Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 3 ચતુષ્કોણની સમજ Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 3 ચતુષ્કોણની સમજ Ex 3.3
પ્રશ્ન 1.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD આપેલ છે. દરેક વિધાનને તેમાં ઉપયોગ કરવામાં આવેલ વ્યાખ્યા અથવા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પૂરું કરો:
(i) AD = ………….
(ii) ZDCB = …………..
(iii) OC = ……………..
(iv) m∠DAB + m∠CDA = ……………
ઉત્તરઃ
(i) AD = BC
કારણ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોય છે.
(ii) ∠DCB = ∠DAB
કારણ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં હોય છે.
(iii) OC = OA
કારણઃ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકણે પરસ્પર દુભાગે છે.
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 180°
કારણ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં પાસપાસેના બે ખૂણાઓ પૂરક હોય છે.
પ્રશ્ન 2.
નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં ૪, ૫ અને ૪નાં મૂલ્ય શોધોઃ
(i)
ઉત્તરઃ
□ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ ∠B = ∠D ∴ y = 100° (∵ સામસામેના ખૂણા)
હવે, y + z = 180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
∴ 100 + z = 180°
∴ z = 180° – 100°
∴ z = 80°
હવે, x = z (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴ x = 80°
આમ, x = 80°, y = 100° અને z = 80°
(ii)
ઉત્તરઃ
આપેલ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ m∠P + m∠S = 180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
∴ x + 50° = 180°
∴ x = 180° – 50°
∴ x = 130°
વળી, x = y (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴ y = 130°
હવે m∠Q = 50° (∵ ∠S અને ∠Q સામસામેના ખૂણા)
m∠Q + z = 180° (∵ રેખિક જોડના ખૂણા)
∴ 50° + 3 = 180°
∴ z = 180° – 50°
∴ z = 130°
આમ, x = 130°, U = 130° અને z = 130°
(iii)
ઉત્તરઃ
□ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેમાં ∠AMD કાટખૂણો છે.
∴ m∠BMC = 90° અને
∴ m∠AMD = 90° (અભિકોણો)
x = m∠BMC = 90°
Δ BMCના ત્રણે ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° થાય.
∴ y + 90° + 30° = 180°
∴ y + 120° = 180°
∴ y = 180° – 120°
∴ y = 60°
□ ABCDમાં \(\overline{\mathrm{BC}} \| \overline{\mathrm{AD}}\) અને તેમની છેદિકા \(\overline{\mathrm{BD}}\) છે.
∴ y = z (∵ યુગ્મકોણો)
∴ z = 60° (∵ y = 60°)
આમ, x = 90°, y = 60° અને z = 60°
(iv)
ઉત્તરઃ
□ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∠D = ∠B (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴ y = 80°
m∠A + m∠D = 180° (∵ પાસપાસેના પૂરક હોય છે.)
∴ x + y = 180°
∴ x + 80° = 180°
∴ x = 180° – 80°
∴ x = 100°
m∠A = m∠BCD (∵ સામસામેના પૂરક હોય છે.)
∴ 100° = m∠BCD
હવે, z + m∠BCD = 180° (∵ રૈખિક જોડના ખૂણા)
∴ z + 100° = 180°
∴ z = 180° – 100°
∴ z = 80°
આમ, x = 100, y = 80° અને z = 80°
(v)
ઉત્તરઃ
□ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ m∠B = m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴ y = 112°
m∠A + m∠B = 180° (∵ પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)
∴ (40° + z) + 112° = 180°
∴ 40° + z + 112° = 180°
∴ z + 152° = 180°
∴ z = 180° – 152°
∴ z = 28°
હવે, \(\overline{\mathrm{DC}} \| \overline{\mathrm{AB}}\) અને \(\overleftrightarrow{\mathrm{AC}}\) તેમની છેદિકા છે.
∴ z = x
∴ x = 28° (∵ z = 28°)
આમ, x = 28°, y = 112° અને z = 28°
પ્રશ્ન 3.
શું ચતુષ્કોણ ABCD, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ થઈ શકે, જો ……………..
(i) ∠D + ∠B = 180°?
(ii) AB = DC = 8 સેમી, AD = 4 સેમી અને BC = 4.4 સેમી?
(iii) ∠A = 70° અને ∠C = 65°?
ઉત્તરઃ
(i) ના, અહીં ∠D અને ∠B એ પાસપાસેના બે ખૂણા નથી.
તેથી ચતુષ્કોણ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ન થઈ શકે.
