GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 5 ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 5 ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 5 ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય

GSEB Class 12 Physics ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
પૃથ્વીના ચુંબકત્વ અંગે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) સદિશને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે ત્રણ રાશિઓ (મૂલ્યો)ની જરૂર પડે છે. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને દર્શાવવા રૂઢિગત રીતે વપરાતી ત્રણ સ્વતંત્ર રાશિઓના નામ આપો.
(b) દક્ષિણ ભારતમાં આવેલા એક સ્થળ પાસે ડીપ કોણ (નમનકોણ) લગભગ 18° છે. બ્રિટનમાં ડીપ કોણ મોટો કે નાનો હશે ?
(c) જો તમે ઑસ્ટ્રેલિયાના મેલબોર્ન પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓનો નકશો બનાવો તો શું ત્યાં આ રેખાઓ જમીનમાં જતી કે બહાર નીકળતી હશે ?
(d) ભૂચુંબકીય ઉત્તર કે દક્ષિણ ધ્રુવ પર જ ઊર્ધ્વ સમતલમાં મુક્ત રીતે ફરી શકતી ચુંબકીય સોય રાખીએ તો તે કઈ દિશામાં રહેશે ?
(e) એવું માનવામાં આવે છે કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, તેના કેન્દ્ર પર મૂકેલા 8 × 10²² JT^-1 જેટલી મેગ્નેટિક મોમેન્ટ ધરાવતા ડાયપોલ વડે મળતા ક્ષેત્ર જેટલું છે. આ સંખ્યાના માપક્રમની કોઈ રીતે ખરાઈ (Check) કરો.
(f) ભૂવિજ્ઞાનીઓ દર્શાવે છે કે મુખ્ય ચુંબકીય N – S ધ્રુવો સિવાય, પૃથ્વીની સપાટી પર જુદી જુદી દિશામાં રહેલા બીજા બધા સ્થાનિક ધ્રુવો પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આવું કેવી રીતે શક્ય બને ?
ℑℑ
(a) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને દર્શાવવા માટે રૂઢિગત રીતે વપરાતી ત્રણ સ્વતંત્ર રાશિઓ નીચે પ્રમાણે છે :

1. મૅગ્નેટિક ડૅક્સિનેશન (કિપાત કોણ) (D)
2. ડીપ એંગલ અથવા નમનકોણ (Φ or I)
3. પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક (B_H or B_E)

(b) આપેલું સ્થાન ઉત્તર ધ્રુવ કે દક્ષિણ ધ્રુવની સાપેક્ષ કેટલું દૂર છે તેના પર ડીપ એંગલનો આધાર છે. બ્રિટન માટે ડીપ એંગલ (લગભગ 70°) એ દક્ષિણ ભારતમાં આવેલા કોઈ એક સ્થળ પાસેના ડીપ એંગલ (18°) કરતાં વધુ હશે. કારણ કે, બ્રિટન ચુંબકીય ઉત્તર ધ્રુવની નજીક છે. યાદ રાખો કે, આપણે ચુંબકીય વિષુવવૃત્તથી ચુંબકીય ધ્રુવો તરફ જઈએ ત્યારે નમનકોણ વધીને 0° થી 90° જેટલો થાય છે.

(c) એવું ધારવામાં આવ્યું છે, કે પૃથ્વીના ચુંબકીય અક્ષ પર વિશાળ ગજિયો ચુંબક છે. તેનો ચુંબકીય S ધ્રુવ ભૌગોલિક N ધ્રુવ પાસે અને ચુંબકીય N ધ્રુવ ભૌગોલિક S ધ્રુવ પાસે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ ચુંબકના N ધ્રુવમાંથી બહાર આવે છે અને S ધ્રુવમાં દાખલ થાય છે. ભૌગોલિક રીતે મેલબોર્ન દક્ષિણ ગોળાર્ધમાં આવેલ છે. જ્યાં પૃથ્વી ચુંબકનો ઉત્તરધ્રુવ છે. તેથી, ઑસ્ટ્રેલિયાના મેલબોર્ન પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રના નકશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ જમીનમાંથી બહાર આવતી હશે.

(d) ચુંબકીય સોય સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરવા મુક્ત છે. જ્યારે ચુંબકીય ધ્રુવો પાસે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય અને માત્ર શિરોલંબ ઘટક છે તેથી ચુંબકીય સોય કોઈ પણ દિશામાં સ્થિર રહે છે.

• ઊર્ધ્વ સમતલમાં મુક્ત રીતે ફરી શકતી ચુંબકીય સોય શિરોલંબ જ રહે છે.
• ભૂચુંબકીય ઉત્તધ્રુવ પાસે ચુંબકીય સોયનો ઉત્તધ્રુવ અધોદિશામાં અને ભૂચુંબકીય દક્ષિણધ્રુવ પાસે ચુંબકીય સોયનો ઉત્તવ ઊર્ધ્વ દિશામાં સ્થિર રહે છે.

(e) મૅગ્નેટિક મોમેન્ટ M = 8 × 10²² J/T
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા r = R_E = 6.4 × 10⁶ m
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{~m}}{4 \pi r^3}\)
∴ B = \(\frac{\left(4 \pi \times 10^{-7}\right)\left(8 \times 10^{22}\right)}{4 \pi \times\left(6.4 \times 10^6\right)^3}\) B = 0.3 G
આ મૂલ્ય પૃથ્વીના મેળવેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્ય જેટલું જ છે. આમ, ઉપરના સમીકરણ વડે મળતું અને પૃથ્વીનું મેળવેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે. આ પરથી કહી શકાય કે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના કેન્દ્ર પર મૂકેલા 8 × 10²² J/T જેટલી મૅગ્નેટિક મોમેન્ટ વડે મળતા ક્ષેત્ર જેટલું છે.

(f) શા માટે નહીં ? પૃથ્વીની સપાટી પર જુદી જુદી દિશામાં રહેલા બીજા બધા સ્થાનિક ધ્રુવો પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે તે શક્ય છે. કારણ કે, પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ફક્ત સંન્નિકટ રીતે જ ડાયપોલનું ક્ષેત્ર છે. સ્થાનિક N – S ધ્રુવો કદાચ ચુંબકીય ખનીજ જથ્થાને કારણે ઉદ્ભવી શકે છે.

પ્રશ્ન 2.
નીચેના સવાલોના જવાબ આપો :
(a) અવકાશમાં જુદા જુદા બિંદુઓએ પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જુદું જુદું હોય છે. શું તે સમય સાથે પણ બદલાય છે ? જો તેમ હોય, તો કયા સમય અંતરાલમાં તેમાં ગણના પાત્ર ફેરફાર થાય છે ?
(b) પૃથ્વીના કોર (ગર્ભ)માં લોખંડ (આયર્ન) છે તે જાણીએ છીએ. આમ છતાં ભૂસ્તરશાસ્ત્રીઓ તેને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું ઉદ્ગમ માનતા નથી. શા માટે ? (c) પૃથ્વીના કોરની બહારના વાહક વિસ્તારમાંના વિદ્યુતપ્રવાહો પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે જવાબદાર માનવામાં આવે છે. આ પ્રવાહોને જાળવી રાખવા કઈ ‘બૅટરી’ (એટલે કે ઊર્જા સ્રોત) હશે ?
(d) પૃથ્વીએ તેના ક્ષેત્રની દિશા 4 થી 5 અબજ (= 10⁹) અબજ વર્ષના તેના ઇતિહાસ દરમિયાન કેટલીય વખત ઊલટાવી હશે. ભૂસ્તરશાસ્ત્રીઓ પૃથ્વીના ક્ષેત્રના આવા દૂરના ભૂતકાળ વિશે કેવી રીતે જાણી શક્યા હશે ?
(e) પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘણા લાંબા અંતરે (આશરે 30000 km થી વધુ) તેના ડાયપોલ આકારથી ઘણું જુદું પડે છે. કયા કારણો આ ફેરફારો માટે જવાબદાર છે ?
(f) તારાઓ વચ્ચેના અવકાશમાં 10^-12 T ના ક્રમનું ઘણું નબળું ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોય છે. શું આ નબળું ક્ષેત્ર કોઈ અર્થપૂર્ણ પરિણામ આપી શકે ? સમજાવો.
(સ્વાધ્યાય 5.2 નો ઉદ્દેશ્ય ફક્ત તમારી ઉત્સુકતા વધારવાનો છે. ઉપરના ઘણા પ્રશ્નોના જવાબો કામચલાઉ અને અજ્ઞાત છે. જ્યાં શક્ય છે ત્યાં અંતમાં જવાબો આપ્યા છે. વધુ માહિતી માટે તમે ભૂચુંબકત્વના કોઈ સારા પુસ્તકનો અભ્યાસ કરી શકો.)
ઉત્તર:
(a) હા, પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અવકાશમાં જુદાં-જુદાં બિંદુઓએ સમય સાથે બદલાય છે. આ માટેનો સમય અંતરાલ અમુક સેંકડો વર્ષનો છે. તેમ છતાં તેનાથી ઓછા સમય અંતરાલમાં પણ થતાં ફેરફારો સંપૂર્ણ અવગણી શકાય તેવા નથી.

(b) પૃથ્વીના કોર (ગર્ભ)માં પિગળેલું લોખંડ હોય છે અને પિગળેલી અવસ્થામાં ડોમેઇનની રચના ન મળે તેથી લોખંડનું આ સ્વરૂપ ફેરોમૅગ્નેટિક નથી. તેથી તેને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું ઉદ્ગમ માનતા નથી.

(c) પૃથ્વીની અંદરની રેડિયોઍક્ટિવિટી એ આ પ્રવાહોને જાળવી રાખવા માટેના ઊર્જાસ્રોત (બૅટરી) તરીકે જવાબદાર માનવામાં આવે છે. આ એક શક્યતા છે પણ હકીકત કોઈ જાણતું નથી.

(d) ઘનીકરણની (ઠારણ) પ્રક્રિયા દરમિયાન પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ખૂબ નબળા પ્રમાણમાં ખડકોમાં સંગ્રહિત થઈ જાય છે. ખડકોના આ ચુંબકત્વનું વિશ્લેષણ કરતાં ભૂ-ચુંબકીય ઇતિહાસ વિશેની માહિતી મળે છે.

(e) પૃથ્વીથી મોટા અંતરોએ તેના આયનોસ્ફિયરમાંનાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં, ગતિમાન આયનોના ક્ષેત્રના કારણે ફેરફાર થાય છે, જે આયનોસ્ફિયરમાં (પૃથ્વીની બહાર) ઉદ્ભવતા તોફાનો, જેવા કે સૌર પવનો પ્રત્યે સંવેદી છે એટલે કે, તેમનાથી ક્ષેત્ર બદલાતું રહે છે અને પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર આશરે 10⁶ વર્ષ પછી ઊલટાય છે.

(f) જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે ત્યારે તેનો ગતિમાર્ગ વર્તુળાકાર થાય છે. તેની ત્રિજ્યા નીચે પ્રમાણે મળે છે.
R = \(\frac{m v}{q \mathrm{~B}}\) (∴ \(\frac{m v^2}{\mathrm{R}}\) = qυB)
અહીં R ∝ \(\frac{1}{B}\) છે.

• તારાનું 10^-12 T નું નબળું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગતિમાન વિદ્યુતભારને ખૂબ જ મોટી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાર્ગ ૫૨ ગતિ કરાવે છે.
• નાના અંતર માટે આ વિચલન નોંધનીય નથી, પરંતુ મોટા અંતરે આ વિચલન નોંધનીય છે.

