GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ

GSEB Class 12 Physics સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
5 × 10^-8C અને -3 × 10^-8C ના બે વિધુતભારો એકબીજાથી 16 cm અંતરે રહેલા છે. આ બે વિધુતભારોને જોડતી રેખા પરના કયા બિંદુ(ઓ) એ વિધુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે ? અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય લો.
ઉત્તર:
– અહીં બે શક્યતાઓ છે.
પ્રથમ શક્યતા :
ધારો કે q₁ = 5 × 10^-8 C અને q₂ = -3 × 10^-8 C ને અનુક્રમે A અને B બિંદુ પર મૂકેલા છે. AB = 0.16 m છે.

– ધારો કે P પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
∴ P પાસેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
V = V₁ + V₂

∴ 3x = 0.8 – 5x
∴ 8x = 0.8
∴ x = 0.1 m
∴ 5 × 10^-8 C વિદ્યુતભારથી 0.1 m = 10 cm અથવા -3 × 10^-8 C વિદ્યુતભારથી 0.06 m = 6 cm અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય.
– બીજી શક્યતા : શૂન્ય વિદ્યુત સ્થિતિમાન AB રેખાને લંબાવવાથી A થી અંતરે P બિંદુ આગળ પણ મળે.

– P પાસેનું સ્થિતિમાન,
V = V₁ + V₂
0 = V₁ + V₂

∴ 3x = 5x – 0.8
∴ 0.8 = 2x
∴ x = 0.4 m
∴ x = 40 cm
આમ, 5 × 10^-8C થી – 3 × 10^-8C વિદ્યુતભાર તરફ 10 cm અને 40 cm અંતરે મળે.

પ્રશ્ન 2.
10 cm ની બાજુવાળા નિયમિત પકોણના દરેક શિરોબિંદુએ 5 µC વિધુતભાર છે. પકોણના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન ગણો.
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં ABCDEE એક ષટકોણ છે તેની દરેક બાજુ 0.1 m ની છે અને તેનું કેન્દ્ર O છે. અત્રે છ સમબાજુ ત્રિકોણ મળે છે.

• દરેક શિરોબિંદુ પર 5 µC નો વિદ્યુતભાર છે.
  ∴ કેન્દ્ર O પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન
  V = \(\frac{6 k q}{r}\)
  = \(\frac{6 \times 9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{0.1}\)
  = 2.7 × 10⁶ V

પ્રશ્ન 3.
બે વિધુતભારો 2 µC અને – 2µC એકબીજાથી 6 cm દૂર આવેલા બિંદુઓ A અને B પર મૂકેલા છે.
(a) તંત્રના કોઈ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠની ઓળખ કરો.
(b) આ સપાટી પર દરેક બિંદુએ વિધુતક્ષેત્રની દિશા કઈ છે?
ઉત્તર:
(a) રેખા AB ના મધ્યબિંદુ C માંથી પસાર થતું સમતલ દર્શાવ્યું છે જે \(\overline{\mathrm{AB}}\) ને લંબ છે.

તેથી C બિંદુમાંથી પસાર થતું સમતલ એ સમસ્થિતિમાન સપાટી છે. તેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(b) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે. તેથી અહીં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા A બિંદુથી B બિંદુ તરફની અને સમસ્થિતિમાન સપાટી (સમતલ)ને લંબરૂપે હોય છે.
∴ તંત્રની સમસ્થિતિમાન સપાટી તેની તે જ છે.

પ્રશ્ન 4.
12 cm ત્રિજ્યાના એક ગોળાકાર સુવાહકની સપાટી પર 1.6 × 10^-7 c વિધુતભાર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો છે.
(a) ગોળાની અંદર
(b) ગોળાની તરત બહાર
(c) ગોળાના કેન્દ્રથી 18 cm અંતરે આવેલા બિંદુએ – વિધુતક્ષેત્ર કેટલું છે ?
ઉત્તર:

• (a) ગોળાની અંદરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
  (b) ગોળાની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલો ગણી શકાય.
• ગોળાના કેન્દ્રથી r (> R) અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર
  E(r) = \(\frac{k q}{r^2}\)
  \(\frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.12)^2}\) = 10⁵ NC^-1
  (c) ગોળાના કેન્દ્રથી x = 18 cm દૂર આવેલાં બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  E (18) = \(\frac{k q}{x^2}\)
  = \(\frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.18)^2}\)
  = 444 × 10² ≈ 4.44 × 10⁴ NC^-1

પ્રશ્ન 5.
પ્લેટો વચ્ચે હવા હોય તેવા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ 8 pF (1 pF = 10^-12 F) છે. જે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેના અવકાશને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 6 ધરાવતા દ્રવ્ય વડે ભરી દેવામાં આવે તો તેનું કેપેસિટન્સ કેટલું થશે ?
ઉત્તર:
હવાના માધ્યમના કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ
C₀ = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
8 × 10^-12 = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) …………….. (1)
હવે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક ભર્યા બાદ તેની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરીએ તો તેનું કૅપેસિટન્સ.
C = \(\frac{\mathrm{K} \varepsilon_0 \mathrm{~A}}{\frac{d}{2}}\) = \(\frac{2 \mathrm{~K} \varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
∴ C = 2 × 6 × 8 × 10^-12 પરિણામ (1) પરથી)
= 96 × 10^-12 F
∴ C = 96 pF

પ્રશ્ન 6.
દરેક 9 pF કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડેલ છે.
(a) સંયોજનનું કુલ કેપેસિટન્સ કેટલું હશે ?
(b) આ સંયોજનને 120 V ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે તો દરેક કેપેસિટરને સમાંતર સ્થિતિમાનનો તફાવત કેટલો થશે ?
ઉત્તર:
(a) શ્રેણીમાં જોડેલા કૅપેસિટરોનું સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સ
\(\frac{1}{\mathrm{C}_s}\) = \(\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\) = \(\frac{3}{9}\)
∴ \(\frac{1}{\mathrm{C}_s}\) = \(\frac{1}{3}\)
∴C_S = 3DF

(b)

ત્રણેય કૅપેસિટરોનું કેપેસિટન્સ સમાન છે અને ત્રણેય કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે. ધારો કે C₁, C₂ અને C₃ ની આસપાસનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત અનુક્રમે V₁, V₂ અને V₃ છે.
∴ V = V₁ + V₂ + V₃
∴ 120 = 3V₁ or 3V₂ or 3V₃ [∵ V₁ = V₂ = V₃].
∴ V₁ = 40 V, V₂ = 40 V અને V₃ = 40 V
(b) માટે બીજી રીત :
– શ્રેણી જોડાણ માટે V = V₁ + V₂ + V₃
ધારો કે દરેક કૅપેસિટર પર q વિદ્યુતભાર છે.
120 = \(\frac{q}{\mathrm{C}_1}+\frac{q}{\mathrm{C}_2}+\frac{q}{\mathrm{C}_3}\)
હવે C₁, C₂, C₃ ત્રણેય સમાન હોવાથી
120 = \(\frac{3 q}{C}=\frac{3 q}{9 \times 10^{-12}}\)
C₁ = C₂ = C₃ = C = 9 × 10^-12 F
∴ q = 360 × 10^-12 C
∴ દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત,
V₁ = V₂ = V₃ = \(\)
= \(\frac{360 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-12}}\) = 40 V

(b) માટે ત્રીજી રીત :
9 pF ના (સમાન) ત્રણ કૅપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડેલાં હોવાથી એક કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર (Q) બરાબર શ્રેણીમાં જોડેલા ત્રણેય કૅપેસિટરો પરનો વિદ્યુતભાર (Q_S)
∴ Q = Q_S
∴ C_V = C_SV_S
∴ 9 × V = 3 × 120 [∵ \(\frac{1}{\mathrm{C}_s}=\frac{1}{\mathrm{C}}+\frac{1}{\mathrm{C}}+\frac{1}{\mathrm{C}}=\frac{3}{\mathrm{C}}=\frac{3}{9}\)]
∴ V = 40 V

પ્રશ્ન 7.
2 pF, 3 pF અને 4 pF કેપેસિટન્સના ત્રણ કેપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડેલ છે. (માર્ચ – 2020)
(a) સંયોજનનું કુલ કેપેસિટન્સ કેટલું ?
(b) જો આ સંયોજનને 100 V સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે તો દરેક કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર શોધો.
ઉત્તર:
(a) સમાંતરમાં જોડેલા કૅપેસિટરનું પરિણામી કૅપેસિટન્સ
C_P = C₁ + C₂ + C₃
જ્યાં C₁ = 2 pF, C₂ = 3pF અને C₃ = 4 pF
= 2 + 3 + 4
= 9 pF
= 9 × 10^-12 F

(b)

ધારો કે q₁, q₂ અને q₃ એ અનુક્રમે C₁, C₂ અને C₃ કેપેસિટરો પરનો વિદ્યુતભાર છે અને સપ્લાયના વોલ્ટેજ 100 છે.
– q₁ = C₁V = 2 × 10^-12 × 100 = 2 × 10^-10C
q₂ = C₂V = 3 × 10^-12 × 100 = 3 × 10^-10C
q₃ = C₃V = 4 × 10^-12 × 100 = 4 × 10^-10C

પ્રશ્ન 8.
બે પ્લેટો વચ્ચે હવા હોય તેવા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ 6 × 10^-3m² અને બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર 3 mm છે. આ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ગણો. જો આ કેપેસિટરને 100 V સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે તો તેની દરેક પ્લેટ પરનો વિધુતભાર કેટલો હશે?
ઉત્તર:

• હવાના માધ્યમવાળા કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ
  C₀ = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
  = \(\frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}}\)
  = 17.708 × 10^-12
  ∴ C₀ ≈ 17.7 × 10^-12 F
  ∴ C₀ ≈ 17.7 pF ≈ 18 pF
• ધારો કે કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર
  q₀ = C₀V
  = 17.7 × 10^-12 × 100
  = 17.7 × 10^-10 C ≈ 1.8 × 10^-9C

પ્રશ્ન 9.
સ્વાધ્યાય 2.8 માં આપેલ કેપેસિટરમાં 3 mm જાડાઈની માઇકા (અબરખ)ની પ્લેટ (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક = 6) કેપેસિટરની બે પ્લેટ વચ્ચે
(a) વોલ્ટેજ સપ્લાય જોડેલો રહે ત્યારે,
(b) વોલ્ટેજ સપ્લાયનું જોડાણ દૂર કર્યા બાદ-દાખલ કરવામાં આવે તો, દરેક કિસ્સામાં શું થાય તે સમજાવો.
ઉત્તર:
(a) 100V નો સપ્લાય જોડેલો હોય ત્યારે કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ
C’ = KC₀
= 6 × 18 × 10^-12
= 108 × 10^-12
∴ C’ ≈ 108 pF
અને જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરીએ અને સપ્લાય વોલ્ટેજ ચાલુ રાખીએ તો દરેક પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર
q’ = C’V
= 108 × 10^-12 × 100
= 1.08 × 10^-8 C
પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર છ ગણો વધી જાય.
બૅટરીનો સપ્લાય જોડેલો રહે ત્યારે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનો p.d. અચળ રહેશે.
∴ V = 100 V

(b) જો કેપેસિટરને બૅટરીથી અલગ કરવામાં આવે તો કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર, હવાના માધ્યમ વખતે જેટલો વિદ્યુતભાર હોય તેટલો જ હોય છે પણ કેપેસિટન્સ અચળ રહે છે.
∴ C = 108 pF
અને વિદ્યુતભાર q” = 1.8 × 10^-9 C અથવા 1.8 nC અચળ રહે છે.
જ્યારે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે અબરખની પ્લેટ દાખલ કરતાં બે પ્લેટો વચ્ચેનો p.d.
∴ V = \(\frac{\mathrm{V}_0}{6}=\frac{100}{6}\) ≈ 16.67 V

પ્રશ્ન 10.
12 pF નું એક કેપેસિટર 50 V ની બેટરી સાથે જોડેલું છે. કેપેસિટરમાં કેટલી સ્થિતવિધુતઊર્જા સંગ્રહ પામી હશે ?
ઉત્તર:
U = \(\frac {1}{2}\)CV²
= \(\frac {1}{2}\) × 12 × 10^-12 × (50)²
= 6 × 10^-12 × 2500
= 15 × 10^-9 J.

