Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.
GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ in Gujarati
નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :
પ્રશ્ન 1.
એક ગ્રહની આસપાસ r ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ T હોય, તો 4r ત્રિજ્યાની કક્ષામાંના ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ T’ = ………………… .
A. 4T
B. 2T
C. 8T
D. 16T
ઉત્તર:
C. 8T
Hint : ગ્રહની આસપાસ r ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ T હોય, તો
પ્રશ્ન 2.
બે ગ્રહોની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે r1 અને r2 તથા તેમની ઘનતાઓ અનુક્રમે ρ1 અને ρ2 છે.
તેમની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ અનુક્રમે g1 અને g2 છે, તો \(\frac{g_1}{g_2}\) = ……………. .
A. \(\frac{r_1 \rho_1}{r_2 \rho_2}\)
B. \(\frac{r_2 \rho_2}{r_1 \rho_1}\)
C. \(\frac{r_1 \rho_2}{r_2 \rho_1}\)
D. \(\frac{r_2 \rho_1}{r_1 \rho_2}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{r_1 \rho_1}{r_2 \rho_2}\)
Hint : કોઈ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ,
g = [latexa]\frac{G M}{R^2}[/latex] જ્યાં, M = ગ્રહનું દળ; R = ગ્રહની ત્રિજ્યા
∴ g = [latexa]\frac{G}{R^2} \times \frac{4}{3}[/latex] πR3ρ
∴ g = \(\frac{4}{3}\) πGRρ
∴. g ∝Rρ (∵ \(\frac{4}{3}\) πG = અચળ)
∴ r1 ત્રિજ્યાના ગ્રહ માટે g1 ∝ r1ρ1 અને
r2 ત્રિજ્યાના ગ્રહ માટે g2 ∝ r2ρ2
∴ \(\frac{g_1}{g_2}=\frac{r_1 \rho_1}{r_2 \rho_2}\)
પ્રશ્ન 3.
એક માણસનું વજન પૃથ્વીની સપાટી પર 500 N હોય, તો સપાટીથી કેટલી ઊંચાઈએ તેનું વજન 250 N થાય?
(પૃથ્વીની ત્રિજ્યા = 6400 km)
A. 2525 km
B. 2650 km
C. 3200 km
D. 6400 km
ઉત્તર :
B. 2650 km
Hint : \(\frac{W_1}{W_2}=\frac{m g_1}{m g_2}\)
∴ \(\frac{500}{250}=\frac{g_1}{g_2}\)
∴ 2 = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2} \times \frac{R^2}{G M_{\mathrm{e}}}\)
∴ √2 × Re = R
હવે, ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ h છે.
∴ R = Re + h
∴ h = R – Re
= √2 Re – Re
= Re (√2 – 1)
= 6400 [1.414 – 1.000]
= 6400 × 0.414
= 2649.6
≈ 2650 km
પ્રશ્ન 4.
પૃથ્વીની આસપાસ એક ઉપગ્રહ વર્તુળકક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. જો તેના પરનું પૃથ્વીનું ગુરુત્વ બળ એકાએક અદશ્ય થઈ જાય, તો તે …
A. તેની કક્ષાને તે ક્ષણે સ્પર્શીય દિશામાં તેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરશે.
B. તેની કક્ષા પર તેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરશે.
C. પૃથ્વી તરફ પ્રવેગિત ગતિ કરીને પડશે.
D. તે બિંદુએ સ્થિર બની જશે.
ઉત્તર:
A. તેની કક્ષાને તે ક્ષણે સ્પર્શીય દિશામાં તેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરશે.
Hint : વર્તુળાકાર ગતિ કરતા પદાર્થને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અને વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શકરૂપે વેગ હોય છે.
જો પૃથ્વીનું ગુરુત્વ બળ (કેન્દ્રગામી બળ) એકાએક અદશ્ય થાય, તો કેન્દ્રગામી બળ શૂન્ય બને પણ સ્પર્શીય વેગ શૂન્ય થતો નથી. તેથી ઉપગ્રહ સ્પર્શીય દિશામાં તેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરશે.