પ્રશ્ન 3.
એક નાના ગજિયા ચુંબકને તેની અક્ષ 0.25 T ના નિયમિત બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 30° કોણ બનાવે તે રીતે મૂકતાં તે 4.5 × 10^-2 J જેટલું ટોર્ક અનુભવે છે. ચુંબકની મેગ્નેટિક મોમેન્ટનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
τ = mBsinθ
∴ m = \(\frac{\tau}{B \sin \theta}\)
= \(\frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \sin 30^{\circ}}\) = \(\frac{4.5 \times 10^{-2}}{0.25 \times \frac{1}{2}}\)
= \(\frac{9.0 \times 10^{-2}}{0.25}\)
= 0.36 J T^-1 અથવા Am²

પ્રશ્ન 4.
મેગ્નેટિક મોમેન્ટ m = 0.32 JT^-1 ધરાવતા નાના ગજિયા ચુંબકને 0.15 T ના નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂક્યો છે. જો ગજિયો ચુંબક આ ક્ષેત્રના સમતલમાં મુક્ત ભ્રમણ કરી શકે તેમ હોય તો તેની કઈ દિશામાંની ગોઠવણી,
(a) સ્થિર અને
(b) અસ્થિર સંતુલન દર્શાવશે ? દરેક કિસ્સામાં આ ચુંબકની સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
(a) જો \(\overrightarrow{\mathrm{m}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 0° હોય.
∴ સ્થિતિઊર્જા
U = –\(\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
[\(\overrightarrow{\mathrm{m}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સમાંતર, તેથી θ = 0°]
∴ U_min = -mBcosθ
= – mBcos0°
= – 0.32 × 0.15 × 1
= – 0.048 J સ્થિર સંતુલન દર્શાવે

(b) જો [\(\overrightarrow{\mathrm{m}}\) અને [\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 180° હોય.
∴ સ્થિતિઊર્જા U = – mBcosθ
= mBcos180°
= 0.32 × 0.15 × (- 1)
∴ U_max = + 0.048 J અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે

પ્રશ્ન 5.
ખૂબ નજીક વીંટાળેલા 800 આંટાવાળા અને 2.5 × 10^-4 m² આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સોલેનોઇડમાંથી 3.0 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. સૉલેનોઇડ કઈ રીતે ગજિયા ચુંબકની જેમ વર્તશે તે સમજાવો. તેની સાથે સંકળાયેલી મેગ્નેટિક મોમેન્ટ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
સૉલેનોઈડની અક્ષને સમાંતર જમણા હાથના નિયમ અનુસાર પ્રવાહ કઈ દિશામાં (સમઘડી કે વિષમઘડી) વહે છે તે અનુસાર ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કે દક્ષિણ ધ્રુવ થશે.
– વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સૉલેનોઈડની ચુંબકીય ચાકમાત્રા,
m_S = NIA
= 800 × 3.0 × 2.5 × 10^-4
= 6 × 10^-1
= 0.6 Am² અથવા 0.6 JT^-1
જે સૉલેનોઇડમાં વહેતા પ્રવાહની દિશા દ્વારા નક્કી થાય છે.

પ્રશ્ન 6.
સ્વાધ્યાય 5.5 માં દર્શાવેલ સોલેનોઇડ શિરોલંબ દિશામાં મુક્ત ભ્રમણ કરી શકે તેમ હોય અને સમક્ષિતિજ દિશામાં 0.25 T જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગાડવામાં આવે, તો જ્યારે સોલેનોઇડની અક્ષ આપેલ ક્ષેત્ર સાથે 30॰ કોણ બનાવતી હોય ત્યારે તેના પર કેટલું ટોર્ક લાગતું હશે ?
ઉત્તર:

τ = mBsinθ
= 0.6 × 0.25 × sin30°
= 0.15 × \(\frac{1}{2}\)
= 0.075 Nm અથવા J

પ્રશ્ન 7.
મેગ્નેટિક મોમેન્ટ 1.5 JT^-1 ધરાવતો એક ગજિયો ચુંબક નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.22 T સાથે એક રેખસ્થ રહેલો છે.
(a) બાહ્ય ટોર્ક દ્વારા કેટલું કાર્ય કરવું પડે કે જેથી તેની મેગ્નેટિક મોમેન્ટ (i) ક્ષેત્રને લંબ દિશામાં (ii) ક્ષેત્રની દિશાથી વિરુદ્ધ ગોઠવાય ?
(b) કિસ્સાઓ (i) અને (ii) માં ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
(a) (i) પ્રારંભમાં ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય ચાકમાત્રા \(\overrightarrow{\mathrm{m}}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ₁ = 0° અને જ્યારે \(\overrightarrow{\mathrm{m}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) પરસ્પર લંબરૂપે ગોઠવાય ત્યારે
θ₂ = 90° થાય.
∴ ગજિયા ચુંબકને લંબરૂપે ગોઠવવા કરવું પડતું કાર્ય
W₁ = mB (cosθ₁ – cosθ₂)
= 1.5 × 0.22 [cos0° – cos90°]
= 0.33 [1 – 0]
= 0.33 J

(ii) જ્યારે ચુંબકને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની વિરુદ્ધમાં ગોઠવવામાં આવે
ત્યારે θ’₂ = 180° બને.
∴ આ કિસ્સામાં કરવું પડતું કાર્ય,
W₂ = mB (cosθ₁ – cosθ’₂)
= mB [cos0° – cos180°]
= 1.5 × 0.22 [1 – (- 1)]
= 0.33 [2]
= 0.66 J

(b)
(i) જ્યારે ચુંબકને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગોઠવીએ ત્યારે તેનાં પર લાગતું ટૉર્ક,
τ₁ = mBsinθ₂
= 1.5 × 0.22 × sin90°
= 0.33 Nm જેટલો ટૉર્ક લાગશે જે ચુંબકીય ચાકમાત્રાને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશામાં લઈ જવા પ્રયત્ન ક૨શે.

(ii) જ્યારે ચુંબકને ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ ગોઠવતાં
લાગતું ટૉર્ક,
τ₂ = mBsinθ’₂
= 1.5 × 0.22 × sin180°
= 0.33 × 0
= 0

પ્રશ્ન 8.
2000 આંટા અને 1.6 × 10^-4m² જેટલું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા એક સોલેનોઇડમાંથી 4.0 A વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે અને તેને કેન્દ્રમાંથી એવી રીતે લટકાવેલ છે કે જેથી તે સમક્ષિતિજ સમતલમાં ભ્રમણ કરી શકે.
(a) સૉલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલી મેગ્નેટિક મોમેન્ટ કેટલી હશે ?
(b) જો સોલેનોઇડની અક્ષ સાથે 30° કોણ બનાવતી
દિશામાં 7.5 × 10^-2 T જેટલું નિયમિત સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવામાં આવે તો સોલેનોઇડ પર લાગતા બળ અને ટોર્કના મૂલ્ય કેટલા હશે ?
ઉત્તર:
(a) સૉલેનોઈડની ચુંબકીય ચાકમાત્રા,
m_S = NIA
= 2000 × 4 × 1.6 × 10^-4
= 128 × 10^-2
= 1.28 JT^-1 અથવા Am²
આ ચાકમાત્રાની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી વિદ્યુતપ્રવાહને અનુરૂપ સૉલેનોઈડની અક્ષ પર મળે છે.

(b) \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) તીવ્રતાવાળા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલાં ચુંબક પર લાગતું પરિણામી બળ,

\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{N}}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{S}}}\)
= p\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) – p\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = 0
સૉલેનોઈડ પર લાગતું ટૉર્ક,
τ = mBsin6θ’₂
= 1.28 × 7.5 × 10^-2 × sin30°
= 1.28 × 7.5 × 10^-2 × \(\frac {1}{2}\)
= 48 × 10^-3 J
ટૉર્કની દિશા એવી હોય છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશા સૉલેનોઈડની અક્ષને સમાંતર મળે.

પ્રશ્ન 9.
16 આંટા અને 10 cm ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળાકાર ગૂંચળું મૂલ્ય 0.75 A વિધુતપ્રવાહ ધરાવે છે અને 5 × 10^-2 T ધરાવતા બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે સ્થિર રહેલું છે. ક્ષેત્રની દિશાને લંબ અને ગૂંચળાના સમતલમાં રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને ગૂંચળું મુક્ત ભ્રમણ કરી શકે છે. જ્યારે ગૂંચળાને થોડુંક ઘુમાવીને છોડી દેવામાં આવે ત્યારે તે તેની સ્થિર સંતુલિત સ્થિતિની આસપાસ 2.0 s^-1 આવૃત્તિથી આંદોલન કરે છે. ગૂંચળાની તેની ભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કૉઈલના દોલનનો આર્વતકાળ,

પ્રશ્ન 10.
મેગ્નેટિક મેરીડિયનને સમાંતર ઊર્ધ્વ સમતલમાં મુક્ત ભ્રમણ કરી શકે તેવી એક ચુંબકીય સોયની અણી સમક્ષિતિજ સાથે નીચે તરફ 22॰ કોણ બનાવતી દિશામાં છે. આ સ્થળે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક 0.35 G જેટલો આપેલ છે. આ સ્થળે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું માન શોધો.
ઉત્તર:
B_H = BcosΦ
∴ B = \(\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{H}}}{\cos \phi}\)
= \(\frac{0.35}{\cos 22^{\circ}}\)
= \(\frac{0.35}{0.9272}\)
∴ B = 0.38 G

પ્રશ્ન 11.
આફ્રિકામાં કોઈ સ્થળે, ચુંબકીય કંપાસ ભૌગોલિક ઉત્તરથી 12॰ પશ્ચિમ તરફ (દિશા) દર્શાવે છે. નમન વર્તુળની (ડીપ દર્શાવતી) ચુંબકીય સોયના ઉત્તરધ્રુવની અણીને મૅગ્નેટિક મેરિડિયનના સમતલમાં રાખતાં તે સમક્ષિતિજ સાથે ઉત્તર તરફ 60° કોણ દવિ છે, પૃથ્વીના ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક આ સ્થળે 0.16 G છે. આ સ્થળે પૃથ્વીના (ચુંબકીય) ક્ષેત્રની દિશા અને મૂલ્ય દર્શાવો.
ઉત્તર:

અહીં,
GN = ભૌગોલિક ઉત્તર
GS = ભૌગોલિક દક્ષિણ
MN = ચુંબકીય ઉત્તર
MS = ચુંબકીય દક્ષિણ
અહીં એંગલ ઑફ ડૅક્સિનેશન D = 12°
એંગલ ઑફ ડીપ Φ = 60°
∴ સમક્ષિતિજ ઘટક
B_H = BcosΦ
B = \(\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{H}}}{\cos \phi}=\frac{0.16}{\cos 60^{\circ}}=\frac{0.16}{\frac{1}{2}}\)
∴ B = 0.32 G
\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) ની દિશા : પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ભૌગોલિક ઉત્તરથી 12° પશ્ચિમ તરફ શિરોલંબ છે અને તે સમક્ષિતિજ રેખાની ઉપર 60° ના ખૂણે છે.

