
• અહીં, કુલ ટૉર્ક τ ને ઉત્પન્ન કરતાં બળો અલગ અલગ કણો પર લાગે છે, પરંતુ કોણીય સ્થાનાંતર d θ એ બધા કણો માટે સમાન છે.
• સ્થિર અક્ષને સમાંતર બધા ટૉર્ક ગણેલાં હોવાથી કુલ ટૉર્ક τ નું માન એ દરેક ટૉર્કના માનનો બેજિક સરવાળો છે, એટલે કે τ = τ₁ + τ₁ + …
  ∴ dW = τdθ ………… (7.92)
• આ ઉપરોક્ત સૂત્ર, સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતાં દૃઢ પદાર્થ પર લાગતાં કુલ (બાહ્ય) ટૉર્ક τ વડે થતું કાર્ય આપે છે, જે રેખીય ગતિ માટેના સમીકરણ dW = Fds સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.
• સમીકરણ (7.92)ને બંને બાજુએ dt વડે ભાગતાં,
  \(\frac{d W}{d t}\) = τ \(\frac{d \theta}{d t}\) = τ ω
• પણ \(\frac{d W}{d t}\) = તાત્ક્ષણિક પાવર છે.
  ∴ તાત્ક્ષણિક પાવર P = τ ω ………… (7.93)
• સમીકરણ (7.93) એ સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિના કિસ્સામાં તાત્ક્ષણિક પાવરનું સૂત્ર છે, જે રેખીય ગતિના કિસ્સામાં તાત્ક્ષણિક પાવરના સૂત્ર P = Fυ સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.

પ્રશ્ન 53.
સંપૂર્ણ દઢ પદાર્થના કિસ્સામાં ટૉર્ક અને જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
અથવા
સંપૂર્ણ દઢ પદાર્થના કિસ્સામાં ચાકગતિ માટેનો ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ મેળવો.
ઉત્તર:

• સંપૂર્ણ દઢ પદાર્થમાં કોઈ આંતરિક ગતિ નથી. તેથી બાહ્ય ટૉર્ક દ્વારા થતું કાર્ય વ્યય પામતું નથી અને તેથી તે પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા વધારવામાં વપરાય છે.
• સંપૂર્ણ દઢ પદાર્થની ચાકગતિ-ઊર્જા,
  K = \(\frac{1}{2}\)Iω² ………….. (7.94)
  ∴ ચાકગતિ-ઊર્જાના ફેરફારનો દર (અહીં વૃદ્ધિનો દર),
  \(\frac{d}{d t}\)(\(\frac{1}{2}\)Iω²) = \(\frac{1}{2}\)I × (2ω\(\frac{d \omega}{d t}\)) = Iωα
  અહીં, આપણે ધાર્યું છે કે દઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા સમય સાથે બદલાતી નથી, એનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું દળ બદલાતું નથી. પદાર્થ દૃઢ જ રહે છે અને અક્ષ પણ પદાર્થના સંદર્ભમાં પોતાનું સ્થાન બદલતી નથી.
• \(\frac{d \omega}{d t}\) કોણીય પ્રવેગ α હોવાથી,
  ચાકગતિ-ઊર્જામાં થતા વધારાનો દર \(\frac{d}{d t}\)(\(\frac{1}{2}\)Iω²) =
  મળે છે.
• હવે, પદાર્થ ૫૨ જે દરથી કાર્ય થાય છે (એટલે કે, પાવર P = τω) તેટલા જ દરથી તેની ચાકગતિ-ઊર્જા વધે છે, તેથી કાર્ય થવાનો દર (P = τω) અને ગતિ-ઊર્જામાં થતા વધારાના દરને સરખાવતાં,
  τω = Ιωα
  ∴ τ = Iα ………….. (7.95)
• સમીકરણ (7.95) એ રેખીય ગતિ માટેના ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ F = ma જેવું છે.
• જેવી રીતે બળ પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે તેવી જ રીતે ટૉર્ક પદાર્થમાં કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
• સમીકરણ (7.95) પરથી, કોણીય પ્રવેગ α = \(\frac{\tau}{I}\) થાય છે. તેથી કહી શકાય કે કોણીય પ્રવેગ એ લાગુ પડતા ટૉર્કના સમપ્રમાણમાં અને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
• τ = Iα એ સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિ માટેનો ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ છે.

પ્રશ્ન 54.
કોઈ પણ દૃઢ પદાર્થની સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિના વિશેષ કિસ્સામાં કોણીય વેગમાન સમજાવો.
અથવા
કોઈ પણ દૃઢ પદાર્થની સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિના વિશેષ કિસ્સામાં કોણીય વેગમાનનું વ્યાપક સૂત્ર \(\vec{L}=\overrightarrow{L_Z}+\vec{L}_{\perp}\) સાબિત કરી.
જ્યાં, \(\vec{L}_{\mathbf{z}}\) = સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ની દિશામાંનો \(\vec{L}\) નો સદિશ ઘટક અને
\(\vec{L}_{\perp}\) = સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ની લંબદિશામાંનો \(\vec{L}\)નો સદિશ ઘટક
ઉત્તર:
સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિના વિશેષ કિસ્સામાં કોણીય વેગમાનની સમજૂતી મેળવવા માટે તંત્રના કુલ કોણીય વેગમાન માટેનું વ્યાપક સૂત્ર લેતાં …
\(\vec{L}=\sum_{i=1}^n\left(\overrightarrow{r_1} \times \overrightarrow{p_1}\right)\) ………… (7.96)
જ્યાં, \(\overrightarrow{r_i}\) = આપેલ ઉગમબિંદુના સંદર્ભમાં i મા ણનો સ્થાનસદિશ
અને
\(\overrightarrow{p_i}\) = m_i\(\overrightarrow{υ_i}\) = m_i દળ અને \(\overrightarrow{υ_i}\) જેટલો રેખીય વેગ ધરાવતાં i મા કણનું રેખીય વેગમાન

• સૌપ્રથમ ચાકગતિ કરતા કોઈ દઢ પદાર્થના એક લાક્ષણિક કણના કોણીય વેગમાનને ધ્યાનમાં લઈશું. ત્યારબાદ સમગ્ર દૃઢ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન \(\vec{L}\) મેળવવા માટે તેના દરેક ણના કોણીય વેગમાનનો સદિશ સ૨વાળો કરીશું.

• આકૃતિ 7.45માં દર્શાવેલ કોઈ એક લાક્ષણિક કણ Pનું ઉગમબિંદુ Oના સંદર્ભમાં કોણીય વેગમાન,
  \(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\) ………. (7.97)
  પણ આકૃતિ પરથી ઉગમબિંદુ O ના સંદર્ભમાં કણ Pનો સ્થાનસદિશ,
  \(\vec{r}=\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C P}\)
  તથા તે કણનું રેખીય વેગમાન \(\vec{p}=m \vec{v}\) હોવાથી,
  \(\vec{l}=(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{C P}) \times m \vec{v}\)
  ∴ \(\vec{l}=(\overrightarrow{O C} \times m \vec{v})+(\overrightarrow{C P} \times m \vec{v})\) ………….. (7.98)
• હવે, P કણના રેખીય વેગ \(\vec{υ}\) નું માન υ = r_⊥ ω છે. જ્યાં, r_⊥ એ CPની લંબાઈ અથવા P કણનું પરિભ્રમણ અક્ષથી લંબઅંતર છે. વધુમાં, \(\vec{υ}\) એ કણ P જે વર્તુળ બનાવે છે, તે વર્તુળ પર P પરના સ્પર્શકની દિશામાં છે.
• હવે, જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી (\(\overrightarrow{C P} \times m \vec{v}\))ની દિશા નક્કી કરતા તે અક્ષને સમાંતર મળે છે. સ્થિર અક્ષ તરીકે Z-અક્ષ લીધી હોવાથી તે દિશામાંનો એકમ સદિશ k̂ થાય.
  તેથી \(\overrightarrow{C P} \times m \vec{v}\) = r_⊥(mυ)k̂
  = mr_⊥²ωk̂ (∵ ωr_⊥છે.)
• માટે, સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને \(\vec{l}\) ના સદિશ ઘટક (\(\overrightarrow{C P} \times m \vec{v}\))ને \(\vec{l}_{\mathrm{Z}}\) વડે દર્શાવતાં,
  \(\vec{l}_{\mathrm{Z}}\) = \(\overrightarrow{C P} \times m \vec{v}\) = mr_⊥²ωk̂ ………….. (7.99)
• આ જ રીતે જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી (\(\overrightarrow{O C} \times \vec{v}\))ની દિશા નક્કી કરતાં તે સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને લંબ મળે છે. તેથી \(\vec{l}\)ના સદિશ ઘટક (\(\overrightarrow{O C} \times m \vec{v}\))ને \(\vec{l}\)_⊥ વડે દર્શાવતાં,
  \(\vec{l}\)_⊥ = \(\overrightarrow{O C} \times m \vec{v}\) ……. (7.100)
• સમીકરણ (7.99) અને (7.100)નો ઉપયોગ સમીકરણ (7.98)માં કરતાં, એક લાક્ષણિક કણ Pનું કુલ કોણીય વેગમાન,
  \(\vec{l}=\vec{l}_{\mathrm{Z}}+\vec{l}_{\perp}\) …………. (7.101)
• સમીકરણ (7.101) પરથી સ્પષ્ટ છે કે કણનું કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) એ તેના બે સદિશ ઘટકો \(\vec{l}\) અને \(\vec{l}_{\mathrm{Z}}\)_⊥ નો (સદિશ) સરવાળો છે, તેથી પુરવાર થાય છે કે, \(\vec{l}\) જે સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને સમાંતર છે, તે \(\vec{l}_{\mathrm{Z}}\) ને સમાંતર નથી.
• આમ, વ્યાપકરૂપે કોઈ પણ કણનું કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) હંમેશાં પરિભ્રમણ અક્ષની દિશામાં હોતું નથી, એટલે કે કોઈ પણ કણ માટે \(\vec{l}\) અને \(\vec{\omega}\) એ એકબીજાને સમાંતર જ હોય તે જરૂરી નથી.
  પરંતુ, રેખીય ગતિમાં આનાથી ઊલટું છે એટલે કે રેખીય ગતિમાં કોઈ પણ કણ માટે રેખીય વેગમાન \(\vec{p}\) અને રેખીય વેગ \(\vec{v}\) હંમેશાં એકબીજાને સમાંતર જ હોય છે.
• હવે, સમગ્ર દૃઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન ગણવા માટે તેના બધા કણોના કોણીય વેગમાનનો સદિશ સરવાળો કરવો પડે.
  ∴ કોઈ પણ દૃઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન,
  \(\vec{L}=\sum_{i=1}^n \overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}=\sum_{i=1}^n \vec{l}_{\mathrm{iZ}}+\sum_{i=1}^n \vec{l}_{\mathrm{i} \perp}\) ………….. (7.102)
  અહીં, \(\vec{l}_{\mathrm{iZ}}\) અને \(\vec{l}_{\mathrm{i} \perp}\) એ દૃઢ પદાર્થના i મા કણના અનુક્રમે સ્થિર અક્ષ (Z-અક્ષ)ની દિશામાં અને સ્થિર અક્ષની લંબદિશામાંના \(\overrightarrow{l_i}\) ના સદિશ ઘટકો છે.
  
