GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 4 સમતલમાં ગતિ in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 4 સમતલમાં ગતિ will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 4 સમતલમાં ગતિ in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :

પ્રશ્ન 1.
નીચેની ભૌતિક રાશિઓમાંથી કઈ રાશિ અદિશ છે?
A. પ્રવેગ
B. વેગ
C. રેખીય વેગમાન
D. તાપમાન
ઉત્તર:
D. તાપમાન

પ્રશ્ન 2.
કોઈ દેિશ બદલાઈ શકે જો ……. .
A. ફ્રેમના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતર કરવામાં આવે.
B. સદિશને ફેરવવામાં આવે.
C. ફ્રેમના સંદર્ભમાં ફેરવવામાં આવે.
D. સિંદેશને એની સમાંતર સ્થાનાંતર કરાવવાથી.
ઉત્તર:
B. સદિશને ફેરવવામાં આવે.

પ્રશ્ન 3.
સદિશ \(\vec{A}=\vec{B}[latex] જો …
A. તેઓની માત્રા સમાન હોય.
B. તેઓ સમાન દિશામાં હોય.
C. તેમનું ઉદ્ગમબિંદુ એક જ હોય.
D. તેઓની માત્રા સમાન હોય અને તેઓ સમાન દિશામાં હોય.
ઉત્તર:
D. તેઓની માત્રા સમાન હોય અને તેઓ સમાન દિશામાં હોય.

પ્રશ્ન 4.
ત્રણ સદિશ [latex]\vec{A}\), $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ જુદા જુદા સમતલમાં છે, તો તેમનો પરિણામી સદિશ …
A. શૂન્ય હોય.
B. ક્યારેય શૂન્ય ન હોય.
C. $\vec{A}$ + $\vec{B}$ ને સમાવતા સમતલમાં હોય.
D. $\vec{A}$ – $\vec{B}$ ને સમાવતા સમતલમાં હોય.
ઉત્તર:
B. ક્યારેય શૂન્ય ન હોય.

પ્રશ્ન 5.
$\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{C}$. |$\vec{A}$| = 3, |$\vec{B}$| = 4 અને [latex]\vec{C}[/latex] = 5, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો ………….. .
A. 90°
B. 180°
C. 135°
D. 45°
ઉત્તર:
A. 90°
Hint : |$\vec{A}$ + $\vec{B}$|² = |A|² + |B|² + 2 |$\vec{A}$||$\vec{A}$ | cos θ
∴ 5² = 3² + 4² + 2 (3) (4) cos θ
∴ cos θ = 0 .. θ = 90°

પ્રશ્ન 6.
એક પદાર્થ વર્તુળાકાર પથ પર આપેલી ક્ષણે $\vec{υ}$ વેગથી ગતિ કરે છે. તે જ્યારે અડધું પરિભ્રમણ પૂરું કરશે ત્યારે તેના વેગમાં ……………. જેટલો ફેરફાર થયો હશે.

A. $\vec{υ}$
B. – 2$\vec{υ}$
C. શૂન્ય
D. √2$\vec{υ}$
ઉત્તર:
B. – 2$\vec{υ}$
Hint : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુ A આગળ પદાર્થનો વેગ $\vec{υ}$₁ = υî છે. અડધું ભ્રમણ પૂરું કર્યા બાદ તે બિંદુ B આગળ આવશે. અહીં તેનો વેગ બિંદુ A કરતાં વિરુદ્ધ દિશામાં છે, એટલે કે – $\vec{υ}$î છે.
∴ વેગમાં ફેરફાર = અંતિમ વેગ – પ્રારંભિક વેગ
∴ Δ $\vec{υ}$ = – $\vec{υ}$ – ($\vec{υ}$
= – 2$\vec{υ}$

પ્રશ્ન 7.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ દિશોનો પરિણામી સદિશ $\vec{A}$ સાથે α-કોણ અને સદિશ $\vec{B}$ સાથે β-કોણ બનાવતો હોય, તો …
A. હંમેશાં α < β
B. A < В હોય, તો α < β C. A > B હોય, તો α < β
D. A =B હોય, તો α < β ઉત્તર: C. જો A > B હોય, તો α < β
Hint : નીચેની આકૃતિઓમાં A > B અને A < B માટે પરિણામી સિંદેશ દર્શાવ્યો છે :

A < B માટે α < β છે. આથી સાચો વિકલ્પ C છે.

પ્રશ્ન 8.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બે સદિશો છે. X-અક્ષ પર $\vec{A}$ + $\vec{B}$નો ઘટક કયો છે?

A. A cos 30° + B cos 60°
B. A cos 30° + B sin 60°
C. A sin 30° + B cos 60°
D. A sin 30° + B sin 60°
ઉત્તર:
A. A cos 30° + B cos 60°
Hint : $\vec{A}$ ના ઘટકો, A_x = A cos 30°, A_y = A sin 30°
$\vec{B}$ ના ઘટકો, B_x = B cos 60°, B_y = B sin 60°
$\vec{A}$ + $\vec{B}$ ના X-ઘટકો,
A_x + B_x = A cos 30° + B cos 60°

પ્રશ્ન 9.
કોઈ પણ દિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ માટે વ્યાપક રીતે …………….. થાય.
A. |$\vec{P}$ + $\vec{Q}$ | ≤ |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$|
B. |$\vec{P}$ + $\vec{Q}$| ≥ |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$|
C. |$\vec{P}$ + $\vec{Q}$| = |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$|
D. |$\vec{P}$ + $\vec{Q}$| < |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$|
ઉત્તર:
A. |$\vec{P}$ + $\vec{Q}$ | ≤ |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$|
Hint : જો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ એક જ દિશામાં હોય, તો
|$\vec{P}$ + $\vec{Q}$| = |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$| થાય.
પરંતુ જુદી જુદી દિશામાં હોય, તો હંમેશાં
|$\vec{P}$ + $\vec{Q}$| < |$\vec{P}$| + |$\vec{Q}$|

પ્રશ્ન 10.
નીચેનામાંથી cos θî + sin θĵ ને લંબ દિશ કયો છે?
A. cos θî + sin θĵ
B. – cos θî + sin θĵ
C. – cos θî – sin θĵ
D. sin θî – cos θĵ
ઉત્તર:
D. sin θî – cos θĵ
Hint : $\vec{A}$ = cos θî + sin θĵ
ઉપરોક્ત સદિશમાં θ ને બદલે θ – $\frac{\pi}{2}$ મૂકતાં $\vec{A}$ ને લંબ સિંદેશ મળે.
$\vec{B}$ = cos(θ – $\frac{\pi}{2}$) + sin(θ – $\frac{\pi}{2}$)Ĵ
= sin θî – cos θĵ
નોંધ : જો સદિશ $\vec{A}$ માં θના સ્થાને (θ + $\frac{\pi}{2}$) મૂકવામાં આવે, તો જવાબ $\vec{B}$ – sin θî – cos θĵ આવે.

પ્રશ્ન 11.
|$\vec{A}$ + $\vec{B}$| = |$\vec{A}$| = |$\vec{B}$| હોય, તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ …………..
A. 90°
B. 120°
C. 0°
D. 60°
ઉત્તર:
B. 120°
Hint : |$\vec{A}$ + $\vec{B}$|² = |$\vec{A}$|² + |$\vec{B}$|² + 2 |$\vec{A}$||$\vec{B}$| cos θ
પરંતુ |$\vec{A}$ + $\vec{B}$| = |$\vec{A}$| = |$\vec{B}$| હોવાથી
A² = A² + A² + 2A · A cos θ
∴ 2A² cos θ = – A²
∴ cos θ = – $\frac{1}{2}$
∴ θ = 120°

પ્રશ્ન 12.
$\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{C}$ અને A = √3, B = √3 અને C = 3 હોય, તો દિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ ………………. .
A. 0°
B. 30°
C. 60°
D. 90°
ઉત્તર:
C. 60°
Hint : |$\vec{A}$ + $\vec{B}$|² = A² + B² + 2AB cos θ
∴ C² = A² + B² + 2AB cos θ
∴ (3)² = (√3)² + (√3)² + 2(√3) (√3) cos θ
∴ 9 = 3 +3 + 6 cos θ
∴ cos θ = – $\frac{1}{2}$
∴ 0 = 60°

પ્રશ્ન 13.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ડાયાગ્રામ પરથી |$\vec{P}$ – $\vec{Q}$| શોધો. |$\vec{P}$| = 3
અને |$\vec{Q}$| = 2 છે.

(A) $(13+6 \sqrt{3})^{\frac{1}{2}}$
(B) $(13-6 \sqrt{3})^{\frac{1}{2}}$
(C) $(13-2 \sqrt{3})^{\frac{1}{2}}$
(D) $(12-6 \sqrt{3})^{\frac{1}{2}}$
ઉત્તર:
(B) $(13-6 \sqrt{3})^{\frac{1}{2}}$
Hint : |$\vec{P}$ – $\vec{Q}$| = $\sqrt{P^2+Q^2-2 P Q \cos \theta}$
= $\sqrt{3^2+2^2-2(3)(2) \cos 30^{\circ}}$
= $\sqrt{13-12 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\sqrt{13-6 \sqrt{3}}$

પ્રશ્ન 14.
3 N, 4 N અને 12 Nનાં બળો પરસ્પર લંબદિશામાં એક કણ પર લાગે છે, તો આ બળોનું પરિણામી બળ ……………… .હશે.
A. 19 N
B. 13 N
C. 12 N
D. 7 N
ઉત્તર:
B. 13 N
Hint : $\vec{F}_1$ = 3î N, $\vec{F}_2$ = 4ĴN, $\vec{F}_3$ = 12k̂N
$\vec{F}$ = 3î + 4Ĵ + 12k̂N
∴ |$\vec{F}$| = $\sqrt{(3)^2+(4)^2+(12)^2}$ = 13 N

પ્રશ્ન 15.
નીચેનામાંથી કયો સદિશ એકમ સદિશ નથી?
A. $\frac{-\hat{i}}{\sqrt{3}}+\frac{\hat{j}}{\sqrt{3}}+\frac{\hat{k}}{\sqrt{3}}$
B. $\frac{2}{\sqrt{6}}$î – $\frac{1}{\sqrt{6}}$ Ĵ + $\frac{1}{\sqrt{6}}$k̂
C. $\frac{-\hat{i}}{\sqrt{3}}-\frac{\hat{j}}{\sqrt{3}}+\frac{\hat{k}}{\sqrt{3}}$
D. $\frac{1}{2}$î + $\frac{2}{\sqrt{6}}$Ĵ – $\frac{2}{\sqrt{6}}$k̂
ઉત્તર:
D. $\frac{1}{2}$î + $\frac{2}{\sqrt{6}}$Ĵ – $\frac{2}{\sqrt{6}}$k̂
Hint :
$\frac{1}{2}$î + $\frac{2}{\sqrt{6}}$Ĵ – $\frac{2}{\sqrt{6}}$k̂ નું મૂલ્ય
= $\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)^2}$ = $\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{8}{6}}$ ≠ 1

પ્રશ્ન 16.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ બે સદિશો છે. |$\vec{A}$| = |$\vec{A}$|. જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો શૂન્ય હોય, તો |$\vec{A}$ + $\vec{B}$|
A. 2|$\vec{A}$|
B. 2|$\vec{A}$ – $\vec{B}$|
C. 2|$\vec{B}$ – $\vec{A}$|
D. 0
ઉત્તર:
A. 2|$\vec{A}$|
Hint : |$\vec{A}$| + |$\vec{B}$| = $\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}$
= $\sqrt{A^2+A^2+2 A \cdot A \cos 0}$
= 2A

પ્રશ્ન 17.
દર્શાવેલ આકૃતિ માટે ………………. .

A. $\vec{A}+\vec{B}=\vec{C}$
B. $\vec{B}+\vec{C}=\vec{A}$
C. $\vec{C}+\vec{A}=\vec{B}$
D. $\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}$ = 0
ઉત્તર:
C. $\vec{C}+\vec{A}=\vec{B}$

પ્રશ્ન 18.
($\vec{P}$ + $\vec{Q}$) અને ($\vec{P}$ – $\vec{Q}$)ના પરિણામી સદિશ સાથે $\vec{P}$ કેટલા કોણે હશે?
A. શૂન્ય
B. tan^-1($\frac{P}{Q}$)
C. tan^-1($\frac{Q}{P}$)
D. tan^-1($\frac{P-Q}{P+Q}$)
ઉત્તર:
A. શૂન્ય
Hint : પરિણામી સદિશ $\vec{R}=(\vec{P}+\vec{Q})+(\vec{P}-\vec{Q})=2 \vec{P}$ આથી $\vec{P}$ અને 2$\vec{P}$ વચ્ચેનો કોણ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 19.
એક બિંદુ આગળ સમાન મૂલ્યનાં બે બળો 60°ના કોણે લાગે છે. જો તેમનું પરિણામી બળ 40√3 N હોય, તો દરેક બળનું મૂલ્ય …………… .
A. 40 N
B. 20 N
C. 80 N
D. 30 N
ઉત્તર:
A. 40 N
Hint : F₁ = F₂ = F છે.
∴ R = $\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}$
∴ 40√3 = $\sqrt{F^2+F^2+2 F^2 \cos 60^{\circ}}$
∴ 40 √3 = $\sqrt{3 F^2}$
∴ 1600 × 3 = 3F²
∴ F = 40 N

પ્રશ્ન 20.
બે બળના સિંદશો 5 N અને 12 N છે. આ બંને સદિશોને કયા કોણે ગોઠવીને સરવાળો કરવો જોઈએ. જેથી પરિણામી સિંદેશ 17 N, 7 N અને 13 N થાય?
A. 0°, 180° અને 90°
B. 0°, 90° અને 180°
C. 0°, 90° અને 90°
D. 180°, 0° અને 90°
ઉત્તર:
A. 0°, 180° અને 90°
Hint : A = 5 N અને B = 12 N છે.
જ્યારે બંને સદિશો એક જ દિશામાં હશે, એટલે કે θ = 0° હશે ત્યારે પરિણામી દિશ
= 5 + 12 = 17 N થશે.
જ્યારે બંને સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે, એટલે કે θ = 180° હશે ત્યારે પરિણામી દિશ = 12 − 5 = 7 N થશે.
જ્યારે બંને સદિશો પરસ્પર લંબ હશે, એટલે કે
θ = 90° હશે ત્યારે પરિણામી સદિશ
= $\sqrt{(5)^2+(12)^2}$ = $\sqrt{169}$ = 13 N થશે.