પ્રશ્ન 12.
એક નાના ગજિયા ચુંબકની મૅગ્નેટિક મોમેન્ટ 0.48 JT^-1 છે. ચુંબકના કેન્દ્રથી 10 cm અંતરે
(a) ચુંબકની અક્ષ પર
(b) તેની વિષુવરેખા (લંબ દ્વિભાજક) પર ચુંબક વડે ઉત્પન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અને મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
(a) અક્ષ પરના બિંદુ માટે :

= 0.96 × 10^-4 T = 0.96 G
S થી N તરફ (ચુંબકીય ચાકમાત્રાની દિશામાં)

(b) વિષુવરેખા પરના બિંદુ માટે :

= 0.48 × 10^-4 T
= 0.48 G N થી S તરફ
(ચુંબકીય ચાકમાત્રાની વિરુદ્ધ દિશામાં)

પ્રશ્ન 13.
સમક્ષિતિજ સમતલમાં મૂકેલા એક નાના ગજિયા ચુંબકની અક્ષ ચુંબકીય ઉત્તર-દક્ષિણ દિશા સાથે એક રેખસ્થ છે. ચુંબકની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી 14 cm અંતરે તટસ્થ બિંદુઓ (Null Points) મળે છે. આ સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.36 G છે અને ડીપ કોણ શૂન્ય છે. ચુંબકના કેન્દ્રથી તેના લંબ દ્વિભાજક પર આટલા જ અંતરે (એટલે કે 14 cm) કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે ? (તટસ્થ બિંદુએ ચુંબક વડે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.)
ઉત્તર:
ચુંબકના અક્ષ પરના બિંદુ માટે,
B’ = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 m}{r^2}\)
તટસ્થ બિંદુ માટે,
B’ = H_E

= 0.00049392 × 10³
≈ 0.49 Am²
= 0.5 Am²
ચુંબકના વિષુવરેખા પરના બિંદુ માટે,
B_e = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{m}{r^3}\)
= 10^-7 × \(\frac{0.5}{(0.14)^3}\)
= 182.2 × 10^-7
= 0.1822 × 10^-4 T
≈ 0.18 G
∴ આ બિંદુ પાસે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{eq}}=\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\)
= 0.18 + 0.36
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}_{\mathrm{eq}}\) = 0.54G અને તેની દિશા પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકની દિશામાં.

પ્રશ્ન 14.
જો સ્વાધ્યાય 5.13 ના ગજિયા ચુંબકને 180° જેટલો ઘુમાવવામાં આવે તો હવે નવા તટસ્થ બિંદુઓ ક્યાં (કેટલા અંતરે) મળશે ?
ઉત્તર:

• જો ચુંબકને 180° જેટલું ભ્રમણ આપીએ તો ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ, પૃથ્વીના ભૌગોલિક ઉત્તર ધ્રુવ તરફ આવે તેથી તેનાં તટસ્થ બિંદુનું સ્થાન ચુંબકના લંબદ્વિભાજક (વિષુવરેખા) ૫૨ મળે.
  ધારો કે ચુંબકના વિષુવરેખા પર ચુંબકના કેન્દ્રથી r અંતરે તટસ્થ બિંદુઓ મળે છે.
• ગજિયા ચુંબકના તટસ્થ બિંદુ માટે,
  {વિષુવરેખા પ૨ ચુંબકીય ક્ષેત્ર} = {અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર}
  \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{y^3}\) = \(\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{2 m}{r^3}\right)\)
  ∴ \(\frac{1}{y^3}=\frac{2}{r^3}\)
  ∴ \(\frac{r}{(2)^{1 / 3}}=\frac{14}{1.26}\) = 11.11 cm
  ∴ y ≈ 11.1 cm

પ્રશ્ન 15.
5.25 × 10^-2 JT^-1 મૅગ્નેટિક મોમેન્ટ ધરાવતા નાના ગજિયા ચુંબકને તેની અક્ષ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને લંબ રહે તે રીતે રાખવામાં આવ્યો છે. ચુંબકના કેન્દ્રથી
(a) તેના લંબ દ્વિભાજક પર અને
(b) તેની અક્ષ પર કેટલા અંતરે પરિણામી ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 45° કોણ બનાવતું હશે ? આ સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.42 G છે. અહીં ગણતરીમાં આવતા અંતરોની સરખામણીમાં ચુંબકની લંબાઈ અવગણો.
ઉત્તર:
(a) ધારો કે ચુંબકના વિષુવરેખા ૫૨ r અંતરે આવેલાં બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\) મળે છે અને પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}_{\mathrm{E}}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{Z}_{\mathrm{E}}}\) વચ્ચે 45° નો કોણ રચે છે.

= \(\frac{10^{-7} \times 5.25 \times 10^{-2}}{0.42 \times 10^{-4}}\)
= 12.5 × 10^-5
∴ r³ = 125 × 10^-6
∴ r = \(\left(125 \times 10^{-6}\right)^{\frac{1}{3}}\)
∴ r = 5 × 10^-2 m
∴ r = 5 cm

(b) ચુંબકના અક્ષ પરના બિંદુ માટે,
B અને B_H વચ્ચેનો ખૂણો 45° હોવાથી,

Antilog લેતાં,
r = 06,299 × 10^-2 m
∴ ≈ 6.3 cm

પ્રશ્ન 16.
નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો
(a) જ્યારે પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થને ઠંડો પાડવામાં આવે ત્યારે (તે જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે) શા માટે તે વધુ મૅગ્નેટાઇઝેશન દર્શાવે છે ?
(b) તેથી વિરુદ્ધ શા માટે ડાયામૅગ્નેટિઝમ તાપમાનથી લગભગ સ્વતંત્ર છે ?
(c) જો ટોરોઇડના કોર (ગર્ભ) માટે બિસ્મથનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો આ કોરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર, ખાલી કોરની સરખામણીમાં (થોડુંક) વધારે કે (થોડુંક) ઓછું હશે ?
(d) શું ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થની પરમિએબિલિટી (પારગમ્યતા) ચુંબકીય ક્ષેત્રથી સ્વતંત્ર છે ? જો ના, તો ઓછા કે વધારે કયા ક્ષેત્ર માટે તે વધુ હોય છે ?
(e) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશાં ફેરોમેગ્નેટની સપાટી પર દરેક બિંદુએ લંબરૂપે હોય છે. (આ હકીકત સ્થિત- વિધુતક્ષેત્રરેખાઓ સાથે સામ્યતા ધરાવે છે જે દરેક બિંદુએ વાહકની સપાટીને લંબરૂપે હોય છે) શા માટે ?
(f) શું પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થના મહામ શક્ય મૅગ્નેટાઇઝેશનનું મૂલ્ય ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થના મહત્તમ મેગ્નેટાઇઝેશન જેટલા માનના ક્રમનું હોય છે ?
ઉત્તર:
(a) પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થને ઠંડો પાડતા તેના પરમાણુના કંપનો ઓછા થાય છે. આ પરમાણુઓની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રને વધુ સમાંતર ગોઠવાય છે. ડાયપોલમાં ભંગાણ સર્જાવાનું વલણ ઘટે છે. તેથી આપેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે મૅગ્નેટાઇઝેશન વધુ દર્શાવે છે.

(b) ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થની પ્રેરિત ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ હંમેશાં બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ જ હોય છે. તાપમાનના મોટા ગાળા પર તાપમાન બદલવા છતાં પ્રેરિત ચુંબકીય ડાયપોલ બદલાતી નથી. જેથી ડાયામૅગ્નેટિઝમ તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.

(c) બિસ્મથ ડાયામૅગ્નેટિક છે. તેથી તેમાં પ્રેરિત થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી કો૨માં ચુંબકીય ક્ષેત્ર સહેજ ઓછું મળશે.

(d) ના. મૅગ્નેટાઇઝેશન વક્ર પરથી જાણી શકાય છે કે નાના ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે ચુંબકીય ચાકમાત્રા m મોટી હોય છે.

(e) ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થની પરમિએબિલિટી μ >> 1 હોય છે. તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ હંમેશાં ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થની સપાટી પર દરેક બિંદુએ લંબરૂપે હોય છે.

(f) હા, બે જુદા જુદા દ્રવ્યોના ૫૨માણ્વિક ડાયપોલની પ્રબળતામાં થોડોક જ તફાવત હોવા ઉપરાંત સંતૃપ્ત મૅગ્નેટાઇઝેશન ધરાવતા પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થનું મૅગ્નેટાઇઝેશન સમાન ક્રમનું હશે, પણ સંતૃપ્ત થવા માટે પ્રાયોગિક રીતે અશક્ય એવા ઊંચા ચુંબકીય ક્ષેત્રોની જરૂર પડે છે.

પ્રશ્ન 17.
નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) ફેરોમૅગ્નેટના મેગ્નેટાઇઝેશન વક્રમાં અપ્રતિવર્તીપણું ડોમેઇન ચિત્રના આધારે ગુણાત્મક રીતે સમજાવો.
(b) નરમ લોખંડના ટુકડાના હિસ્ટરીસીસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ તેટલા જ કાર્બન સ્ટીલના ટુકડા કરતાં ઘણું નાનું હોય છે. જો આ પદાર્થને મૅગ્નેટાઇઝેશનના ચક્રમાંથી વારેઘડીએ પસાર કરવામાં આવે તો કયો ટુકડો વધુ ઉષ્મા ઊર્જાનો વ્યય (Dissipate) કરશે ?
(c) ‘હિસ્ટરીસિસ’ લૂપ દર્શાવતું ફેરોમેગ્નેટ જેવું તંત્ર, એ મેમરી (સ્મૃતિ) સંગ્રહ કરવાનું સાધન છે, આ વિધાનનો અર્થ સમજાવો.
(d) કૅસેટ પ્લેયરની મેગ્નેટિક ટેપના કોટિંગ (આવરણ) માટે કે આધુનિક કમ્પ્યૂટરના મેમરી (સ્મૃતિ) સંગ્રહ માટે કયા પ્રકારના ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ વપરાય છે ?
(e) અવકાશના અમુક વિસ્તારને મેગ્નેટિક ક્ષેત્રથી અલગ (Shield) કરવો છે. કોઈ પદ્ધતિ જણાવો.
ઉત્તર:
(a) ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થમાં ડોમેઇન્સ હોય છે. આ ડોમેઇન્સમાં એક જ દિશામાં ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ગોઠવાયેલી હોય છે. તેથી દરેક ડોમેઇન્સને કંઈક પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ હોય છે. આ પદાર્થનું મૅગ્નેટાઇઝેશન નથી થયું હોતું ત્યારે આ બધા જ ડોમેઇન્સની ડાયપોલ અસ્તવ્યસ્ત હોવાથી પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ શૂન્ય હોય છે.

• જ્યારે ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે ત્યારે દરેક ડોમેઇન્સની ડાયપોલ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં આવે તેવી રીતે ગોઠવાય છે. આ ગોઠવણીમાં કેટલીક ઊર્જા વેડફાય છે. જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે છે ત્યારે ડોમેઇન્સની આ ડાયપોલ તેમની મૂળ અસ્ત-વ્યસ્ત સ્થિતિમાં આવી શકતી નથી.
• પદાર્થમાં કેટલુંક ચુંબકીય ક્ષેત્ર જળવાઈ રહે છે. પદાર્થનું મૅગ્નેટાઇઝેશન કરવા દરમિયાન વપરાયેલી ઊર્જા સંપૂર્ણ રીતે પાછી નથી મળતી. કેટલીક ઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જા રૂપે વેડફાય છે. આમ, ડિમૅગ્નેટાઇઝેશન દરમિયાન સંપૂર્ણ ઊર્જા પાછી ન મળતી હોવાથી આ પ્રક્રિયા અપ્રતિવર્તી છે.

(b) કાર્બન સ્ટીલનો ટુકડો વધુ ઉષ્મા ઊર્જાનો વ્યય (Dissipate) ક૨શે કારણ કે તેના માટે હિસ્ટરિસિસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ વધુ છે અને દરેક ચક્ર (Cycle) દરમિયાન વેડફાતી ઉષ્મા ઊર્જા આ લૂપના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે તેથી.