પ્રશ્ન 11.
600 pF નું એક કેપેસિટર 200 V ના સપ્લાય વડે વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે. પછી તેનું સપ્લાય સાથેનું જોડાણ દૂર કરવામાં આવે છે અને બીજા વિધુતભારિત ન હોય તેવા 600 pF ના કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં કેટલી ઊર્જા ગુમાવાઈ હશે ? (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
અહીં C₁ = 600 pF C₂ = 600 pF, V₁ = 200 V, V₂ = 0V C₁ કેપેસિટરને V₁ વોલ્ટથી સંપૂર્ણ ચાર્જ કરી બેટરીથી અલગ કરીને C₂ કૅપેસિટર સાથે જોડતાં તેમની ઊર્જામાં ઘટાડો,

• બીજી રીત :
  શરૂઆતમાં કેપેસિટરમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા,
  U_i = \(\frac {1}{2}\)CV² = \(\frac {1}{2}\) × 600 × 10^-12 × (200)² = 3 × 10^-10 × 40000
  ∴ \(\frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}\) = 12 × 10-6
• Q વિદ્યુતભારિત કૅપેસિટરની સાથે સમાંતરમાં તેવાં જ કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડતાં, બંને કેપેસિટર પર \(\frac{\mathrm{Q}}{2}\) જેટલો વિદ્યુતભાર થશે. તેથી અંતિમ સ્થિતિએ કેપેસિટરમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા,
  

પ્રશ્ન 12.
એક 8 mC વિધુતભાર ઊગમબિંદુએ રહેલો છે. એક નાના -2 × 10^-9 C વિધુતભારને P(0, 0, 3 cm) બિંદુથી R(0, 6, 9 cm) બિંદુએ થઈ Q(0, 4 cm, 0) બિંદુએ લાવવા માટે કરેલું કાર્ય શોધો.
ઉત્તર:

• વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ પર લઈ જતાં કરવું પડતું કાર્ય એ માર્ગ પર આધારિત નથી તેથી P થી 9 પર જતાં કરવું પડતું કાર્ય,

અહીં K = 9 × 10⁹ Nm² C^-2
q₀ = -2 × 10^-9C
q = 8 mC = 8 × 10^-3C
r₁ = 3 cm = 3 × 10^-2 m
r₂ = 4 cm = 4 × 10^-2 m
સૂત્ર (1) માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં,

R બિંદુને જવાબ સાથે કોઈ સંબંધ નથી.

• બીજી રીત :
  અહીં q = 8 mC = 8 × 10^-3C, q₀ = -2 × 10^-9 C
  r₁ = 3 cm = 0.03 m, r₂ = 4 cm = 0.04 m
  કુલંબ અચળાંક k = 9 × 10⁹ Nm² C^-2
• q અને q₀વિદ્યુતભાર તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા,
  U₁ = \(\frac{k q q_0}{r_1}\) અને અંતિમ સ્થિતિઊર્જા U₂ = \(\frac{k q q_0}{r_2}\)
  ∴ કાર્ય ઊર્જા પ્રમેય પરથી,
  W = ΔU
  ∴ W = U₂ – U₁

પ્રશ્ન 13.
b બાજુવાળા એક ઘનના દરેક બિંદુએ વિધુતભાર છે. આ વિધુતભારના તંત્રને લીધે ઘનના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન અને વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
ઉત્તર:

• ધારો કે, સમઘનની બાજુ b છે.
• સમઘનના લાંબા વિકર્ણની લંબાઈ

• સમઘનના દરેક શિરોબિંદુનું તેના કેન્દ્રથી અંતર r = \(\frac{\sqrt{3} b}{2}\)
• સમઘનના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન,

• અને કેન્દ્ર પાસે સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડના લીધે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં અને સમાન મૂલ્યના હોવાથી પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 14.
1.5 µC અને 2.5 µC વિધુતભાર ધરાવતા બે નાના ગોળાઓ એકબીજાથી 30 cm અંતરે રહેલા છે. નીચેના સ્થાનોએ સ્થિતિમાન અને વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
(a) બે વિધુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુએ અને
(b) આ રેખાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અને રેખાને લંબ સમતલમાં મધ્યબિંદુથી 10 cm અંતરે આવેલા બિંદુએ.
ઉત્તર:
(a) ધારો કે, A અને B બિંદુઓ પર અનુક્રમે 1.5 µC અને 2.5 µC ના વિદ્યુતભારો છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર 30 cm છે. તેનું મધ્યબિંદુ O છે.

– O બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,

(b) ધારો કે, AB ના લંબદ્વિભાજક પર તેના મધ્યબિંદુથી 10 cm અંતરે P બિંદુ છે.

– AP = BP = \(\sqrt{15^2+10^2}\)
= \(\sqrt{325}\)
= 18 cm = 0.18 m
– P બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન,

– હવે ∠APO = ∠BPO = \(\frac{\theta}{2}\)
અને ΔAOP માં
tan\(\frac{\theta}{2}\) = \(\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\) = 1.5
∴ \(\frac{\theta}{2}\) = 56.3°
∴ θ = 112.6°
– પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર,

E = 65559 × 10⁶
∴ E = 6.6 × 10⁵ Vm^-1
– ધારો કે, \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{E}_1}\) વચ્ચેનો ખૂણો તું છે.

∴ tanα = 4.1182
∴ α = tan^-14.1182 ∴ α = 76.3°
– ધારો કે, \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{BA}}\) રેખા વચ્ચેનો ખૂણો β છે.
∴ ∠PCO = β
∴ ΔPOC માં β + α – \(\frac{\theta}{2}\) = 90° .
∴ β = 90° + \(\frac{\theta}{2}\) – α
∴ β = 90° + \(\frac{112.6^{\circ}}{2}\) – 76.30
∴β = 90° + 56.3° – 76.3°
∴ β = 70°
માટે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બંને વિદ્યુતભારો 2.5 uC થી 1.5 uC ને જોડતી રેખા સાથે 70° નો ખૂણો બનાવે છે.

પ્રશ્ન 15.
અંદરની ત્રિજ્યા r₁ અને બહારની ત્રિજ્યા r₂ ધરાવતી એક ગોળાકાર સુવાહક કવચ પરનો વિધુતભાર Q છે.
(a) કવચના કેન્દ્ર પર વિધુતભાર વ મૂકવામાં આવે છે. કવચની અંદરની અને બહારની સપાટીઓ પર વિધુતભારની પૃષ્ઠઘનતા કેટલી હશે ?
(b) જો કવચ ગોળાકાર ન હોય પણ ગમે તેવો અનિયમિત આકાર ધરાવતી હોય તો પણ બખોલ (જેમાં કોઈ વિધુતભાર નથી)ની અંદરનું વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે ? સમજાવો.
ઉત્તર:
(a) કવચના કેન્દ્ર પર q વિદ્યુતભાર મૂકીએ તો કવચની અંદરના ભાગમાં સપાટી નજીક -q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય અને બહારની સપાટી પર +q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય.
∴ કવચની અંદરની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા,
σ_i = \(\frac{q}{\mathrm{~A}}=\frac{-q}{4 \pi r_1^2}\)

• અને બહારની સપાટી પરની વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા,
  σ₀ = \(\frac{q}{\mathrm{~A}}=\frac{(+q)(+\mathrm{Q})}{4 \pi r_2^2}\)
• જ્યાં r₁, r₂ એ કવચની અંદરની અને બહારની ત્રિજ્યા છે તથા કવચની બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભાર Q છે.
  

(b) બખોલની અંદરનો કોઈ બંધ ભાગ વિચારો.

• પાન આ બંધ ભાગ પર કોઈ પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને લઈ જવા થતું કાર્ય શૂન્ય છે. કારણ કે, અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
• આથી, કવચ ગોળાકાર ન હોય અને ગમે તેવાં અનિયમિત આકારનું હોવાં છતાં પણ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 16.
(a) દર્શાવો કે સ્થિતવિધુતક્ષેત્રના લંબ ઘટકનું, વિધુતભારિત સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુ સુધી અસતતપણું (\(\overrightarrow{\mathrm{E}}_2-\overrightarrow{\mathrm{E}}_1\)).n̂ = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) દ્વારા અપાય છે.
જ્યાં, n̂ બિંદુએ સપાટીને લંબ એકમ સદિશ છે. – તે બિંદુએ વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા છે. (n̂ની દિશા બાજુ 1 થી બાજુ 2 તરફ છે.) આ પરથી દર્શાવો કે સુવાહકની તરત બહાર વિધુતક્ષેત્ર \(\frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}\) છે.

(b) દર્શાવો કે સ્થિતવિધુત ક્ષેત્રનો સ્પર્શીય (Tangential) ઘટક, વિધુતભારિત સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુ સુધી સતત હોય છે. (સૂચનઃ (a) માટે ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરો. (b) માટે સ્થિતવિધુત ક્ષેત્ર વડે બંધ ગાળા પર કરેલું કાર્ય શૂન્ય છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરો.)
ઉત્તર:

• (a) વિદ્યુતભારિત સમતલ પ્લેટની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  E = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
  જો વિદ્યુતક્ષેત્રને સદિશ તરીકે દર્શાવીએ તો સમતલની એક બાજુનો એકમ સદિશ n̂ હોય તો બીજી બાજુનો એકમ સદિશ n̂ થાય.

• (1) બાજુથી (2) બાજુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_2=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) . n̂
• (2) બાજુથી (1) બાજુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_1=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) . n̂
  (1) બાજુ તરફ વિદ્યુતક્ષેત્ર,

જ્યાં σ એ વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા છે અને એકમ સદિશ h ની દિશા (1) બાજુથી (2) બાજુ તરફની છે.

• \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_1\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_2\) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી વિદ્યુતભારિત પ્લેટ પર અસતત છે અને વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર અદશ્ય થઈ જાય છે તેથી,
  \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_1\) = 0
  તેથી વાહકની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\overrightarrow{\mathrm{E}}_2=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) n̂

(b) ધારો કે, xy એ ડાયઇલેક્ટ્રિકની વિદ્યુતભારિત સપાટી છે.
આ સપાટીની ઉપર અને નીચે અનુક્રમે \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_1\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_2\) વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.

– xy સપાટીની આસપાસ ABCD લૂપ વિચારો કે જેની લંબાઈ l અને પહોળાઈ b = 0 (અવગણી શકાય તેવી છે).
– DC અને BA માર્ગ પરનું રેખા સંકલન શૂન્ય થાય કારણ
કે \(\overrightarrow{\mathrm{E}_1}\)⊥ \(\vec{b}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{E}_2}\) A \(\vec{b}\) છે.
– ADCB બંધ માર્ગ પરનું રેખા સંકલન,

આમ, વિદ્યુતભારિત ડાઇઇલેક્ટ્રિક સપાટી પરના સ્પર્શીય ઘટકો અચળ (સમાની રહે છે એટલે કે સ્પર્શીય ઘટક
સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુ સુધી સતત રહે છે.

પ્રશ્ન 17.
રેખીય વિધુતભાર ઘનતા λ ધરાવતો એક લાંબો નળાકાર એક પોલા, સમઅક્ષીય, સુવાહક નળાકાર વડે ઘેરાયેલ છે. બે નળાકારની વચ્ચેના અવકાશમાં વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
બે સમઅક્ષીય વાહક નળાકારની અંદરની ત્રિજ્યા વ અને બહારની ત્રિજ્યા છે તથા નળાકારની લંબાઈ L છે L > > a અને b છે. નિયમિત વિદ્યુતભારની રેખીય ઘનતા ± λ Cm^-1 છે.

• બે વાહકોની વચ્ચમાં P બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે ગૉસિયન પૃષ્ઠ વિચારો જેની ત્રિજ્યા r છે.
• ગૉસના પ્રમેય પરથી ગૉસિયન પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું ફલક્સ,
  \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0}\)
  ∴ E × 2πrL = \(\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\) [∵ cos0° = 1]
  ∴ E = \(\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}\)
  જ્યાં r એ નળાકારોની સામાન્ય અક્ષથી બિંદુનું અંતર છે. ક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અને અક્ષને લંબરૂપે છે.

નોંધ : જો પોલા નળાકારમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત અને  કૅપેસિટન્સ માગેલ હોય તો

• બે નળાકાર વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત,

– દરેક નળાકાર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર Q = Lλ
નળાકારીય કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,

પ્રશ્ન 18.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન 0.53 Å અંતરે એકબીજા સાથે બંધિત અવસ્થામાં છે.
(a) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના અનંત અંતર માટે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈને આ તંત્રની સ્થિતિઊર્જાનો eV માં અંદાજ કરો.
(b) ઇલેક્ટ્રોનને મુક્ત કરવા માટે કેટલું લઘુતમ કાર્ય કરવું પડે ? તેની કક્ષામાંની ગતિઊર્જા (a) માં મળેલી સ્થિતિઊર્જા કરતાં અડધી છે તેમ આપેલ છે.
(c) બંને વચ્ચેના 1.06 Å અંતર માટે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે તો ઉપર (a) અને (b) માટેના જવાબો શું હશે ?
ઉત્તર:
(a) અહીં Φ₁ = -1.6 × 10^-19C
Φ₂ = + 1.6 × 10^-19C
r = 0.53 Å = 0.53 × 10^-10 m
ઇલેકટ્રૉન અને પ્રોટોનના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા,

∴ U = -27.1699 eV
∴ U ≈ -27.2 eV

(b) કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K.E. (ગતિઊર્જા) = –\(\frac {1}{2}\) × સ્થિતિઊર્જા
= –\(\frac {1}{2}\) × (-27.2)
K.E. = 13.6 eV
અને ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા = સ્થિતિઊર્જા + ગતિઊર્જા
=-27.2 + 13.6.
= – 13.6 eV
– મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા શૂન્ય હોય તેથી ઇલેક્ટ્રૉનને મુક્ત થવા માટે જરૂરી લઘુતમ કાર્ય,
W = K_i – K_f
= 0 – (- 13.6)
∴ W = 13.6 eV

(c) જો અનંત અંતરે સ્થિતઊર્જા શૂન્ય લઈએ તો ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોનના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા,

= – 13.6 eV
– આ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રૉનને 0.53 Å થી 1.06 Å ના સ્થાને લઈ જવા 13.6 eV જેટલી ઊર્જા વાપરીને -27.2 eV થી – 13.6 eV જેટલી સ્થિતિઊર્જા વધીને મેળવે છે. આ સ્થિતિમાં ગતિઊર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ. કારણ કે, કુલ ઊર્જા શૂન્ય છે તેથી ઈલેક્ટ્રૉનને મુક્ત કરવા જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા = 0 – (- 13.6) = 13.6 eV નોંધો કે બીજી પસંદગીમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુની કુલ ઊર્જા શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 19.
જો H₂ અણુના બેમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવામાં આવે તો આપણને હાઇડ્રોજન આણ્વિક આયન મળે. H₂⁺ ની ધરાસ્થિતિમાં બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર લગભગ 1.5 Å છે અને ઇલેક્ટ્રોન દરેક પ્રોટોનથી લગભગ 1 Å અંતરે છે. આ તંત્રની સ્થિતિઊર્જા શોધો. સ્થિતિઊર્જાના શૂન્ય માટેની તમારી પસંદગી જણાવો.
ઉત્તર:
– વિદ્યુતભારોનું તંત્ર આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.