પ્રશ્ન 21.
આકૃતિમાં ત્રણ સદિશો $\vec{a}$, $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દર્શાવ્યા છે. જો RQ = 2PR હોય, તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

A. 2$\vec{a}$ + $\vec{c}$ = 3$\vec{b}$
B. $\vec{a}$ + 3$\vec{c}$ = 2$\vec{b}$
C. 3$\vec{a}$ + $\vec{c}$ = 2$\vec{b}$
D. $\vec{a}$ + 2$\vec{c}$ = 3$\vec{b}$
ઉત્તર:
D. $\vec{a}$ + 2$\vec{c}$ = 3$\vec{b}$
Hint : સંદેશો સરવાળા માટે ત્રિકોણની રીતનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 22.
કણનું પ્રારંભિક સ્થાન (2î – 3ĵ + 4k̂) m અને અંતિમ સ્થાન (3î – 2ĵ + 5k̂) m છે. Y-દિશામાં કણના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શોધો.
A.- 5ĵm
B. 5 ĵm
C. + Ĵm
D.- Ĵm
ઉત્તર:
C. + Ĵm
Hint :
સ્શાનાંતર = (3î – 2ĵ + 5k̂) – (2î – 3ĵ + 4k̂)
= î + ĵ + k̂
Y-દિશામાં કણના સ્થાનમાં ફેરફાર = + Ĵm

પ્રશ્ન 23.
કણનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ = 4t²î – 5tĵ + 9k̂ સમીકરણ દ્વારા આપેલ છે. વેગ માટેનું સૂત્ર શોધો.
A. $\vec{υ}$ = 8tî – 5ĵ
B. $\vec{υ}$ = 8tî – 5tĵ
C. $\vec{υ}$=4tî + 5tĵ
D. $\vec{υ}$ = 8tî – 9k̂
ઉત્તર:
$\vec{υ}$ = 8tî – 5ĵ
Hint : $\vec{r}$ = 4t²î – 5tĵ + 9k̂
$\vec{υ}=\frac{d \vec{r}}{d t}$ = 8tî – 5ĵ

પ્રશ્ન 24.
$\vec{υ}$ = (t²î – 3tĵ ) m/s કણનો વેગ આપેલ છે. t = 3s માટે પ્રવેગ શોધો.
A. 6î + 3ĵ
B. 6î – 3ĵ
C. 3î – 3ĵ
D. 3î + 3ĵ
ઉત્તર:
B. 6î – 3ĵ
Hint : $\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}$ = 2tî – 3ĵ
t = 3 s મૂકતાં,
$\vec{a}$ = 2(3) î – 3ĵ = 6î – 3ĵ

પ્રશ્ન 25.
એક પદાર્થ પૂર્વ દિશામાં ઝડપ υથી ગતિ કરતાં કરતાં પોતાની ગતિની દિશા દક્ષિણ તરફ ફેરવે છે. પદાર્થના વેગમાં થતો ફેરફાર
શોધો.
A. 2υ
B. √2 υ
C. √3 υ
D. υ
ઉત્તર:
B. √2 υ
Hint : પદાર્થનો પૂર્વમાં વેગ $\vec{v}_1$ = υî
પદાર્થનો દક્ષિણમાં વેગ $\vec{v}_2$ = υĵ
∴ વેગમાં ફેરફાર Δ$\vec{υ}$ = $\vec{v}_2$ – $\vec{v}_1$ = – υĵ – υî
∴ |Δ$\vec{υ}$| = $\sqrt{(-v)^2+(-v)^2}$ = √2 υ

પ્રશ્ન 26.
એક પદાર્થનો વેગ $\vec{υ}$ = (3tî + 6t²ĵ) m/s છે, તો તેના પ્રારંભિક પ્રવેગ અને X-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
A. 0°
B. 90°
C. 45°
D. 180°
ઉત્તર:
A. 0°
Hint : $\vec{υ}$ = (3tî + 6t²ĵ)
∴ $\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}$ = 3tî + 12tĵ
t = 0 મૂકતાં, $\vec{a}$ = 3 ms^-2
અહીં પ્રવેગ X-અક્ષની દિશામાં હોવાથી, X-અક્ષ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 27.
એક પદાર્થ સ્થાનસદિશ $\vec{r}$(t) = (3t²î + 6tĵ + ak̂) વડે દર્શાવતા સમીકરણથી ગતિ કરે છે, તો t = 4 સેકન્ડથી
t = 6 સેકન્ડના ગાળા દરમિયાન પ્રવેગનો ફેરફાર શોધો.
A. 6 m / s²
B. 3 m/s²
C. 0 $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$
D. 2m/s²
ઉત્તર:
C. 0 $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$
Hint : $\vec{r}$(t) = (3t3t²î + 6tĵ + ak̂)
∴ $\vec{υ}=\frac{\overrightarrow{d r}}{d t}$ = 6tî + 6ĵ
∴ $\vec{a}=\frac{d^2 \vec{r}}{d t^2}$ = 6î
અહીં $\vec{a}$ અચળ હોવાથી, સમય સાથે પ્રવેગમાં ફેરફાર થશે નહિ.

પ્રશ્ન 28.
એક પદાર્થ દ્વારા X-દિશામાં કાપેલ અંતર 6t³m, Y-દિશામાં કાપેલ અંતર (3t² + a) m અને (5t² – 9t + 7) m Z-દિશામાં હોય, તો પદાર્થનો શરૂઆતનો વેગ શોધો.
A. 7 m/s, Z-દિશામાં
B. 7m/s, – Z-દિશામાં
C. 9 m/s, – Z-દિશામાં
D. 9m/s, + Z-દિશામાં
ઉત્તર:
C. 9 m/s, – Z-દિશામાં
Hint : $\vec{r}$ = 6t³î + (3t² + a)ĵ + (5t² – 9t + 7)k̂
∴ વેગ $\vec{υ}$ = $\frac{d \vec{r}}{d t}$
= 18t²î + 6tĵ + 10tk̂ – 9k̂
પ્રારંભિક વેગ માટે t = 0 મૂકતાં,
$\vec{υ}$= – 9k̂ m/s

પ્રશ્ન 29.
એક પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. ૩ સેકન્ડે તેનો સ્થાનસદિશ (2î + ĵ + k̂) m, 5 સેકન્ડે તેનો સ્થાનસદિશ (4î + 5ĵ + k̂) m છે, તો 4 સેકન્ડ આગળ તેનો સ્થાનસદિશ શોધો.
A. (3î + 3ĵ – k̂) m
B. (3î – 3ĵ + k̂) m
C. (3î + 3ĵ + k̂) m
D. (3î + ĵ) m
ઉત્તર:
C. (3î + 3ĵ + k̂) m
Hint : $\vec{r}_3$ = 2î + ĵ+ k̂, $\vec{r}_5$ = 4î + 5ĵ + k̂
∴ $\vec{r}_4=\frac{\vec{r}_3+\vec{r}_5}{2}$
= $\frac{(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+(4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k})}{2}$
= 3î + 3ĵ + k̂m

પ્રશ્ન 30.
3î + ĵ + 2k̂ સદિશની XY સમતલમાં લંબાઈ કેટલી થશે?
A. 2
B. $\sqrt{14}$
C. $\sqrt{10}$
D. √5
ઉત્તર:
C. $\sqrt{10}$
Hint : $\vec{A}$ = 3î + ĵ + 2k̂
XY સમતલમાં લંબાઈ = $\sqrt{A_{\mathrm{x}}^2+A_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{3^2+1^2}$ =$\sqrt{10}$

પ્રશ્ન 31.
એક કણ પૂર્વ દિશામાં 12 m જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે. ત્યારબાદ 5 m જેટલું ઉત્તર દિશામાં અને 6 m જેટલું ઊર્ધ્વદિશામાં સ્થાનાંતર કરે છે, તો કણનું પરિણામી સ્થાનાંતર …………… .
A. 12 m
B. 10.04 m
C. 14.31 m
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર:
C. 14.31 m
Hint : અહીં, $\vec{r}$ = 12î + 5ĵ + 6k̂ m
આથી |$\vec{r}$| = $\sqrt{(12)^2+(5)^2+(6)^2}$
= $\sqrt{144+25+36}$
= $\sqrt{205}$ = 14.31 m

પ્રશ્ન 32.
બે સદિશો î – 2ĵ + 2k̂ અને 2î + ĵ – k̂ માં ત્રીજો કયો સદિશ ઉમેરવો જોઈએ, જેથી X-અક્ષની દિશાનો એકમ સિદિશ મળે?
A. 2î + ĵ – k̂
B. – 2î + ĵ – k̂
C. 2î – ĵ + k̂
D.- 2î – ĵ – k̂
ઉત્તર:
B. – 2î + ĵ – k̂
Hint : (î – 2ĵ + 2k̂) + (2î + ĵ – k̂) + $\vec{R}$ = î
∴ (3î – Ĵ + k̂) + $\vec{R}$ = î
∴ $\vec{R}$ = – 2î + Ĵ + k̂

પ્રશ્ન 33.
$\vec{A}$ = 4î + 3Ĵ + 6k̂ અને $\vec{B}$ = – î + 3Ĵ – 8k̂ના પરિણામી સદિશનો એકમ દિશ …………………. .
A. $\frac{1}{7}$ (3î + 6Ĵ – 2k̂)
B. $\frac{1}{7}$ (3î + 6Ĵ + 2k̂)
C. $\frac{1}{49}$(3î + 6Ĵ – 2k̂)
D. $\frac{1}{7}$ (3î + 6Ĵ – 2k̂)
ઉત્તર:
A. $\frac{1}{7}$ (3î + 6Ĵ – 2k̂)
Hint : પરિણામી સદિશ,
$\vec{A}$ + $\vec{B}$ = (4î + 3Ĵ + 6k̂) + (- î + 3Ĵ – 8k̂) = (3î + 6Ĵ – 2k̂)
એકમ સિંદેશ = $\frac{\vec{A}+\vec{B}}{|\vec{A}+\vec{B}|}=\frac{3 \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(3)^2+(6)^2+(-2)^2}}$
= $\frac{3 \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{7}$

પ્રશ્ન 34.
સદિશો î + Ĵ + k̂ અને î + Ĵ વચ્ચેનો કોણ ……………. છે.
A. sin^-1($\frac{1}{\sqrt{3}}$)
B. sin^-1($\sqrt{\frac{2}{3}}$)
C. cos^-1($\frac{1}{\sqrt{3}}$)
D. 90°
ઉત્તર:
A. sin^-1($\frac{1}{\sqrt{3}}$)
$\vec{A}$ = î + Ĵ + k̂ $\vec{B}$ = î + Ĵ

પ્રશ્ન 35.
બે દિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ θ છે. તેમનું પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ સિદેશ $\vec{A}$ સાથે $\frac{\theta}{2}$ જેટલો કોણ બનાવે છે, તો ……………… .
A. A = 2B
B. A = $\frac{B}{2}$
C. A = B
D. AB = 1
ઉત્તર:
C. A = B
Hint : પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નો સદિશ $\vec{A}$ સાથેનો કોણ,

∴ A = B

પ્રશ્ન 36.
સમતલમાં ગતિ કરતા એક કણના યામો કોઈ પણ સમય t એ x = αt² અને y = βt² વડે આપી શકાય છે, તો આ કણના વેગનો માનાંક …………….. થાય.
A. 2t$\sqrt{\alpha^2-\beta^2}$
B. 2t$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
C. 2t (α + β)
D. $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
ઉત્તર:
B. 2t$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
Hint: x = αt²
∴ υ_x = $\frac{d x}{d t}$ = 2αt
y = βt²
∴ υ_y = $\frac{d y}{d t}$ = 2βt
∴ υ = $\sqrt{υ_{\mathrm{x}}^2+υ_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{(2 \alpha t)^2+(2 \beta t)^2}$
= B. 2t$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

પ્રશ્ન 37.
વરસાદ અધોદિશામાં 4 km/hના વેગથી પડે છે. એક માણસ સુરેખ રસ્તા પર 3 km/hના વેગથી ચાલે છે, તો આ માણસની સાપેક્ષે વરસાદનો દેખીતો વેગ (માણસ વડે અનુભવાતો વેગ) ………………. .
A. 3 km h^-1
B. 4 km h^-1
C. 5 km h^-1
D. 7 km h^-1
ઉત્તર:
C. 5 km h^-1
Hint :

વરસાદનો વેગ υ_R = 4 km/h
માણસનો વેગ υ_P = 3 km/h
માણસની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ,
υ_RP = $\sqrt{υ_{\mathrm{R}}^2+υ_{\mathrm{P}}^2}$
= $\sqrt{(4)^2+(3)^2}$
= 5 km/h

પ્રશ્ન 38.
એક મોટરકાર ઉત્તર તરફ 30m s^-1ના વેગથી ગતિ કરે છે. જો તે વળીને પશ્ચિમ તરફ તેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરે, તો તેના વેગમાં થતો ફેરફાર ………….. .
A. 60 m s^-11 ઉત્તર-પશ્ચિમ
B. 302 m s^-1 ઉત્તર-પશ્ચિમ
C. 30/2 m s^-1 દક્ષિણ-પશ્ચિમ
D. 60 m s^-1 દક્ષિણ-પશ્ચિમ

ઉત્તર:
C. 30/2 m s^-1 દક્ષિણ-પશ્ચિમ
Hint : ઉત્તર તરફની દિશા ધન Y-અક્ષ અને પૂર્વ તરફની દિશા ધન X-અક્ષ તરીકે લેતાં,
$\vec{v}_1$ = 30ĵ m/s
$\vec{v}_2$ = 30 (- î) m/s
= – 30î m/s
∴ વેગમાં ફેરફાર Δ$\vec{υ}$ = $\vec{v}_1$ – $\vec{v}_2$
= – 30î – (30ĵ)
∴ $|\Delta \vec{v}|=\sqrt{(-30)^2+(-30)^2}$
= 30 √2 m/s
θ = tan^-1($\frac{υ_1}{υ_2}$)
= tan^-1($\frac{-30}{-30}$) = tan^-1(1) = 45°
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, Δ$\vec{υ}$ એ દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં છે.

પ્રશ્ન 39.
એક બોટનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ 3î + 4Ĵ છે અને પાણીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ – 3î – 4Ĵ છે, તો બોટનો પાણીની સાપેક્ષે વેગ …………….. છે. રાશિઓ SIમાં છે.
A. 8î
B. – 6î – 8Ĵ
C. 6î + 8Ĵ
D. 6î
ઉત્તર:
C. 6î + 8Ĵ
Hint : બોટનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{BE}}$ = 3î + 4Ĵ m/s
પાણીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{WE}}$ = – 3î – 4Ĵm/s
∴ બોટનો પાણીની સાપેક્ષે વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{BW}}=\vec{υ}_{\mathrm{BE}}-\vec{υ}_{\mathrm{WE}}$
= (3î + 4ĵ) – (- 3î – 4ĵ)
= (6î + 8ĵ) m/s

પ્રશ્ન 40.
એક રૉકેટ 800 km/hના વેગથી ઊડી રહ્યું છે. આ રૉકેટ પોતાના ઈંધણ બળવાથી ઉત્પન્ન થતાં વાયુઓને પોતાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કોઈ એક ક્ષણે પોતાની સાપેક્ષે 1100 km/hના વેગથી છોડી રહ્યું છે, તો આ ક્ષણે વાયુનો પૃથ્વીની સાપેક્ષમાં વેગ …………….. km/h હશે.
A. 1900 km/h
B. 300 km /h
C. – 300 km/h
D. – 100 km/h
ઉત્તર:
C. – 300 km/h
Hint : પૃથ્વીની સાપેક્ષે રૉકેટનો વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{RE}}$ = 800ĵ km/h
રૉકેટની સાપેક્ષે વાયુનો વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{GR}}$ = – 1100ĵ km/h
હવે, $\vec{υ}_{\mathrm{GE}}=\vec{υ}_{\mathrm{GR}}+\vec{υ}_{\mathrm{RE}}$
= (- 1100ĵ + 800ĵ) km/h
= – 300ĵ km / h

પ્રશ્ન 41.
એક વાંદરો ઊદિશામાં મૂકેલા થાંભલા પર 5 m s^-1ની ઝડપે ચઢી રહ્યો છે અને તે જ સમયે એક કૂતરો થાંભલા તરફ 10 m/s ની ઝડપે આવી રહ્યો છે. આ કૂતરાનો વાંદરાની સાપેક્ષે વેગનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A. 5√5m/s
B. 5 m s^-1
C. 15 m/s^-1
D. – 5 m s^-1
ઉત્તર:
A. 5√5 m/s^-1
Hint : વાંદરાની સાપેક્ષે કૂતરાનો વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{DM}}=\vec{υ}_{\mathrm{D}}-\vec{υ}_{\mathrm{M}}$
પરંતુ $\vec{υ}_{\mathrm{D}}$ અને $\vec{υ}_{\mathrm{M}}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,
υ_DM = $\sqrt{υ_{\mathrm{D}}^2+υ_{\mathrm{M}}^2}$
= $\sqrt{10^2+5^2}$
= $\sqrt{125}$
= 5√5 m s^-1

પ્રશ્ન 42.
એક જહાજ વિષુવવૃત્ત પર પૂર્વ દિશામાં 30 km/hથી ગતિ કરે છે. હવે વિષુવવૃત્ત સાથે દક્ષિણ-પૂર્વ દિશામાં 60°નો કોણ બનાવતી દિશામાં 15 km/hના વેગથી પવન ફુંકાય છે, તો જહાજની સાપેક્ષમાં પવનના વેગનું મૂલ્ય ………….. .
A. 12.3 km /h
B. 25.6 km/h
C. 52.6 km/h
D. 100 km/h
ઉત્તર:
B. 25.6 km/h
Hint :
જહાજનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ,
υ_B = 30 km/h
પવનનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ,
υ_W = 15 km/h
જહાજની સાપેક્ષે પવનનો વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{WB}}=\vec{υ}_{\mathrm{W}}-\vec{υ}_{\mathrm{B}}$
= $\left|\vec{υ}_{\mathrm{WB}}\right|=\sqrt{υ_{\mathrm{W}}^2+υ_{\mathrm{B}}^2-2 υ_{\mathrm{W}} υ_{\mathrm{B}} \cos \theta}$
= $\sqrt{(15)^2+(30)^2-2(15)(30) \cos 60^{\circ}}$
= 25.6 km/h

પ્રશ્ન 43.
નદીના પાણીની સાપેક્ષે એક બોટનો વેગ υ_BW = ηυ_WG છે.
જ્યાં, η_WG એ પાણીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ છે. ηનું મૂલ્ય 2.0 છે, તો બોટ એક કાંઠેથી બીજા કાંઠે ટૂંકામાં ટૂંકા માર્ગે જઈ શકે અને બોટ પાણી સાથે ઘસડાય નહિ તે માટે બોટનો પાણીની સાપેક્ષે વેગનો સદિશ, પાણીના વેગની દિશા સાથે કેટલો કોણ બનાવતો હોવો જોઈએ ?