  જ્યાં, m_i અને \(\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}\) એ i મા કણનું અનુક્રમે દળ અને રેખીય વેગ છે તથા C_i એ i મા કણ દ્વારા રચાતાં વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

પ્રશ્ન 55.
સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિના કિસ્સામાં કોઈ પણ દૃઢ પદાર્થના કુલ કોણીય વેગમાનનું વ્યાપક સૂત્ર લખો અને જે દૃઢ પદાર્થો પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત હોય તેમના માટે તેનું સ્વરૂપ મેળવો.
અથવા
કોઈ પણ દૃઢ પદાર્થના કોણીય વેગમાનના વ્યાપક સૂત્ર \(\vec{L}=\vec{L}_{\mathrm{Z}}+\vec{L}_{\perp}\) નો ઉપયોગ કરી, પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત હોય તેવા દઢ પદાર્થોના કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર \(\vec{L}=\vec{L}_{\mathbf{Z}}\) = I ωk̂ મેળવો.
ઉત્તર :
દૃઢ પદાર્થો પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત છે, એટલે કે ભ્રમણાક્ષ તેમની કોઈ એક સંમિત અક્ષ છે.
આવા પદાર્થો માટે કોઈ એક આપેલ OC_i માટે \(\overrightarrow{v_i}\) વેગ ધરાવતા દરેક કણ માટે સંમિતિના આધારે –\(\overrightarrow{v_i}\) વેગ ધરાવતો બીજો કણ હોય છે, જે C_i કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પર વ્યાસના સામેના છેડે આવેલો હોય છે. \(\vec{L}_{\perp}\) માં આવી જોડીઓનો કુલ ફાળો શૂન્ય હોય છે અને પરિણામે માત્ર સંમિત પદાર્થો માટે \(\vec{L}_{\perp}\) શૂન્ય થાય છે.
તેથી જે દઢ પદાર્થો પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત હોય છે તેમનું કુલ કોણીય વેગમાન, \(\vec{L}=\vec{L}_{\mathrm{Z}}\) થાય.
પણ, સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને
\(\vec{L}_{\mathrm{Z}}=\sum_{i=1}^n \vec{l}_{\mathrm{iZ}}=\left(\sum_{i=1}^n m_{\mathrm{i}} r_{\mathrm{i}}^2\right)\)ωk̂ = Iωk̂ છે.
∴ \(\vec{L}=\vec{L}_Z\) = Iωk̂…………….. (7.106)
અગત્યની નોંધ : જે પદાર્થો પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત હોતા નથી, તેમનાં માટે \(\vec{L}\) અને \(\vec{L}_Z\)નાં મૂલ્યો (માન) સમાન હોતાં નથી, તદ્ઉપરાંત \(\vec{L}\) અને \(\vec{L}_Z\) ની દિશા પણ સમાન હોતી નથી, એટલે કે કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{L}\) એ ભ્રમણાક્ષને સમાંતર હોતું નથી.

પ્રશ્ન 56.
સ્થિર પરિભ્રમણ અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા હોય તેવા દઢ પદાર્થો માટે કુલ કોણીય વેગમાનનું વ્યાપક સૂત્ર \(\vec{L}=\vec{L}_{\mathrm{Z}}+\vec{L}_{\perp}\) નો ઉપયોગ કરીને પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત હોય તેવા દઢ પદાર્થો માટે τ = Iα મેળવો.
ઉત્તર:
સ્થિર પરિભ્રમણ અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને ચાકતિ કરતાં કોઈ પણ દઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{L}=\vec{L}_{\mathrm{Z}}+\vec{L}_{\perp}\) હોય છે.
સમયની સાપેક્ષે ઉપરોક્ત સમીકરણનું વિકલન કરતાં,
\(\frac{d \vec{L}}{d t}=\frac{d \vec{L}_{\mathrm{Z}}}{d t}+\frac{d \vec{L}_{\perp}}{d t}\) …………. (7.107)

હવે, \(\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{\tau}_{\text {ext }}\) હોવાથી,
અહીં, \(\frac{d \vec{L}_Z}{d t}\) = τk̂ ………… (7.108)
અને \(\frac{d \vec{L}_1}{d t}\) = ૦ થાય. ……………. (7.109)
કારણ કે, સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને કોઈ પણ દઢ પદાર્થની ચાકગતિ માટે બાહ્ય ટૉર્ક(\(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{ext}}}\)) નો માત્ર જે ઘટક ભ્રમણ- અક્ષને સમાંતર હોય તેને જ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય છે, જ્યારે ભ્રમણ-અક્ષને લંબ (બાહ્ય ટૉર્કનો) ઘટક દઢ પદાર્થની ચાકતિ માટે બિલકુલ જવાબદાર નથી.

સમીકરણ (7.108) અને (7.109)નો ઉપયોગ સમીકરણ (7.107) માં કરતાં,
\(\frac{d \vec{L}}{d t}=\frac{d \overrightarrow{L_Z}}{d t}\) = τk̂…………… (7.110)

હવે, સ્થિર પરિભ્રમણ અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને સંમિત હોય તેવા દઢ પદાર્થોનું કુલ કોણીય વેગમાન \(\vec{L}=\vec{L}_Z\) = Iω k̂ હોય છે.
∴ \(|\vec{L}|=\left|\vec{L}_Z\right|\) = Iω
સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d L}{d t}=\frac{d L_Z}{d t}=\frac{d}{d t}\) = (Iω)
જડત્વની ચાકમાત્રા I સમય સાથે બદલાતી ન હોય, તો
\(\frac{d}{d t}\) = (Iω) = I \(\frac{d \omega}{d t}\) = Iα થાય.
તેથી \(\frac{d L}{d t}=\frac{d L_Z}{d t}\) = Iα ………… (7.111)
મળે.

હવે, સમીકરણ (7.110) અને (7.111) પરથી,
τ = Iα ……. (7.112)
મળે છે, જે રેખીય ગતિના સમીકરણ F = ma સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.

પ્રશ્ન 57.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લખો અને ભ્રમણ કરી શકતી ખુરશી પર બેઠેલી છોકરીના ઉદાહરણ દ્વારા તેની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
સ્થિર અક્ષ(Z-અક્ષ)ને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતા સંમિત
દઢ પદાર્થોનું કુલ કોણીય વેગમાન,
\(\vec{L}=\vec{L}_Z\) = Iω k̂ હોય છે.
∴ \(|\vec{L}|=\left|\vec{L}_Z\right|\) = Iω થાય.
પણ \(\frac{d \vec{L}}{d t}=\vec{\tau}_{\text {ext }}\) છે.
તેથી જો \(\vec{\tau}_{\mathrm{ext}}\) = 0 હોય, તો \(\frac{d \vec{L}}{d t}\) = 0 થાય.
∴ \(\vec{L}=\vec{L}_Z\) = અચળ
∴ પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત દઢ પદાર્થો માટે
L = L_Z = Iω = અચળ
આમ, “સંમિત દૃઢ પદાર્થ પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટૉર્ક શૂન્ય હોય, તો આ સંમિત દૃઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ જળવાઈ રહે છે.’’
ઉપરોક્ત વિધાનને કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ કહે છે.
ઉદાહરણ : ભ્રમણ કરી શકતી ખુરશી પર એક છોકરી પોતાના હાથ વાળીને અને પગ નીચે ટેકવેલ ન હોય એટલે કે જમીનથી દૂર હોય તેમ બેઠેલી છે.
ત્યારબાદ ખુરશીને ફેરવવામાં આવે છે.
ખુરશી ભ્રમણ કરતી હોય ત્યારે છોકરી પોતાના હાથને સમક્ષિતિજ ફેલાવે તો (ખુરશી + છોકરીની) કોણીય ઝડપમાં ઘટાડો થાય છે, પણ જો છોકરી પોતાના હાથને શરીરની નજીક લાવે, તો કોણીય ઝડપમાં વધારો થાય છે.
આ એવી પરિસ્થિતિ છે કે, જ્યાં કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ પળાય છે. જો અહીં ચાકગતિની પ્રક્રિયામાં ઘર્ષણ અવગણવામાં આવે, તો ખુરશી પર તેની પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને કોઈ બાહ્ય ટૉર્ક લાગતું નથી અને તેથી (ખુરશી + છોકરી) માટે Iω = અચળ રહે છે.

છોકરીના ફેલાયેલા હાથને લીધે પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I માં વધારો થતો હોવાથી કોણીય ઝડપ છ માં ઘટાડો થાય છે, જ્યારે હાથને શરીરની નજીક લાવતાં જડત્વની ચાકમાત્રા ઘટે છે અને તેથી કોણીય ઝડપ વધે છે.

નોંધ : (1) કોઈ સરકસમાં નટ કલાકાર (એક્રોબેટ) અને મરજીવા આ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો લાભ લે છે.
(2) એક પગના અંગૂઠા પર ચક્રીય પશ્ચિમી નૃત્ય કરતાં નૃત્યકારો અને સ્કેટર પણ આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને પોતાની નિપુણતા દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 58.
સ્થિર સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી તકતીની ગતિ (રોલિંગ ગતિ) આકૃતિ દોરીને સવિસ્તાર સમજાવો.
ઉત્તર:
પરિવહનમાં વપરાતાં બધાં પૈડાંની ગતિ એ ગબડતા પદાર્થની ગતિ અર્થાત્ રોલિંગ ગતિ છે.

સ્થિર સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર એક તકતી સરક્યા વિના ગબડે છે. આનો અર્થ એ છે કે, કોઈ પણ ક્ષણે, ક્ષણિક સપાટી સાથે સંપર્કમાં રહેલો તકતીનો નીચેનો ભાગ (ળિયું) સ્થિર રહે છે.

“ગબડતા પદાર્થની ગતિ અર્થાત્ ગબડવાની ગતિ એ શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ ગતિ (શુદ્ધ રેખીય ગતિ) અને શુદ્ધ ચાકગતિની સંયોજિત ગતિ છે.’’

આકૃતિ 7.46માં સ્થિર સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતી એક તકતી (Disc) દર્શાવી છે. તકતીની ગબડવાની ગતિ (રોલિંગ ગતિ), નીચે મુજબની એકસાથે થતી બે ગતિઓનું સંયોજન છે :

1. શુદ્ધ સ્થાનાંતરણ ગતિ : કણોના તંત્રની સ્થાનાંતરણ ગતિ એટલે તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગતિ. તકતીનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ‘C’ \(\vec{v}_{\mathrm{cm}}\) જેટલા વેગથી રેખીય ગતિ કરે છે. તેથી તે તકતીની સ્થાનાંતરણ ગતિનો વેગ છે. તકતીનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર C પર છે. આથી \(\vec{v}_{\mathrm{cm}}\) એ C બિંદુનો વેગ છે, જે સમતલ સપાટીને સમાંતર હોય છે.

2. શુદ્ધ ચાકગતિ : તકતી તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર Cમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) થી ચાકતિ કરે છે. તેથી તકતીના કોઈ પણ કણના (અથવા બિંદુના) રેખીય વેગનું માન υ_r = rω છે (જ્યાં, r = કથિત બિંદુનું કેન્દ્ર Cથી અંતર), \(\vec{v}_{\mathrm{r}}\)ની દિશા તે કણના ત્રિજ્યાવર્તી (radial) સંદેશ અર્થાત્ Cને અનુલક્ષીને સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) ને લંબરૂપે હોય છે.
દા. ત., P₂ બિંદુએ \(\vec{v}_{\mathrm{r}}\) એ \(C \vec{P}_2\) ને લંબરૂપે છે. અર્થાત્ \(\vec{v}_{\mathrm{r}}\) ⊥ \(C \vec{P}_2\).