(ii) ના, અહીં AD ≠ BC (∵ AD = 4 સેમી અને BC = 4.4 સેમી)
તેથી ચતુષ્કોણ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ન થઈ શકે.
(iii) ના, m∠A ≠ m∠C (∵ M∠A = 70° અને m∠C = 65°)
તેથી, ચતુષ્કોણ ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ન થઈ શકે.
પ્રશ્ન 4.
એક એવા ચતુષ્કોણની કાચી (Rough) આકૃતિ દોરો કે જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ના હોય પરંતુ સામસામેના ખૂણાની એક જોડી સમાન હોય.
ઉત્તરઃ
અહીં ચતુષ્કોણ ABCD દોય છે.
આકૃતિમાં જુઓ.
∠B = ∠D છે.
છતાં □ ABCD એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી.
પ્રશ્ન 5.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બે પાસપાસેના ખૂણાનાં માપનો ગુણોત્તર 3 : 2 છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાનાં માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, □ ABCDમાં ∠A અને ∠Bનું માપનું પ્રમાણ 3 : 2 છે.
∴ ∠A એ 3x છે, તો ∠B એ 2x છે.
હવે, m∠A + m∠B = 180° (∵ પાસપાસેના બે ખૂણા પૂરક હોય છે.)
∴ 3x + 2x = 180°
∴ 5x = 180°
∴ x = \(\frac{180^{\circ}}{5}\)
∴ x = 36°
m∠A = 3x = 3 × 36° = 108° અને
m∠B = 2x = 2 × 36° = 72°
હવે, m∠A = m∠C અને m∠B = m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴ m∠C = 108° અને m∠D = 72°
આમ, □ ABCDમાં ∠A = 108°, ∠B = 72°, ∠C = 108° અને ∠D = 72°
પ્રશ્ન 6.
એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાની એક જોડના ખૂણાનાં માપ સમાન છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાનાં માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
□ ABCD એવો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. જેના પાસપાસેના બે ખૂણા ∠A અને ∠B એકરૂપ છે.
∴ ∠A = ∠B
હવે, m∠A + m∠B = 180° (∵ પાસપાસેના બે ખૂણા પૂરક હોય છે.)
∴ m∠A + m∠A = 180° ( m∠B = m∠A)
∴ 2m∠A = 180°
∴ m∠A = 180° = 90°
∴ m∠B = 90°
હવે, m∠A = m∠C અને m∠B = m∠D (∵ સામસામેના ખૂણા)
∴ m∠C = 90° અને m∠D = 90°
આમ, ∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 90° અને ∠D = 90° આ ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.
પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ HOPE દર્શાવેલ છે. x, y, z ખૂણાનાં માપ શોધો. ખૂણો શોધવા કયા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો છે તે જણાવો.
ઉત્તરઃ
ΔHOPનો બહિષ્કોણ ∠POA છે.
∴ y + z = 70°
વળી, m∠HOP = 180° – 70° (∵ રેખિક જોડના ખૂણા) ← ગુણધર્મ
∴ m∠HOP = 110°
x = ∠HOP = ∠HEP (∵ સામસામેના ખૂણા) ← ગુણધર્મ
∴ x = 110°
∴ \(\overline{\mathrm{PO}} \| \overline{\mathrm{EH}}\) ની \(\overleftrightarrow{\mathrm{PH}}\) છેદિકા છે.
∴ ∠OPH = ∠FHE (∵ યુગ્મકોણ) ← ગુણધર્મ
∴ y = 40°
હવે, y + z = 70° (∵ ઉપર સાબિત કર્યું.)
∴ 40° + 3 = 70°
∴ z = 70° – 40°
∴ z = 30°
આમ, x = 110°, y = 40° અને z = 30°
પ્રશ્ન 8.
નીચેની આકૃતિ GUNS અને RUNS સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. x અને y શોધો. (લંબાઈ સેમીમાં છે.)
(i)
ઉત્તરઃ
□ GUNS એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ GS = NU અને SN = GU (∵ સામસામેની બાજુઓ)
∴ 3x = 18 અને 26 = 3y – 1
હવે, 3x = 18 ∴ x = \(\frac { 18 }{ 3 }\)
∴ x = 6
તથા 26 = 3y – 1
∴ 3y = 26 + 1
∴ 3y = 27
∴ y = \(\frac {27}{3}\)
∴ y = 9
આમ, x = 6 સેમી અને y = 9 સેમી
(ii)
ઉત્તરઃ
□ RUNS એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
□ RUNSના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.