(c) ફેરોમૅગ્નેટિકનું મૅગ્નેટાઇઝેશન એ ચુંબકીય મૅગ્નેટાઇઝેશન ક્ષેત્રનું કોઈ એક જ કિંમત (મૂલ્ય)નું વિધેય નથી. આપેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે મૅગ્નેટાઇઝેશનના મૂલ્યનો આધાર મૅગ્નેટાઇઝેશન ક્ષેત્ર અને મૅગ્નેટાઇઝેશનના ઇતિહાસ (History) પર આધાર રાખે છે. એટલે કે, મૅગ્નેટાઇઝેશનના કેટલા ચક્રમાંથી પસાર થયો છે, વગેરે… આમ, મૅગ્નેટાઇઝેશનના મૂલ્ય પરથી મૅગ્નેટાઇઝેશનના સાઇકલ (Cycleચક્ર)ની સંખ્યા જાણી શકાય છે. આમ, હિસ્ટરીસિસ લૂપ દર્શાવતું ફેરોમૅગ્નેટ જેવું તંત્ર એ મેમરી (સ્મૃતિ) સંગ્રહ ’કરવાનું સાધન છે.

(d) સિરામિક્સ (ખાસ પ્રક્રિયા કરાયેલા બેરિયમ આયર્ન ઑક્સાઇડ) કે જેમને ફેરાઇટસ (Ferrites) કહે છે. તે કમ્પ્યૂટરમાં મેમરી સંગ્રહ માટે વપરાય છે.

(e) અવકાશના જે વિસ્તારને મૅગ્નેટિક ક્ષેત્રથી અલગ (Shield) ક૨વો છે તેની ફરતે નરમ લોખંડની રિંગ રાખવામાં આવે છે. જેથી મોટાભાગની ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ આ રિંગમાંથી પસાર થાય છે અને અવકાશનો
આ વિસ્તાર લગભગ ચુંબકીય ક્ષેત્રથી અલગ થાય છે.

પ્રશ્ન 18.
એક લાંબો સીધો તાર પશ્ચિમથી દક્ષિણ તરફ 10° થી, પૂર્વથી ઉત્તર તરફ 10° ની દિશામાં 2.5 A વિદ્યુતપ્રવાહનું વહન કરે છે. આ સ્થળે મેગ્નેટિક મેરીડિયન ભૌગોલિક મેરીડિયનથી 10° પશ્ચિમ તરફ છે. આ સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.33 G છે અને ડીપ કોણ શૂન્ય છે. તટસ્થ બિંદુઓ (Neutral Point) દર્શાવતી રેખાનું સ્થાન શોધો. (તારની જાડાઈ અવગણો) ? (તટસ્થ બિંદુઓએ, વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તાર વડે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.)
ઉત્તર:

• I = 2.5 A
  B_E = 0.33 G 0.33 × 10^-4 T
  δ = 0°
  પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,
  H_E= BEcosδ = (0.33 × 10^-4)cos0°
  = 0.33 × 10^-4 T
• ધારો કે, તારથી r જેટલા લંબ અંતરે તટસ્થ બિંદુ મળે છે. વાહક તારના કારણે તા૨થી r જેટલા અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  H_E = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\)
• તટસ્થ બિંદુ પાસે,

\(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\) = H_E
∴ r = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi \mathrm{H}_{\mathrm{E}}}\)
∴ r = \(\frac{\left(4 \pi \times 10^{-7}\right)(2.5)}{(2 \pi)\left(0.33 \times 10^{-4}\right)}\)
= 1.5 × 10^-2 m
= 1.5 cm
આમ, વાહક તારને સમાંતર રેખા પર, વાહક તારથી 1.5 cm લંબ અંતરે ઉપરના બિંદુએ તટસ્થ બિંદુ મળશે.

પ્રશ્ન 19.
એક સ્થળે આવેલ ટેલિફોનના કેબલમાં ચાર લાંબા સીધા અને સમક્ષિતિજ તાર જે (દરેક)માંથી એક જ દિશામાં 1.0 A વિધુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ વહે છે. આ સ્થળે પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.39 G છે અને ડીપ કોણ 35° છે. મૅગ્નેટિક ડેક્સિનેશન લગભગ શૂન્ય છે. આ કેબલની નીચે 4.0 cm અંતરે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્ય કેટલા હશે ?
ઉત્તર:

• પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર B₀ = 0.39 G
  ડીપ એંગલ I = 35°
• પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,
  H_E = B_EcosI
  (0.39) cos(35°) = 0.39 × 0.8192
  H_E = 0.3195 G
• પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક,
  Z_E = B_EsinI
  = (0.39) sin(35°) = 0.39 × 0.5736 = 0.224 G
• ટેલિફોનના ચાર કેબલના કારણે, તારથી r જેટલા લંબ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, ચાર કેબલમાંથી વહેતો પ્રવાહ I = 4_A
  ∴ B’ = 4(\(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\))
  B’ = 4(\(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4}{2 \pi \times 0.04}\))
  = 0.2 × 10^-4 T
  = 0.2 G
• તારના નીચેના બિંદુએ પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર : જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ પ્રમાણે તારની નીચેના ભાગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર B’ એ H_E ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
  ∴ R_H = H_E – B’
  = 0.3195 – 0.2
  = 0.1195 G
• પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક Z_E બદલાતો નથી.
  ∴ R_V = Z_E = 0.224 G
  ∴ પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  R = \(\sqrt{\mathrm{R}_{\mathrm{H}}^2+\mathrm{R}_{\mathrm{V}}^2}\) = \(\sqrt{(0.1195)^2+(0.224)^2}\)
  = \(\sqrt{(0.0143)+(0.0500)}\)
  = \(\sqrt{0.0643}\)
  R = 0.254 G
• સમક્ષિતિજ H_E અને R_V = Z_E વચ્ચે બનાવેલો ખૂણો
  θ = tan^-1\(= tan^-1\)
  = tan^-1\(\frac{0.224}{0.3195}\)
  = tan^-1 0.7010
  ∴ θ ≈ 62°
• કેબલની ઉપરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર : જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ પ્રમાણે કેબલના ઉપરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર B’ એ B ની દિશામાં મળશે.
  ∴ R_H = H_E + B’
  = 0.3195 + 0.2
  = 0.5195 G તથા
  ∴ R_V = Z_E = 0.224 G
  ∴ R = \(\sqrt{\mathrm{R}_{\mathrm{H}}^2+\mathrm{R}_{\mathrm{V}}^2}\)
  = \(\sqrt{(0.5195)^2+(0.224)^2}\)
  ∴ R = 0.566 G
• શિરોલંબ સાથે R પરિણામી ક્ષેત્રએ બનાવેલો ખૂણો
  tanθ’ = \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{V}}}{\mathrm{R}_{\mathrm{H}}}=\frac{0.224}{0.5195}\)
  = 0.4312
  ≈ 23°

પ્રશ્ન 20.
સમક્ષિતિજ સમતલમાં મુક્ત રીતે ભ્રમણ કરી શકે તેવી ચુંબકીય સોયના કંપાસને 30 આંટા અને 12 cm ત્રિજ્યા ધરાવતા
વર્તુળાકાર ગૂંચળાની મધ્યમાં મૂકેલ છે. આ ગૂંચળું શિરોલંબ સમતલમાં મૅગ્નેટિક મેરીડિયન સાથે 45° કોણ બનાવતી દિશામાં રાખેલું છે. જ્યારે ગૂંચળામાં પસાર થતો વિધુતપ્રવાહ 0.35 A હોય, ત્યારે આ સોય પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ રહે છે.
(a) આ સ્થળે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક શોધો.
(b) ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ ઊલટાવવામાં આવે છે અને ગૂંચળાને શિરોલંબ અક્ષની સાપેક્ષે ઉપરથી જોતાં વિષમ ઘડી દિશામાં 90° કોણે ઘુમાવવામાં આવે છે. ચુંબકીય સોયની દિશા શોધો. આ સ્થળે મૅગ્નેટિક ડેક્સિનેશન શૂન્ય ધારો.
ઉત્તર:
(a) N = 30, I = 0.35 A, r = 12 cm = 0.12 m

• ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{2 r}\) …….. (1)
  આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલને લંબ દિશામાં લાગે છે.
• આ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો મૅગ્નેટિક મેરિડિયનને સમાંતર ઘટક. આ ગૂંચળું શિરોલંબ સમતલમાં મૅગ્નેટિક મેરીડિયન સાથે 45° નો કોણ બનાવતી દિશામાં છે અને ચુંબકીય સોય પશ્ચિમ-પૂર્વ દિશામાં સ્થિર રહે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે. ચુંબકીય સોય ક્ષેત્ર B સાથે 45° નો કોણ બનાવે છે.

• ત્રિકોણ માટેના sine નો નિયમ વાપરતાં,
  \(\frac{B_H}{\sin 45^{\circ}}=\frac{B}{\sin 90^{\circ}}\)
  ∴ B_H = Bsin45° [∵ sin90° = 1]
• સમીકરણ (1) પરથી,
  B_H = \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{2 r}\)sin45°
  = \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 30 \times 0.35}{2 \times 0.12} \times \frac{1}{\sqrt{2}}\)
  = 388.6 × 10^-7 [∵ \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1.414}\)]
  ≈ 3.88 × 10^-5 T
  = 0.388 × 10^-4 T ≈ 0.39 G [∵ 10^-4 T = 1G]

(b) આ કિસ્સામાં ગૂંચળાનું સમતલ, મૅગ્નેટિક મેરીડિયન સાથે બીજી બાજુ 45° નો ખૂણો રચે છે. તેથી ચુંબકીય સોય ભ્રમણ કરીને પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ ગોઠવાશે એટલે કે, ચુંબકીય સોય તેની મૂળ દિશા ઊલટાવશે.