– ઇલેક્ટ્રૉન પરનો વિદ્યુતભાર q₁ = -1.6 × 10^-19C
– પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર q₂ = q₃ = 1.6 × 10^-19C
– અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈએ તો તંત્રની સ્થિતિઊર્જા,
U = U₁₂ + U₂₃ + U₁₃

= – 19.2 eV

પ્રશ્ન 20.
અને ત્રિજ્યાઓ ધરાવતા બે વિધુતભારિત સુવાહક ગોળાઓને એક તાર વડે જોડવામાં આવે છે. બે ગોળાઓની સપાટીઓ પરના વિધુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર કેટલો હશે ? આ પરિણામનો ઉપયોગ કરી સુવાહકના તીક્ષ્ણ અને ધારદાર છેડાઓ આગળ સપાટ વિભાગો કરતાં વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા શા માટે વધારે હોય છે તે સમજાવો.
ઉત્તર:
1 અને 2 ગોળાને સ્થિતિમાન અનુક્રમે V₁ અને V₂ તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે a અને b તેમના પરના વિદ્યુતભાર અનુક્રમે Q₁ અને Q₂ અને તેમના કેપેસિટન્સ અનુક્રમે C₁ અને C₂ છે. વાહક ગોળાઓને તારથી જોડવામાં આવે તો તેમના સ્થિતિમાન સમાન થાય છે.
∴ V₁ = V₂ = V ધારો.
અને Q = CV માં V સમાન,
∴ Q ∝ C

આમ, ગોળાની સપાટી પરની વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા તેની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. ∴ σ ∝
આમ, મોટા ગોળાની સપાટી ઓછી વક્ર અને નાના ગોળાની સપાટી વધુ વક્ર હોય અને ઓછી વક્ર સપાટી માટે ત્રિજ્યા મોટી તથા વધુ વક્ર સપાટી માટે ત્રિજ્યા નાની હોય અને નાની ત્રિજ્યા એટલે વધુ વક્ર સપાટીઓ પાસે વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા વધારે હોય.

પ્રશ્ન 21.
બે વિધુતભારો -q અને +q અનુક્રમે (0, 0, – a) અને (0, 0, a) બિંદુઓએ રહેલા છે
(a) (0, 0, z) અને (x, y, 0) બિંદુઓએ વિધુતક્ષેત્ર કેટલું કેટલું છે ?
(b) સ્થિતિમાન, ઊગમબિંદુથી કોઈ બિંદુના અંતર r પર, r/a >> 1 હોય ત્યારે કેવી રીતે આધારિત છે તે દર્શાવતું સૂત્ર મેળવો.
(c) એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભારને ૮-અક્ષ પર (5, 0, 0) બિંદુથી -7, 0, 0) બિંદુ સુધી લઈ જવામાં કેટલું કાર્ય થશે ? જો પરીક્ષણ વિધુતભારનો માર્ગ તે જ બે બિંદુઓ વચ્ચે ૪-અક્ષ પર ન હોત તો જવાબમાં ફેર પડે ?
ઉત્તર:
– (a) જ્યારે P બિંદુ +q વિદ્યુતભારની નજીક હોય તો,

– P બિંદુ પાસે સ્થિતિમાન,

– જ્યારે P બિંદુ -q વિદ્યુતભારની નજીક હોય,

– આવી રીતે જ,
∴ P બિંદુ પાસેનું સ્થિતિમાન,
V_– = – \(\frac{k p}{z^2-a^2}\) ………… (2)
જો કોઈ બિંદુ (x, y, 0) એ xy-સમતલમાં હોય અને z-અક્ષના લંબદ્વિભાજક પર તેથી આ બિંદુ -q અને +q થી સમાન અંતરે હોય તેથી આવા બિંદુ (x, y, 0) પાસે સ્થિતિમાન,
V = k [latex]\frac{+q}{r}+\frac{-q}{r}[/latex] = 0 હોય. ………. (3)

(b) જો P બિંદુનું ઊગમબિંદુ O પરથી અંતર r હોય તો, પરિણામ (1) અને (2) માં z = r મૂકતાં,
V = ±k\(\frac{p}{r^2-a^2}\) મળે.
જો \(\frac{r}{a}\) >> 1 ⇒ r >> a હોય તો r² ને અવગણતાં, a² ની સરખામણીમાં
V = ±k\(\frac{p}{r^2}\)
∴ V ∝ \(\frac{1}{r^2}\)

(C) (5, 0, 0) અને (-7, 0, 0) બિંદુઓ x-અક્ષ પર છે તેથી તેઓ ડાયપોલના લંબદ્વિભાજક (વિષવરેખા) પર છે તેથી તેના પરના દરેક બિંદુઓ બંને વિદ્યુતભારોથી સમાન અંતરે છે. પરિણામે, સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

• હવે જો કોઈ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર q₀ ને (5, 0, 00 થી (-7, 0, 0) પર લઈ જવામાં આવે તો થતું કાર્ય,
  W = q₀(V₁ – V₂)
  = q₀(0).
  ∴ W = 0
• ના, કારણ કે, વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી એક બિંદુ પરથી બીજા બિંદુ પર જતાં થતું કાર્ય તેની ગતિના માર્ગ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 22.
આપેલ આકૃતિ વિધુત ચતુવી (Electric Quadrupale) તરીકે ઓળખાતી વિધુતભારોની ગોઠવણ દર્શાવે છે. ચતુર્ધવીની અક્ષ પરના બિંદુ માટે r/a > > 1 માટે, સ્થિતિમાન 7 પર કેવી રીતે આધારિત છે તે દર્શાવતું સૂત્ર મેળવો અને વિધુત ડાયપોલ અને વિધુત મોનોપોલ (એટલે કે એકલ વિધુતભાર) માટેના આવા સૂવાથી તમારું પરિણામ કેવી રીતે જુદું પડે છે તે જણાવો.

ઉત્તર:

જયાં Q = ક્વૉડ્રપોલ મોમેન્ટ છે = 2qa²
– જો r >> a હોય, તો r²ની સરખામણીમાં a² ને અવગણતાં,
V = \(\frac{k \mathrm{Q}}{r^3}\)
∴ V ∝ \(\frac{1}{r^3}\) ક્વૉડ્રપોલ માટે,
V ∝ \(\frac{1}{r^2}\) ડાયપોલ માટે,
અને V ∝ \(\frac{1}{r}\) એકલ વિદ્યુતભાર માટે

પ્રશ્ન 23.
એક ઇલેક્ટ્રિકલ ટેક્નિશિયનને એક પરિપથમાં 1kV ને સમાંતર 2µF ના કેપેસિટરની જરૂર પડે છે. તેની પાસે 1µF ના મોટી સંખ્યાના કેપેસિટર પ્રાપ્ય છે જેઓ 400 વોલ્ટ કરતાં વધુ ન હોય તેવી સ્થિતિમાનનો તફાવત ખમી શકે છે. એવી શક્ય ગોઠવણ દર્શાવો કે જેમાં લઘુતમ સંખ્યાના કેપેસિટરની જરૂર પડે.
(ઑગસ્ટ – 2020)
ઉત્તર:

• ધારો કે 2µF નું કૅપેસિટર અને 1kV નો pd મેળવવા માટે 1µF ના n કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં અને આવી m શ્રેણીઓને સમાંતર જોડવાની જરૂર પડે છે.
• શ્રેણીની એક હારમાં દરેક કેપેસિટરનો
  વોલ્ટેજ = \(\frac{\mathrm{V}}{n} \geq \frac{1000}{n}\)
  400 ≥ \(\frac{1000}{n}\)
  ∴ n ≥ \(\frac{1000}{400}\)
  ∴ n ≥ 2.5
  પણ કેપેસિટરોની સંખ્યા પૂર્ણાક જ લેવાય
  ∴ n = 3
• મિશ્ર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ,
  \(\frac{m}{n}\) = 2 ⇒ m = 2n
  = 2 × 3 = 6
• જરૂરી કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા = mn
  = 6 × 3 = 18
• આ મિશ્ર જોડાણને નીચે મુજબ દર્શાવ્યું છે.

• નોંધ : \(\frac{m}{n}\) = 2 પરથી m = 2n
  ∴ n = 3 લેતાં m = 6 ⇒ mn = 18
  ∴ n = 4 લેતાં m = 8 ⇒ mn = 32
  ∴ n = 5 લેતાં m = 10 ⇒ mn = 50
  આમ, શક્ય મિશ્ર જોડાણો કલ્પી શકાય પણ લઘુતમ કેપેસિટરોની સંખ્યા 18 મળે.

પ્રશ્ન 24.
2 Fના એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર 0.5 cm આપેલ હોય તો તેની દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે ? (તમારા જવાબ પરથી તમે સમજી શકશો કે સામાન્ય કેપેસિટરો શા માટે µF ના અથવા ઓછા ક્રમના હોય છે. આમ છતાં, ઇલેક્ટ્રોલીટિક કેપેસિટરોનાં મૂલ્યો, સુવાહકો વચ્ચે ખૂબ નાનું અંતર હોવાથી, ઘણાં મોટાં (0.1 F) હોય છે.)
ઉત્તર:

• અહીં C = 25 d = 0.5 cm = 5 × 10^-3m
  દ0 = 8.85 × 10^-12 C²N^-1m^-2
• C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
  ∴ A = \(\frac{\mathrm{C} d}{\varepsilon_0}=\frac{2 \times 5 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}\) = 1130 × 1o⁶ m²
  ∴ A = 1130 (km)²

પ્રશ્ન 25.
આકૃતિમાં દશવિલ નેટવર્કનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધો. 300 V ના સપ્લાય માટે દરેક કેપેસિટરને સમાંતરે વોલ્ટેજ અને તેના પરનો વિધુતભાર શોધો.