∴y + 7 = 20
∴y = 20 – 7,
y = 13
અને x + y = 16માં y = 13 મૂકતાં,
x + 13 = 16
∴ x = 16 – 13
∴ x = 3
આમ, x = 3 સેમી અને y = 13 સેમી
પ્રશ્ન 9.
ઉપરની આકૃતિમાં RISK અને CLUE સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે, તો x શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં □ RISK સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ m∠R+ m∠K = 180° (∵ પાસપાસેના બે ખૂણા પૂરકકોણ)
∴ m∠R + 120° = 180°
∴ m∠R = 180° – 120°
∴ m∠R = 60°
હવે ∠R અને ∠S એ સમાંતરબાજુ □ RISKના સામસામેના ખૂણા છે.
∴ m∠S = 60°
હવે □ CLUE એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ m∠E = m∠L = 90° (∵ સામસામેના ખૂણાનાં માપ સરખાં)
હવે, Δ ESQના ત્રણે ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 180° થાય છે.
∴ m∠E + m∠S + x = 180°
∴ 70° + 60° + x = 180°
∴ 130° + x = 180°
∴ x = 180° – 130°
∴ x = 50°
આમ, x = 50°
પ્રશ્ન 10.
નીચેની આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ કેવી રીતે છે, તે સમજાવો. કઈ બે બાજુ પરસ્પર સમાંતર છે?
ઉત્તરઃ
અહીં □ LMNKમાં m∠L + m∠M = 80° + 100° = 180°
એટલે કે □ LINKમાં ∠L અને ∠M એ પૂરકકોણો છે.
પણ આ \(\overline{\mathrm{NM}} \| \overline{\mathrm{KL}}\) ને \(\overleftrightarrow{\mathrm{ML}}\) છેદવાથી બનતા છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો છે.
∴ \(\overline{\mathrm{NM}} \| \overline{\mathrm{KL}}\)
□ NMNKમાં એક જ બાજુની જોડ \(\overline{\mathrm{NM}} \| \overline{\mathrm{KL}}\) છે. તેથી આ ચતુષ્કોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
પ્રશ્ન 11.
આપેલી આકૃતિમાં જો \(\overline{\mathbf{A B}} \| \overline{\mathbf{D C}}\) હોય, તો m∠C શોધો.
ઉત્તરઃ
□ ABCDમાં \(\overline{\mathbf{A B}} \| \overline{\mathbf{D C}}\) છે.
∴ □ ABCD એ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
અહીં \(\overline{\mathbf{A B}} \| \overline{\mathbf{D C}}\)ની છેદિકા \(\overleftrightarrow{\mathrm{BC}}\) છે.
∴ m∠B + m∠C = 180°
(∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરકકોણ હોય છે.)
∴ 120° + m∠C = 180°
∴ m∠C = 180° – 120° = 60°
આમ, m∠C = 60°
પ્રશ્ન 12.
બાજુમાં આપેલ આકૃતિમાં, જો \(\overline{\mathrm{SP}} \| \overline{\mathrm{RQ}}\) હોય, તો ∠P અને ∠Sનું માપ શોધો. (જો તમે m∠R શોધતા હોય, તો શું, m∠P શોધવાની અન્ય પદ્ધતિઓ હશે?)
ઉત્તરઃ
અહીં □ PQRSમાં \(\overline{\mathrm{SP}} \| \overline{\mathrm{RQ}}\) છે.
∴ □ PQRS સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.
\(\overline{\mathrm{SP}} \| \overline{\mathrm{RQ}}\)ની છેદિકા \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) છે.
m∠P + m∠Q = 180° (∵ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો)
∴ m∠P + 130° = 180°
∴ m∠P = 180° – 130°
∴ m∠P = 50°
હવે □ PQRSમાં ∠R કાટખૂણો છે.
\(\overline{\mathrm{SP}} \| \overline{\mathrm{RQ}}\) અને તેને \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) છેદે છે.
∴ m∠S + m∠R = 180°
∴ m∠S + 90° = 180°
∴ m∠S + 180° – 90°
∴ m∠S = 90°
હા, ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 360° થાય છે, તે પરથી પણ ∠P અને ∠R શોધી શકીએ.
∴ m∠P + m∠Q + m∠R + m∠S = 360°
∴ m∠P + 130° + 90° + 90° = 360°
∴ m∠P + 310° = 360°
∴ m∠P = 360° – 310°
∴ m∠P = 50°