પ્રશ્ન 5.
પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલા m દળના એક પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટીથી nR જેટલી ઊંચાઈએ લઈ જવામાં આવે ત્યારે તેની સ્થિતિ-ઊર્જામાં કેટલો ફેરફાર થાય?
(R = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા, g = પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ)
A. \(\frac{m g R}{(n-1)}\)
B. mgR (n – 1)
C. mgR (\(\frac{n}{(n+1)}\))
D. mgR (n + 1)
ઉત્તર:
C. mgR (\(\frac{n}{(n+1)}\))
Hint : પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિતિ-ઊર્જા V1 = – \(\frac{G M m}{R}\)
પૃથ્વીની સપાટીથી nR ઊંચાઈએ સ્થિતિ-ઊર્જા,
પ્રશ્ન 6.
M અને 4 M દળ ધરાવતા બે ગ્રહો વચ્ચેનું અંતર a છે. તેમને જોડતી રેખા પરના જે બિંદુએ ગુરુત્વતીવ્રતા શૂન્ય બને, તે બિંદુએ ગુરુત્વસ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A. \(\frac{-9 G M}{a}\)
B. \(\frac{-5 G M}{a}\)
C. \(\frac{-3 G M}{a}\)
D. \(\frac{-7 G M}{a}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{-9 G M}{a}\)
Hint :
ધારો કે, આકૃતિમાં દર્શાવેલ P બિંદુ પાસે ગુરુત્વતીવ્રતા (અથવા ગુરુત્વપ્રવેગ) શૂન્ય છે, તો
\(\frac{G M}{x^2}=\frac{G(4 M)}{(a-x)^2}\)
∴ \(\frac{G M}{x^2}=\frac{G(4 M)}{(a-x)^2}\)
∴ \(\frac{(a-x)}{x}\) = 2
∴ a – x = 2x
∴ a = 3x
∴ x = \(\frac{a}{3}\)
∴ હવે, M દળવાળા ગ્રહથી x અંતરે ગુરુત્વસ્થિતિમાન,
પ્રશ્ન 7.
બે ગ્રહોની ઘનતાઓ અનુક્રમે ρ1 અને ρ2 હોય તથા તેમની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે R1 અને R2
હોય, તો તેમની સપાટી ૫૨ ૨હેલા પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપનાં મૂલ્યોનો ગુણોત્તર \(\) = ……………… .
A. \(\frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2}\)
B. \(\sqrt{\frac{\rho_1 R_1}{\rho_2 R_2}}\)
C. \(\sqrt{\frac{\rho_1 R_1^2}{\rho_2 R_2^2}}\)
D. \(\frac{\rho_1^2 R_1^2}{\rho_2^2 R_2^2}\)
ઉત્તર:
C. \(\sqrt{\frac{\rho_1 R_1^2}{\rho_2 R_2^2}}\)
Hint : R1 ત્રિજ્યાવાળા ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ,
υ1 = \(\sqrt{\frac{\rho_1 R_1^2}{\rho_2 R_2^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{2 G \times \frac{4}{3} \pi R_1^3 \rho_1}{R_1}}=\sqrt{\frac{8 \pi G \rho_1 R_1^2}{3}}\)
R2 ત્રિજ્યાવાળા ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ,
υ2 = \(\sqrt{\frac{8 \pi G \rho_2 R_2^2}{3}}\)
∴ \(\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{\rho_1 R_1^2}{\rho_2 R_2^2}}\)
પ્રશ્ન 8.
ગ્રહની આસપાસ ભ્રમણ કરતા જુદા જુદા ઉપગ્રહોની ગતિ-ઊર્જા તેમના આવર્તકાળ T પર કેવી રીતે આધારિત છે?