ઉત્તર:

• દરેક કેપેસિટરની આસપાસના વોલ્ટેજ,
• 
• સમતુલ્ય નેટવર્ક નીચે મુજબ દોરતાં,

• હવે C₁ અને C₂₃ સમાંતર જોડાણમાં છે જેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ C’ છે.
  ∴ C’ = C₁ + C₂₃ = 100 + 100 = 200 pF
  હવે C₄ અને C’ શ્રેણીમાં છે. તેથી પરિપથનું સમતુલ્ય કૅપેસિટન્સ

• બૅટરીનો કુલ વિદ્યુતભાર Q હોય, તો C = \(\frac{Q}{V}\)
  ∴ Q = CV
  = (\(\frac{200}{3}\) × 10^-12 (300)
  ∴ Q = 2 × 10^-8 C
• C₄ અને C’ કેપેસિટન્સવાળા કૅપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી બંને પરનો વિદ્યુતભાર Q જેટલો સમાન હશે.
  ∴ C₄ પરનો વિદ્યુતભાર q₄ = 2 × 10^-8C = 0.02 μC
  અને C’ પરનો વિદ્યુતભાર = 2 × 10^-8C.
• પણ C’ એ C₁ અને C₂₃ કેપેસિટરોનું સમાંતર જોડાણ છે. તેમજ તે બંનેના કૅપેસિટન્સ સમાન હોવાથી બંને કેપેસિટરો પર સમાન વિદ્યુતભાર હશે.
  C₁ પરનો વિદ્યુતભાર
  ∴ q₁ = 1 × 10^-8C = 0.01 μC
  અને C₂₃ પરનો વિદ્યુતભાર = 1 × 10^-8C
• પણ C₂₃ એ C₂ અને C₃ ના શ્રેણી જોડાણનો પરિણામી કૅપેસિટન્સ છે. તેથી C₂ અને C₃ પર સમાન વિદ્યુતભાર હોય અને તે C₂₃ પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય.
  ∴ C₂ પરનો વિદ્યુતભાર q₂ = 1 × 10^-8C = 0.01 μC
  અને C₃ પરનો વિદ્યુતભાર q₃ = 1 × 10^-8C = 0.01 μC

પ્રશ્ન 26.
એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ 90 cm² અને બે પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર 2.5 mm છે. કેપેસિટરને 400 V ના સપ્લાય સાથે જોડીને વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે.
(a) કેપેસિટર વડે કેટલી સ્થિતવિધુતાઊર્જા સંગ્રહિત થયેલ છે ?
(b) આ ઊર્જાને બે પ્લેટ વચ્ચેના સ્થિતવિધુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહ પામેલી ગણો અને એકમ કદ દીઠ ઊર્જા u મેળવો. આ પરથી u અને વિધુતક્ષેત્રના માન E વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
(a) અહીં A = 90 cm² = 90 × 10^-4m² = 9 × 10^-3 m²
d = 2.5 mm = 2.5 × 10^-3m
ε₀ = 8.85 × 10^-12 Fm^-1
V = 400 V
– સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,
C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) = \(\frac{8.85 \times 10^{-12} \times 9 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-3}}\)
∴ C = 31.86 × 10^-12 F = 31.86 pF
– કૅપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતઊર્જા,
U= \(\frac {1}{2}\)CV² = \(\frac {1}{2}\) × 31.86 × 10^-12 × (400)²
∴ U = 254.88 × 10^-8J
∴ U = 2.55 × 10^-6J = 2.55 μJ

(b) કેપેસિટરમાં એકમ કદ દીઠ ઊર્જા અથવા ઊર્જા ઘનતા,

પ્રશ્ન 27.
4μF ના એક કેપેસિટરને 200V સપ્લાય વડે વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે. પછી તેને સપ્લાયથી જુદું પાડીને બીજા વિધુતભારિત ન હોય તેવા 2μF ના કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે. પ્રથમ કેપેસિટરની કેટલી ઊર્જા ઉષ્મા અને વિધુતચુંબકીય વિકિરણના રૂપમાં ગુમાવાય છે ?
ઉત્તર:

• 4μF ના કેપેસિટરમાં શરૂઆતમાં સંગ્રહિત ઊર્જા,
  U_i = \(\frac {1}{2}\)CV² = \(\frac {1}{2}\) × 4 × 10^-6 × (200)²
  U_i = 8 × 10^-2J ………….. (1)
• 4μF ના કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર,
  Q = CV = 4 × 10^-6 × 200
  ∴ Q = 8 × 10^-4C
• 4μF અને 2μF ના કેપેસિટરોને જોડતાં તેમનું સામાન્ય સ્થિતિમાન,

• સંયોજનની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા,
  U_f = \(\frac {1}{2}\)(C₁ + C₂)V₁²
  = \(\frac {1}{2}\) (4 + 2) × 10^-6 × (\(\frac{400}{3}\))²
  = \(\frac {1}{2}\) × \(\frac{6 \times 10^{-6} \times 16 \times 10^4}{9}\)
  ∴ U_f \(\frac{16}{3}\) × 10^-2J
  = 5.33 × 10^-2J
• 4μF ના કેપેસિટરે ઉષ્મા રૂપે ગુમાવેલી ઊર્જા,
  ΔU = U_i – U_f
  = (8 – 5.33) × 10^-2J
  = 2.67 × 10^-2J
• બીજી રીત :
  આ રીત માટે નીચેનું સૂત્ર યાદ રાખો.
  આ કિસ્સામાં ગુમાવેલી ઊર્જા,
  ΔU = \(\frac{C_1 C_2}{2\left(C_1+C_2\right)}\) (V₁ – V₂)²
  અહીં C₁ = 4μF = 4 × 10^-6F V₁ = 200 V
  C₂ = 2μF = 2 × 10^-6F, V₂ = 0
  ∴ ΔU = \(\frac{4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{2\left(4 \times 10^{-6}+2 \times 10^{-6}\right)}\) (200 – 0)²
  = \(\frac{8 \times 10^{-12}}{12 \times 10^{-6}}\) × 40000
  = 2.667 × 10^-2J

પ્રશ્ન 28.
દર્શાવો કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પર લાગતા બળનું માન (1/2)QE છે. જ્યાં Q કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર છે અને E પ્લેટો વચ્ચેના વિધુતક્ષેત્રનું માન છે. અહીં, અવયવ 1/2 કેવી રીતે આવે છે તે સમજાવો.
ઉત્તર:

• ધારો કે પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ A અને વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા σ છે.
• કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર q = σA
  અને વિદ્યુતક્ષેત્ર E = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
• જો કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બળની વિરુદ્ધમાં Δx જેટલું વધારતાં બાહ્ય બળે કરેલું કાર્ય,
  W = FΔx
• જો કેપેસિટરની ઊર્જા ઘનતા હોય તો કૅપેસિટરની સ્થિતિઊર્જા = ઊર્જા ઘનતા × કદમાં વધારો
  F . Δx = ρ_E × AΔx
  ∴ F = ρ_E × A

અહીં \(\frac {1}{2}\) પદ આવવાનું કારણ એ છે કે કેપેસિટરની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર માં હોય અને તેની બહાર શૂન્ય હોય તેથી બળ ઉત્પન્ન કરવા સરેરાશ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\frac{E}{2}\) ભાગ ભજવે છે.

પ્રશ્ન 29.
ગોળાકાર કેપેસિટરમાં બે સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર સુવાહકોને યોગ્ય અવાહક ટેકાઓ વડે તેમના સ્થાનો પર પકડી રાખેલા હોય છે જે આકૃતિમાં દશવિલ છે. દર્શાવો કે ગોળાકાર કેપેસિટરન કેપેસિટન્સ C = \(\frac{4 \pi \varepsilon_0 r_1 r_2}{r_1-r_2}\) વડે અપાય છે. જ્યાં r₁ અને r₂ અનુક્રમે બહારના અને અંદરના ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ છે.

ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમકેન્દ્રીય કવચોનું ગોળાકાર કવચ બનેલું છે.
  
• અંદરના કવચની ત્રિજ્યા r₁ અને બહારના કવચની ત્રિજ્યા r₂ અંદરના કવચ પર -Q અને બહારના કવચ પર +Q વિદ્યુતભાર છે.
• સામાન્ય કેન્દ્ર O થી r ત્રિજ્યાનું ગોળાકાર ગોસિયન પૃષ્ઠ છે.
• r < r₁ એટલે અંદરના કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર E = 0 અને
• r > r₂ એટલે બહારના કવચની બહાર પણ વિદ્યુતક્ષેત્ર E = 0
• અંદરના કવચ પરના વિદ્યુતભારના લીધે બે કવચો વચ્ચેની જગ્યામાં ત્રિજ્યાવર્તી વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે.
• ગૉસના પ્રમેય પરથી સામાન્ય કેન્દ્રથી r અંતરે કોઈ બિંદુ P પાસે વિદ્યુત ફૂલક્સ,
  EScos0° = \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0}\)
  ∴ ES = \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0}\)
  ∴ E × 4πr² = \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0}\) [ગોળાનું ક્ષેત્રફળ = 4πr²]
  ∴ E = \(\frac{\mathrm{Q}}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\)
• બંને કવચો વચ્ચેનો p.d.,

• ગોળાકાર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ,

પ્રશ્ન 30.
એક ગોળાકાર કેપેસિટરના અંદરના ગોળાની ત્રિજ્યા 12 cm અને બહારના ગોળાની ત્રિજ્યા 13 cm છે. બહારના ગોળાનું અર્થિંગ (Earthing) કરી દીધેલું છે અને અંદરના ગોળા પર 2.5 µC વિધુતભાર આપેલ છે. બે સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ વચ્ચેના અવકાશને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 32 ધરાવતા પ્રવાહી વડે ભરી દીધેલ છે.
(a) કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ શોધો.
(b) અંદરના ગોળાને સ્થિતિમાન કેટલું હશે ?
(c) આ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સને 12 cm ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા ગોળાના કેપેસિટન્સ સાથે સરખાવો. અલગ ગોળા માટેનું મૂલ્ય ખૂબ નાનું કેમ છે તે સમજાવો.
ઉત્તર:
– અહીં r₁ = 12 cm = 12 × 10^-2m
r₂ = 13 cm = 13 × 10^-2m
q = 2.5 µC = 2.5 × 10^-6C
K = 32
– (a) ગોળાકાર કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,

= 554.6 × 10^-11
∴ C = 5.5 × 10^-9F

(b) અંદરના કવચ પરનું સ્થિતિમાન,
V = \(\frac{q}{C}=\frac{2.5 \times 10^{-6}}{5.5 \times 10^{-9}}\)
∴ V = 0.45 × 10³
∴ V = 4.5 × 10²V

(C) અલગ રહેલાં 12 cm ગોળાનું કૅપેસિટન્સ,
C = 4πε₀R = \(\frac{\mathrm{R}}{k}\)
∴ C = \(\frac{12 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}\) = 1.3 × 10^-11F
જ્યારે ગોળાનું અર્થિંગ કરેલું હોય અને તેની નજીકમાં બીજો વિદ્યુતભારિત ગોળો મૂકો તો તેનું કૅપેસિટન્સ વધે છે અને બે વાહક (ગોળાઓ) કેપેસિટર રચે છે. જ્યારે અલગ ગોળાનું કૅપેસિટન્સ, કેપેસિટરના કૅપેસિટન્સની સરખામણીમાં ઘણું નાનું છે.

પ્રશ્ન 31.
કાળજીપૂર્વક ઉત્તર આપો :
(a) બે મોટા Q અને Q વિધુતભાર ધરાવતા સુવાહક ગોળાઓ એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેનું સ્થિતવિધુતબળ સચોટતાથી \(\frac{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\) વડે
અપાય છે, જ્યાં સુ તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે ?
(b) જો કુલંબનો નિયમ ( \(\frac{1}{r^2}\) ને બદલે) \(\frac{1}{r^3}\) પર આધારિત હોત તો પણ શું ગોસનો નિયમ સાચો રહેત ?
(c) એક સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર સંરચનામાં એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભારને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તે વિધુતભાર, તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્ર રેખા પર ગતિ કરવા લાગશે ?
(d) ન્યુક્લિયસના ક્ષેત્ર વડે ઇલેક્ટ્રોનની પૂર્ણ વર્તુળાકાર કક્ષા દરમિયાન કેટલું કાર્ય થયું હશે ? જો કક્ષા લંબવૃત્તિય (Elliptical) હોય તો શું ?
(e) આપણે જાણીએ છીએ કે વિધુતભારિત સુવાહકની સપાટીની આરપાર (Across) વિધુતક્ષેત્ર અસતત હોય છે. શું ત્યાં વિધુત સ્થિતિમાન પણ અસતત હોય છે ?
(f) એકલ (એકાકી, single) સુવાહકના કેપેસિટન્સનો તમે શું અર્થ કરશો ?
(g) પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (= 80) માઈકા (= 6) કરતાં ઘણો મોટો હોવાના શક્ય કારણનું અનુમાન કરો.
ઉત્તર:
(a) ના, જ્યારે વિદ્યુતભારિત બે ગોળાઓને એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે ત્યારે વિદ્યુતપ્રેરણના લીધે ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો ન હોય તેથી તેઓ બિંદુવત્ વિદ્યુતભાર તરીકે ન વર્તે જે કુલંબના નિયમની આવશ્યક શરત પૈકીની એકછે.

(b) ના, જો કુલંબનો નિયમ \(\frac{1}{r^3}\) કે \(\frac{1}{r^2}\) પર આધાર રાખતો હોય તો ગોસનો નિયમ સાચો ન રહે.

(c) ના, હંમેશાં જરૂરી નથી. પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર એ બળરેખા પર ત્યારે જ ગતિ કરે કે જ્યારે બળરેખા સુરેખ હોય. બળ રેખાઓ એ પ્રવેગને દિશા આપે છે પણ તે વેગની દિશા આપતી નથી.

(d) શૂન્ય.
– જો ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા લંબવૃત્તિય હોય તો કક્ષા પરના જ એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ જવા કાર્ય થાય પણ પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન કાર્ય શૂન્ય થાય. આમ પૂર્ણ કક્ષાનો આકાર કોઈ પણ હોય તો ફેર પડતો નથી.

(e) ના, સ્થિતિમાન અદિશ રાશિ હોવાથી દરેક સ્થાને અચળ હોય છે અને સતત છે.

(f) એકલ સુવાહકના કૅપેસિટરની બીજી પ્લેટ અનંત અંતરે ધારવામાં આવે છે તેથી તે કેપેસિટરની રચના કરે છે તેથી કેપેસિટન્સ ધરાવે છે.

(g) કારણ કે, પાણીની મુક્ત સપાટી વક્ર હોય અને બે પ્રબળ ધ્રુવીય O – H બંધોની હાજરી હોય છે તેથી પાણીના અણુઓ 0.6 × 10^-29 Cm જેટલી ઊંચી કાયમી ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે તેથી પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક મોટો હોય છે.