• હવે, તકતીના P₀, P₁ કે P₂ જેવાં બિંદુઓનો અસરકારક વેગ બે ઘટકોનો બનેલો હોય છે.
  ∴ P₂ બિંદુનો અસરકારક (અથવા પરિણામી) વેગ,
  \(\vec{v}_2=\vec{v}_{\mathrm{r}}+\vec{v}_{\mathrm{cm}}\) (જુઓ આકૃતિ 7.46)
• આ વેગ \(\overrightarrow{v_2}\) આકૃતિમાંની P₀P₂ રેખાને લંબરૂપે હોય છે તેમ દર્શાવી શકાય છે. અર્થાત્ \(\overrightarrow{v_2}\) ⊥ \(\stackrel{\leftrightarrow}{P_0 P_2}\) . તેથી P₀માંથી પસાર થતી અને \(\vec{\omega}\) ને સમાંતર એવી રેખાને ચાકગતિની તાત્ક્ષણિક ભ્રમણાક્ષ કહે છે.
• હવે, P₀ બિંદુએ ચાકગતિના કારણે રેખીય વેગ \(\vec{v}_{\mathrm{r}}\) ની દિશા \(\vec{v}_{\mathrm{cm}}\)ની તદ્દન વિરુદ્ધ છે અને તેનું મૂલ્ય |\(\vec{v}_{\mathrm{r}}\)| = Rω (∵ r = તકતીની ત્રિજ્યા R) જેટલું છે.
  તેથી P₀ બિંદુ તાત્ક્ષણિક સ્થિર બને તે માટે જો |\(\vec{v}_{\mathrm{cm}}\)| = Rω થાય, તો P₀ બિંદુનો અસરકારક વેગ \(\overrightarrow{v_0}=\vec{v}_{\mathrm{r}}+\vec{v}_{\mathrm{cm}}\) = 0 થાય. ટૂંકમાં, P₀ બિંદુ ક્ષણિક રીતે સ્થિર રહે તે માટે જરૂરી છે
  કે υ_cm = Rω.
• આમ, અહીં તકતી સરક્યા વિના ગબડવાની ગતિ કરે તે માટેની જરૂરી શરત,
  υ_cm = Rω …………… (7.113) છે.
• તે જ પ્રમાણે સાહજિક રીતે આનો અર્થ એ થાય કે, તકતીના ઉપરના P₁ બિંદુનો અસરકારક વેગ \(\vec{v}_1=\vec{v}_{\mathrm{cm}}+R \vec{\omega}=\vec{v}_{\mathrm{cm}}+\vec{v}_{\mathrm{cm}}=2 \vec{v}_{\mathrm{cm}}\) જેની દિશા, સ્થિર સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટીને સમાંતર છે.
• સમીકરણ (7.113)માંની શરત રોલિંગ ગતિ કરતા દરેક પદાર્થને લાગુ પડે છે.

પ્રશ્ન 59.
સમક્ષિતિજ સ્થિર સપાટી પર અથવા કોઈ ઢાળવાળી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા કોઈ પદાર્થની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિ-ઊર્જાને સ્થાનાંતરણની ગતિ- ઊર્જા (K_t) અને ભ્રમણની ગતિ-ઊર્જા (K_r)માં અલગ કરી શકાય છે.
આ કણોના એવા તંત્ર માટે વ્યાપક પરિણામનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે, કે જે મુજબ કણોના તંત્રની કુલ ગતિ-ઊર્જા (K)ને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ-ઊર્જા (K_t) અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ચાકગતિ-ઊર્જા (K_r)માં અલગ કરી શકાય છે. આમ,
K = K_r + K_t ……………. (7.114)

• ગબડતા પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગતિ-ઊર્જા એટલે સ્થાનાંતરણની ગતિ-ઊર્જા K_t = \(\frac{1}{2}\)mυ_cm² છે; જ્યાં, m એ પદાર્થનું દળ છે અને υ_cm એ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ છે.
• દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગબડતા પદાર્થની ગતિ એ ચાકતિ હોવાથી પદાર્થની ચાકગતિ-ઊર્જા K_r = \(\frac{1}{2}\) I ω² થાય; જ્યાં, I એ સુયોગ્ય અક્ષ જે ગબડતા પદાર્થની સંમિત અક્ષ છે તેને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
• આમ, ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે :
  K = \(\frac{1}{2}\) I ω² + \(\frac{1}{2}\)mυ_cm² …………… (7.115)
  ઉપરના સમીકરણ (7.115)માં I = mk²; જ્યાં, k એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા અને υ_cm = Rω મૂકતાં,
  K = \(\frac{1}{2}\)mk² × (\(\frac{v_{\mathrm{cm}}}{R}\))² + \(\frac{1}{2}\)mυ_cm²
  ∴ K = \(\frac{1}{2}\)mυ_cm²(1 + \(\frac{k^2}{R^2}\)) ……………. (7.116)
• સમીકરણ (7.116) કોઈ પણ ગબડતા પદાર્થને લાગુ પાડી શકાય છે. જેમ કે, તકતી, નળાકાર, વલય, ગોળો વગેરે …..

પ્રશ્ન 60.
m દળ, R ત્રિજ્યા અને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા k ધરાવતી એક વસ્તુ h ઊંચાઈના ઢાળની ટોચ પરથી સરક્યા વિના ગબડે છે. ઢાળના તળિયે આ વસ્તુનો વેગ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, આપેલ ઢાળની ઊંચાઈ h છે. તેથી m દળવાળી વસ્તુની ઢાળની ટોચ પર ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા mgh છે.

યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમના આધારે સ્પષ્ટ છે કે, જ્યારે આ વસ્તુ ઢાળના તળિયે પહોંચશે ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ- ઊર્જા એ ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતર પામશે.

* અત્યંત મહત્ત્વની જાણકારી h ઊંચાઈના ઘર્ષણયુક્ત ઢાળની ટોચ પરથી, R ભૌમિતિક ત્રિજ્યા અને k ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતા વિવિધ સંમિત પદાર્થોને મુક્ત કરતાં (પ્રારંભિક વેગ = 0), તેઓ ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડે છે, તેથી ઢાળના તળિયે દરેક સંમિત દ્દઢ પદાર્થોની જુદા જુદા પ્રકારની ઊર્જાઓ નીચેનાં સૂત્રો પરથી શોધી શકાય છે :

(1) કુલ ગતિ-ઊર્જા K = (ચાકગતિ-ઊર્જા K_r) + (સ્થાનાંતરણની ગતિ-ઊર્જા K_t)
અથવા
K = mgh

(2) ચાકગતિ-ઊર્જા K_r = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) × mk² × (\(\frac{v^2}{R^2}\)) પરથી,
K_r = mgh (\(\frac{k^2}{R^2+k^2}\))

(3) સ્થાનાંતરણની ગતિ-ઊર્જા K_t = \(\frac{1}{2}\) mυ² પરથી,
K_t = mgh(\(\frac{R^2}{R^2+k^2}\))
અહીં યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમના આધારે ઢાળના તળિયે પદાર્થનો (પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો) અંતિમ રેખીય વેગ,
υ = \(\sqrt{\frac{2 g h}{1+\frac{k^2}{R^2}}}\) લીધેલ છે.
(અહીં સરક્યા વિના ગબડતા સંમિત દૃઢ પદાર્થો માટે ઊર્જા- સંરક્ષણનો નિયમ વાપરેલ છે. એટલે કે ઘર્ષણ વગેરેને લીધે તેમની ઊર્જામાં કોઈ વ્યય થતો નથી તેમ ધારેલ છે.)

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
શું પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પદાર્થની અંદર જ હોવું જરૂરી છે? સ્પષ્ટતા કરો.
ઉત્તર:
ના. રિંગનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર પર હોય છે, જે રિંગની બહારના ભાગમાં છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં પોલો ગોળો, પોલો નળાકાર વગેરે.

પ્રશ્ન 2.
2 m લંબાઈના એક સળિયાનું એકમ લંબાઈદીઠ દળ, તેના એક છેડાથી અંતર ૪ના સમપ્રમાણમાં બદલાય છે, તો આ સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના એક છેડાથી કેટલા અંતરે હશે?
ઉકેલ:

અહીં, સળિયાનું એકમ લંબાઈદીઠ દળ λ ∝ x આપેલ છે.
∴ λ = kx થાય; જ્યાં, k સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે.
હવે, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સળિયાના એક છેડાથી x અંતરે dx લંબાઈનો એક નાનો ખંડ લો.

• આ વિચારેલ ખંડનું દળ dm = λdx
  = (kx) dx
• સળિયો X-અક્ષ પર સ્થિત હોવાથી તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું એક છેડાથી અંતર (અથવા સ્થાન).

પ્રશ્ન 3.
ઘન પદાર્થનો દળખંડ dm એટલે શું?
ઉત્તર:
ઘન પદાર્થના dV જેટલા સૂક્ષ્મ કદ ધરાવતા કદ-ખંડમાં સમાયેલા દળને દળખંડ dm કહે છે.

પ્રશ્ન 4.
સમાન દળ ધરાવતા ત્રણ સળિયાઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલા છે, તો આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ શોધો.

ઉકેલ:
OA સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (\(\frac{a}{2}\), 0); OB સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (0, \(\frac{a}{2}\)) અને AB સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (\(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\)) પર છે.
∴ આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના X અને Y યામ, તેમના સૂત્રો વાપરતાં, નીચે મુજબ થશે :

પ્રશ્ન 5.
L લંબાઈના એક સળિયાની રેખીય ઘનતા λ = A + Bx મુજબ બદલાય છે, તો તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.
(જ્યાં, x એ સળિયાના કોઈ એક છેડાથી અંતર છે.)
ઉકેલ:

X-અક્ષને સળિયાની લંબાઈ પર તથા ઉગમબિંદુને સળિયાના એક છેડા પર લીધેલ છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

• સળિયો X-અક્ષ પર છે, તેથી Y = 0 અને Z = 0, તેનો અર્થ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર સળિયા પર હશે.
• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, સળિયાના એક છેડાથી x અંતરે dx લંબાઈનો એક નાનો ખંડ લો.
• આ વિચારેલ ખંડનું દળ dm = λdx = (A + Bx) dx
• આ સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર,

નોંધ : (1) જો સળિયાની ઘનતા નિયમિત હોય, તો λ = A = અચળ થાય અને B = 0. તેથી X = \(\frac{L}{2}\) થાય.
(2) જો સળિયાની રેખીય ઘનતા x સાથે રેખીય રીતે બદલાય તો λ = Bx અને A = 0 થાય. તેથી X = \(\frac{2 L}{3}\).
(3) જો સળિયાની રેખીય ઘનતા x²ના સમપ્રમાણમાં હોય, તો A = 0 અને λ = Bx² થાય, તો X = \(\frac{3 L}{3}\) થાય.

પ્રશ્ન 6.
1 kg દળનું એક પક્ષી (2î – 4ĵ) m s^-1 ના અચળ વેગથી તથા બીજું 2 kg દળનું પક્ષી (2î + 6ĵ) m s^-1 ના અચળ વેગથી ઊડતાં હોય, તો બંને પક્ષી વડે બનતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ \(\vec{V}\) શોધો.
ઉકેલ:

પ્રશ્ન 7.
2 kg અને 4 kg દળ ધરાવતા બે કણ એકબીજા તરફ અનુક્રમે 1 m s^-2 અને 2 m s^-2 જેટલા પ્રવેગથી લીસા સમક્ષિતિજ સમતલ પર ગતિ કરી રહ્યા છે, તો આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
ઉકેલ:
બે કણોથી બનેલા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ,
\(\vec{A}=\frac{m_1 \overrightarrow{a_1}+m_2 \overrightarrow{a_2}}{m_1+m_2}\)
પણ, \(\overrightarrow{a_1}\) અને \(\overrightarrow{a_2}\) પ્રતિસમાંતર છે.
તેથી \(\vec{A}=\frac{m_1 \vec{a}_1-m_2 \vec{a}_2}{m_1+m_2}\) લખાય.
∴ \(\vec{A}\) નું મૂલ્ય = |\(\vec{A}\)| = \(\frac{\left|m_1 a_1-m_2 a_2\right|}{m_1+m_2}\)
= \(\frac{|(2)(1)-(4)(2)|}{2+4}\)
= 1 ms^-2
અહીં, |m₂a₂| >|m₁a₁| છે. તેથી દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના પ્રવેગ \(\vec{A}\) ની દિશા \(\overrightarrow{a_2}\)ની દિશા તરફ હશે.

પ્રશ્ન 8.
અલગ કરેલું તંત્ર એટલે શું?
ઉત્તર:
જે તંત્ર પર કોઈ પણ પ્રકારનું બળ એટલે કે, બાહ્ય બળ લાગતું ન હોય તે તંત્રને અલગ કરેલું તંત્ર કહે છે.

પ્રશ્ન 9.
બે સંદેશોના સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ના સદિશ ગુણાકારને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે :
\(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = (ab sin (θ) n̂
જ્યાં, θ = \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) સદિશો વચ્ચેનો નાનો કોણ.
n̂ એ એકમ સંદેશ છે, જેની દિશા \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) થી બનતા સમતલને લંબ જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી મળે છે.