A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
ઉત્તર:
D. 120°
Hint : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ટૂંકો માર્ગ AB છે. આથી બોટનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ (υ_BG) AB દિશા પર મળવો જોઈએ.
$\vec{υ}_{\mathrm{BG}}=\vec{υ}_{\mathrm{BW}}+\vec{υ}_{\mathrm{WG}}$
હવે, sin θ = $\frac{υ_{\mathrm{WG}}}{υ_{\mathrm{BW}}}$
= $\frac{1}{\eta}=\frac{1}{2}$ (∵ υ_BW = ηυ_WG)
∴ θ = 30°
આથી બોટનો પાણીની સાપેક્ષે વેગનો આદિશ પાણીના પ્રવાહ સાથે 90° + 30° = 120° નો કોણ બનાવે છે.

પ્રશ્ન 44.
એક કણ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. તેની એકસરખી ઝડપ υ છે. ત્રિજ્યામાં ફેરફાર કર્યા સિવાય જો તેની ઝડપ બમણી થતી હોય, તો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ……..
A. બમણો થાય.
B. અડધો થાય.
C. બદલાય નહિ.
D. પ્રારંભિક પ્રવેગ કરતાં ચાર ગણો મોટો થાય.
ઉત્તર:
D. પ્રારંભિક પ્રવેગ કરતાં ચાર ગણો મોટો થાય.
Hint : કેન્દ્રગામી પ્રવેગ a = $\frac{υ^2}{r}$
= υ નું મૂલ્ય બમણું કરતાં,
a’ = $\frac{(2 υ)^2}{r}=\frac{4 υ^2}{r}$ 4a

પ્રશ્ન 45.
નિયમિત વર્તુળગતિ માટે કઈ રાશિ અચળ નથી?
A. ઝડપ
B. દળ
C. ગતિ-ઊર્જા
D. વેગ
ઉત્તર :
D. વેગ
Hint : વેગનું મૂલ્ય અચળ છે, પરંતુ દરેક ક્ષણે તેની દિશા બદલાય છે.

પ્રશ્ન 46.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ન્યુક્લિયસની આસપાસ 0.528 Å ત્રિજ્યાના વર્તુળ માર્ગે ઇલેક્ટ્રૉન 2.18 × 10⁶ m/sના વેગથી ભ્રમણ કરે છે, તો ઇલેક્ટ્રૉનનો પ્રવેગ
A. 9 × 10^-22 m/s²
B. 9 × 10²² m /s²
C. 9 × 10¹² m/s²
D. 9 × 10¹⁸ m/s²
ઉત્તર:
B. 9 × 10²² m/s²
Hint : a_c = $\frac{υ^2}{r}=\frac{\left(2.18 \times 10^6\right)^2}{0.528 \times 10^{-10}}$
= 9 × 10²² m/s²

પ્રશ્ન 47.
નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ a છે. જો તેની ઝડપ બમણી થાય તો ઝડપ બદલાયા પછી અને પહેલાંનો પ્રવેગનો ગુણોત્તર …………….. થશે.
A. 1 : 4
B. $\frac{1}{4}$ : 2
C. 2 : 1
D. 4 : 1
ઉત્તર:
D. 4 : 1
Hint : a₁ = $\frac{υ^2}{r}$, a₂ = $\frac{(2 υ)^2}{r}=\frac{4 υ^2}{r}$
∴ $\frac{a_2}{a_1}=\frac{\frac{4 υ^2}{r}}{\frac{υ^2}{r}}$ = 4 : 1

પ્રશ્ન 48.
કણ P અને કણ Q અનુક્રમે 100 m અને 150 mની ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માર્ગે ભ્રમણ કરે છે. જો તેઓને એક ભ્રમણ પૂર્ણ કરતા લાગતો સમય સમાન હોય અને કણ Pની ઝડપ
30 km/h હોય, તો કણ છુની ઝડપ કેટલી?
A. 60 km/h
B. 45 km/h
C. 30 km/h
D. 15 km/h
ઉત્તર:
B. 45 km/h
Hint : υ = $\frac{2 \pi r}{T}$
T અચળ હોવાથી, υ ∝ r
∴ $\frac{υ_{\mathrm{P}}}{υ_{\mathrm{Q}}}=\frac{r_{\mathrm{P}}}{r_{\mathrm{Q}}}$
∴ υ_Q = υ_P· $\frac{r_{\mathrm{Q}}}{r_{\mathrm{P}}}$
= 30 × $\frac{150}{100}$ = 45 km/h

પ્રશ્ન 49.
નિયમિત વર્તુળતિ કરતા એક કણની એક આવર્તકાળ પરની ગતિ માટે સરેરાશ પ્રવેગ …………… હોય છે.
A. $\frac{υ^2}{r}$ મૂલ્યનો અચળ સદિશ
B. $\frac{υ^2}{r}$ મૂલ્યનો, ગતિના સમતલને લંબ એવો દિશ
C. ગતિના આરંભનો તત્કાલીન પ્રવેગ જેટલો
D. શૂન્ય સદિશ
ઉત્તર:
D. શૂન્ય સદિશ
Hint : કણ એક ભ્રમણ પૂરું કરી મૂળ સ્થાને આવે ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગનો સદિશ અને અંતિમ વેગનો સદિશ સમાન બને છે. આથી વેગનો ફેરફાર શૂન્ય થાય છે અને સરેરાશ પ્રવેગ પણ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 50.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં વેગ ………………. .
A. પ્રવેગને કદાપિ લંબ હોતો નથી.
B. પ્રવેગને હંમેશાં લંબ હોય છે.
C. માત્ર એક ક્ષણ માટે પ્રવેગને લંબ હોય.
D. બે ક્ષણ કરતાં વધારે સમય માટે પ્રવેગને લંબ હોય.
ઉત્તર:
C. માત્ર એક ક્ષણ માટે પ્રવેગને લંબ હોય.
Hint : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે સમક્ષિતિજ વેગ એ પ્રવેગને માત્ર એક ક્ષણ માટે લંબ હોય છે.

પ્રશ્ન 51.
મહત્તમ બિંદુએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને જ્યારે શૂન્ય ન હોય તેવા ખૂણાથી ફેંકવામાં આવે ત્યારે ………………… .
A. સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય બને.
B. સમક્ષિતિજ વેગ મહત્તમ બને.
C. ઊર્ધ્વપ્રવેગ શૂન્ય બને.
D. સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય ન હોય.
ઉત્તર:
D. સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય ન હોય.

પ્રશ્ન 52.
h ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ ………. .
A. $\sqrt{g H}$
B. $\sqrt{2 g H}$
C. $\sqrt{3 g H}$
D. 2 $\sqrt{g H}$
ઉત્તર:
B. $\sqrt{2 g H}$
Hint : H = $\frac{υ^2}{2 g}$ .. υ = $\sqrt{2 g H}$

પ્રશ્ન 53.
H ઊંચાઈથી ઉપર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે ગાળેલ સમય …………… .
A. 4 $\sqrt{\frac{H}{g}}$
B. $\sqrt{\frac{H}{g}}$
C. $\sqrt{\frac{2 H}{g}}$
D. $\sqrt{\frac{4 H}{g}}$
ઉત્તર:
C. $\sqrt{\frac{2 H}{g}}$
Hint : H ઊંચાઈ બાદ પદાર્થે ગાળેલ સમય,
t = $\frac{υ_0 \sin \theta_0}{g}$
પરંતુ, H = $\frac{\left(υ_0 \sin \theta_0\right)^2}{2 g}$ ⇒ υ₀ sin θ₀ = $\sqrt{2 g H}$
∴ t = $\frac{\sqrt{2 g H}}{g}=\sqrt{\frac{2 H}{g}}$

પ્રશ્ન 54.
એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે 45° ના કોણે K જેટલી ગતિ- ઊર્જાથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા ………….. હશે. [K = $\frac{1}{2}$ mυ²]
A. 0
B. $\frac{K}{2}$
C. $\frac{K}{\sqrt{2}}$
D. K
ઉત્તર:
B. $\frac{K}{2}$
Hint : પ્રારંભિક સ્થિતિમાં પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા,
K = $\frac{1}{2}$ mυ²]
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો ઊર્ધ્વઘટક શૂન્ય થાય છે.
υ_y = 0 અને સમક્ષિતિજ ઘટક
υ_x = υ cos θ₀ = υ cos45° = $\frac{v}{\sqrt{2}}$
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા,
K’ = $\frac{1}{2}$ mυ_x²]
= $\frac{1}{2}$ m ()² = $\frac{1}{2}$ ($\frac{1}{2}$ mυ²) = $\frac{K}{2}$

પ્રશ્ન 55.
જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ 25° હોય ત્યારે એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવિધ R છે. જો પ્રક્ષિપ્ત કોણ ……………. હોય, તો તેની અવિધ R જ રહેશે.
A. 40°
B. 45°
C. 65°
D. 60°
ઉત્તર:
C. 65°
Hint : જે બે પ્રક્ષિપ્ત કોણનો સરવાળો 90° હોય તે માટે અવિધ સમાન મળે છે.
θ₁ + θ₂ = 90°
∴ θ₂ = 90° – θ₁ = 90° – 25° = 65°

પ્રશ્ન 56.
ચાર પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થોને એકસરખી ઝડપથી સમક્ષિતિજ સાથે 20°, 35°, 60° અને 75°ના કોણે ફાયર કરવામાં આવે છે. કયા કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલ પદાર્થ માટે અવિધ વધુ મળશે?
A. 20°
B. 35°
C. 60°
D. 75°
ઉત્તર:
B. 35°
Hint: પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે જ્યારે θ = 45° હોય ત્યારે મહત્તમ અવિધ મળે છે. આથી આપેલા ચારેય ખૂણાઓમાંથી જે ખૂણો, 45°ની નજીક એટલે કે 45° સાથે ઓછો તફાવત ધરાવતો હોય તે માટે અવિધ વધુ મળશે. આપેલ કિસ્સામાં 35° એ 45°ની નજીકનો કોણ છે.

પ્રશ્ન 57.
સમાન ઝડપથી બે પદાર્થોને એવી રીતે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. જેથી તેમની અવિધ સમાન મળે. આ બે પદાર્થોનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ …………….. અને ………………… હશે.
A. 20°, 60°
B. 25, 60°
C. 27, 63°
D. 40°, 60
ઉત્તર:
C. 27°, 63°
Hint : જે બે કોણ માટે સરવાળો 90° થાય તે બંને કોણ માટે અવિધ સમાન મળે છે.
અહીં, 27° + 63° = 90° છે.
આથી વિકલ્પ C યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 58.
15॰ કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થની અવધિ 1.5km છે. જો આ પદાર્થને તેટલા જ પ્રારંભિક વેગથી 45॰ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે, તો અવિધ કેટલી મળે?
A. 0.75 km
B. 1.5 km
C. 3 km
D. 6 km
ઉત્તર:
C. 3 km
Hint : R₁ = 1.5km, θ₀₁ =15°, θ₀₂ =45°, R₂ = ?

∴ R₂ = 2 × R₁ = 2 × 1.5 km 3 km

પ્રશ્ન 59.
એક પદાર્થને 30°ને કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે ત્યારે તેની મહત્તમ ઊંચાઈ 10 m છે. જો તેને 45° ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે, તો તેની મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી થશે?
A. 10 m
B. 15 m
C. 20 m
D. 25 m
ઉત્તર:
C. 20 m
Hint :

∴ H₂ = 2 × H₁ = 2 × 10 = 20 m

પ્રશ્ન 60.
સમક્ષિતિજ જમીન પરથી કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને સમક્ષિતિજ દિશા સાથે 60°નો કોણ બનાવતી દિશામાં 2$\sqrt{g H}$ ની ઝડપથી ફેંકવામાં આવે છે, તો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ …………….. .
A. $\frac{2 H}{3}$
B. 3H
C. $\frac{3 H}{4}$
D. $\frac{3 H}{2}$
ઉત્તર:
D. $\frac{3 H}{2}$
Hint : મહત્તમ ઊંચાઈ = $\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}$
= $\frac{\left(2{\sqrt{g H})^2}^2 \sin ^2 60\right.}{2 g}$
= $\frac{4 g H \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2 g}$ = $\frac{3 H}{2}$

પ્રશ્ન 61.
પ્રશ્ન 60માં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અધિ ……………
A. √3 H
B. 2 √3 H
C. $\sqrt{3 g H}$
D. $\sqrt{g H}$
ઉત્તર:
B. 2 √3 H
Hint : R = $\frac{υ_0^2 \sin 2 \theta}{g}$
= $\frac{(2 \sqrt{g H})^2}{g}$ · sin (2 × 60°)
= $\frac{4 g H}{g}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ = 2 √3 H

પ્રશ્ન 62.
પ્રશ્ન 60માં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને સમક્ષિતિજ દિશામાં પહેલાં 2m સ્થાનાંતર કરવા માટે લાગતો સમય …………………..
A. $\frac{1}{\sqrt{g H}}$
B. $\frac{2}{\sqrt{g H}}$
C. $\frac{3}{\sqrt{g H}}$
D. $\frac{4}{\sqrt{g H}}$
ઉત્તર:
B. $\frac{2}{\sqrt{g H}}$
Hint : સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર = x = (υcos θ)t
∴ t = $\frac{x}{υ_0 \cos \theta}$
= $\frac{2}{2 \sqrt{g H} \cos 60^{\circ}}=\frac{2}{2 \sqrt{g H}\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{\sqrt{g H}}$

પ્રશ્ન 63.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ અને સમક્ષિતિજ અવિધ વચ્ચેનો સંબંધ ………………….. દ્વારા આપવામાં આવે.
A. R= 4H tan θ
B. R = 4H cot θ
C. R = 4H sin θ
D. R = 4H cos θ
ઉત્તર:
B. R= 4H cot θ
Hint :

પ્રશ્ન 64.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ તેની અધિ કરતાં અડધી H = $\frac{1}{2}$ R) હોય, તો સમક્ષિતિજ સાથેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ₀ ……………… .
A. tan^-1(1)
B. tan‍^-1(2)
C. tan^-1(3)
D. tan^-11(4)
ઉત્તર:
B. tan^-1(2)
Hint :

પ્રશ્ન 65.
ઊગમબિંદુ આગળથી પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થના પ્રક્ષિપ્ત કોણ માટેનું સૂત્ર θ₀ ……………… .
A. tan^-1 $\frac{4 H}{R}$
B. cot^-1 $\frac{4 H}{R}$
C. tan^-1 $\frac{4 R}{H}$
D. cot^-1 $\frac{4 R}{H}$
ઉત્તર:
A. tan^-1 $\frac{4 H}{R}$
Hint :

પ્રશ્ન 66.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે અવિધ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં ચાર ગણી છે, તો તેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ ……………… .
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
ઉત્તર:
C. 45°
Hint: R = 4H
∴ $\frac{υ_0^2 \sin 2 \theta}{g}=\frac{4υ_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}$
∴ $\frac{υ_0^2(2 \sin \theta \cos \theta)}{g}=\frac{4 υ_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}$
∴ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°

પ્રશ્ન 67.
એક દડાને સમક્ષિતિજ દિશામાં 4m/sની ઝડપે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો 0.7s સમય બાદ દડાનો વેગ ……………….. . (g = 10 m s^-2)
A. 11 m s^-1
B. 10 m s^-1
C. 8 ms^-1
D. 3 m s^-1
ઉત્તર:
C. 8 m s^-1
Hint : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો સમક્ષિતિજ વેગ υ_x = 4ms^-1 તેની ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે. પદાર્થને પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે ત્યારે વેગનો ઊર્ધ્વઘટક શૂન્ય છે. આથી 0.7s બાદ વેગના ઊર્ધ્વઘટકનું મૂલ્ય,
υ_y = υ_oy + gt = 0 + (10) (0.7) = 7 m s^-1
હવે, υ = $\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{4^2+7^2}$ = 8 m s^-1

પ્રશ્ન 68.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ 2θ અને પ્રારંભિક ઝડપ υ₀ છે. જ્યારે પદાર્થનો વેગ સમક્ષિતિજ સાથે θ કોણ બનાવે તે સમયે તેની ઝડપ કેટલી હશે?
A. (υ₀cos2θ) / 2
B. υ₀cos θ
C. υ₀ (2cos θ – sec θ)
D. υ₀(cos θ – sec θ)
ઉત્તર:
C. υ₀(2cos θ – sec θ)
Hint : પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ હોય છે. ધારો કે, θ કોણે તેનો વેગ υ છે.
∴ υ cos θ = υ₀ cos 2 θ
∴ υ = $\frac{v_0 \cos 2 \theta}{\cos \theta}$
= $\frac{v_0\left(2 \cos ^2 \theta-1\right)}{\cos \theta}$
= υ₀(2cos θ – sec θ)

પ્રશ્ન 69.
એક ક્રિકેટર સમક્ષિતિજ દિશામાં મહત્તમ 100m અંતર સુધી બૉલ ફેંકી શકે છે, તો તે આશરે કેટલી ઝડપથી દડો ફેંકતો હશે?
A. 30 m s^-1
B. 42 m s^-1
C. 32 m s^-1
D. 35 m s^-1
ઉત્તર:
C. 32 m s^-1
Hint : મહત્તમ અવિધ = $\frac{v_0^2}{g}$ = 100 m
∴ υ₀² = 100 × g = 100 × 10 = 1000
∴ υ₀ = 10$\sqrt{10}$ ≈ 32 m s^-1

પ્રશ્ન 70.
કીક મારેલા ફૂટબૉલના ચાર જુદા જુદા ગતિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે. દરેક ગતિપથને તેના વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકનાં મૂલ્યોના ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવતાં તે
…………….. હશે.
A. 1, 2, 3, 4
B. 2, 3, 4, 1
C. 3, 4, 1, 2
D. 4, 3, 2, 1

ઉત્તર:
D. 4, 3, 2, 1
Hint : અધિ R = $\frac{υ_0^2 \sin 2 \theta}{g}$
= $\frac{υ_0^2(2 \sin \theta \cos \theta)}{g}=\frac{2 υ_{\mathrm{ox}} υ_{\mathrm{oy}}}{g}$
આથી અવિધ ∝ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક
આકૃતિમાં ગતિપથ 4ને મહત્તમ અવિધ હોવાથી તેના પ્રારંભિક વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકનું મૂલ્ય મહત્તમ હશે અને ગતિપથ 1 માટે તે ન્યૂનતમ હશે.