પ્રશ્ન 32.
એક નળાકાર કેપેસિટરમાં બે સમ-અક્ષીય નળાકારોની લંબાઈ 15 cm અને ત્રિજ્યાઓ 1.5 cm અને 1.4 cm છે. બહારના નળાકારનું અર્થિંગ કરી દીધેલું છે અને અંદરના નળાકાર પર 3.5 μC વિધુતભાર આપેલો છે. આ તંત્રનું કેપેસિટન્સ શોધો અને અંદરના નળાકારનું સ્થિતિમાન શોધો. છેડા પરની અસરો (એટલે કે છેડા પર ક્ષેત્ર રેખાઓનું વળવું)ને અવગણો.
ઉત્તર:

• અહીં નળાકાર કૅપેસિટરની લંબાઈ L = 15 cm = 0.15 m
  q = 3.5 μC = 3.5 x 10^-6C
  અંદરની ત્રિજયા r₁ = 1.4 cm = 0.014 m
  બહારની ત્રિજ્યા r₂ = 1.5 cm = 0.015 m
• નળાકારીય કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,

પ્રશ્ન 33.
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 3 અને ડાયઈલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ લગભગ 10⁷ Vm^-1 ધરાવતા દ્રવ્યની મદદથી 1V રેટિંગ ધરાવતા એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની રચના કરવાની છે. [ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ એ દ્રવ્ય દ્વારા બ્રેક-ડાઉન પામ્યા વિના (આંશિક આયનીકરણ દ્વારા વિધુતનું વહન શરૂ થયા વિના) સહન કરી શકાતું મહત્તમ વિધુતક્ષેત્ર છે.] સલામતી માટે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થના 10 % કરતાં ક્ષેત્ર કદી વધે નહીં તે ઇચ્છનીય છે. 50 pF નું કેપેસિટન્સ મેળવવા માટે પ્લેટોનું લઘુતમ ક્ષેત્રફળ કેટલું હોવું જરૂરી છે ?
ઉત્તર:

• ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે મહત્તમ સ્વીકાર્ય વોલ્ટેજ = 1kV = 10³V
• મહત્તમ સ્વીકાર્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર = 10⁷ ના 10 %
  10⁷ × \(\frac{10}{100}\) 10⁶Vm^-1
• બે પ્લેટો વચ્ચેનું જરૂરી લઘુતમ અંતર,
  E = \(\frac{\mathrm{V}}{d}\) ⇒ d = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{E}}=\frac{10^3}{10^6}\) = 10^-3m
• સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,
  C = \(\frac{\mathrm{K} \varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
  ∴ A = \(\frac{\mathrm{Cd}}{\mathrm{K} \varepsilon_0}=\frac{50 \times 10^{-12} \times 10^{-3}}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}}\)
  A = 18.8 × 10^-4m²
  ∴ પ્લેટોનું લઘુતમ ક્ષેત્રફળ A ≈ 19 cm²

પ્રશ્ન 34.
નીચેના કિસ્સાઓ માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો રેખાકૃતિ દ્વારા દર્શાવો. છે
(a) z-દિશામાં અચળ વિધુતક્ષેત્ર.
(b) ક્ષેત્ર કે જેનું માન નિયમિત રીતે વધે છે, પરંતુ અચળ દિશામાં (દા.ત. z-દિશા) રહે છે.
(c) ઊગમબિંદુએ એકલ ધન વિધુતભાર.
(d) સમતલમાં સમાંતર અને સમાન અંતરે રહેલા લાંબા વિધુતભારિત તારથી બનેલ નિયમિત જાળી.
ઉત્તર:
– (a) z-દિશામાં અચળ વિદ્યુતક્ષેત્ર માટેની સમસ્થિતિમાન સમતલ એ xy-સમતલમાં સમાંતર છે જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

(b) અહીં પણ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એ xy-સમતલને સમાંતર z-દિશામાં હશે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર જેમ જેમ વધે તેમ તેમ આ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો નજીક આવશે.

(c) ઊગમબિંદુ પર એકલ ધન વિદ્યુતભાર મૂકેલો હોય તો તેના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એ સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ થશે. બે ક્રમિક પૃષ્ઠો વચ્ચેના અંતરો સમાન હોય અને કેન્દ્રથી અંતર વધતાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ રીતે ઘટે.

(d) સમતલમાં સમાંતર અને સમાન અંતરે રહેલા લાંબા વિદ્યુતભારની તારથી બનેલ નિયમિત જાળીના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો જાળીની નજીકમાં બદલાતાં હશે પણ અનંત અંતરે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો જાળીને સમાંતર સમતલ આકારના હશે.

* વાન-દ-ગ્રાફ પ્રકારના જનરેટરમાં ગોળાકાર ધાતુની કવચને 15 × 10⁶V નો વિધુત-અગ્ર (Electrode) બનાવવો છે. આ વિધુત-અગ્રની આસપાસના વાયુની ડાયઇલેક્ટ્રિક ફ્રેન્થ 5 × 10⁷ Vm^-1 છે. ગોળાકાર કવચની ત્રિજ્યા કેટલી લઘુતમ હોવી જોઈએ ? (આ સ્વાધ્યાય પરથી તમે જાણશો કે બહુ નાની કવચ પર ઊંચું સ્થિતિમાન મેળવવા માટે માત્ર નાનો વિધુતભાર જરૂરી હોય છે તેમ છતાં તેની મદદથી સ્થિતવિધુત જનરેટર રચી શકાય નહીં.)
ઉત્તર:

• મહત્તમ સ્વીકાર્ય સ્થિતિમાન,
  V = 1.5 × 10⁶V
  સલામતી માટે મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  E = 5 × 10⁷ ના 10 %
  = 5 × 10⁷ × \(\frac{10}{100}\)
  = 5 × 10⁶Vm^-1
• ગોળાકાર કવચ માટે સ્થિતિમાન,
  V = \(\frac{k q}{r}\)
  અને વિદ્યુતક્ષેત્ર E = \(\frac{k q}{r^2}\)
  ∴ \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{E}}\) = r
  ∴ જરૂરી લઘુતમ ત્રિજ્યા,
  r = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{E}}=\frac{1.5 \times 10^6}{5 \times 10^6}\)
  ∴ r = 3 × 10^-1 m = 30 cm

પ્રશ્ન 35.
r₁ ત્રિજ્યા અને વિધુતભાર q₁ ધરાવતો એક નાનો ગોળો r₂ ત્રિજ્યા અને q₂ વવિધુતભાર ધરાવતી એક ગોળાકાર કવચ વડે ઘેરાયેલ છે. દર્શાવો કે જો q₁ ધન હોય તો (જ્યારે તે બંનેને તાર વડે જોડેલા હોય), કવચ પર કોઈ પણ વિધુતભાર q₂ હોય તો પણ વિધુતભાર ગોળાથી કવચ પર વહન પામશે જ.
ઉત્તર:

• r₁ ત્રિજ્યા અને q₁ વધુ વિદ્યુતભારવાળા નાના ગોળાને r₂ ત્રિજ્યા અને q₂ વિદ્યુતભાર ધરાવતી એક ગોળાકાર કવચમાં તેમના કેન્દ્રો સંપાત થાય તેમ મૂકેલાં છે.
• 
• બહારની ગોળાકાર સપાટી પર કુલ સ્થિતિમાન = q₂ વિદ્યુતભારના લીધે સ્થિતિમાન + q₁ વિદ્યુતભારના લીધે સ્થિતિમાન
  ∴ V_r2 = \(\frac{k q_2}{r_2}+\frac{k q_1}{r_2}\)
  ∴ V_r2 = k[latex]\frac{q_2}{r_2}+\frac{q_1}{r_2}[/latex] ……………. (1)
• અંદરના ગોળા પરના q₁ વિદ્યુતભારના લીધે સ્થિતિમાન,
  V₁ = \(\frac{k q_1}{r_1}\) …………….. (2)
• r₂ ત્રિજ્યાના કવચની અંદરના દરેક બિંદુએ q₂ વિદ્યુતભારના લીધે સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય તેથી r₁ ત્રિજ્યાના ગોળા પરનું q₂ વિદ્યુતભારના લીધે સ્થિતિમાન,
  V₂ = \(\frac{k q_2}{r_2}\) …………… (3)
• r₁ ગોળા પર કુલ સ્થિતિમાન,
  V_r1k[latex]\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}[/latex] ………….. (4)
  પિરિણામ (2) અને (3) પરથી)
• અંદરના ગોળા અને બહારના કવચ પરના સ્થિતિમાનનો તફાવત,

• q₁ ધન વિદ્યુતભાર છે તેથી અંદરના ગોળા પરનું સ્થિતિમાન હંમેશાં ઊંચું હોય અને કવચની બહારનું સ્થિતિમાન નીચું હોય.
• જો બંનેને વાહક તારથી જોડવામાં આવે તો q₁ વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણ રીતે બહારની સપાટી પર q₂ વિદ્યુતભાર હોવા છતાં વહી જશે.
• આ હકીકત ગમે તે આકારના ગોળા માટે સાચી છે.

પ્રશ્ન 36.
નીચેનાના જવાબ આપો :
(a) પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ સાથે ઘટતા વિધુતક્ષેત્રને અનુરૂપ વાતાવરણની ટોચ પરનું સ્થિતિમાન જમીનની સાપેક્ષે 400 kઈ છે. પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ક્ષેત્ર 100Vm^-1 છે. તો પછી આપણા ઘરમાંથી બહાર ખુલ્લામાં પગ મૂકતાં આપણે વિધુત આંચકો કેમ અનુભવતા નથી ? (ઘરને એક સ્ટીલનું પાંજરું ધારો કે જેમાં અંદર કોઈ ક્ષેત્ર નથી !).
(b) એક માણસ એક દિવસ સાંજે તેના ઘરની બહાર એક બે મીટર ઊંચાઈનું અવાહક ચોસલું (Slab) ગોઠવે છે કે જેની ટોચ પર મોટું 1m² ક્ષેત્રફળનું એલ્યુમિનિયમનું પતરું રાખેલ છે. બીજે દિવસે સવારે જો તે ધાતુના પતરાને સ્પર્શ કરે તો તેને વિધુત આંચકો લાગશે ?
(c) હવાની નાની (ઓખી) વાહકતાને કારણે સમગ્ર પૃથ્વી પર વાતાવરણમાં સરેરાશ ડિસ્ચાર્જિગ પ્રવાહ 1800 A જણાયો છે. તો પછી વાતાવરણ પોતે સમય જતાં સંપૂર્ણ ડિસ્ચાર્જ (વિધુત વિભારિત) થઈને તટસ્થ કેમ બની જતું નથી ? બીજા શબ્દોમાં વાતાવરણ વિધુતભારિત શાને લીધે રહે છે ?
(d) વાતાવરણમાં વીજળી (Lightning) થવા દરમિયાન વિધુતઊર્જા, ઊર્જાના કયા સ્વરૂપોમાં વિખેરાય છે ? (સૂચન : પૃથ્વીની સપાટી આગળ વિધુતક્ષેત્ર લગભગ 100 Vm^-1 અધોદિશામાં છે. જે વિધુતભારની પૃષ્ઠઘનતા = 10^-9cm^-2 ને અનુરૂપ છે. 50 km સુધી વાતાવરણની સહેજ વાહકતા (તેનાથી આગળ ‘ઉપર તો તે સુવાહક છે)ને લીધે સમગ્ર પૃથ્વીની અંદર દર સેકન્ડે લગભગ + 1800 C વિધુતભાર દાખલ થાય છે. આમ, છતાં પૃથ્વી ડિસ્ચાર્જ થઈ જતી નથી કારણ કે સમગ્ર પૃથ્વી પર થતી ગાજવીજને લીધે સમાન જથ્થાનો ત્રણ વિધુતભાર પણ પૃથવીમાં દાખલ થાય છે.)
ઉત્તર:
(a) આપણું શરીર અને પૃથ્વી સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ રચે છે. જ્યારે આપણે ઘરમાંથી બહાર ખુલ્લામાં પગ મૂકીએ ત્યારે ખુલ્લી હવાના મૂળ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એવી રીતે બદલાય છે કે જેથી આપણું માથું અને પગ (એટલે પૃથ્વી) એક જ સ્થિતિમાને રહે તેથી આપણા શરીરમાંથી વિદ્યુત પસાર થાય નહિ અને આપણને વિદ્યુત આંચકો લાગતો નથી.

(b) “હા, જો માણસ બીજા દિવસે સવારે ધાતુના પતરાને સ્પર્શ કરશે તો તેને વિદ્યુત આંચકો લાગશે. કારણ કે, સતત ડિસ્ચાર્જ થતો વાતાવરણનો પ્રવાહ ઍલ્યુમિનિયમ પતરાને વિદ્યુતભારિત કરશે. આથી, વોલ્ટેજ ધીમે-ધીમે વધશે. આ વોલ્ટેજનો વધારો ઍલ્યુમિનિયમ પતરા અને જમીન વચ્ચે બનતા કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ પર આધાર રાખશે.