પ્રશ્ન 10.
\(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) સદિશોથી રચાતા સમતલને લંબદિશામાંનો એકમ સદિશ મેળવવાનું સૂત્ર જણાવો.
ઉત્તર:
જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) સિંદેશોથી રચાતા સમતલને લંબદિશામાંનો એકમ દિશ n̂ હોય, તો
n̂ = \(\)
જ્યાં, θ = \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો નાનો ખૂણો છે.

પ્રશ્ન 11.
કયા સંજોગોમાં |\(\vec{A} \times \vec{B}\)| = \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) થાય?
ઉત્તર:
અહીં, |\(\vec{A} \times \vec{B}\)| = \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) આપેલ છે.
∴ AB sin θ = AB cos θ થાય.
∴ tan θ = 1
∴ θ = 45°
આમ, જ્યારે \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 45° હોય છે, ત્યારે |\(\vec{A} \times \vec{B}\)| = \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) થાય છે.

પ્રશ્ન 12.
જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સંલગ્ન બાજુઓ હોય અને આ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ab) હોય, તો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો કોણ શોધો.
ઉકેલ:
|\(\vec{a} \times \vec{b}\)| = સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ
∴ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ab = ab sin θ
∴ sin θ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ θ = 60°

પ્રશ્ન 13.
\(\vec{a} \times \vec{b}\) = \(\vec{b} \times \vec{a}\) લખાય? કેમ?
ઉત્તર:
ન લખાય, કારણ કે \(\vec{a} \times \vec{b}\) અને \(\vec{b} \times \vec{a}\) બંને દિશ રાશિઓ છે તથા બંનેની દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ છે.
∴ \(\vec{a} \times \vec{b}\) ≠ \(\vec{b} \times \vec{a}\) પણ \(\vec{a} \times \vec{b}\) = – \(\vec{b} \times \vec{a}\) લખાય.

પ્રશ્ન 14.
કોણીય વેગના બે એકમો જણાવી, તેમની વચ્ચેનો સંબંધ લખો.
ઉત્તર:
(1) (rad) s^-1 અને (2) (rotation) s^-1
1 (rotation) s^-1 = 2π (rad) s^-1 છે.

પ્રશ્ન 15.
કોણીય વેગની દિશા કેવી રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે?
ઉત્તર :
કોણીય વેગની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમથી નક્કી કરવામાં આવે છે.
જમણા હાથના સ્ક્રૂને ભ્રમણાક્ષને સમાંતર ગોઠવી, પદાર્થ જે દિશામાં ભ્રમણ કરતો હોય તે દિશામાં સ્ક્રૂને ભ્રમણ કરાવતાં, સ્ક્રૂ જે દિશામાં આગળ વધે છે, તેને કોણીય વેગ ની \(\vec{\omega}\) દિશા ગણવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 16.
ઘડિયાળના સેકન્ડ-કાંટાની કોણીય ઝડપ શોધો.
ઉત્તર:
સરેરાશ કોણીય ઝડપના સૂત્ર <ω> = \(\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\) પરથી, સેકન્ડ-કાંટા માટે આવર્તકાળ T = 60 s હોવાથી
<ω> = \(\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{60 \mathrm{~s}}=\frac{\pi}{30}\) (rad) s^-1
(અહીં, કોણીય ઝડપ (@) અચળ હોવાથી સરેરાશ કોણીય ઝડપ = તાત્ક્ષણિક કોણીય ઝડપ થાય.)
નોંધ : મિનિટ-કાંટાની કોણીય ઝડપ \(\frac{\pi}{1800}\) (rad) s^-1 અને કલાક-કાંટાની કોણીય ઝડપ \(\frac{\pi}{21600}\) (rad) s^-1 છે.

પ્રશ્ન 17.
ઘડિયાળના સેકન્ડ-કાંટાનો કોણીય પ્રવેગ કેટલો હોય છે?
ઉત્તર:
શૂન્ય, કારણ કે સેકન્ડ-કાંટાની કોણીય ઝડપ ω અચળ હોવાથી કોણીય પ્રવેગ α = \(\frac{d \omega}{d t}\) = 0.

પ્રશ્ન 18.
દૃઢ પદાર્થની ચાકગતિના કિસ્સામાં તેના બધા કણોના રેખીય ચલો સમાન હોય છે કે કોણીય ચલો?
ઉત્તર:
દૃઢ પદાર્થના બધા કણોના કોણીય ચલો θ, \(\vec{\omega}\) અને \(\vec{\alpha}\) સમાન હોય છે, પણ રેખીય ચલો \(\vec{r}\), \(\vec{υ}\) અને \(\vec{\alpha}\) જુદા જુદા હોય છે.

પ્રશ્ન 19.
ચાકગતિમાં બળને સમતુલ્ય ભૌતિક રાશિ કઈ છે? તેને અન્ય કયા નામથી ઓળખવામાં આવે છે?
ઉત્તર:
બળની ચાકમાત્રા. તેને ટૉર્ક અથવા બળયુગ્મની ચાકમાત્રા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 20.
કાર્ય અને ટૉર્ક રાશિઓ વચ્ચેનો ભેદ સ્પષ્ટ કરો.
ઉત્તર:
કાર્ય અદિશ રાશિ છે, જ્યારે ટૉર્ક સદિશ રાશિ છે.
કાર્યનું સૂત્ર W = \(\vec{F} \cdot \vec{d}\) છે, જ્યારે ટૉર્કનું સૂત્ર \(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\)

પ્રશ્ન 21.
(î + ĵ) સ્થાનસદિશ ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ Fk̂ હોય, તો તે કણ પર લાગતું ટૉર્ક (સંદેશ) શોધો.
ઉકેલ:
\(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\)
= (î + ĵ) × Fk̂
= F (î × k̂) + F (ĵ × k̂)
= F (-ĵ) + F (î) = F (î – ĵ)

પ્રશ્ન 22.
દઢ પદાર્થની અચળ કોણીય વેગ સાથેની ચાકતિ ચાલુ રાખવી હોય, તો શું તેના પર ટૉર્ક લગાડવું જરૂરી છે?
ઉત્તર:
ના.
દઢ પદાર્થ શરૂઆતથી અચળ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરે છે. તેથી તેનો કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય છે. હવે જો તેના પર ટૉર્ક લગાડવામાં આવે, તો તેમાં કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય. પરિણામે તે અચળ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરી શકે નહીં.

પ્રશ્ન 23.
દઢ પદાર્થને ચાકતિ કરાવવા માટે તેના બધા કણો પર બાહ્ય બળ લગાડવાની જરૂર નથી. કેમ?
ઉત્તર:
દૃઢ પદાર્થ એ કણોના તંત્રનો ખાસ કિસ્સો છે, જેમાં તેના બધા જ કણો પોતાના સાપેક્ષ સ્થાન અફર જાળવી રાખતા હોય છે. તેથી તેના કોઈ એક કણ પર બળ લગાડવામાં આવે, તો ઉદ્ભવતું ટૉર્ક એ સમગ્ર દઢ પદાર્થ પર લાગતું ટૉર્ક કહેવાય છે. તેથી તેના બધા કણો પર બાહ્ય બળ લગાડવાની જરૂર નથી.

પ્રશ્ન 24.
ગતિ કરતા એક કણનો કોઈ ક્ષણે સ્થાનસદિશ (3î + 4ĵ) m હોય ત્યારે તેનું રેખીય વેગમાન 2ĵms^-1 છે, તો તે કણના કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
ઉકેલ:
\(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\)
= (3î + 4ĵ) × 2ĵ
= 6 (î × ĵ) + 8 (ĵ × ĵ)
= – 6 k̂ Nm ·s
∴ |\(\vec{l}\)| = 6 Nm ·s

પ્રશ્ન 25.
દઢ પદાર્થ યાંત્રિક સંતુલનમાં છે તેવું ક્યારે કહેવાય છે?
ઉત્તર:
દૃઢ પદાર્થના રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાન બંને સમય સાથે બદલાતા ન હોય, એટલે કે, દૃઢ પદાર્થ રેખીય પ્રવેગ અને કોણીય પ્રવેગ ધરાવતો ન હોય, તો તે દૃઢ પદાર્થ યાંત્રિક સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
[દૃઢ પદાર્થ યાંત્રિક સંતુલનમાં હોય છે ત્યારે તેના પરનું કુલ બળ અને કુલ ટૉર્ક બંને શૂન્ય હોય છે. આ વખતે તે સ્થાનાંતરીય સંતુલન અને ચાકગતીય સંતુલન બંને ધરાવે છે.]

પ્રશ્ન 26.
1 kg દળ ધરાવતો એક કણ 2 m s^-1 જેટલા વેગથી ધન X-અક્ષને સમાંતર ગતિ કરી રહ્યો છે. આ ગતિ દરમિયાન ઉગમબિંદુથી તેનું લઘુતમ અંતર 12 cm હોય, તો તે કણનું ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
આકૃતિમાં કોઈ એક ક્ષણે કણની ગતિની સ્થિતિ દર્શાવી છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ઉગમબિંદુથી કણનું લઘુતમ અંતર એટલે કે, ઉગમબિંદુથી લંબઅંતર = d = 12 cm = 0.12 m છે.

હવે, કણના કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય,
|\(\vec{l}\)| = r p sin θ = p r sin θ
= p (d)
= mυ (d)
= 1 × 2 × (0.12)
= 0.24 Nms

પ્રશ્ન 27.
ઉચ્ચાલન માટે ચાકમાત્રાનો સિદ્ધાંત જણાવો.
ઉત્તર:
ઉચ્ચાલન માટે ચાકમાત્રાનો સિદ્ધાંત નીચે મુજબ રજૂ કરવામાં આવે છે :
d₁F₁ = d₂F₂
અર્થાત્ ભારભુજા × ભાર = પ્રયાસભુજા × પ્રયાસ

પ્રશ્ન 28.
પ્રયાસભુજા એ ભારભુજા કરતાં મોટી હોય, તો યાંત્રિક લાભ કેટલો હોય છે?
ઉત્તર:
યાંત્રિક લાભ (M.A.) = \(\frac{F_1}{F_2}=\frac{d_2}{d_1}\) હોવાથી, જો પ્રયાસભુજા d₂ એ ભારભુજા d₁ કરતાં મોટી હોય, તો યાંત્રિક લાભ 1 કરતાં મોટો હોય છે.

પ્રશ્ન 29.
બળયુગ્મ એટલે શું?
ઉત્તર:
જુદી જુદી કાર્યરેખા ધરાવતા બે સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાંનાં બળોની જોડને બળયુગ્મ (Couple) કહે છે.

પ્રશ્ન 30.
જડત્વની ચાકમાત્રાની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
કોઈ નિયત ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને દૃઢ પદાર્થના પ્રત્યેક કણનાં દળ અને તેમના ભ્રમણાક્ષથી લંબઅંતરોના વર્ગના ગુણાકારોના સરવાળાને તે દૃઢ પદાર્થની તે અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કહે છે.

પ્રશ્ન 31.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો એકમ Js² છે તેમ દર્શાવો.
ઉત્તર:
જડત્વની ચાકમાત્રાનો SI એકમ kgm² છે.
હવે, kg m² = kg × \(\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{~s}^2}\) × s²
= J s² (∵ \(\frac{\mathrm{kg} \mathrm{m}^2}{\mathrm{~s}^2}\) = J)

પ્રશ્ન 32.
રેખીય ગતિમાં જે ભાગ બળ ભજવે છે, તેવો જ ભાગ ચાકગતિમાં કઈ ભૌતિક રાશિ ભજવે છે?
ઉત્તર:
ટૉર્ક

પ્રશ્ન 33.
રેખીય ગતિમાં જે ભાગ દળ ભજવે છે, તેવો જ ભાગ ચાકગતિમાં કઈ ભૌતિક રાશિ ભજવે છે?
ઉત્તર:
જડત્વની ચાકમાત્રા

પ્રશ્ન 34.
“સ્ટીમ એન્જિન અને ઑટોમોબાઇલ એન્જિન જેવાં મશીનો, જે ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે, તેમાં ફ્લાયવ્હીલ રાખવામાં આવે છે.” કારણ આપો.
ઉત્તર:
સ્ટીમ એન્જિન અને ઑટોમોબાઇલ એન્જિન જેવાં મશીનો, જે ચાકગતિ ઉત્પન્ન કરે છે, તેમાં ખૂબ જ મોટી જડત્વની ચાકમાત્રાવાળી એક ડિસ્ક (તકતી) હોય છે, જેને ફ્લાયવ્હીલ કહે છે. આ ફ્લાયવ્હીલ તેની મોટી જડત્વની ચાકમાત્રાના કારણે વાહનની ઝડપના અચાનક વધારા અથવા ઘટાડાને અવરોધે છે. તે ઝડપમાં ધીમે ધીમે પરિવર્તન થવા દે છે અને આંચકાવાળી ગતિ અટકાવે છે, જેના કારણે વાહનમાં મુસાફરો સુરક્ષિત રીતે મુસાફરી કરી શકે છે.