પ્રશ્ન 21.
એક મેગ્નેટિક ડાયપોલ બે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસર હેઠળ રહેલો છે. આ ક્ષેત્રોની રેખાઓ વચ્ચેનો કોણ 60° છે અને તેમાંથી એક ક્ષેત્રનું મૂલ્ય 1,2 × 10^-2T છે. જો ડાયપોલ આ ક્ષેત્ર સાથે 15° કોણ બનાવતી દિશામાં સ્થિર સંતુલનમાં આવે, તો બીજા ક્ષેત્રનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
ઉત્તર:
અહીં
θ = 60°, B₁ = 1.2 × 10^-2 T
θ₁ = 15°, θ₂ = 60° – 15°
= 45°

સમતોલન સ્થિતિમાં બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના કારણે મળતાં ટૉર્ક સમાન થશે.
∴ τ₁ = τ₂
∴ mB₁sin₁ = mB₂ sin₁
∴ B₂ = \(\frac{B_1 \sin \theta_1}{\sin \theta_2}\)
∴ B₂ = \(\frac{\left(1.2 \times 10^{-2}\right)\left(\sin 15^{\circ}\right)}{\sin \left(45^{\circ}\right)}\)
∴ B₂ = \(\frac{\left(1.2 \times 10^{-2}\right)(0.2588)}{(0.7071)}\)
B₂ = 4.4 × 10^-3 T

પ્રશ્ન 22.
સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરતો અને એક સરખી ઊર્જા (18keV Monoenergetic) ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન બીમ (કિરણપૂંજ)નો તેની (ગતિની) દિશાને લંબરૂપે સમક્ષિતિજ સમતલમાં 0.4 G જેટલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અનુભવે છે. 30 cm પછી આ બીમનું ઉપર કે નીચે તરફનું કોણાવર્તન શોધો. (me 9.11 × 10^-31 kg)
(નોંધ : આ સ્વાધ્યાયના મૂલ્યો, એ ધ્યાનમાં રાખીને આપવામાં આવ્યા છે કે તમને TVમાં ઇલેક્ટ્રૉન ગનમાંથી ઉત્સર્જિત થઈને તેના સ્ક્રીન પર આપાત થતા ઇલેક્ટ્રોન પર થતી પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસર સમજાવે).
ઉત્તર:

• ઊર્જા E = 18 keV = 18 × 1.6 × 10^-19 J
  B = 0.40 G = 0.40 × 10^-4T
  n = 30 cm = 0.3 m
  ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા E = \(\frac{1}{2}\) mυ²
  ∴ υ = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}}{m}}\)
• ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉન r ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે તેથી,
  ચુંબકીય બળ = કેન્દ્રગામી બળ,

= 11.3 m

• વળી sinθ = \(\) = 0.0265
• આકૃતિ પરથી, જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉનનું બીમ x અંતર કાપે ત્યારે તેનું ઊર્ધ્વ કે અધોદિશામાં સ્થાનાંતર y હોય, તો

y = OA – OC
y = r – OC
y = r – rcosθ
= r(1 – cosθ)

= 3.98 × 10^-3 m
≈ 4 mm

પ્રશ્ન 23.
પેરામૅગ્નેટિક મીઠા (Salt) નો એક ટુકડો 2.0 × 10²⁴ પરમાણ્વિક ડાયપોલ ધરાવે છે. જે દરેકની ડાયપોલ મોમેન્ટ 1.5 × 10^-23 JT^-1 છે. આ ટુકડાને 0.84 T જેટલા નિયમિત (સમાંગ) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલો છે અને તેને 4.2 K સુધી ઠંડો પાડવામાં આવે છે. તેમાં 15 % જેટલું મેગ્નેટિક સેચ્યુરેશન (સંતૃપ્તતા) મળે છે. 2.8 K તાપમાને 0.98T જેટલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે આ ટુકડાની કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ કેટલી હશે ? (ક્યુરીનો નિયમ ધારો).
ઉત્તર:

• દરેક ડાયપોલની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ = 1.5 × 10^-23\(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{T}}\)
• પરમાણ્વિક ડાયપોલની સંખ્યા = 2 × 10²⁴
  ∴ આપેલા નમૂનાની શક્ય ડાયપોલ મોમેન્ટ,
  M = (1.5 × 10^-23) (2 × 10²⁴)
  = 30 JT^-1
• 4.2 K તાપમાને 15 % મૅગ્નેટિક સેચ્યુરેશન મળે છે.
  ∴ 4.2 K તાપમાને ડાયપોલ મોમેન્ટ = 15 % M
  M₁ = \(\frac{30 \times 15}{100}\) = 4.55\(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{T}}\) જે શરૂઆતની કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
• ક્યુરીના નિયમ પ્રમાણે,

પ્રશ્ન 24.
15 cm જેટલી સરેરાશ ત્રિજ્યાની રોલેન્ડ (Rowland) રિંગના 800 જેટલી સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી ધરાવતા કોર પર તારના 3500 આંટા વીંટાળવામાં આવેલ છે. 1.2 A જેટલા મેગ્નેટાઇઝિંગ વિધુતપ્રવાહ માટે કોરમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર B કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
રોલૅન્ડ રિંગ એ ટૉરોઇડ છે. તેમાં ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = μ₀nI
જ્યાં μ = રિંગના દ્રવ્યની પરમિએબિલિટી
= μ₀μ_r
અને n = એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા
= \(\frac{\mathrm{N}}{l}=\frac{\mathrm{N}}{2 \pi r}\)
B = \(\frac{\mu_0 \mu_r \mathrm{NI}}{2 \pi r}\)
B = \(\frac{\left(4 \pi \times 10^{-7}\right)(800)(3500)(1.2)}{(2 \pi)(0.15)}\)
∴ B = 4.48 T

પ્રશ્ન 25.
એક ઇલેક્ટ્રોનના સ્પિન કોણીય વેગમાન S અને કક્ષીય (Orbital) કોણીય વેગમાન l સાથે સંકળાયેલા મેગ્નેટિક મોમેન્ટ સદિશો અનુક્રમે μ_S અને μ_l ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત દ્વારા અનુમાનિત કરાય છે, (અને પ્રાયોગિક રીતે ઊંચી ચોકસાઈથી ચકાસેલ પણ છે) જેમના સૂત્રો આ મુજબ છે :
\(\vec{\mu}_s=-\left(\frac{e}{m}\right) \overrightarrow{\mathrm{S}}, \vec{\mu}_l=-\left(\frac{e}{2 m}\right) \vec{l}\)
આ બેમાંથી કર્યું પરિણામ પ્રચલિત ભૌતિકશાસ્ત્ર મુજબ ધારેલ પરિણામને મળતું આવે છે ? પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્રનું પરિણામ સાધિત કરો.
ઉત્તર:

• આપેલાં બે સંબંધો પૈકી નીચેનો સંબંધ પ્રચલિત ભૌતિકવિજ્ઞાન (Classical Physics) પ્રમાણે છે.
  \(\vec{\mu}_l=-\left(\frac{e}{2 m}\right) \vec{l}\)
  ઇલેક્ટ્રૉન T સમયમાં એક ભ્રમણ કરે તો રચાતો પ્રવાહ,
  I = \(\frac{-e}{\mathrm{~T}}\)
  પરંતુ, ચુંબકીય ચાકમાત્રા μ_l = IA = (\(\frac{-e}{\mathrm{~T}}\))πr² ………… (1)
  અને કોણીય વેગમાન, l = mur = m(\(\frac{2 \pi r}{\mathrm{~T}}\))r ………….. (2)
  અહીં m ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ, -e એ ઇલેક્ટ્રૉનનો વિદ્યુતભાર, r તેનાં વર્તુળમાર્ગની ત્રિજ્યા છે. T તેનો કક્ષીય આવર્તકાળ, υ રેખીય વેગ છે.
• સમીકરણ (1) અને (2) નો ગુણોત્તર લેતાં,

• અહીં ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે, \(\vec{\mu}_l\) અને \(\vec{l}\) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે અને ભ્રમણ કક્ષાના સમતલને લંબ છે.
  નોંધો કે \(\frac{\mu_s}{s}=\frac{e}{m}\) છે, જે પ્રચલિત અપેક્ષિત મૂલ્ય કરતાં બમણું છે. જે આધુનિક ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંતનું અગત્યનું પરિણામ છે, જે પ્રચલિત ભૌતિકશાસ્ત્ર વડે મેળવી શકાતું નથી.

GSEB Class 12 Physics ચુંબકત્વ અને દ્રવ્ય NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
n ટાઓવાળા એક ટૉરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા R અને આડછેદની ત્રિજ્યા a છે. તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ I છે. એક સમક્ષિતિજ ટેબલને x-y સમતલ તરીકે લઈ ટૉરોઇડ તેના પર મૂક્યું છે, તો તેની ચુંબકીય ચાકમાત્રા \(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) ……………..
(A) શૂન્યેતર છે અને સંમિતતા પરથી z-દિશામાં છે.
(B) ટૉરોઇડની અક્ષની દિશામાં (\(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) = mΦ̂) છે.
(C) શૂન્ય છે. નહીંતર ટૉરોઇડની બહારના વિસ્તારમાં એક ક્ષેત્ર હોય જે મોટાં અંતરો માટે \(\frac{1}{r^3}\) અનુસાર ઘટે.
(D) ત્રિજ્યાવર્તી, બહારની દિશામાં છે.
જવાબ
(C) શૂન્ય છે. નહીંતર ટૉરોઇડની બહારના વિસ્તારમાં એક ક્ષેત્ર હોય જે મોટાં અંતરો માટે \(\frac{1}{r^3}\) અનુસાર ઘટે.

• તેને ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે. ટૉરોઇડની અંદર સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોય છે. તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ વર્તુળાકાર હોય છે.
• ટૉરોઇડની રિંગની ફરતે તેની રિંગમાં મૅગ્નેટાઇઝિંગ પ્રવાહ વહે છે, પરંતુ ટૉરોઇડની અંદર પ્રવાહ I = 0 હોવાથી તેની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ m = ૦ મળે છે.
• ટૉરોઇડની બહાર મોટા અંતર r માટે તેની અંદર m ∝ \(\frac{1}{r^3}\)
  મળે, પરંતુ ટૉરોઇડની અંદર આ શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 2.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર રાખેલ બિંદુ ડાયપોલ (દ્વિ-ધ્રુવી)ના ક્ષેત્રની પ્રતિકૃતિ માની શકાય. આ ડાયપોલની અક્ષ પૃથ્વીની અક્ષથી 11.3° નો ખૂણો બનાવે છે. મુંબઈમાં દિપાતકોણ (declination) લગભગ શૂન્ય છે. તેથી,
(A) દિક્પાતકોણનું મૂલ્ય 11.3°Wથી 11.3°E ની વચ્ચે પરિવર્તિત થાય છે.
(B) ન્યૂનતમ દિપાતકોણ 0° છે.
(C) ડાયપોલની અક્ષ અને પૃથ્વીની અક્ષ વડે નિશ્ચિત થતું સમતલ Greenwhich માંથી પસાર થાય છે.
(D) પૃથ્વી ઉપર દિક્પાતકોણનું સરેરાશ હંમેશાં ઋણ જ હોવું જોઈએ.
જવાબ
(A) દિપાતકોણનું મૂલ્ય 11.3° W થી 11.3° E ની વચ્ચે પરિવર્તિત થાય છે.

• આ ડાયપોલની અક્ષ પૃથ્વીની ભ્રમણ અક્ષ સાથે 11.3° નો ખૂણો રચે છે. તેથી બે શક્યતાઓ મળી શકે, જે આકૃતિ વડે દર્શાવેલ છે.

• તેથી ડૅક્સિનેશન 11.3°W (પશ્ચિમ)થી 11.3°E (પૂર્વ) વચ્ચે બદલાય છે.

પ્રશ્ન 3.
ઓરડાના તાપમાને કોઈ કાયમી ચુંબકમાં
(A) દરેક અણુની ચુંબકીય ચાકમાત્રા શૂન્ય હોય છે.
(B) દરેક સ્વતંત્ર અણુઓને શૂન્યેતર ચુંબકીય ચાકમાત્રાઓ હોય છે, જે બધી વ્યવસ્થિત ગોઠવાયેલી હોય છે.
(C) ડોમેઇન્સ અંશતઃ ગોઠવાયેલી હોય છે.
(D) બધી જ ડોમેઇન્સ વ્યવસ્થિત ગોઠવાયેલી હોય છે.
જવાબ
(C) ડોમેઇન્સ અંશતઃ ગોઠવાયેલી હોય છે.
ઓરડાના તાપમાને કાયમી ચુંબકના ડોમેઇન્સ આંશિક રીતે ગોઠવાયેલી હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
બે આદર્શ તંત્રો વિચારો : (i) જેમની વચ્ચેનું અંતર બહુ નાનું હોય તેવી બે ખૂબ જ મોટી તકતીઓ ધરાવતું સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર અને (ii) L લંબાઈનો લાંબો સૉલેનોઇડ (L > > R, R એ આડછેદની ત્રિજ્યા છે.)
(i) માં \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) ને આદર્શ રીતે બે પ્લેટોની વચ્ચે અચળ અને બહાર શૂન્ય લઈએ છીએ.
(ii) માં સૉલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર અચળ અને બહાર શૂન્ય લઈએ છીએ. તેમ છતાં આ આદર્શ ધારણાઓ, નીચે આપેલ મૂળભૂત નિયમોનું ખંડન (કે સમર્થન) કરે છે.