(C) વીજળીના કારણે વાતાવરણ સતત વિદ્યુતભારિત થતું જાય છે. આથી 1800 A પ્રવાહનું ડિસ્ચાર્જિગ થવા છતાં, વાતાવરણ સંપૂર્ણપણે ડિસ્ચાર્જ થતું નથી. બે વિરુદ્ધ પ્રવાહો સમતોલનમાં રહેતા નથી આથી, વાતાવરણ તટસ્થ થતું નથી પણ વિદ્યુતભારિત રહેછે.

(d) વીજળી થતી હોય તે દરમિયાન વિદ્યુતઊર્જાનું પ્રકાશ ઊર્જાઉષ્મા ઊર્જા અને ધ્વનિ ઊર્જામાં રૂપાંતરણ થાય છે.

GSEB Class 12 Physics સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
એક 4µF નું કેપેસિટર પરિપથમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડેલ છે (આકૃતિ મુજબ). બેટરીનો આંતરિક અવરોધ 0.5Ω છે, તો કેપેસિટરની પ્લેટો પર વિધુતભારનું મૂલ્ય …………………… હશે.

(A) 0
(B) 4 µC
(C) 16 µC
(D) 8 µC
જવાબ
(D) 8 µC

• D.C. બૅટરી હોવાથી કૅપેસિટરમાંથી પ્રવાહ વહેશે નહીં તેથી 2Ω ના વિરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ,
  I = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}+r}\)
  = \(\frac{2.5}{2+0.5}=\frac{2.5}{2.5}\) = 1A
• 2Ω ના અવરોધની આસપાસનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત,
  V = IR = 1 × 2 = 2V
• કૅપેસિટર એ 2Ω અવરોધને સમાંતર છે અને 10 Ω ના અવરોધની આસપાસ વોલ્ટેજ ડોપ શૂન્ય છે તેથી કેપેસિટરની આસપાસનો p.d. પણ 2V મળે.
• કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર,
  q = CV = 4 × 10^-6 × 2 = 8 × 10^-6C
  ∴ q = 8 µC

પ્રશ્ન 2.
સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં એક ધન વિધુતભારિત કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, તો વિધુતભારની વિધુત સ્થિતિઊર્જા …………………..
(A) અચળ રહેશે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે.
(B) વધશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
(C) ઘટશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
(D) ઘટશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં ગતિ કરે છે.
જવાબ
(C) ઘટશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ધન વિદ્યુતભાર ગતિ કરે ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ઘટવાથી F = Eq અનુસાર બળ ઘટે તેથી વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા ઘટે.

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે અવકાશમાં વિતરીત કેટલીક સમસ્થિતિમાન રેખાઓ દર્શાવી છે. એક વિધુતભારિત પદાર્થ બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી ગતિ કરે છે.

(A) આકૃતિ (i) માં કરેલું કાર્ય મહત્તમ હશે.
(B) આકૃતિ (ii) માં કરેલું કાર્ય ન્યૂનતમ હશે.
(C) આકૃતિ (i), (ii) અને (iii) માં કરેલું કાર્ય સમાન હશે.
(D) આકૃતિ (iii) માં કરેલું કાર્ય આકૃતિ (ii) થી વધુ હશે પરંતુ તે આકૃતિ (i) જેટલું હશે.
જવાબ
(C) આકૃતિ (i), (ii) અને (iii) માં કરેલું કાર્ય સમાન હશે.

• વિદ્યુતબળના લીધે વિદ્યુતભાર ગતિ કરે ત્યારે થતું કાર્ય,
  W₁₂ = q(V₂ – V₁)
• અહીં ત્રણેય આકૃતિમાં V₁ = 20 V, V₂ = 40 V છે તેથી
  ΔV = V₂ – V₁
  ∴ ΔV = 40 – 20 = 20 V સમાન છે અને વિદ્યુતભાર q પણ સમાન છે. તેથી W₁₂ = qΔV સમાન રહે.

પ્રશ્ન 4.
એક વિધુતભારિત વાહક ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિર વિધુત સ્થિતિમાન 100V છે. એના સંદર્ભમાં બે વિધાનો આપેલ છે ?
S₁ : ગોળાની અંદરના કોઈ પણ બિંદુ પાસે, વિધુતતીવ્રતા શૂન્ય છે.
S₂ : ગોળાની અંદરના કોઈ પણ બિંદુ પાસે, સ્થિત-વિધુત સ્થિતિમાન 100ઈ છે.
નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે :
(A) S₁ સત્ય છે, પરંતુ S₂ અસત્ય છે.
(B) S₁ અને S₂ બંને અસત્ય છે.
(C) S₁ સત્ય છે. S₂ પણ સત્ય છે તથા વિધાન ઇ, એ S₁ વિધાન S₂ નું કારણ છે.
(D) S₁ સત્ય છે. S₂ પણ સત્ય છે, પરંતુ બંને વિધાનો સ્વતંત્ર છે.
જવાબ
(C) S₁ સત્ય છે. S₂ પણ સત્ય છે તથા વિધાન S₁ એ વિધાન S₂ નું કારણ છે.

• વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ,
  E = –\(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\)
• વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા E = 0 હોય તો \(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\) = 0
• ∴ V = અચળ
• આમ, વિદ્યુતભારિત ગોળાની અંદર E = 0 હોય તો ગોળાની અંદરના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન V = 100 V જેટલું અચળ હોય.

પ્રશ્ન 5.
જેનો કુલ સરવાળો શૂન્ય નથી તેવા વિધુતભારોના સમૂહથી મોટા અંતરે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો લગભગ …………………………….. હશે.
(A) ગોળાકાર
(B) સમતલ
(C) પરવલય
(D) દીર્ઘવૃત્તીય
જવાબ
(A) ગોળાકાર

• એકઠાં થયેલા વિદ્યુતભારોને બિંદુવતુ વિદ્યુતભાર તરીકે લઈ શકાય. કારણ કે, તેમના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય નથી.
• બિંદુવતુ વિદ્યુતભારનું સ્થિતિમાન V(r) = \(\frac{k q}{r}\) છે તેથી વિધુતભારથી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓએ સ્થિતિમાન સમાન હોય, જેને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કહેવાય અને તે ત્રિ-પરિમાણમાં ગોળાકાર હોય છે.

પ્રશ્ન 6.
બે ડાયઇલેક્ટ્રિક ચોસલાઓને ક્રમમાં જોડી એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બનાવવામાં આવ્યું છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક ચોસલાની જાડાઈ d₁ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક K₁ અને બીજા ચોસલાની જાડાઈ d₂ તથા ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક K₂ છે. આ ગોઠવણીને જેનો અસરકારક ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક K અને જાડાઈ d (= d₁ + d₂) હોય તેવા ડાયઇલેક્ટ્રિક ચોસલા તરીકે વિચારી શકાય, તો K નું મૂલ્ય ………………………. .

જવાબ
(C) \(\frac{\mathbf{K}_1 \mathbf{K}_2\left(d_1+d_2\right)}{\left(\mathbf{K}_1 d_2+\mathbf{K}_2 d_{1)}\right.}\)

• K₁ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને d₁ જાડાઈના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ,
  C₁ = \(\frac{\mathrm{K}_1 \varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d_1}\)
• અને K₂ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને d₂ જાડાઈના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,
  C₂ = \(\frac{\mathrm{K}_2 \varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d_2}\)
• કૅપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણનું અસરકારક કેપેસિટન્સ,

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
z-દિશામાં સમાન વિધુતક્ષેત્ર વિચારો. વિધુત સ્થિતિમાન ………………………….. અચળ છે.
(A) સમગ્ર અવકાશમાં
(B) આપેલ z માટે ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે
(C) આપેલ z માટે y ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે
(D) આપેલ z માટે કોઈ પણ x-y સમતલ પર
જવાબ
(B, C, D)

• વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે અને અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર z-દિશામાં છે. જે દિશામાં પોટેન્શિયલ ઘટતું હોય તે દિશામાં જ વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે.
• કોઈ પણ બિંદુ પાસેના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબરૂપે એકમ સ્થાનાંતર દીઠ સ્થિતિમાનના ફેરફાર વડે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય મળે છે.
• તેથી z-દિશામાંનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સૂચવે છે કે, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો z-અક્ષની દિશામાં x-y સમતલમાં છે. તેથી આપેલા z માટે x ના ગમે તે મૂલ્ય માટે અને y ના ગમે તે મૂલ્ય માટે તથા x-y સમતલમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ ……………………….. .
(A) નિર્બળ વિદ્યુતક્ષેત્રોના વિસ્તારની સરખામણીમાં પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્રોના વિસ્તારમાં વધુ નજીક-નજીક (ગીચ) હોય છે.
(B) વાહકની તીક્ષ્ણ ધાર નજીક વધુ ગીચ હશે.
(C) મોટી વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા વિસ્તાર નજીક વધુ ગીચ હશે.
(D) હંમેશાં સમાન અંતરે હશે.
જવાબ
(A, B, C)

• સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય એટલે તેમના સ્થિતિમાનો સમાન હોય.
• વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંઘ,
  E = – \(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\)
  ∴ E ∝ \(\frac{1}{d r}\)
  એટલે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા E એ બે સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો નજીક હોય છે.
• અને વાહકના તીર્ણ (અણીવાળા) ભાગ આગળ વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા σ = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\) છે અને A નાનો હોવાથી σ વધુ મળે તથા E = \(\frac{k q}{r^2}\) તેથી પદાર્થનું પરિમાણ વધતાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટે અને ઊલ્ટે પણ સાચું છે.
• તેથી વાહકના અણીવાળા ભાગ આગળ (પરિમાણ ઓછું હોવાથી) સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર બંને વધે તેથી સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વધારે ગીચ હોય.

પ્રશ્ન 3.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર કોઈ વિધુતભારને A થી B સુધી ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય ……………………… .
(A) \(-\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} d l\) સ્વરૂપે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય નહિ.
(B) \(-\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} d l\) સ્વરૂપે જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
(C) શૂન્ય છે.
(D) શૂન્ય સિવાયનું મૂલ્ય હોઈ શકે.
જવાબ
(B, C).
કાર્ય, W = q(V₂ – V₁) ……………… (1)
વ્યાખ્યા પરથી,
અને V₂ – V₁ = \(-\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} d l\) …………… (2)
∴ W = \(-q \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{F} d l\) [∵ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી) ]
∴ વિકલ્પ (B) સાચો.
પણ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર,
V₂ – V₁ = 0
∴ W = 0.
∴ વિકલ્પ (C) સાચો.

પ્રશ્ન 4.
અચળ સ્થિતિમાનના વિસ્તારમાં …………………… .
(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોય છે.
(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
(C) આ વિસ્તારની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી હોતો.
(D) જો વિદ્યુતભાર આ વિસ્તારની બહાર મૂકવામાં આવ્યો હોય, તો વિદ્યુતક્ષેત્ર નિશ્ચિતપણે બદલાશે.
જવાબ
(B, C)

• E અને V વચ્ચેનો સંબંધ,
  E = –\(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\)
  E = 0 હોય તો V અચળ
• અહીં, \(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}[latex] = 0 તેથી E = 0 તેથી E = [latex]\frac{k q}{r^2}\) અનુસાર q શૂન્ય
  ∴ સાચા વિકલ્પો (B) અને (C).

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દશવિલ પરિપથમાં, પ્રારંભમાં કળ K₁ બંધ અને K₂ ખુલ્લી છે. ત્યાર બાદ K₁ ખુલ્લી કરવામાં આવે છે અને K₂ બંધ કરવામાં આવે છે. (ક્રમ અગત્યનો છે.) [C₁ અને C₂ પર અનુક્રમે વિધુતભારો Q’₁ અને Q’₂ તથા વોલ્ટેજ છે, અને V₁ લો. V₂ ત્યારે,

(A) C₁ ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી V₁ = V₂ થાય.
(B) C₁ ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી Q’₁ = Q’₂ થાય.
(C) C₁ ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી C₁V₁ + C₂V₂ = C₁E થાય.
(D) C₁ ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી Q’₁ + Q’₂ = Q થાય.
જવાબ (A, D)

• જયારે K₁ બંધ અને K₂ ખુલ્લી હોય ત્યારે C₁ કેપેસિટર બૅટરી વડે ચાર્જ થાય અને જ્યારે K₁ ખુલ્લી અને K₂ બંધ હોય ત્યારે C₁ પરનો વિદ્યુતભાર C₁ અને C₂ વચ્ચે જયાં સુધી બંનેના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વહેંચાય માટે V₁ = V₂
• ધારો કે, C₁ પરનો વિદ્યુતભાર Q છે જે બૅટરી વડે ચાર્જિંગ થયેલો છે. હવે જ્યારે K₁ ખુલ્લી અને K₂ બંધ હોય ત્યારે C₁ પરનો વિદ્યુતભાર એવી રીતે વહેંચાય કે જેથી વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય. એટલે કે, C₁ પર Q’₁ અને C₂ પર Q’₂ વિદ્યુતભાર હોય તો વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પરથી, Q = Q’₁ + Q’₂

પ્રશ્ન 6.
જો કોઈ વાહકનું સ્થિતિમાન V ≠ 0 અને તેની બહારના વિસ્તારમાં ક્યાંય કોઈ વિધુતભાર નથી, ત્યારે …………………….. .
(A) વાહકની સપાટી અથવા તેની અંદર વિદ્યુતભાર હોવા જોઈએ.
(B) વાહકમાં ક્યાંય પણ કોઈ વિદ્યુતભાર હોઈ શકે નહિ.
(C) ફક્ત વાહકની સપાટી ઉપર જ વિદ્યુતભાર હોવા જોઈએ.
(D) વાહકની સપાટીની અંદર વિદ્યુતભાર અવશ્ય હોવા જોઈએ.
જવાબ (A, B)

• જો વાહકનું સ્થિતિમાન V ≠ 0 અને તેની બહારના વિસ્તારમાં ક્યાંય કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય ત્યારે વાહકની સપાટી અથવા તેની અંદર વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો.
• તેમ છતાં વાહકમાં ક્યાંય પણ કોઈ વિદ્યુતભાર હોઈ શકે નહીં. તેથી વિકલ્પ (B) સાચો છે.

પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને એક બેટરી સાથે જોડેલ છે. બે પરિસ્થિતિઓનો વિચાર કરો.

A : કળ K બંધ છે અને અવાહક હેન્ડલ વડે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારવામાં આવે છે.
B : કળ K ખુલ્લી છે અને અવાહક હેન્ડલ વડે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારવામાં આવે છે.
યોગ્ય વિકલ્પ/વિકલ્પો પસંદ કરો :
(A) A માં : Q સમાન રહે પરંતુ C બદલાય છે.
(B) B માં : V સમાન રહે પરંતુ C બદલાય છે.
(C) A માં : V સમાન રહે અને તેથી Q બદલાય છે.
(D) B માં : Q સમાન રહે અને તેથી V બદલાય છે.
જવાબ (C, D)

• સ્થિતિ (A) અનુસાર વીજકળ K બંધ હોય ત્યારે કૅપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારતાં C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) અનુસાર કેપેસિટન્સ C ઘટે છે અને બેટરી જોડેલી હોવાથી V અચળ રહે છે તેથી C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) અનુસાર Q ઘટે છે તેથી વિકલ્પ (C) સાચો છે.
• સ્થિતિ (B) અનુસાર વીજકળ K ખુલ્લી કરતાં બૅટરીથી કેપેસિટર અલગ થઈ જાય તેથી Q અચળ રહે અને બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારતાં C = \(\frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) અનુસાર C ઘટે પણ C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) યાં Q ઘટે તેથી V વધે તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
R₁ અને R₂ ત્રિજ્યાઓ (R₁, R₂) ધરાવતા બે સુવાહક ગોળાઓ ધ્યાનમાં લો. જો બંને સમાન સ્થિતિમાને હોય, તો નાના ગોળા કરતાં મોટા ગોળા ઉપર વધારે વિધુતભાર હશે. નાના ગોળાની વિધુતભાર ઘનતા મોટા ગોળાની વિધુતભાર ઘનતા કરતાં વધારે હશે કે ઓછી તે જણાવો.
ઉત્તર:

• બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાને છે.
  ∴ V₁ = V₂
  ∴ \(\frac{k q_1}{\mathrm{R}_1}=\frac{k q_2}{\mathrm{R}_2}\)
  ∴ \(\frac{q_1 \mathrm{R}_1}{4 \pi \mathrm{R}_1^2}=\frac{q_2 \mathrm{R}_2}{4 \pi \mathrm{R}_2^2}\) (∵ બંને બાજુ 4π વડે ભાગતાં)
  σ₁R₁ = σ₂R₂ [∵ σ = \(\frac{q}{4 \pi R^2}\)]
  હવે R₁ > R₂ હોવાથી,
  σ₁ < σ₂
• બીજી રીત :
  મોટા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર, નાના ગોળા પરના વિદ્યુતભાર કરતાં વધારે છે.

∴ σ₁ < σ₂
નાના ગોળા પર વિદ્યુતભારની ઘનતા મોટા ગોળા પરની વિદ્યુતભારની ઘનતા કરતાં વધારે હોય.

પ્રશ્ન 2.
શું અવકાશમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા સ્થિતિમાનવાળાથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તાર તરફ મુસાફરી (ગતિ) કરે ?
ઉત્તર:
ના, મુક્ત ઈલેક્ટ્રૉન પર ઋણ વિધુતભાર હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લાગે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશાં ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે. તેથી, મુક્ત ઈલેક્ટ્રૉન નીચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી ઊંચા સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 3.
શું કોઈ સમાન વિધુતભાર ધરાવતી બે નિકટવર્તી (નજીક રાખેલ) પ્લેટો વચ્ચે વિધુત સ્થિતિમાનનો તફાવત હોઈ શકે ?
ઉત્તર:

• હા, જો વાહકોના પરિમાણ જુદા-જુદા હોય, તો
• વાહકની ક્ષમતા C = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) જ્યાં, Q એ વાહકનો વિદ્યુતભાર અને V એ વાહકોનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન હોય.
• આપેલા વિદ્યુતભાર માટે સ્થિતિમાન V ∝ \(\frac{1}{C}\) જુદા-જુદા આડછેદના ક્ષેત્રફળ અને સમાન વિદ્યુતભારનું વહન કરતાં બે નજીક રાખેલા વાહકોનું સ્થિતિમાન અલગ હોય તેથી, સ્થિતિમાનનો તફાવત હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 4.
શું મુક્ત અવકાશમાં સ્થિતિમાન વિધેય મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોઈ શકે ?
ઉત્તર:
ના, કારણ કે આ ઘટનામાં E = –\(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\)
∴ O = –\(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\) તેથી.

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર એક પરીક્ષણ વિધુતભાર q એ કોઈ બિંદુ વિધુતભાર Q ના વિધુતક્ષેત્રમાં બે જુદા-જુદા બંધ માર્ગો પર ગતિ કરે છે. પ્રથમ માર્ગનો આડછેદ (વિભાગ) એ વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં એને લંબરૂપે છે. બીજો જે લંબચોરસ બંધ માર્ગ છે; તેનું ક્ષેત્રફળ પ્રથમ લૂપ જેટલું જ
છે. આ બંને કિસ્સાઓમાં કરેલાં કાર્યની સરખામણી કરો.

ઉત્તર:
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી બંધ માર્ગ પર ગતિ કરતાં હંમેશાં કાર્ય શૂન્ય થાય અને કરવું પડતું કાર્ય માત્ર વિદ્યુતભારિત પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર જ આધાર રાખે છે. તેથી, બંને કિસ્સામાં કરવું પડતું કાર્ય શૂન્ય થાય છે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે જેની અંદર કોઈ વિધુતભાર નથી તેવું કોઈ બંધ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ, આપમેળે બંધ સમસ્થિતિમાન કદ ઘેરે છે.
ઉત્તર:

• ધારો કે, કોઈ બંધ પૃષ્ઠ જેની પાસે કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તેનું સ્થિતિમાન એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ જતાં બદલાય છે. ધારો કે જે સ્થિતિમાન પૃષ્ઠની અંદર છે તે પૃષ્ઠના કારણે (\(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\)) રચાતા સ્થિતિમાન પ્રચલન કરતાં અલગ છે.
• આમ, વિદ્યુતક્ષેત્ર E # 0 હોઈ શકે કે જેથી E = –\(\frac{d \mathrm{~V}}{d r}\) થાય.
• આથી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ પૃષ્ઠની અંદર કે બહારની દિશામાં જતી હોય. પરંતુ આ રેખાઓ પૃષ્ઠ પર ન હોવી જોઈએ કારણ કે પૃષ્ઠ સમસ્થિતિમાન છે.
• આવું તો જ શક્ય બને જો પૃષ્ઠની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોય જે શરૂઆતની ધારણાના વિરુદ્ધ છે.
• આમ, આખું અંદરનું કદ સમસ્થિતિમાન જ હોય.

પ્રશ્ન 2.
કૅપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક છે અને આ કેપેસિટરને ઉદ્ગમ સાથે જોડેલ છે. હવે બેટરીને અલગ કરો અને પછી ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કરો. એ જણાવો કે આમ કરવાથી કેપેસિટન્સ, કેપેસિટરમાં સંગ્રહીત વિધુતભાર અને વિધુત સ્થિતિમાન વધશે, ઘટશે કે અચળ રહેશે ?
ઉત્તર:

• ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક Kવાળા કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,
  C = \(\frac{\mathrm{K} \varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\)
  જ્યાં K ધન છે અને તેનું મૂલ્ય 1 કરતાં વધારે છે. તેથી A અનેd અચળ રાખીને કૅપેસિટરમાંથી ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક દૂર કરતાં કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ C ઘટે. જ્યારે બૅટરી અને ડાયઇલેક્ટ્રિકને દૂર કરીએ ત્યારે સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર અચળ રહે.
• C = \(\frac{q \mathrm{Q}}{\mathrm{V}}\) અનુસાર q અચળ અને C ઘટે છે તેથી V વધવું જોઈએ.
  ∴ V વધે.

પ્રશ્ન 3.
સાબિત કરો કે, જો કોઈ અવાહક, વિદ્યુતભારિત વાહકને કોઈ વિધુતભારિત વાહકની નજીક મૂક્યો છે તથા અન્ય કોઈ વાહકો ત્યાં હાજર નથી તો વિધુતભારવિહીન પદાર્થનું સ્થિતિમાન એ વિધુતભારિત પદાર્થના સ્થિતિમાન અને અનંત સ્થિતિમાનની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
ઉત્તર:

• મુખ્ય અર્થ એ થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર E = –\(\frac{d \mathrm{~V}}{d t}\) નો અર્થ એવો થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
• જો વિદ્યુતભારિત વાહકથી વિદ્યુતભારરહિત વાહક તરફ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાંનો કોઈ માર્ગ પસંદ કરીએ, તો આ માર્ગ ૫૨ વિદ્યુતભારિત વાહકથી અનંત અંતરે જતાં સ્થિતિમાન ઘટે.
• હવે જો વિદ્યુતભારરહિત પદાર્થથી અનંત સુધીનો બીજો માર્ગ એવો પસંદ કરીએ કે, તો તેમાં ફરીથી સ્થિતિમાન વધારે સતત ઘટતું જશે તેથી વિદ્યુતભારવિહીન પદાર્થનું સ્થિતિમાન એ વિદ્યુતભારિત પદાર્થનું સ્થિતિમાન અને અનંત સ્થિતિમાનની વચ્ચે હોવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 4.
R ત્રિજ્યાની રિંગ ઉપર સમાન રીતે વિધુતભાર +Q વિતરીત થયેલ છે તેની અક્ષ પર રહેલા કોઈ બિંદુ વિધુતભાર -q ની સ્થિતિઊર્જા ગણો. સ્થિતિઊર્જાને રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષીય અંતર Z ના વિધેય તરીકે લઈ તેનો આલેખ દોરો. (આલેખ જુઓ) શુ તમે એ જોઈ શકો છો કે, જો -q ને રિંગના કેન્દ્રથી સહેજ વિસ્થાપિત (અક્ષ ઉપર) કરવામાં આવે તો શું થશે ?
ઉત્તર:

• R = a ત્રિજયાની રિંગ પર Q વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરીત થયેલો છે.
• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષ પર z અંતરે એક બિંદુ લો. રિંગ પરના dq વિદ્યુતભારથી P નું અંતર r હોય તો,

r = \(\sqrt{z^2+a^2}\)
જ્યાં a = R
∴ P બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન,

• જો P પાસે -q વિદ્યુતભાર હોય તો સ્થિતિઊર્જા,
  U = W
  = q × V

∴ U = -S

• તેથી U → z નો આલેખ દર્શાવ્યા મુજબ મળે.

• જો -q વિદ્યુતભારને ખસેડવામાં આવે તો, તે દોલનો કરશે, પણ આલેખ પરથી દોલનોના પ્રકાર માટે કોઈ નિર્ણય લઈ શકીએ નહિ.

પ્રશ્ન 5.
R ત્રિજ્યાની રિંગ ઉપર વિધુતભાર Qના નિયમિત વિતરણને લીધે રિંગની અક્ષ ઉપરના સ્થિતિમાનની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:
ધારો કે, R = a ત્રિજ્યાની રિંગ પર +Q વિદ્યુતભાર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો છે.

– રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષ પર x અંતરે P બિંદુ લો અને રિંગ પરના dq વિદ્યુતભારથી Pનું અંતર r હોય તો,
r = \(\sqrt{x^2+a^2}\)
અને P પાસે dq ના લીધે સ્થિતિમાન V = \(\frac{k d q}{r}\)
સમગ્ર રિંગ પરના વિદ્યુતભારથી P પાસે સ્થિતિમાન,

દીર્ધ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
λ જેટલી રેખીય વિધુતભાર ઘનતા ધરાવતા r₀ ત્રિજ્યાના અનંત લંબાઈના નળાકાર માટે સમસ્થિતિમાનનું સમીકરણ તારવો.
ઉત્તર:
r ત્રિજ્યા અને l લંબાઈનું ગૉસિયન પૃષ્ઠ વિચારો.