પ્રશ્ન 35.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
આપેલ ભ્રમણાક્ષથી દૃઢ પદાર્થના કણોનાં લંબઅંતરોના વર્ગોના સરેરાશ મૂલ્યના વર્ગમૂળને તે દૃઢ પદાર્થની તે ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા કહે છે.

અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાને, કોઈ અક્ષથી એક એવા દળબિંદુના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે, કે જેનું દ્રવ્યમાન એ સમગ્ર પદાર્થના દ્રવ્યમાન જેટલું જ હોય છે અને જેની જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થની તે અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી જ હોય છે.

પ્રશ્ન 36.
લંબ અક્ષોના પ્રમેયનું વિધાન લખો.
ઉત્તર:
કોઈ એક સમતલીય પદાર્થ(લેમિના)ની તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા એ તેની સાથે સંગામી અને લેમિનાના સમતલમાં સ્થિત બે લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી જ હોય છે.

પ્રશ્ન 37.
સમાંતર અક્ષોના પ્રમેયનું કથન લખો.
ઉત્તર:
કોઈ પણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને લીધેલ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અને તેના દ્રવ્યમાન અને બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના લંબઅંતરના વર્ગના ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે.

પ્રશ્ન 38.
પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા એ કઈ અક્ષને અનુલક્ષીને લઘુતમ હોય છે?
ઉત્તર:
પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને લઘુતમ હોય છે.

પ્રશ્ન 39.
શું ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા એ અચળ રાશિ છે?
ઉત્તર:
ના. તે ભ્રમણાક્ષની સ્થિતિ બદલાતા બદલાય છે.

પ્રશ્ન 40.
એક જ દ્રવ્યના બનેલા બે નક્કર ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર 1 : 2 છે. તેમનાં કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી અક્ષોને અનુલક્ષીને તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાઓનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉકેલ:
નક્કર ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = \(\frac{2}{5}\) MR² છે.
જ્યાં, નક્કર ગોળાનું દળ M = (\(\frac{4}{3}\)πR³)ρ છે.
∴ I = \(\frac{2}{5}\) (\(\frac{4}{3}\)πR³ρ)R²
= (\(\)ρ)R⁵
પણ, બંને ગોળાઓની ઘનતા ρ એકસમાન હોવાથી અહીં I ∝ R⁵ થાય.
∴ \(\frac{I_1}{I_2}=\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^5=\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}\)

પ્રશ્ન 41.
એક મોટરની શાફ્ટ 3000 rpmની અચળ કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે. 1 sમાં તેનું કોણીય સ્થાનાંતર કેટલું થશે?
ઉકેલ:
અહીં, ω = 3000 rpm (rotation per minute)
= 3000 × \(\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{60 \mathrm{~s}}\) 100 π\(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\)
∴ કોણીય સ્થાનાંતર θ = ωt = (100 π ) × 1
= 100 π rad

પ્રશ્ન 42.
એક વ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ કોણીય પ્રવેગ સાથે t સમયમાં ‘n’ પરિભ્રમણો કરે છે, તો તેનો અચળ કોણીય પ્રવેગ ‘n’ના પદમાં શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, ω₀ = 0 છે અને
કોણીય સ્થાનાંતર θ = n પરિભ્રમણ = 2π × n rad
હવે, θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) αt²
∴ 2nπ = 0 + \(\frac{1}{2}\) αt²
∴ α = \(\frac{4 n \pi}{t^2}\) rad s^-2

પ્રશ્ન 43.
એક ફ્લાયવ્હીલ અચળ કોણીય પ્રવેગથી ચાકગતિ કરે છે. તેનો કોણીય વેગ 10 sમાં 20π rad s^-1થી વધીને 40π rad s^-1 થાય છે, તો 10 sમાં લાયવ્હીલ દ્વારા થયેલાં પરિભ્રમણોની સંખ્યા કેટલી હશે?
ઉકેલ:
કોણીય સ્થાનાંતર θ = (\(\frac{\omega+\omega_0}{2}\))t
= (\(\frac{40 \pi+20 \pi}{2}\)) × 10
= 300π rad
∴ પરિભ્રમણોની સંખ્યા = \(\frac{\theta}{2 \pi}=\frac{300 \pi}{2 \pi}\) = 150

પ્રશ્ન 44.
રિંગ પર 100 Nm જેટલું ટૉર્ક લાગવાના કારણે તે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરે છે. જો 4sમાં તેની કોણીય ઝડપ 5 rad s^-1 થી વધીને 25 rad s^-1 થાય, તો 4s દરમિયાન ટૉર્ક વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
કાર્ય W = τ θ = τ[(\(\frac{\omega+\omega_0}{2}\))_t] = 100(\(\frac{25+5}{2}\)) × 4
= 6000 J

પ્રશ્ન 45.
રેખીય ગતિના કિસ્સામાં પાવર P = Fυ છે, તો સ્થિર અક્ષને અનુલક્ષીને થતી ચાકગતિના કિસ્સામાં પાવરનું સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:
P = τω

પ્રશ્ન 46.
1 kg દળ અને 5 cm ત્રિજ્યાવાળો નક્કર નળાકાર તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને 40 rad s^-1 જેટલી અચળ કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે, તો તેની ચાકગતિ-ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
ચાકગતિ-ઊર્જા,
K_r = \(\frac{1}{2}\) Iω²
= \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{2}\) MR²) ω²
= \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{2}\) × 1 × (5 × 10^-2)²) × (40)²
= 1 J

પ્રશ્ન 47.
પૃથ્વીનું તેની ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન શોધો. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R_e = 6400 km અને દળ M_e = 6 × 10²⁴ kg લો.
ઉકેલ:
પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન,
L = Iω
=(\(\frac{2}{5}\) M_eR_e²) ω
= \(\frac{2}{5}\) M_eR_e² × \(\frac{2 \pi}{T}\)
= \(\frac{4 \pi}{5}\) × \(\frac{M_e R_e^2}{T}\)
= \(\frac{4 \times 3.14 \times 6 \times 10^{24} \times\left(6400 \times 10^3\right)^2}{5 \times(24 \times 3600)}\)
= 7.15 × 10³³ Nm s

પ્રશ્ન 48.
જો પૃથ્વીનું એકાએક સંકોચન થઈ તેનું દળ અચળ રહે તેમ, તેની ત્રિજ્યા હાલની ત્રિજ્યા કરતાં અડધી થાય, તો પૃથ્વી પર દિવસની લંબાઈ કેટલા કલાકની થાય?
ઉકેલ:
અત્યારે પૃથ્વી પોતાની ધરીને અનુલક્ષીને
ω₀ = \(\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{24 \text { hour }}\) જેટલી કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરી રહી છે.
જો અચાનક તેનું સંકોચન થાય, તો તેના પર કોઈ બાહ્ય ટૉર્ક લાગતું ન હોવાથી કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી તેનું કોણીય વેગમાન અચળ રહેશે.
∴ L = L₀
∴ Iω = I₀ω₀
∴ \(\frac{2}{5}\)M(\(\frac{R}{2}\))² ω = \(\frac{2}{5}\)MR²ω₀
∴ \(\frac{\omega}{4}\) = ω₀
∴ ω = 4ω₀
∴ \(\frac{2 \pi}{T}\) = 4 × \(\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{24 \text { hour }}\)
∴ T = \(\frac{24 \text { hour }}{4}\) = 6 hour

પ્રશ્ન 49.
R ત્રિજ્યાનો અને M દળવાળો નક્કર ગોળો, ગબડતો હોય છે ત્યારે તેની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ઝડપના પદમાં જણાવો.
ઉકેલ:
ગબડતા પદાર્થ(રોલિંગ બૉડી)ની ગતિ-ઊર્જા,
K = \(\frac{1}{2} M v_{\mathrm{cm}}^2\) (1 + \(\frac{k^2}{R^2}\))
પણ, નક્કર ગોળાની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા k = R\(\) છે.
∴ K = \(\frac{1}{2} M v_{\mathrm{cm}}^2\) (1 + \(\sqrt{\frac{2}{5}}\)) = \(\frac{7}{10} M v_{\mathrm{cm}}^2\)

પ્રશ્ન 50.
ઉગમબિંદુ Oને અનુલક્ષીને એક કણનો સ્થાનસદિશ \(\vec{R}\) = (2î – 6ĵ – 12k̂) m અને તેના પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) = (αî + 3ĵ + 6k̂) Nછે, તો ‘૪’ ના કયા મૂલ્ય માટે ઉગમબિંદુ Oને અનુલક્ષીને તે કણનું કોણીય વેગમાન અચળ રહેશે?
ઉકેલ:
ઉગમબિંદુ Oને અનુલક્ષીને કણનું કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) અચળ રહે એટલા માટે તેના પર લાગતું ટૉર્ક \(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\) = 0 થવું જોઈએ, એટલે કે

∴ î(- 36 + 36) – ĵ (12 + 12α) + k̂(6 + 6α) = 0
∴ î (0) + ĵ (- 12α – 12) + k̂(6α + 6) = 0
આ સમીકરણને મૂળ
\(\vec{l}\) = îl_x + ĵl_y + k̂l_z સાથે સરખાવતાં,
l_x = 0
l_y = – 12α – 12 = 0 .. α = \(\frac{+12}{-12}\) = – 1 rads^-2
l_z = 6α + 6 = 0 …. α = \(\frac{-6}{6}\) = – 1 rads^-2
આમ, α = – 1 rad s^-2 છે.

પ્રશ્ન 51.
220 cmનો પરિઘ ધરાવતું એક પૈડું સમક્ષિતિજ સપાટ રસ્તા પર 9 km h^-1ની ઝડપથી ગબડી રહ્યું છે, તો 1sમાં પૈડું કેટલા પરિભ્રમણ કરશે?
ઉકેલ:
1 sમાં પેડાએ કરેલાં પરિભ્રમણોની સંખ્યા એટલે કે, તેની આવૃત્તિ.
v = \(\frac{\omega}{2 \pi}\)
= \(\frac{v}{2 \pi r}\) (∵ ω = \(\frac{v}{r}\) છે.)
= \(\frac{9 \times \frac{5}{18} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{2.2 \mathrm{~m}}\)
= \(\frac{25}{22}\) = rev/s
= 1.136 rev/s

પ્રશ્ન 52.
m₁ અને m₂ દળ ધરાવતાં બે કણ એકબીજાથી r અંતરે રહેલા છે, તો આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા તથા તેમને જોડતી સુરેખાને લંબ એવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા તેમના રિડ્યુસ્ડ માસ μ ના પદમાં શોધો.
ઉકેલઃ

પ્રશ્ન 53.
m દળ અને l લંબાઈ ધરાવતા બે એકસમાન સળિયા આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગોઠવેલા છે, તો આ સળિયાઓના સમતલને લંબ તથા બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.

ઉકેલઃ
દરેક સળિયાની તેની લંબાઈને લંબ અને તેના એક છેડાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા = \(\frac{m l^2}{3}\) હોય છે.
∴ આપેલ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રાં,
I = \(\frac{m l^2}{3}+\frac{m l^2}{3}=\frac{2 m l^2}{3}\)

પ્રશ્ન 54.
m દળ અને l લંબાઈ ધરાવતા એક નિયમિત તારને r ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર આકારમાં વાળવામાં આવે છે. જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે, તો XX′ અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.