(A) કિસ્સો (i) સ્થિતવિદ્યુતક્ષેત્ર માટેના ગૉસના નિયમનું ખંડન કરે છે.
(B) કિસ્સો (ii) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેના ગૉસના નિયમનું ખંડન કરે છે.
(C) કિસ્સો (i) \(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \vec{l}\) = 0 સાથે સહમત છે.
(D) કિસ્સો (ii) \(\oint \overrightarrow{\mathrm{H}} \cdot d \vec{l}\) = I_en નું ખંડન કરે છે.
જવાબ
(B) કિસ્સો (ii) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેના ગૉસના નિયમનું ખંડન કરે છે.

• વિદ્યુતક્ષેત્રરેખા બંધગાળા રચતી નથી, જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખા બંધગાળા રચે છે.
• ગૉસના નિયમ પ્રમાણે વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,
  \(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \vec{a}=\frac{q}{\varepsilon_0}\)
  વિદ્યુતક્ષેત્રરેખાઓ બંધગાળા રચતી નથી. તેથી, આ નિયમ વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે ખંડન કરતો નથી.
• ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે ગૉસનો નિયમ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot d \vec{s}\) = 0 છે. તેથી આપેલા વિધાનનું ખંડન થાય છે. કારણ કે, પ્રવાહધારિત સૉલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે પણ બહારના વિસ્તારમાં નથી. તેમ છતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ બંધગાળો રચે છે.

પ્રશ્ન 5.
કોઈ પેરામેગ્નેટિક નમૂનાને 4K તાપમાને 0.6T ના બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખતાં તે 8Am^-1 જેટલું પરિણામી મેગ્નેટાઇઝેશન (ચુંબકીયકરણ) દર્શાવે છે. જ્યારે આ નમૂનાને 16 K તાપમાને 0.2 T ના બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખવામાં આવે, તો મેગ્નેટાઇઝેશન …………… હશે.
(A) \(\frac{32}{3}\)Am^-1
(B) \(\frac{2}{3}\)Am^-1
(C) 6Am^-1
(D) 2.4Am^-1
જવાબ
(B) \(\frac{2}{3}\)Am^-1
– ક્યુરીના નિયમ પ્રમાણે મૅગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતાનો આધાર ચુંબકીયપ્રેરણ (B) ના સમપ્રમાણમાં અને નિરપેક્ષ તાપમાન Tના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
મૅગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા,

I₁ = 8Am^-1,
B₁ = 0.6 T, T₁ = 4K
B₂ = 0.2 T, T₂ = 16 K લેતાં,

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
S એ ચુંબકીય દ્રવ્યના ગઠ્ઠા/ગાંગડા (lump) ની સપાટી (પૃષ્ઠ) છે.
(A) Sમાંથી પસાર થતી \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની ક્ષેત્રરેખાઓ આવશ્યક રીતે સતત છે.
(B) S માંથી પસાર થતી \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની કેટલીક ક્ષેત્રરેખાઓ અસતત હશે.
(C) Sમાંથી પસાર થતી \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) ની ક્ષેત્રરેખાઓ આવશ્કયક રીતે સતત છે.
(D) S માંથી પસાર થતી \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) ની બધી ક્ષેત્રરેખાઓ સતત ન હોઈ શકે.
જવાબ
(A, D)

• ગઠ્ઠાના ક્ષેત્રફળ S માંથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની ક્ષેત્રરેખાઓ સતત રીતે પસાર થાય જ છે. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• ગઠ્ઠાની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર H = \(\frac{\mathrm{B}}{\mu_0}\) અને તેની અંદરના વિસ્તારમાં H = \(\frac{\mathrm{B}}{\mu_0 \mu_r}\) જયાં μr
  એ પદાર્થની સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી છે. તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) ની બધી ક્ષેત્રરેખાઓ ગાના ક્ષેત્રફળ S માંથી સતત પસાર ન થઈ શકે. તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 2.
ચુંબકત્વ માટે જવાબદાર મૂળ ઉદ્ગમ/ઉદ્ગમો
(A) પરમાણ્વીય (atomic) પ્રવાહ
(B) પાઉલી-અપવર્ઝન સિદ્ધાંત
(C) અણુઓની ધ્રુવીય પ્રકૃતિ
(D) ઇલેક્ટ્રૉનની આંતરિક સ્પિન
જવાબ
(A, D)

• ઇલેક્ટ્રૉન પરમાણુના ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ અને સ્પિન ગતિ કરે છે. તેમાં ચુંબકત્વનું મૂળ રહેલું છે અને તેનાથી મળતાં પ્રવાહને ઍટૉમિક પ્રવાહ કહે છે. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો.
• આ ઍટૉમિક પ્રવાહના કારણે ચુંબકત્વ ઉદ્ભવે છે.
• ન્યુક્લિયસની આસપાસ ઇલેક્ટ્રૉનના ભ્રમણ અને સ્પિનને ઇલેક્ટ્રૉનની આંતરિક સ્પિન કહે છે. તેથી વિકલ્પ (D) સાચો.

પ્રશ્ન 3.
એક લાંબા સોલેનોઇડમાં દર મીટર દીઠ 1000 આંટા છે અને તેમાંથી 1 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. તેના અંદરના ભાગ (core) માં નરમ લોખંડ છે જેનો μr = 1000 છે તેને ક્યુરી તાપમાન T_c કરતાં વધુ તાપમાને ગરમ કરતાં,

(A) સૉલેનોઇડની અંદર ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) (લગભગ) બદલાતું નથી, પરંતુ ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) પ્રબળ રીતે (ઝડપથી) ઘટી જશે.
(B) સૉલેનોઇડની અંદર ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) (લગભગ) બદલાતા નથી.
(C) core માં ચુંબકત્વની દિશા ઊલટાઈ જાય છે.
(D) core ના ચુંબકત્વ 10⁸ માં ભાગ જેટલું નાનું થાય છે.
જવાબ (A, D)
– સૉલેનોઇડ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
H = nI જ્યાં n = એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા
∴ H = 1000 × 1 = 1000 Am
આમ, H અચળ હોવાથી લગભગ નહીં બદલાય.
પરંતુ, B = μnI
= μ_rμ₀nI = (μ₀nI)μ_r
= (અચળ K)μ_r ∴ B ∝ μ_r
આમ, μ_r બદલાતાં B બદલાય. આથી વિકલ્પ (A) સાચો.
– કોરના દ્રવ્યનું મૅગ્નેટાઇઝેશન (ચુંબકત્વ) કરવામાં આવે અને ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થનું તાપમાન ક્યુરી તાપમાન કરતાં વધારવામાં આવે છે, ત્યારે તે પેરામૅગ્નેટિક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે.
(χ_m)_Fero ≈ 10³
(χ_m)_para ≈ 10^-5
\(\frac{\left(\chi_{\mathrm{m}}\right)_{\mathrm{Fero}}}{\left(\chi_{\mathrm{m}}\right)_{\text {Para }}}=\frac{10^3}{10^{-5}}\) = 10⁸
આથી કોરનું મૅગ્નેટાઇઝેશન 108 ગણું ઘટે છે તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
વાહક કવચ વડે ઇલેક્ટ્રૉસ્ટેટિક શિલ્ડિંગ અને મૅગ્નેટોસ્ટેટિક શિલ્ડિંગ વચ્ચેના મૂળભૂત તફાવતનું કારણ …………………
(A) સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વિદ્યુતભારો પર અંત પામી શકે છે અને વાહકો મુક્ત વિદ્યુતભારો ધરાવે છે.
(B) \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની ક્ષેત્રરેખાઓ અંત પામી શકે છે, પરંતુ વાહકો તેમનો અંત લાવી શકતા નથી.
(C) \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની ક્ષેત્રરેખાઓ કોઈ દ્રવ્ય પર અંત પામી શકતી નથી અને આદર્શ શિફ્ટિંગ શક્ય નથી.
(D) ઊંચી પારગમ્યતા (permeability) ધરાવતા દ્રવ્યની વાહક કવચોનો ઉપયોગ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની ક્ષેત્રરેખાઓને અંદરના વિસ્તારમાંથી વિચલિત કરવા થઈ શકે છે.
જવાબ
(A, C, D)

• ઇલેક્ટ્રૉસ્ટેટિક શિલ્ડિંગ વિદ્યુતક્ષેત્રની અસરને રોકે છે. વાહક કવચ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની અસરને વાહકની અંદર જવા દેતું નથી. આથી વિકલ્પ (A) સાચો. અસ્તિત્વ ન ધરાવતા એકલ ધ્રુવથી મળતી ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓને અટકાવી કે શિલ્ડ કરી શકાતી નથી. તેથી, સંપૂર્ણ શિક્ટિંગ શક્ય નથી. આથી વિકલ્પ (C) સાચો.
• ઊંચી ચુંબકીય પમિએબિલિટી ધરાવતા દ્રવ્ય વાપરીને મૅગ્નેટોસ્ટેટિક શિલ્ડિંગ થાય છે. જેથી બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રને અંદર દાખલ થતું અટકાવે છે. આથી વિકલ્પ
  (D) સાચો.

પ્રશ્ન 5.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રને પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર રાખેલ બિંદુ ચુંબકીય ડાયપોલના ક્ષેત્રની પ્રતિકૃતિ વિચારો. ભૌગોલિક વિષુવવૃત્તના કોઈ બિંદુ પાસે નતિકોણ (angle of dip) ……………………
(A) હંમેશાં શૂન્ય હશે.
(B) ચોક્કસ બિંદુઓ પર શૂન્ય હોઈ શકે.
(C) ધન કે ઋણ હોઈ શકે.
(D) બંધિત હોય છે.
જવાબ
(B, C, D)
ભૌગોલિક વિષુવવૃત્ત પરના કોઈ પણ બિંદુએ નમનકોણ વિકલ્પો (B), (C) અને (D) ને સંતોષે છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
ઇલેક્ટ્રોનની જેમ પ્રોટોનને સ્પિન અને ચુંબકીય ચાકમાત્રા હોવા છતાં દ્રવ્યના ચુંબકત્વમાં તેની અસર કેમ અવગણવામાં આવે છે ?
ઉત્તર:

• ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોનના સ્પિનની સરખામણી તેમના ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટની સરખામણીથી થાય છે.
• પ્રોટોનની મૅગ્નેટિક ડાયપોલ મોમેન્ટ,
  M_p = \(\frac{e h}{4 \pi m_p}\)
  અને ઇલેક્ટ્રૉનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ,
  M_e = \(\frac{e h}{4 \pi m_e}\)
  ∴ \(\frac{\mathrm{M}_p}{\mathrm{M}_e}=\frac{\mathrm{m}_e}{\mathrm{~m}_p}\)
  M_p = \(\frac{\mathrm{M}_e \times \mathrm{m}_e}{1837 \mathrm{~m}_e}\) ∴ m_p = 1837 m_e]
  ∴ M_p << M_e
  તેથી દ્રવ્યના ચુંબકત્વમાં અસર અવગણવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2.
10 cm લંબાઈના પાતળા નળાકાર આકારના સ્થાયી ચુંબકનું M = 10⁶ A/m છે, તો તેનો મેગ્નેટાઇઝેશન પ્રવાહ I_M શોધો.
ઉત્તર:

• મૅગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા M = 10⁶ A/m
  લંબાઈ l = 10 cm = 10^-1 m
  I_M મૅગ્નેટાઇઝિંગ પ્રવાહ
• આપણે જાણીએ છીએ કે,
  M = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{M}}}{l}\)
  ∴ I_M = Ml
  = (10⁶) (10^-1)
  = 10⁵ A

પ્રશ્ન 3.
N₂(~ 5 × 10^-9) (STP એ) અને Cu(~ 10^-5) ની વચ્ચે ડાયામૅગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટીના તફાવતના માત્રાત્મક મૂલ્યનો ક્રમ દર્શાવો.
ઉત્તર:

• બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંની વર્તણૂક પરથી ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી મપાય છે.
  N₂ ની ઘનતા,
  ρ_N2 = \(\frac{28 \mathrm{~g}}{22.4 \mathrm{~L}}=\frac{28 \mathrm{~g}}{22,400 \mathrm{~cm}^3}\) ………….. (1)
  કૉપરની ઘનતા,
  ρ_Cu = \(\frac{8 \mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3}\) ………….. (2)
  સમીકરણ (1) અને (2) નો ગુણોત્તર લેતાં,
  ∴ \(\frac{(\rho) \mathrm{N}_2}{(\rho) \mathrm{Cu}}\) = \(\frac{\left(\frac{28}{22,400}\right)}{8}\)
  = \(\frac{28}{22,400 \times 8}\)
  = 0.0001562
  = 1.562 × 10^-4
  \(\frac{(\rho) \mathrm{N}_2}{(\rho) \mathrm{Cu}}\) ≈ 1.6 × 10^-4 ……………. (3)
• આપેલા દ્રવ્યની મૅગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી,

• સમીકરણ (7) માં (3) ની કિંમત મૂકતાં,
  \(\frac{(\chi) \mathrm{N}_2}{(\chi) \mathrm{Cu}}\) = 1.6 × 10^-4

પ્રશ્ન 4.
પરમાણ્વિક દૃષ્ટિકોણથી, ડાયમેગ્નેટિઝમ, પેરામૅગ્નેટિઝમ અને ફેરોમેગ્નેટિઝમની સસેપ્ટિબિલિટી તાપમાન પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે તેની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:

• ચુંબકીય દ્રવ્યોની સસેપ્ટિબિલિટી χ = \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{H}}\) જયાં M મૅગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા છે. H ચુંબકીય તીવ્રતા છે. ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થમાં ઇલેક્ટ્રૉનના ભ્રમણના કારણે ડાયપોલ મોમેન્ટ પ્રેરિત થાય છે. આ ડાયપોલ મોમેન્ટ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આમ, તેની પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ શૂન્ય હોય છે અને તેથી ડાયામૅગ્નેટિક પદાર્થની સસેપ્ટિબિલિટી પર તાપમાનના કારણે કોઈ ખાસ અસર થતી નથી.
• પેરા અને ફેરોમૅગ્નેટિક પદાર્થની ડાયપોલ મોમેન્ટ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં હોય છે. તેથી તાપમાન વધતાં પરમાણુના કંપનો વધે છે જેથી આ બંનેમાં સસેપ્ટિબિલિટી ઘટે છે.

પ્રશ્ન 5.
સુપર કન્ડકિંટગ દ્રવ્યના એક દડાને પ્રવાહી નાઇટ્રોજનમાં ડુબાડીને કોઈ ગજિયા ચુંબકની નજીક મૂકવામાં આવે છે :
(i) તે કઈ તરફ ગતિ કરશે ?
(ii) તેની ચુંબકીય ચાકમાત્રાની દિશા કઈ હશે ?
ઉત્તર:

• આપણે જાણીએ છીએ કે સુપર કંડક્ટરનું દ્રવ્ય અને નાઇટ્રોજન બંને ડાયમૅગ્નેટિક દ્રવ્ય પ્રકારના છે.
• અતિ સંવાહક પદાર્થને પ્રવાહી નાઇટ્રોજનમાં ડુબાડતાં તે ડાયામૅગ્નેટિક દ્રવ્ય તરીકે વર્તે છે. તેને ચુંબકની નજીક લાવતાં તેનું મૅગ્નેટાઇઝેશન બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં થાય છે તેથી,
  (i) દડો અપાકર્ષણ પામશે અને ચુંબકથી દૂર તરફ જશે.
  (ii) તેની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
R ત્રિજ્યાની ગોળાકાર કવચની સપાટી માટે તેના કેન્દ્ર પર રહેલ \(\overrightarrow{\mathrm{m}}\) જેટલી ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા બિંદુ ડાયપોલના ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે ગોસના નિયમની સત્યાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તર:

• ચુંબકત્વ માટે ગૉસનો નિયમ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) = 0 છે.
• ઊગમબિંદુ “O” પર ડાયપોલની મોમેન્ટ \(\overrightarrow{\mathrm{M}}\) = Mk̂
• O થી r અંતરે P બિંદુ વિચારો. OP z-અક્ષ સાથે θ ખૂણો રચે છે. \(\overrightarrow{\mathrm{M}}\) નો OP પરનો ઘટક = Mcose છે.
  \(\overrightarrow{\mathrm{M}}\)cosθ ડાયપોલ મોમેન્ટના કારણે P બિંદુએ પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર, B = \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \mathrm{M} \cos \theta}{r^3}\)r̂

• આકૃતિ પરથી કહી શકાય કે ગોળાની ત્રિજયા r એ yz-સમતલમાં છે.
• P બિંદુએ d\(\vec{S}\) ક્ષેત્રફળવાળો સૂક્ષ્મ ખંડ વિચારો.

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રણ સમાન ગજિયા ચુંબકો એક જ સમતલમાં રહે તે રીતે તેમનાં કેન્દ્રોને સ્ક્રૂ દ્વારા એકબીજા સાથે જોડેલ છે. આ તંત્રને ધીમેથી બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતાં તંત્ર કોઈ પણ પ્રકારની ગતિ દર્શાવતું નથી. એક ચુંબકના ઉત્તર-દક્ષિણ ધ્રુવો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે, તો બાકીનાં બે ચુંબકોના ધ્રુવો નક્કી કરો.

ઉત્તર:

• જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ અને પરિણામી ટૉર્ક શૂન્ય હોય તો તંત્ર સંતુલનમાં છે તેમ કહી શકાય. નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ચુંબકના ધ્રુવો હોય તો જ આ સંતુલન શક્ય છે.

• ચુંબક (1) ના ઉત્તર ધ્રુવથી ચુંબકો (2) અને (3) ના દક્ષિણ ધ્રુવો સમાન અંતરે હોય, તો બંને બાજુ સમાન આકર્ષણ બળ લાગે તેથી, પરિણામી બળ શૂન્ય થાય તેથી ગતિ કરતાં નથી.

પ્રશ્ન 3.
ધારો કે આપણે એક સુસ્પષ્ટ પ્રયોગ દ્વારા સ્થિત વિદ્યુત અને સ્થિત ચુંબકત્વ વચ્ચેની સમાનતા ચકાસવા માગીએ છીએ આ માટે : (i) સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં વિધુત દ્વિ-ધ્રુવી \(\overrightarrow{\mathrm{p}}\) તથા (ii) ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં ચુંબકીય દ્વિ-ધ્રુવી \(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) ની ગતિનો વિચાર કરો. \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) , \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) , \(\overrightarrow{\mathbf{p}}\) , \(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) માટે શરતોનો સમૂહ લખો જેથી
બંને ગતિઓ સમાન છે તેવું ચકાસી શકાય. (પ્રારંભિક શરતો સમાન ધારો.)
ઉત્તર:

• ધારો કે, \(\overrightarrow{\mathbf{p}}\) ડાયપોલ મોમેન્ટ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ છે. તેથી વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટૉર્ક,
  τ = pEsinθ ………….. (1)
• ધારો કે, \(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) અને \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર
  \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) માં ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) હોય તો ટૉર્ક,
  ∴ τ’ = mBsinθ ……….. (2)
• જો બંનેની ગતિ સમાન હોય, તો τ = τ’
  ∴ pEsinθ = mBsinθ
  ∴ pE = mB ………….. (3)
  પરંતુ E = cB છે.
  સમીકરણ (3) માં આ કિંમત લેતાં,
  pcB = mB
  ∴ P = \(\frac{\mathrm{m}}{c}\)

પ્રશ્ન 4.
ચુંબકીય ચાકમાત્રા m અને જડત્વની ચાકમાત્રા ℑ (લંબાઈને લંબ, કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને) ધરાવતા ગજિયા ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવ્યો છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) માં, મૂળ ચુંબકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તેનાં દોલનોનો આવર્તકાળ T છે, તો દરેક ટુકડા માટે આ પ્રકારનાં દોલનોનો આવર્તકાળ T’ કેટલો હશે ?
ઉત્તર:

• ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માં ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ,
  T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathfrak{J}}{\mathrm{mB}}}\) ………. (1)
  જ્યાં m = ચુંબકની ચુંબકીય ચાકમાત્રા
  B = સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર
  અહીં ℑ = \(\frac{\mathrm{m} l^2}{12}\) જ્યાં m = ચુંબકનું દળ
  l = ચુંબકની લંબાઈ
  ℑ = ચુંબકની જડત્વની ચાકમાત્રા
• ચુંબકના બે સમાન ટુકડા તેની લંબાઈને લંબ કરતાં દરેક ટુકડાનું દળ,
  m’ = \(\frac{\mathrm{m}}{2}\) m’ = દરેક ચુંબકના ટુકડાનું દળ
  l’ = \(\frac{l}{2}\) l’ = દરેક ચુંબકના ટુકડાની લંબાઈ ગજિયા ચુંબકની જડત્વની ચાકમાત્રા,
  ℑ’ = \(\frac {1}{12}\)m'(l’)²
  જ્યાં ℑ’ = ચુંબકના દરેક ટુકડાની જડત્વની ચાકમાત્રા
  ℑ’ = \(\frac{\mathrm{m}}{2}\left(\frac{l}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{12}\)
  ℑ’ = \(\frac{m l^2}{12 \times 8}=\frac{I}{8}\) ……….. (2)
  દરેક ટુકડાની ડાયપોલ મોમેન્ટ.
• મૂળ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ M = (2l)q
  દરેક ટુકડાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ,
  M’ = (\(\frac{2 l}{2}\))q
  M’ = \(\frac{\mathrm{M}}{2}\) …………….. (3)
• દરેક ટુકડાનો આવર્તકાળ,
  

પ્રશ્ન 5.
(1) \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) માટે એમ્પિયરનો નિયમ અને (ii) \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની રેખાઓની સતતતાનો ઉપયોગ કરીને એવો નિષ્કર્ષ તારવો કે ગજિયા ચુંબકની અંદર (a) \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) ની રેખાઓ N ધ્રુવથી S ધ્રુવ તરફ, જ્યારે (b) \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની રેખાઓ S ધ્રુવથી N ધ્રુવ તરફ જ ગતિ કરે.
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, ગજિયા ચુંબકમાંથી \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખા વિચારો.