પ્રશ્ન 71.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ (3î + 2ĵ ) m s^-1 છે. તેના ગતિપથની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ ………………… .
A. 3 m s^-1
B. 2 m s^-1
C. 1 m s^-1
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
A. 3 m s^-1
Hint : υ = 3î + 2ĵ
∴ υ_x = 3 m s^-1 υ_y = 2 m s^-1
મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થને ફક્ત સમક્ષિતિજ વેગ υ_x હોય છે. આથી તેનો વેગ υ_x = 3 m s^-1 થશે.

પ્રશ્ન 72.
એક બૅટ્સમૅન સિક્સર લગાવે છે અને દડો ગ્રાઉન્ડની બહાર જમીન પર જઈ પડે છે. બૅટ્સમૅન દડાને t₁ સમયે ફટકારે છે અને t₂ સમયે દડો જમીન પર પડે છે. નીચે દર્શાવેલમાંથી કયો આલેખ દડાની ગતિ દરમિયાન તેના વેગના ઊર્ધ્વઘટક વિરુદ્ધ સમયનો યોગ્ય આલેખ છે?


ઉત્તર:

Hint : t₁ સમયે દડાનો વેગ મહત્તમ હોય છે. ત્યારબાદ તે જેમ ઉપર તરફ ગતિ કરે છે તેમ તેનો વેગ ઘટે છે. મહત્તમ ઊંચાઈ પર તે શૂન્ય થાય છે. ત્યારબાદ તેનો વેગ અોદિશામાં વધવા લાગે છે.

પ્રશ્ન 73.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપ એ પ્રારંભિક ઝડપ υ₀ કરતાં અડધી હોય, તો તેની અધિ …………….
A. $\frac{υ_0{ }^2}{\sqrt{3 g}}$
B. $\frac{2 υ_0^2}{\sqrt{3 g}}$
C. $\frac{\sqrt{3} υ_0^2}{2 g}$
D. $\frac{3 υ_0^2}{g}$
ઉત્તર:
C. $\frac{\sqrt{3} υ_0^2}{2 g}$
Hint : મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ,
υ = υ₀ cos ₀
∴ $\frac{v_0}{2}$ = υ₀ cos θ₀
આથી cos θ₀ = $\frac{1}{2}$ ⇒ θ₀ = 60°
અવિધ R = $\frac{v_0^2 \sin 2 \epsilon_0}{g}=\frac{v_0^2 \sin 2\left(60^{\circ}\right)}{g}$
= $\frac{\sqrt{3} v_0^2}{2 g}$

પ્રશ્ન 74.
એક પદાર્થને 5 m /sના પ્રારંભિક વેગથી 45° ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે તેની ગતિની દિશા સમક્ષિતિજ સાથે 30°નો કોણ બનાવતી હશે ત્યારે તેના વેગનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A. $\frac{10}{\sqrt{3}}$m s^-1
B. 4.1 m s^-1
C. 1.4 m s^-1
D. $\frac{10}{\sqrt{2}}$ m s^-1
ઉત્તર:
B. 4.1 m s^-1
Hint : ધારો કે, 30° કોણે પદાર્થનો વેગ $\vec{υ}$ છે. આથી આ વેગનો ઊર્ધ્વઘટક υ sin 30° અને સમક્ષિતિજ ઘટક υ cos 30° થશે.
પરંતુ પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પદાર્થના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક υ₀ cos θ₀ હોય છે.
આશી υ cos 30° = υ₀ cos θ₀
∴ υ = $\frac{v_0 \cos \theta_0}{\cos 30^{\circ}}$
= 5 × $\frac{\cos 45^{\circ}}{\cos 30^{\circ}}$
= $\frac{5 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ≈4.1 m s^-1

પ્રશ્ન 75.
396.9 m ઊંચાઈએ સમક્ષિતિજ દિશામાં ઊડી રહેલા વિમાનની ઝડપ 720 km/h છે. આ વિમાનમાંથી એક ફૂડ પૅકેટ ફેંકવામાં આવે છે. આ પૅકેટને જમીન પર પહોંચતા કેટલો સમય લાગશે? તે સમક્ષિતિજ દિશામાં કેટલું અંતર કાપશે?
A. 3 s, 2000 m
B. 5 s, 500 m
C. 8 s, 1500 m
D. 9 s, 1800 m
ઉત્તર:
D. 9 s, 1800 m
Hint : υ_x = 720 km/h = 200 m/s
પ્રારંભમાં υ_0y = 0 છે.
∴ h = υ_oy t + $\frac{1}{2}$ gt²
∴ 396.9 = 0 + $\frac{1}{2}$ (9.8) t²
∴ t² = $\frac{396.9 \times 2}{9.8}$ = 81
∴ t = 9s
સમક્ષિતિજ અંતર υ_x × t
= 200 × 9
= 1800 m

પ્રશ્ન 76.
સદિશ $\vec{A}$, $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ નાં મૂલ્યો અનુક્રમે 3, 4 અને 5 એકમ છે. જો $\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{C}$ હોય, તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ ……………… .
A. $\frac{\pi}{2}$
B. cos^-10.6
C. tan^-1 $\frac{7}{5}$
D. $\frac{\pi}{4}$
ઉત્તર:
A. $\frac{\pi}{2}$
Hint :
|$\vec{A}$| = 3 એકમ
|$\vec{B}$| = 4 એકમ
|$\vec{C}$| = 5 એકમ
|$\vec{C}$|= |$\vec{A}$ + $\vec{A}$|
= $\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}$
∴ (5)² = (3)² + (4)² + 2 (3) (4) cos θ
∴ 24 cos θ =25 – 25 = 0
∴ cos θ = 0 ⇒ θ = $\frac{\pi}{2}$

પ્રશ્ન 77.
સુરેખ પથ પર ઉત્તર દિશામાં 50 km/hની અચળ ઝડપે જતી બસ ડાબી બાજુ 90°ના કોણે વળાંક લે છે. વળાંક બાદ પણ જો તેની ઝડપ બદલાતી ના હોય, તો વળાંક દરમિયાન તેના વેગમાં થતો વધારો …………… .
A. 70.7 km/h, દક્ષિણ-પશ્ચિમની દિશા તરફ
B. શૂન્ય
C. 50 km/h પશ્ચિમ તરફ
D. 70.7 km/h ઉત્તર-પશ્ચિમની દિશા તરફ
ઉત્તર:
A. 70.7 km/h, દક્ષિણ-પશ્ચિમની દિશા તરફ
Hint : υ₁ = 50 km/h ઉત્તર તરફ
υ₂ = 50 km/h પશ્ચિમ તરફ
∴ – υ₁ = 50 km/h દક્ષિણ તરફ

∴ વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય,
$\left|\vec{v}_2-\vec{v}_1\right|=\sqrt{v_2^2+\left(-v_1\right)^2}$
= $\sqrt{(50)^2+(-50)^2}$
= 70.7 km/h
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, વેગનો ફેરફાર દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશા તરફ છે.

પ્રશ્ન 78.
એક ગન સમક્ષિતિજ દિશામાં મહત્તમ 16 km જેટલા અંતરે ગોળા ફેંકી શકે છે. જો = g 10 m s ^-2 હોય, તો ગનના નાળચામાંથી નીકળતા ગોળાનો વેગ ……………….. .
A. 160 m s^-1
B. 200√2 m s^-1
C. 400 m s^-1
D. 800 m s^-1
ઉત્તર:
C. 400 m s^-1
Hint : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવિધ,
R_max = $\frac{v_0^2}{g}$
∴ (16000) m = $\frac{v_0^2}{\left(10 \mathrm{~ms}^{-2}\right)}$
∴ υ₀² = 16000 × 10
∴ υ₀ = 400 m/s

પ્રશ્ન 79.
બે સમાન દળ M ના પદાર્થોને સમાન વેગ છથી અનુક્રમે 30° અને 60°ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો તેમની અવધિઓનો ગુણોત્તર ……………….. હશે.
A. 1 : 3
B. 1 : 1
C. 1: √3
D. √3 : 1
ઉત્તર:
B. 1 : 1
Hint : અહીં, બંને પદાર્થોનો વેગ સમાન છે. તેમજ તેમના પ્રક્ષિપ્ત કોણોનો સરવાળો 30° + 60° = 90° થતો હોવાથી બંનેની અવિધઓ પણ સમાન હશે.

પ્રશ્ન 80.
એક બોટ નદીના કાંઠાને લંબરૂપે8 km h^-1ની ઝડપે નદી ક્રૉસ કરવા પ્રયત્ન કરી રહી છે. જો તેનો પરિણામી વેગ 10 km h^-1 હોય, તો નદીના પાણીનો વેગ …………………. .

A. 12 km h^-1
B. 6 km h^-1
C. 10 km h^-1
D. 5 km h^-1
ઉત્તર:
B. 6 km h^-1
Hint : હોડીની ઝડપ = $\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}$ = 8km/h
હોડીનો પરિણામી વેગ $\vec{υ}$ = 10km/h
નદીના પાણીની ઝડપ $\overrightarrow{v_{\mathrm{W}}}$ = ?
υ² = υ_B² + υ_W²
∴ υ_W² = υ² = υ_B² = (10)² – (8)² = 36
∴ υ_W = 6 km/h

પ્રશ્ન 81.
એક કણનો સ્થાનસદિશ
$\vec{r}$ = (a cos ωt) î + (a sin ωt)ĵ છે. પદાર્થનો વેગ …
A. ઊગમબિંદુ તરફ હોય છે.
B. ઊગમબિંદુથી દૂર તરફ હોય છે.
C. સ્થાનસદિશની દિશાને સમાંતર હોય છે.
D. સ્થાનસદિશને લંબ હોય છે.
ઉત્તર:
D. સ્થાનાંતર સદિશને લંબ હોય છે.
Hint : $\vec{r}$ = (a cos ω t) î + (a sin ω t)ĵ
∴ $\vec{υ}=\frac{d \vec{r}}{d t}$
= – ωa sin ω t î + ω a cos ω t ĵ
$\vec{r}$ · $\vec{υ}$ = (a cos ω t) (- ω a sin ω t) (î · î) + (a sin ω t) (ω a cos ω t) (ĵ · ĵ)
= – ω² cos ω t sin ω t + ω a² sin ω t cos ω t
= 0
એટલે કે, $\vec{r}$ અને $\vec{υ}$ પરસ્પર લંબ છે.

પ્રશ્ન 82.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર બે કણ A અને B એક દઢ સળિયા પર છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આ સળિયો બે પરસ્પર લંબ આવેલ ટ્રૅક પર સરકે છે. જો કણ Aનો વેગ ડાબી બાજુ 10 m/s હોય, તો જ્યારે α = 60°થાય ત્યારે કણ Bનો વેગ કેટલો હશે?

A. 10 m/s
B. 9.8 m/s
C. 5.8m/s
D. 17.3m/s
ઉત્તર:
D. 17.3 m/s
Hint : આકૃતિમાં કણ A અને B માટેના વેગના સદિશો દર્શાવ્યા છે.
આકૃતિ પરથી,
tan 60° = $\frac{v_{\mathrm{B}}}{v_{\mathrm{A}}}$
∴ υ_B = υ_A × tan 60°
= 10 × √3
= 17.3 m / s

પ્રશ્ન 83.
0.5î – 0.8ĵ + Ck̂ એ એકમ સદિશ દર્શાવે છે, તો Cનું મૂલ્ય ……………. .
A. $\sqrt{0.01}$
B. $\sqrt{0.11}$
C. 1
D. $\sqrt{0.39}$
ઉત્તર:
B. $\sqrt{0.11}$
Hint : $\vec{A}$ = 0.5î – 0.8ĵ + Ck̂
હવે, [latex]\vec{A}[/latex] = 1 છે.
∴ $\sqrt{(0.5)^2+(-0.8)^2+(C)^2}$ = 1
∴ 0.25 + 0.64 + C² = 1
∴ C = $\sqrt{0.11}$

પ્રશ્ન 84.
એક વ્યક્તિને નદીના એક કાંઠેથી લંદિશામાં આવેલા બીજા કાંઠે પહોંચવું છે. આ માટે તે 0.5 m/sની ઝડપે, પાણીના પ્રવાહ સાથે 120°ના કોણ બનાવતી દિશામાં તરે છે, તો પાણીના
પ્રવાહનો વેગ …………….. હશે.
A. 0.25 m/s
B. 0.5 m/s
C. 1 m/s
D. 0.433 m /s
ઉત્તર:
A. 0.25 m/s
Hint :

ધારો કે, નદીના પ્રવાહનો વેગ $\vec{v}_{\mathrm{R}}$ અને વ્યક્તિનો વેગ $\vec{v}_{\mathrm{P}}$ છે.
આકૃતિ પરથી,
sin 30° = $\frac{υ_{\mathrm{R}}}{v_{\mathrm{P}}}$
∴ υ_R = υ_A sin 30°
= 0.5 × $\frac{1}{2}$
= 0.25 m / s

પ્રશ્ન 85.
એક વ્યક્તિ ઘર્ષણ રહિત ઢાળની ટોચ પરથી સરકે છે અને આ જ ઢાળની ટોચ પરથી બૅગ ફેંકવામાં આવે છે. જો વ્યક્તિનો વેગ υ_m અને બૅગનો વેગ υ_B હોય, તો ………………
A. υ_B > υ_m
B. υ_B < υ_m
C. υ_B = υ_m
D. υ_B અને υ_m વચ્ચે સંબંધ શક્ય નથી
ઉત્તર:
C. υ_B = υ_m
Hint : અહીં, વ્યક્તિ અને બૅગનો ઊર્ધ્વદિશાનો પ્રવેગ g જેટલો સમાન છે. તેમજ સમક્ષિતિજ દિશાનો વેગ અચળ હોવાથી, υ_B = υ_m.

પ્રશ્ન 86.
સમાન દળના બે પદાર્થોને સમાન વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. તેમનાં પ્રક્ષિપ્ત કોણ 60° અને 30° હોય, તો નીચે દર્શાવેલ કઈ રાશિ તેમના માટે સમાન હશે?
A. ઉડ્ડયન સમય
B. અવિધ
C. મહત્તમ ઊંચાઈ
D. આપેલ તમામ
ઉત્તર:
B. અધિ
Hint : બંને પદાર્થોના પ્રક્ષિપ્ત કોણનો સરવાળો 60° + 30° = 90° થતો હોવાથી તેમની અવિધઓ સમાન હશે.

પ્રશ્ન 87.
નદીના પાણીમાં એક બોટની ઝડપ 5 km h^-1 છે. બોટ 1.0 km પહોળાઈવાળી નદીને સૌથી ટૂંકા માર્ગ પર 15 મિનિટમાં ઓળંગે છે, તો નદીના વહેણની ઝડપ ………………. છે.
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
ઉત્તર:
B. 3
Hint : ટૂંકા માર્ગે બોટની ઝડપ,

υ_S = 4 km h^-1
બોટની ઝડપ = υ_S = 5 km h-1
નદીના વહેણની ઝડપ = υ_R

આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,
υ_B² = υ_R² + υ_S²
∴ υ_R² = υ_B² – υ_S²
∴ υ_R = $\sqrt{v_{\mathrm{B}}^2-v_{\mathrm{S}}^2}$
= $\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}$ = 3 km h^-1

પ્રશ્ન 88.
જો |$\vec{A}$ + $\vec{B}$ | = |$\vec{A}$| + |$\vec{B}$| હોય, તો A અને B વચ્ચેનો કોણ ……………. હશે.
A. 90°
B. 120°
C. 0°
D. 60°
ઉત્તર:
C. 0°
Hint : જ્યારે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એક જ દિશામાં એટલે કે પરસ્પર સમાંતર હોય ત્યારે જ
|$\vec{A}$ + $\vec{B}$ | = |$\vec{A}$| + |$\vec{B}$| થાય.
આથી θ = ૦° થશે.