ઉકેલ:
અહીં, તારની લંબાઈ l = πr …. r = \(\frac{l}{\pi}\)
XX′ અક્ષને અનુલક્ષીને તારની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = \(\frac{m r^2}{2}\) (:: અર્ધવર્તુળાકાર રિંગની તેના વ્યાસની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા I = \(\frac{m r^2}{2}\) હોય છે.)
= \(\frac{m l^2}{2 \pi^2}\)

અતિ મહત્ત્વની નોંધ :
(1) સંમિત દૃઢ પદાર્થના સંમિત (Symmetrical) ટુકડા કરતાં તેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા k બદલાતી નથી. જુઓ નીચેની આકૃતિ (ઉદાહરણ) :

(2) સંમિત દૃઢ પદાર્થનું સંમિતીય જોડાણ કરતા ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા × બદલાતી નથી. જુઓ નીચેની આકૃતિ (ઉદાહરણ) :

પ્રશ્ન 55.
બધી રીતે એકસરખા એવા M દ્રવ્યમાન અને L લંબાઈ ધરાવતા ત્રણ સળિયાઓને સમબાજુ ત્રિકોણના આકારમાં ગોઠવેલા છે. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
ઉકેલઃ

પ્રશ્ન 56.
આકૃતિમાં M દળ અને R ત્રિજ્યા ધરાવતી ત્રણ રિંગો ગોઠવેલી છે, તો આ તંત્રના XX’ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
ઉકેલ:

I_{તંત્ર} = 2 × I_upper+ I_lower
= 2 × \(\frac{3}{2}\)MR² + \(\frac{1}{2}\) MR²
= \(\frac{7}{2}\) MR²

પ્રશ્ન 57.
M દળ અને R ત્રિજ્યાવાળી રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા, તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને શોધો. (રિંગનું દળ સમાન રીતે વિતરિત થયેલું છે.)
ઉકેલ:
જડત્વની ચાકમાત્રા I = ∫ (dm)r²
પણ રિંગના દરેક દળખંડ અક્ષથી એકસરખા અંતરે રહેલા છે. તેથી r = R
∴ I = R²∫dm MR²
∴ I = MR²

અતિ મહત્ત્વની નોંધ : જો રિંગનું દળ અસમાન રીતે વિતરિત થયેલું હોય, તોપણ I = MR² જ ઉત્તર મળે, કારણ કે હંમેશાં ∫dm = M હોય છે.

પ્રશ્ન 58.
b પહોળાઈ અને l લંબાઈની નિયમિત લંબચોરસ પ્લેટની, તેના સમતલમાં અને તેની લંબાઈને લંબ એવી ધાર(Edge)માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો. લંબચોરસ પ્લેટનું દળ M છે.
ઉકેલ:

આકૃતિમાં દર્શાવેલ અક્ષને અનુલક્ષીને લંબચોરસ પ્લેટના દરેક દળખંડ dmની જડત્વની ચાકમાત્રા,
dI = \(\frac{d m l^2}{3}\) છે.
∴ સમગ્ર લંબચોરસ પ્લેટની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = ∫ dI = \(\frac{l^2}{3}\) ∫ dm
= \(\frac{M l^2}{3}\)

પ્રશ્ન 59.
નિયમિત દળ વિતરણવાળી Mદળ અને R ત્રિજ્યાની રિંગની, તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા MR² છે, તો આ રિંગના નીચે દર્શાવેલા ત્રણેય ભાગ(ટુકડાઓ)ની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.

ઉકેલ:
સંમિત દૃઢ પદાર્થના જ્યારે વિવિધ સંમિત ભાગ (ટુકડાઓ) કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે દરેક સંમિત ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા, મૂળ સંમિત દૃઢ પદાર્થના તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા જેટલી હોય છે જેથી કરીને મૂળ સંમિત દૃઢ પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા k બદલાતી નથી.
∴ અહીં, ત્રણેય ભાગ(ટુકડાઓ)ની જડત્વની ચાકમાત્રા MR² છે.
બીજી રીત :
dI = dmR² (∵ રિંગના ત્રણ અલગ અલગ ભાગ છે.)
∴ ∫ dI = R² ∫ dm
∴ I = MR²
નોંધ : તકતીના કિસ્સામાં ઉત્તર I = \(\frac{1}{2}\) M² આવે.

પ્રશ્ન 60.
સમક્ષિતિજ, r ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર રસ્તા પર υ જેટલી અચળ ઝડપથી સહીસલામત – સુરક્ષિત રીતે ગતિ કરવા માટે સાઇકલ- સવારે શિરોલંબ દિશા સાથે સાઇકલને કેટલા ખૂણે નમેલી રાખીને સાઇકલ ચલાવવી જોઈએ? (બળની ચાકમાત્રાની મદદથી r અને υના પદમાં ખૂણો શોધો.)
ઉકેલ:

ધારો કે, એક સાઇકલસવાર υ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર સમક્ષિતિજ માર્ગ પર ગતિ કરે છે. સાઇકલસવાર અને સાઇકલ બંને વડે બનેલું એક તંત્ર વિચારો. આ તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C એ O કેન્દ્રવાળા અને r ત્રિજ્યાના વર્તુળ પથ પર ગતિ કરે છે.
સમાન કોણીય વેગથી ગતિ કરતી નિર્દેશ-ફ્રેમમાંથી જોતા સમગ્ર તંત્ર સંતુલનમાં છે.
તેથી \(\vec{F}_{\text {net }}\) = 0 અને \(\vec{\tau}_{\text {net }}\) = 0
ચાકગતીય સંતુલન માટે આકૃતિ (b)માંના A બિંદુને અનુલક્ષીને કુલ ટૉર્ક શૂન્ય લેતાં, એટલે કે \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{A}}}\) = 0
∴ Mg (AD) = \(\frac{M v^2}{r}\)(CD)
∴ \(\frac{A D}{C D}=\frac{v^2}{r g}\)
∴ tan θ = \(\frac{v^2}{r g}\)
આથી સાઇકલસવારે શિરોલંબ દિશા સાથે θ = tan^-1(\(\frac{v^2}{r g}\)) જેટલા ખૂણે નમેલી રાખીને સાઇકલ ચલાવવી જોઈએ.

પ્રશ્ન 61.
યામ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O પર રહેલા કણ પર – 10k̂N જેટલું બળ લાગે છે, તો (1 m, – 1 m, 0) બિંદુને અનુલક્ષીને તેના પર લાગતું ટૉર્ક શોધો.
ઉકેલઃ
ટૉર્ક = \(\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\)
= [(0 – 1)î + (0 + 1) ĵ + (0 – 0)k̂) × (- 10 k̂)
= 10 (- î – ĵ)
= – 10 (î + ĵ ) N m

પ્રશ્ન 62.
m દળ અને l લંબાઈનો નિયમિત સળિયો સમક્ષિતિજ લીસા સમતલમાં ઊર્ધ્વઅક્ષને અનુલક્ષીને મુક્ત રીતે ચાકગતિ કરી શકે તેવી રીતે બિંદુ H આગળથી લટકાવેલ છે. m દળવાળો એક કણ સળિયાની લંબાઈને લંબરૂપે પ્રારંભિક ઝડપ υ₀થી ગતિ કરીને સળિયાના મુક્ત છેડે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે, તો અથડામણ પછી તરત જ સળિયાની કોણીય ઝડપ શોધો.

ઉકેલ:
H બિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે, કારણ કે સમક્ષિતિજ સમતલમાં H બિંદુને અનુલક્ષીને ટૉર્ક ઉત્પન્ન કરે તેવું કોઈ બાહ્ય બળ હાજર નથી.
∴ m υ₀ l = (\(\frac{m l^2}{3}\) + ml²)ω
∴ ω = \(\frac{3 v_0}{4 l}\)

પ્રશ્ન 63.
r ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વ્હીલ સપાટ સમક્ષિતિજ રસ્તા પર આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સરક્યા વિના ગબડે છે.

બિંદુ A અને Bના વેગ શોધો.
ઉકેલ:
શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ(એટલે કે સરક્યા વિના ગબડવાની ગતિ)ના કિસ્સામાં સંપર્ક સપાટી સ્થિર હોય છે. તેથી A બિંદુનો વેગ υ_A = 0 છે. તેથી વ્હીલના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cનો વેગ υ = rω.
B બિંદુનો વેગ υ_B = υ + rω = υ + υ = 2υ છે.

પ્રશ્ન 64.
નીચેની આકૃતિમાં એક સમક્ષિતિજ સપાટી પર એક તકતીનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C સુરેખ ગતિ તથા તકતી પોતે તેના CM માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરે છે તેમ દર્શાવ્યું છે, તો આ તકતીની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર ω તથા સંપર્કબિંદુ P ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રાના પદમાં શોધો.

ઉત્તર:
તકતીની કુલ ગતિ-ઊર્જા,
K = \(\frac{1}{2}\)I_CMω² + \(\frac{1}{2}\)Mυ²_CM
= \(\frac{1}{2}\)I_CMω² + \(\frac{1}{2}\)M(ω²R²) (∵ υ_CM = Rω)
= \(\frac{1}{2}\) (I_CM + MR²)ω²
= \(\frac{1}{2}\) (I_{સંપબિંદુ p})ω²

પ્રશ્ન 65.
m દળ અને r ત્રિજ્યાનો એક સંમિત દૃઢ પદાર્થ, ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, આ દૃઢ પદાર્થ પર તેના CMથી X જેટલા અંતરે બળ F લાગે છે, તો સ્થિત ઘર્ષણબળ શૂન્ય થાય તે માટે xનું મૂલ્ય શોધો.

ઉકેલ:
અહીં, દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Oની સાપેક્ષે સંમિત દૃઢ પદાર્થ પર લાગતું ટૉક (F)x = I_CM α …………. (1)
પણ બાહ્ય બળ F = ma છે.
∴ (ma) x = I_CM α
હવે, દૃઢ પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડે છે. તેથી a = αR.
∴ (m × αR) x = I_CM α
∴ x = \(\frac{I_{\mathrm{CM}}}{m R}\)
આમ, આકૃતિમાં દર્શાવેલ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર O થી \(\frac{I_{\mathrm{CM}}}{m R}\) જેટલા અંતરે આવેલ P બિંદુ પાસે જો બાહ્ય બળ F લાગે, તો સ્થિત ઘર્ષણબળ શૂન્ય હોય છે.

અગત્યની નોંધ : દૃઢ પદાર્થની શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ માટે તેના પર સ્થિત ઘર્ષણબળ લાગવું જરૂરી છે. તે શૂન્ય હોઈ શકે છે, તે પાછળની દિશામાં કે આગળની દિશામાં લાગી શકે છે, જેનો આધાર xના મૂલ્ય પર છે.

ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પહેલાં x = \(\frac{I_{\mathrm{CM}}}{m R}\) સૂત્ર પરથી Pનું સ્થાન નક્કી થયા બાદ, જો બળ F, Pની નીચેની તરફ લાગે, તો ઘર્ષણબળ પાછળની તરફ લાગશે અને જો બળ F, Pની ઉપરની તરફ લાગે, તો ઘર્ષણબળ આગળની તરફ લાગશે.

પ્રશ્ન 66.
200 g દળવાળો એક નિયમિત ઘન ગોળો સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે. તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ઝડપ 2.00 cm s^-1છે, તો તેની કુલ ગતિ-ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
આપેલ કોઈ સપાટી પર, સરક્યા વિના ગબડતા સંમિત દઢ પદાર્થની કુલ ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\)I_CMω² + \(\frac{1}{2}\)Mυ²_CM હોય છે.
અહીં, ઘન ગોળો સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે. તેથી તેની CMને અનુલક્ષીને કોણીય ઝડપ ω = \(\frac{v_{\mathrm{CM}}}{r}\) હશે.

= 5.6 × 10^-5 J

પ્રશ્ન 67.
l લંબાઈ અને b પહોળાઈ ધરાવતી, M દળવાળી લંબચોરસ પ્લેટના CMમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ- અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.