A. \(T^{-\frac{2}{3}}\)ના સમપ્રમાણમાં
B. \(T^{\frac{2}{3}}\)ના સમપ્રમાણમાં
C. \(T^{\frac{2}{3}}\)ના સમપ્રમાણમાં
D. \(T^{-\frac{2}{3}}\) ના સમપ્રમાણમાં
ઉત્તર:
A. \(T^{-\frac{2}{3}}\)ના સમપ્રમાણમાં
Hints :
પ્રશ્ન 9.
પૃથ્વીની આસપાસ m દળનો ઉપગ્રહ r ત્રિજ્યાની વર્તુળ કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે, તો તેનું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે?
પૃથ્વીનું દળ = M
A. m[/latex]\sqrt{\frac{G M}{r}}[/latex]
B. M\(\sqrt{G m r}\)
C. \(\frac{M \sqrt{G m}}{r}\)
D. m\(\sqrt{G M r}\)
ઉત્તર:
D. m\(\sqrt{G M r}\)
Hint : ઉપગ્રહની નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,
કેન્દ્રગામી બળ = ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
બીજી રીત :
m દળના ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન,
L = mυr
L = m(\(\sqrt{\frac{G M}{r}}\))r (∵ ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ υ = \(\sqrt{\frac{G M}{r}}\))
m\(\sqrt{G M r}\)
પ્રશ્ન 10.
એક ગ્રહની ઘનતા ρ છે. તેની સપાટીની તદ્દન નજીક જ રહીને ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ કેટલો હશે?
A. \(\left(\frac{3 \pi}{G \rho}\right)^{\frac{3}{2}}\)
B. \(\left(\frac{3 \pi}{G \rho}\right)^{\frac{1}{2}}\)
C. \(\left(\frac{3 \pi}{2 G \rho}\right)^{\frac{1}{2}}\)
D. \(\left(\frac{3 \pi}{2 G \rho}\right)^{\frac{3}{2}}\)
ઉત્તર:
B. \(\left(\frac{3 \pi}{G \rho}\right)^{\frac{1}{2}}\)
Hint : R ત્રિજ્યા અને M દળના ગ્રહની આસપાસ તેની સપાટીની તદ્દન નજીક રહીને ભ્રમણ કરતાં m દળના ઉપગ્રહ માટે કેન્દ્રગામી બળ = ગુરુત્વાકર્ષણ બળ થવું જોઈએ.
પ્રશ્ન 11.
M દળના ગ્રહની આસપાસ m દળનો ઉપગ્રહ r ત્રિજ્યાવાળી વર્તુળ કક્ષામાં પરિક્રમણ કરે છે, તો તેનો ક્ષેત્રિય વેગ કેટલો
હશે?
A. \(\frac{\sqrt{G m r}}{2}\)
B. \(\frac{\sqrt{G M r}}{2}\)
C. \(\sqrt{G M r}\)
D. \(\frac{G M r}{\sqrt{2}}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{\sqrt{G M r}}{2}\)
Hint : ઉપગ્રહનો ક્ષેત્રિય વેગ,
\(\frac{d A}{d t}=\frac{L}{2 m}\) ………. (1)
= \(\frac{m v r}{2 m}=\frac{v r}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{G M}{r}}\right)\) × r (∵ ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ υ = \(\sqrt{\frac{G M}{r}}\))
∴ \(\frac{d A}{d t}=\frac{1}{2} \sqrt{G M r}\)
પ્રશ્ન 12.
યોગ્ય જોડકાં બનાવો :
| કૉલમ I | કૉલમ II |
| 1. ધ્રુવીય ઉપગ્રહ | p. દૂરસંચાર |
| 2. ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ | q. ચંદ્ર પર જવામાં ઉપયોગી |
| r. જાસૂસી |
A. (1 → p), (2 → q)
B. (1 → r), (2 → p)
C. (1→r), (2 → q)
D. (1 → q), (2 → r)
ઉત્તર:
B. (1 → r), (2 → p)
પ્રશ્ન 13.
સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું મહત્તમ અને લઘુતમ અંતર અનુક્રમે r1 અને r2 છે, તો લંબવૃત્તીય કક્ષા ૫૨ પૃથ્વીના સ્થાન પરથી દીર્ઘઅક્ષ પર સૂર્યના સ્થાન પર દોરેલા લંબની લંબાઈ = ………. .
A. \(\frac{r_1+r_2}{4}\)
B. \(\frac{r_1+r_2}{r_1-r_2}\)
C. \(\frac{2 r_1 r_2}{r_1+r_2}\)
D. \(\frac{r_1+r_2}{3}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{2 r_1 r_2}{r_1+r_2}\)
Hint :
ઉપવલયના ગુણધર્મો પરથી,
r1 = (1 + e) a અને r2 = (1 – e) a
∴ r1 + r2 = 2a
∴ a = \(\frac{r_1+r_2}{2}\)
r1r2 = (1 + e) a × (1 – e) a = (1 – e2) a2
પણ, b2 = (1 – e2) a2 હોય છે.
∴ r1r2 = b2
તેથી માગેલ અંતર E’S = \(\frac{b^2}{a}\)
= \(\frac{r_1 r_2}{\left(\frac{r_1+r_2}{2}\right)}=\frac{2 r_1 r_2}{r_1+r_2}\)
નોંધ : અંતર ES નીચે મુજબ શોધી શકાય :
ES2 = OS2 + OE2
∴ ES2 = (ae)2 + b2
= (ae)2 + (1 – e2) a2 = a2
∴ ES = a થાય.
પણ a = \(\frac{r_1+r_2}{2}\) છે.
∴ ES = \(\frac{r_1+r_2}{2}\)
પ્રશ્ન 14.
પૃથ્વીની સરેરાશ ત્રિજ્યા R, પોતાની અક્ષ પર તેની કોણીય ઝડપ છ અને પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ g છે, તો ભૂસ્થિર ઉપગ્રહની ભ્રમણ કક્ષાની ત્રિજ્યા કેટલી?
A. \(\left(\frac{R^2 g}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
B. \(\left(\frac{R g}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
C. \(\left(\frac{R^2 \omega^2}{g}\right)^{\frac{1}{3}}\)
D. \(\left(\frac{R^2 g}{\omega}\right)^{\frac{1}{3}}\)
ઉત્તર:
A. \(\left(\frac{R^2 g}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
Hint : ઉપગ્રહની વર્તુળાકાર ગતિ માટે,
કેન્દ્રગામી બળ = ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
∴ mrω2 = \(\frac{G M m}{r^2}\)
જ્યાં, M = પૃથ્વીનું દળ, m = ઉપગ્રહનું દળ અને
r = ભૂસ્થિર ઉપગ્રહની ત્રિજ્યા
r3 = \(\frac{G M}{\omega^2}=\frac{g R^2}{\omega^2}\) (∵ g = \(\frac{G M}{R^2}\))
∴ r = \(\left(\frac{R^2 g}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}\)
પ્રશ્ન 15.
સૂર્યની આસપાસ 1.5 × 108 km ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પૃથ્વી (દળ = 6 × 1024 kg), 2 × 10-7rad/s જેટલી કોણીય ઝડપથી ગતિ કરે છે, તો પૃથ્વી પર સૂર્યના લીધે લાગતું બળ ……………… N છે.
A. 36 × 1021
B. 27 × 1039
C. શૂન્ય
D. 18 × 1025
ઉત્તર:
A. 36 × 1021
Hint : પૃથ્વી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
= કેન્દ્રગામી બળ
= \(\frac{M_{\mathrm{e}} v^2}{r}\)
= \(\)(r2ω2)
= mrω2
= 6 × 1024 × 1.5 × 1011 × (2 × 10-7)2
= 36 × 1021 N
પ્રશ્ન 16.