પ્રશ્ન 89.
3 kg દળ ધરાવતો પદાર્થ સ્થિર છે. પદાર્થ પર $\vec{F}$ = (6t²î + 4tĵ ) N જેટલું બળ લગાવ્યા પછી t = 3 s સમયે તેનો વેગ ……………… m/s હશે.
A. 18î + 3ĵ
B. 18î + 6ĵ
C. 3î + 18ĵ
D. 18î + 4ĵ
ઉત્તર :
B. 18î + 6ĵ
Hint : $\vec{F}$ = m$\vec{a}$ પરથી,

પ્રશ્ન 90.
કોઈ એક ઊંચાઈએથી કણ Aને છોડવામાં આવે છે અને બીજા કણ Bને સમક્ષિતિજ દિશામાં 5 m/sની ઝડપથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. નીચેનાંમાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A. કણ A એ કણ B કરતાં પહેલાં જમીન પર પહોંચશે.
B. કણ B એ કણ A કરતાં પહેલાં જમીન પર પહોંચશે.
C. બંને કણો એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.
D. બંને કણો સમાન ઝડપથી જમીન પર પહોંચશે.
ઉત્તર:
C. બંને કણો એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.
Hint : જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય તે પદાર્થની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ પર આધાર રાખે છે. અહીં, બંને કણોનો ઊર્ધ્વદિશાનો વેગ સમાન એવો શૂન્ય છે. આથી તેઓ એકસાથે જમીન પર આવશે.

પ્રશ્ન 91.
બે છોકરાઓ જમીન પરના બે છેડાઓ A અને B આગળ ઊભા છે. જ્યાં, AB = a છે. B છોકરો ABને લંબ એવી દિશામાં υ₁ વેગથી દોડે છે. તે જ ક્ષણે A છોકરો તેને પકડવા માટે υ વેગથી દોડે છે. તે t સમયમાં B છોકરાને પકડી લે છે, તો t = ……………. .
A. $\frac{a}{\sqrt{υ^2+v_1^2}}$
B. $\frac{a}{υ+υ_1}$
C. $\frac{a}{υ-υ_1}$
D. $\sqrt{\frac{a^2}{υ^2-v_1^2}}$
ઉત્તર:
D. $\sqrt{\frac{a^2}{υ^2-υ_1^2}}$
Hint : છોકરો A છોકરા Bને t સમયમાં બિંદુ C આગળ પકડી લે છે. એટલે કે t સમયમાં છોકરો A અને B બિંદુ C આગળ પહોંચે છે. આકૃતિ પરથી,
AC² = AB² + BC²
(υt)² = a² + (υ₁t)²
(υt)² – (υ₁t)² = a²
t² = $\frac{a^2}{υ^2-υ_1^2}$ … t = $\sqrt{\frac{a^2}{υ^2-υ_1^2}}$

પ્રશ્ન 92.
|$\vec{A}$ + $\vec{B}$| = |$\vec{A}$ – $\vec{B}$| હોય, તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ …………….. .
A. 45°
B. 90°
C. 60°
D. 75°
ઉત્તર:
B. 90°
Hint : |$\vec{A}$ + $\vec{B}$| = |$\vec{A}$ – $\vec{B}$|
∴ $\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}$ = $\sqrt{A^2+B^2-2 A B \cos \theta}$
∴ 4 AB cos θ = 0
∴ cos θ = 0 ⇒ θ = 90°

પ્રશ્ન 93.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ (45° + θ) અને (45° – θ) કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલ પદાર્થની અવધિનો ગુણોત્તર ………………… .
A. 2 : 3
B. 1 : 1
C. 2 : 3
D. 1 : 2
ઉત્તર:
B. 1 : 1
Hint : અહીં (45° + θ) + (45° – θ) = 90° થવાથી બંને કિસ્સામાં અવધિ સમાન મળશે.
આથી R₁ : R₂ = 1 : 1

પ્રશ્ન 94.
એક કણ XY સમતલમાં સુરેખ પથ પર ઊગમબિંદુ (0, 0)થી ગતિ શરૂ કરે છે. થોડા સમય બાદ તેના યામ (√૩, ૩) થાય છે, તો કણના ગતિપથે, X-અક્ષ સાથે બનાવેલ કોણ ………………. હશે.
A. 45°
B. 60°
C. 0°
D. 30°
ઉત્તર:
B. 60°
Hint :

ધારો કે, કણનો સુરેખ પથ એ X-અક્ષ સાથે θ કોણ બનાવે છે. આકૃતિ પરથી,
tan θ = $\frac{3}{\sqrt{3}}$ = √૩
∴ θ = tan^-1 (√3) = 60°

પ્રશ્ન 95.
એક કણનો પ્રારંભિક વેગ (3î + 4ĵ) અને પ્રવેગ (0.4î + 0.3ĵ) છે. તે કણની 10 s પછી ઝડપ …………. હશે.
A. 7 એકમ
B. 7√2 એકમ
C. 8.5 એકમ
D. 10 એકમ
ઉત્તર:
B. 7√2 એકમ
Hint : $\overrightarrow{υ_0}$ = 3î + 4ĵ, $\vec{a}$ = 0.4î + 0.3ĵ, t = 10 s
∴ $\vec{υ}=\overrightarrow{υ_0}+\vec{a} t$
= ( 3î + 4ĵ) + (0.4î + 0.3ĵ) 10
= 7î + 7ĵ
∴ $|\vec{v}|=\sqrt{(7)^2+(7)^2}$ = 7√2 એકમ

પ્રશ્ન 96.
આકૃતિમાં $\vec{a}$ થી લઈને $\vec{f}$ સદિશો દર્શાવેલા છે. નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

A. $\vec{b}+\vec{c}=\vec{f}$
B. $\vec{d}+\vec{c}=\vec{f}$
C. $\vec{d}+\vec{e}=\vec{f}$
D. $\vec{b}+\vec{e}=\vec{f}$
ઉત્તર:
C. $\vec{d}+\vec{e}=\vec{f}$
Hint :

પ્રશ્ન 97.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ એ પ્રારંભિક ઝડપ કરતાં અડધી છે, તો પ્રક્ષિપ્ત કોણ ………………. હશે.
A. 60°
B. 15°
C. 30°
D. 45°
ઉત્તર:
A. 60°
Hint : મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને ફક્ત વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક υ₀cos θ₀ હોય છે. આથી મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ,
υ = υ₀ cos θ₀
∴ $\frac{v_0}{2}$ = υ₀ cos θ₀
∴ cos θ₀ $\frac{1}{2}$ ⇒ θ₀ = 60°

પ્રશ્ન 98.
XY સમતલમાં ગતિ કરતાં કણના યામ x = a sin ωt અને y = a cos ωt છે. આ પદાર્થનો ગતિપથ ………… હશે.
A. લંબગોળ
B. વર્તુળાકાર
C. પરવલયાકાર
D. સુરેખ પથ પણ X અને Y અક્ષને સમાન રીતે ઢળતી દિશામાં
ઉત્તર:
B. વર્તુળાકાર
Hint : x = a sin ωt, y = a cos ωt
∴ x² + y² = a² sin² ωt + a²cos² ωt
∴ x² + y² = a² ( sin² ωt + cos² ωt = 1)
∴ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}$ = 1
જે વર્તુળનું સમીકરણ છે. આથી કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતું હશે.

પ્રશ્ન 99.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ અને સમક્ષિતિજ અધિ સમાન છે, તો પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ ………………….. .
A. θ = tan^-1 ($\frac{1}{4}$ )
B. θ = tan^-1 (4)
C. θ = tan^-1 (2)
D. θ = 45°
ઉત્તર:
B. θ = tan^-1 (4)
Hint : સમક્ષિતિજ અધિ (R) = મહત્તમ ઊંચાઈ (h_m)
$\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}=\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}$
∴ 2 sin θ₀ cos θ₀ = $\frac{\sin ^2 \theta_0}{2}$
∴ tan θ = 4 ⇒ θ = tan^-1 (4)

પ્રશ્ન 100.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી સમક્ષિતિજ દિશા સાથે θ કોણે 5 ms^-1ના વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. બીજા પદાર્થને બીજા ગ્રહ પરથી તેટલા જ કોણે 3 m s^-1ના વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. બંને કિસ્સામાં તેમનો ગતિપથ સમાન છે, તો બીજા ગ્રહનો ગુરુત્વપ્રવેગ ……………… હશે. (g = 9.8 m s^-2 લો.)
A. 5.9 m s^-2
B. 16.3 m s^-2
C. 110.8 m s^-2
D. 3.5 m s^-2
ઉત્તર:
D. 3.5 m s^-2
Hint : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સૂત્ર,
y = x tan θ – $\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos ^2 \theta_0}$
સમાન પ્રક્ષિપ્ત કોણ માટે ગતિપથ સમાન છે.
∴ $\frac{g}{v_0^2}$ = અચળ
∴ $\frac{g_{\mathrm{P}}}{g_{\mathrm{e}}}=\frac{v_{\mathrm{PO}}^2}{v_{\mathrm{e0}}^2}=\frac{3^2}{5^2}$
∴ ગ્રહ પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ g_P = ($\frac{3}{5}$)² × g_e
= $\frac{9}{25}$ × 9.8
= 3.5 m s

પ્રશ્ન 101.
એક કણના સ્થાનયામ નીચે મુજબ બદલાય છે ઃ
t = 0 સમયે (2 m, 3m)
t = 2 s સમયે (6 m, 7 m)
t = 5 s સમયે (13m, 14m)
આ કણનો t = 0થી t = 5 s સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ વેગ ………………. .
A. $\frac{7}{3}$(î + ĵ)
B. 2 (î + ĵ)
C. $\frac{11}{5}$ (î + ĵ)
D. $\frac{1}{5}$ (13î + 14ĵ)
ઉત્તર:
C. $\frac{11}{5}$ (î + ĵ)
Hint : $\vec{v}_{\mathrm{av}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
= $\frac{\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}}{t_2-t_1}$
= $\frac{(13 \hat{i}+14 \hat{j})-(2 \hat{i}+3 \hat{j})}{5-0}$
= $\frac{11}{5}$ (î + ĵ)

પ્રશ્ન 102.
એક જહાજ A 10 km h^-1ની ઝડપથી પશ્ચિમ દિશા તરફ ગતિ કરે છે. બીજું જહાજ B એ જહાજ Aથી દક્ષિણ દિશા તરફ 100 kmના અંતરે છે અને તે 10 km h^-1ની ઝડપથી ઉત્તર તરફ ગતિ કરે છે. કેટલા સમય બાદ આ બે જહાજ વચ્ચેનું અંતર લઘુતમ થશે?
A. 5 h
B. 5√2 h
C. 10√2 h
D. 6 h
ઉત્તર:
A. 5 h
Hint : $\overrightarrow{υ_{\mathrm{A}}}$ = – 10î, $\overrightarrow{υ_{\mathrm{B}}}$ = 10ĵ

પ્રશ્ન 103.
એક કણના સ્થાનસદિશને સમયના વિધેય તરીકે નીચેના રૂપે દર્શાવાય છે :
$\vec{R}$ = 4 sin (2πt)î + 4 cos (2πt)ĵ
જ્યાં, R મીટરમાં, t સેકન્ડમાં છે. કણની આ ગતિ માટે નીચેનાંમાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?
A. કણ એ 4 m ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાર્ગ પર ગતિ કરે છે.
B. તેના પ્રવેગનો સદિશ – $\vec{R}$ની દિશામાં છે.
C. તેના પ્રવેગનું મૂલ્ય \(\frac{υ^2}{R}[latex] છે. જ્યાં, υ એ કણનો વેગ છે.
D. કણના વેગનું મૂલ્ય 8m s^-1 છે.
ઉત્તર:
D. કણના વેગનું મૂલ્ય 8m s^-1 છે.
Hint : [latex]\vec{R}\) =4 sin (2πt)î + 4 cos (2πt)ĵ
⇒ R = 4m
$\vec{v}=\frac{d \vec{R}}{d t}$ = 8π[cos (2πt)î – sin (2πt)ĵ]
⇒ υ = 8π m s^-1
$\vec{a}=\frac{d \vec{v}}{d t}$ = 16π² [- sin (2πt)î – cos (2πt)ĵ]
$\vec{a}$ = – 4πr²$\vec{R}$
એટલે કે $\vec{a}$ એ – $\vec{R}$ ની દિશામાં છે.
હવે, a = 16π² m s^-2
a = $\frac{v^2}{R}=\frac{(8 \pi)^2}{4}$ = 16π² એટલે કે પ્રવેગ $\frac{v^2}{R}$ જેટલો છે.
$\vec{R}$ = 4 sin (2πt)î + 4 cos (2πt)ĵ
∴ xî + yĵ = 4 sin (2πt)î + 4 cos (2πt)ĵ
∴ x² + y² = 4² (sin²2πt + cos²2πt)
∴ x² + y² = 4²
જે વર્તુળનું સમીકરણ છે, જેની ત્રિજ્યા 4m છે. આમ, વિકલ્પ D ખોટો છે.

પ્રશ્ન 104.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો બિંદુ A આગળ વેગ (2î + 3ĵ) m s^-1 છે. બિંદુ B આગળ વેગ …………….. m s^-1 હશે.

A. – 2î – 3ĵ
B. – 2î + 3ĵ
C. 2î – 3ĵ
D. 2î + 3ĵ
ઉત્તર:
C. 2î – 3ĵ
Hint : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિ દરમિયાન તેના વેગનો X-ઘટક બદલાતો નથી. બિંદુ B આગળ તેના વેગનો Y-ઘટક ઋણ થશે.
$\vec{v}_{\mathrm{B}}$ = 2î – 3ĵ m s^-1

પ્રશ્ન 105.
બે બળોના મૂલ્યનો સરવાળો 18 N છે. આ બળોના પરિણામી બળનું મૂલ્ય 12 N છે, જે નાના બળને લંબદિશામાં છે, તો આ બંને બળોનાં મૂલ્યો ……………… .
A. 12N, 6N
B. 13N, 5N
C. 10N, 8N
D. 16N, 2N
ઉત્તર:
B. 13N, 5N
Hint :

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર $\overrightarrow{F_1}$ અને $\overrightarrow{F_2}$ બળોનું પરિણામી બળ $\vec{F}$ છે, જે $\overrightarrow{F_1}$ ને લંબદિશામાં છે.
અહીં,
$\overrightarrow{F_1}$ એ નાનું બળ છે.
∴ F₂² = F² + F₁²
= (12)² + F₁²
∴ F₂² – F₁² = 144
∴ (F₂ – F₁)(F₂ + F₁) = 144
પરંતુ, F₂ + F₁ = 18N છે. …………. (1)
∴ (F₂ – F₁)(18) = 144
∴ F₂ – F₁ = $\frac{144}{18}$ = 8N …… (2)
સમીકરણ (1) અને (2)ને ઉકેલતાં,
F₂ = 13N, F₁ = 5 N

પ્રશ્ન 106.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ …………… .
A. $\frac{υ_0 \cos \theta}{2}$
B. υ₀ cos θ
C. $\frac{υ_0 \cos \theta}{2}$
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર:
B. υ₀ cos θ
Hint : મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થને ફક્ત સમક્ષિતિજ વેગ υ₀ cos θ હોય છે.