ઉકેલઃ

લંબઅક્ષોના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
I₃ = I₁ + I₂
પણ, અહીં I₁ = \(\frac{M b^2}{12}\) અને I₂ = \(\frac{M l^2}{12}\)
∴ I₃ = \(\frac{M\left(l^2+b^2\right)}{12}\)

પ્રશ્ન 68.
l લંબાઈ તથા M દળવાળી નિયમિત ચોરસ પ્લેટના સમતલને લંબ અને આકૃતિમાં દર્શાવેલા બિંદુ Pમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.

ઉકેલ:
ચોરસ પ્લેટની તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
I_c = \(\frac{M l^2}{6}\) છે.
સમાંતર અક્ષોનો પ્રમેય વાપરતાં,
I_p = I_c + Ma²
= \(\frac{M l^2}{6}\) + M(\(\frac{l}{\sqrt{2}}\))²
= \(\frac{M l^2}{6}+\frac{M l^2}{2}\)
= \(\frac{2 M l^2}{3}\)

પ્રશ્ન 69.
m દળવાળો એક કણ ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે X-અક્ષ પર છાઁ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે આપેલ ક્ષણે તેનું કોણીય વેગમાન શોધો.
ઉકેલ:

આપેલ ક્ષણે કણનું કોણીય વેગમાન,
\(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\)
= rî × mυ₀î
= 0

પ્રશ્ન 70.
H બિંદુ પાસેથી લટકાવેલ m દળ અને l લંબાઈનો નિયમિત સળિયો, સમક્ષિતિજ લીસા સમતલમાં ચાકતિ કરવા માટે મુક્ત છે. m દળનો એક કણ પ્રારંભિક ઝડપ u થી સળિયાને લંબરૂપે ગતિ કરતો કરતો સળિયાને અથડાય છે અને તેને H બિંદુથી \(\frac{3 l}{4}\) જેટલા અંતરે ચોંટી જાય છે, તો અથડામણ પછી તરત જ સળિયાની કોણીય ઝડપ શોધો.

ઉકેલ:
H બિંદુની સાપેક્ષે સમગ્ર તંત્ર (સળિયો + કણ) માટે કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ લેતાં,
L_i = L_f
∴ mu(\(\frac{3 l}{4}\)) = (\(\frac{m l^2}{3}\) + m(\(\frac{3 l}{4}\))²)ω
ω = \(\frac{36 u}{43 l}\)

પ્રશ્ન 71.
a આધાર (પાયો) અને b વેધ (ઊંચાઈ) ધરાવતાં સમઢિભુજ (દ્વિસમ) ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ઉચ્ચ શિરોબિંદુથી કેટલા અંતરે હશે તે શોધો. સ્વીકારો કે, ત્રિકોણનું દળ તેના સમગ્ર – ક્ષેત્રફળમાં નિયમિત રીતે વિતરિત થયેલું છે.
ઉકેલ:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, શિરોબિંદુ Aથી x અંતરે એક dx પહોળાઈની અને l લંબાઈની સાંકડી પટ્ટી (Strip)વિચારો.
ΔAMN અને ΔABC સમરૂપ ત્રિકોણો છે.

પ્રશ્ન 72.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ એક વ્હીલની ત્રિજ્યા 20 cm અને જડત્વની ચાકમાત્રા 0.20 kg m² છે. વ્હીલ તેના ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરવા માટે મુક્ત છે. પ્રારંભમાં વ્હીલ સ્થિર છે. વ્હીલની ધાર પર દોરી વિંટાળીને, દોરીને 20 N જેટલા બળથી ખેંચવામાં આવે છે, તો 5 s પછી વ્હીલનો કોણીય વેગ શોધો.

ઉકેલ:
ટૉર્કનો આઘાત τ Δ t = કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર I Δ ω
પણ, અહીં Δ ω = ω – ω₀ = ω – 0 = ω છે.
∴ ω = \(\frac{\tau \Delta t}{I}=\frac{\left(F R \sin 90^{\circ}\right) \Delta t}{I}\)
= \(\frac{(20 \times 0.2 \times 1) \times 5}{0.20}\) = 100 rad s^-1

પ્રશ્ન 73.
0.01 kg દળ ધરાવતા એક કણનો ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) = (10î + 6ĵ) m છે. આ કણ 5 îms^-1 જેટલા વેગથી ગતિ કરે, તો ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને તેનું કોણીય વેગમાન શોધો.
ઉકેલ:
કણનું રેખીય વેગમાન \(\vec{p}=m \vec{v}\)
= 0.01 × 5î
= 0.05 î kg m s^-1
કોણીય વેગમાન,
\(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\)
= (10î + 6ĵ) × 0.05î
= 0.5 (î × î) + 0.3 (ĵ × î )
= – 0.3 k̂Nms (∵ î × î = 0)

પ્રશ્ન 74.
એક નિયમિત તકતીનો વ્યાસ 0.5 m અને દળ 16 kg છે. ટૉર્કના કેટલા મૂલ્ય વડે તકતીનો કોણીય વેગ 8 સેકન્ડમાં શૂન્યથી વધીને 120 (rotation) minute^-1 થાય?
ઉકેલ:
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા I = \(\frac{1}{2}\) MR²
= \(\frac{1}{2}\) × 16 × (\(\frac{0.5}{2}\))²
= \(\frac{1}{2}\) kg m²
કોણીય વેગ ω = 120 × \(\frac{2 \pi}{60}\) rad s^-1 = 4πrad s^-1
હવે,
τ = \(\frac{\Delta L}{\Delta t}=\frac{I \Delta \omega}{\Delta t}=\frac{I\left(\omega-\omega_0\right)}{\Delta t}\)
= \(\frac{\frac{1}{2}(4 \pi-0)}{8}\)
= \(\frac{\pi}{4}\) Nm

પ્રશ્ન 75.
પાતળી મીટર-પટ્ટીનો એક છેડો જમીન સાથે મિજાગરાથી જોડી સ્થિર શિરોલંબ ગોઠવેલ છે. જો તેના ઉપરના છેડાને પતન કરવા માટે મુક્ત કરવામાં આવે, તો તે જ્યારે જમીન સાથે અથડાશે ત્યારે તેનો રેખીય વેગ કેટલો હશે?
ઉકેલઃ

પ્રશ્ન 76.
એક નક્કર ગોળો ઘર્ષણયુક્ત સપાટી પર સરક્યા સિવાય ગબડે છે. આ ગોળાનું દળ m અને ત્રિજ્યા R છે તથા તેના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રની ઝડપ υ₀ જેટલી અચળ છે, તો આ ગોળાના સપાટી સાથેના સંપર્કબિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન શોધો.
ઉકેલ:

પ્રશ્ન 77.
એક R ત્રિજ્યા અને k ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતો પોલો નળાકાર (a) ગબડ્યા સિવાય υ ઝડપથી સરકે છે તથા (b) તેટલી જ ઝડપથી સરક્યા સિવાય ગબડે છે. બંને કિસ્સામાં કુલ ગતિ-ઊર્જાનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉકેલ :
પોલા નળાકાર માટે k = R હોય છે. તેથી \(\frac{k^2}{R^2}\) = 1.
(a) ગબડ્યા સિવાય સરકે તે વખતે,
E_total = E_trans. = \(\frac {1}{2}\)mυ²

(b) સરક્યા સિવાય ગબડે તે વખતે,
E_total = E_rolling = \(\frac {1}{2}\)mυ² ( 1 + \(\frac{k^2}{R^2}\))
= \(\frac {1}{2}\)mυ² ( 1 + 1)
= mυ²
∴ \(\frac{E_{\text {trans. }}}{E_{\text {rolling }}}=\frac{\frac{1}{2} m w^2}{m v^2}=\frac{1}{2}\) = 1 : 2

પ્રશ્ન 78.
એક નિયમિત નક્કર તકતી કે જેનું દળ 1 kg અને ત્રિજ્યા 1 m છે તેને ઘર્ષણયુક્ત સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગોઠવેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેના પર 2 N અને 4 N જેટલું બળ લગાડવામાં આવે છે, જો આ તકતી સરકતી જ ન હોય, તો તકતીના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર નો રેખીય પ્રવેગ શોધો.

ઉકેલઃ
સંપર્કબિંદુ P પર ટૉર્ક લેતાં,
τ_net = (4 × R) – (2 × 2R) = 0
પણ, \(\overrightarrow{\tau_{\text {net }}}=\vec{R} \times \vec{F}_{\text {net }}\)
∴ \(\vec{F}_{\text {net }}\) = 0
પણ, F_net = M a_CM
∴ a_CM = 0

પ્રશ્ન 79.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે l લંબાઈવાળો એક નિયમિત અને લીસ્સો સળિયો, લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરે છે. તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો રેખીય વેગ υ છે તથા સળિયાનો તેના CMને અનુલક્ષીને કોણીય વેગ ω છે, તો બિંદુઓ A અને Bના રેખીય વેગ શોધો.

ઉકેલ:
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સાપેક્ષે A બિંદુનો રેખીય વેગ = ω(l/2)
∴ જમીનની સાપેક્ષે A બિંદુનો રેખીય વેગ, υ_A = υ + ω(l/2)
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સાપેક્ષે B બિંદુનો રેખીય વેગ = – ω(l/2)
∴ જમીનની સાપેક્ષે B બિંદુનો રેખીય વેગ,υ_B = υ – ω(l/2)

પ્રશ્ન 80.
n બાજુઓ ધરાવતાં નિયમિત બહુકોણનાં (n – 1) શિરોબિંદુઓ પર એકસરખા m દળના કણો મૂકેલા છે. ખાલી રહેલા શિરોબિંદુનો બહુકોણના કેન્દ્રની સાપેક્ષે સ્થાનસદિશ \(\vec{a}\) છે, તો આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ શોધો.
ઉકેલઃ
ધારો કે, સમગ્ર નિયમિત બહુકોણનું (દ્રવ્યમાન) કેન્દ્ર, યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O ૫૨ છે.

• ખાલી શિરોબિંદુ Aનો સ્થાનસદિશ Oની સાપેક્ષે \(\vec{a}=\overrightarrow{O A}\) આપેલ છે.
• ધારો કે, હવે (n – 1) શિરોબિંદુઓ પર મૂકેલા સમાન m દળના કણોથી બનતા તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર બિંદુ C પર છે, તો Oની સાપેક્ષે આ CMનો સ્થાનસદિશ (જે શોધવાનો છે), \(\vec{c}=\overrightarrow{O C}\) થાય.
• જો m દળનો એક વધારાનો કણ ખાલી શિરોબિંદુના સ્થાને મૂકેલો ધારવામાં આવે, તો રચાતા સમગ્ર બહુકોણના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ ઉગમબિંદુ O પર જ હશે.
  બીજા શબ્દોમાં, (n – 1) સમાન દળના કણોનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર જે બિંદુ C પર છે તે તથા A પર ધારેલા વધારાના m દળના કણનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર સંયુક્ત રીતે O પર જ હશે.
  ∴ \(\frac{m \vec{a}+(n-1) m \vec{c}}{m+(n-1) m}=\overrightarrow{0}\)
  ∴ m\(\vec{a}\) + m(n – 1) \(\vec{c}\) = \(\vec{0}\)
  ∴ (n – 1) \(\vec{c}\) = – \(\vec{a}\)
  ∴ \(\vec{c}\) = – \(\frac{1}{(n-1)} \vec{a}\)

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) જૂલ સેકન્ડ² એ કોણીય વેગમાનનો એકમ છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(2) એક પૈડાંનું કોણીય વેગમાન તેના પર ટૉર્ક લાગવાના કારણે 3 s માં 2 Lથી વધીને 5L થાય છે, તો લગાડેલા ટૉર્કનું મૂલ્ય L જેટલું હશે.
ઉત્તર:
ખરું

(3) બે એકસમાન પરિમાણ ધરાવતાં નળાકારોમાંનો એક નક્કર છે અને બીજો પોલો છે. જો તેમની ભ્રમણાક્ષો તરીકે તેમના ભૌમિતિક અક્ષો લેવામાં આવે, તો પોલા નળાકારની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા અને નક્કર નળાકારની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર √2 જેટલો હશે.
ઉત્તર:
ખરું