પૃથ્વીની સરેરાશ ઘનતા ρ અને ગુરુત્વપ્રવેગ g વચ્ચેનો સંબંધ નીચેનામાંથી કયો છે?
(જ્યાં, G = ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક; R = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા)
A. ρ = \(\frac{3 g}{4 \pi G R}\)
B. ρ = \(\frac{3 g}{4 \pi G R^3}\)
C. ρ = \(\frac{4 \pi g R^2}{3 G}\)
D. ρ = \(\frac{4 \pi g R^3}{3 G}\)
ઉત્તર:
A. ρ = \(\frac{3 g}{4 \pi G R}\)
Hint : ગુરુત્વપ્રવેગ g = \(\frac{G M}{R^2}\)
જ્યાં, M = પૃથ્વીનું દળ; R = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા
∴ g = \(\frac{G}{R^2}\) (\(\frac{4}{3}\) πR3ρ)
∴ g = \(\frac{4}{3}\) πGRρ
∴ ρ = \(\frac{3 g}{4 \pi G R}\)
પ્રશ્ન 17.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી કણને કેટલા વેગથી ઊંચે ફેંકવામાં આવે કે જેથી તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલી થાય? (M = પૃથ્વીનું દળ, R = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા)
A. \(\left(\frac{G M}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\)
B. \(\left(\frac{8 G M}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\)
C. \(\left(\frac{2 G M}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\)
D. \(\left(\frac{4 G M}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\)
ઉત્તર:
C. \(\left(\frac{2 G M}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\)
Hint : પૃથ્વીની સપાટી પરથી કણને υ0 જેટલા વેગથી ફેંકતા તેણે પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ,
hmax = \(\frac{v_0^2}{2 g}\) હોય છે.
∴ υ02 = 2g(hmax)
પણ, અહીં g = \(\frac{G M}{R^2}\)
∴ υ02 = 2 × \(\frac{G M}{R^2}\) × R (∵ hmax = R આપેલ છે))
= \(\frac{2 G M}{R}\)
∴ υ0 = \(\left(\frac{2 G M}{R}\right)^{\frac{1}{2}}\)
પ્રશ્ન 18.
m દળવાળા પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી, પૃથ્વીની ત્રિજ્યાથી ત્રણ ગણી ઊંચાઈએ લઈ જવામાં આવે, તો ગુરુત્વસ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર ……………
A. \(\frac{m g R}{4}\)
B. \(\frac{2}{3}\) mgR
C. \(\frac{3}{4}\) mgR
D. \(\frac{m g R}{2}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{3}{4}\) mgR
Hint : પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વસ્થિતિ-ઊર્જા = – \(\frac{G M m}{R}\)
જ્યાં, M = પૃથ્વીનું દળ, R = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને G = સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક.
પૃથ્વીની સપાટીથી h = 3R ઊંચાઈએ ગુરુત્વસ્થિતિ-ઊર્જા,
પ્રશ્ન 19.
પૃથ્વીને R ત્રિજ્યાનો ગોળો ધારવામાં આવે છે. જો પૃથ્વીની સપાટીથી R ઊંચાઈએ એક પ્લૅટફૉર્મ ગોઠવવામાં આવેલું હોય અને જો આ પ્લૅટફૉર્મ પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ fυ હોય જ્યાં υ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો નિષ્ક્રમણ વેગ હોય, તો f નું મૂલ્ય …………….. .
A. \(\frac{1}{2}\)
B. √2
C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Hint : પૃથ્વીની સપાટીથી R જેટલી ઊંચાઈએ આવેલ પ્લૅટફૉર્મ પર સ્થિર પડેલા પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ,
પ્રશ્ન 20.
પૃથ્વીના બે ઉપગ્રહો S1 અને S2 એક જ કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. S1નું દળ S2ના દળ કરતાં 4 ગણું હોય, તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A. પૃથ્વી અને બંને ઉપગ્રહોની સ્થિતિ-ઊર્જા સમાન છે.