• ચુંબકની ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ બંધગાળો રચે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.
• ધારો કે, C ઍમ્પિયરન લૂપ છે, તો
  \(\int_{\mathrm{Q}}^{\mathrm{P}} \overrightarrow{\mathrm{H}} \cdot \overrightarrow{d l}=\int_{\mathrm{Q}}^{\mathrm{P}} \frac{\overrightarrow{\mathrm{B}}}{\mu_0} \cdot \overrightarrow{d l}\) [∵ B = μ₀H]
• ચુંબકની અંદર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અને \(\overrightarrow{d l}\) વચ્ચેનો ખૂણો 90° કરતાં નાનો હોય છે. તેથી તે ધન મળે. તેથી cosθ > 1
  આમ, \(\int_{\mathrm{Q}}^{\mathrm{P}} \overrightarrow{\mathrm{H}} \cdot \overrightarrow{d l}=\int_{\mathrm{Q}}^{\mathrm{P}} \frac{\overrightarrow{\mathrm{B}}}{\mu_0} \cdot \overrightarrow{d l}>0\)
• તેથી, \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની રેખાઓ ચુંબકમાં S માંથી N માં જાય છે.
• ઍમ્પિયરના નિયમ મુજબ,

આ ત્યારે જ શક્ય છે, જ્યારે \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) અને \(\overrightarrow{d l}\) વચ્ચેનો ખૂણો
θ > 90° હોય. જેથી cosθ ઋણ મળે. આનો અર્થ એ થાય છે કે, \(\overrightarrow{\mathrm{H}}\) ની રેખા ચુંબકમાં N થી S ધ્રુવ તરફ જાય છે.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
\(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) = mk̂ જેટલી દ્વિ-ધ્રુવી ચાકમાત્રા ધરાવતા બિંદુ દ્વિ-ધ્રુવી માટે એમ્પિયરનો ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનો નિયમ ચકાસો. બંધ ગાળો C સમઘડી દિશામાં લો.
(i) z-અક્ષ પર z = a > 0 થી z = R z-અક્ષ માટે
(ii) x-z સમતલના પ્રથમ ચરણમાં, જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે તેવા R ત્રિજ્યાના વર્તુળના એક ચતુર્થાંશ (\(\frac {1}{4}\)) ભાગ માટે
(iii) x-અક્ષની દિશામાં x = R થી x = a અને
(iv) x-z સમતલના પ્રથમ ચરણમાં, જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે, તેવા વ ત્રિજ્યાના વર્તુળના એક ચતુર્થાંશ (\(\frac {1}{4}\)) ભાગ માટે.
ઉત્તર:
P થી Q સુધીના તમામ બિંદુઓ z-અક્ષ પર છે અને ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\overrightarrow{\mathbf{m}}\) ની અક્ષ પર છે.
કારણે z અંતરે આવેલાં બિંદુ (0, 0, Z)
ચુંબકીય પ્રેરણ,

(i) ઍમ્પિયરના નિયમ પરથી,
z-અક્ષ પરના Pથી Q બિંદુ પાસે

(ii) આકૃતિમાં દર્શાવેલા વર્તુળના ચોથા ભાગ QS માટે,

બિંદુ A ચુંબકીય ડાયપોલની વિષુવરેખા પર ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ msinθ વિચારો.
⇒ વર્તુળની ચાપ પર A બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

(iii) ઍમ્પિયરના નિયમ પરથી, x-અક્ષ પર x = R થી x = a પથ (ST) માટે નીચે દર્શાવેલી આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ દરેક બિંદુ ડાયપોલની વિષુવરેખા પર છે. ડાયપોલથી ૪ અંતરે ચુંબકીય પ્રેરણ,

(iv) a ત્રિજ્યાના ચતુર્થ ભાગના વર્તુળ માટે નીચે દર્શાવેલી
આકૃતિ ધ્યાનમાં લો.

પ્રશ્ન 2.
ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી χ નાં પરિમાણો શું છે ? કોઈ H-પરમાણુ ધ્યાનમાં લો. જેમાં χ ની અભિવ્યક્તિ ધરાવે તેવી અચળ રાશિ મેળવો જેનું પરિમાણ χ જે e, m, v, R. અને μ₀ પ્રાચલોથી બનેલ હોય. અહીં m ઇલેક્ટ્રૉનિક દળ છે. v ઇલેક્ટ્રોનિક વેગ છે. R બોહ્ર ત્રિજ્યા છે. આ રીતે મેળવેલ
અચળાંકની ગણતરી કરો અને ઘણા ઘન પદાર્થો જેમના માટે |χ| ~ 10^-5 સાથે તેની સરખામણી કરો.
ઉત્તર:

χ _m = \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}}\)
[∵ M અને Hના એકમો સમાન છે. તેથી χ _m નું પારિમાણિક સૂત્ર [M⁰L⁰ T⁰] મળશે.]
– બાયૉ-સાવર્ટના નિયમ પરથી,

– χ એ પરિમાણરહિત છે તેથી તેનાં સમીકરણમાં વિદ્યુતભાર ન આવી શકે. χ ને પરિમાણરહિત કરવા માટે μ₀e² સંયુક્ત રીતે જ લેવાં પડે. જ્યાં eએ વિદ્યુતભારના પરિમાણ છે.
χ = μ₀e² m^aυ^bR^c …………. (1)
– બંને બાજુની ભૌતિકરાશિના પારિમાણિક સૂત્ર લખતાં,
[M⁰ L⁰ T⁰ Q⁰] =[M¹ L¹ Q^-2] [Q²][M]^a[LT^-1]^b [L]^c
= [M^{1 + a}] [L^{1 + b + c}] [T^-b] [Q⁰]
M, L, T ની ઘાત સરખાવતાં,
M ની ઘાત સરખાવતાં,
a + 1 = 0 ∴ a = -1 ……… (2)
Tની ઘાત સરખાવતાં,
– b = 0 ∴ b = 0 ……. (3)
Qની ઘાત સરખાવતાં,
1 + b + c = 0
∴ c = – 1 ………… (4)
– સમીકરણ (1) માં a, b, cની કિંમત મૂકતાં,
χ = μ₀e² m^-1 υ⁰R^-1
χ = \(\frac{\mu_0 e^2}{\mathrm{mR}}\) [∵ υ⁰ = 1] ……….. (5)
અહીં μ₀ = 4π × 10^-7 Tm/A
e = 1.6 × 10^-19 C
m = 9.1 × 10^-31 kg
R = 10^-10 m
∴ χ = \(\frac{\left(4 \pi \times 10^{-7}\right)\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^2}{\left(9.1 \times 10^{-31}\right)\left(10^{-10}\right)}\) ≈ 10^-4
\(\frac{\chi}{\chi_{(\text {(-) })}}=\frac{10^{-4}}{10^{-5}}\) = 10

પ્રશ્ન 3.
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માટે દ્વિ-ધ્રુવી મોડલ વિચારો. આ મોડલ અનુસાર ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલલંબ ઘટક
B_v = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 m \cos \theta}{r^3}\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ
ઘટક B_H = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m \sin \theta}{r^3}\) જ્યાં θ = 90° – ચુંબકીય વિષુવવૃત્તથી માપતાં અક્ષાંશ છે, તો એવાં બિંદુઓનાં સ્થાન નક્કી કરો કે જ્યાં,
(i) \(|\overrightarrow{\mathbf{B}}|\) ન્યૂનતમ છે;
(ii) નતિકોણ શૂન્ય છે;
(iii) નતિકોણ (± 45°) છે.
ઉત્તર:
(i) આપેલું છે કે, B_v = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 m \cos \theta}{r^3}\) …………. (1)
B_H \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m \sin \theta}{r^3}\) ……………. (2)
– સમીકરણ (1) અને (2) નો વર્ગ કરી સરવાળો કરતાં,

– સમીકરણ (3) માં જો cose = θ લઈએ તો B નું મૂલ્ય
લઘુતમ મળે. આમ, θ = \(\frac{\pi}{2}\)
આમ, ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર આ બિંદુ મળે છે.

(ii) નતિ કોણ શૂન્ય માટે,

– જો ડીપ એંગલ δ = 0 હોય તો,
cotθ = 0
θ = \(\frac{\pi}{2}\)
આમ, માંગેલું બિંદુ ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર છે.

(iii) tanδ = \(\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{V}}}{\mathrm{B}_{\mathrm{H}}}\)
δ = ± 45° માટે,
\(\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{V}}}{\mathrm{B}_{\mathrm{H}}}\) = tan(± 45°)
\(\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{V}}}{\mathrm{B}_{\mathrm{H}}}\) = 1
∴ 2cotθ = 1 (સમીકરણ (4) પરથી)
∴ cotθ = \(\frac{1}{2}\)
∴ tanθ = 2
∴ θ = tan^-1 (2) જે માંગેલું બિંદુનું સ્થાન છે.

પ્રશ્ન 4.
દ્વિ-ધ્રુવીની અક્ષ અને પૃથ્વીની અક્ષ વડે રચાતું સમતલ S વિચારો. ધારો કે બિંદુ P એ S માં ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત ઉપર આવેલ છે. ધારો કે બિંદુ Q પાસે ભૌગોલિક અને ચુંબકીય વિષુવવૃત્તો એકબીજાને છેદે છે. P અને Q પાસે નતિકોણ અને દિક્ષાતકોણ શોધો.
ઉત્તર:

• બિંદુ P સમતલ S માં છે. ચુંબકીય સોય ઉત્તરમાં છે તેથી ડૅક્સિનેશન શૂન્ય થશે.

• P ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર છે. તેથી ડીપ એંગલ = 0, Q ચુંબકીય વિષુવવૃત્ત પર છે તેથી તે બિંદુ માટે પણ ડીપ એંગલ શૂન્ય હશે.
• પૃથ્વી તેની ધરી સાથે 11.3॰ એ નમેલી છે તેથી P અને Q વચ્ચે ડૅક્સિનેશન 11.3° મળશે.

પ્રશ્ન 5.
L લંબાઈના સમાન તારોમાંથી બનાવેલા બે પ્રવાહધારિત સમતલીય ગૂંચળા જેમાં C₁ વર્તુળાકાર (ત્રિજ્યા R) અને C₂ ચોરસ (બાજુ a) છે. ગૂંચળાઓની રચના એવી રીતે કરવામાં આવી છે કે, તેમને સમાન \(\vec{B}\) માં રાખી સમાન પ્રવાહ કરતાં તે સમાન આવૃત્તિથી દોલનો કરે છે. a નું મૂલ્ય R ના પદમાં શોધો.
ઉત્તર:

• R ત્રિજ્યાનું વર્તુળાકાર ગૂંચળું C₁અને લંબાઈ L છે.
• એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા n₁ = \(\frac{\mathrm{L}}{2 \pi \mathrm{R}}\) છે.
• 
• C₂ એ a બાજુ ધરાવતું ચોરસ ગૂંચળું છે જેની પરિમિતિ L છે.
  તેમાં એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા n₂ = \(\frac{\mathrm{L}}{4 a}\) છે.
  C₁ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ m₁ = n₁IA₁
  ∴ m₁ = (\(\frac{\mathrm{L}}{2 \pi \mathrm{R}}\)) (I)(πR²)
  m₁ = \(\frac{\text { LIR }}{2}\) ………….. (1)
  ∴ C₁ ની જડત્વની ચાકમાત્રા ℑ₁ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) …………. (2)
  જ્યાં M = ગૂંચળાનું દળ
• C₂ ની ચુંબકીય મોમેન્ટ m₂ = n₂IA₂
  m₂ = (\(\frac{\mathrm{L}}{4 a}\)) (I) (a)²
  m₂ = \(\frac{\mathrm{LI} a}{4}\) …………….. (3)
  C₂ ની જડત્વની ચાકમાત્રા I₂ = \(\) …………… (4)
  C₁ અને C₂ ની આવૃત્તિ સમાન છે.
  ∴ V₁ = V₂
  ∴ T₁ = T₂

∴ 3R = a
∴ a = 3R