(4) પ્રક્ષિપ્ત કરેલા બૉમ્બનો તેના પરવલયાકાર માર્ગના કોઈ પણ સ્થાને વિસ્ફોટ થાય છે, તો તેમના ટુકડાઓનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તે જ પરવલયાકાર માર્ગ પર ગતિ ચાલુ રાખશે.
ઉત્તર:
ખરું

(5) કણોના તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો \(\vec{V}\) = 0.
ઉત્તર:
ખોટું

(6) ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડીને ઢાળના તળિયે આવતા નક્કર નળાકારનો રેખીય વેગ માત્ર ઢાળની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(7) એક વર્તુળાકાર તકતીનું દળ M અને ત્રિજ્યા R છે. આ તકતીની કિનારીને સ્પર્શતા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને તકતીના સમતલને લંબ એવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા \(\frac{3}{2}\)MR² છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) ઉગમબિંદુ O ને અનુલક્ષીને \(\vec{r}\) સ્થાનસદિશ ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) હોય અને ઉગમબિંદુ O ને અનુલક્ષીને લાગતું ટૉર્ક \(\vec{\tau}\) હોય, તો \(\vec{r} \cdot \vec{\tau}\) = 0 અને \(\vec{F} \cdot \vec{\tau}\) = 0.
ઉત્તર:
ખરું

(9) એક વર્તુળાકાર તકતી અને એક નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા સમાન છે, પણ દ્રવ્યમાન જુદા છે. સમાન ઊંચાઈ અને સમાન લંબાઈના બે એકસરખા ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પરથી તેમને (સરક્યા વિના) ગબડતાં મૂકીએ તો તકતી ઢાળના તળિયે વહેલા પહોંચશે.
ઉત્તર:
ખોટું

(10) બે સમાન દળવાળા કણો એકબીજા તરફ υ અને 2υ વેગથી ગતિ કરે છે, તો આ બે કણોથી બનતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ \(\frac{υ}{2}\) જેટલો હશે.
ઉત્તર:
ખરું

(11) એક બાળક હીંચકા પર બેઠા બેઠા અમુક આવર્તકાળથી ઝૂલે છે. જો તે અચાનક ઊભો થઈ જાય, તો હીંચકાનો આવર્તકાળ ઘટશે.
ઉત્તર:
ખરું

(12) m અને 2m દળના બે કણો એકબીજાથી ત અંતરે રહેલા છે અને તેઓ તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતા (પરસ્પર) ગુરુત્વાકર્ષણ બળના કારણે એકબીજા તરફ ગતિ કરવા લાગે છે. જ્યારે તેઓ એકબીજાથી \(\frac{d}{2}\) અંતરે હશે ત્યારે તેમનાથી બનતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ \(\vec{A}\) = 0 હશે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) પૃથ્વીના ધ્રુવ પ્રદેશો પરનો બધો બરફ પીગળીને વિષુવવૃત્ત પર આવે, તો હાલની દિવસની લંબાઈ 24 hour કરતાં દિવસની લંબાઈ વધી જશે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) સાદી ઘડિયાળના કલાક-કાંટા અને મિનિટ-કાંટાની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર …………………… છે.
ઉત્તર:
1 : 12

(2) નું પારિમાણિક સૂત્ર ………………… છે.
ઉત્તર:
M⁰L¹T⁰

(3) બે એકસરખાં ઈંડાંમાં એક ઈંડું કાચું છે અને બીજું બાફેલું છે. બંનેને એક સમક્ષિતિજ સપાટી પર એકસમાન કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરાવીને છોડી દેવામાં આવે, તો ……………….. ઈંડું વહેલું સ્થિર થશે.
ઉત્તર:
બાફેલું

(4) n કણોથી બનેલા તંત્ર પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય, તો તંત્રનું કુલ …………………. અચળ રહે છે.
ઉત્તર:
રેખીય વેગમાન

(5) 10 g અને 20 g દળ ધરાવતા બે કણોના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે (5, 3, 0) cm અને (2, 0, 3) cm છે, તો તેમના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\vec{R}\) = …………………. .
ઉત્તર:
(3, 1, 2) cm

(6) એક વ્હીલ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરી 3sના અંતે 72 rad s^-1 જેટલો કોણીય વેગ પ્રાપ્ત કરે, તો તેનો અચળ કોણીય પ્રવેગ ……………….. rad s^-2 હશે.
ઉત્તર:
24

(7) ચાકગતિ કરતા એક વ્હીલની ધાર પરના કણનું તાત્ક્ષણિક કોણીય સ્થાન θ = 2t³ – 6t² સૂત્ર વડે આપવામાં આવે છે, તો સમય t = …………………. સેકન્ડે વ્હીલ પર પ્રવર્તતું ટૉર્ક શૂન્ય થશે.
ઉત્તર:
1

(8) સ્થિર અવસ્થામાં રહેલી 50 cm ત્રિજ્યાની એક નિયમિત વર્તુળાકાર તકતી તેના સમતલને લંબ અને તેના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકતિ કરવા માટે મુક્ત છે. આ તકતી પર ટૉર્ક લાગવાના કારણે તે અચળ કોણીય પ્રવેગ 2.0 rad s^-2થી ચાકગતિ કરે છે, તો 2 sના અંતે તેની પરના કોઈ કણનો રેખીય પ્રવેગ …………….. m s^-2 હશે.
ઉત્તર:
8

(9) એક પૈડાની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ 2.00 rad s^-1 છે અને તેનો અચળ કોણીય પ્રવેગ 3.00 rad s^-2 છે, તો આ પેડું 2 યાં કુલ ……………….. rad જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર કરશે.
ઉત્તર:
10

(10) સ્થિર ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતાં દઢ પદાર્થના કોણીય વેગમાન L અને ચાકગતિ-ઊર્જા K_r ના પદમાં જડત્વની ચાકમાત્રા
I = …………….. .
ઉત્તર:
\(\frac{L^2}{2 K_{\mathrm{r}}}\)

(11) 20 kg દળ અને 0.25 m ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર નળાકાર તેના ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને 100 rad s^-1 જેટલી કોણીય ઝડપથી ચાકતિ કરે, તો તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને નળાકારના કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય …………………….. Nm s હશે.
ઉત્તર:
62.5

જોડકાં જોડો: (Column Match અને Matrix Match)

પ્રશ્ન 1.
નીચેની આકૃતિમાં M દળ અને l લંબાઈના નિયમિત સળિયાની ચાર જુદી જુદી અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાઓ I₁, I₂, I₃ અને I₄નાં મૂલ્યો કૉલમ Bમાં આપેલ છે, તો કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. I1	p. Md2
b. I2	q. 0
c. I3	r. \(\frac{M l^2}{3}\)
d. I4	s. \(\frac{M l^2}{12}\)
	t. \(\frac{M l^2}{6}\)

ઉત્તર:
(a – r), (b – s), (c – q), (d-p).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. I1	r. \(\frac{M l^2}{3}\)
b. I2	s. \(\frac{M l^2}{12}\)
c. I3	q. 0
d. I4	p. Md2

Hint : I₄ = d² ∫ dm = Md²

પ્રશ્ન 2.
M દળ, a લંબાઈ અને b પહોળાઈ ધરાવતી નિયમિત લંબચોરસ પ્લેટ માટે કૉલમ A
અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. પ્લેટના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા	p. \(\frac{M b^2}{12}\)
b. પ્લેટના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં બાજુ bને લંબ હોય તેવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા	q. \(\frac{M a^2}{12}\)
c. પ્લેટના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં બાજુ તને લંબ હોય તેવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા	r. \(\frac{M\left(a^2+b^2\right)}{12}\)
	s. \(\frac{M\left(a^2+b^2\right)}{6}\)

ઉત્તર:
(a – r), (b – p), (c – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
b. પ્લેટના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં બાજુ bને લંબ હોય તેવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા	r. \(\frac{M\left(a^2+b^2\right)}{12}\)
c. પ્લેટના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં બાજુ તને લંબ હોય તેવી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા	p. \(\frac{M b^2}{12}\)
	q. \(\frac{M a^2}{12}\)

પ્રશ્ન 3.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ YY₁ અને YY₂ અક્ષોને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા માટેના કૉલમ A અને કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ Aકૉલમ Ba. I_YY1p. 92 kg m²b. I_YY2q. 1 kg m²
r. 10 kg m²
ઉત્તર:
(a – q), (b – q).

પ્રશ્ન 4.
m દળ અને l લંબાઈ ધરાવતા બે એકસમાન સળિયા આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગોઠવેલા છે. સળિયાઓના સમતલને લંબ તથા બિંદુ O અને માાંથી પસાર થતી બે અક્ષોને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રાનાં મૂલ્યો માટે કૉલમ A કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. IO	P. \(\frac{5 m l^2}{3}[latex]
b. IP	q. [latex]\frac{2 m l^2}{3}[latex]
	r. [latex]\frac{m l^2}{6}[latex]

ઉત્તર:
(a – q), (b – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. IO	q. [latex]\frac{2 m l^2}{3}[latex]
b. IP	P. [latex]\frac{5 m l^2}{3}[latex]

Hint : I_P = I₁ + I₂
જ્યાં, I₁ = [latex]\frac{m l^2}{3}[latex] અને I₂ = [latex]\frac{m l^2}{12}[latex] + (√5[latex]\frac{l}{2}\))²

પ્રશ્ન 5.

કૉલમ A	કૉલમ B
a. R ત્રિજ્યાના નિયમિત નક્કર ગોળાની તેને સ્પર્શકરૂપે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા kss	p. R\(\sqrt{\frac{5}{3}}[latex]
b. R ત્રિજ્યાના નિયમિત પોલા ગોળાની તેને સ્પર્શકરૂપે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા khs	q. R[latex]\sqrt{\frac{7}{5}}[latex]
	r. R[latex]\sqrt{\frac{2}{5}}[latex]

ઉત્તર:
(a- q), (b – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. R ત્રિજ્યાના નિયમિત નક્કર ગોળાની તેને સ્પર્શકરૂપે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા kss	q. R[latex]\sqrt{\frac{7}{5}}[latex]
b. R ત્રિજ્યાના નિયમિત પોલા ગોળાની તેને સ્પર્શકરૂપે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા khs	p. R[latex]\sqrt{\frac{5}{3}}[latex]

પ્રશ્ન 6.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલા બિંદુ O અને Aને અનુલક્ષીને ટૉર્ક માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. [latex]\overrightarrow{\tau_{\mathrm{O}}}\)	p. 0
b. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{A}}}\)	q. 5 (1 – √3) k̂
	r. 5 (- √3) k̂

ઉત્તર:
(a – q), (b – r).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{O}}}\)	q. 5 (1 – √3) k̂
b. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{A}}}\)	r. 5 (- √3) k̂

પ્રશ્ન 7.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલાં બિંદુ A, B અને Oને અનુલક્ષીને ટૉર્ક માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{A}}}\)	p. – 50k̂
b. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{B}}}\)	q. – 50ĵ
	r. 50 k̂
	s. 0

ઉત્તર:
(a – s), (b – p), (c – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{A}}}\)	s. 0
b. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{B}}}\)	p. – 50k̂
c. \(\overrightarrow{\tau_{\mathrm{O}}}\)	p. – 50k̂

પ્રશ્ન 8.
નીચેની આકૃતિમાં દૃઢ આધાર ૦ પરથી શિરોલંબ લટકાવેલ એક નિયમિત પટ્ટી પર લાગતાં વિવિધ બળ દર્શાવ્યાં છે, તો કયા બળને લીધે પટ્ટી પર કઈ દિશામાં અનુરૂપ ટૉર્ક લાગશે તેના માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. સમઘડી દિશામાં	p. τ1 અને τ5
b. વિષમઘડી દિશામાં	q. τ2 અને τ3
c. શૂન્ય	r. τ2
	s. τ3 અને τ4

ઉત્તર:
(a – s), (b – r), (c – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. સમઘડી દિશામાં	s. τ3 અને τ4
b. વિષમઘડી દિશામાં	r. τ2
c. શૂન્ય	p. τ1 અને τ5