B. S1 અને S2 બંને સમાન ઝડપથી ગતિ કરે છે.
C. બંને ઉપગ્રહોની ગતિ-ઊર્જા સમાન હોય છે.
D. S1 ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ, S2 ઉપગ્રહના આવર્તકાળ કરતાં 4 ગણો છે.
ઉત્તર:
B. S1 અને S2 બંને સમાન ઝડપથી ગતિ કરે છે.
Hint : સ્થિતિ-ઊર્જાના સૂત્ર V = – \(\frac{G M m}{r}\) માં બંને ઉપગ્રહો માટે \(\frac{G M}{r}\) સમાન છે.
∴ V ∝ m
∴ \(\frac{V_{\mathrm{s}_1}}{V_{\mathrm{s}_2}}=\frac{m_{\mathrm{s}_1}}{m_{\mathrm{s}_2}}\) = 4
∴ વિકલ્પ A ખોટો છે.
હવે, ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ υ0 = \(\sqrt{\frac{G M}{r}}\) અનુસાર આ ઝડપ ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત નથી. તેથી બંનેની ઝડપ સમાન હોય, તેથી વિકલ્પ B સાચો છે.
આ જ પ્રમાણે ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\) mυ02 પરથી, K ∝ m (∵ υ0 = બંને
ઉપગ્રહો માટે સમાન)
∴ વિકલ્પ C ખોટો છે.
બંને ઉપગ્રહોની ભ્રમણકક્ષા એક જ હોવાથી તેમના આવર્તકાળ, સૂત્ર T = \(\left(\frac{4 \pi^2}{G M}\right)^{\frac{1}{2}} r^{\frac{3}{2}}\) પરથી સમાન થાય, તેથી વિકલ્પ D ખોટો છે.
પ્રશ્ન 21.
પ્રત્યેકનું દળ 2 kg હોય તેવા અનંત પદાર્થો X-અક્ષ પર ઉદ્ગમબિંદુથી ક્રમશઃ 1 m, 2 m, 4m, 8m, … અંતરે ગોઠવાયેલ છે. આ તંત્રના ઉદ્ગમબિંદુ પર પરિણામી ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન …………… હશે.
A. – \(\frac{8}{3}\) G
B. – \(\frac{4}{3}\) G
C. – 4G
D. – G
ઉત્તર :
C. – 4G
Hint :
પ્રશ્ન 22.
M અને 5 M દ્રવ્યમાનના ગોળાઓની ત્રિજ્યા અનુક્રમે R અને 2 R છે. શરૂઆતથી તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર 12 R રહે તેમ અવકાશમાં મુક્ત કરવામાં આવે છે. જો તેમની વચ્ચે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું હોય, તો અથડામણ પહેલા નાનો ગોળો કેટલું અંતર કાપશે?
A. 2.5 R
B. 4.5 R
C. 7.5 R
D. 1.5 R
ઉત્તર :
C. 7.5 R
Hint : બંને ગોળાઓ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,
F = \(\frac{G(M)(5 M)}{(12 R)^2}\)
નાના ગોળાનો પ્રવેગ a1 = \(\frac{F}{M}\)
∴ a1 = \(\frac{G(5 M)}{(12 R)^2}\)
મોટા ગોળાનો પ્રવેગ a2 = \(\frac{F}{5 M}\)
a2 = \(\frac{G(M)}{(12 R)^2}\)
∴ \(\frac{a_1}{a_2}\) = 5 …….. (1)
મુક્ત કર્યા પછી t સમયમાં કાપેલું અંતર,
d = υ0t + \(\frac{1}{2}\) at2માં υ0 = 0 મૂકતાં,
∴ d = \(\frac{1}{2}\) at2
∴ d ∝ a
∴ \(\frac{d_1}{d_2}=\frac{a_1}{a_2}\) ……… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\(\frac{d_1}{d_2}\) = 5
∴અથડામણ પહેલા નાનો ગોળો, મોટા ગોળા કરતાં 5 ગણું અંતર કાપશે.