ગોસના પ્રમેય પરથી,

પ્રશ્ન 2.
+q અને -q મૂલ્યો ધરાવતાં બે બિંદુ વિધુતભારો અનુક્રમે (-\frac{d}{2}\(\), 0, 0) અને (\(\frac{d}{2}\) 0, 0) સ્થાનો પર મૂકેલ છે, જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય તેવા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં બતાવ્યા અનુસાર ઉદ્ગમથી x અંતરે જરૂરી સમતલ આવેલું છે.

P બિંદુ પાસે સ્થિતિમાન,

અથવા 0 = 2xd
∴ x = 0
જે જરૂરી સમસ્થિતિમાનનું સમીકરણ છે. આ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ x = 0 પર છે એટલે કે y-z સમતલમાં છે.

પ્રશ્ન 3.
એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર એવા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલું છે કે જેની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ (U) સાથે બદલાય છે. જ્યાં ε = αU અને α = 2V^-1 તેના જેવું બીજું એક ડાયઇલેક્ટ્રિક સિવાયના કેપેસિટરને U₀ = 78 V સુધી ચાર્જ કરેલું છે. તેને ડાયઈલેક્ટ્રિક ધરાવતાં કેપેસિટર સાથે જોડેલું છે, તો કેપેસિટર ઉપરના અંતિમ વોલ્ટેજ શોધો.
ઉત્તર:

• ધારો કે, ડાયઇલેક્ટ્રિક વગરના કૅપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ C છે તેથી કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર Q₁ = CU …………… (1)
  જ્યાં U એ કૅપેસિટર પરના અંતિમ વોલ્ટેજ છે.
• જો કેપેસિટરમાં સાપેક્ષ પરમિટિવિટી ε વાળું ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરવામાં આવે તો તેનું કૅપેસિટન્સ εC થાય છે તેથી કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર,
  Q₂ = εCU = αU × CU = αCU² ………….. (2)
  [∵ ε = αU]
• પ્રારંભમાં કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર, Q₀ = CU₀ ……….. (3)
  વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
  Q₀ = Q₁ + Q₂
  CU₀ = CU + αCU²
  ∴ αU² + U – U₀ = 0
  હવે α = 2V^-1 અને U₀ = 78V મૂકતાં,
  ∴ 2U² + U – 78 = 0.
  જે U નું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
  ∴ 2U² + 13U – 120 – 78 = 0
  ∴ U(2U + 13) – 6(2U + 13) = 0
  ∴ (2U + 13) (U – 6) = 0
  ∴ 20 + 13 = 0 અથવા U – 6 = 0
  ∴ U = –\(\frac{13}{2}\) અથવા U = 6
  ∴ U = –\(\frac{13}{2}\) અશક્ય ∴ U = 6V

પ્રશ્ન 4.
દરેકની ત્રિજ્યા R છે, તેવી બે વર્તુળાકાર પ્લેટોના બનેલા એક કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર d << B છે. આ કેપેસિટરને અચળ વોલ્ટેજ સ્રોત સાથે જોડેલું છે. એક પાતળી વાહક તકતી કે જેની ત્રિજ્યા r << R અને જાડાઈ t<< r છે. તેને અંદરની પ્લેટના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવી છે. જો તકતીનું દળ ળ હોય, તો તેને ઉપર ઉઠાવવા (lift) માટે જરૂરી લઘુતમ વોલ્ટેજ શોધો.
ઉત્તર:

• ધારો કે, શરૂઆતમાં તળિયે રહેલી પ્લેટને સ્પર્શે છે તેથી આખી | પ્લેટ સમસ્થિતિમાન સપાટી છે. પ્લેટ પર લગાડેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય E હોય તો કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર,
  E = \(\frac{\mathrm{V}}{d}\)
• ધારો કે, આ પ્રક્રિયા દરમિયાન q’ જેટલો વિદ્યુતભાર પ્લેટ પર ટ્રાન્સફર થાય છે. તેથી ગોસના નિયમ પરથી,
  \(\oint \mathrm{E} d s=\frac{q^{\prime}}{\varepsilon_0}\)
  ∴ q’ = ε₀\(\frac{\mathrm{V}}{d}\) πr² = [∵ E = \(\frac{\mathrm{V}}{d}\), ds = πr²]
• પ્લેટ પર લાગતું અપાકર્ષાબળ ઉપરની દિશામાં છે, તેથી
  F = q’E
  ε₀.\(\frac{\mathrm{V}}{d}\).πr².\(\frac{\mathrm{V}}{d}\) [∵ E = \(\frac{\mathrm{V}}{d}\)]
• પ્લેટ પર લાગતું અપાકર્ષણ એ તેના વજન (mg) ને સમતોલે,
  ∴ \(\frac{\mathrm{V}^2}{d^2}\) πr²ε₀ = mg
• જો પ્લેટ ઊંચકાય તો લઘુતમ વોલ્ટેજ,
  V = \(\sqrt{\frac{m g d^2}{\pi \varepsilon_0 r^2}}\)
  જે માગેલું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 5.
(a) મૂળભૂત કણોના ક્વાર્ક્સ મોડલમાં, ન્યૂટ્રોન એક અપ કવાડ [વિધુતભાર (\(\frac {2}{3}\)e)] અને બે ડાઉન ક્વાકર્સ [વિધુતભાર](-\(\frac {1}{3}\))e] મળીને બનેલો છે. ધારો કે તે 10¹⁵ મી લંબાઈની બાજુઓવાળી ત્રિકોણાકાર રચના ધરાવે છે. ન્યૂટ્રોનની સ્થિતવિધુત સ્થિતિઊર્જા ગણો અને તેની સરખામણી તેના દ્રવ્યમાન 939 MeV સાથે કરો.
(b) બે અપ અને એક ડાઉન ક્વાર્કના બનેલા પ્રોટોન માટે ઉપરના પ્રનું પુનરાવર્તન કરો.
ઉત્તર:
(a) વિદ્યુતસ્થિતિઊર્જા U = kq_uq_d
ત્રણ વિદ્યુતભારોનું તંત્ર નીચે મુજબ છે.

∴ U = -4.8 × 10⁵ eV
= -0.48 × 10⁶ eV = – 0.48 Mev
– ન્યુટ્રૉનની સ્થિતિ ઊર્જા અને તેનાં દળનો ગુણોત્તર,
\(\frac{|\mathrm{U}|}{m_0 c^2}=\frac{0.48 \times 10^6}{939 \times 10^6}\) [આિપેલ m₀c² = 939 MeV]
= 0.00051112
∴ U = 5.11 × 10^-14 (m₀c²)

(b) પ્રોટોન માટે બે અપક્વાર્કસ અને એક ડાઉન ક્વાર્કસ,

∴ પ્રોટોનની સ્થિતિઊર્જા અને તેના દળનો ગુણોત્તર શૂન્ય.

પ્રશ્ન 6.
એકની ત્રિજ્યા R અને બીજાની ત્રિજ્યા 2R હોય તેવા બે ધાતુના ગોળાઓ, બંને સમાન પૃષ્ઠ વિધુતભાર ઘનતા σ (નીશાની) ધરાવે છે. બંનેને એકબીજાના સંપર્કમાં લાવી અલગ કરવામાં આવે, તો આ બંનેની સપાટી ઉપર નવી પૃષ્ઠ વિધુતભાર ઘનતા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• ધારો કે, શરૂઆતમાં બંને ધાતુના ગોળા પર Q₁ અને Q₂ વિદ્યુતભારો છે તેથી,
  Q₁ = σ × 4πR² અને Q₂ = σ × 4π(2R)²
  = σ × 16πR²
  = 4Q₁
• બંને ગોળાને સંપર્કમાં લાવી અલગ કરતાં તેમના પર અનુક્રમે Q’₁ અને Q’₂ વિદ્યુતભાર આવે છે.
• વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
  = Q’₁ + Q’₂ = Q₁ + Q₂
  = Q₁ + 4Q₁
  = 5Q₁
  = 5(σ × 4πR²).
• જ્યારે બંને ગોળાઓ સંપર્કમાં હોય ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન હોય.
  ∴ V₁ = V₂
  \(\frac{k \mathrm{Q}_1^{\prime}}{\mathrm{R}}=\frac{k \mathrm{Q}_2^{\prime}}{\mathrm{R}}\)
• Q’₁ અને Q’₂ ની કિંમતો ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતાં,
  Q’₁ = \(\frac {5}{3}\) (σ × 4πR²)
  અને Q₂ = \(\frac {10}{3}\) (σ × 4πR²)
  ∴ σ₁ = \(\frac {5}{3}\)σ અને σ₂ = \(\frac {5}{6}\)σ

પ્રશ્ન 7.
નીચે આપેલ આકૃતિમાં દશવિલ પરિપથમાં, શરૂઆતમાં કળ K₁ બંધ અને કળ K₂ ખુલ્લી છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર કેટલો હશે ? ત્યાર બાદ K₁ ખુલ્લી અને K₂ બંધ કરી, તો હવે દરેક કેપેસિટર ઉપરનો વિધુતભાર કેટલો હશે ?
C = 1 μF છે.

ઉત્તર:

• K₁ બંધ અને K₂ ખુલ્લી હોય ત્યારે C₁ અને C₂ ચાર્જ થાય તેમની વચ્ચેના સ્થિતિમાન અનુક્રમે V₁ અને V₂ હોય તો,
  E = V₁ + V₂
  q = V₁ + V₂ ……… (1)
• શ્રેણી જોડાણ માટે V = \(\frac{q}{C}\) માં q સમાન,
  ∴ V α \(\frac{1}{C}\)
  ∴ \(\frac{\mathrm{V}_1}{\mathrm{~V}_2}=\frac{\mathrm{C}_2}{\mathrm{C}_1}\)
  ∴ \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{6}\)
  ∴ V₂ = 2V₁
  સમીકરણ (1) પરથી,
  V₁ + V₂ = 9
  V₁ + 2V₁ = 9
  3V₁ = 9 ∴ V₁ = 3V
  અને V₂ = 2V₁ = 2 × 3 = 6V
• 
  અને Q₃ = 0
• હવે K₁ ખુલ્લી અને K₂ બંધ હોય તો C₂ અને C₃ સમાંતરમાં જોડાય અને C₁ સાથે શ્રેણીમાં જોડાય.
  ∴ Q₂ = Q’₂ + Q₃
• સમાંતર જોડાણનું સામાન્ય સ્થિતિમાન V હોય તો

પ્રશ્ન 8.
R ત્રિજ્યાની એક તકતીની સપાટી ઉપર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલા Q વિધુતભારને લીધે તેની અક્ષ ઉપર સ્થિતિમાન શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે, ડિશના કેન્દ્રથી x અંતરે તેના અક્ષ પર P બિંદુ છે અને તકતીને અસંખ્ય સંખ્યામાં વિદ્યુતભારિત રિંગમાં વિભાગેલો કલ્પો જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

– ધારો કે, રિંગની ત્રિજ્યા r, જાડાઈ dr અને વિદ્યુતભાર dq છે.
∴ σdA = σ2πrdr ………… (1)
P બિંદુ પાસે સ્થિતિમાન,
dV = \(\)
– રિંગ પરનો વિદ્યુતભાર dq = +σ[(πr + dr)² – πr)²
∴ dq = + σπ[(r + dr)² – r²
= + σπ[r² + 2rdr + dr² – r² ]
= +σπ [2rdr + dr²].
– dr ઘણું નાનું હોવાથી તેને અવગણતાં, dr²
dq = 2πrσdr ……………. (2)

પ્રશ્ન 9.
બે વિધુતભારો અને અનુક્રમે અને એ મૂકેલ છે. જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય તેવાં બિંદુઓનું સ્થાન નક્કી કરો.
ઉત્તર:
(x, y, z) સમતલ પર ઈચ્છિત બિંદુ ધારો 2d અંતરે રહેલાં બે વિદ્યુતભારો z-અક્ષની રેખા પર છે.
– P બિંદુ પાસે આપેલાં બંને વિદ્યુતભારોના લીધે સ્થિતિમાન,
V = V₁ + V₂

પ્રશ્ન 10.
દરેકનો વિધુતભાર -q છે તેવા બે વિધુતભારો વચ્ચેનું અંતર 2d છે. ત્રીજો +q વિધુતભાર તેના મધ્યબિંદુ O પર રાખેલ છે. -q વિધુતભારોના લીધે +q વિધુતભારની સ્થિતિઊર્જાને O થી નાના અંતર x ના વિધેય સ્વરૂપે દર્શાવો. સ્થિતિઊર્જા (PE.) વિરુદ્ધ x નો આલેખ દોરો. તમે જાતે ખાતરી કરો કે, O ઉપરનો વિધુતભાર અસ્થાયી સંતુલનમાં છે.
ઉત્તર:
ધારો કે, +q વિદ્યુતભારને ડાબી બાજુના -q વિદ્યુતભાર તરફ થોડો ખસેડવામાં આવે છે તેથી તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જા,

– એટલે કે, +q વિદ્યુતભાર સ્થાયી અને અસ્થાયી સંતુલનમાં છે.
– ફરીથી x થી સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,