પ્રશ્ન 107.
10m ઊંચા મકાનની અગાશી પરથી એક છોકરો 10m/sના વેગથી સમક્ષિતિજ સાથે 30°ના કોણે દડો ફેંકે છે. જે સ્થળેથી દડો ફેંકવામાં આવ્યો છે ત્યાંથી સમક્ષિતિજ દિશામાં 10 m
ઊંચાઈએ, જે બિંદુએ દડો આવશે તે અંતર કેટલું હશે?
(g = 10 m/s², sin 30° = $\frac{1}{2}$ = cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$)
A. 5.20 m
B. 4.33 m
C. 2.60 m
D. 8.66 m
ઉત્તર:
D. 8.66 m
Hint :

મકાનની ઊંચાઈ = 10 m
υ₀ = 10m/s, θ = 30°
દડાને મકાનની અગાશી (A) પરથી પ્રક્ષિપ્ત કર્યા પછી તે સમક્ષિતિજ દિશામાં અવિધ (R) જેટલું અંતર કાપીને બિંદુ B પાસે આવશે. (જુઓ આકૃતિ)
આથી AB = દડાની અવધિ (R)
= $\frac{υ_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}$
= $\frac{(10)^2 \sin 2\left(30^{\circ}\right)}{10}$
= 10 × 0.866
= 8.66 m

પ્રશ્ન 108.
ગતિ કરતાં કણના યામો t સમયે x = αt³ અને y = βt³ વડે આપી શકાય છે, તો t સમયે કણની ઝડપ …………….. .
A. 3t$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
B. 3t²$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
C. t²$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
D. $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
ઉત્તર:
B. 3t²$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$
Hint : x = αt³
∴ υ_x = $\frac{d x}{d t}$ = 3αt²
y = βt³
∴ υ_y = $\frac{d y}{d t}$ = 3βt²
∴ υ = $\sqrt{υ_{\mathrm{x}}^2+υ_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{\left(3 \alpha t^2\right)^2+\left(3 \beta t^2\right)^2}$
= 3t²$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

પ્રશ્ન 109.
પ્રક્ષિપ્ત કોણનાં બે જુદાં જુદાં મૂલ્યો માટે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધ સમાન મળે છે. જો તેમના ઉડ્ડયન સમય t₁ અને t₂ હોય, તો તેમના ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર …………….. ને સમપ્રમાણ હોય છે.
A. $\frac{1}{R^2}$
B. $\frac{1}{R}$
C. R
D. R²
ઉત્તર:
C. R
Hint : બંને પદાર્થોની અધિ સમાન હોવાથી એક પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ₀ અને બીજા પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ₀ – 6 થશે.
પહેલા પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય,
t₁ = $\frac{2 υ_0 \sin \theta_0}{g}$
બીજા પદાર્થનો ઉડ્ડયન સમય,
t₂ = $\frac{2 υ_0 \sin \left(90-\theta_0\right)}{g}=\frac{2 υ_0 \cos \theta_0}{g}$
∴t₁t₂ = $\frac{2 υ_0 \sin \theta_0}{g} \times \frac{2 υ_0 \cos \theta_0}{g}$
= $\frac{2 v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g^2}=\frac{2 R}{g}$
∴ t₁t₂ ∝ R

પ્રશ્ન 110.
વર્તુળાકાર માર્ગે અચળ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતા ણ માટે નીચેનું કયું વિધાન ખોટું છે?
A. વેગનો દેિશ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
B. પ્રવેગનો સદિશ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
C. પ્રવેગનો સદિશ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.
D. વેગ અને પ્રવેગના સદિશો પરસ્પર લંબ હોય છે.
ઉત્તર:
B. પ્રવેગનો સદિશ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
Hint : પ્રવેગનો સદિશ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે. આથી વિધાન B ખોટું છે.

પ્રશ્ન 111.
એક સ્થળેથી દડાને υ₀ જેટલી ઝડપે અને θ જેટલા પ્રક્ષિપ્ત કોણે ફેંકવામાં આવે છે. આ જ સ્થળેથી અને તે જ ક્ષણે એક વ્યક્તિ તે દડાને કૅચ કરવા $\frac{υ_0}{2}$ જેટલી અચળ ઝડપથી દોડે છે. શું તે વ્યક્તિ દડો કૅચ કરી શકશે? જો હા, તો પ્રક્ષિપ્ત કોણનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
A. હા, 60°
B. હા, 30°
C. ના
D. હા, 45°
ઉત્તર:
A. હા, 60°
Hint : જ્યારે દડાની સમક્ષિતિજ ઝડપ અને વ્યક્તિની ઝડપ સમાન હશે ત્યારે વ્યક્તિ દડાનો કૅચ કરી શકશે.
દડાની સમક્ષિતિજ ઝડપ = υ₀ cos θ = $\frac{υ_0}{2}$
∴ cos θ = $\frac{1}{2}$
∴ θ = 60°

પ્રશ્ન 112.
એક કણ પૂર્વ દિશા તરફ 5m/sના વેગથી ગતિ કરે છે. 10 sમાં તેનો વેગ બદલાઈને ઉત્તર દિશા તરફ 5 m/s જેટલો થાય છે. આ સમયગાળામાં તેનો સરેરાશ પ્રવેગ …………………
A. શૂન્ય
B. \frac{1}{\sqrt{2}}m s^-2 ઉત્તર-પશ્ચિમ તરફ
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$m s^-2 ઉત્તર-પૂર્વ તરફ
D. $\frac{1}{2}$ ms ^-2 ઉત્તર તરફ
ઉત્તર:
B. \frac{1}{\sqrt{2}} m s^-2 ઉત્તર-પશ્ચિમ તરફ
Hint :

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, પ્રવેગ ઉત્તર-પશ્ચિમ તરફની દિશામાં છે.

પ્રશ્ન 113.
એક પદાર્થને K જેટલી ગતિ-ઊર્જાથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. સમક્ષિતિજ દિશામાં તે મહત્તમ અવિધ જેટલું અંતર કાપે છે, તો મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા ………….. .
A. 0.25 K
B. 0.5 K
C. 0.75 K
D. 1.0 K
ઉત્તર :
B. 0.5 K
Hint : પદાર્થને જ્યારે 45°ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે ત્યારે તે મહત્તમ અવધિ પ્રાપ્ત કરે છે. આથી θ = 45°. હવે મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થના વેગનો ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક જ હાજર હોય છે.
આથી υ = υ₀ cos θ.
પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા K₀ = $\frac{1}{2}$ mυ₀²
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા,
K = $\frac{1}{2}$ mυ² = $\frac{1}{2}$m(υ₀ cos45°)²
= $\frac{1}{2}$mυ₀²($\frac{1}{2}$)
= $\frac{K_0}{2}$

પ્રશ્ન 114.
ફુવારામાંથી નીકળતા પાણીનો છંટકાવ તેની આજુબાજુની જમીન પર થતો હોય છે. ફુવારામાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ υ હોય, તો ફુવારાની આસપાસનો કેટલો વિસ્તાર (ક્ષેત્રફળ) ભીનો થશે?
A. $\frac{\pi v^2}{g}$
B. $\frac{\pi v^2}{g^2}$
C. $\frac{\pi^2 v^2}{g^2}$
D. $\frac{\pi v^4}{g^2}$
ઉત્તર:
D. $\frac{\pi v^4}{g^2}$
Hint : અહીં, ફુવારામાંથી નીકળતા પાણીની ગતિ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ છે. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરતા પદાર્થની મહત્તમ અધિ
R = $\frac{v^2}{g}$
અહીં, પાણી ચારે દિશામાં છૂટે છે. આથી તે સપાટી પર R ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ રચે છે.

પ્રશ્ન 115.
એક કણનો પ્રારંભિક વેગ 3î + 4ĵ અને પ્રવેગ 0.4î – 0.3ĵ છે. આ કણની ઝડપ 10s બાદ કેટલી હશે?
A. 5√2 એકમ
B. 7 એકમ
C. 5 એકમ
D. 10 એકમ
ઉત્તર:
A. 5 √2 એકમ
Hint : $\vec{v}=\overrightarrow{v_O}+\overrightarrow{a t}$
= (3î + 4ĵ) + (0.4î – 0.3ĵ)(10)
= 7î + Ĵ
∴ ઝડપ = $|\vec{v}|=\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{7^2+(1)^2}$
= 5√2 એકમ

પ્રશ્ન 116.
એક કણ $\vec{υ}$ = k(yî + xĵ) જેટલા વેગથી ગતિ કરે છે. જ્યાં, k અચળાંક છે. આ કણના ગતિપથનું સૂત્ર …………… .
A. y² = x² + અચળાંક
B. y = x² + અચળાંક
C. y² = x + અચળાંક
D. xy = અચળાંક
ઉત્તર :
A. y² = x² + અચળાંક
Hint :

પ્રશ્ન 117.
R ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર નિયમિત વર્તુળગતિ કરતાં કણનો બિંદુ P(R, θ) આગળ પ્રવેગ કેટલો હશે? θ એ X-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.

ઉત્તર:
D. – $\frac{υ^2}{R}$ cos θî – $\frac{υ^2}{R}$sin θĵ
Hint : નિયમિત વર્તુળગતિ કરતા કણનો પ્રવેગ $\frac{υ^2}{R}$ જેટલો કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, પ્રવેગનો X-ઘટક a_x એ -X-અક્ષની દિશામાં તેમજ Y-ઘટક a_y એ -Y-અક્ષની દિશામાં છે.
$\vec{a}$ = – $\frac{υ^2}{R}$ cos θî – $\frac{υ^2}{R}$sin θĵ

પ્રશ્ન 118.
એક બિંદુ P વર્તુળમાર્ગ પર વિષમઘડી દિશામાં ગતિ કરે છે. આ કણ s = – t³ + 5 સૂત્ર અનુસાર અંતર કાપે છે. જ્યાં, s એ metre અને t એ secondમાં છે. જો વર્તુળની ત્રિજ્યા 20 m હોય, તો t = 2 s સમયે આ કણનો પ્રવેગ ……………….. .
A. 14m s^-2
B. 13 m s^-2
C. 12 m s^-2
D. 7.2 m s^-2
ઉત્તર:
A. 14m s^-2
Hint : s = t³ + 5
∴ υ = $\frac{d s}{d t}$ = 3t² અને a_t = $\frac{d υ}{d t}$ = 6t
t = 2 s સમયે υ = = 3 (2)² = 12 m s^-1,
a_t = 6 × 2 = 12 ms^-2
હવે, a_c = $\frac{v^2}{R}=\frac{(12)^2}{20}=\frac{144}{20}$ = 7.2 m s^-1
પ્રવેગ a = $\sqrt{a_{\mathrm{c}}^2+a_{\mathrm{T}}^2}=\sqrt{(12)^2+(7.2)^2}$
= 14ms^-2

પ્રશ્ન 119.
એક છોકરો ઊદિશામાં 10m ઊંચાઈ સુધી પથ્થર ફેંકી શકે છે. આ જ પથ્થર તે સમક્ષિતિજ દિશામાં મહત્તમ કેટલા અંતર સુધી ફેંકી શકશે?
A. 20√2 m
B. 10 m
C. 10√2 m
D. 20 m
ઉત્તર:
D. 20 m
Hint : h_m = $\frac{υ_0^2}{2 g}$ = 10 m
R_max = $\frac{υ_0^2}{g}$ = 2h_m = 2 × 10 = 20 m

પ્રશ્ન 120.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ (î + 2ĵ) m s^-1 છે. જ્યાં, î એ જમીનની દિશાનો અને ĵ એ ઊર્ધ્વદિશાનો એકમ દિશ છે. જો g 10 m s^-2 હોય, તો આ પદાર્થના ગતિપથનું સૂત્ર ………………. .
A. y = x – 5x²
B. y = 2x – 5x²
C. 4y = 2x – 5x²
D. 4y = 2x – 25x²
ઉત્તર :
B. y = 2x – 5x²
Hint :
$\vec{υ}=\overrightarrow{υ_0}$ – gtĵ
= î + 2ĵ – 10tĵ
હવે, $\vec{υ}=\overrightarrow{υ_0}$
∴ d$\vec{r}$ = $\vec{υ}$dt
∴ ∫ d$\vec{r}$ = ∫ $\vec{υ}$dt = ∫ î + 2ĵ – 10tĵ)dt
∴ $\vec{r}$ = tî + 2tĵ – 5t²ĵ = tî + (2t – 5t²)ĵ
∴ xî + yĵ = tî + (2t – 5t²)ĵ
∴ x = t, y = 2t – 5t²
∴ y = 2x – 5x²

પ્રશ્ન 121.
સદિશ $\vec{A}$ ને સૂક્ષ્મ કોણે (Δθ << 1) ભ્રમણ કરાવી નવો દિશ $\vec{B}$ મેળવવામાં આવે છે. તો |$\vec{B}$ – $\vec{A}$| = ………………. .
A. |$\vec{A}$|Δθ
B. |$\vec{B}$|Δθ-|$\vec{A}$|
C. |$\vec{A}$| (1 – $\frac{\Delta \theta^2}{2}$)
D. 0
ઉત્તર:
A. |$\vec{A}$|Δθ
Hint : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\vec{A}$ને Δθ જેટલું ભ્રમણ કરાવતાં દેિશ $\vec{B}$ મળે છે.

પ્રશ્ન 122.
એક વર્તુળાકાર માર્ગ પર એક પદાર્થ 10 m s^-1ની અચળ ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યો છે. નીચેનામાંથી કયો આલેખ પદાર્થના પ્રવેગ અને વર્તુળની ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સાચો સંબંધ દર્શાવે છે?

ઉત્તર:

Hint : કેન્દ્રગામી પ્રવેગ a_C = $\frac{υ^2}{r}$
અચળ ઝડપ υ માટે, a_C ∝ $\frac{1}{r}$
આથી વિકલ્પ A એ પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાનો સાચો સંબંધ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 123.
જો બે એકમ સદિશોનો સરવાળો પણ એકમ સદિશ હોય, તો તેમનો તફાવત …………….. .
A. √2
B. √3
C. √4
D. √7
ઉત્તર:
B. √3
Hint :

પ્રશ્ન 124.
|$\vec{A}$| = |$\vec{B}$| . $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો 60° હોય, તો |$\vec{A}$ + $\vec{A}$ = ……………. .
A. √3 |$\vec{A}$|
B. √2 |$\vec{A}$|
C. 2|$\vec{A}$|
D. |$\vec{A}$|
ઉત્તર:
A. √3 |$\vec{A}$|
Hint : |$\vec{A}$ + $\vec{B}$| = $\sqrt{A^2+A^2+2 A \cdot A \cos 60^{\circ}}[latex] = [latex]\sqrt{2 A^2+2 A^2\left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{3} A$

પ્રશ્ન 125.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન મૂલ્ય ધરાવતા સદિશ છે. તે બેના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય √3A છે. $\vec{A}$ તથા –$\vec{B}$ના પરિણામી દેિશનું મૂલ્ય શોધો.
A. A
B. √3 A
C. √2A
D. 2A
ઉત્તર:
A. A
Hint :

પ્રશ્ન 126.
150°ના ખૂણે લાગતાં બે બળોનું પરિણામી બળ 10 N છે, જે તે બે બળ પૈકીના એકને લંબ છે, તો બીજું બળ …
A. 20 N
B. $\frac{20}{\sqrt{5}}$N
C. 20√3N
D. 20√5 N
ઉત્તર:
A. 20 N
Hint :

F² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos 150°
∴ F² = F₁² + F₂² – √3F₁F₂ ………. (1)
આકૃતિમાં $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$ અને પરિણામી બળ $\vec{F}$ દર્શાવ્યા છે.
આકૃતિ પરથી,
F₁² = F₂² + F²
∴ F² = F₁² – F₂² ………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
F₁² – F₂² F₁² – F₂² – √3F₁F₂
∴ F₂ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ F₁
હવે, F₁² = F₂² + F₂
F₁² = ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ F₁)² + (10)²
∴ F₁² – $\frac{3 F_1^2}{4}$ = 100
∴ F₁ = 20 N

પ્રશ્ન 127.
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય જ્યારે તે એક જ દિશામાં હોય ત્યારે 7 અને એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે 5 છે, તો A અને B શોધો.
A. 4, 3
B. 3, 2
C. 2, 5
D. 6, 1
ઉત્તર:
A. 4, 3
Hint : $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એક જ દિશામાં હોય ત્યારે A + B = 7
∴ A = 7 – B
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે
A² + B² = 5² = 25
∴ (7 – B)² + B² = 25
∴ 49 – 14B + B² + B² = 25
∴ B² – 7B + 12 = 0
∴ (B – 4) (B – 3) = 0
આથી B = 3 હશે ત્યારે A = 4 થશે.