- જ્યારે બંને ગોળાઓ અથડાશે ત્યારે તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર = 2 R + R = 3 R થશે.
- ધારો કે, અથડામણ પહેલાં નાનો ગોળો d1 અને મોટો ગોળો d2 અંતર કાપે છે.
∴ અથડાતાં પહેલાં બંને ગોળાએ કાપેલું કુલ અંતર,
= d1 + d2 = 5d + d = 6d
પણ, 6d = 12R – 3R થાય.
∴ 6d = 9 R
∴ d = 1.5 R
∴ અથડાતાં પહેલાં નાના ગોળાએ કાપેલું અંતર,
d1 = 5d = 5 × 1.5 R
∴ d1 = 7.5 R
પ્રશ્ન 23.
10 cm ત્રિજ્યાના અને 100 kg ગોળાની સપાટી પર 10 g નો પદાર્થ મૂકેલો છે. આ પદાર્થને ગોળાથી ઘણે દૂર લઈ જવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ કરવું પડતું કાર્ય શોધો.
(G = 6.67 × 10-11Nm2/kg2)
A. 6.67 × 10-9 J
B. 6.67 × 10-10 J
C. 13.34 × 10-10 J
D. 3.33 × 10-10 J
ઉત્તર:
B. 6.67 × 10-10 J
Hint : ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,
પ્રશ્ન 24.
પૃથ્વીની સરેરાશ ઘનતા …..
A. gના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
B. gના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
C. g પર આધારિત નથી.
D. gનું સંયોજિત વિધેય છે.
ઉત્તર:
A. gના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
Hint :
પ્રશ્ન 25.
m દળ ધરાવતાં ઉપગ્રહને M દળ ધરાવતાં અને R જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતાં ગ્રહની સપાટી પરથી 2 R જેટલી ઊંચાઈએ વર્તુળાકાર કક્ષામાં તરતો મૂકવા જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા કેટલી જોઈશે?
A. \(\frac{G m M}{3 R}\)
B. \(\frac{5 G m M}{6 R}\)
C. \(\frac{2 G m M}{3 R}\)
D. \(\frac{G m M}{2 R}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{5 G m M}{6 R}\)
Hint : M દળ ધરાવતાં અને R જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતાં ગ્રહના કેન્દ્રથી r > R અંતરે આવેલ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા E = – \(\frac{G m M}{2 r}\) હોય છે તથા ગ્રહના કેન્દ્રથી r = R અંતરે આવેલ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા E = – \(\frac{G m M}{R}\) હોય છે.
હવે, જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા
E = (ગ્રહના કેન્દ્રથી r = R + 2R = 3R ઊંચાઈએ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા) – (ગ્રહના કેન્દ્રથી r = R અંતરે ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા)
= \(-\frac{G m M}{2(3 R)}-\left[-\frac{G m M}{R}\right]\)
= \(\frac{5 G m M}{6 R}\)
પ્રશ્ન 26.
જો પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર 3 ગણું થાય તો તેમની વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ ……………. .
A. અચળ રહે
B. 63% ઘટે
C. 83 % ઘટે
D. 89 % ઘટે
ઉત્તર:
D. 89% ઘટે
Hint : F = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} M_{\mathrm{s}}}{r^2}\) અને F ‘ = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} M_{\mathrm{s}}}{(3 r)^2}=\frac{G M_{\mathrm{e}} M_{\mathrm{s}}}{9 \mathrm{r}^2}\)
∴ F’ = \(\frac{F}{9}\)
હવે, બળમાં પ્રતિશત ફેરફાર,
\(\frac{F^{\prime}-F}{F}\) × 100 = \(\frac{\frac{F}{9}-F}{F}\) × 100
= \(\frac{-8}{9}\) × 100
= – 89%
ઋણ નિશાની ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં થતો ઘટાડો સૂચવે છે.