પ્રશ્ન 128.
જો |$\vec{A}$ – $\vec{B}$| = |$\vec{A}$| = |$\vec{A}$| હોય, તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ ……………. .
A. 60°
B. 0°
C. 120°
D. 90°
ઉત્તર:
A. 60°
Hint : |$\vec{A}$ – $\vec{B}$|² = A² + B² – 2AB cos θ
∴ A² = A² + A² – 2A² cos θ
∴ cos θ = $\frac{1}{2}$ ∴ θ = 60°

પ્રશ્ન 129.
ગતિ કરતા પદાર્થનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ = [(î – ĵ) t (1 – 5t)] m હોય, તો t = 1 સેકન્ડે તેનો વેગ શોધો.
A. (9ĵ – 9î)$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
B. (9î – 9ĵ)$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
C. (- (î – ĵ))$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
D. (ĵ – î)$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
ઉત્તર:
A. (9ĵ – 9î)$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$
$\vec{r}$ = [(î – ĵ) t (1 – 5t)]
= (î – ĵ) (t – 5t²)
∴ $\vec{v}=\frac{\overrightarrow{d r}}{d t}=$ = (î – ĵ) (1 – 10t)
t = 1s મૂકતાં,
$\vec{υ}$ = (î – ĵ) (- 9) = 9ĵ – 9î m/s

પ્રશ્ન 130.
જે કણનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ = 3t²î + 4t²ĵ + 7k̂ હોય, તેણે 10sમાં કરેલ સ્થાનાંતર કેટલું હશે? $\vec{r}$ મીટરમાં છે.
A. (300î + 200ĵ) m
B. (300î + 500ĵ) m
C. (300î + 400ĵ) m
D. (200î + 400ĵ) m
ઉત્તર:
C. (300î + 400ĵ)
Hint : $\vec{r}$ (0) = 3 (0)²î + 4 (0)²ĵ + 7k̂ = 7k̂
$\vec{r}$(10) = 3 (10)²î + 4 (10)²ĵ + 7k̂
= 300î + 400ĵ + 7k̂
∴ સ્થાનાંતર = $\vec{r}$ (10) – $\vec{r}$ (0)
= 300î + 400ĵ + 7k̂ – 7k̂
= 300î + 400ĵ

પ્રશ્ન 131.
એક કણ XY સમતલમાં ગતિ કરે છે. કણનો કોઈ t સમયે સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ = (4tî + 6t²ĵ)m, તો θ માં થતાં ફેરફારનો
દર t = 1 સેકન્ડ આગળ ……………… છે. જ્યાં, θ એ પદાર્થના વેગદિશનો X-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
A. $\frac{3}{10}$
B. $\frac{4}{10}$
C. $\frac{7}{10}$
D. $\frac{6}{10}$
ઉત્તર:
A. $\frac{3}{10}$
Hint : $\vec{r}$ = 4tî + 6t²ĵ
∴ $\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}$ = 4î + 12tĵ
∴ tan θ = $\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}=\frac{12 t}{4}$ = 3t
t = 1 મૂકતાં,, tan θ = 3
હવે, tan θ = 3t
∴ sec² θ $\frac{d \theta}{d t}$ = 3
∴ (1 + tan² θ)$\frac{d \theta}{d t}$ = 3
∴ (1 + (3)²) $\frac{d \theta}{d t}$ = 3 ∴ $\frac{d \theta}{d t}$ = $\frac{3}{10}$

પ્રશ્ન 132.
જો $\vec{A}$, $\vec{B}$ અને $\vec{C}$નાં મૂલ્યો અનુક્રમે 5, 12 અને 13 એકમ હોય તેમજ $\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{C}$ હોય, તો $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો કોણ ……………. .
A. cos^-1($\frac{5}{12}$)
B. cos^-1($\frac{5}{13}$)
C. cos^-1($\frac{12}{13}$)
D. cos^-1($\frac{7}{13}$)
ઉત્તર:
C. cos^-1($\frac{12}{13}$)
Hint : સૌપ્રથમ આપણે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ શોધીશું.
|$\vec{A}$|= 5, |$\vec{B}$| = 12, |$\vec{C}$|= 13 છે.
C² = A² + B² + 2AB cos θ
∴ (13)² = (5)² + (12)² + 2 (5) (12) cos θ
∴ 169 = 25 + 144 + 120 cos θ
∴ 120 cos θ = 0 ∴ θ = $\frac{\pi}{2}$
આ દર્શાવે છે કે, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો કોણ α છે.
∴ cos α = $\frac{B}{C}=\frac{12}{13}$
∴ α = cos^-1($\frac{12}{13}$)

પ્રશ્ન 133.
$\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{C}$ છે. $\vec{C}$ ⊥ $\vec{A}$ છે. જો |$\vec{A}$| = |$\vec{C}$| હોય, તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ ……………………. .
A. $\frac{\pi}{4}$ rad
B. $\frac{\pi}{2}$ rad
C. $\frac{3 \pi}{4}$ rad
D. π rad
ઉત્તર:
C. $\frac{3 \pi}{4}$ rad
Hint : $\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{C}$ આથી $\vec{B}$ = $\vec{C}$ – $\vec{A}$
હવે, $\vec{C}$ ⊥ $\vec{A}$ હોવાથી B² = C² + A²
પણ |$\vec{C}$| = |$\vec{A}$| છે.
B² = A² + A² = 2A²
∴ B = √2A
હવે, C² = A² + B² + 2AB cos θ
∴ A² = A² + (√2A)² + 2A (√2A) cos θ
∴ 2√2 A² cos θ = – 2A²
∴ cos θ = $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ ⇒ θ = $\frac{3 \pi}{4}$ rad

પ્રશ્ન 134.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ સદિશો $\overrightarrow{O A}$, $\overrightarrow{O B}$ અને $\overrightarrow{O C}$ ના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય ………………… .

A. 2r
B. r (1 + √2 )
C. r√2
D. r (√2 – 1)
ઉત્તર:
B. r (1 + √2)
Hint : $\overrightarrow{O A}$ અને $\overrightarrow{O C}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,
|$\overrightarrow{O A}$ + $\overrightarrow{O C}$ ] = $\sqrt{r^2+r^2}$ = √2r
આ પરિણામી સદિશ એ $\overrightarrow{O B}$ની દિશામાં હોવાથી,
|$\overrightarrow{O A}$ + $\overrightarrow{O C}$| + |$\overrightarrow{O B}$|
= √2 r + r
= r (1 + √2 )

પ્રશ્ન 135.
એક વર્તુળાકાર માર્ગ પર એક કણ υ જેટલી અચળ ઝડપથી નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરી રહ્યો છે. આ ણનું કોણીય સ્થાનાંતર 60° જેટલું થાય ત્યારે પ્રારંભથી લઈને તેના રેખીય વેગના ફેરફારનું મૂલ્ય …………………… છે.
A. 0
B. υ
C. √2 υ
D. 2υ
ઉત્તર:
B. o
Hint :

પ્રશ્ન 136.
એક કણ સમતલમાં t = 0 સમયે ઊગમબિંદુ આગળથી ગતિ શરૂ કરે છે. તેના વેગનું સૂત્ર $\vec{υ}$ = υ₀î + (aω cos ωt)ĵ છે, તો તેના ગતિપથનું સૂત્ર ……………….. .
A. y = a sin ω t
B. y = a cos ω t
C. y = a sin ($\frac{\omega x}{υ_0}$)
D. y = a cos ($\frac{\omega x}{υ_0}$)
ઉત્તર:
C. y = a sin ($\frac{\omega x}{υ_0}$)
Hint : $\vec{υ}$ = υ₀î + (aω cos ωt)ĵ છે.
આથી υ_x = υ₀ અને υ_y = aω cos ωt થશે.
∴ υ_x = $\frac{d x}{d t}$ = υ₀
∴ ∫ dx = ∫ υ₀ dt
∴ x = υ₀t ∴ t = $\frac{x}{υ_0}$ ……….. (1)
હવે, υ_y = $\frac{d y}{d t}$ = aω cos ωt
∴ ∫dy = ∫aω cos ωt dt
y = $\frac{a \omega \sin \omega t}{\omega}$ = a sin ωt
સમીકરણ (1)માંથી tનું મૂલ્ય મૂકતાં,
y = a sin ($\frac{\omega x}{υ_0}$)

પ્રશ્ન 137.
P, Q, R અને S એમ ચાર વ્યક્તિઓ d લંબાઈના એક ચોરસનાં શિરોબિંદુઓ પર છે. હવે આ વ્યક્તિઓ એકસાથે સમાન ઝડપથી એવી રીતે ચાલે છે, જેથી Pની ગતિ Q તરફની દિશામાં, Qની ગતિ R તરફની દિશામાં અને Rની ગતિ S તરફની દિશામાં જ રહે, તો આ ચાર વ્યક્તિઓ ચોરસના કેન્દ્ર પર કયા સમયે મળશે ?
A. $\frac{d}{υ}$
B. $\frac{d}{2 υ}$
C. $\frac{d}{\sqrt{2} υ}$
D. $\frac{\sqrt{2} d}{υ}$
ઉત્તર:
A. $\frac{d}{υ}$
Hint :

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ એક ક્ષણે P, Q, R અને S વ્યક્તિઓ ચોરસનાં શિરોબિંદુઓ ૫૨ છે. થોડા સમય બાદ તેઓ ચોરસ P’Q’R’S’નાં શિરોબિંદુઓ પર આવશે. આમ, તેઓ સમય સાથે નાના થતા જતા ચોરસનાં શિરોબિંદુઓ પર તેમનું સ્થાન હશે અને છેલ્લે તેઓ ચોરસના કેન્દ્ર છ આગળ ભેગા થશે.
વ્યક્તિએ કરવું પડતું સ્થાનાંતર

દરેક ચોરસના શિરોબિંદુ પર વ્યક્તિની ઝડપ ચોરસના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોવાથી તે દિશાનો વેગનો ઘટક υ cos45° થશે.
∴ υ’ = υ cos 45° = $\frac{υ}{\sqrt{2}}$
હવે, O સુધી જતા લાગતો સમય,

પ્રશ્ન 138.
ઘડિયાળના સેકન્ડ-કાંટાના છેડાની રેખીય ઝડપ υ છે, તો 15 સેકન્ડમાં તેના રેખીય વેગના ફેરફારનું મૂલ્ય ……………. છે.
A. શૂન્ય
B. $\frac{υ}{\sqrt{2}}$
C. √2υ
D. 2υ
ઉત્તર:
C. √2υ
Hint : ધારો કે, સેકન્ડ-કાંટાનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{υ}_1$ અને અંતિમ વેગ $\vec{υ}_2$ છે.
|$\vec{υ}_1$| = |$\vec{υ}_2$| = υ છે. 15 સેકન્ડમાં સેકન્ડ-કાંટો
θ = 90° નું કોણીય અંતર કાપે છે.

પ્રશ્ન 139.
એક વ્યક્તિ 4km/hની ઝડપે ચાલી રહી છે. તેને વરસાદ અધોદિશામાં પડતો દેખાય છે. તેનો દેખીતો વેગ 4√3 km/h હોય, તો વાસ્તવમાં વરસાદનો વેગ અધોદિશા સાથે કેટલા કોણ બનાવતો હશે?
A. 60°
B. 30°
C. 45°
D. 90°
ઉત્તર:
B. 30°
Hint :

વ્યક્તિનો વેગ = $\vec{υ}_{\mathrm{p}}$ = 4 km/h
વરસાદનો દેખીતો વેગ
= $\vec{υ}_{\mathrm{a}}$ = 4√3 km/h
વરસાદનો સાચો વેગ $\vec{υ}_{\text {real }}$ = ?
આકૃતિ પરથી,
tan θ = $\frac{υ_{\mathrm{p}}}{υ_{\mathrm{a}}}=\frac{4}{4 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴ θ = 30°

પ્રશ્ન 140.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે ણો P અને Q ગતિ કરે છે, તો Qની સાપેક્ષે Pનો વેગ સદિશ ………………….. થશે.

A. (1, – √3) m s^-1
B. (1, √3) m s^-1
C. (- √3, 1) m s^-1
D. (√3, 1) m s^-1
ઉત્તર:
C. (-√3, 1) m s^-1
Hint : આકૃતિ પરથી, $\vec{υ}_{\mathrm{P}}$ = 2ĵ m/s
$\vec{υ}_Q$ = (υ_Q cos 30° î + υ_Q sin 30ĵ) m/s
= (2 cos 30° î + 2 sin 30ĵ) m/s
= (√3î + ĵ) m/s
Qની સાપેક્ષે Pનો વેગ,
$\vec{υ}_{\mathrm{PQ}}=\vec{υ}_{\mathrm{P}}-\vec{υ}_{\mathrm{Q}}$ = (2ĵ) – (√3 î + ĵ)
=(- √3î + ĵ)m/s

પ્રશ્ન 141.
એક કણ r ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર υ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે. એક ભ્રમણ દરમિયાન લાગતો સમય T હોય, તો તેનો પ્રવેગ ………………. .
A. $\frac{2 \pi υ}{T}$
B. $\frac{2 \pi r}{T}$
C. $\frac{2 \pi r^2}{T}$
D. $\frac{2 \pi υ^2}{T}$
ઉત્તર:
A. $\frac{2 \pi υ}{T}$
Hint :

પ્રશ્ન 142.
એક કણ R ત્રિજ્યાના વર્તુળમાર્ગ પર υ જેટલી અચળ ઝડપથી
ગતિ કરે છે. તેનો પ્રવેગ અચળ રાખી ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે, તો અચળ ઝડપ કેટલી થશે?
A. 2 υ
B. $\frac{υ}{2}$
C. √2υ
D. $\frac{υ}{\sqrt{2}}$
ઉત્તર:
C. √2υ
Hint : પહેલા કિસ્સામાં પ્રવેગ a₁ = $\frac{υ^2}{r}$
બીજા કિસ્સામાં પ્રવેગ a₂ = $\frac{υ^{\prime 2}}{2 r}$
પરંતુ a₁ = a₂ હોવાથી,
$\frac{υ^{r^2}}{2 r}=\frac{υ^2}{r}$
∴ υ’ = √2υ

પ્રશ્ન 143.
એક પદાર્થ XY સમતલમાં અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરી રહ્યો છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ O છે. જ્યારે પદાર્થ x = – 2 m સ્થાને છે ત્યારે તેનો વેગ – 4ĵ m/s છે. જ્યારે પદાર્થ y = 2 m સ્થાને હશે ત્યારે તેનો પ્રવેગ ……………… હશે.
A. – 8ĵ m/s²
B. – 8î m/s²
C. – 4ĵ m/s²
D. 4î m/s²

ઉત્તર:
A. – 8j m/s²
Hint : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, વર્તુળની ત્રિજ્યા r = 2 m છે અને પદાર્થની ઝડપ 4m/s² છે.
આથી પ્રવેગનું મૂલ્ય a = $\frac{υ^2}{r}=\frac{(4)^2}{2}$ 8 m s^-2 આ પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.
આથી જ્યારે પદાર્થ y = 2m સ્થાને હશે ત્યારે પ્રવેગ – 8j m/s² થશે. (જુઓ આકૃતિ)

પ્રશ્ન 144.
સમક્ષિતિજ સાથે θ₀ કોણે એક પદાર્થને પ્રક્ષિપ્ત કરતાં, તે H જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે, તો તેનો ઉડ્ડયન સમય ……………….. હશે.
A. $\sqrt{\frac{2 H}{g}}$
B. 2$\sqrt{\frac{2 H}{g}}$
C. $\sqrt{2 H \sin \theta_0}$
D. $\frac{2 \sqrt{2 H \sin \theta_0}}{g}$
ઉત્તર:
B. 2$\sqrt{\frac{2 H}{g}}$
Hint : ઉડ્ડયન સમય T_f = $\frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$ ………… (1)
∴ H = $\frac{υ_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}$
∴ υ₀ sin θ₀ = $\sqrt{2 g H}$
સમીકરણ (1)માં υ₀ sin θ₀ નું મૂલ્ય મૂકતાં,
T_f = $\frac{2 \sqrt{2 g H}}{g}$ = 2$\sqrt{\frac{2 H}{g}}$

પ્રશ્ન 145.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવિધ R અને તેણે પ્રાપ્ત ક૨ેલ મહત્તમ ઊંચાઈ H છે. જો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિમાર્ગ અને સમક્ષિતિજ રેખા વચ્ચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ A હોય, તો A = …………….. RH.
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{1}{3}$
ઉત્તર:
B. $\frac{2}{3}$
Hint :

પ્રશ્ન 146.
આપેલ પ્રક્ષિપ્ત કોણ માટે જો ઉડ્ડયન સમય બમણો કરવામાં આવે, તો તેની અવધિ ……………………. થશે.
A. ચાર ગણી
B. ત્રણ ગણી
C. બમણી
D. કોઈ ફેર નહિ પડે
ઉત્તર:
A. ચાર ગણી
Hint :

આથી જો ઉડ્ડયન સમય બમણો કરવામાં આવે, તો અવિધ ચાર ગણી થશે.

પ્રશ્ન 147.
પ્રક્ષિપ્ત કોણને અચળ રાખીને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ઝડપમાં વધારો કરીને મહત્તમ ઊંચાઈમાં 10% વધારો કરવામાં આવે છે, તો તેની અવધિમાં કેટલા ટકા વધારો થાય?
A. 5 %
B. 10 %
C. 15 %
D. 20 %
ઉત્તર:
B. 10 %
Hint : મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવિધ વચ્ચેનો સંબંધ R = 4Hcot θ. જો θ અચળ હોય, તો $\frac{R}{H}$ અચળ થાય. આથી Hમાં 10%નો વધારો કરતાં માં પણ 10% વધારો થશે.

પ્રશ્ન 148.
બે પથ્થરોને સમાન ઝડપ υ થી θ અને (90° – θ) કોણે ફેંકવામાં આવે છે. જો તેમની મહત્તમ ઊંચાઈ અનુક્રમે H અને H₁ હોય; તો R, H અને H₁ વચ્ચેનો સંબંધ …………… .
A. R = 4$\sqrt{H_1}$
B. R = $\sqrt{H_1}$
C. R = 4HH₁
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર:
A. R = 4$\sqrt{H_1}$
Hint : પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ અને 90° – θ હોવાથી બંને માટે અવિધ સમાન હશે.

પ્રશ્ન 149.
υ₀ જેટલી ઝડપથી θ₀ જેટલા કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલો પદાર્થ જ્યારે ઉપરની તરફ જતો હોય ત્યારે t સમયે તેના વેગનું મૂલ્ય ……………. .
A. $\sqrt{\left(υ_0 \cos \theta_0\right)^2+\left(υ_0 \sin \theta_0\right)^2}$
B. $\sqrt{\left(υ_0 \cos \theta_0-υ_0 \sin \theta_0\right)^2-g t}$
C. $\sqrt{υ_0^2+g^2 t^2-\left(2 υ_0 \sin \theta_0\right) g t}$
D. $\sqrt{υ_0^2+g^2 t^2-\left(2 υ_0 \cos \theta_0\right) g t}$
ઉત્તર:
C. $\sqrt{v_0^2+g^2 t^2-\left(2 v_0 \sin \theta_0\right) g t}$
Hint: પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,
υ_x = υ₀ cos θ₀ અને υ_y = υ₀ sin θ₀ – gt આથી t સમયે વેગનું મૂલ્ય,
∴ υ = $\sqrt{υ_{\mathrm{x}}^2+υ_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{\left(υ_0 \cos \theta_0\right)^2+\left(υ_0 \sin \theta_0-g t\right)^2}$
= $\sqrt{υ_0^2+g^2 t^2-2 υ_0 \sin \theta_0 g t}$

પ્રશ્ન 150.
બે પદાર્થોને અનુક્રમે 45° અને 60ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરતા બંને સમાન મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે, તો તેમના પ્રારંભિક વેગનો ગુણોત્તર
A. $\sqrt{\frac{2}{3}}$
B. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
C. $\sqrt{\frac{3}{2}}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
ઉત્તર:
C. $\sqrt{\frac{3}{2}}$
Hint : H₁ = H₂

પ્રશ્ન 151.
સમક્ષિતિજ રહેલા ટેબલ પરથી એક લખોટી ગબડીને જમીન પર આવે છે. તે ટેબલની ધારથી x જેટલા અંતરે જમીન પર પડે છે. જો ટેબલની ઊંચાઈ h હોય, તો પ્રક્ષિપ્ત લખોટીનો જમીન ૫૨ વેગ …………
A. h $\sqrt{\frac{g}{2 x}}$
B. x $\sqrt{\frac{g}{2 h}}$
c. gxh
D. gx + h
ઉત્તર :
B. x $\sqrt{\frac{g}{2 h}}$
Hint : t = $\sqrt{\frac{2 h}{g}}$ અને x = υt
∴ υ = $\frac{x}{t}=\frac{x}{\sqrt{\frac{2 h}{g}}}=x \sqrt{\frac{g}{2 h}}$

પ્રશ્ન 152.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે x (t) = at અને y(t) = bt² + ct છે. જ્યાં, x અને y મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે. a, b અને c અચળાંકો છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને ફાયર કર્યા પછી એક સેકન્ડ બાદ તેનો વેગ ……………… .
A. $\sqrt{a^2+(2 b+c)^2}$
B. $\sqrt{2 a^2+(b+c)^2}$
C. $\sqrt{2 a^2+(2 b+c)^2}$
D. $\sqrt{a^2+(b+2 c)^2}$
ઉત્તર:
A. $\sqrt{a^2+(2 b+c)^2}$
Hint : x (t) = at
∴ υ_x = $\frac{d x}{d t}$ = a
y (t) = bt² + ct
υ_y = $\frac{d y}{d t}$ = 2bt + c
∴ પદાર્થનો વેગ υ = $\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{(a)^2+(2 b t+c)^2}$
t = 1 s બાદ વેગ, υ = $\sqrt{a^2+(2 b+c)^2}$

પ્રશ્ન 153.
એક પદાર્થને 60°ને કોણે K જેટલી ગતિ-ઊર્જા સાથે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો જ્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈએ હોય ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જા ……………… હશે.
A. K
B. $\frac{K}{2}$
C. $\frac{K}{4}$
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
C. $\frac{K}{4}$
Hint : પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા K = $\frac{1}{2}$ mυ₀²
મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થનો વેગ υ = υ₀ cos θ₀
= υ₀ cos 60°
= $\frac{v_0}{2}$
∴ મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા K’
= $\frac{1}{2}$ mυ²
= $\frac{1}{2}$ m($\frac{v_0}{2}$)²
= $\frac{1}{2}$ mυ₀² × $\frac{1}{4}$ = $\frac{K}{4}$

પ્રશ્ન 154.
સમક્ષિતિજ દિશામાં 500 m s^-1ની ઝડપે ઊડી રહેલું ફાઇટર પ્લેન એક બૉમ્બ ફેંકે છે, જે 10s બાદ જમીન પર પડે છે. બૉમ્બ જમીન પર કેટલા કોણે પડશે? (g = 10m s^-2 લો.)
A. tan^-1 5
B. tan^-1 1
C. tan^-1 $\frac{1}{5}$
D. sin^-1 $\frac{1}{5}$
ઉત્તર:
C. tan^-1 $\frac{1}{2}$
Hint : બૉમ્બનો સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગ υ_x 500 m s^-1 જે તેના ગતિપથ દરમિયાન અચળ રહે છે.
પ્રારંભમાં બૉમ્બના વેગનો ઊર્ધ્વદિશાનો ઘટક શૂન્ય છે.
υ_0y = 0
હવે, 10 ડ બાદ બૉમ્બનો ઊર્ધ્વદિશાનો વેગ,
υ_y = υ_0y + gt
= 0 + (10) (10) = 100 m s^-1
આકૃતિ પરથી,
∴ tan θ = $\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}$
= $\frac{100}{500}$ = $\frac{1}{5}$
∴ θ = tan^-1 ($\frac{1}{5}$)

પ્રશ્ન 155.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ 20 m/s અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ 45° છે. તેના ગતિપથનું સમીકરણ h = Ax – Bx² છે. જ્યાં, h એ ઊંચાઈ અને x એ સમક્ષિતિજ અંતર છે. A અને B અચળાંકો છે, તો A : B = ……………. .
(g = 10 m s^-2 લો.)
A. 1 : 5
B. 5 : 1
C. 1 : 40
D. 40 : 1
ઉત્તર:
D. 40 : 1
Hint : પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે ગતિપથનું સમીકરણ,
y = x tan θ₀ – $\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos ^2 \theta_0}$
તેને_h = Ax – Bx² સાથે સરખાવતાં,
A = tan θ₀, B = $\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \theta_0}$
$\frac{A}{B}$ = tan θ₀ $\frac{2 v_0^2 \cos ^2 \theta_0}{g}$
= $\frac{\tan 45^{\circ} \times 2(20)^2 \cos ^2 45^{\circ}}{10}$ = 40

પ્રશ્ન 156.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સમાન ઊંચાઈ H ધરાવતી બે દીવાલોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એકસાથે ઓળંગે છે.
(g = 10 m/s²)

(i) કુલ ઉડ્ડયન સમય (T_f) ………….. .
p. 8 s
q. 4 s
r. 6 s
s. 2 s

(ii) દરેક દીવાલની ઊંચાઈ ……………… .
p. 40 m
g. 60 m
r. 80 m
s. 120 m

(iii) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ ……………. .
p. 40 m
g. 60 m
1. 80 m
s. 160 m

(iv) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અધિ ……………….
p. 80 m
q. 120 m
r. 160 m
s. 240 m

A. (i – p), (ii – q), (iii – r), (iv – s)
B. (i – q), (ii – p), (iii – s), (iv – r)
C. (i – r), (ii – s), (iii – p), (iv – q)
D. (i – p), (ii – r), (iii – q), (iv – s)
ઉત્તર:
A. (i – p), (ii – q), (iii – r), (iv – s)
Hint :
અહીં બંને દીવાલોની ઊંચાઈ H સમાન છે અને તેમને ઓળંગવા માટે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને અનુક્રમે t₁ = 2 s અને t₂ = 6 s લાગે છે.
તેથી H = (υ₀ sin θ₀) t₁ – $\frac{1}{2}$gt₁² અને ……….. (1)
H = (υ₀) t₂ – $\frac{1}{2}$gt₂² …………. (2)

• સમીકરણ (1) અને (2)ને સરખાવતાં,
  υ₀ sin θ₀ = $\frac{g\left(t_1+t_2\right)}{2}$ ……….. (3)
• હવે, સમીકરણ (3)ની કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
  H = [latex]\frac{g\left(t_1+t_2\right)}{2}[/latex] t₁ – $\frac{1}{2}$gt₁²
  ∴ H = $\frac{g t_1 t_2}{2}$ ………. (4)
• હવે, પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો
  સમય t_m = $\frac{v_0 \sin \theta_0}{g}=\frac{1}{g} \times \frac{g\left(t_1+t_2\right)}{2}$
  ∴ t_m = $\frac{t_1+t_2}{2}$ ………. (5)
  ∴ કુલ ઉડ્ડયન સમય
  T_f = 2t_m ⇒ T_f = (t₁ + t₂) ………. (6)
• મહત્તમ ઊંચાઈ
  h_max = $\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}$ = [latex]\frac{g\left(t_1+t_2\right)}{2}[/latex]² × $\frac{1}{2 g}$
  ∴ h_max = $\frac{g\left(t_1+t_2\right)}{2}$ ………… (7)

(i) કુલ ઉડ્ડયન સમય T_f = t₁ + t₂ (∵ સમીકરણ (6) પરથી)
= 2 +6
= 8 s

(ii) દરેક દીવાલની ઊંચાઈ H = $\frac{g t_1 t_2}{2}$ (∵ સમીકરણ (4) પરથી)
= $\frac{10 \times 2 \times 6}{2}$
= 60 m

(iii) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ,
h_max = $\frac{g\left(t_1+t_2\right)^2}{8}$ (∵ સમીકરણ (7) પરથી)
= $\frac{10(2+6)^2}{8}$ = 80 m

(iv) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવિધ આકૃતિ પરથી,
R = x₁ + x₂ છે.
અહીં, x₁ = υ₀ cos θ₀ × t₁ અને
x₂ = υ₀ cos θ₀ × t₂ છે.
∴ $\frac{x_1}{x_2}=\frac{t_1}{t_2}$
∴ $\frac{x_1}{x_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
∴ x₂ = 3x₁

• હવે, અહીં રકમમાં આકૃતિ પરથી x₂ – x₁ 120 m આપેલ છે.
  ∴ 3x₁ – x₁ = 120 m
  x₁ = 60 m
  અને x₂ = 3x₁ છે.
  ∴ x₂ = 180 m
• તેથી અવિધ R = x₁ + x₂ = 60 + 180
  = 240 m

પ્રશ્ન 157.
એક પદાર્થને એવા પ્રક્ષિપ્ત કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, જેથી તેની અવિધ એ પદાર્થે પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં ત્રણ ગણી મળે, તો આ પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ ………………. .
A. 25°8′
B. 33°7′
C. 42°8′
D. 53.1°
ઉત્તર:
D. 53.1°
Hint: મહત્તમ ઊંચાઈ H = $\frac{υ_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}$
અવિધ R = $\frac{υ_0^2 \sin 2 \theta}{g}$
હવે, R = 3H છે.
∴ $\frac{v_0^2 \sin 2 \theta}{g}$ = 3 × $\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}$
∴ 2 sin θ cos θ = 3 × $\frac{\sin ^2 \theta}{2}$
∴ tan θ = $\frac{4}{3}$ ∴ θ = 53.1°

પ્રશ્ન 158.
એક દડો સીડીના સૌથી ઉપરના પગથિયેથી υ₀ના વેગથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ગબડે છે. આ ગતિના લીધે તે nમા પગથિયાની બહારની ધાર પર પડે છે. જો દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ h અને પહોળાઈ w હોય, તો nનું મૂલ્ય …………….. થશે.
A. $\frac{2 h v_0}{g w^2}$
B. $\frac{2 h v_0^2}{g w}$
C. $\frac{h v_0^2}{g w^2}$
D. $\frac{2 h v_0^2}{g w^2}$
ઉત્તર:
D. $\frac{2 h v_0^2}{g w^2}$
Hint :

દડો nમા પગથિયાની ધાર પર પડે છે. એટલે કે તે t સમયમાં સમક્ષિતિજ દિશામાં no જેટલું અંતર કાપે છે અને અધોદિશામાં nh જેટલું અંતર કાપે છે.
સમક્ષિતિજ ગતિ માટે,
nw = υ₀t ∴ t = $\frac{n w}{υ_0}$
અધોદિશામાં ગતિ માટે,
nh = $\frac{1}{2}$ gt² = $\frac{1}{2}$ g ($\frac{n w}{v_0}$)²
∴ nh = $\frac{1}{2}$ g$\frac{n^2 w^2}{υ_0^2}$
∴ n = $\frac{2 h υ_0^2}{g w^2}$

પ્રશ્ન 159.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ y = √3 x – 0.8x²ને અનુરૂપ ગતિ કરે છે. જ્યાં, x, y મીટરમાં અને g = 10 m/s² તો, …..
(i) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે બનાવેલ ખૂણો કેટલો છે?
A. 60°
B. 30°
C. 45°
D. 90°

(ii) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ કેટલો છે?
A. 25 m s^-1
C. 5 m s^-1
B. 10 m s^-1
D. 4 m s^-1

(iii) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી હશે?
A. $\frac{15}{12}$ m
B. $\frac{15}{16}$ m
C. $\frac{15}{4}$ m
D. $\frac{15}{8}$ m

(iv) કણ દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલ અવિધ કેટલી?
A. $\frac{15}{4}$ m
B. $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ m
C. $\frac{15}{\sqrt{3}}$ m
D. 5√3 m

(v) કણનો પ્રારંભિક પ્રવેગ કેટલો થાય?
A. 5√3 m s^-2
B. 10 × √3 m s^-2
C. $\frac{10}{\sqrt{3}}$m s^-2
D. 10 m s^-2

(vi) મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય કેટલો થાય?
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ s
B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ s
C. $\frac{\sqrt{3}}{5}$ s
D. √3 s

(vii) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ઉડ્ડયનનો સમય કેટલો થાય?
A. √3 s
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ s
C. $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$
D. √6 s

(viii) મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ કેટલો થાય?
A. 5 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ m s^-1
B. 10 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ m s^-1
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ m s^-1
D. $\frac{5}{2}$ m s^-1
ઉત્તર:
(i) A. 60°
(ii) C. 5 m s^-1
(iii) B. $\frac{15}{16}$ m
(iv) B. $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ m
(v) D. 10 ms^-2
(vi) B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ s
(vii) B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ s
(viii) D. $\frac{5}{2}$ ^-1
Hint : y = √3x – 0.8x²
y = tan θ · x – $\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos ^2 \theta_0}$
(i) બંને સમીકરણ સરખાવતાં,
tan θ = √3, θ = tan^-1(√3) = 60°

(ii) $\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \theta_0}$ = 0.8
∴ υ₀² = $\frac{g}{2 \times 0.8 \times \cos ^2 \theta_0}$
= $\frac{10}{2 \times 0.8 \times \cos ^2 60^{\circ}}$ = 25
∴ υ₀ = 5 m/s

(iii) મહત્તમ ઊંચાઈ H = $\frac{υ_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}$
= $\frac{(5)^2 \sin ^2 60^{\circ}}{2 \times 10}$
= $\frac{75}{80}=\frac{15}{16}$ m

(iv) અધિ = $\frac{υ_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}$
= $\frac{(5)^2 \sin \left(2 \times 60^{\circ}\right)}{10}=\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ m

(v) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ હોવાથી પ્રારંભિક પ્રવેગ 10 ms^-2 થશે.

(vi) t_m = $\frac{υ_0 \sin \theta_0}{g}=\frac{5 \times \sin 60^{\circ}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{4}$s

(vii) ઉડ્ડયન સમય = 2t_m = $\frac{2 \sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$s

(viii) મહત્તમ ઊંચાઈ પર પદાર્થનો વેગ = υ₀ cos θ₀
= 5 cos 60°
= $\frac{5}{2}$ m s^-1