પ્રશ્ન 27.
એક સાદા લોલકના ગોળાના દ્રવ્યની પાણીની સાપેક્ષે ઘનતા ρ છે. લોલકનો આવર્તકાળ T છે. જો ગોળાને પાણીમાં ડુબાડી આવર્તકાળ માપવામાં આવે, તો નવો આવર્તકાળ ……………. .
A. T(\(\frac{\rho-1}{\rho}\))
B. T(\(\frac{\rho}{\rho-1}\))
C. T(\(\sqrt{\frac{\rho-1}{\rho}}\))
D. T(\(\sqrt{\frac{\rho}{\rho-1}}\))
ઉત્તર :
D. T(\(\sqrt{\frac{\rho}{\rho-1}}\))
Hint :
પાણીમાં ડુબાડેલા ગોળા પર લાગતાં બળો,
(1) વજન બળ mg = \(\frac{4}{3}\) πR3 σ g↓
જ્યાં, σ = ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા
(2) ઉત્લાવક બળ Fb = \(\frac{4}{3}\) πR3d g↑
જ્યાં, d = પાણીની ઘનતા
∴ અધોદિશામાં લાગતું પરિણામી બળ,
F = mg – Fb
= \(\frac{4}{3}\) πR3 σ g – \(\frac{4}{3}\) πR3d g
= \(\frac{4}{3}\) πR3 g (σ – d) = \(\frac{4}{3}\) πR3 g σ (1 – \(\frac{d}{\sigma}\))
હવે, F = mg’ અને \(\frac{4}{3}\) πR3σ = ગોળાનું દળ m
∴ mg’ = mg (1 – \(\frac{d}{\rho} .\))
પણ, ગોળાના દ્રવ્યની પાણીની સાપેક્ષે
પ્રશ્ન 28.
એક દળ વિતરણના લીધે ગુરુત્વક્ષેત્ર I = \(\frac{k}{x^4}\) છે. જ્યાં, k અચળાંક છે અને અનંત અંતરે ગુરુત્વસ્થિતિમાન શૂન્ય લઈએ, તો \(\frac{x}{\sqrt{2}}\) અંતરે ગુરુત્વસ્થિતિમાન કેટલું હશે?
A. \(\frac{k}{x^3} \times \frac{(\sqrt{2})^3}{3}\)
B. \(\frac{k}{x^3}\) × 3√3
C. \(\frac{k}{x^5}\) × 3 × (√2)3
D. \(\frac{k}{x^3}\) × 2√2
ઉત્તર:
A. \(\frac{k}{x^3} \times \frac{(\sqrt{2})^3}{3}\)
Hint : I = \(\frac{k}{x^4}\)
પ્રશ્ન 29.
જો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા 0.5 % ઘટે પણ દળ અચળ રહે, તો તેની સપાટી પરના gના મૂલ્યમાં શું ફેરફાર થાય?
A. 1 % વધે
B. 1 % ઘટે
C. 0.5 % વધે
D. 0.5 % ઘટે
ઉત્તર:
A. 1 % વધે
Hint :
= (- 2) × (- 0.5)%
= + 1%
આમ, gના મૂલ્યમાં 1% જેટલો વધારો થાય.
પ્રશ્ન 30.
ધારો કે, કોઈ ગ્રહ પર લાગતું સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, અંતરના nth ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ચલે છે, તો સૂર્યની આસપાસ R ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ગ્રહનો આવર્તકાળ ………………. ના સમપ્રમાણમાં હોય.
A. \(R^{\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)}\)
B. \(R^{\left(\frac{\mathrm{n}-1}{2}\right)}\)
C. Rn
D. \(R^{\left(\frac{\mathrm{n}-2}{2}\right)}\)
ઉત્તર:
A. \(R^{\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)}\)
Hint : સૂર્યની આસપાસ R ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં m દળના ગ્રહ માટે,
કેન્દ્રગામી બળ = ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
